Khảo sát hàm so 12 ( Nâng Cao)

Giải Tích 12 Chương 1 : Đ Ạ O H A ØM
    
I). Phương pháp tính đạo hàm bằng đònh nghóa :
• Tìm tập xác đònh D
⊂
R
• Cho x
0
∈ D số gia biến số ∆x . Tương ứng với số gia hàm số :
∆y =
0 0
( ) ( )f x x f x+ ∆ −
• Lập tỉ số
y
x
∆
∆
• Tìm giới hạn
0 0
0 0
0 0
( ) ( )
' ( ) ' ( )
lim lim
x x
f x x f x
y
y x f x
x x
∆ → ∆ →
+∆ −

∆
= = =
∆ ∆
II). Qui tắc tính đạo hàm :
• ( u ± v ) ‘ = u ‘ ± v ‘ • (k u )’ = k u ‘
• (u.v)‘=u’v+u v‘ • (u.v.w)‘= u’v.w + u.v’w + u.v.w‘
•
2
' '
( )'
u u v uv
v v
−
=
•
2
1 'u
u u
−
=
III). Công thức tính đạo hàm
HS Lũy thừa HS Lượng giác HS Mũ - Logarit
(x
n
)’ = n x
n-1
(sin x)’ = cos x (e
x
)’ = e
x

1
1
( ) '
n n
n
x x
+
−
=
(cos x)’ = – sin x (a
x
)’ = a
x
ln a
2
1
)'
1
(
x
x
−=
(tg x)’ =
x
2
cos
1
= 1+tg
2
x

(ln x )'
=
(ln x )'
=
x
1
1
( ) '
2
x
x
=
(cotg x)’=
2
1
sin x
−
=– (1+cotg
2
x)
(log
a
x)’=
alnx
1
IV). Đạo hàm hàm số hợp Cho hai hàm số y =y(u) là hàm số y theo
biến u và u = u(x) là hàm số u theo biến x . ta có công thức tính đạo
hàm của hàm số hợp y theo x như sau :
y’
x

= y‘
u
. u’
x
 Bảng công thức tính đạo hàm hàm số hợp
(u
n
)’ = nu’u
n-1
(sin u)’ = u’ . cos u (e
u
)’ =u’. e
u
1
1 . '
( ) '
n n
n u
u u
+
−
=
(cos u)’ = – u’.sin u (a
u
)’ = u’a
u
ln a
2
1 '
( )'

u
u u
= −
(tg u)’=
2
'
cos
u
u
=u’.(1+tg
2
u)
(lnu )' (ln u )'=
=
'u
u
'
( ) '
2
u
u
u
=
(cotg u)’=
2
'
sin
u
u
−

= –u’(1+cotg
2
u) (log
a
u)’ =
'
ln
u
u a
• Chú ý : Trong các công thức tính đạo hàm theo biến số x ta có thể suy ra
công thúc tính đạo hàm của hàm số hợp theo u như sau : khi thay biến
số x

u thì vế phải nhân thêm cho u ‘
• Nếu thay x
→
u = ax + b thì vế phải nhân cho a
V).Đạo hàm bậc 2 – bậc cao – vi phân :
 Đạo hàm của đạo hàm bậc nhất f ’(x) là đạo hàm bậc 2 của hàm
số y = f(x) . Kí hiệu là y “= f”(x)
 Đạo hàm bậc n kí hiệu là y
(n)
= f
(n)
(x)
 Vi phân hàm số bằng đạo hàm nhân vi phân biến số : dy =
y’. dx
VI). Phương trình tiếp tuyến
 Hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại M(x
0

; y
0
) là giá trò đạo hàm tại x
0
 Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f(x) tại điểm M (x
0
; y
0
) ∈ (C) là
y – y
0
= f‘(x
0
).( x – x
0
)
+ M (x
0
; y
0
) gọi là tiếp điểm
 Chú ý Khi viết phương trình tiếp tuyến (C) ta cần tính 3 giá trò x
0
; y
0
và
f’(x
0
) . nếu chi 1 trong các giá trò trên ta sẽ suy ra các giá rò còn lại
(1) Đạo hàm các hàm số lũy thừa :

(a)
3 2
1 1
2 1
3 2
y x x x= − − +
. Tính y’(– 1) ; tìm x để f’(x) = 0
-1- - 2 -
(b)
2 2
(1 )y x= −
. Tính y’(
1
2
) ; tính đạo hàm của y‘.
(c)
2 1
1
x
y
x
+
=
−
. Tính y’(1) ; y’(2)
(d)
2
3 6
1
x x

y
x
− + −
=
−
. Tính y‘(–2) ; Giải phương trình f’(x)=0
(e)
1 1
1
2 2 1
y x
x
= + −
+
;
2
1
1
x
u
x x
+
=
+ +
;
2 3
1 2 3
v
x x x
= + −

(f)
3
4
y x x x= − +
;
1 1
2
y x x
x
x
= − +
;
3
. .v x x x=
(g)
2
( )y x x= +
;
3
1
( )v x
x
= +
; 1 2w x x= + + −
(h)
2 2
(1 )y x x= + +
;
2 3 4
( 1)(2 3)(2 5 )u x x x= − + −

(2)* Tính các đạo hàm có chứa tham số :
(a)
3 2 2
2 1y mx x mx m= + + + −
. Tìm m để đồ thò cắt trục hoành tại điểm
M có x
0
= - 1 . Khi đó giá trò đạo hàm tại x
0
(b)
2
1
1
x mx
y
x
+ +
=
−
. Tìm m để phương trình y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt .
Khi m = 1 tính 2 nghiệm đó
(c)
3 2
y x x mx 3= − + −
. Tìm m sao cho y’(x)>0
x R∀ ∈
. Tìm m để
phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm dương
(d)
4 2 2

y x ax a 1= − + +
. Tìm a để phương trình y’= 0 có 3 nghiệm
(3) Dùng qui tắc đạo hàm hàm số hợp
[a]
2 10
(3 1)y x= −
[b]
2
2 5y x x= + +
[c]
3 3 2
4y x x= − +
[d]
4 2 3
( 1)( 1)y x x= − +
[e]
2 5
( 1)y x= + [f]
2
(1 ) 2y x x= − +

[g]
2
1
2 3
y
x x
=
− −
[h]

2
1
(1 )
y
x
=
−
[i]
2
1
2 1
y
x
=
+

[j]
2 2
3 2
(1 )(1 )
( 1)
x x
y
x
+ −
=
+
[k]
2
1

x
y
x
+
=
−
[l]
1
1
x
y
x
−
=
+
[l]
y a x b= + −
[m]
2
y x x m= + +
[n]
2
1y x x x= + − +
(4) Đạo hàm các hàm số lưọng giác
(a)
2
1
sin cos 2
2
y x x x= −

. Tính y(
2
π
) ; y’(
π
)
(b)
0 3 0 2
sin( ) ; v cos(2 45 ) ; w=tg ( 3 ) ; z=cotg(60 )
4 2 2
x
u x x x
π π
= − = − − −

(c) y = sin2x + cos2x + tg2x + cotg 2x . Tính y(
3
π
) ; y’(
8
π
)
(d)
x x x
sin + cos + tg + cotg
2 3 4 5
x
y =

(e)

2 2 2 2
sin ; v cos ; w ; z =cotg x u x x tg x= = =

(f)
4 2 3 2 2
sin ; v cos ; w ( +1) ; z =cotg ( )
2
x
u x tg x x a= = = +

(g)
1 1
; v= sinx cos ; w=tg x cot
sin cos
u x g x
x x
= + + +
(h)
( ) sin(cos ) cos(sin ) ; g(x)=tg(sinx)+cotg(cosx)f x x x= +

(i)
5 4
sin .cosu x x= ;
2 3
sin 3 .cos 2v x x= ;
2
1 cos
2
x
w = +

(j)
32 2 2 2 2
(cos sin ) ; v=(tg2x+cotg2x) ; w cotu x x g x a= − = +
[k]
sin cos
sin cos
a x b x
y
c x d x
+
=
+
[l]
2 2
1
sin .cos
2 2
y
x x
=
[m]
2
2
2
1
2
x
tg
y
x

tg
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 
[n]
2
sin ( 2 )y m x= −
[o]
sin 2 cos 2
m m
y x x= +
[p]
sin .cos
m n
y x x=

[q]
cot
k k
y tg ax g ax= +
[r]
(sin ) (cos )y tg x cotg x= +
[s]
sin( ) cos(cot )y tgx gx= +
(5)Tính đạo hàm các hàm số sau : ( hs mũ –logarit )
(a)

2
( 2 3)
x
y x x e= − +
;
(sin cos )
x
u x x e
−
= −
; 2 3 10
x x x
v = + +
(b)
2 1
x
y e= +
;
2
sin
x
u e x=
;
2
sin sin
; w = 2
x x x
v e e= +

(c)

2
1 1
; u =
x x
x
x x x x
e e
y e
e e e e
−
−
−
= − +
+
;
1
2
3
1 1
; w =
x
x
x x
v e
e e
+
+
= −

(d)

2 2
y x ln x xln x= +
; ln lnu x x= + ;
2
x
y ln ln x
2
= +

(e)
2 2
ln
ln(ln ) ; u = 1+ln2x ; w= x .ln 1
x
y x x
x
= + +

(f)
2 2
2 x
f(x) = x lgx + log ; g(x) = log (2 1)x x +
(g)
2
2
ln 1 cos
; u=ln(x+ 1) ; v =ln tg
ln 1 2 sin
x x x
y x

x x
−
= + −
+

[h]
sin(ln ) cos(ln )y x x= +
[i]
ln(sin ) ln(cos )y x x= +
[j]
1
ln
1
x
y
x
−
=
+
[k]
4
ln
2
x
y
x
−
=
−
[l]

1 sin
ln
cos
x
y
x
+
=
(6) Tính các giá trò đạo hàm và đạo hàm cấp cao :
(a)
1
y
x 1
=
+
. Tính y’(2) ;
( 5 )
y ( 2 )−
(b) y =
2
1
1
x x
x
+ +
+
. Tính y‘ (–1 ) ; y ‘’(1) ; y’’’(0)
(c)
x
y sin 2x sin

2
= +
. Tính
y( ) ; y'( ) ; y''( )
2 3
π π
π
(d) y = tg x + cotgx . Tính y(
3
π
) ; y ’
( )
4
π
; y’’(
6
π
)
(e)
lny x x=
. Tính y (e
2
) ; y’’ (e)
(f) y = x e
x
. Tính y (1) ; y ‘’ (0)
(g)
3 2
1
y x 3x 5x 1

3
= − + +
. Tìm x sao cho y’(x) > 0 và y ‘’(x) <0
(h)
2
y=x 1 x+
. Tính y’(0) và y’’(1)
(7) Chứng minh các hệ thức về đạo hàm :
(a)
2
ad-bc
y' =
(cx+d)
ax b
y
cx d
+
= ⇒
+
(b)
2 2
2
adx +aex+(be+cd)
y' =
(dx+e)
ax bx c
y
dx e
+ +
= ⇒

+

(c)
2 2
2 2
1
ln( ) y' = y x x a
x a
= + + ⇒
+
(d)
2
2
1 -a
ln (x 0 ; a>0) y' =
x a
y
x
x x a
+ +
= ≠ ⇒
+
(e) y = x cosx . CMR : x y – 2(y’ – sinx) + x y’’ = 0
(f) y = e
-x
sinx . CMR : 2 y + 2 y’ + y’’ = 0
(g) y= 4cos
3
x - 3cosx CMR : y’ = - 3 sin3x
(h) y = xtg x . CMR : x

2
y’’ –2 (x
2
+y
2
)(1+y) = 0
(i)
sin x
y e=
CMR : y’ cosx – y sinx – y’’ = 0
(j)
2
x 1
y CMR 4y' ( 2 y 1 )y''
2x 1
+
= = −
−
 Bài tập nâng cao
(8) Chứng minh các biểu thức sau :
(a)
2 2
2 2 2
(ab'-ba')x +2(ac'-ca')x+bc'-cb'
y' =
' ' ' ( ' ' ')
ax bx c
y
a x b x c a x b x c
+ +

= ⇒
+ + + +
(b)
2 2
4
2
2 1 2 2(x -1)
ln y' =
1
2 1
x x
y
x
x x
− +
= ⇒
+
+ +
(c)
sin
cosa
2
ln y' =
sin sin
cos
2
x a
y
x a
x a

−
= ⇒
+
−
(d)
2
( )(1 sin )
1
4 2
y' =-
sin sin
x
tg x
y
x x
π
− +
= ⇒
(e)
1 1 1 1 1 1 1
cos x (0; ) y' = - sin
2 2 2 2 2 2 2 8 8
x
y x
π
= + + + ∀ ∈ ⇒

(f)
2 3
y 2x x CMR : x+yy'+y y'' 0= − =

(g)
1
1 ln
y
x x
=
+ +
CMR : xy ‘ = y.(ylnx –1 )
(h) y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR : x
2
y’’ + x y ‘ + y = 0
(i)
5
1
y CMR : y''+y = 3y
cos 2x
=
(j)
2
2 2
x x
y x 1 ln x x 1 CMR : 2y=xy'+lny'
2 2
= + + + + +
(9) Giải phương trình có chứa đạo hàm :
(a)
2
1
.cos

2
x
y x
−
=
. Giải PT : y – ( x – 1). y’ = 0
(b) y = (x+1)sinx + cosx . Giải PT : y’ = 0
(c)
2
sin cos 2 1y x x x= + + +
Giải PT : y’ = 0
(d) y = 2x
2
+ 16cosx – cos2x . Giải PT : y ‘’ = 0
(e)
2
2
( 1) 1 8
3
y x x x x= − − − +
. Giải BPT :
' 0y ≤
(10) Cho hàm số :
2
1y x x= + +
(a) Tìm tập xác đònh của hàm số .
(b) CM Rằng :
2
2 1 . 'y x y= +
(c) Suy ra : 4 (1 + x

2
) y‘’ + 4x. y’ – y = 0
(11) Tìm hoặc chứng minh đạo hàm cấp n (bằng phương pháp qui nạp)
(a)
( )
( ) ( 1)( 2).....( 1)
m n m n
x m m m m n x
−
= − − − +
(b)
1
( )
( 1) ( 1)!
(ln )
n
n
n
n
x
x
−
− −
=
(c)
( )
(sin ) sin( )
2
n
x x n

π
= +
;
( )
(cos ) cos( )
2
n
x x n
π
= +

(d)
2 (n) 2
y [ 2 ( 1)].
x x
y x e x nx n n e= ⇒ = + + −

(e) Tìm A,B sao cho
2
1
3 2 2 1
A B
y
x x x x
= = +
− + − −
. Suy ra y
(n)

(f)

2
3
2
1 3 2
y = ; ; y = cos
1 2 1
x x
y x
x x x
− +
=
− + −
( chỉ đưa ra dự đoán biểu
thức y
(n)
không cần chứng minh qui nạp )
(12) Tính các đạo hàm (bằng cách lấy logarit Neper 2 vế hoặc đổi cơ số )
(a)
2
2 1
log ( 1)
x
y x
+
= +
;
sin
log (cos 1)
x
u x= +

(b)
2 sin cosx x
( 1) ; u = (sinx) ; v = x
x
y x= +

(c)
x
sin
2
1 cos x
; u = ; v =( 1+2)
1 cos 1+x
x
x
e
x
y x
x
 
−
 
= +
 ÷
 ÷
 ÷
+
 
 
 Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C) tại điểm

M thuộc (C):
y – y
0
= f‘(x
0
).( x – x
0
) (1)
Trong phương trình tiếp tuyến có 3 đại lượng cần tìm là x
0
, y
0
và f‘(x
0
)
 Cho hoành độ tiếp điểm x
0
⇒ Tính y
0
và f ‘ (x
0
)
 Cho tung độ tiếp điểm y
0
⇒ Tìm x
0
và f ‘ (x
0
)
 Cho hệ số góc tiếp tuyến k ( hay là tiếp tuyến // hoặc

⊥
một đường thẳng
khác ) . Ta có phương trình k = f’(x
0
) (gọi là phương trình hoành độ
tiếp điểm). Giải phương trình ta tìm được nghiệm x
0
. Suy ra và y
0
. Sau
đó thế vào phương trình (1)
 Chú y ù: Số nghiệm x
0
là số tiếp tuyến tìm được có hệ số góc k .Nếu phương
trình vô nghiệm thì không có tiếp tuyến nào .
 Hai đường thẳng song song ⇒ Hai hệ số góc bằng nhau k = k’
 Hai đường thẳng vuông góc ⇒ Tích 2 hệ số góc k.k’= – 1
∗Ví dụ : Viết phương trình của (C) :
2
y x 4x 3= − +
:
(a) Tại điểm có hoành đo ä x
0
= – 1
(b) Tại điểm có tung độ y
0
= 0
(c) Biết kệ số góc k = 6
Giải (a) Ta có x
0

= – 1 ⇒ y
0
= 8
Đạo hàm là y ‘ (x) = f(x) = 2x – 4 ⇒ y’(–1) = – 6

Vậy phương trình tiếp tuyến là y– 8 = – 6(x+1) ⇒ y= – 6x + 2
(b) Biết tung độ y
0
= 0 ta có phương trình hoành độ giao điểm là :

2
x 4 x 3− + = ⇒ x
1
= 1 và x
2
= 3 ⇒ f’(1) = – 2 và f’(3) = 2
Ta có 2 phương trình tiếp tuyến là
+ y – 0 = –2( x – 1) ⇒ y = – 2x + 2
+ y – 0 = 2( x – 3) ⇒ y = 2x – 6
(c) Biết hệ số góc k = 4 . Ta có phương trình hoành độ tiếp điểm :
2x – 4 = 6 ⇒ x
0
= 5 ⇒ y
0
= 8
Phương trình tiếp tuyến là y – 8 = 6 ( x – 5) ⇒ y = 6x – 22
(13) Viết phương trình tiếp tuyến (PTTT) với đồ thò (C) :
(a)
3
y x x= −

tại điểm M∈(C) , biết
i) M( 2 ; 6) ii) M có hoành độ bằng 1
iii) M trên trục tung iv) M trên trục hoành
(b)
2
3 2
1
x x
y
x
− +
=
+
tại giao điểm (C) và trục hoành
(c)
4 2
y = x 2x
−
+ tại điễm có tung độ bằng 1
+ song song với trục hoành
(d)
2
1y x= +
tại điểm M
0
∈ (C) có tung độ
0
2y =
(e) y = xln x biết hệ số góc tiếp tuyến k = 1
(f) y = sin

2
x tại điểm có hoành độ x =
6
π
(g)
3 2
1
1
3
y x x= − +
biết tiếp tuyến ⊥
1
2
3
y x= − +
(CĐTCKT4_2004)
(h) Tìm trên
2
x 3x 6
y
x 1
+ +
=
+
các điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng
1
y x
3
=

(CĐĐiệnLực2006)
(14) Cho hàm số : y =
1
3
x
x
+
−
có đồ thò (C)
(a) Lập PTTT với (C) vuông góc đường thẳng (D) :
2006y x= +
(b) Tìm điểm M trên (C) để tiếp tuyến tại đó song song (D’) 2x+y–4 =0
(15) Cho hàm số :
2
x x 1
y
x 1
+ +
=
+
có đồ thò (C)
(a) Viết PTTT song song đường thẳng (D) : y = – 3x
(b) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là những số nguyên .Viết PTTT
của (C) tại các điểm đó .
 Bài tập nâng cao
(16) Cho hàm số
3 2
3 9 5y x x x= + − +
có đồ thò (C)
(a) Tìm giao điểm của (C) và trục hoành . Viết PTTT của (C) tại các

điểm đó
(b) Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thò hàm số , hảy tìm tiếp tuyến có
hệ số góc nhỏ nhất
(17) Cho hàm số :
2
x mx 3
y
x 1
+ +
=
+
có đồ thò (C)
(a) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương
(b) Khi m = 0 viết PTTT (C) vuông góc (d) : x- 3y -1 = 0ù
(18) Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ của (C) :
1
y
x
=
cắt 2 trục tọa độ
tại A và B thì diện tích tam giác OAB không đổi .
(19) Đònh m để (C) :
2
2 1y x mx= − +
cắt trục hoành tại 2 điểm mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với nhau .
(20) Cho điểm M
∈
3 2
m

1 m 1
( C ) : y x x
3 2 3
= − +
có hoành độ –1. Tìm m để
tiếp tuyến tại điểm M song song đường thẳng 5x– y = 0 (KhốiD 2005)
(21) Cho hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
− +
=
−
. Tìm 2 điểm A , B thuộc đồ thò hàm số sao
cho tiếp tuyến tại A,B của đồ thò song song với nhau và độ dài đoạn AB
ngắn nhất .
    
Chương 2 :ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Bài 1 Tính đơn điệu của hàm số
 Điều kiện cần :
• f(x) đồng biến (tăng) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 , ∀x ∈ (a,b)
• f(x) nghòch biến (giảm) trên (a,b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 , ∀x ∈ (a,b)
(Hàm số đồng biến hay nghòch biến trên (a,b) gọi là hs đơn điệu )
• f(x) không đổi trên (a,b) ⇔ f ’(x) = 0 , ∀x ∈ (a,b) (hàm hằng)

 Điều kiện đủ :

 f’(x) > 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) đồng biến (a,b)
 f’(x) < 0 , ∀x ∈ (a,b) ⇒ f (x) nghòch biến trên (a,b)
Chú ý : Nếu đạo hàm ≥ 0 ( hoặc ≤0) và dấu = chỉ xảy ra tại một số
điểm hữu hạn trên D thì hàm số sẽ Đbiến ( hoặc Nbiến ) trên D
 Điểm tới hạn : x
0
của hàm số f (x) là các điểm mà tại đó đạo hàm
f’(x
0
) = 0 hoặc f ‘ (x
0
) không xác đònh .
 Phương pháp giải toán :
Loại 1 :Xét tính đơn điệu của hàm số (hay tìm khoảng ĐB,NB)
• Tìm tập xác đònh D của hàm số
• Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x)
• Tìm các điểm tới hạn x
1
; x
2
; x
3
. . . .
• Lập bảng xét dấu f ‘(x) (sau nầy còn gọi là bảng biến thiên )
• Dựa vào bảng trên kết luận khoảng đồng biến Z , nghòch biến ]
 Chú ý : khi xét dấu đạo hàm ta thường gặp nhò thức bậc nhất hoặc tam
thức bậc 2 . Ngoài ra có 2 trường hợp đặc biệt sau đây :
 Nếu là f ’(x)= đa thức bậc 3. thì khoảng nghiệm gần +
∞
thì f’(x) sẽ

cùng dấu ax
3
 Khi xét dấu của hàm vô tỉ, siệu việt, lượng giác . . . Nên áp dụng tính
chất của hàm liên tục để nhẩm dấu trên khoảng : “ Nếu g(x) không
triệt tiêu trên (a ; b) thì nó mang 1 dấu trên khoảng đó “

⇒
Lấy một giá trò bất kỳ trên khoảng và đònh dấu >0 hay <0
 Loại 2 : Đònh tham số m để hàm số luôn đồng biến (hoặc
nghòch biến ) trên R :
Nếu y’= g(x) = ax
2
+ bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức g(x)
 Hàm số luôn đồng biến trên R
g(x)
0
g(x) 0 , x
0
a
R
>

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

 Hàm số luôn nghòch biến trên R
g(x)
0
g(x) 0 , x

0
a
R
<

⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

 Loại 3 : Đònh tham số m để hàm số đơn điệu trong một
khoảng cho trước : loại nầy thường dẫn đến bài toán so sánh một số
α
( hoặc hai số
α
và
β
) với các nghiệm x
1
và x
2
của tam thức bậc hai
g(x) = ax
2
+ bx + c ( thường thì g(x) = f ‘ (x) )


Nhắc lại một số kiến thức về so sánh 1 số cho trước với nghiệm
số của tam thức bậc 2 : f(x) = ax
2
+bx + c

• x
1
<
α
< x
2

⇔
a.f(
α
) < 0 •
1 2
af( ) 0
x
af( ) 0
x
α
α β
β
≤

≤ < ≤ ⇔

≤

•
α

≤
x

1
< x
2
α
α


∆ >

⇔ ≥



− >

0
. ( ) 0
0
2
a f
S

•


x
1
< x
2
≤

α

α
α


∆ >

⇔ ≥



− <

0
. ( ) 0
0
2
a f
S

• x
1

≤


α
< x

2
≤

β

α
β
≤

⇔

≥

. ( ) 0
. ( ) 0
a f
a f

•



α
1

≤
x
1
<
β

< x
2
α
β
≥

⇔

<

. ( ) 0
. ( ) 0
a f
a f
• f(x)có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm
∈
(
α
;
β
)
⇔
f(
α
).f(
β
) <0

•
α

< x
1
< x
2
<
β


α
β
α β
∆ >


>


⇔

>


< <


0
. ( ) 0

. ( ) 0
2

a f
a f
S

(22) Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
[a]
3 2
5 1y x x x= + − −
[b]
3 2
2y x x x= − + −
[c]
2
( 1)( 1)y x x x= − + +

[d]
= −
2 4
1 1
2 4
y x x
[e]
= + −
4 2
2y x x
[f]
= − +
2 2
(1 )(1 )y x x

[g]
− + +
=
−
2
3 3
2( 1)
x x
y
x
[h]
= − −
−
4
2 1
1
y x
x
[i]
− −
=
−
2
3 1
3
x x
y
x

[j]

+
=
−
2
2
x
y
x
[k]
= +
−
1
3
1
y
x
[l]
=
−
4
1 2
y
x
[m]
= + −
4 3
1 1
2
4 3
y x x x

[n]
− +
=
+ +
2
2
1
1
x x
y
x x
[o]
+
=
+
2
1
1
x
y
x
(23)Tìm khoảng đồng biến và nghòch biến của hàm số :
[a] y = x e
x
[b]
2
.
x
y x e
−

=
[c]
2
4ln( 1)y x x= − −

[d]
=
ln
x
y
x
[e]
π
= + ∈cos2 x (0; )
2
y x x


[f]
s 2 6sin 2 x (0; )y in x x x
π
= − − ∈
[g]
3
sin xy x= +

[h]
cot x ( ; )
2 2
y tgx gx

π π
= + ∈ −
[i]
1 3y x x= + + −

[j]
= + −
2
3 4y x x
[k]
+
=
+
1
3
x
y
x
[l]
= − +
2
4 5y x x

[m]
= +
2
ln( 1)y x
[n]
π
= + ∈2sin sin 2 x (0;2 )y x x

(24) Đònh tham số m . . để hàm số sau thỏa điều kiện đơn điệu :
[a]
3 2
2 3 3y x x mx= + + −

i) Đồng biến trên R
ii) Đồng biến trên (1 ; +∞)
iii) Nghòch biến trên ( - 2 ; 1)
[b]
2
1
x x m
y
x
− + −
=
−

i) Nghòch biến trên từng khoảng xác đònh
ii) Đồng biến trên (1 ; 2)
[c]
1x
y
x m
−
=
−

i) Đồng biến trên các khoảng xác đònh
ii) Đồng biến trên ( – 1 ; 2)

[d]
4 2
2y x mx m= − +
i) Nghòch biến khi x < – 1
ii) Đồng biến trên ( – 1 ; 2)
[e]
+
=
+
2
1
x a
y
x
luôn đồng biến trên tập xác đònh
 Bài tập nâng cao
(25) Đònh m để hàm số :
= − − + − −
3 2
(2 1) ( 2) 2y mx m x m x
luôn đồng
biến trên R .
(26) Đònh a để hàm số :
+ −
=
+
2
6 2
2
ax x

y
x

[a] Đồng biến trên từng khoảng xác đònh
[b] Nghòch biến trong khoảng (1;+
∞
)
(27) Đònh m để hàm số :
= + −
4 3 2 2
1 1
4 3
y x x m x
(a) Nghòch biến trên (–
∞
; – 1)
(b) Nghòch biến trên ( 1 ; 2 )
(28) Đònh m để hàm số sau thỏa điều kiện :
(a)
3 2
3y x x mx m= + + +
nghòch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
(b)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +

=
−
đồng biến trên ( 1 ; +∞)

(c)
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1y x m x m m x= − − + − +
đồng biến trên tập hợp các giá trò
của x sao cho
1 2x≤ ≤

(d)
2 3 2
( 5 ) 6 6 6y m m x mx x= − + + + −
đơn điệu trên R . Khi đó hàm số
đồng biến hay nghòch biến .
(e)
2 3 2
( 1) 2 ( 2)m x mx m m
y
x m
+ − − − +
=
−
luôn nghòch biến trên các khoảng
xác đònh của hàm số
(f)
2
1
1

x mx
y
x
+ −
=
−
đồng biến trên (–∞;– 1) và (1 ; +∞)
(29) Đònh a để hàm số :
= − − +
2
y x x x a
nghòch biến trên R
(30) Dùng tính đơn điệâu để chứng minh bất đẳng thức :
[a]
≥ − ∀ >cos 1 ( 0)x x x
[b]
x (0; )
2
tgx x
π
> ∈

[c] e
x
> 1 + x (∀x∈ R) [d]
2
ln(1 )
2
x
x x x− < + <

[e]
1 1 1
ln
1
x
x x x
+
< <
+
[f] x+y = 1 thì
4 4
1
8
x y+ ≥

(31) (a) Chứng minh rằng
− ≤ ∀ ∈
2
2 3
(1 ) x (0;1)
9
x x

(b) Từ đó chứng minh rằng : nếu a,b,c >0 và a
2
+ b
2
+ c
2

=1 thì

+ + ≥
+ + +
2 2 2 2 2 2
3 3

2
a b c
b c c a a b
 Đáp số : [B24]
4 7 7
( ) i). m ii). m iii). m
9 3 3
a ≥ ≥ − ≤ −

( ) i). m 0 ii). 0 < m < 1b ≤

( ) i). m 1 ii). m 1c < ≤ −

( ) i). 1 ii). m 4 d m ≤ ≥
[B25] [B29] Không tồn tại giá trò a
[B26]
7 14
( ) 0 < a (b). a
2 5
a ≤ ≤ −
[B27]
( ) m = 0 (b). m 3 v m 3a ≤ − ≥
[B28]

9
( ) m= (b). m 2 3 (f) m 0
4
a ≤ − ≤

Bài 2 Cực Trò của hàm số
 Đònh nghóa :
 Hàm số đạt cực đại tại x
0
⇔ f(x) < f(x
0
) (∀ x ∈ V= lân cận
x
0
 Hàm số đạt cực tiểu tại x
0
⇔ f(x) > f(x
0
) trừ ra điểm
x
0
)
 Chú ý Gọi chung là f (x) đạt cực trò tại x
0
; x
0
gọi là điểm cực đại
hay cực tiểu của hàm số . Giá trò cực đại và cực tiểu f(x
0
) tương ứng

gọi là cực trò của hàm số . Kí hiệu y
CĐ
, y
CT
.
 Minh hoạ tính đơn điệu ,cực trò bằng đồ thò
 Hàm số đồng biến trên (a ,b) và (c ; d)
 Hàm số nghòch biến trên (b ; c )
 Hàm số đạt cực đại tại x
1
= b và đạt
cực tiểu tại x
2
= c
• Đònh lý Fermat (Điều kiện cần ) Nếu f có đạo hàm tại x
0
và f đạt cực
trò tại x
0
thì f ‘(x
0
) = 0
• Điều kiện đủ 1 : Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm trên một vùng lân
cận x
0
và f ’(x) đổi dấu khi qua x
0
thì f đạt cực trò tại x
0
. Cụ thể :

∗ Từ dấu (+) → (– ) thì f đạt cực đại tại x
0

∗ Từ dấu (– ) → (+) thì f đạt cực tiểu tại x
0

• Điều kiện đủ 2 : Nếu hàm số y= f(x) có f ’’(x) liên tục tại x
0
và f ’(x
0
) =
0 ; f’’(x
0
) ≠ 0 thì x
0
là điểm cực trò của hàm số :
∗ Nếu f ’’(x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0

∗ Nếu f ’’(x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0

• Chú ý : điều kiện f ’(x
0
) = 0 , chưa đủ kết luận x
0

là điểm cực trò mà phải
xét dấu f’(x) khi qua x
0
(Dấu hiệu 1) hoặc đònh dấu giá trò của f ’’(x
0
)
(Dấu hiệu 2)

 Phương pháp tìm cực trò của một hàm số:
 Qui tắc 1 ( dùng đạo hàm bậc nhất )
• Tìm tập xác đònh D của hàm số
• Tính đạo hàm bậc nhất f ’ (x)
• Tìm các điểm tới hạn x
1
; x
2
; x
3
. . . .
• Lập bảng biến thiên để xét dấu f ‘ (x)
• Kết luận các điểm cực đại CD ]Z và điểm cực tiếu CT] Z
 Qui tắc 2 ( dùng đạo hàm bậc hai )
• Tìm tập xác đònh D của hàm số
• Tính đạo hàm bậc nhất f ’(x)
• Giải phương trình f ‘ (x) = 0 tìm các nghiệm : x
1
; x
2
; x
3

. . . .
• Tính f ‘’ (x )
• Đònh dấu f ‘’(x
1
) ; f ‘’(x
2
) ; f ‘’(x
3
) . . . .
• Kết luận điểm cực đại f ”(x) < 0 và cực tiểu f ” (x) >0
 Đặc Biệt :
 Cực trò của hàm hửu tỉ : Nếu hàm số hữu tỉ :
( )
( )
( )
u x
y f x
v x
= =
đạt
cực trò tại x
1
thì giá trò cực trò tương ứng là
1
1
1
'( )
( )
'( )
u x

f x
v x
=

 Cực trò của hàm bậc 3 : Nếu hàm số bậc 3 : y = ax
3
+bx
2
+cx + d
có 2 điểm cực trò x
1
và x
2
.
 Giả sử khi chia đa thức bậc 3 là y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cho đạo hàm
y’= 3ax
2
+2bx +c được thương q (x) và phần dư r(x)= kx+ m
 Ta viết : y = y’. q(x) + r(x) .
 Nếu hàm số đạt cực trò tại x
1
thì y’(x
1
) = 0
⇒
y

1
= r(x
1
) và tương tự
cho y
2
=r(x
2
)
 Do đó phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trò của đồ thò hàm
số bậc 3 là phần dư : y = r(x) = kx + m
•Chú ý : Nếu y’= g(x) = ax
2
+ bx + c hoặc dấu y’ tùy thuộc tam thức
g(x) . Điều kiện hàm số có cực trò
g(x)
0

0
a ≠

⇔

∆ >

Phương pháp tìm tham số m để hàm số đạt cực trò tại x
0
♦ Hàm số đạt cực trò tại x
0
0

0
'( ) 0

''( ) 0
f x
f x
=

⇔

≠

♦ Hàm số đạt cực đại tại x
0
0
0
'( ) 0

''( ) 0
f x
f x
=

⇔

<


♦ Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

0
0
'( ) 0

''( ) 0
f x
f x
=

⇔

>

(32) Tìm cực trò (nếu có ) , của các hàm số :
[a]
4 2
4 3y x x= − +
[b]
2
2 1
2
x x
y
x
− +
=
−

[c]
2

2
1
x
y
x
−
=
+
[d]
+ +
=
−
2
2
1
1
x x
y
x
[e]
= +
2
1
y x
x
[f]
−
=
− +
2

3 1
3 2
x
y
x x
[g]
+ − +
=
+
3 2
2 4
1
x x x
y
x
[h]
=
−
4
1
x
y
x
[i]
2
.
x
y x e
−
=

[j]
2
x x
y e
− +
= [k]
2
lny x x=
[l]
2
lny x x= −
[m]
2
1y x x= −
[n]
sin (1 cos ) (0 x )y x x
π
= + ≤ ≤

[o]
32 2
( 4)y x x= −
[p]
π
+
= + + ∈
2 3
3 sin cos x [0;2 ]
2
x

y x x
[q]
2
2 3 1y x x= + +
[r]
2
1
1
x
y
x
+
=
+
[s]
= − + − +
4 3 2
1 11
2 6 5
4 2
y x x x x

[t]
1 sin
1 sin
x
y
x
+
=

−
[u]
cot ( )
3
y g x
π
= +
[v]
2 sin ; x [0;2 ]
x
y x
π
= ∈

[w]
+
=
− +
2
1
1
x
y
x x
[x]
= − + +
2
2 3 5y x x
[y]
− +

=
−
2
2 2
1
x x
y
x
(33) Đònh tham số của hàm số để điểm cực trò thỏa điều kiện :

[a] Đònh m để hàm số
= − + − +
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x
đạt cực đại tại
điểm x = 2 ( TNPT 2005)
[b] Đònh m để hàm số
= − −
3 2
1
3
y x mx mx

i) Đạt cực tiểu tại x = 1
ii) Có cực trò trong khoảng ( –∞ ; 0)
iii) Đạt cực tiểu trong khoảng (–3 ; 4)
[c] Đònh m để hàm số
− −
=
−

2
1
1
x mx
y
x

i) Đạt cực trò tại x = 0
ii) Có hai cực trò
iii) Có điểm cực đại thuộc khoảng (–3 ; 1)
[d] Đònh m để hàm số
= − +
4 2
2y x mx m

i) Có đúng 1 cực trò
ii) Có ba cực trò
iii) Có điểm cực tiểu thuộc khoảng ( 1 ; 2)
[e] Đònh m để hàm số
= − − + − +
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x

i) Có cực trò
ii) Có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương
iii) Có cực đại và cực tiểu tại x
1

; x
2
thỏa điều kiện x
1
+2x
2
= 1
iv) Có cực đại ; cực tiểu và x
CĐ
< x
CT

v) Có cực đại tại x = 0
[f] Đònh m để hàm số
+ −
=
−
2
2
1
x mx
y
mx

i) Có cự c trò
ii) Có cực đại , cực tiểu với hoành độ thỏa : x
1
+ x
2
= 4x

1
x
2

iii)Có cực đại , cực tiểu với hoành độ dương
[g] Đònh m để
4 2
1 3
4 2
y x mx= − +
có cực tiểu nhưng không có cực đại
[h] Tìm m để
− + + −
3 2
y = 3 3 1x x mx m
có hoành độ điểm cực trò < 2
[i] Tìm m để
+ − − −
3 2
y = m 3 ( 1) 1x mx m x
không có cực trò (ĐHBK2000)
(34) Chứng minh rằng hàm số sau luôn luôn có CĐ và CT :
[a]
+ −
+
2
2
x 2
y =
1

x m
x
. Đònh m để điểm CĐ,CT thuộc khoảng ( –3; 3)
[b]
3 2 2 3
3 3( 1) - m y x mx m x m= + + − +
c]
+
1
y = x+3-m+
x m

 Bài tập nâng cao
(35) Đònh tham số để có cực trò ( các hàm số khác ) :
[a]
− +
2
y = 2x + 2 + m 4 5x x
có cực đại .
[b]
+
2
x+a
y =
1x
. i). Không có cực trò ii).Có cực tiểu
[c]
2
1
y = (m-1)x - mx +lnx

2
đạt cực tiểu tại x = 1
[d] y = m.sinx – x có cực trò .
[e]
+
2
2
y = e
mx x
có cực đại .
(36) Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trò :
[a]
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
và hoành độ các điểm
CĐ, CT thỏa x
1
– x
2
không phụ thuộc m
[b]
+ − − +
−
2 2 2
x ( 1) 1
y =
m m x m
x m
[c]
3 2

2
(cos 3sin ) 8(cos2 1) 1
3
y x x x
α α α
= + − − + +
với
2 2
1 2
18x x+ ≤

(37) Đònh m để hàm số có cực trò , viết phương trình đường thẳng qua 2
điểm cực trò đó :
[a]
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + −
(KhốiA2002)
[b]
= + − + − −
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x
. Đònh m để đường thẳng qua điểm
CĐ và CT song song đường thẳng y = – 2x

[c] y = 2x
3
+3(m – 1)x
2
+ 6(m – 2)x . Viết phương trình đường thẳng qua
2 điểm cực trò trên và

⊥
đường thẳng y = x
[d]
= + − + −
3 2
2 3( 3) 11 3y x m x m
. Tìm m để 2 điểm CĐ,CT và điểm
B(0;–1) thẳng hàng (ĐHQG2001)
[e]
+ −
−
2 2
-x
y =
mx m
x m
(38) * Tìm m để hàm số có cực trò và các điểm cực trò thỏa điều kiện
[a]
= − + + − +
3 2 2
3 ( 2 3) 4y x mx m m x
có 2 điểm cực trò nằm 2 phía của
trục tung .
[b]
+ + +
−
2
mx 3 2 1
y =
1

mx m
x
có 2 điểm CĐ và CT nằm 2 phía Ox
(hai giá trò cực trò trái dấu )
[c]
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có 2 điểm cực trò đối xứng qua đthẳng y = x
[d]
= − + +
4 2 4
2 2y x mx m m
có 3 điểm cực trò lập thành một tam giác
đều . Tính đện tích tam gíac theo m .
[e]
− + − + −
−
2 2
x ( 1) 4 2
y=
1
m x m m
x
để tích của giá trò cực đại và cực
tiểu đạt giá trò nhỏ nhất
[f]
+ +
+
2
x 2 2

y=
1
mx
x
khoảng cách từ 2 điểm cực đại và cực tiểu đến
đường thẳng x+y+2 = 0 bằng nhau
[e]
− +
−
2
x
y=
1
mx m
x
khoảng cách 2 điểm cực trò không đổi
 Các bài toán thi ĐH – CD
(39) [a]CMRằng
∀
m hàm số
+ + + +
+
2
x ( 1) 1
y=
1
m x m
x
luôn có điểm cực
đại và điểm cực tiểu và khoảng cách 2 điểm đó bằng 20

(KhốiB2005)
(b) Đònh m để (C
m
) :
= +
1
y mx
x
có cực trò và khoảng cách từ điểm cực
tiểu đến tiệm cận xiên (C
m
) bằng
1
2
(KhốiA2005)
(c) Tìm m để
+ − +
4 2 2
y = m ( 9) 10x m x
có 3 cực trò (KhốiB2002)
(d) Tìm m để
= − − + − +
3 2
3( 1) 3(2 ) 1y x m x m x
có hoành độ 2 điểm cực
trò thỏa
+ =
1 2
2x x
(TH YtếLongAn2004)

(e) CMR
= − +
3 2
3 4y x x m
luôn có 2 điểm cực trò. Khi đó tìm m để một
trong 2 điểm cực trò nầy thuộc trục hoành (CĐSPMGTU 3_2004)
(f) Tìm m để
= − + + − +
3 2 2
3 ( 2 3) 4y x mx m m x
có điểm cực đại và cực
tiểu nằm 2 phía của trục tung (CĐKT Cao Thắng 2006)
(g) Tìm m để
= − − + − +
3 2
1
3( 1) 3(2 ) 1
3
y x m x m x
có điểm cực trò có hoành
độ dương (CĐBCHoa Sen2006)
(h) Tìm các điểm trên
+ −
−
2
x 1
y=
1
x
x

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với
đường thẳng qua 2 điểm cực đại và cực tiểu (CĐYTế 1_2006)
(i) Tìm m để
+ +
+
2
x
y=
1
x m
x
có 2 giá trò cực trò trái dấu (CĐKTKTCN_2006)
(j) Tìm m để
+ +
+
2
x 1
y=
mx
x m
đạt cực đại khi x=2 (CĐSPLA_2006)
 Đáp số : [B33]
(a) 11m =
;
2
( ) (d) i). m<0 ii). m>0 iii). 1 < m < 4
3
b m =

2 6 2 6 2
( ) i). <m< ii).m=2 v v). m=2
2 2 3
e m
− +
=


1
( ) i).-1<m<1 m 0 ii).m= iii). 0<m<1
2
f Λ ≠

( ) m 0 (h) 0 < m <1 g ≤

[B35]
(a) 2 (b) a=0 ; a < 0 (c) m > 2 (d) m 1m < − >
;

2
( ) (d) i). m<0 ii). m>0 iii). 1 < m < 4
3
b m =


[B37]
2
(a) y = 2x -m (b) m=1 v m = 7 (d) m=4m+

[B38]

2
( ) 3 1 (b) 0<m<4 (c) m=
2
a m− < < ±

[B39]
(a) m=1 (c) m<-3 v 0<m<2
    
Bài 3 : Giá Trò Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Hàm Số
∗ Đònh Nghóa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác đònh là D. Giá trò lớn nhất
(GTLN) và giá trò nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên tập X
⊂
D là :

≤

= ⇔

∃ ∈ =

0 0
f(x) M
max f(x)
x : ( )
X
M
X f x M

≥


= ⇔

∃ ∈ =

0 0
f(x)
min f(x)
x : ( )
X
m
m
X f x m
 Phương pháp giải toán :
 Tìm GTLN và GTNN trên đoạn [ a;b ] :
+ Giải phương trình f’(x)= 0 . Suy ra các điểm tới hạn : x
1
, x
2
, . . . ., x
n
trên đoạn [a,b]
+ Tính f(a) , f(x
1
) , f(x
1
) , . . . . . , f(x
n
) , f(b) .
+ So sánh các giá trò trên và tìm ra số lớn nhất M=max f(x) và số nhỏ
nhất m = min f(x)

 Tìm GTLN và NN trên khoảng ( a;b ) hoặc nửa khoảng : với a
có thể là –
∞
và b có thể là +
∞

Ta lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng (a , b ) . Nếu f(x) là hàm số
liên tục trên (a ; b ) chỉ có 1 cực trò duy nhất :
+ Là cực đại thì Max f(x) = y
CĐ
và không có Min f(x)
+ Là cực tiểu thì Min f(x) = y
CT
và không có Max f(x)
 Nếu bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số mà không chỉ ra tập X
thì ta tìm trên toàn tập xác đònh D
 Chú Ý : Ngoài phương pháp ứng dụng đạo hàm như trên để tìm Max
và Min . Ta có thể dùng phương pháp tìm miền giá trò của hàm số hay dùng
bất đẳng thức
 Bài Toán Max , Min là lọai câu hỏi thường gặp trong các đề
thi TNPT , ĐH nên học sinh đặc biệt nắm vững loại BT nầy
(40) Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên đoạn :
[a]
= − +
4 2
2 3y x x
trên đoạn
[ 3 ; 2]−
[b]
= − + +

5 4 3
5 5 1y x x x
trên đoạn
[ 1; 2]−
[c]
= − + +1 3y x x

[d]
= lny x x
trên đoạn
2
4
1
[ ; ]e
e
[e]
− +
=
2
.
x x
y x e
trên đoạn
[ 1 ; 0]−
[f]
= + 2cos cos2 y x x
trên đoạn
[0 ; 2 ]
π
[g]

= + 2 cos2 4sin y x x
trên đoạn
[0; ]
2
π
(TNPT2001)
[h]
3
4
y 2 sin x sin x
3
= −
trên đoạn
[0; ]
π
(TNPT2004)
[i]
+
=
+
2
1
1
x
y
x
trên đoạn
[ 1; 2]−
(Khối D2003)
[j]

=
2
x+ 4-x y
( Khối B2003)
[k]
=
2
ln x
y
x
trên đoạn
3
[1; ]e
( Khối B2004)
[l]
2
cosy x x= +
trên đoạn
[0; ]
2
π
[m]
2
y = x 4 3x− +
trên đoạn [0 ; 5]
(41) Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :

π
+ +
∞ +

− +
2
2
x 1
[ ] y = (-1;+ ) [b] y =2sin sin (0 ; )
x 1 2
x x
a x
x