Điện tử viễn thông appendix DRT NVD 1 khotailieu

Phụ lục

Phụ lục 1

HÀM Q VÀ ERFC
Công thức hàm lỗi bù và hàm Q(u):
erfc ( u ) =

2

π

1
Q (u ) =
2π

∞

∫e

− z2

dz

u

∫

∞

u

e

− z2
2

dz

Quan hệ giữa hàm lỗi bù và hàm Q(u) được cho như sau:

( )

erfc(u ) = 2Q u 2

Q (u ) =

1
 u 
erfc

2
 2

Bảng PL Bảng Q(u)
Q(u)
u

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.0

0.50000

0.49601

0.49202

0.48803

0.48405

0.48006

0.47608

0.47210

0.46812

0.46414

0.1

0.46017

0.45620

0.45224

0.44828

0.44433

0.44038

0.43644

0.43251

0.42858

0.42465

0.2

0.42074

0.41683

0.41294

0.40905

0.40517

0.40129

0.39743

0.39358

0.38974

0.38591

0.3

0.38209

0.37828

0.37448

0.37070

0.36693

0.36317

0.35942

0.35569

0.35197

0.34827

0.4

0.34458

0.34090

0.33724

0.33360

0.32997

0.32636

0.32276

0.31918

0.31561

0.31207

0.5

0.30854

0.30503

0.30153

0.29806

0.29460

0.29116

0.28774

0.28434

0.28096

0.27760

0.6

0.27425

0.27093

0.26763

0.26435

0.26109

0.25785

0.25463

0.25143

0.24825

0.24510

0.7

0.24196

0.23885

0.23576

0.23270

0.22965

0.22663

0.22363

0.22065

0.21770

0.21476

0.8

0.21186

0.20897

0.20611

0.20327

0.20045

0.19766

0.19489

0.19215

0.18943

0.18673

0.9

0.18406

0.18141

0.17879

0.17619

0.17361

0.17106

0.16853

0.16602

0.16354

0.16109

1.0

0.15866

0.15625

0.15386

0.15151

0.14917

0.14686

0.14457

0.14231

0.14007

0.13786

1.1

0.13567

0.13350

0.13136

0.12924

0.12714

0.12507

0.12302

0.12100

0.11900

0.11702

1.2

0.11507

0.11314

0.11123

0.10935

0.10749

0.10565

0.10383

0.10204

0.10027

0.09853

1.3

0.09680

0.09510

0.09342

0.09176

0.09012

0.08851

0.08692

0.08534

0.08379

0.08226

1.4

0.08076

0.07927

0.07780

0.07636

0.07493

0.07353

0.07215

0.07078

0.06944

0.06811

1.5

0.06681

0.06552

0.06426

0.06301

0.06178

0.06057

0.05938

0.05821

0.05705

0.05592

1.6

0.05480

0.05370

0.05262

0.05155

0.05050

0.04947

0.04846

0.04746

0.04648

0.04551

1.7

0.04457

0.04363

0.04272

0.04182

0.04093

0.04006

0.03920

0.03836

0.03754

0.03673

1.8

0.03593

0.03515

0.03438

0.03363

0.03288

0.03216

0.03144

0.03074

0.03005

0.02938

1.9

0.02872

0.02807

0.02743

0.02680

0.02619

0.02559

0.02500

0.02442

0.02385

0.02330

2.0

0.02275

0.02222

0.02169

0.02118

0.02068

0.02018

0.01970

0.01923

0.01876

0.01831

2.1

0.01786

0.01743

0.01700

0.01659

0.01618

0.01578

0.01539

0.01500

0.01463

0.01426

2.2

0.01390

0.01355

0.01321

0.01287

0.01255

0.01222

0.01191

0.01160

0.01130

0.01101

2.3

0.01072

0.01044

0.01017

0.00990

0.00964

0.00939

0.00914

0.00889

0.00866

0.00842

2.4

0.00820

0.00798

0.00776

0.00755

0.00734

0.00714

0.00695

0.00676

0.00657

0.00639

2.5

0.00621

0.00604

0.00587

0.00570

0.00554

0.00539

0.00523

0.00508

0.00494

0.00480

2.6

0.00466

0.00453

0.00440

0.00427

0.00415

0.00402

0.00391

0.00379

0.00368

0.00357

-257-


Phụ lục
2.7

0.00347

0.00336

0.00326

0.00317

0.00307

0.00298

0.00289

0.00280

0.00272

0.00264

2.8

0.00256

0.00248

0.00240

0.00233

0.00226

0.00219

0.00212

0.00205

0.00199

0.00193

2.9

0.00187

0.00181

0.00175

0.00169

0.00164

0.00159

0.00154

0.00149

0.00144

0.00139

3.0

0.00135

0.00131

0.00126

0.00122

0.00118

0.00114

0.00111

0.00107

0.00104

0.00100

3.1

0.00097

0.00094

0.00090

0.00087

0.00084

0.00082

0.00079

0.00076

0.00074

0.00071

3.2

0.00069

0.00066

0.00064

0.00062

0.00060

0.00058

0.00056

0.00054

0.00052

0.00050

3.3

0.00048

0.00047

0.00045

0.00043

0.00042

0.00040

0.00039

0.00038

0.00036

0.00035

3.4

0.00034

0.00032

0.00031

0.00030

0.00029

0.00028

0.00027

0.00026

0.00025

0.00024

3.5

0.00023

0.00022

0.00022

0.00021

0.00020

0.00019

0.00019

0.00018

0.00017

0.00017

3.6

1.59E-04

1.53E-04

1.47E-04

1.42E-04

1.36E-04

1.31E-04

1.26E-04

1.21E-04

1.17E-04

1.12E-04

3.7

1.08E-04

1.04E-04

9.96E-05

9.57E-05

9.20E-05

8.84E-05

8.50E-05

8.16E-05

7.84E-05

7.53E-05

3.8

7.23E-05

6.95E-05

6.67E-05

6.41E-05

6.15E-05

5.91E-05

5.67E-05

5.44E-05

5.22E-05

5.01E-05

3.9

4.81E-05

4.61E-05

4.43E-05

4.25E-05

4.07E-05

3.91E-05

3.75E-05

3.59E-05

3.45E-05

3.30E-05

4.0

3.17E-05

3.04E-05

2.91E-05

2.79E-05

2.67E-05

2.56E-05

2.45E-05

2.35E-05

2.25E-05

2.16E-05

4.1

2.07E-05

1.98E-05

1.89E-05

1.81E-05

1.74E-05

1.66E-05

1.59E-05

1.52E-05

1.46E-05

1.39E-05

4.2

1.33E-05

1.28E-05

1.22E-05

1.17E-05

1.12E-05

1.07E-05

1.02E-05

9.77E-06

9.34E-06

8.93E-06

4.3

8.54E-06

8.16E-06

7.80E-06

7.46E-06

7.12E-06

6.81E-06

6.50E-06

6.21E-06

5.93E-06

5.67E-06

4.4

5.41E-06

5.17E-06

4.94E-06

4.71E-06

4.50E-06

4.29E-06

4.10E-06

3.91E-06

3.73E-06

3.56E-06

4.5

3.40E-06

3.24E-06

3.09E-06

2.95E-06

2.81E-06

2.68E-06

2.56E-06

2.44E-06

2.32E-06

2.22E-06

4.6

2.11E-06

2.01E-06

1.92E-06

1.83E-06

1.74E-06

1.66E-06

1.58E-06

1.51E-06

1.43E-06

1.37E-06

4.7

1.30E-06

1.24E-06

1.18E-06

1.12E-06

1.07E-06

1.02E-06

9.68E-07

9.21E-07

8.76E-07

8.34E-07

4.8

7.93E-07

7.55E-07

7.18E-07

6.83E-07

6.49E-07

6.17E-07

5.87E-07

5.58E-07

5.30E-07

5.04E-07

-258-


Phụ lục

Phụ lục 2

CÁC HÀM TÍN HIỆU VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER
2.1. MỘT SỐ HÀM THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG
Hàm chữ nhật đơn vị
1, 0

P(t) = 
0, nÕu kh¸c

1,
∏(t) = 
0,

1
2
nÕu kh¸c
t <

Hàm xung chữ nhật đơn vị độ rộng T
1, 0PT ( t ) = 
0, nÕu kh¸c
T

t <
 t  1,
∏  = 
2
 T  0,
nÕu
kh¸c


Dãy xung chữ nhật đơn vị chu kỳ T
t


x ( t ) = ∑ P  − nT  = ∑ PT ( t − nT )
T

 n
n

Sóng vuông đối xứng chu kỳ T biên độ ±A
t

x ( t ) = 2A ∑ P  − nT  − A = 2A ∑ PT ( t − nT ) − A
T


n
n

Hàm tam giác đơn vị
1 − t ,
Λ (t) = 
0,

t <1
nÕu kh¸c

Hàm tam giác đơn vị đáy 2T
 t
1 − , khi t < T
ΛT ( t ) =  T
0,
nÕu kh¸c



Hàm Dirac hay xung kim đơn vị
δ(t) = 0,
 +ε
 ∫−ε δ(λ).dλ = 1,

t≠0
∀sè thùc ε > 0

-259-


Phụ lục
Hàm lấy mẫu lý tưởng chu kỳ T
δT ( t ) = ∑ δ ( t − kT )
k

tương tự hàm δf(f)

δf ( f ) = ∑ δ ( f − kf )
k

Hàm bậc thang đơn vị
1, t > 0
U(t) = 
0, t < 0

Xung hàm mũ tắt dần
e − t ,


x ( t ) = e − t U ( t ) = 1/ 2 ,
0 ,


t>0
t=0
t<0

Xung hàm mũ tăng dần
t>0

e t ,

x ( t ) = e t U ( t ) =  12 ,
0,


t=0
t<0

Hàm dấu
1 ,
sgn ( t ) = 
−1,

t>0
t<0

Hàm Sinc đơn vị

Sinc ( x ) =

sin ( πx )
πx

Hàm sinh xg(t), để biểu diễn một chu kỳ T của hàm tuần hoàn xp(t)
 x p ( t ) ,
xg ( t ) = 
,
0

− T2 ≤ t ≤

T
2

nÕu kh¸c

có thể biểu diễn hàm tuần hoàn xP(t) theo hàm sinh xg(t) như sau:
x p ( t ) = ∑ x g ( t − nT ) = x g ( t ) ⊗ δT ( t )
n

Hàm tuần hoàn cắt ngắn:
 t 
x1 (t) = P 
 cos ( 2πft )
 mT 

là tích của hàm sin chu kỳ T với hàm chữ nhật đơn vị có độ rộng mT

-260-


Phụ lục
Hàm cosin tăng:
x1 ( t ) = Π ( t ) {1 + cos ( 2πt )}

là tích của hàm cosin đơn vị chu kỳ 1 đơn vị thời gian cộng 1 với hàm chữ
nhật đơn vị
2.2. BIẾN ĐỔI FOURIER
1. Đối với các hàm tuần hoàn xp(t) chu kỳ T0, nghĩa là xp(t) = xp(t+T0)
Chuỗi Fourier lượng giác:
Chỉ áp dụng cho các tín hiệu tuần hoàn giá trị thực
∞


n 
n 
x p (t) = A 0 + ∑ A n cos  2π t  + Bn sin  2π t 
n =1
 T0 
 T0 

trong đó:
n là số nguyên dương ;
A 0 = x p (t)


n 
A n = 2 x p (t) cos  2π t 

 T0 

n
Bn = 2 x p (t) sin  2π
 T0
x(t) =

1
T0

α+ T0

∫


t


x(t)dt , α là hằng số tùy ý

T0

Chuỗi Fourier cosin
Chỉ áp dụng đối với các tín hiệu tuần hoàn giá trị thực
∞


n
x p (t) = C0 + ∑ Cn cos  2π t + θn 
n =1

 T0


trong đó:
n là số nguyên dương ;
C0 = A 0 = x p (t)

Cn = A 2n + B2n
B 
θn = tan −1  n 
 An 

Chuỗi Fourier hàm mũ:
Áp dụng cho cả tín hệu tuần hoàn giá trị thực và giá trị phức.
x p (t) =

∞

∑

n =−∞

j2 π

x n .e

n
t
T0

=

∞

∑x

n =−∞

n

.e j2 πnf0 t

trong đó:
n là số nguyên bất kỳ
f 0 = T1 là tần số cơn bản;
0

-261-

(tổng hợp)


Phụ lục
x n là hệ số chuỗi Fourier phức của x(t), và
x n = x p (t) exp(− j2πnf 0 t)

(phân tích)

2.2.2. Đối với các hàm không tuần hoàn
Nếu tín hiệu x(t) thoả mã các điều kiện Dirichlet, thì tồn tại cặp biến đổi Fourier

X(f ) = FT [ x(t)] = ℑ [ x(t) ]

=

∞

∫ x(t)e

− j2 πft

dt,

( BiÕn ®æi Fourier thuËn )

−∞

x(t) = IFT [ X(t)] = ℑ

−1

∞

[ X(f )] = ∫ X(f )e j2 πft df , ( BiÕn ®æi Fourier ng−îc )
−∞

Nếu x(t) là tín hiệu thực, thì X(f) thoả mãn đối xứng Hermitran
X(−f ) = X* (f )

2.3. CÁC THUỘC TÍNH CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER
1. Tuyến tính

Nếu

X1 (f ) = ℑ[ x1 (t)] , vµ X 2 (f ) = ℑ[ x 2 (t)]

thì

ℑ [ a.x1 (t) + bx 2 (t)] = a.X1 (f ) + b.X 2 (f ), víi ∀a,b

2. Đối ngẫu
Nếu

X(f ) = ℑ[ x(t)]

thì

ℑ [ X(t)] = x(−f )

3. Dịch thời gian
Dịch thời trong miền thời gian dẫn đến dịch pha trong miền tần số
Nếu

X(f ) = ℑ[ x(t)]

thì

ℑ [ x(t − t 0 ) ] = e − j2 πft 0 .X(f )

4. Tỉ lệ
Dãn trong miền thời gian dẫn đến co trong miền tần số và ngược lại, nghĩa là
Nếu

X(f ) = ℑ [ x(t)]

thì

ℑ [ x(at) ] =

1 f 
X ,
a a

a≠0

5. Dịch tần và điều chế
Nhân tín hiệu với hàm mũ trong miền thời gian dẫn đến dịch tần của tín hiệu đó trong
miền tần số
Nếu

X(f ) = ℑ[ x(t)]

thì

ℑ  e j2 πf0 t .x(t) 

= X ( f − f0 )

-262-


Phụ lục

1
 X ( f + f 0 ) + X ( f − f 0 ) 
2

ℑ  x(t).cos ( 2πf 0 t )  =

6. Vi phân
Lấy vi phân tín hiệu trong miền thời gian dẫn đến nhân j2πf với phổ tần của tín hiệu
đó trong miền tần số.
Nếu

X(f ) = ℑ[ x(t)]

thì

 dx(t) 
ℑ

 dt 

= ( j2πf ) .X(f )

 dn

ℑ  n x(t) 
 dt


= ( j2πf ) .X(f )
n

7. Tích phân
Nếu

X(f ) = ℑ[ x(t)]

thì

t

ℑ  ∫ x(λ)dλ 
 −∞


=

1
X(0)
X(f ) +
δ(f )
j2πf
2

8. Tính tích chập và nhân
Tích chập của hai tín hiệu trong miền thời gian dẫn đến phép nhân phổ tần của hai tín
hiệu đó trong miền tần số và ngược lại.
Nếu
thì

X(f ) = ℑ [ x(t) ]

Y(f ) = ℑ [ y(t) ]

ℑ [ x(t) ∗ y(t) ]

= X(f ).Y(f )

ℑ [ x(t).y(t)]

= X(f ) ∗ Y(f )

9. Hàm phức liên hợp
Nếu

x(t) = ℑ−1 [ X(f ) ]

thì

x *(t)

= ℑ−1  X * ( −f ) 

10. Nhân với t n
Nếu

X(f ) = ℑ[ x(t)]

thì

ℑ  t n x(t) 

= ( − j2πf )

−n

d n X(f )
df n

11. Quan hệ Parserval
Nếu

X(f ) = ℑ [ x(t) ]

Y(f ) = ℑ [ y(t) ]

-263-


Phụ lục

thì

∞
∞
∗
x(t).y
(t)dt
=
X(f ).Y ∗ (f )df
∫
∫

−∞
 −∞
∞
∞

2
2.
x(t)
dt
=
X(f ) df
∫
∫
 −∞
−∞

quan hÖ Rayleigh

12. Một số lưu ý về tích chập
Hàm h(x) là tích chập của hai hàm f(x) và g(x) được định là:
∞

∞

−∞

−∞

h(x) = ∫ f (u )g( x − u )du = ∫ f ( x − u )g( x )du
h(x) = f(x)⊗g(x)

hay viết tắt là:
Các thuộc tính của tích chập:
√ hoán vị: f ⊗ g = g ⊗ h
√ liên hết: f ⊗ ( g ⊗ h ) = ( f ⊗ g ) ⊗ h

√ phân phối: f ⊗ ( g + h ) = ( f ⊗ g ) + ( f ⊗ h )
2.4. MỘT SỐ CẶP BIẾN ĐỔI FOURIER THƯỜNG GẬP
Miền thời gian

Miền tần số

Hàm xung khi Dirac, và dịch thời và dịch tần đối với hàm xung kim Dirac
δ(t)

1

1

δ(f )

δ(t − t 0 )

e− j2 πft 0

e j2 πft 0

δ ( f − f0 )

cos ( 2πf 0 t + θ )

1 jθ
 e δ ( f − f 0 ) + e − jθ δ ( f + f 0 ) 
2

sin ( 2πf 0 t )

1
 δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 ) 
2j 

Hàm sin

Hàm chữ nhật, và hàm chữ nhật độ rộng T
∏(t)

sinc ( f )

sin c ( t )

∏ (f )

t
P   , hay PT (t)
T

Tsinc ( f )

Hàm tam giác đơn vị và hàm tam giác đơn vị đáy 2T
Λ(t)

-264-

sin c 2 ( f )


Phụ lục
sin c 2 ( t )

Λ (f )

t
Λ   hay Λ T (t)
T

T sin c 2 ( fT )

e − at u −1 (t), a > 0

1
a + j2πf

t.e − at u −1 (t), a > 0

1

Hàm mũ

e

−a t

, a>0

( a + j2πf )
2a

a + ( 2πf )
2

e −πt

2

e −πf

2

2

2

Sinc
sin c ( 2Wt )

1
 f 
∏

2W  2W 

sin c 2 ( 2Wt )

1
 f 
Λ

2W  2W 

Hàm dấu Sign
sgn ( t )
1

πt

1

jπf

− jsgn ( f )

1/(π t)

Hàm bậc thang
u(t)

1
1
δ (f ) +
2
j2πf

δ '(t )

j2πf

δn ( t )

( j2πf )

Đạo hàm của hàm Dirac

n

Lấy mẫu
∞

∑ δ ( t − nT )

n =−∞

0

lÊy mÉu

1
T0

∞



n =−∞



n 

0 

∑ δf − T
lÊy mÉu

⇔ f0

-265-

∞

∑ δ ( f − nf )

n =−∞

0


Phụ lục
2.5. MỘT SỐ TÍCH PHÂN THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG
2.5.1. Các tích phân không xác định

∫ x dx = x / ( n + 1)

1
∫ x dx = log x
n +1

n

e

1

∫ exp ( ax ) dx = a exp ( ax )
1

∫ cos ( ax )dx = a sin ( ax )
1

∫ sin ( ax ) = − a cos ( ax )
1
∫ x exp ( ax )dx = a ( ax − 1) exp ( ax )
2

∫ x exp ( ax )dx = 2a exp ( ax )
1

2

2

2.5.2. Các tích phân xác định
∞

∫ sin c ( x )dx = 1/ 2
0

∞

∫ sin c ( x )dx = 1/ 2
2

0

∞

∫ exp ( −ax )dx = 1/ a
0

∞

∫ x exp ( − x )dx = 1/ 2
2

0

∞

∫ exp ( −ax )dx = 2
1

2

π / a,a > 0

0

∞

∫x
0

2

(

)

exp −ax 2 dx =

1
4a

π
,a > 0
a

-266-