CHUYÊN ĐỀ: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

01.MÔN TOÁN

CHUYÊN ĐỀ: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐẶT ẨN PHỤ
NGƯỜI VIẾT: ……………



GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em
học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận
với một vài cách giải khá đơn giản. Tuy nhiên trong đề thi THPT Quốc gia – học
sinh giỏi… các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và
đa dạng hơn rất nhiều. Và để giải phương trình vô tỉ cũng có rất nhiều phương
pháp. Trong chuyên đề này tôi xin giới thiệu phương pháp “ Đặt ẩn phụ để giải
phương trình vô tỉ”
Chuyên đề giới thiệu một số dạng:
Dạng 1: Phương trình có dạng: F

(

n

)

f ( x) = 0

Dạng 2: Phương trình có dạng:

(

m

)

f (x) � g(x) �2n f (x)g(x) + n ( f (x) + g(x)) + p = 0

Dạng 3: phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để.
Dạng 4: Phương trình có dạng:
af (x) + bg(x) + c f (x)g(x) = 0 với a,b,c � 0
Dạng 5: Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
Dạng 6: phương pháp lượng giác hóa
Dạng 7: Đặt ẩn phụ đưa về dạng tích


Đối tượng học sinh bồi dưỡng : Lớp 10; 12
Số tiết dự kiến bồi dưỡng: 06 tiết trên lớp và 06 tiết học ở nhà.


NỘI DUNG
Phần I: Phương pháp chung:
Có bốn bước cơ bản trong phương pháp này:
Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ.
Bước 2: Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ.
Bước 3: Giải phương trình mới, tìm ẩn phụ thích hợp.
Bước 4: Thay giá trị tìm được vào ẩn phụ và tìm nghiệm của phương trình ban đầu.
Nhận xét: mấu chốt của phương pháp này là ở bước 1, lí do quyết định đến
toàn bộ lời giải của bài toán.

Phần 2: Các dạng toán:
Dạng 1: Phương trình có dạng: F

(

n

)

f ( x) = 0

Phương pháp: Đặt t = n f (x) (nếu n chẵn ta phải thêm điều kiện t �0 )
Ví dụ 1: Giải phương trình x2 + x2 + 2 = 10
Giải
Đặt t = x2 + 2

(t � 2)

�
t=3
Phương trình đã cho trở thành t + t - 12 = 0 � �
�
t =- 4
�
2

t = 3 thỏa mãn điều kiện.

Với t  3 � x 2  2  3 � x  � 7

Ví dụ 2 Giải phương trình sau : x2 + 2x x -

1
= 3x + 1
x

Giải:
Điều kiện: - 1 �x < 0;x �1
Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x + 2 x Đặt t = x -

1
1
= 3+
x
x

t1
�
2
1
, điều kiện t �0 . Phương trình trở thành: t  2t  3  0 � �
.
t  3
�
x

t=1 thỏa mãn.

t = 1� x -

1
1� 5
.
= 1� x =
x
2

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm: x = 1� 5
2

Có những bài tập ta có cách đặt tương tự:
Ví dụ 3. Giải phương trình:

x-

x2 - 1 + x + x2 - 1 = 2

Giải:
Điều kiện: x �1
Nhận xét:

x-

Đặt t = x -

x2 - 1. x + x2 - 1 = 1
x2 - 1 , điều kiện: t � 0

1
Phương trình đã cho trở thành: t + = 2 � t = 1( thỏa mãn)
t
Thay t = 1 tìm được x = 1 thỏa mãn điều kiện.


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải phương trình: ( x + 1) ( x + 4) = 5 x2 + 5x + 28
Bài 2: Giải phương trình:

5x2 + 10x + 1 = 7 - 2x - x2

Bài 3: Giải phương trình: x2 - 6x + 9 = 4 x2 - 6x + 6
Bài 4: Giải phương trình:

( x - 3) ( 8 - x )

+ 26 = - x2 + 11x

Bài 5: Giải phương trình: x2 - 2x - 3 - 4 ( 4 - x ) ( x + 2) = 0

Dạng 2: Phương trình có dạng:

(

m

)

f (x) � g(x) �2n f (x)g(x) + n ( f (x) + g(x)) + p = 0

Phương pháp: đặt t = f (x) � g(x)
Ví dụ 1: Giải phương trình
3 + x + 6 - x = 3 + (3 + x)(6- x)

Giải:
Điều kiện: - 3 �x � 6
Đặt t = 3 + x + 6 - x đk t �0
t2 - 9
Khi đó t = 9 + 2 ( 3 + x) ( 6- x) � ( 3 + x) ( 6 - x) =
2
2

Phương trình đã cho trở thành t2 - 2t - 3 = 0 => t=3 (t/m) hoặc t=-1 (loại)
Với t=3 thay vào ta được x = - 3 hoặc x = 6 .
Nhận xét: trong ví dụ trên ta cũng có thể dùng ẩn phụ đưa về hệ, phần này tôi sẽ
trình bày ở phần sau.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

x + 4 + x - 4 = 2x - 12 + 2 x2 - 16


Giải:
Điều kiện: x � 4
Đặt t = x + 4 + x - 4 đk: t �0
Khi đó t2 = 2x + 2 x2 - 16

(2)

Phương trình trở thành: t2 - t - 12 = 0 => t=4(t/m) hoặc t=-3(loại)

Với t=4 thay vào (2) ta tìm được x=5.

Bài tập tự luyện:

( 2x + 3) ( x + 1) -

Bài 1: Giải phương trình:

2x + 3 + x + 1 = 3x + 2

Bài 2: Giải phương trình:

x - 1 + 3- x -

( x - 1) ( 3 - x )

=1

Bài 3: Giải phương trình:

7- x + x + 2-

( 7 - x ) ( x + 2)

=3

Bài 4: Giải phương trình:

3x - 2 + x - 1 = 4x - 9 + 2 3x2 - 5x + 2

Bài 5: Giải phương trình: 1 +

2
x - x2 =
3

x + 1- x

Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ không triệt để.
Phương trình có dạng: af (x) + g(x) f (x) + h(x) = 0
Phương pháp: Đặt t = f (x) khi đó phương trình trở thành
at2 + g(x)t + h(x) = 0
Ví dụ 1: Giải phương trình 2(1- x) x2 + 2x - 1 = x2 - 2x - 1
Giải:
Đặt t = x2 + 2x - 1 điều kiện: t � 0

16


�
t =2

Phương trình trở thành: t2 - 2(1- x)t - 4x = 0 � �
�
t = - 2x
�
Với t=2 =>

x2 + 2x - 1 = 2 � x = - 1� 6

Với t = - 2x =>

�
x �0
�
x2 + 2x - 1 = - 2x � � 2
(vô nghiệm)
�
3x - 2x + 1 = 0
�
�

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = - 1� 6 .
�
2
3Ví dụ 2: Giải phương trình : x + �
�
�

�
x2 + 2�
x = 1+ 2 x2 + 2
�
�

Giải:
Đặt t = x2 + 2 , t �0 . Phương trình đã cho trở thành:
�
t=3
t2 - ( 2 + x) t - 3 + 3x = 0 � �

�
t =x- 1
�
Với t = 3 � x2 + 2 = 3 � x = � 7
Với t = x - 1 � x2 + 2 = x - 1(VN )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  � 7 .
Ví dụ 3: Giải phương trình : ( x + 1) x2 - 2x + 3 = x2 + 1
Giải:
Đặt : t = x2 - 2x + 3, t � 2
2
2
Khi đó phương trình trở thành : ( x + 1) t = x + 1 � x + 1- ( x + 1) t = 0


� x2 - 2x + 3- ( x + 1) t + 2( x - 1) = 0
�
t =2
� t2 - ( x + 1) t + 2( x - 1) = 0 � �
�
t =x- 1
�
Với t = 2 � x2 - 2x + 3 = 2 � x2 - 2x - 1 = 0 � x = 1� 2
Với t = x - 1 � x2 - 2x + 3 = x - 1(VN )
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1� 2 .
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2 2x  4  4 2  x  9x 2  16
*Nhận xét: phương trình này ta chưa nhìn thấy cách đặt ẩn phụ ngay mà phải qua
một bước biến đổi rồi mới đưa về dạng như ví dụ trên.
Giải:
ĐK: 2 �x �2
Bình phương hai vế phương trình ta được:

4(2x  4)  16 2(4  x 2)  16(2  x )  9x 2  16
� 8(4  x 2)  16 2(4  x 2)  x 2  8x

Đặt t  2(4  x 2) (t �0) . Khi đó phương trình trở thành:
4t 2  16t  x 2  8x  0
� t1 

x
x
�t2    4
2
2

Do 2 �x �2 nên t2  0 không thỏa mãn.
Với t1 

x �0
x
x
4 2
�
� 2(4  x 2)  � �
�
x

.
2
2
3
8(4  x 2)  x 2

�



 



2
2
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 2x  1  1  x 1 3x  8 2x  1

Giải: Đặt t  2x 2  1 �1 . phương trình đã cho trở thành:


3(t  1)  x  3(t2  1)  3x2  8xt
� 3t2  (8x  3)t  3x2  x  0
�t 

x
�t  1 3x
3

+ Với t 

x �0
x
x
�
� 2x 2  1  � � 2

(VN )
3
3
17x  9  0
�

+Với t  1 3x � 2x 2  1  1 3x � x  0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=0.

Ví dụ 6: Giải phương trình: 2014x 2  4x  3  2013x 4x  3
Giải:
3
4

ĐK: x �

Đặt t  4x  3 (t �0) . Phương trình đã cho trở thành:
2014x 2  2013tx  t 2  0 � x  t �x  

t
(loại).
2014

Với x=t ta có x  4x  3 � x 2  4x  3  0 � x  1�x  3
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  1, x  3 .

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải phương trình: x2 - 1 = 2x x2 - 2x
Bài 2: Giải phương trình: x2 + 4x = ( x + 2) x2 - 2x + 4
Bài 3: Giải phương trình: ( 4x - 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1

Bài 4: Giải phương trình: 4 x + 1 - 1 = 3x + 2 1 - x + 1- x2


Bài 5: Giải phương trình: x2 + x - 1 = ( x + 2) x2 - 2x + 2

Dạng 4: Phương trình có dạng: af (x) + bg(x) + c f (x)g(x) = 0 với a,b,c � 0
Phương pháp: Xét trường hợp g(x) = 0 (nếu có)
Xét trường hợp g(x) � 0, chia cả 2 vế của phương trình cho g(x) và đặt
f (x)
đk: t �0 ta đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t.
g(x)

t=

(

)

Ví dụ 1: Giải phương trình : 2 x2 + 2 = 5 x3 + 1
Giải:
Phương trình đã cho dưa về dạng
2(x + 1) + 2(x2 - x + 1) = 5 (x + 1)(x2 - x + 1)
Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 - x + 1 ta được
2

x +1
x2 - x + 1

Đặt t =

+2= 5
x +1

2

x - x +1

=> t=2 hoặc t =

x +1
x2 - x + 1
đk t �0 phương trình trở thành 2t2 - 5t + 2 = 0

1
2

Thay vào tìm được: x = 5 � 37
2
Ví dụ 2: giải phương trình sau : 2x2 + 5x - 1 = 7 x3 - 1


Giải:
Đk: x �1

(

)

(

)

Phương trình tương đương 3( x - 1) + 2 x2 + x + 1 = 7 ( x - 1) x2 + x + 1
Làm tương tự như ví dụ 1 ta được : x = 4 � 6
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải phương trình: 2x2 - x + 3 - 3 x3 + 1 = 0
Bài 2: Giải phương trình: 7x2 - 2x + 14 + 5 x3 + 2x = 0
Bài 3: Giải phương trình: 3x2 + 1 - 3 x4 - 1 = 0
Bài 4: Giải phương trình: 4x2 + 3x + 5 + 3 x3 - 1 = 0
Bài 5: Giải phương trình:

x3 - 1 + x + 8 = 5 - 2x2

Dạng 5: Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ.

(

)

*Phương trình có dạng: F f (x), n a + f (x), m b - f (x) = 0
Phương pháp: Đặt u = n a + f (x) , v = m b - f (x) khi đó ta được hệ phương trình
�
F (u, v) = 0
�
�n
�
u + vm = a + b
�
�
Giải hệ này ta tìm được u,v. rồi tìm x.

Ví dụ 1: Giải phương trình

3

24 + x + 12 - x = 6

Giải:
Đk: x �12
Đặt u = 3 24 + x, v = 12- x , v �0


�
u +v = 6
�
Khi đó ta có hệ � 3
�
u + v2 = 36
�
�
�
u = 0,v = 6
�
�
u = - 4, v = 10
Giải hệ này ta tìm được �
�
u =v=3
�
�
Thay vào ta tìm được x = - 24, x = - 88, x = 3

�
3
3
3�
x + 35 - x3 �
= 30
Ví dụ 2: Giải phương trình: x 35 - x �
�
�
�
�
Giải:
Đặt y = 3 35 - x3 � x3 + y3 = 35
�
xy(x + y) = 30
�
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: �3
, giải hệ này
3
�
x
+
y
=
35
�
�
ta tìm được (x;y) = (2;3),( x;y) = (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là
x �{2;3}
*Phương trình có dạng x n  b  an ax  b

Phương pháp: Đặt t  n ax  b ta đưa về hệ đối xứng loại hai.
Ví dụ 3: Giải phương trình: x3 + 1 = 23 2x - 1
Giải:
Đặt t = 3 2x - 1 ta có:


�
�
x 3  1  2t
x 3  1  2t
�
�
��
�3
t

1

2
x
x 3  t 3  2(t  x )
�
�
�
x 3  1  2t
�
��
(x  t )(x 2  t 2  tx  2)  0
�
x 1

�
�
x 3  1  2t
��
� � 1� 5
�
x t
x
�
�
2

Do x 2  t 2  tx  2  0,t , x.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x  1;x 

1� 5
.
2

*Phương trình có dạng x  a  a  x
�
x  a t
�

Phương pháp: Đặt t  a  x . phương trình � �

t  a x
�

Ví dụ 4: Giải phương trình: x = 2015 + 2015 + x

Giải:
ĐK: x � 0
Đặt t  2015 x , t > 0
�
�x  2015 t
PT � �
t  2015 x
�

Trừ vế với vế của hai phương trình nhận được x  t .
Suy ra x  x  2015  0 � x 

1 8061
8062  2 8061
� x
2
4

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải phương trình:

3

x +7-

x =1

Bài 2: Giải phương trình: x + 17 - x2 + x 17 - x2 = 9

Bài 3: Giải phương trình:

3

2 - x = 1-

x- 1

3

Bài 4: Giải phương trình: ( x + 1) + 1 = 23 2x + 1
Bài 5: Giải phương trình:

3

x + 4-

3

5- x = 1

Dạng 6: Phương pháp lượng giác hóa.
Nếu bài toán có chứa

a2 - x2 thì đặt x = a sint

với -

p
p

�t � hoặc
2
2

x = a cost với 0 �t �p
Nếu bài toán có chứa

� p p�
� ; �
t
�\ 0
với
x - a thì đặt x =
� 2 2� { } hoặc
sint
�
�
2

2

a

�
p�
�
�
�
0; p�
\ ��

với t ��
�
x=
�
cost
�
�2�
a

Nếu bài toán có chứa

� p p�
�
�
x
=
a
.tan
t
t
�
- ; �
�
ta
có
thể
đặt
với
x +a
�

�
�
� 2 2�
2

2

Ví dụ 1: Giải phương trình: 1+ 1- x2 = 2x2
Giải:
ĐK: x �1
0, p�
Đặt x = cost,t ��
�
�

Khi đó phương trình trở thành 1+ 1- cos2 t = 2cos2 t � 2sin2 t + sint - 1 = 0
Ta tìm được sint = 1 � x = cost = � 3
2
2


Ví dụ 2. Giải phương trình :
�
3
1+ 1- x �( 1+ x) �
�
2

3�

2
1- x2
�
( 1- x) �= + 3
� 3

Giải:
Điều kiện : x �1
[ 1;0]: thì
Với x �x �[0;1]

( 1+ x)

3

-

( 1- x)

3

�0 (pt vô nghiệm)

� p�
0; �
ta đặt : x = cost, t ��
. Khi đó phương trình trở thành:
� 2�
� �

� 1
�
1
�
2 6cosx �
1+ sint�
= 2 + sint � cost =
�
�
�
�
� 2
�
6
Vậy phương trình có nghiệm : x =

1
6



Ví dụ 3. Giải phương trình : 1 1 x 2  x 1 2 1 x 2



Giải:
ĐK:

�  �
x �1 . Đặt x  sint,t ��

 ; �phương trình đã cho trở thành:
� 2 2�

1 cost  sint (1 2cost )
t
3t
t
� 2cos  2sin cos
2
2
2
t�
3t
�
� cos � 2sin  1� 0
2�
2 �
1
� 3t
sin

4
� 
� 2
t

�

k
2

��
��
6
3 , k ��
�
t
�
t  (2k  1)
cos  0
�
�
� 2


Kết hợp điều kiện của t suy ra t 


6

 1
Vậy phương trình có 1 nghiệm x  sin  .
6

2

Ví dụ 4. Giải phương trình : x 3  3x  x  2
Giải:
ĐK: x �2
Nhận thấy với x  2 ta có:





x 3  3x  x  x x 2  4  x  x  2

Vậy ta chỉ cần xét với x � 2;2
Đặt x  2cost,t � 0;  khi đó phương trình đã cho trở thành:
8cos3t  6cost  2cost  2
t
� cos3t  cos
2
4
�
t

k
�
5 , k ��
��
4
�
tk
�
7
�

Kết hợp điều kiện của t suy ra t 

4

4
,t 
5
7

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x  2cos
�

2
2
Ví dụ 5. Giải phương trình : x �
�

�

4
4
, x  2cos .
5
7

�
2
�
�
2
x  1�
1

Giải:

ĐK: x  1 nên ta đặt x 

1
�  �
,t ��
 ; �\  0 . phương trình đã cho trở thành:
sint
� 2 2�


1
 2  tant   2
sin2 t
1
1
cos2 t
1


� 4cos6 t  cos2 t  1  0 � cos2 t  � t   k , k ��
2
4
2
� 2cos2 t  tant � 4cos4 t 


Kết hợp điều kiện của t suy ra t  �

4

1
x�
 � 2.

Vậy phương trình có 2 nghiệm:
sin
4

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải phương trình: 4 x 3  3x  1  x 2
Bài 2: Giải phương trình: 1  1  x 2  x(1  2 1  x 2 )
Bài 3: Giải phương trình:

1
1 - x2

Bài 4: Giải phương trình: x 
Bài 5: Giải phương trình:

=

x
x2  1

3x
2

1- x

- 1

2 2
2

x 2 1 x 

2

x 1

Dạng 7: Đặt ẩn phụ đưa về dạng tích.
Ví dụ 1. Giải phương trình : x 2  x 

3 9

2 4

(1)

Giải
ĐK: x �

3
2
3
2

Đặt t  x  ,t �0 phương trình đã cho trở thành:

t0
�
t2 t2  3  t  0 � t t3  3t  1  0 � �3
t  3t  1 0
�







Với t  0 � x 



3
3
 0� x  
2
2

Giải phương trình: t 3  3t  1  0 (2)
Ta thấy với t >2 có: t 3  3t  t  t (t 2  4)  t  2 nên phương trình (2) vô nghiệm.
Khi đó ta chỉ xét với t � 0;2
1
��
0; �phương trình (2) trở thành cos3u   giải phương trình
đặt t  2cosu,u ��
2

� 2�

này ta tìm được u 
suy ra t  2cos

2
thỏa mãn điều kiện.
9

2
3
2
2 3
� x   2cos
� x  4cos2
 .
9
2
9
9 2
3
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x   ;x  4cos2

2 3

9 2

*Nhận xét: từ cách giải ví dụ trên cho chúng ta giải bài toán tổng quát sau:

Giải phương trình: x 2  x  a  a2 với a là hằng số cho trước.

Ví dụ 2. Giải phương trình : x 3  3x 2  2  x  2 3  6x (1)
Giải
ĐK: x �2
Phương trình (1) � x 3  3x (x  2)  2  x  2 3  0 (2)
Đặt t  x  2,t �0 khi đó phương trình (2) trở thành:
x 3  3xt  2t 3  0 �  x  t 

2

x t
�
x  2t
�

 x  2t   0 � �


x �0
�
�x2
x  x  2 0
�

Với x  t � x  2  x � � 2

x �0
�
� x  2 2 3

x  4x  8  0
�

Với x  2t � 2 x  2  x � � 2

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  2;x  2  2 3

Ví dụ 3. Giải phương trình :

4x 2  5x  1  2 x 2  x  1  9x  3

Giải
Đặt a  4x 2  5x  1,b  2 x 2  x  1
� a2  b2  9x  3 � a2  b2  a  b �  a  b   a  b  1  0

Với a  b  0 � x 

1
3

x0
�
a  b  9x  3 �
�
�
Với a  b  1 0 � �
56
�
2a  9x  2
x

�
� 65

Ví dụ 4. Giải phương trình : 3 7x  1  3 x 2  x  8  3 x 2  8x  1  2
Giải
Đặt a  3 7x  1;b   3 x 2  x  8;c  3 x 2  8x  1
Ta có a  b  c  2
a3  b3  c3  8





3
3
3
3
Mặt khác  a  b  c   8 suy ra  a  b  c   a  b  c  0
3

a  b
�
�
� 3 a  b   b  c   c  a  0 � �
b  c
�
c  a
�

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình là S   1;0;1;9

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải phương trình: x + 2 7 - x = 2 x + 1 + - x2 + 6x + 7 - 1
x +3+

Bài 2: Giải phương trình:
Bài 3: Giải phương trình:

3

4x
x+3

=4 x

( 3 x + 1-

x2 + 3x + 2

3

)

x- 2 =1

Bài 4: Giải phương trình: ( x + 2) ( 2x + 3 - 2 x + 1) + 2x2 + 5x + 3 - 1 = 0
Bài 5: Giải phương trình: x = 2 - x. 3 - x + 3 - x. 5 - x + 5 - x. 2 - x

KẾT LUẬN
Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán
lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng
tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Trên đây là một số phương pháp mà tôi rút ra được trong suốt quá trình giảng
dạy về chuyên đề phương trình vô tỉ tại trường THPT Hồ Xuân Hương
Đề tài của tôi được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, lớp 12
và đã được học sinh tiếp thu một cách hứng thú, có hiệu quả, nâng cao kĩ năng giải
phương trình vô tỉ.
Mặc dù rất cố gắng, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó
tránh khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn
bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành
tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập.