SKKN sứng dụng toán học để giải các bài cực trị vật lí thpt trong bồi dưỡng học sinh giỏi

SỞGIÁO
GIÁODỤC
DỤCVÀ
VÀĐÀO
ĐÀOTẠO
TẠOTHANH
THANHHOÁ
HOÁ
SỞ

TRƯỜNGTHPT
THPTTHẠCH
THẠCHTHÀNH
THÀNH33
TRƯỜNG

SÁNGKIẾN
KIẾNKINH
KINHNGHIỆM
NGHIỆM
SÁNG

ỨNG
HỌC
ĐỂ GIẢI
BÀI
GIẢI DỤNG
NHANHTOÁN
CÁC BÀI
ĐIỆN
XOAYCÁC

CHIỀU
CỰC
TRỊ VẬT
THPT
TRONGPHÁP
CÓ YẾU
TỐ THAY
ĐỔILÍ
BẰNG
PHƯƠNG
BỒI
DƯỠNG
GIỎI
“CHUẨN
HÓAHỌC
GÁNSINH
SỐ LIỆU”

Người thực hiện: Nguyễn Tất Thành
Chức vụ: Giáo viên
Người
thực
hiện:
Nguyễn
Tất Thành
SKKN
thuộc
môn:
Vật lí
Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Vật lí

THANH HOÁ NĂM 2019


Mục lục
Trang
I. Mở đầu................................................................. ……....................................1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………...…..1
1.2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………......1
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………….....………....1
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………..……..…1
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………..…..….….2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………………………...…….2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……...….2
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề…….....…3
2.3.1. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ...………………...................…....3
2.3.2. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ...……..…………....…......7
2.3.3. Vận dụng định lí hàm số sin, cosin …............................................10
2.3.4. Vận dụng tam thức bậc hai ...……..………...........................…....12
2.3.5.Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số...……..……...…….......15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường…………………………………...….18
III. Kết luận, kiến nghị………………………….…………………….…..….19
3.1. Kết luận…………………………………………………………..…..19
3.2. Kiến nghị……………………………………………………….…….19
Tài liệu tham khảo……………………………………………………..…..…...20


Các thuật ngữ viết tắt trong bài:

GV – giáo viên
HS – học sinh
HSG – học sinh giỏi
SKKN – sáng kiến kinh nghiệm
THPT – trung học phổ thông
THPT QG – trung học phổ thông Quốc gia
ĐLHS – định lí hàm số


I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình vật lí THPT, việc sử dụng toán học vào giải các bài
toán vật lí là điều không thể thiếu. Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào cho
phù hợp, ngắn gọn, hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đối với
bài toán khó như bài toán cực trị. HS thường lúng túng khi gặp các bài toán này
vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, phải có vốn kiến thức
toán học vững chắc, hơn thế nữa dạng bài này thường xuất hiện đơn lẻ, không có
tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào.
Nhằm giúp cho HS có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển
hình trong vật lí THPT cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phương
pháp giải, các bước giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề
tài: “Ứng dụng toán học để giải các bài cực trị Vật lí THPT trong bồi dưỡng
học sinh giỏi”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Khi đưa các bài tập này vào hệ thống các bài tập rèn luyện và phát triển tư
duy dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy học sinh đã có nhiều
tiến bộ, rèn luyện kĩ năng giải các bài tập, HS hứng thú hơn, thấy được cái hay
trong quá trình tìm tòi và khám phá các bài toán cực trị phức tạp khác của vật lí.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Ứng dụng kiến thức toán học như: Bất đẳng thức Cauchy; Bunhiacopxki;

định lí hàm số sin, cosin trong tam giác; tam thức bậc hai; khảo sát hàm số để
giải các bài cực trị trong Vật lí THPT. Quá trình áp dụng chủ đề là các HS giỏi
lớp 10, 11 trong đội tuyển thi HSG cấp tỉnh và một nhóm HS khá giỏi lớp 12A1
và 12A2 ôn thi THPT QG.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Mỗi dạng bài tập thì phải biết được phương pháp giải, nhằm mục đính
giúp học sinh hệ thống kiến thức và rèn luyện kỹ năng nhận định, tính nhanh,
đáp ứng thi HSG và theo hướng làm bài trắc nghiệm của THPT QG. Có đưa ra
phương pháp giải chung, các bước làm, hướng dẫn lược giải những bài tập minh
họa.

Trang 4


II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Bằng thực tế giảng dạy ôn luyện thi đại học và bồi dưỡng HSG qua một
số năm tôi nhận thấy: Các bài toán cực trị trong vật lí là một trong những bài
toán khó mà các em HS hay gặp trong các đề thi HSG cấp tỉnh và trong đề thi
tuyển sinh đại học, cao đẳng các năm gần đây. Khi gặp bài toán này, thực tế cho
thấy nhiều HS còn gặp khó khăn. Để giải được bài toán này không những HS
phải nắm vững các kiến thức vật lí mà bên cạnh đó các em còn phải có một kiến
thức tốt về toán.
Mặc dù đây là một dạng toán khó nhưng rất ít các cuốn sách tham khảo
viết về dạng toán này, có chăng chỉ đề cập đến một vài bài trong một số đề thi
chứ không phân thành dạng cụ thể. Trên cơ sở đó tôi đã quyết định lựa chọn đề
tài này với mục đích:
- Giúp các em HS khi gặp các bài toán thuộc loại này có thể đưa ra được
hướng đi để giải quyết một cách nhanh chóng bài toán.
- Làm một tài liệu mà các đồng nghiệp có thể tham khảo trong quá trình

ôn thi HSG cũng như ôn thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Vận dụng được các phương trình toán học (như bất đẳng thức Cauchy,
Bunhiacopxki, phương pháp khảo sát hàm số, phương pháp lượng giác…) để
ứng dụng trong việc khảo sát các dạng toán cực trị trong vật lí THPT.
- Hướng dẫn và đưa ra phương pháp giải một số dạng toán đặc trưng.
- Các ví dụ minh họa và hướng dẫn giải.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Hiện nay không chỉ phần đông HS mà giáo viên phổ thông đều nhận định
là: Nội dung chương trình vật lí phổ thông khá nhiều và rộng vì thế việc tiếp thu
và nhớ bài của các em rất khó khăn, dẫn đến một thực trạng đó là tâm lý sợ học
Vật lí. Những năm gần đây, hình thức thi tốt nghiệp, đại học của môn vật lí là
trắc nghiệm làm cho khả năng trình bày, tư duy của HS rất kém.
Tại trường THPT Thạch Thành 3 mà tôi đang công tác thì HS chủ yếu là
con em dân tộc mường, điều kiện kinh tế còn khó khăn. tuy nhiên, bên cạnh đó
vẫn có một nhóm ít em là có khả năng tư duy toán học cũng như vật lí được
chọn vào đội tuyển HSG vật lí 10, 11 và cũng là nòng cốt để thi lấy điểm 9 trở
lên trong kì thi THPT QG.

Trang 5


2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại
lượng vật lí nào đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước
hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình
vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12, sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất
đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai, công thức
cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sát
hàm số. Qua đó rút ra được phương hướng, chọn phương pháp giải và các bước

để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất.
Quy trình thực hiện:
Bước 1: Giới thiệu phương pháp, thứ tự các bước giải.
Bước 2: Cho HS vận dụng tập dượt một số bài tập minh hoạ cụ thể để rèn luyện
kỹ năng.
Bước 3: Kiểm tra đánh giá kết quả vận dụng của HS thông qua các hình thức
(kiểm tra trong các buổi dạy bồi dưỡng HS khá giỏi, kiểm tra trong khi ôn
THPTQG…).
2.3.1. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)
a) Bất đẳng thức Cauchy
a + b ≥ 2 ab Với a,b ≥ 0
Dấu “=” xảy ra khi a=b
a1 + a2 + ....+ an ≥ n

n

a1a2...an Với a1,a2, .....,an ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi a1=a2= .....=an
Ưu ý:
Bất đẳng thức Cauchy thường được áp dụng đối với các bài toán phần cơ học,
điện một chiều và xoay chiều và đặc biệt là các bài khó (lấy 9, 10 điểm) trong đề
thi đại học (THPT QG) các năm gần đây và trong các đề thi HSG cấp tỉnh. Với
các bài tập vận dụng trên ta rút ra được phương pháp chung để định hướng chọn
và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy như sau:
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân số
trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là
hằng số.
Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn
điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không.

Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1,a2, .....,an ≥ 0 và tích của chúng là
không đổi a1.a2......an = const
Trang 6


Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán.
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra.
b) Bài tập vận dụng
Bài Cauchy 1. Một mạch điện được mắc R1 nối tiếp (đèn Đ mắc song song R 2 ).
Bóng đèn ghi 6V-3W, R1 =4Ω, U=10V, R2 là biến trở.
a) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên R2 đạt giá trị cực đại
b) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch song song đạt giá trị
Id
cực đại. [1]
Đ
R1
I
I2 R2
Giải:
a) Điện trở của bóng đèn: R = = 12 Ω
Công suất tiêu thụ của R2 là: P = I . R
U − I 2.R2 I 2.R 2 10 I 2.R 2
7,5
= −
Mà I = I- I =
=> I 2=
R1
Rd
4
3

R2 + 3
7,52
7,52
9
P2=
. R2 =
+ 6 đạt min.
9
=> P2 đạt max khi R2 +
(R2 + 3)2
R2 +
+6
R2
R2
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có : R2 +
Dấu ‘=’ xảy ra khi R2 =

9
+ 6 ≥ 2.3+ 6
R2

9
⇔ R2 = 3Ω
R2

Vậy khi R2 = 3 Ω thì P2 đạt giá trị cực đại.
b) Công suất tiêu thụ của đoạn mạch song song là :
U − I.R d2
U
10

=
P= I2. Rđ2 mà I =
=> I =
R1
Rd2 + 4 R d2 + 4
Với

1
1
1
1 1
=
+
= +
Rd2 Rd R2 12 R2

102
100
16
P=
Rd2 =
2
+ 8 đạt min
16
=> P đạt max khi Rd2 +
(R d2 + 4)
Rd2 +
+8
Rd2
R d2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : Rd2 +

16
+ 8 ≥ 16
Rd2

Dấu ‘=’ xảy ra khi Rd2=4 => R2 = 1,5Ω
Vậy khi R2 = 1,5Ω thì công suất đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại.
Bài Cauchy 2. Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ
Trang 7


U= 100 2 cos (100πt+π) , R0 = 2Ω
1
10−4
(F); R thay đổi được
L = (H); c=
π
2π
a) Xác định R để công suất tiêu thụ trên R đạt cực đại.
b) Xác định R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại. [1]
1
= 200Ω , Z = (R + R 0)2 + (ZL − ZC )2
Giải: Ta có : ZL = ω L = 100Ω, ZC =
ωC
a) Công suất tiêu thụ trên R là :
U2
U2
=
PR = I2R =

R2 + (ZL − ZC )2
y
R+ 0
+ 2R 0
R
PR đạt max khi y đạt min.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y ≥ 2 R20 + (ZL − ZC )2 + 2R 0
Dấu ‘=’ xảy ra khi R = R20 + (ZL − ZC )2
Vậy khi R = R + (ZL − ZC ) thì PR (max) =
2
0

U2

2

2 R20 + (ZL − ZC )2 + 2R 0

b) Công suất tiêu thụ trên toàn mạch là:
U2
P = I 2 (R+R 0 ) =
(R+R 0 ) =
(R+R 0 )2 +(ZL -ZC )2

U2
U2
=
(ZL -ZC )2
y
(R+R 0 )+

(R+R 0 )

P đạt max khi y đạt min.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y ≥ 2|ZL − ZC |
Dấu ‘=’ xảy ra khi R+R 0 =|Z L -ZC | => R=|ZL -ZC | −R 0
U2
U2
=
Vậy khi R=|ZL - ZC | −R 0 thì P(max) =
.
2(R + R 0) 2|ZL − ZC |
Bài Cauchy 3. (CÂU 8 ĐỀ THI HSG VẬT LÍ-THANH HÓA NĂM 2019)
Nhúng một thước thẳng AB vào một bể nước trong
B
4
suốt có chiết suất n = sao cho thước tạo với mặt nước
3
α
một góc α. Đầu A của thước chạm đáy bể, I là giao điểm
I
của thước với mặt nước (hình vẽ). Khi nhìn xuống đáy bể
A’ β
theo phương thẳng đứng ta thấy A được nâng lên đến vị
n
trí A’ và cách mặt nước 15 cm.
A
a. Tính chiều cao của lớp nước trong bể?
Trang 8

b. Gọi β là góc tạo bởi A’I với AI. Xác định α để β đạt giá trị cực đại?
Giải:
- Gọi H là chân đường cao hạ từ A đến mặt phân cách.
Chứng minh công thức lưỡng chất phẳng:

AH A'H
=
n
n'

B
H
A’

α

I
β

n

A
AH
A'H
=
4
- Suy ra: 4
1 ⇒AH = A’H = 20cm
3
3

Vậy chiều cao của lớp nước trong bể là 20cm.
- Từ hình vẽ ta có:

tgα - tgβ
AH ' = HI .tg (α − β ) 3 tg (α − β )
=
⇒ =
AH = HI .tgα  4
tgα
( 1 + tgα.tgβ) tgα

- Suy ra: 3tanα + 3tan2α.tanβ = 4tanα - 4tanβ
tgα
1
1
=
≤
2
=> tanβ = 3.tg α + 4 3.tgα + 4
2 12
tgα
- Nên βmax khi (tanβ)max<=> 3tanα =

4
=> tgα =
tgα

4
3

=> α ≈ 49,10

Vậy để βmax thì α ≈ 49,10.
Bài Cauchy 4. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013
Câu 39 (Mã đề thi 318) [3]
Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng nước, hai nguồn kết hợp O 1 và O2
dao động cùng pha, cùng biên độ. Chọn hệ trục tọa độ vuông góc xOy thuộc mặt
nước với gốc tọa độ là vị trí đặt nguồn O 1 còn nguồn O2 nằm trên trục oY. Hai
điểm P và Q nằm trên Ox có OP=4,5cm và OQ=8cm. Dịch chuyển nguồn O 2
trên trục Oy đến vị trí sao cho góc PO2Q có giá trị lớn nhất thì phần tử nước tại P
không dao động còn phần tử nước tại Q dao động với biên độ cực đại. Biết giữa
P và Q không còn cực đại nào khác. Trên đoạn OP, điểm gần P nhất mà các phần
tử nước dao động với biên độ cực đại cách P một đoạn là:
A. 3,4cm
B. 2,0cm
C. 2,5cm
D. 1,1cm.
Giải:
Trang 9


8 4.5
−
tan ϕ 2 − tan ϕ1
a a = 3,5
y
=
tan(
ϕ

−
ϕ
=
=
Xét hàm số
2
1)
36
1 + tan ϕ 2 tan ϕ1 1 + 36
a+
2
a
a
36 

y đạt cực đại khi  a +  min
a 


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
a+

36
36
≥ 2 a.
= 12
a
a

Dấu “=”khi a = 6 cm

Khi đó d2 = 10 cm và d’2 = 7,5cm.
1
2

Mặt khác ta có 10-8=k λ và 7,5- 4,5= (k+ )λ
suy ra λ = 2cm, k = 1 . Điểm Q là cực đại bậc 1
vậy N gần P nhất là cực đại ứng với k = 2. ta có
ON 2 + a 2 − ON = 2λ ⇒ ON = 2,5cm. => PN=2cm. Đáp án: B
2.3.2. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
a) Bất đẳng thức Bunhiacopxki
(ax+by) ≤ (a +b )(x +y )
Dấu “=” xảy ra khi : =
(ax+by+cz) ≤ (a +b+c)(x +y +z)
Dấu “=” xảy ra khi : = =
Ưu ý:
Bất đẳng thức Bunhiacopxki cũng rất hay được sử dụng trong các bài tập vật
lí. Ở các bài toán trên bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta
thấy bài toán được giải một cách nhanh gọn, dễ hiểu. Đối tượng áp dụng ở đây
chủ yếu là các bài toán cơ học. Điều kiện để áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopxki không được đưa ra rõ ràng như ở bất đẳng thức Cauchy nhưng ta
thấy dấu hiệu để nhận biết có thể sử dụng bất đẳng thức này là tích (a +b ).(x +y)
phải bằng hằng số. Cụ thể các trường hợp trên ta thấy xuất hiện
cos2α + sin2 α = 1 .
Các bước giải bài toán loại này:
Bước 1: Biến đổi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị về dạng phân số trong đó
hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số.
Bước 2: Xét hàm chứa biến sao cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất hiện
cos2α + sin2 α = 1.
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán.
Trang 10

Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra.
b) Bài tập vận dụng
Bài Bunhia 1. Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không
đáng kể quanh một khối trụ khối lượng m. Hỏi phải kéo dây bằng một lực F min,
dưới góc α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ. Cho biết hệ số ma sát giữa
khối trụ và sàn là k.
[4]
y
r
Giải: Các lực tác dụng được biểu trên hình
F
r
Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên
x
N
•
O
tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0
α
Tức là:
Fms − F cosα = 0
r
Fms
Trong đó : Fms =k.N

P
Fsin
α

+
N
−
P
=
0

kmg
kmg
=
Từ hệ phương trình trên ta có : F =
cosα + ksinα
y
=> F đạt min khi y đạt max
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
y = cosα + ksinα ≤ (1+ k2)(cos2α + sin2 α) = 1+ k2
Dấu ‘=’ xảy ra khi
Vậy Fmin =

1
k
=
⇔ tgα = k
cosα sinα

kmg
khi tgα = k
1+ k2

Bài Bunhia 2. Kéo một vật lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α,

u
r
hệ số ma sát k. Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo F và mặt nghiêng là bao nhiêu để
lực kéo là cực tiểu. [2]
x
y
Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có :
β
u
r ur u
r u
r
r
P + N + F + F ms = 0(1)
O
Chiếu (1) lên Ox:
α
− Psinα − kN + F cosβ = 0 (2)
Chiếu (1) lên Oy: − Pcosα + N + Fsinβ = 0 (3)
Psinα + kPcosα
Từ (2) và (3) ta có : F =
ksinβ + cosβ
Nhận xét: Trong biểu thức của F : tử số là không đổi, mẫu số thay đổi.
F đạt min khi mẫu số đạt max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
Trang 11


ksinβ + cosβ ≤ (k2 + 1)(sin2 β + cos2β) = (k2 + 1)
k
1

=
<=> tgβ = k
sinβ cosβ
Psinα + kPcosα

Dấu ‘=’ xảy ra khi
Khi đó Fmin =

k2 + 1
Vậy: Để vật chuyển động đều với lực kéo cực tiểu thì góc hợp bởi vec tơ lực kéo
và mặt nghiêng thỏa mãn: tgβ = k
Bài Bunhia 3. (CÂU 3 ĐỀ THI HSG VẬT LÍ-THANH HÓA NĂM 2019)
Khung dây cứng có dạng hình tam giác vuông với α
= 300 đặt trong mặt phẳng thẳng đứng. Hai vật m1 =
m1
β
m2
0,1 kg và m2 = 0,3 kg nối với nhau bằng sợi dây nhẹ
và có thể trượt không ma sát dọc theo hai cạnh của
α
khung dây (hình vẽ). Tính lực căng dây nối và góc β
khi hai vật ở vị trí cân bằng? Cân bằng của hệ vật là
bền hay không bền? Vì sao? Lấy g = 10 m/s2.
Giải:
y
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
uur uur ur uu
r
x
O

+ Các ngoại lực tác dụng lên hệ hai vật: N1 , N 2 , P1 , P2 uur
uur uur ur uu
r r
N1 a
+ Khi hệ cân bằng: N1 + N 2 + P1 + P2 = 0
m1
β L
m2
u
r uu
r
ur T
uu
r
1 T
P
2
1
α
P2

- Chiếu lên hệ trục tọa độ Oxy: + Trên Ox: N1sinα = N2cosα => N2 = N1tanα.
+ Trên Oy: N1cosα + N2sinα = P1 + P2
=> N1(cosα + tanα.sinα) = P1 + P2 => N1 = (m1 + m2).g.cosα = 2 3 (N)
uur ur ur

r

ur

uur ur

- Xét với vật m1: N1 + P1 + T1 = 0 => T1 = −( N1 + P1 ) (1)
=> T12 = N12 + P12 + 2 N1 P1.c os(1800 − α) => T2 = T1 =

7 ≈ 2,65(N)

- Chiếu (1) lên phương của thanh: P1sinα = T1cosβ => cosβ =

7
=> β≈ 79,10
14

- Gọi khoảng cách từ m1 đến O là a, chiều dài sợi dây khi hệ cân bằng là L. Cân
bằng của hệ hai vật là bền nếu tọa độ trọng tâm trên trục y là thấp nhất.
Trên Oy, ta có:
+ Vật m1 : y1 = - a.sinα . Vật m2 : y2= - L2 − a 2 .cosα
Trang 12


+ Tọa độ trọng tâm hệ vật: yG =

m1 y1 + m2 y2
a.sin α 3. L2 − a 2
= −(
+
.c osα)
m1 + m2
4
4

- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có
a.sinα + 3.cosα. L2 − a 2 ≤ (a 2 + L2 − a 2 ).(sin 2 α + 9 cos 2 α) = L 7 .
Dấu bằng xảy ra <=>
=> yG min khi a =

a
L 7
L2 − a 2
=
<=> a =
sin α
14
3cos α

L 7
L 7
<=> cosβ =
=> β = 79,10.
14
14

Vậy đây là cân bằng bền vì G ở vị trị thấp nhất.
2.3.3. Vận dụng định lí hàm số sin, cosin
a) Định lí hàm số sin, cosin
Định lí hàm số sin trong tam giác: = =
Định lí hàm số Cosin trong tam giác : a = b + c- 2b.c.cosA
( cosα)max = 1 ⇔ α = 00
( sinα)max = 1 ⇔ α = 900
Ưu ý:

Phương pháp vận dụng công thức cộng vận tốc kết hợp các công thức
lượng giác là một cách giải quyết vấn đề khá nhanh gọn đối với bài toán chuyển
động thay cho cách làm lập phương trình chuyển động thông thường và đặc biệt
là các bài khó (lấy 9 – 10 điểm) ở các phần tổng hợp dao động và điện xoay
chiều trong đề thi đại học các năm gần đây. Phương pháp này có nét đặc trưng
chính hình thành các bước giải cụ thể như sau :
r
Bước 1 : Tính vận tốc tương đối của các vật với nhau v12 qua biểu thức vectơ
cộng vận tốc.
Bước 2 : Dựa vào phương chiều của các vecto vận tốc thành phần để xác định
r
độ lớn của v12
Bước 3 : Tìm sự phụ thuộc đại lượng tìm cực trị với độ lớn v12 .
Bước 4 : Ở các bài vận dụng định lí hàm số sin, cosin thì
( cosα)max = 1 ⇔ α = 00
( sinα)max = 1
⇔ α = 900
b) Bài tập vận dụng

Trang 13


Bài ĐLHS 1. Hai động tử m1 và m2 đồng thời chuyển động trên hai đường thẳng
đồng quy với vận tốc v1 và v2. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng và thời
gian đạt được khoảng cách đó, biết khoảng cách ban đầu là l và góc giữa hai
đường thẳng là α.
[2]

Giải: Xét chuyển động tương đối của vật 1 đối với vật 2 ta có :
r

r
r
r r
v12 = v1 + (− v2) = v1 − v2
dmin= AH = AB sinβ (1)
Xét tam giác BMN:
v12 = v12 + v22 − 2v1v2 cos(180 − α) = v12 + v22 + 2v1v2 cosα
BM
BN
BN
=
=
sinβ sin(1800 − α) sinα
v2 sinα
v
v
=> 2 = 12 = > sinβ =
(2)
v12
sinβ sinα
Áp dụng định lí hàm số sin ta có :

Thay (2) vào (1) => dmin= =

lv2 sinα
v12 + v22 + 2v1v2 cosα

l 2 − d2min
BH
=

Thời gian để đạt được khoảng cách dmin : t =
v21
v12 + v22 + 2v1v2 cosα

Bài ĐLHS 2. ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2012
Câu 11 (Mã đề 958) [3]
π
6

Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình x 1 = A1 cos(π t + ) (cm) và
π
2
x = A cos(π t + ϕ ) (cm). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì

x2 = 6 cos(π t − ) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình
π
6

A. ϕ = − rad .

B. ϕ = π rad .

π
3

C. ϕ = − rad .

D. ϕ = 0 rad .
Trang 14

Giải: Vẽ giãn đồ như hình vẽ. Theo định lí hàm sin

x1

A1
A
π =
π
sin
sin( − ϕ )
3
2

A1
π
2

π/6
ϕ

A đạt giá trị cực tiểu khi sin( - ϕ) = 1. Do đó ϕ = 0.
Chọn đáp án D

A2

A

x

x2
2.3.4. Vận dụng tam thức bậc hai
a) Tam thức bậc hai
Cho hàm y = f (x) = ax2 + bx + c
+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol
+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol
b
−∆
+ Tọa độ đỉnh : x = - ; y =
(∆ = b2 - 4ac)
2a
4a
+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình y = ax2= bx + c = 0 có nghiệm kép
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ưu ý:
Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai được dùng khá phổ biến trong cả
chương trình, nhất là các bài toán về điện xoay chiều nên học sinh không quá
khó khăn khi tiếp cận phương pháp này. Đặc điểm của phương pháp là yêu cầu
tính cẩn thận và các bước làm rõ ràng:
Bước 1: Biến đổi đại lượng cần tính cực trị về hàm bậc 2 của biến x
Bước 2: Dùng dấu hiệu nhận biết của tam thức bậc hai để suy ra cực trị ví dụ
như nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol,nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.
Bước 3: Tìm giá trị của biến x để đạt giá trị cực trị.
b) Bài tập vận dụng
Bài tam thức 1. Có 20g khí Heli chứa trong xilanh đậy kín bằng pittông biến
đổi chậm từ (1)=>(2) theo đồ thị mô tả bởi hình :
Cho V1=30 lít , p1=5 atm, V2 =10 lít , p2=15 atm. Hãyp(atm)
tìm nhiệt độ cao nhất mà
khí đạt được trong quá trình biến đổi. [1]
(2)

P2
m
Giải: n= = 5(mol) , R=0,082(atm.lít/mol.K)
M
Gọi phương trình đường thẳng đi qua
trạng thái (1) và (2): p=aV+b (*)
(1)
Tìm a,b: Phương trình (*) thỏa mãn:
P1
V2

Trang 15

V1 V(lít)


1

p1 = aV1 + b
V
a = −
<=> 
2 <=> p = − + 20

2
p2 = aV2 + b
b = 20
Áp dụng phương trình trạng thái của khí lí tưởng:
V
(

−
+ 20)V −V 2 + 40V
pV
pV=nRT=>
2
T=
=
=
nR
nR
2nR
1
<0
Nhận xét : T = f(V) có hệ số a= −
2nR
40
400
= 20 (lít) và Tmax=
= 487,8K
Suy ra T = Tmax tại V= −
−2
2nR
Vậy Tmax=487,8K.
Bài tam thức 2. Một hạt điện tích âm q có khối lượng m, vận tốc ban đầu , bay
vào khoảng không gian giữa hai bản kim loại phẳng song song, tích điện đều
như nhau và trái dấu qua một lỗ nhỏ O ở bản dương, vận tốc lập với bản dương
một góc α . Khoảng cách giữa hai bản là d, hiệu điện thế U
Viết phương trình quỹ đạo của electron, tính khoảng cách h gần bản âm nhất mà
e có thể đạt tới. [1]
y

Giải: Hạt điện tích chịu tác dụng của
u
r
u
r
trọng lực P và lực điện F
u
r
h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
E
Theo phương Ox: Hạt chuyển động thẳng đều
x = (v0 cosα).t (1)
Theo phương Oy: Hạt chuyển động biến đổi đều
x
2
F + P |q|E + mg O
at
=
với a =
y = (v0 sinα)t −
m
m
2
|q|U
=
+ g (2)
md
a
2

Từ (1) và (2) ta có phương trình quỹ đạo của hạt là : y = (tgα)x − 2 2 x
2v0cos α
Gọi H là độ cao mà hạt đạt tới H = ymax .
a
Nhận xét: hàm y(x) có hệ số a' = − 2 2 < 0 suy ra
2v0cos α
ymax = −

tg2α v20 sin2 α
=
4a'
2a

Trang 16


v20 sin2 α
Vậy khoảng cách gần bản âm nhất: h = d-H = d 2a
Bài tam thức 3. Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ.
π
UAB = 200 2 cos(100πt- )(V), R = 100Ω,
4
−4
10
C=
(F); cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được. Xác định L để
π
hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại. [2]
1
=100Ω

Giải: Cảm kháng : ZL = ωL , Dung kháng : ZC =
ωC
Tổng trở: Z =
U L = I .ZL =

R2 + (ZL − ZC )2

U.ZL
=
Z

U
U
=
;
1
1
y
(R2 + Z2C ). 2 − 2ZC . + 1
ZL
ZL

U L (Max) khi ymin
Xét y : Nếu đặt X =

1
2
2
2
thì y = ( R + Z C ) X − 2Z C X + 1

ZL

2
2
y là tam thức bậc 2 có hệ số a = R + Z C >0 nên đạt cực trị tại



R2 + ZC2
1
2
b
ZC
2
Z
=
→
L
=
CR
+
=
(H)

L
X = − = 2
ZC
ω2C π
2a R + ZC2



⇒

2
∆
R
U R2 + Z2C
y = − =

= 200 2(V)
 min
U L max =
4a R2 + ZC2
R
Vậy khi L= (H) thì ULmax=200 (V).
2.3.5. Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số
a) Khảo sát hàm số
Xét hàm y=f(x)
+ Đạo hàm y theo biến x
+ Lập bảng biến thiên hàm số, tìm giá trị cực trị của hàm.
Ưu ý:
Phương pháp khảo sát hàm số chính là phương pháp dùng đạo hàm để tìm cực
trị của một đại lượng vật lí mà các bước tiến hành của nó như sau:
Bước 1: Tính đạo hàm hàm cần tìm cực trị theo biến x.
Bước 2: Lập bảng biến thiên.
Trang 17


Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên suy ra vị trí cực trị.
Bước 4: Thay giá trị của biến mà tại đó hàm đạt cực trị để tìm giá trị cực trị.

b) Bài tập vận dụng
Bài hàm số 1. Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ.
Đặt vào hai đầu mạch với nguồn
R
điện xoay chiều có hiệu điện thế
A
U = const nhưng tần số thay đổi được.
M
Xác định giá trị ω để hiệu điện thế hai đầu
cuộn cảm đạt giá trị cực đại.
[1]
U
U
U L = I.ZL = .ZL =
Z (1)
Z
Giải: Ta có :
ZL

L

C
N

B

2

1 


2
R +  ωL −
2
 Z
R2 
1 
Đặt
ωC ÷


A =
= 2 2 +  1− 2 ÷
÷ =
2
Z
(
ω
L)
ω L  ω LC 
 L
2

2

1
R2
x

Đặt x = 2 > 0 khi đó A =
x +  1− ÷ (2)

ωL
L
 C
R2 2 
x
−  1− ÷
Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được: A '(x) =
L C C 
Xét A’(x) = 0 => x =
Vì x > 0 ⇒

2LC − R2C2
2L

2L
> R2 khi đó ta thu bảng biến thiên:
C
x
2LC − R2C2
0
2L
A’(x)
0

+∞
+

A(x)
Amin
2 2

2LC − R C
Thay giá trị x =
vào biểu thức (2) ta thu được:
2L
R2(4LC − R2C2)
A min =
4L2

Trang 18


Thay Amin vào (1) suy ra: U LMax =
Nhận xét : Khi x ≤ 0 ⇒

2U.L
R 4LC − R2C2

và

ω=

1
1
C L R2
−
C 2

2L
≤ R2 thì Amin khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ
C

1
> 0 nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho A min trong
C2
miền xác định của x. Khi đó ω rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0. Do đó
không thể tìm giá trị ω làm cho ULmax
số a =

Bài hàm số 2. Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ.
L
R
C
Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế:
A
B
π
M
UAB = 200 2 cos(100πt- )(V)
4
Cuộn dây thuần cảm,điện dung C có thể thay đổi được. Xác định giá trị của C để
UAM đạt cực đại. [1]
Giải: Do đoạn mạch AM có R và C mắc nối tiếp nhau suy ra
U AM = U RC = I R + Z =
2

2
C

R2 + (ZL − ZC )2
Đặt B =

R2 + ZC2

U R2 + Z2C
R2 + (ZL − ZC )2

=

U
R2 + (ZL − ZC )2
R2 + ZC2

(1)

(2)

Ta thực hiện việc khảo sát hàm số B theo biến số Z C để tìm giá trị của ZC sao cho
Bmin khi đó giá trị của URC đạt max .
Ta có : Đạo hàm của B theo biến số ZC ta thu được :
−2(ZL − ZC )(R2 + Z2L ) − 2ZC[R 2 + (ZL − ZC )2]
B'(ZC ) =
(R2 + Z2C )2
=

ZL ZC2 − Z2L ZC − ZL R2
(R2 + ZC2 )2

B’(ZC) = 0 <=> ZL ZC2 − Z2L ZC − ZL R2 = 0 (3)

ZL + 4R2 + Z2L
 ZC1 =

>0
2
Nghiệm của phương trình (3) là: 

2
2
Z
−
4R
+
Z
L
L
Z =
<0
C2

2
Trang 19


Lập bảng biến thiên ta có:

ZC

ZL + 4R2 + Z2L
ZC1 =
2

0

B’(ZC)

-

0

B (ZC)

+∞
+

Bmin

ZL + 4R2 + Z2L
Thay giá trị ZC =
vào biểu thức (2) ta thu được:
1
2
 4R2 + Z2 − Z
L
L
Bmin = 

2R


2



÷
÷


Thay Bmin vào (1) suy ra U RCmax =

2UR
4R2 + Z2L − ZL

2.4. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐEM LẠI
Qua quá trình giảng dạy nhiều thế hệ HS trước và khảo sát trực tiếp năm
học 2018-2019 khi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10,11 và ôn luyện thi THPT
QG, bằng cách thăm dò, quan sát và thông qua công tác kiểm tra đánh giá thì
việc ứng dụng phương pháp cực trị trong việc giải bài tập vật lí đạt những kết
quả sau:
- HS đều dễ dàng tiếp cận nắm vững được phương pháp giải và từ đó thấy tự
tin và yêu thích môn học hơn.
- Khắc sâu kiến thức cho HS từ đó HS nhớ kiến thức lâu hơn và rất thuận tiện
trong việc giảng dạy Vật lí.
Thực tế kết quả cụ thể qua bảng số liệu sau:
Trang 20


Kết quả thi HSG cấp tỉnh môn vật lí như sau:
Năm học
Số HS đạt giải

2017-2018

2018-2019

(chưa áp dụng SKKN)

(đã áp dụng SKKN)

1 khuyến khích

2 giải (1 ba + 1
khuyến khích)

Kết quả thi THPT QG như sau:
Kết quả bài kiểm chứng sau tác động của nhóm lớp thực nghiệm 12A1 có
điểm trung bình là 8,35; kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm lớp đối chứng
12A2 có điểm trung bình là 7,62 sau hai lần thi thử THPT QG do nhà trường tổ
chức. Như vậy, nhóm lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn rõ rệt so
với nhóm lớp đối chứng. Kiểm chứng cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung
bình nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng rất có ý nghĩa, đó là kết quả
của tác động chứ không phải ngẫu nhiên.

III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Hệ thống các bài tập tôi đã đưa ra trên đây đã phần nào đem lại cho HS có
cách nhìn tổng quát hơn về các dạng bài tập cực trị điển hình trong chương trình
vật lí THPT và các phương pháp giải các dạng bài tập đó. Bằng thực tế giảng
dạy, khi đưa các bàì tập này cho HS rèn luyện đã thu được kết quả khả quan, hầu
như các dạng bài này HS đều biết vận dụng và cho kết quả nhanh.
Ngoài mục đích giúp các em HS nắm bắt phương pháp giải bài tập về các
bài toán cực trị trong vật lí THPT, SKKN này còn là tài liệu quan trọng mà các

Trang 21

đồng nghiệp có thể tham khảo trong quá trình ôn thi HSG lớp 10, 11 cũng như
ôn luyện thi THPT QG.
Dạng bài tập về cực trị trong vật lí THPT rất đa dạng và khó, trong SKKN
này cũng chưa đưa ra được khá đầy đủ các dạng bài tập. Với năm phương pháp
giải nêu trên ta có thể vận dụng giải được các bài tập hay và khó về cực trị.
3.2. Kiến nghị
Kiến nghị với các đồng nghiệp trong tổ Vật lí của trường THPT Thạch
Thành 3 và các trường THPT trong Tỉnh về việc ứng dụng của sáng kiến vào
trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng HSG, tiếp tục nghiên cứu phát triển mở
rộng sáng kiến để thành một đề tài hoàn chỉnh hơn, với nhiều phương pháp hay.
Kiến nghị với Ban giám hiệu trường THPT Thạch Thành 3 là có thể tổ
chức buổi giao lưu liên môn về kinh nghiệm áp dụng các kiến thức liên môn
trong quá trình dạy học.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Tất Thành

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Vũ Thanh Khiết. Kiến thức cơ bản nâng cao Vật lí THPT (tập I,II,III), NXB
Hà Nội, 2003.
[2] Bùi Quang Hân - Trần Văn Bồi - Phạm Văn Tiến - Nguyễn Thành Tương.
Giải toán Vật lí 10 (tập I,tập II);Giải toán Vật lí 11(tập I), NXB Giáo dục, 2001.

[3] Đề thi tuyển sinh đại học các năm, Bộ Giáo dục.
Trang 22


[4] GS.TS Nguyễn Quang Báu - Nguyễn Cảnh Hòe. Bài tập Vật lí 10 nâng cao,
NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2004.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Nguyễn Tất Thành
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thạch Thành 3
TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh Kết quả
giá xếp loại đánh giá

Năm học
đánh giá
Trang 23


(Phũng, S,
Tnh...)

xp loi
(A, B,

hoc C)

xp loi

1.

xây dựng các bài giảng
điện tử nhằm đổi mới phơng pháp dạy học vật lí.

S

C

2006-2007

2.

ứng dụng phần mềm matlaB
mô phỏng các hiện tợng vật
lí.

S

C

2007-2008

3.

NG DNG CNTT TO CC BI

GING VT L THN THIN.

S

C

2008-2009

4.

GY HNG TH HC TP BNG
CC CU HI THC T V MT
S HIN TNG QUANG HC.

S

C

2009-2010

5.

BI DNG HC SINH GII
GII NHANH BI TP VT L
BNG MY TNH CM TAY.

S

C

2010-2011

6.

S DNG BN T DUY
TRONG DY HC VT L LP 11.

S

C

2011-2012

7.

MT VI KINH NGHIM TRONG
GING DY V CC BI TON
TRC NGHIM GIAO THOA
SểNG C

S

C

2016-2017

Trang 24