Điện tử viễn thông appendix DRT NVD 3 khotailieu

Phụ lục
Phụ lục 3A1

VÍ DỤ MINH HỌA BIỂU DIỄN HÌNH HỌC TÍN HIỆU
VDPL3A.1: Xét một tập tín hiệu hình PL3A1.a. Có một hàm trực chuẩn cơ sở φ1 ( t ) để
biểu diễn chúng. Năng lượng của tín hiệu được cho bởi:
∞
2
−∞ 1

∫

s (t)dt = V 2 Tb = E 2 = E

[joules]

Hàm trực chuẩn đầu tiên được cho bởi:
φ1 (t) =

s1 (t)
s (t)
= 1
E1
V 2 Tb

Hệ số tương quan ρ = ∫

Tb

0

không chuẩn hóa φ ( t ) là:

s 2 ( t ) s1 ( t )
dt = −1 thể hiện s 2 ( t ) = −s1 ( t ) . Vì vậy, hàm cơ sở
E

'
2

φ'2 (t) =

s 2 (t)
s (t) + s1 (t)
− ρφ1 (t) = 2
=0
E
E

s2 ( t )

s1 (t)

Tb
0

Tb

a) Tập tín hiệu

φ1 ( t )

0

t

t

-

1/ Tb
t

0

Tb

s2 ( t )
− E

s1 (t)
0

E

φ1 ( t )

c) Không gian tín hiệu

b)Các hàm trực chuẩn

Hình PL3A.1. a) Tập tín hiệu; b) Các hàm trực chuẩn. c) Không gian tín hiệu
Hàm trực chuẩn cơ sở φ1 ( t ) hình PL3A.1b. Với φ1 ( t ) , hai tín hiệu được biểu diễn:
s1 (t) = Eφ1 (t)
s 2 (t) = − Eφ1 (t)

-267-


Phụ lục
Biểu diễn hình học của hai tín hiệu s1 ( t ) và s 2 ( t ) trên hình PL3A.1c, khi này khoảng
cách giữa hai tín hiệu d 21 = 2 E
VDPL3A.2: Tập tín hiệu được xét trong trường hợp này được cho ở hình PL3A2.a. Đây
cũng là trường hợp đặc biệt bởi vì hai tín hiệu này là trực giao với nhau có
cùng năng lượng V 2Tb = E (joules). Hàm trực chuẩn cơ sở trực giao đầu tiên
là:
φ1 (t) =

s1 (t)
E1

Hệ số tương quan ρ là:
ρ=

Tb

∫
0

s1 (t)s 2 (t)
dt = 0

E

do hai tín hiệu đã cho là trực giao với nhau. Theo đó φ'2 =
s1 ( t ) và s 2 ( t ) được biểu diễn là:

s2 ( t )
E

= φ2 ( t ) . Vì vậy, các tín hiệu

s1 (t) = Eφ1 (t)
s 2 (t) = E φ2 (t)

s2 ( t )

s1 (t)

Tb

Tb

φ2 ( t )
φ1 ( t )

φ2 ( t )

1/ Tb

E

1/ Tb

Tb
−1/ Tb

s2 ( t )

Tb

s1 ( t )

φ1 ( t )

E

Hình PL3A.2. Minh họa: Tín hiệu; các hàm trực chuẩn; không gian tín hiệu
Về mặt hình học, các hàm trực giao chuẩn cơ sở φ1 ( t ) và φ2 ( t ) được cho ở hình
PL3A2.b và không gian tín hiệu được cho ở hình PL3A2.c. Khoảng cách giữa hai tín hiệu
được tính như sau:

-268-


Phụ lục
d 21 = E + E = 2E = 2 E

So sánh VDPL3A.2 với VDPL3A.1, cho thấy năng lượng trên mỗi bit tại máy phát là
giống nhau. Tuy nhiên, các tín hiệu trong hình PL3A.2 là gần nhau và do đó tại phía cuối
máy thu, với sự xuất hiện của tạp âm, ta hy vọng có thể phân biệt được tín hiệu nào đã
được gửi. Ta sẽ xem xét và biểu diễn định lượng cho trường hợp này.

VDPL3A.3: là một sự phát triển của VDPL3A.1 và VDPL3A.2 (là sự tổng quát hóa của
hai trường hợp trên). Tập tín hiệu được cho ở hình PL3A.3, trong đó các tín
hiệu có cùng năng lượng E = V 2Tb . Hàm trực chuẩn cơ sở φ1 ( t ) =

s1 ( t )
E

. Hệ

số tương quan ρ phụ thuộc vào tham số α và được cho bởi:
ρ=

1 Tb
1
2α
s 2 (t)s1 (t)dt − 2  V 2 α − V 2 (Tb − α )  =
−1
∫
0
E
V Tb
Tb

Ta kiểm tra: khi α = 0 thì ρ = −1 ; khi α =

Tb
thì ρ = 0 như mong đợi. Hàm trực giao
2

chuẩn cơ sở thứ hai là:

φ2 (t) =

1
E(1 − ρ2 )

[s 2 (t) − ρs 1 (t)]
1
4

1
2

Để biểu diễn hình học, ta xét trường hợp α = Tb , khi này ρ = − . Cũng vậy, ta có
φ1 ( t ) =

s1 ( t )
E

, và hàm trực giao chuẩn cơ sở thứ hai được cho bởi:
φ2 (t) =

2
3V Tb

1


s 2 (t) − 2 s 1 (t) 

Hai hàm trực chuẩn cơ sở hình PL3A3.b. Biểu diễn hình học của s1 ( t ) và s 2 ( t ) được

cho ở hình PL3A3.c. Chú ý rằng, các hệ số để biểu diễn s 2 ( t ) là: s 21 = −

1
E và
2

3
E . Do s 221 + s 222 = E , tín hiệu s 2 ( t ) cách gốc tọa độ là E . Tổng quát, khi α thay
2
đổi từ 0 đến Tb , thì hàm φ2 ( t ) cũng thay đổi. Tuy nhiên, với mỗi φ2 ( t ) tín hiệu s 2 ( t ) cách
s 22 =

gốc tọa độ một khoảng bằng E . Quỹ đạo của s 2 ( t ) được cho ở hình PL3A3.c. Chú ý
rằng khi α tăng, ρ tăng, thì khoảng cách giữa hai tín hiệu sẽ giảm.

-269-


Phụ lục
s1 ( t )
V

V

t

Tb

3 / 3Tb

1/ Tb
α

0

φ2 ( t )

φ1 ( t )

s2 ( t )

1
Tb
4

Tb

t

0

0

t

Tb

-V

a) Tập tín hiệu

s2 ( t )


E 3E 
,
 −

2 
 2

t

0
−1/ 3Tb

b) Các hàm trực
giao

φ2 ( t, α )
α=

Tb

Tb
2

t ¨ng α, p
E

α=0

s1 ( t )

(−

E,0

)

0

(

E ,0

)

φ1 ( t )

c) Biểu diễn không gian tín hiệu

Hình PL3A.3. Minh họa: Tín hiệu, các hàm trực chuẩn, không gian tín hiệu
VDPL3A.4: Xét tập tín hiệu hình PL3A4.a. Năng lượng của mỗi tín hiệu là E = V 2Tb
joules. Ta có:
φ1 (t) =
ρ=

s1 (t)
E

1 Tb
2 Tb / 2  2 3 
3
s 2 (t)s1 (t)dt = ∫ 
Vt Vdt =
∫
0
0
E
E
2
 Tb


φ2 (t) =

s 21 =


s1 (t) 
2 
3
 s 2 (t)
 E − ρ E  = E s 2 (t) − 2 s1 (t) 



 3 
1 − 

 4
1

3
E;
2

1
2

s 22 =

1
E
2

Khoảng cách giữa hai tín hiệu là:

-270-


Phụ lục
1

2
2


3    E  


 Tb

d 21 =  ∫ [s 2 (t) − s1 (t)] dt  =   E  1 −
 + 

2    2  
 0


 

1
2

2

(

= E 2− 3

)

1
2

=

(2 − 3) E

Các hàm trực chuẩn được vẽ trên hình PL3A4.b, và biểu diễn không gian tín hiệu

được minh họa trên hình PL3A4,c.

s1 ( t )

s2 ( t )
3V

V

0

t

Tb

Tb / 2

0

Tb

t

a) Tập tín hiệu

φ1 ( t )

φ2 ( t )

φ2 ( t )

3
Tb

1/ Tb

s2 ( t )

 3E E 
,


2 
 2

s1 ( t )

Tb

t

Tb

0

0
−

t

Tb / 2

0

(

E, 0

) φ1 ( t )

3
Tb

c) Biểu diễn không gian tín hiệu

b) Các hàm trực
giao

Hình PL3A.4. Minh họa: Tín hiệu, các hàm trực chuẩn, không gian tín hiệu
VDPL3A.5: Xét trường hợp hai tín hiệu hình sin có cùng tần số nhưng khác pha
s1 (t) = E

2
cos(2πf c t)
Tb

s 2 (t) = E

2
cos(2πf c t+θ)
Tb

Chọn f c =

k
, k là một số nguyên. Cách chọn này có nghĩa là hai hàm sin ( 2πf c t ) và
2Tb

cos ( 2πf c t ) trực giao nhau trong khoảng thời gian Tb . Năng lượng của mỗi tín hiệu là:
E1 = E ∫

Tb

0

2
cos 2 (2πf c t)dt = E = E 2
Tb

Hàm trực chuẩn đầu tiên là:

-271-


Phụ lục

φ1 (t) =

s1 (t)
2
=

cos(2πf c t)
Tb
E

Tại đây, ta viết s 2 ( t ) như sau:
s 2 (t) =

(

 2

 2

Ecosθ 
cos(2πf c t)  + − E sin θ 
sin(2πf c t) 
 Tb

 Tb


)

(

)

Do hàm sin ( 2πf c t ) trực giao với hàm cos ( 2πf c t ) trong khoảng thời gian ( 0, Tb ) , nên
hàm trực giao chuẩn cơ sở thứ hai của ta được chọn là:
φ2 (t) =

2
sin(2πf c t)
Tb

Vì s 2 ( t ) = s 21φ1 ( t ) + s 22φ2 ( t ) , nên bằng cách kiểm tra, ta có
s 21 = Ecosθ; s 22 = − E sin θ

Cuối cùng, không gian tín hiệu được cho ở hình PL3A5.
θ = 3π / 2

φ2 ( t )

ρ=0

s2 ( t )
E

θ=π

s1 ( t )

φ1 ( t )

locus of s 2 ( t ) as θ

ρ = −1

varies from 0 to 2π

θ = π/2
ρ=0

Hình PL3A5. Biểu diễn không gian tín hiệu

-272-


Phụ lục
Phụ lục 3A2

MÁY THU TỐI ƯU ĐỐI VỚI TÍN HIỆU NHỊ PHÂN
TRONG MÔI TRƯỜNG KÊNH AWGN
1. MÁY THU TỐI ƯU
Trong khoảng thời gian bit ( k − 1) Tb ; kTb  nào đó, tạp âm đều ảnh hưởng đến tín hiệu
thu. Nếu xét tín hiệu trên khoảng thời gian bit đầu tiên, tín hiệu thu là
r ( t ) = si ( t ) + n ( t ) ,

s1 ( t ) + n ( t ) ,
=
s 2 ( t ) + n ( t ) ,

0 ≤ t ≤ Tb
nÕu bit "0" ®−îc ph¸t

(3A.1)

nÕu bit "1" ®−îc ph¸t

Trong đó: coi đồng bộ thời gian giữa phát/thu (biết chính xác thời điểm bắt đầu của

bit); máy thu phải biết chính xác hai tín hiệu s1 ( t ) và s 2 ( t ) ; biết trước các xác suất tiên
nghiệm (xác suất phát bit “0” và “1”).
Để có được máy thu tối ưu, trước hết, ta khai triển r ( t ) thành dạng chuỗi sử dụng các

hàm trực giao φ1 ( t ) , φ2 ( t ) , φ3 ( t ) .... Như đã được đề cập, hai hàm trực chuẩn
φ1 ( t ) & φ2 ( t ) đầu tiên được chọn để biểu diễn chính xác tín hiệu s1 ( t ) và s 2 ( t ) . Lưu ý rằng,

s1 ( t ) và s 2 ( t ) xác định φ1 ( t ) & φ2 ( t ) theo thủ tục Gram-Schmidt. Phần còn lại được chọn

để hoàn thành tập trực giao. Tín hiệu r ( t ) trong khoảng thời gian [ 0; Tb ] được biểu diễn
như sau:
r ( t ) = si ( t ) + n ( t ) ,

0 ≤ t ≤ Tb

= si1φ1 ( t ) + si2 φ2 ( t )  +  n1φ1 ( t ) + n 2 φ2 ( t ) + n 3φ3 ( t ) + n 4 φ4 ( t ) + .....
si ( t )

n( t)

(3A.2)

= ( si1 + n1 ) φ1 ( t ) + ( si2 + n 2 ) φ2 ( t ) + n 3φ3 ( t ) + n 4 φ4 ( t ) +
= r1φ1 ( t ) + r2 φ2 ( t ) + r3φ3 ( t ) + r4 φ4 ( t ) + .....

trong đó rj = ∫ r ( t ) φ j ( t ) dt và
Tb

0

r1 = si1 + n1
r2 = si2 + n 2
r3 = n 3

(3A.3)

r4 = n 4
.................

Đặc biết chú ý rằng rj , j = 3, 4,... không phụ thuộc vào việc tín hiệu s1 ( t ) hay s 2 ( t )
N0
(phương
2
sai của tạp âm). Giá trị trung bình của r1 , r2 tương ứng là si1 và si2 . Với rj , j > 3 có trung

được phát, r1 , r2 , r3 , r4 ,... đều là các biến ngẫu nhiên Gausơ có cùng phương sai
bình không (trung bình của tạp âm).

-273-


Ph lc
Ti õy, da vo vic quan trc cỏc bin ngu nhiờn r1 , r2 , r3 , r4 ,... quyt nh tớn
hiu no c phỏt. Trc ht ta phi cú tiờu chun quyt nh ti u, tiờu chun c
chn sao cho gim thiu xỏc sut li quyt nh.

1

2
1

Hỡnh 3A.1. Khụng gian quan trc v vựng quyt nh
rỳt ra mỏy thu m gim thiu xỏc sut li, ta xột quan trc r = {r1 , r2 , r3,.....} . Nu ta
ch xột n thnh phn u tiờn thỡ chỳng to nờn khụng gian quan trc n chiu m ta phi
phõn nh thnh cỏc vựng quyt nh gim thiu xỏc sut li. iu ny c minh ha
trờn hỡnh 3A.1. Xỏc sut li c biu din nh sau:
Pr [ lỗi ] = Pr ( quyết định "0" & phát "1") hoặc ( quyết định "1" & phát "0") ( 3A.4)

Vỡ hai s kin trờn l loi tr tng h nhau, nờn:
Pr [lỗi] = Pr [ 0 D ,1T ]

+ Pr [1D , 0T ]

= Pr [ 0D |1T ] Pr [1T ] + Pr [1D | 0T ] Pr [ 0T ]

(3A.5)

Ti õy ta xột i lng Pr [ 0D |1T ] . Quyt nh l bit 0 da vo quan trc r cú ri vo
min 1 khụng. Do ú, xỏc sut bit 0 c quyt nh khi ó phỏt bit 1 bng vi xỏc
sut r ri vo min 1 khi ó phỏt bit 1. Xỏc sut ny c cho bi ln di hm
mt xỏc sut cú iu kin trong min 1 , ngha l:
Pr [ 0D |1T ] = f ( r |1T ) dr

(3A.6)

1

Do ú
Pr [ lỗi ] = P2 f ( r |1T ) dr + P1 f ( r | 0T ) dr
1

= P2

2

2

f ( r |1T ) dr + P1 f ( r | 0T ) dr
2

= P2 f ( r |1T ) dr + P1f ( r | 0T ) P2 f ( r |1T ) dr

2

-274-

(3A.7)


Phụ lục
Lỗi phụ thuộc vào cách phân chia miền quan trắc. Từ biểu thức xác suất lỗi, ta thấy
nếu r làm cho tích phân của P1f ( r 0T ) − P2f ( r 1T ) có giá trị âm trên ℜ2 thì xác suất lỗi được
giảm thiểu. Vì vậy, quy tắc quyết định xác suất lỗi nhỏ nhất được biểu diễn là:
P1f ( r | 0T ) − P2 f ( r |1T ) ≥ 0

P1f ( r | 0T ) − P2 f ( r |1T ) <0

⇒

quyÕt ®Þnh 0T

⇒

quyÕt ®Þnh 1T

(3A.8)

Hay
f ( r |1T )
f ( r | 0T )

Biểu thức

1T
>
<
0T

P1
P2

(3A.9)

f ( r |1T )
thường được gọi là tỷ lệ khả năng giống. Máy thu sẽ thực hiện
f ( r | 0T )

tính toán tỷ số này và so sánh kết quả với một ngưỡng tiền định (ngưỡng được xác định bởi
các xác suất tiên nghiệm). Ta xét hàm mật độ xác suất có điều kiện f ( r |1T ) và f ( r | 0T ) .
Do các thành phần r1 , r2 , r3 ,... là các biến ngẫu nhiên Gauss độc lập thống kê, nên chúng

được viết dưới dạng tích của nhiều hàm mật độ xác suất riêng biêt như sau:
f ( r |1T ) = f ( r1 |1T ) f ( r2 |1T ) f ( r3 |1T ) f ( r4 |1T ) ....f ( rj |1T ) ....

(3A.10)

f ( r | 0T ) = f ( r1 | 0T ) f ( r2 | 0T ) f ( r3 | 0T ) f ( r4 | 0T ) ....f ( rj | 0T ) ....

(3A.11)

hay
−

1
2

f ( r | 0T ) = ( πN 0 )

1
2

f ( r |1T ) = ( πN 0 )

−

1
 ( r − s 21 )2 
 ( r2 − s 22 )2 
−
2
exp  −

 ( πN 0 ) exp  −
 f ( r3 |1T ) f ( r4 |1T ) .....
N 0 
N0



1
 ( r − s11 )2 
 ( r2 − s12 )2 
−
exp  −
 ( πN 0 ) 2 exp  −
 f ( r3 |1T ) f ( r4 |1T ) .....
N 0 
N0




rj2

1
Chú ý rằng f ( rj |1T ) = f ( rj | 0T ) =
e N0 với j > 2. Do đó, chúng được loại bỏ trong
πN 0

công thức tỷ số khả năng giống (3A.9). Vì vậy, quy tắc quyết định trở thành:
2
2

exp  − ( r1 − s 21 ) / N 0  .exp  − ( r2 − s 22 ) / N 0 




2
2
exp  − ( r1 − s11 ) / N 0  .exp  − ( r2 − s 21 ) / N 0 





1T
>
<
0T

P1
P2

(3A.12)

Để đơn giản biểu thức, lấy loga tự nhiên hai về của (3A.12). Kết quả là, quy tắc quyết
định:

( r1 − s11 ) + ( r2 − s 21 )
2

2

1T
>
<
0T

 P1 

 P2 

( r1 − s21 ) + ( r2 − s22 ) + N 0 ln 
2

(3A.13)

Quy tắc trên có sự biểu diễn hình học rất thú vị. Đại lượng ( r1 − s11 ) + ( r2 − s12 2 ) là bình
2

phương khoảng cách từ hình chiếu ( r1 , r2 ) của tín hiệu thu r ( t ) lên tín hiệu phát phát s1 ( t ) .

-275-


Phụ lục
Tương tự ( r1 − s 21 ) + ( r2 − s 22 2 ) là bình phương khoảng cách từ ( r1 , r2 ) lên s 2 ( t ) . Trường hợp
2

đặc biệt P1 = P2 , thì quy tắc quyết định là:

( r1 − s11 ) + ( r2 − s 21 )

2

1T
>
<
0T

2

( r1 − s 21 ) + ( r2 − s 22 )
2

(3A.14)

Thực chất, biểu thức trên hàm ý rằng, máy thu tối ưu cần phải xác định khoảng cách
từ r ( t ) đến cả s1 ( t ) và s 2 ( t ) , sau đó chọn si ( t ) mà r ( t ) gần nhất.
Trường hợp tổng quát hơn P1 ≠ P2 thì các miền quyết định được xác định bởi một
đường thẳng vuông góc với đường thẳng nối giữa s1 ( t ) và s 2 ( t ) . Nó sẽ dịch về phía s 2 ( t )

nếu P1 > P2 và sẽ dịch về phía s1 ( t ) nếu P1 < P2 , được minh họa trên hình 3A.2.

φ2 ( t )

r2

S2 ( t )

( s21 ,s 22 )

d2

( s11 ,s12 )

d1

( r1 , r2 )

S1 ( t )

φ1 ( t )

r1

Hình 3A.2: Các miền quyết định được xác định bởi một đường thẳng vuông góc với đường
thẳng nối giữa s1 ( t ) và s 2 ( t ) .
2. CẤU TRÚC MÁY THU TỐI ƯU
Để xác định xác suất lỗi nhỏ nhất trong trường hợp bit “0” hoặc bit “1” được phát, ta
cần xác định r1 , r2 sau đó dùng (3A.13) để đưa ra quyết định. Vì vậy, cấu trúc máy thu được
cho ở hình 3A.3.
Quá trình nhân r ( t ) với φ1 ( t ) và lấy tích phân trong khoảng thời gian bit là phép toán
tương quan và do đó, cấu hình máy thu được gọi là cấu hình máy thu tương quan. Do tại
thời điểm cuối cùng của một bit, tích phân sẽ trở về giá trị 0 ban đầu, nên máy thu thông
thường được gọi là máy thu tích hợp và phân tách. Quy tắc quyết định có thể được viết lại
như sau:

( r1 − s11 ) + ( r2 − s 21 )
2

2

+ N 0 lnP1

1T
>
<
0T

( r1 − s21 ) + ( r2 − s 22 ) + N 0lnP1

-276-

2

(3A.15)


Phụ lục
2
 r12 − 2r1s11 + s11

 2

2
 + r2 − 2r2s12 + s12 − N 0 ln P1 

1T
>
<
0T

2
 r12 − 2r1s 21 + s 21

 2

2
 + r2 − 2r2s 22 + s 22 − N 0 ln P2 

(3A.16)

t = Tb

r1

Tb

∫ ( •) dt

( r1 − si1 ) + ( r2 − si2 )
− N 0 ln ( Pi )
2

0

r ( t ) = si ( t ) + n ( t )

φ1 ( t )

t = Tb

2

r2

Tb

∫ ( •) dt
0

φ2 ( t )
Hình 3A.3: Cấu trúc máy thu tương quan
2
Loại bỏ các phần chung và để ý rằng E1 = s112 + s122 , E 2 = s 221 + s 22
, ta có

r1s 21 + r2s 22 −

E2 N0
+
ln P2
2
2

Số hạng r1si1 + r2si2 = ( r1 , r2 )

1T
>
<
0T

r1s11 + r2s12 −

E1 N 0
+
ln P1
2
2

(3A.17)

( ) có thể được biểu diễn như một điểm được tạo ra bởi
si1
s j1

vectơ r = ( r1 , r2 ) thể hiện tín hiệu thu r ( t ) và vectơ si = ( si1 ,si2 ) thể hiện tín hiệu si ( t ) . Do
đó, cấu trúc máy thu có thể được vẽ lại như hình 3A.4.
Phần tương quan của máy thu tối ưu bao gồm cả bộ nhân và bộ tích phân. Bộ nhân là
khó thực hiện được về mặt vật lý. Trong đó, bộ tương quan có thể được thực hiện bằng một
bộ lọc đáp ứng xung kim rất hẹp như trên hình (3A.5), trong đó
h1 ( t ) = φ1 ( Tb − t )

(3A.18)

h 2 ( t ) = φ2 ( Tb − t )

(3A.19)

t = Tb

r1

Tb

∫ ( •) dt

r (t)

φ1 ( t )

0

t = Tb
Tb

∫ (•) dt

φ2 ( t )

N0
E
ln ( P1 ) − 1
2
2

r2

r • si

0

N0
E
ln ( P2 ) − 1
2
2

Hình 3A.4: Một cấu trúc khác của máy thu tương quan
Các bộ lọc có đáp ứng xung kim như trên thông thường được gọi là các bộ lọc thích
hợp.

-277-


Phụ lục

t = Tb

r (t)

r1

h1 ( t ) = φ1 ( Tb − t )

Quyết định

t = Tb

r2

h 2 ( t ) = φ2 ( Tb − t )

Hình 3A.5: Cấu trúc mày thu sử dụng các bộ lọc thích hợp
Ví dụ 3A.1: Xét một tập trực giao φ1 ( t ) , φ2 ( t ) trên hình 3A.6a. Tạo thành tập tín hiệu sau:
1
s1 ( t ) = φ1 ( t ) + φ2 ( t )
2
s 2 ( t ) = −φ1 ( t ) + φ2 ( t )

Dạng sóng s1 ( t ) và s 2 ( t ) tương ứng trên hình 3A.6b. Năng lượng của mỗi tín hiệu
được cho bởi:
E1 = ∫ s12 ( t ) dt = 1, 25

(J)

Tb

0

E 2 = ∫ s ( t ) dt = 2
Tb

0

φ1 ( t )

2
2

(3A.20)

(J)

φ2 ( t )

φ2 ( t )

S2 ( t )

1

S1 ( t )

0,5

-1

S1 ( t )

S2 ( t )

Hình 3A.6: (a) Các hàm trực giao; (b)Tập
tín hiệu.

0,5

0,5

1

φ1 ( t )

Hình 3A.7: Biểu diễn không gian tín hiệu

-278-


Phụ lục

Khác với các ví dụ đã được xét, đây là hai tín hiệu có năng lượng không bằng nhau.
Khi này, không gian tín hiệu được cho ở hình 3A.7. Ta sẽ xét việc phát hiện tín hiệu đã
N0
= 0,5 (W/Hz). Máy
2
thu tối ưu thực hiện chiếu tín hiệu thu r ( t ) = si ( t ) + n ( t ) lên φ1 ( t ) , φ2 ( t ) , và sau đó áp dụng

phát trong khoảng thời gian bit mà tạp âm Gauss trắng có độ lớn là
quy tắc quyết định (3A.13)

( r1 − 1)

2

1

+  r2 − 
2


2

1T
>
<
0T

( r1 + 1) + ( r2 − 1)
2

2

P 
+ ln  1 
 P2 

(3A.21)

Quy tắc quyết định ở biểu thưc (3A.17) được viết lại như sau:
3
P 
−4r1 + r2 −  + ln 1 
P2 
4

1T
>
<
0T

(3A.22)

0

Biên giới giữa hai miền quyết định được cho bởi:
3
P 
4r1 − r2 +  + ln 1  = 0
P2 
4

(3A.23)

là biểu thức của một đường thẳng có hệ số dốc bằng 4 và giao với trục tung r2 tại điểm có
3
4

tung độ  + ln

P1 
 . Trong hệ tọa độ ( r1 , r2 ) , biểu thức của đường thẳng nối giữa s1 ( t ) và
P2 

s 2 ( t ) được cho bởi:
r2 − s12
r −s
= 1 11 ,
s22 − s12 s21 − s11

(3A.24)

1

3
hay r2 = − r1 +
4
4

Nó cho thấy rằng, hai đường thẳng có biểu thức (3A.23) và (3A.24) vuông góc (trực
giao) với nhau. Do đó, các miền quyết định được cho ở hình 3A.8 cho 3 tập xác suất tiên
nghiêm khác nhau.

-279-


Phụ lục

φ2 ( t ) r2

S2 ( t )

S1 ( t )

S1 ( t )

S2 ( t )

φ1 ( t )

r1
φ2 ( t )

S2 ( t )

r2
S1 ( t )

S2 ( t )

S1 ( t )

φ1 ( t )

r1
φ2 ( t )

S2 ( t )

r2

S2 ( t )

S1 ( t )
S1 ( t )

φ1 ( t )

r1
Hình 3A.8. Các miền quyết định: (a) P1 = P2 = 0,5. (b) P1 = 0,25; P2 = 0,75
. (c) P1 = 0,75; P2 = 0,25

-280-

Phụ lục
Ví dụ 3A.2: Với ví dụ thứ hai, xét hai hàm trực giao được cho trên hình 3A.9. Tập các tín
hiệu được cho như sau:
s 2 ( t ) = φ1 ( t ) + φ2 ( t )

(3A.25)

s1 ( t ) = φ1 ( t ) − φ2 ( t )

(3A.26)

Hai tín hiệu có cùng năng lượng E1 = E2 = 2 (joules). Chú ý rằng s1 ( t ) và s 2 ( t ) có

một thành phần chung φ1 ( t ) . Do đó, ta mong muốn chỉ cần thành phần φ2 ( t ) giúp ta phân
biệt giữa hai tín hiệu phát trong môi trường kênh AWGN. Áp dụng (3A.13) ta có:

( r1 − 1) + ( r2 + 1)
2

2

1T
>
<
0T

-N 0 ln P1

( r1 − 1) + ( r2 − 1)

2

2

+ N 0 ln P2

(3A.27)

Rút gọn ta có:
r2

1T
>
<
0T

N 0  P1 
ln  
4  P2 

φ1 ( t )

3

(3A.28)

φ2 ( t )

φ2 ( t )
S2 ( t )

φ1 ( t )

1
2
S1 ( t )

Hình 3A.9: Các hàm trực giao (V í dụ 3A.2)

r2

Hình 3A.10: Biểu diễn không gian
tín hiệu (Ví dụ 3A.2)

φ2 ( t )
S2 ( t )

1

Chọn S2 ( t )

N 0  P1 
ln  
4  P2 

φ1 ( t )
0

1
Chọn S ( t )

1

S1 ( t )

-1

Hình 3A.11: Các miền quyết định (Ví dụ 3A.2)

-281-

r1


Phụ lục

Tập tín hiệu và miền quyết định được cho ở hình 3A.10 và 3A.11. Cấu trúc máy thu
dùng bộ tương quan hoặc bộ lọc thích hợp trên hình 3A.12a và 3A.12b.
t = Tb

r (t )

Tb

φ2 ( t )

r2

∫ ( •) dt
0

T=

φ2 ( t )

r2 ≥ T ⇒

S2 ( t )

r2 < T ⇒

S1 ( t )

N 0  P1 
ln  
4  P2 

3

Tb

r (t )

3

φ2 ( t )

t = Tb
r2

Tb

T=

r2 ≥ T ⇒

S2 ( t )

r2 < T ⇒

S1 ( t )

N 0  P1 
ln  
4  P2 

Hình 3A.12: Cấu trúc máy thu: (a) Máy thu sử dụng bộ tương quan. (b) Máy thu sử dụng
bộ lọc thích hợp (Ví dụ 3A.2)
3. CẤU TRÚC MÁY THU SỬ DỤNG MỘT BỘ TƯƠNG QUAN HOẶC MỘT BỘ
LỌC THÍCH HỢP
Thông thường, với hai tín hiệu s1 ( t ) và s 2 ( t ) bất kỳ, ta cần hai hàm trực chuẩn để
biểu diễn chúng một cách chính xác, máy thu tối ưu cần phải chiếu r(t) lên hai hàm trực
chuẩn này. Điều này cũng đồng nghĩa với cấu trúc máy thu cần phải có hai bộ tương quan
hoặc hai bộ lọc thích hợp. Tuy nhiên, trong ví dụ 3A.2, chỉ cần một bộ tương quan hay một
bộ lọc thích hợp. Với trường hợp truyền dữ liệu nhị phân, trong đó các ký hiệu phát được
biểu diễn bằng một trong hai tín hiệu.

-282-


Phụ lục

s22

φ2 ( t )

φ2 ( t )

s 2 ( t ) = s 21φ1 ( t ) + s 21φ2 ( t )

φ2 ( t )

s1 ( t ) = s11φ1 ( t ) + s12 φ2 ( t )

s12

s21

s11

s2 ( t )

φ1 ( t )
sˆ11 = sˆ21

s1 ( t )

sˆ22

φ1 ( t )

sˆ12

φ1 ( t )

Hình 3A.13. Biểu diễn không gian tín hiệu: (a) bởi φ1 ( t ) và φ2 ( t ) ;(b) bởi φˆ 1 ( t ) và φˆ 2 ( t )

Xét hai tín hiệu s1 ( t ) và s 2 ( t ) được biểu diễn bởi các hàm trực giao cơ sở φ1 ( t ) và

φ2 ( t ) như trên hình 3A.13a. Để đơn giản cấu trúc máy thu (chỉ dùng một bộ tương quan
hoặc một bộ lọc thích hợp) thì ta phải tìm trong hai hàm trực chuẩn φˆ 1 ( t ) và φˆ 2 ( t ) sao cho
theo một trục gọi là φˆ ( t ) mà s ( t ) và s ( t ) có chung một thành phần. Để xác định hàm cơ
1

1

2

sở này, ta quay φ1 ( t ) và φ2 ( t ) một góc θ cho đến khi một trong hai trục vuông góc với

đường thẳng nối s1 ( t ) và s 2 ( t ) . Phép quay này được biểu diễn như sau:
 φˆ 1 ( t )  cos θ

=
 φˆ ( t )  -sinθ
2



sinθ   φ1 ( t ) 



cosθ   φ2 ( t ) 

(3A.29)

Tại đây, ta chiếu tín hiệu thu r ( t ) = si ( t ) + n ( t ) lên các hàm trực chuẩn φˆ 1 ( t ) và φˆ 2 ( t ) .
Các thành phần của s1 ( t ) và s 2 ( t ) lên φˆ 1 ( t ) gọi là sˆ11 và sˆ 21 . Các hình chiếu của tạp âm
nˆ 11 và nˆ 21 là các biến nhẫu nhiên Gausơ độc lập thống kê, trung bình không và phương sai
N0
(W).
2

Tỷ số khả năng giống khi chiếu r ( t ) lên các trục φˆ 1 , φˆ 2 , φˆ 3 ........ là:
f ( rˆ1 , ˆr2 , rˆ3 ,.... |1T ) f ( sˆ12 + nˆ 1 ) f ( sˆ 22 + nˆ 2 ) f ( nˆ 3 ) .........
=
f ( rˆ1 , rˆ2 , rˆ3 ,.... | 0T ) f ( sˆ11 + nˆ 1 ) f ( sˆ12 + nˆ 2 ) f ( nˆ 3 ) ..........

1T
>
<
0T

P1
P2

(3A.30)

Loại bỏ các thành phần chung ta được:
f ( ˆr2 |1T ) f ( sˆ 22 + nˆ 2 )
=

f ( rˆ2 | 0T ) f ( sˆ12 + nˆ 2 )

1T
>
<
0T

P1
P2

(3A.31)

Thay thế bằng các hàm mật độ, quy tắc quyết định trở thành

( πN 0 )

1
2

2
exp  − ( rˆ2 − sˆ 22 ) / N 0 



1
−
2

2
exp  − ( rˆ2 − sˆ12 ) / N 0 




−

( πN 0 )

1T
>
<
0T

-283-

P1
P2

(3A.32)


Phụ lục

Lấy loga cơ số tự nhiên ta có:

rˆ2

sˆ 22 + sˆ12  N 0 / 2   P1 
+
 ln  
ˆ

ˆ
2
 s 22 − s12   P2 

1τ
>
<
0T

(3A.33)

Chú ý rằng, để có được quy tắc quyết định trên, ta phải giả sử rằng sˆ 22 − sˆ12 > 0 bởi lẽ
( sˆ 22 − sˆ12 ) đo khoảng cách giữa hai tín hiệu.
Vì vậy, máy thu tối ưu tìm rˆ2 bằng cách chiếu r ( t ) lên φˆ 2 , nghĩa là
rˆ2 = ∫ r ( t ) φˆ 2 ( t ) dt và so sánh rˆ2 với ngưỡng:
Tb

0

T≡

sˆ 22 + sˆ12  N 0 / 2   P1 
+
 ln  
2
 sˆ 22 − sˆ12   P2 

(3A.34)

Cấu trúc máy thu được cho ở hình 3A.14a và 3A.14b, ứng với máy thu một bộ tương

quan và máy thu một bộ lọc thích hợp. Hàm cơ sở φˆ 2 được xác định như sau: Nối hai điểm
s1 ( t ) và s 2 ( t ) là vectơ s 2 ( t ) − s1 ( t ) . Sau đó chuẩn hóa năng lượng đơn vị vectơ này ta
được hàm cơ sở φˆ 2
φˆ 2 ( t ) =

{∫

s 2 ( t ) − s1 ( t )
Tb

0

}

s 2 (t) − s1 ( t )  dt
2

1
2

=

s 2 ( t ) − s1 ( t )

(E

2

− 2ρ E1E 2 + E1

t = Tb

r (t)

rˆ2

Tb

∫ ( •) dt

φ2 ( t )

)

1
2

(3A.35)

rˆ2 ≥ T ⇒ 1D
rˆ2 < T ⇒ 0D

0

t = Tb

r (t)

rˆ2

h ( t ) = φˆ 2 ( Tb − t )

rˆ2 ≥ T ⇒ 1D
rˆ2 < T ⇒ 0D

Hình 3A.14: Máy thu tối ưu đơn giản: (a) Sử dụng một bộ tương quan. (b) Sử dụng một bộ
lọc thích ứng

-284-


Phụ lục

Ví dụ 3A.3: Xét tập tín hiệu được cho ở hình 3A.15. Quay một góc 450 các hàm trực
chuẩn, ta được φˆ 1 , φˆ 2 :
1
φ1 ( t ) + φ2 ( t ) 
φˆ 1 =
2
1
φˆ 2 ( t ) =
 −φ1 ( t ) + φ2 ( t ) 
2

Cấu trúc máy thu được minh họa trên hình 3A.16a and 3A.16.

φ2 ( t )

φ2 ( t )

s2 ( t )

φ1 ( t )
sˆ11 = sˆ21

E

θ =π /4
E

s1 ( t )

φ1 ( t )

Hình 3A.15: Biểu diễn không gian tín hiệu (Ví dụ 3A.3)
t = Tb

r (t )

Tb

rˆ2

∫ (•) dt

rˆ2 ≥ T ⇒ 1D

ˆr2 < T ⇒ 0D

0

φˆ 2 ( t )
2
Tb

φˆ 2 ( t )

Tb / 2

r (t )

2
Tb

h (t)

Tb

t = Tb

rˆ2

ˆr2 ≥ T ⇒ 1D
rˆ2 < T ⇒ 0D

Tb / 2

Hình 3A.16: Cấu trúc máy thu: (a) Máy thu dùng bộ tương quan. (b) Máy thu dùng bộ lọc
thích hợp (Ví dụ 3A.3).

-285-


Ph lc

4. HIU NNG MY THU

Phn ny ta xột hiu nng ca mỏy thu dng xỏc sut li. Ta lu ý rng, vic phỏt
hin bớt thụng tin b k c phỏt trong khong thi gian th k l ( k 1) Tb , kTb bao gm
vic tớnh toỏn r2 =

kTb

( k 1)Tb

T=

r ( t ) 2 ( t ) dt v so sỏnh r2 vi mt ngng T:

P
N0
s12 + s 22
+
ln 1
2
2 ( s 22 s12 ) P2

(3A.36)

Khi bit 0 c phỏt, r2 l bin ngu nhiờn Gaus trung bỡnh s12 v phng sai

N0
2

Khi bit 1 c phỏt, r2 l bin ngu nhiờn Gauss trung bỡnh s 22 v phng sai

N0
2

Biu din hỡnh hc hai hm mt xỏc sut cú iu kin c cho hỡnh 3A.17.
Xỏc sut li c cho bi:
Pr [ lỗi ] = Pr ( phát 0 và chọn1) hay ( phát 1 và chọn 0 )

Do hai s kin l c lp tng h nhau, nờn
Pr [ lỗi ] = Pr ( phát 0 và chọn1) + Pr ( phát 1 và chọn 0 )

= Pr ( chọn1 0T ) .Pr ( 0T ) + Pr ( chọn 0 1T ) .Pr (1T )


(

)

= P1 f r2 0T dr2 + P2
T

f (r
T

2

f

( r

2

)

0T dr2



miền B

(3A.37)

miền A

0r )

f

s1 2

0r

s 2 2

( r

2

1r )

1r

Hỡnh 3A.17: Hai hm mt xỏc sut cú iu kin

Chỳ ý rng, hai tớch phõn trong cụng thc (3A.37) bng vi din tớch ca min A v
min B trong hỡnh 3A.18. Do ú, xỏc sut li c tớnh toỏn nh sau:

-286-


Phụ lục

∞

Pr [ lçi ] = P1 ∫
T

(

 ɵr 2 − sɵ
12
1
exp  −
N0

πN 0

f

( rˆ

)  drɵ
2




(

 rɵ 2 − sɵ
22
1
exp  −
N0
πN 0


∞

2

+ P2 ∫
T

0r )

2

)  drɵ

f

sˆ1 2

2




( rˆ

2

(3A.38)

2

1r )

sˆ 2 2
Miền B

Miền A
⇒

Chọn 0r

Chọn 1r

Hình 3A.18: Ước lượng các tích phân thông qua diện tích các miền A và B.

Xét tích phân thứ nhất trong công thức (3A.38). Đổi biến λ = ( rˆ2 − sˆ12 ) / N 0 / 2 ,
drˆ2

dλ =

N0 / 2
∞

∫
T

và giới hạn dưới trở thành ( T − sˆ12 ) / sˆ12 . Tích phân trở thành:

(

 ɵr − sɵ
2
12
1
exp  −
N0
πN 0


)  drɵ
2




2

1
=
2π

∞

∫

e

−

λ2
2

T − sɵ12
No 2

 T − sɵ12 
dλ = Q 

 N 2

o



(3A.39)

trong đó Q(x) được gọi là hàm Q. Hàm này được định nghĩa là vùng diện tích của một
miền nằm dưới đường cong hàm mật độ của biến nhẫu nhiên Gaussơ trung bình bình
không, phương sai bằng 1 trong khoảng từ x đến ∞ (Minh họa ở hình 3A.19), nghĩa là
∞

λ
−
1
2
Q(x) =
e
dλ
∫
2π x
2

(3A.40)
100

1 − λ2
e
2π

2

10−2
10−4

10−6
10−8

λ

10−12

Hình 3A.19: Minh họa hàm Q

Hình 3A.20: Vẽ hàm Q(x).

-287-


Phụ lục

Vì vậy, nếu biểu diễn xác suất lỗi theo hàm Q, ta được:
 T − sɵ12 
 T − sɵ 22 
Pr [ error ] = P1Q 
 + P2 Q 

 N 2


o



 No 2 

(3A.41)

Tại đây, ta xét trường hợp quan trọng, trường hợp hai xác suất tiên nghiệm bằng nhau,
tức là P1 = P2 . Khi này, ngưỡng T sẽ là T = ( sˆ12 + sˆ 22 ) / 2 . Xác suất lỗi sẽ giảm xuống còn
Pr [ lçi ] = Q ( sˆ 22 − sˆ12 ) / 2N 0  . Đại lượng ( sˆ 22 − sˆ12 ) được viết như sau:
Tb

(

)

∫ {s ( t ) s ( t ) − s ( t ) − s ( t ) s ( t ) − s ( t )} dt
2

sɵ 22 − sɵ12 =

2

1

0

(E
Tb

∫ s ( t ) − s ( t )

2

=

2

1

− 2ρ E1E 2 + E1
2

1

dt

0

(

2

E 2 − 2ρ E1E 2 + E1

)

=

(E

2

1

)

− 2ρ E1E 2 + E1

(3A.42)

)

So sánh biểu thức (4.96) và (4.91) ta thấy: ( sˆ 22 − sˆ12 ) là khoảng cách giữa hai tín hiệu
s1 ( t ) và s 2 ( t ) ;

N 0 / 2 là giá trị rms của tạp âm, do đó ta có:

 Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c tÝn hiÖu 
Pr [ error ] = Q 

2 × rms t¹p ©m



(3A.43)

Do Q(.) là một hàm đơn điệu giảm theo đối số của nó, nên xác suất lỗi sẽ giảm khi tỷ
số

Kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c tÝn hiÖu
tăng, nghĩa là hai tín hiệu có sự phân biệt nhiều hơn hoặc

2 × rms t¹p ©m

công suất tạp âm nhỏ.
Điển hình, khi công suất tạp âm kênh là cố định, giảm lỗi bằng cách tối đa hóa
khoảng cách giữa hai tín hiệu (tăng năng lượng của tín hiệu).

Tuy nhiên, máy phát bị ràng buộc về năng lượng E . Do khoảng cách giữa các điểm
tín hệu đến gốc tọa độ của mặt phẳng {φ1 ( t ) , φ2 ( t )} là E , nên các điểm tín hiệu phải nằm
trên đường tròn bán kính E . Vì vậy, để tối đa hóa khoảng cách giữa hai tín hiệu ta chọn
chúng sao cho lệch nhau 1800, tức là s2 ( t ) = −s1 ( t ) . Muốn vậy, tập tín hiệu thường được
chọn là tín hiệu đối cực.
Lưu ý cuối cùng là: xác suất lỗi không phụ thuộc vào hình dạng của tín hiệu mà chỉ
phụ thuộc vào khoảng cách của các tín hiệu.
Mối quan hệ giữa Q ( x ) và hàm lỗi bù erfc ( x ) : Ta thường dùng hàm lỗi bù erfc ( • )
để tính xác suất lỗi, được định nghĩa như sau:
erfc ( x ) =

2

π

∫

∞

x

e− λ d λ
2

(3A.44)

= 1 - erf ( x )

Bằng cách đổi biến, ta dễ dàng tìm được mối quan hệ giữa hai hàm Q ( x ) và erfc ( x )

-288-


Phụ lục
Q ( x) =

1
 x 
erfc 

2
 2

(3A.45)

(

(3A.46)

Hay ngược lại
erfc ( x ) = 2Q

2x

)

Chú ý rằng hàm erfc ( x ) có sẵn trong MATLAB.

-289-


Phụ lục

Phụ lục 3B

MÔ PHỎNG HỆ THỐNG BPSK TRONG MÔI TRƯỜNG
KÊNH AWGN
Trong hệ thống truyền tin nhị phân, dữ liệu nhị phân gồm dãy các số 0 và 1 được
truyền đi bằng hai dạng sóng s0(t) và s1(t). Giả sử (1) Tốc độ dữ liệu truyền là R =1/Tb bit/s
(Tb=1/R là khoảng thời gian của một bit), được sắp xếp vào dạng sóng tín hiệu
0 → s0 (t); 1 → s1 (t), 0 ≤ t ≤ Tb ; (2) Xác suất truyền các bit 0 và 1 là bằng nhau ( nghĩa là
P(0) = P(1) = 1/2) và độc lập thống kê tương hỗ nhau ; (3) Tín hiệu si(t) qua kênh AWGN,
n(t) là một hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên Gauss trắng có phổ công xuất là N0/2 W/Hz,
dạng sóng tín hiệu thu là
r ( t ) = s i ( t ) + n ( t ),

i = 0,1,

0 ≤ t ≤ Tb

(3B.1)

Nhiệm vụ của máy thu là xác định xem bit 0 hay bit 1 đã được truyền qua kênh sau
khi quan trắc tín hiệu thu r(t) trong khoảng thời gian 0≤ t ≤ Tb. Máy thu được thiết kế để

giảm thiểu xác suất thu lỗi được gọi là máy thu tối ưu.
Máy thu tối ưu đối với tín hiệu trực giao
Định nghĩa:
Hai dạng sóng tín hiệu si(t) & sj (t) được gọi là trực giao nhau nếu thoả mãn điều kiện
Tb

E ,

∫ s (t )s ( t)dt = 0,
i

j

0

i= j

(3B.2)

i≠ j

trong đó E là năng lượng tín hiệu. Hình 3B.1a minh hoạ dạng sóng tín hiệu trực giao
s0(t) và s1(t) điển hình.
Thiết kế các khối chức năng
Cấu trúc máy thu tối ưu đối với kênh AWGN được cho ở hình 3B.1b gồm 2 khối cơ
bản: Một một bộ tương quan (hoặc một mạch lọc phối hợp cần lưu ý tại thời điểm lấy mẫu
t=Tb, tín hiệu ra bộ lọc phối hợp bằng tín hiệu ra của bộ tương quan) và một bộ tách tín
hiệu.
Bộ tương quan tín hiệu
Bộ tương quan tính tương quan giữa tín hiệu thu r(t) với hai tín hiệu đã được truyền

s0(t) và s1(t). Theo đó, nhận được
t

r0 ( t ) = ∫ r ( τ)s 0 ( τ)dt
0

(3B.3)

t

r1 ( t ) = ∫ r ( τ)s 1 ( τ)dt
0

trong khoảng 0≤ t ≤ Tb, sau đó lấy mẫu tín hiệu r0(t) và r1(t) tại thời điểm t=Tb rồi đưa vào
bộ tách tín hiệu. Nếu tín hiệu thu r(t) được xử lí bởi hai bộ tương quan tín hiệu như trên
hình 3B.1b thì các tín hiệu ra r0 và r1 tại thời điểm lấy mẫu t= Tb là

-290-


Phụ lục

p( r1 | 0) = p(r1 s 0 ( t )

t

∫ ()dτ

=

0

p(r0 | 0) = p(r0 s 0 ( t ) )

)

− r1
1
e
2π σ

− ( r0 − E )
1
e
2π σ

2

=

2

2σ

2

2σ 2

t

∫ ()dτ
0

Tb

ri = ∫ r ( t )s i ( t )dt , i = 0,1
0

r( t ) = s i ( t ) + n( t )

Tb

E ,

i= j



i≠ j

∫0 s i (t ).s j ( t )dt = 0,

Hình 3B.1: Cấu trúc máy thu tối ưu đối với tín hiệu trực giao
Nếu truyền tín hiệu s0(t) qua kênh, thì tín hiệu thu là

0≤ t ≤ Tb

r(t) = s0(t) + n(t)
Tb

Tb

0

0

Tb

r0 = ∫ r(t)s 0 (t)dt = ∫ s 02 (t)dt + ∫ n(t)s0 (t)dt = E + n 0
0
E
Tb

n0

Tb

Tb

0

0

(3B.4)

r1 = ∫ r(t)s1 (t)dt = ∫ s0 (t)s1 (t)dt + ∫ n(t)s1 (t)dt = n1
0

= 0 do trùc giao nhau

n1

trong đó E = A T là năng lượng của các tín hiệu s0(t) và s1(t); n0 và n1 là các thành phần
tạp âm tại đầu ra của các bộ tương quan. Như vậy, khi truyền tín hiệu s0(t) qua kênh
AWGN tại thời điểm lấy mẫu t =Tb nhận được tín hiệu ở đầu ra hai bộ tương quan là.
2

r0 = E + n 0

(3B.5)

r1 = n 1

Nếu truyền tín hiệu s1(t) qua kênh, thì tín hiệu thu là
r ( t ) = s 1 ( t ) + n ( t ),

0 ≤ t ≤ Tb

-291-

(3B.6)