Co ung dung chuong 3 kho tài liệu học tiếng anh

Chương III: Ứng suất và biến dạng

Chương III

Ứng suất và Biến dạng


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.2. Trạng thái ứng suất.
3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.5. Biến dạng
3.6. Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.1. Khái niệm

Chia vật bằng một mặt cắt và khảo sát tính chất của các lực tiếp xúc
truyền qua mặt này do phần tách ra tác động lên. Các lực tiếp xúc
phân bố khắp mặt cắt với chiếu và giá trị thay đổi, chúng được gọi là

ứng suất (hay ứng lực, sức căng) tại một điểm.

Ứng suất

(I)


pB

Ứng suất: nội lực tại điểm
Applied Mechanic


pB

(II)

B

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.1. Khái niệm

Xét một điểm M trên mặt cắt và một phân tố điện tích chung quanh
M: dF. Nếu gọi ứng lực trên dF là 𝑑𝑑𝑃𝑃 thì ứng suất 𝑝𝑝⃗ tại M trên mặt


phẳng vuông góc Oz là:
P1

p

τ

 dP
Khi dF→ 0
p=
dF

Ứng suất 𝑝𝑝⃗ được phân
thành 2 thành phần:

σ
τ

dP

M

P2

dF

i
P3

x

σ


O
 k
j

z

y

: Ứng suất pháp hướng theo pháp tuyến mặt cắt
: Ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt

* Ứng suất pháp: gây ra biến dạng dài
* Ứng suất tiếp: gây ra biến dạng góc
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.1. Khái niệm
Trong hệ trục Cartesian

như hình vẽ:





p = σ z k + τ zy j + τ zx i

P1

τ

P2

τ zx
i

P3

x



τ zy p
M

O
 k
j

σz
z

y

* Ứng suất pháp:σ z hướng theo phương z
* Ứng suất tiếp: τ zx hướng theo phương x
* Ứng suất tiếp: τ zy hướng theo phương y
Qui ước dấu của các thành phần ứng suất:
- Ứng suất pháp xem là dương khi vector biểu diễn nó cùng
chiều với pháp tuyến ngoài của mặt cắt.
- Ứng suất tiếp là dương khi vector biểu diễn nó cùng chiều
Ox, Oy.
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.2. Quan hệ Nội lực - Ứng suất
Mz
Qx
x

τ zy

Mx
C
My

( A)
Nz

Qy
y



R = ∫ p.dF
F

O


p

σz
z

z

τ zx
x

dF

y


 N z = ∫ σ z dF
F


Q y = ∫ τ zy dF
F

Q = τ dF
 x ∫ zx

F
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.2. Quan hệ Nội lực - Ứng suất
Mz

τ zy

Mx

( A)

C
My

Qx

Nz

y



M C = ∫ mC p.dF

(

σz
z

)

F

z

τ zx
x

Qy

x

O


p

dF

y


 M x = ∫ σ z ydF
F


 M y = − ∫ σ z xdF
F

 M = (−τ y + τ x)dF
zx
zy
 z ∫

F
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
Tổng quát: Tách một phân tố tại P bằng 6 mặt vi phân trực giao
với các trục tọa độ.

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
Trên 3 mặt vi phân dương có các vector ứng suất:

  
px , p y , pz

Mỗi vector này có ba thành phần
song song với ba trục tọa độ:


px (σ x ,τ xy ,τ xz )

p y (σ y ,τ yx ,τ yz )

pz (σ z ,τ zx ,τ zy )


pz


py


px

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
Ứng suất tại một điểm được đặc trưng bởi chín thành phần ứng
suất và chúng được viết dưới dạng Tensor:

 σ x τ xy τ xz 


T = τ yx σ y τ yz 
τ

τ
σ
zy
z 
 zx

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.1. Ứng suất
3.1.3. Các thành phần ứng suất
* Nguyên lý tương hỗ ứng suất tiếp
Trên hai mặt vi phân trực giao, các thành phần ứng suất vuông
góc với cạnh chung thì bằng nhau và có chiều cùng hướng vào
hoặc hướng ra cạnh chung đó.

=
τ xy τ=

τ=
τ zy
yx ;τ xz
zx ;τ yz
Khi đó tensor ứng suất là một tensor đối xứng, do đó trạng
thái ứng suất chỉ còn phụ thuộc 6 thông số:

 σ x τ xy τ xz 

T =
σ y τ yz 
 Sym
σ z 

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.2. Trạng thái ứng suất.

3.2.1. Phương chính và ứng suất chính 

Mặt chính: mặt cắt mà trên đó phương của p trùng với phương của n



Khi đó: - Phương của n được gọi là phương chính
- Ứng suất

σ n được gọi là ứng suất chính

Tại mỗi điểm của vật thể đàn hồi ta luôn tìm được ba phương
chính vuông góc nhau từng đôi một. Ứng với ba phương chính
ta có ba ứng suất chính: σ 1 > σ 2 > σ 3
Các ứng suất chính
này không phụ thuộc
việc chọn hệ trục tọa
độ
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.2. Trạng thái ứng suất.

3.2.2. Các trạng thái ứng suất
Nếu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho ba trục trùng với ba phương
chính:
σ1 0 0 


T =  0 σ2 0 

0 0 σ 
3


Trạng thái ứng suất Trạng thái ứng suất
đơn: có hai ứng suất phẳng: có một ứng suất
chính bằng không.
chính bằng không.

Trạng thái ứng suất
khối: ba ứng suất
chính đều khác không

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
Là trạng thái của điểm có vector ứng suất tổng luôn nằm trong
một mặt phẳng, với mọi mặt vi phân khảo sát.

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3. Trạng thái ứng suất phẳng
3.3.1. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ (//z)

y
y

τ xy

σx

u

v

σx
τ yx

z

σy

σu

τ uv

τ xy

v

α

u

x

x

τ yx

x

σy

HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng
Ứng suất pháp và tiếp trên mặt nghiêng:

σx +σ y

σ x −σ y

cos 2α + τ xy s in2α
σu = +
2
2
σ x −σ y
s in2α − τ xy cos 2α
τ uv
2

Tại mặt vuông góc với mặt có pháp tuyến u ( 900 + α )

σx +σ y

σ x −σ y

2

2

σv = −

σ x −σ y

cos 2α − τ xy s in2α

−
s in2α + τ xy cos 2α
τ vu =

2

Nhận xét:

(3.10)

σ u + σ v = σ x + σ y = const
τ uv = τ vu
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3.2. Ứng suất chính – Phương chính
Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng không. Để tìm mặt chính:

τ uv = 0

σ x −σ y

2τ xy
s in2α 0 − τ xy cos 2α
0 ⇒ tan 2α 0 = (*)
τ=
=
0

uv
2
σ x −σ y
 −1  2τ xy  
π
⇒ α 0  tan 
/2 ±


 σ − σ 
2

y 
 x
 Hai trị số α 0 khác biệt nhau 900  Hai phương chính
Thay vào

σ u , ta thu được các ứng suất chính

σ max=
min

σx +σ y
2

1
(σ x − σ y ) 2 + 4τ xy2
±
2

(**)
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

** Hai trường hợp đặc biệt
a. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

σ x = σ ; σ y = 0; τ xy = −τ
Thay vào (**) ta được:

σ max
min

σ

1
σ 2 + 4τ 2
=±
2 2

σ

τ

b. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

σ x = σ y = 0; τ xy = −τ
Thay vào (**) ta được:

σ max =
±τ hay σ 1 =
−σ 3 =
τ
min π
π
α2 = −
α1 =
4

Applied Mechanic

τ

4

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.3.3. Ứng suất tiếp cực trị
dτ uv
σ x −σ y



=0 =
s in2α − τ xy cos 2α 
τ uv
dα
2



σ x −σ y

σ x −σ y
⇔
−
2 cos 2α + 2τ xy sin 2α ⇒ tan 2α =
2
2τ xy
1
So sánh với (*), ta được: tan 2α = −
tan 2α 0
π
⇒ α = α0 +
 Mặt có ưs tiếp cực trị tạo với
4
0
Thay vào τ uv ta được:

τ max
min

mặt chính một góc 45

1
=
±
(σ x − σ y ) 2 + 4τ xy2
2
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.4.1. Cơ sở của phương pháp
σ x +σ y σ x −σ y
σu = +
cos 2α + τ xy s in2α
2
2
σ x −σ y
s in2α − τ xy cos 2α
τ uv
2

Chuyển vế

σx +σ y
2

qua trái, bình phương 2 vế, cộng 2 vế cho τ uv
2

Ta thu được phương trình vòng tròn Mohr ứng suất


σ u −

Tâm:

σx +σ y 

 + (τ =

uv )



2

( (σ

 σ x −σ y 

2

x

2

+ σ y ) 2;0

2

)

 σ x −σ y 
2
=
+
τ
Bán
kính: R


xy
2
Applied Mechanic


2

2

 + (τ xy )


2

Trục hoành:
Trục tung:

σ

τ

Tọa độ các điểm trên vòng tròn Mohr
ứng suất cho ta giá trị các ưs pháp và
ưs tiếp nằm trên những mặt khác nhau
HCM 08/2014
đi qua điểm có trạng thái ưs ta đang xét.
Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr
Cho một phân tố ứng suất. Biết: σ x , σ y ,τ xy
Tìm: σ max , σ min ,τ max ,τ min , các phương chính, ưs pháp, ưs tiếp tại
mặt nghiêng bất kì
-Dựng hệ trục tọa độ: σ Oτ

σx +σ y 
-Xác định tâm C vòng tròn: C 
;0 

 2
  σ − σ 2
x
y
2
R
τ
=
+
-Xác định bán kính R của vòng tròn:


xy
2


-Xác định điểm cực P: P (σ y ; −τ xy )
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
3.4.2. Cách vẽ vòng tròn Mohr
τ

τ max

τ max
σv

τ uv

τ vu

M

A σy

O

σu

I

σ min

σ min

−τ xy

τ min

C

α2

α
P

σu
σx

τ uv
B

σ max

σ

σ max

α1
J

τ min

 τ xy
α1 = tan 
 σ −σ
y
 max
−1






HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
Ví dụ:

y

σ y = −10

10

σ x = 18

v

18

600

u

6

τ xy = −6
x

α = −300
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng

3.4. TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị
Ví dụ:

σx +σ y

σ x −σ y

2
σ x −σ y

2

σu = +
=
τ uv

σ x = 18
σ = −10
 y

τ xy = −6
α = −300


2

s in2α − τ xy cos 2α

σx +σ y

σ max =σ j =
min

σ max

α1

k

cos 2α + τ xy s in2α

2

1
(σ x − σ y ) 2 + 4τ xy2

±
2

 τ xy
⇒ α1 =
tan 
 σ −σ
y
 max
−1





⇒ α 2 =α1 + 900
HCM 08/2014

Applied Mechanic

Hochiminh city University of Technology


Chương III. Ứng suất – Biến dạng
τ
σv
I τ
τ vu
max

9.1
−11.2 P

σ min

σ min

19.2

6

σv
−10−8.2

15.2

α2

α1

C
O

4

σ max

α = −300

−9.1 τ uv

τ uv

J

Applied Mechanic

σ

16.2
σ u 18 σ max

σu

v
u

τ min

HCM 08/2014
Hochiminh city University of Technology