SKKN GIÚP học SINH lớp 12 TIẾP cận và GIẢI QUYẾT các bài TOÁN THỰC tế về lãi SUẤT NGÂN HÀNG, VAY vốn, TRẢ góp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TIẾP CẬN VÀ GIẢI QUYẾT CÁC
BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ LÃI SUẤT NGÂN HÀNG, VAY
VỐN, TRẢ GÓP.

Người thực hiện: Lê Bích Hảo
Chức vụ:
Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học


THANH HÓA NĂM 2019


MỤC LỤC

1. Mở đầu ………………………………………………………………...
1.1. Lý do chọn đề tài ……………………………………………….
1.2. Mục đích nghiên cứu …………………………………………...
1.3. Đối tượng nghiên cứu …………………………………………..
1.4. Phương pháp nghiên cứu ……………………………………….
2. Nội dung ……………………………………………………………….
2.1. Cơ sở lý luận ……………………………………………………
2.2. Thực trạng vấn đề khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…………
2.3. Giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề ……………………
2.3.1. Bài toán lãi đơn ……………………………………………….
2.3.2. Bài toán lãi kép ……………………………………………….

2.3.3. Bài toán vay vốn trả góp ……………………………………...
2.3.4. Một số bài toán trắc nghiệm khách quan ……………………..
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ………………………………...
3. Kết luận, kiến nghị ..………………………………………………….
3.1. Kết luận …………………………………………………………
3.2. Đề xuất ………………………………………………………….
3.3. Lời kết……………………………………………………….......

Trang
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
7
13
18
19
20
20
20
20

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một môn khoa học rất hay và khó. Từ khi ra đời, toán học đã
rất cần thiết, luôn hiện hữu và là một phần không thể thiếu trong cuộc sống của
chúng ta. Tuy nhiên khi học toán một bộ phận không nhỏ học sinh chưa khai
thác được tính thiết thực của môn học, chưa đưa được toán học vào thực tiễn,
chính vì thế các em thấy toán học xa vời và học chỉ để lấy điểm, học chỉ để vượt
qua các kỳ thi chứ không phải vì tính thiết thực, vì yêu thích, đam mê toán học.
Trong cấu trúc đề thi, đặc biệt là kỳ thi trung học phổ thông quốc gia những
năm gần đây đã đưa rất nhiều bài toán có nội dung thực tiễn vào trong đề thi.
Các bài toán liên quan đến lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp cũng được đưa
vào nhiều hơn, nó là một phần ứng dụng thực tiễn của giải tích 12, chương II về
hàm mũ, logarit, học sinh rất sợ, lúng túng khi gặp những bài toán phần này, vì
trong sách giáo khoa giải tích 12 nó cũng chỉ được giới thiệu như một bài toán
đặt vấn đề mở đầu khi học về hàm mũ, logarit. Nội dung này cũng không có
trong hệ thống bài tập mà chỉ có một số lượng rất ít ở sách bài tập giải tích 12,
có trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi giải toán trên máy tính cầm tay, giáo viên
cũng né tránh, ít đầu tư, nghiên cứu và cũng rất ít tài liệu nghiên cứu, bàn sâu về
vấn đề này.
Để giải quyết được những bài toán đó đòi hỏi học sinh có khi chỉ cần nắm
được kiến thức cơ bản, có khi phải biết tổng hợp, sâu chuỗi, biết suy luận, biết
liên hệ với thực tiễn, nỗ lực thì mới làm tốt được. Phần kiến thức về lãi suất
ngân hàng, vay vốn, trả góp ngoài phục vụ cho các kỳ thi nó cũng là một phần
quan trọng phục vụ cuộc sống của chúng ta, đặc biệt là các em học sinh cuối cấp
ba khi chập chững bước vào đời cần có những phương án, quyết sách để bắt đầu
tạo dựng kinh tế nuôi thân, lập nghiệp. Vì những lý do trên tôi mạnh dạn lựa
chọn đề tài viết sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh lớp 12 tiếp cận và giải
quyết các bài toán thực tế về lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Xây dựng các dạng toán và công thức tính lãi suất theo lãi đơn, lãi kép để

phục vụ học sinh giải quyết các bài toán tính lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp
trong đề thi hay trong cuộc sống sau này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Kiến thức về mũ, logarit.
- Các công thức tính lãi đơn, lãi kép.
- Các bài toán liên quan đến lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
* Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
- Nghiên cứu lí luận và thực tiễn về hình thành công thức tính.
- Nghiên cứu mục tiêu, nội dung kiến thức, logic phát triển nội dung
chương II giải tích 12 làm cơ sở thiết kế giáo án dạy học theo hướng phát triển
năng lực đáp ứng yêu cầu dạy học .
1


* Phương pháp chuyên gia:
Trao đổi, xin ý kiến các nhà nghiên cứu, chuyên gia đề tài.
* Phương pháp thực tế:
Phỏng vấn trao đổi (chuyên gia, cán bộ quản lý, giáo viên, học sinh).
Nghiên cứu sản phẩm (bài làm, bài nghiên cứu,... của học sinh) để xác định
được thực trạng xây dựng và sử dụng đề tài trong quá trình dạy học.
* Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Đề tài đã tiến hành triển khai thực nghiệm sư phạm trong năm học
2018-2019 tại lớp 12A8, 12A1 trường trung học phổ thông Đông Sơn I, nhằm
xác định chất lượng dạy học và tính khả thi của phương pháp đề xuất.
* Phương pháp thống kê toán học
Xử lí số liệu thu thập được, trong thực nghiệm sư phạm bằng phần mềm
Excel, ..…
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận:

- Hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộ
phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá ở các trường phổ thông theo định
hướng phát triển năng lực của học sinh trên tinh thần Nghị quyết 29NQ/TƯ
ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Xuất phát từ
mục tiêu dạy học phát triển năng lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụng
kiến thức vào giải quyết những vấn đề thực tiễn.
- Hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán và vận dụng thực tế không chỉ
mang lại cho học sinh có một cách nhìn tổng quát về mặt phương pháp đối với
một dạng toán nào đó mà còn giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét vận
dụng những gì đã học vào trong cuộc sống một cách linh hoạt.
- Giáo viên nên chịu khó tìm tòi, sáng tạo các ví dụ thực tế lồng ghép vào
bài dạy hoặc tiết học bồi dưỡng sẽ giúp học sinh hiểu được tầm quan trọng khi
học về các khái niệm toán học từ đó giúp các em tích cực chủ động và hứng thú
đối với việc học tập, bởi xét cho cùng các vấn đề lý thuyết của toán học từ đại
số, giải tích, hình học đều xuất phát từ nhu cầu tự nhiên của thực tiễn.
2.2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nhiệm:
- Các bài toán vận dụng kiến thực tế về lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp
còn rất ít trong sách bài tập, sách giáo khoa nhưng lại suất hiện trong thi cử và
cần thiết cho cuộc sống.
- Có rất ít tài liệu viết về phần kiến thức này.
- Giáo viên còn né tránh các bài toán mang kiến thực tế về lãi suất ngân
hàng, vay vốn, trả góp. Học sinh còn rất lúng túng, lo sợ khi giải các loại toán
này.
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:
Để khắc phục tình trạng trên và để các em có thêm kiến thức, biết vận
dụng vào làm bài tập hay để tính toán trên thực tế tôi đã lồng ghép trong tiết học
2


chính khóa và ôn luyện trong một số tiết học bồi dưỡng để tìm hiểu về chủ đề

này.
2.3.1. Bài toán lãi đơn:
A. Tóm tắt lý thuyết:
Một số khái niệm đơn giản:
1. Tiền lãi: Là một khái niệm xem xét dưới hai góc độ khác nhau là người
cho vay và người đi vay. Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, tiền lãi là
số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư ban đầu trong một khoảng thời gian nhất
định. Khi nhà đầu tư đem đầu tư một khoản vốn, họ mong muốn sẽ thu được
một giá trị trong tương lai, hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản tiền chênh lệch
này được gọi là tiền lãi. Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, tiền lãi là
số tiền người đi vay phải trả cho người vay (là người chủ sở hữu vốn) để được
sử dụng vốn trong một thời gian nhất định.
2. Lãi suất: Là tỷ số tiền lãi (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay
trong 1 đơn vị thời gian.
Đơn vị thời gian có thể là năm, quý, tháng, ngày.
Lãi suất được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số lẻ thập phân.
Ví dụ: Ngân hàng Agribank có lãi suất tiền gửi tiết kiệm cho kỳ hạn 1
tháng là 0,42% một tháng.
Nghĩa là ta hiểu nếu ban đầu ta gửi tiết kiệm vào ngân hàng Agribank với
số tiền là 100 triệu đồng thì sau một tháng số tiền lãi ta nhận được là 100.106 x
0,42% = 420.000 đồng.
3. Lãi đơn: Là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn gốc mà không tính trên số
tiền lãi do số vốn gốc sinh ra trong một khoảng thời gian cố định. (Chỉ có vốn
gốc mới phát sinh tiền lãi).
Ví dụ:
Chị Mai Hoa cầm một khoản tiền 100.000.000đ đến gửi ngân hàng, sau mỗi
tháng chị Mai Hoa sẽ nhận được 0,5% của số tiền vốn 100.000.000đ đó. Quá
trình tích vốn và sinh lãi có thể quan sát trong bảng sau:
Tháng
Tổng vốn

Tổng lãi (nếu không rút) (đồng)
(đồng)
1
100.000.000
0,5% x 100.000.000 = 500.000
2
100.000.000
500.000 + 0,5% x 100.000.000 = 1.000.000
3
100.000.000
1.000.000 + 0,5% x 100.000.000 = 1.500.000
Như vậy, ta thấy rõ trong suốt quá trình trên tiền lãi ta có thêm hàng tháng
là một hằng số, ngoài ra tiền vốn từ đầu chí cuối không đổi.
Bài toán tổng quát: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P0 với mong
muốn đạt được lãi suất r mỗi kỳ theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kỳ. Vào
cuối mỗi kỳ ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng giá trị đạt được (vốn và
lãi) sau n kỳ.
Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kỳ có thể là năm, quý, tháng, ngày.
3


Ta theo dõi bảng sau:
Ở cuối kỳ Vốn gốc
Tiền lãi
1
P0
P0r

Tổng vốn và lãi cộng dồn ở cuối kỳ
p0 + p0 r = p0 (1 + r )

2

P0

P0r

p0 + P0 r + p0 r = p0 (1 + 2r )

3

P0

P0r

p0 + P0 r + 2 p0 r = p0 (1 + 3r )

4

P0

P0r

p0 + P0 r + 3 p0 r = p0 (1 + 4r )

…
N

…
P0

…
P0r

…
p0 + P0 r + (n − 1) p0 r = p0 (1 + nr )

Do đó, ta có thể tóm gọn lại công thức tính tổng giá trị đạt được (vốn và
lãi) sau n kỳ như sau:
Pn = P0(1+nr), (1)
Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kỳ.
P0 là vốn gốc.
r là lãi suất mỗi kỳ.
B. Các bài toán thực tế:
* Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ.
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu đã biết: vốn P0, lãi suất r, số kỳ n.
- Tìm giá trị chưa biết Pn .
- Áp dụng công thức Pn = P0(1+nr), (1).
Bài toán 1:

4


Chị Mai Anh đi gửi ngân hàng BAC A BANK với số tiền 150.000.000đ
theo hình thức lãi đơn với lãi suất 6% một năm. Hỏi nếu chị Mai Anh giữ
nguyên số tiền vốn như vậy sau 5 năm tổng số tiền chị Mai Anh rút được về từ
ngân hàng là bao nhiêu? (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi).
Phân tích bài toán:
- Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 = 150.000.000đ,

hình thức lãi đơn với lãi suất r = 6% một năm và gửi trong thời gian n = 5 năm.
- Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền chị Mai Anh rút được từ ngân hàng sau 5
năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức Pn = P0(1+nr), (1).
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền chị Mai Anh rút được từ
ngân hàng sau 5 năm là: P5 = 150.000.000 x (1 + 5 x 6%) = 195.000.000đ.
Cũng sau hai năm số tiền lãi mà chị Mai Anh thu được là:
195.000.000 - 150.000.000 = 45.000.000đ.
▪ Nhận xét: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
- Khi tính toán các yếu tố trong bài toán gửi tiền ngân hàng này các em
cần lưu ý dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: lãi đơn hay lãi
khác... từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp.
- Nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến
đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức (1).
* Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n.
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu đã biết: Vốn P0, lãi suất r, tổng số tiền có
được sau n kỳ Pn .
- Tìm giá trị chưa biết n.
P − P0

n
- Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ n = P r
0

Bài toán 2: Với lãi suất 10% năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25
triệu đồng, nhà đầu tư Thành Đạt mong muốn thu được 32.125.000đ vào cuối
đợt đầu tư. Vậy phải đầu tư trong bao lâu để đạt được giá trị như trên? (Giả sử
lãi suất hàng năm không đổi).
Phân tích bài toán:

- Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 = 25.000.000đ,
hình thức lãi đơn với lãi suất r = 10% một năm và giá trị đạt được vào cuối đợt
đầu tư là 32.125.000đ.
- Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, xuất phát từ công thức (1)
Pn = P0 (1 + nr ) ⇒ n =

Pn − P0
.
P0 r

Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức (1):
5


Pn = P0 (1 + nr ) ⇒ n =

Pn − P0 32.125.000 − 25.000.000
=
= 2,85 năm = 2 năm 10
P0 r
25.000.000 × 10%

tháng 6 ngày.
Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày để đạt được
giá trị mong muốn.
* Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm lãi suất.
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu đã biết: Vốn P0, tổng số tiền có được sau
n kỳ, số kỳ n.

- Cần tính lãi suất r.
- Từ công thức (1) ta có:
Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ r =

Pn − P0
P0 n

Bài toán 3: Em Thương Huyền do học tập tốt được các tổ chức trao
thưởng tổng tiền là 30 triệu đồng. Em đem gửi ngân trong 3 năm 4 tháng với lãi
suất r% năm thì đạt kết quả cuối cùng là 40.000.000đ. Xác định r? (Biết rằng
hình thức lãi suất là lãi đơn và lãi suất hàng năm không thay đổi).
Phân tích bài toán:
- Ta xác định giả thiết đề bài đã cho biết:
Số tiền ban đầu P0 = 30.000.000đ, tổng số tiền có được sau 3 năm 4 tháng là
40.000.000đ.
- Đề bài yêu cầu tìm lãi suất.
- Ta áp dụng công thức Pn = P0(1+nr), (1) từ đó đi tìm r .
Hướng dẫn giải
1
3

3 năm 4 tháng = 3 + =

10
năm.
3

Áp dụng công thức (1):
Pn = P0 (1 + nr ) ⇒ r =

Pn − P0 40.000.000 − 30.000.000
=
= 10%
10
một năm.
P0 n
30.000.000 ×
3

Vậy lãi suất tiền gửi là 10% một năm.
* Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm vốn
ban đầu.
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu đã biết: Tổng số tiền có được sau kỳ, lãi
suất r, số kỳ n.
- Tính số vốn ban đầu P0
- Áp dụng công thức
Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ P0 =

Pn
.
1 + nr
6


Bài toán 4: Với lãi suất đầu tư 12% năm (theo hình thức lãi đơn) thì nhà
đầu tư Hùng Thịnh phải bỏ ra số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 500 triệu
đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng. (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi).
Phân tích bài toán:
- Ta xác định giả thiết ban đầu đề bài cho biết:

Số tiền thu được Pn = 4.987.800.000đ, hình thức đầu tư theo lãi đơn với lãi suất
r = 12% một năm và đầu tư trong thời gian n = 5 năm 3 tháng.
- Đề bài yêu cầu tìm vốn đầu tư ban đầu của Hùng Thịnh, ta áp dụng công
thức Pn = P0(1+nr).
Hướng dẫn giải
5 năm 3 tháng = 5 +

3 21
=
năm.
12 4

Áp dụng công thức (1):
Pn = P0 (1 + nr ) ⇒ P0 =

Pn
4.987.800.000
=
= 3.060.000.000
21
đồng.
1 + nr
1 + × 12%
4

Vậy phải đầu tư 3.060.000.000 đồng để đạt được giá trị mong muốn.
▪ Nhận xét: Qua các bài toán các em biết được.
- Hình thức lãi đơn là gì, từ đó có những kiến thức và hiểu biết nhất định
để sau này áp dụng trong cuộc sống hàng ngày.
- Biết tính toán qua lại các yếu tố trong công thức liên quan bài toán lãi

đơn.
2.3.2. Bài toán lãi kép.
A. Tóm tắt lý thuyết:
1. Lãi kép: Là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập
vào vốn để tính lãi kỳ sau. Trong khái niệm này, số tiền lãi không chỉ tính trên số
vốn gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số vốn gốc sinh ra.
Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi
ghép vốn hoặc lãi nhập vốn.
2. Công thức tính lãi kép.
Trong khái niệm lãi kép, các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư
mỗi kỳ được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi
trong suốt thời gian đầu tư.
Xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P 0 với
mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kỳ theo hình thức lãi kép trong thời gian n
kỳ. Vào cuối mỗi kỳ ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính P n tổng giá trị đạt được
(vốn và lãi) sau n kỳ.
Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kỳ có thể là năm, quý, tháng, ngày.
- Ở cuối kỳ thứ nhất ta có:
+ Tiền lãi nhận được: P0r.
7


+ Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kỳ thứ nhất: P1 = P0 + P0 r = P0 (1 + r ) .
- Do lãi nhập vào vốn đến cuối kỳ thứ 2 ta có:
+ Tiền lãi nhận được: P1r .
+ Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kỳ thứ 2 là:
P2 = P1 + P1r = P1 (1 + r ) = P0 (1 + r )(1 + r ) = P0 (1 + r ) 2 .
n
- Một cách tổng quát, sau n kỳ tổng giá trị đạt được là: Pn = P0 (1 + r ) , (2)
Trong đó Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kỳ.

P0 là vốn gốc.
r là lãi suất mỗi kỳ.
- Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kỳ là: Pn − P0
B. Các bài toán thực tế:
* Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất, tìm tổng số tiền có được sau n kỳ
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu đã biết: Vốn P0, lãi suất r, số kỳ n.
- Tính Pn .
Pn = P0 (1 + r ) n , (2)
- Áp dụng công thức
Bài toán 1: Ông Hưng gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi
kép.
a) Nếu theo kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7,8% một năm thì sau 3 năm người
đó thu được số tiền là bao nhiêu?
b) Nếu theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 1,7% một quý thì sau 3 năm người
đó thu được số tiền là bao nhiêu?
Phân tích bài toán:
- Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông Hưng rút được từ ngân hàng sau 3
năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức
Pn = P0 (1 + r ) n ,
- Ta phải xác định rõ: P0 = ..., r = ..., n = ...? , từ đó thay vào công thức (2) tìm
được Pn .
Hướng dẫn giải
a) Ta có P0 = 100.000.000, n = 3 năm, lãi suất trong 1 năm là r = 7,8%
một năm.
Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 3 năm là:
P2 = 100.000.000 × (1 + 7,8%)3 ≈ 125.272.655 đồng.
b) Ta có P0 = 10.000.000, n = 3 năm = 12 quý, lãi suất trong 1 quý là
r = 1,7% một quý.
Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 3 năm là:

P2 = 100.000.000 × (1 + 1, 7%)12 ≈ 122.419.735 đồng.
▪ Nhận xét: Qua các bài toán các em biết được.
8


- Khi tính toán các yếu tố trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng này các
em cần lưu ý là dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào? Lãi đơn hay
lãi kép... từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp
- Nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến
đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức (2).
Bài toán 2:

Anh Miu được tư vấn gửi tiết kiệm 500.000.000 đồng vào ngân hàng Sea
Bank theo thể thức lãi kép.
a) Hỏi sau 5 năm anh Miu nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở
ngân hàng, biết rằng anh không rút lãi ở tất cả các kỳ trước đó và gửi kỳ hạn 3
tháng, lãi suất 0,62%
b) Anh Miu xin tư vấn gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất
0,65% một tháng thì sau 5 năm anh Miu có nhận được số tiền đủ để làm nhà
không? (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng anh không rút lãi ở tất cả các kỳ
trước đó và để làm nhà ít nhất anh Miu phải có 733.000.000 đồng (sau 5 năm)
Phân tích bài toán:
9


- Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền anh Miu rút được từ ngân hàng 1 thời
gian gửi nhất định, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức Pn = P0 (1 + r ) n , (2)
- Trong công thức (2) ta phải xác định rõ P0 = ..., r = ..., n = ...? , từ đó thay
vào công thức (2) tìm được Pn .
Hướng dẫn giải

a) Do mỗi kỳ hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có n = 20 kỳ hạn.
- Lãi suất mỗi kỳ hạn là r = 3 × 0,62% = 1,86% .
- Áp dụng công thức (2) sau 5 năm anh Miu nhận được số tiền là:
Pn = 500.000.000 × (1 + 1,86%) 20 ≈ 722.842.104 đồng.
b) Do mỗi kỳ hạn là 6 tháng nên 5 năm ta có n = 10 kỳ hạn.
- Lãi suất mỗi kỳ hạn là r = 6 × 0,65% = 3,9% .
- Số tiền nhận được là: Pn = 500.000.000 × (1 + 3,9%)10 = 733.036.297,4 đồng.
Vậy với số tiền ban đầu, lựa chọn hình thức gửi tiết kiệm đó anh Miu đã có đủ
số tiền để làm nhà.
* Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm n.
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0, lãi suất r trong mỗi kỳ, tổng số
tiền có được sau n kỳ.
P

n
n
n
- Để tìm n, áp dụng công thức (2), ta có Pn = P0 (1 + r ) ⇔ (1 + r ) = P (*) .
0

Để tìm n từ đẳng thức (*) ta có nhiều cách thực hiện:
Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra tìm n.
(1 + r ) n =

Pn
P
⇔ n = log1+ r n .
P0
P0

Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (*), ta được
Pn
P
P
P0 .
log(1 + r ) n = log n ⇔ n.log(1 + r ) = log n ⇔ n =
P0
P0
log(1 + r )
log

Bài toán 3: Ông Thắng gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi
kép, kỳ hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm gửi ông
Thắng sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu? (giả sử lãi suất không
thay đổi).
Phân tích bài toán:
- Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: số tiền ban đầu P0 = 60.000.000 đồng
theo hình thức lãi kép với lãi suất r = 7,56% một năm và giá trị đạt được sau n
năm gửi là 280.000.000 đồng.
- Để tìm được thời gian gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2). Ở
bài toán này ta dùng cách 1.
Hướng dẫn giải
10


Ta có Pn = 120.000.000 đồng, P0 = 60.000.000 đồng, r = 7,56% một năm
Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền là
Pn = P0 (1 + r ) n ⇔ (1 + r ) n =

Pn
P
120.000.000
⇔ n = log1+ r n ⇔ n = log1+7 ,56%
≈ 9,51 năm.
P0
P0
60.000.000

Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số vốn
60 triệu đồng ban đầu.
Bài toán 4: ( Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017)
Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/ năm . Biết
rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được
nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người
đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi. Giả định
trong suốt thời gian gửi lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra?
A. 13 năm
B. 14 năm
C. 12 năm
D. 11 năm
Hướng dẫn giải
Gọi n là số năm một người gửi tiền vào ngân hàng.
Số tiền cả gốc và lãi người đó thu về sau n năm là: 50.000.000(1 + 6%)n
Theo đề ra ta có 50.000.000(1 + 6%)n > 100.000.000 ⇒ n ≈ 11,9 . Vậy sau ít nhất 12
năm người đó nhận được số tiền 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi
⇒ Chọn đáp án C
Bài toán 5: ( Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2018)
Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7.5% năm . Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập

vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó
thu được ( cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu. Giả định
trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền
ra?
A. 11 năm
B. 9 năm
C. 10 năm
D. 12 năm
Bài toán 6: Một khách hàng có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng kỳ hạn 3
tháng với lãi suất 0,65% một tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau tối thiểu bao
nhiêu quý gửi tiền vào ngân hàng, khách mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc
ban đầu gửi ngân hàng, giả sử người đó không rút lãi trong tất cả các quý định
kỳ. (Số quý gửi là số nguyên).
Phân tích bài toán:
- Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: số tiền ban đầu P0 = 100.000.000 đồng
gửi theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,65% một tháng và kỳ hạn gửi là 3 tháng,
từ đó suy ra được lãi suất trong 1 kỳ hạn là: r = 3 x 0,65% = 1,95%.
- Để tìm được thời gian gửi tối thiểu trong bao lâu, để số tiền lãi lớn hơn
số tiền gốc ban đầu ta làm như sau: Ta tìm tổng số tiền lãi P n - P0 có được sau n
quý. Từ đó ta giải bất phương trình Pn - P0 > P0 suy ra n cần tìm. Các em coi lời
giải chi tiết ở dưới.
11


Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức (2) ta có: P0 = 100.000.000 đồng, lãi suất trong 1 kỳ
hạn là r = 3 x 0,65% = 1,95%. Sau n quý tổng số tiền (vốn và lãi) khách hàng có
được là:
Pn = P0 (1 + r ) n suy ra tổng số tiền lãi có được sau n quý là Pn = P0 .
Cần tìm n để Pn − P0 > P0 ⇔ P0 (1 + r ) n − P0 > P0 ⇔ (1 + r ) n > 2

⇔ n > log1+ r 2 ⇔ n > log1+1,95% 2 ≈ 35,89 ≥ 36

Vậy sau 63 quý (tức là 9 năm) người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền
gốc ban đầu gửi ngân hàng.
* Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm lãi suất.
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0, tổng số tiền có được sau n kỳ, số
kỳ n.
- Tính lãi suất r mỗi kỳ. Từ công thức (2) ta có:
Pn = P0 (1 + r ) n ⇔ (1 + r ) n =

Pn
P
P
⇔ 1+ r = n n ⇔ r = n n −1.
P0
P0
P0

Bài toán 7: Doanh nghiệp Đồng Xanh gửi tiền vào ngân hàng với số tiền
là 680 triệu đồng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn một năm với lãi suất r% một năm.
Sau 5 năm doanh nghiệp Đồng Xanh có một số tiền 1.200 triệu đồng. Xác định
r? (Biết lãi suất hàng năm không thay đổi).
Phân tích bài toán:
- Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: số tiền ban đầu P 0 = 680.000.000
đồng, tổng số tiền có được sau 5 năm (n = 5 kỳ hạn) là 1.200.000.000 đồng.
- Đề bài yêu cầu tìm lãi suất mỗi kỳ, ta áp dụng công thức r = n

Pn
−1 .

P0

Hướng dẫn giải
Lãi suất mỗi kỳ là: r = 5

Pn
1.200.000.000
−1 = 5
− 1 ≈ 12, 03% một năm.
P0
680.000.000

Vậy lãi suất tiền gửi là 12,03% một năm để đạt được giá trị mong muốn.
* Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm vốn
ban đầu.
Phương pháp:
- Xác định rõ các giá trị ban đầu: tổng số tiền có được sau n kỳ, lãi suất r,
số kỳ n.
P

n
n
- Tính số vốn ban đầu: Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + r ) ⇔ P0 = (1 + r ) n .
Bài toán 8: Chủ cửa hàng A vay ngân hàng một số vốn theo thể thức lãi
kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 8,6% một năm. Tổng số tiền chủ cửa

12


hàng phải trả sau 3 năm 3 tháng là 426.526.000 đồng. Xác định số vốn chủ cửa

hàng A đã vay. (Biết lãi suất hàng năm không đổi).
Phân tích bài toán:
- Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: số tiền phải tra sau 3 năm 3 tháng là
Pn = 426.526.000 đồng, hình thức đầu tư theo lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần
1
2

với lãi suất 8,6% một năm, từ đó suy ra lãi suất trong 1 kỳ là: r = × 8, 6% = 4,3%
và đầu tư trong thời gian 3 năm 3 tháng, từ đó suy ra số kỳ vay là n = 6,5.
P

n
- Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là: P0 = (1 + r ) n .

Hướng dẫn giải
Ta có n = 6,5; r = 4,3%; P = 426.526.000
Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là:
P0 =

Pn
426.526.000
⇔ P0 =
≈ 324.412.444 đồng.
n
(1 + r )
(1 + 4,3%)6,5

▪ Nhận xét: Qua các bài toán các em biết được.
- Hình thức lãi kép là gì, từ đó có những kiến thức và hiểu biết nhất định
để sau này áp dụng trong cuộc sống hàng ngày.

- Biết tính toán qua lại các yếu tố trong công thức liên quan bài toán lãi
kép.
2.3.3. Bài toán vay vốn, trả góp.
A. Tóm tắt một số dạng toán thường gặp:
Bài toán 1: Ông A hàng tháng gửi vào ngân hàng B một số tiền như nhau
là a đồng (vào đầu mỗi kỳ hạn), kỳ hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n
tháng ông A nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
- Cuối tháng thứ 1, ông A có số tiền là: P1 = a + a.r = a(1 + r ) .
- Đầu tháng thứ 2, ông A có số tiền là:
P1 + a = a (1 + r ) + a = a + a (1 + r ) = a[1 + (1 + r )]

- Cuối tháng thứ 2, ông A có số tiền là:

[

P2 = P1 + P1r = a + a(1 + r ) + [ a + a (1 + r )] r = a (1 + r ) 2 + (1 + r )

- Đầu tháng thứ 3, ông A có số tiền là:

[

]

[

P2 + a = a (1 + r ) + (1 + r ) 2 + a = a 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2

- Cuối tháng thứ 3, ông A có số tiền là:

[

] [

]

]
]

P3 = P2 + P2 r = a 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + a 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 r

[

]

= a (1 + r )3 + (1 + r ) 2 + (1 + r ) ..............

- Cuối tháng thứ 5, ông A có số tiền là:

13




Pn = a (1 + r ) n + (1 + r ) n −1 + (1 + r ) n − 2 + ... + (1 + r ) 2 + (1 + r )
           s           
n


⇔ Pn = a(1 + r )

(1 + r ) n − 1
(3)
r

Ví dụ 1: Anh Huy gửi hàng tháng gửi vào ngân hàng 2.000.000 đồng,
theo hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,6%. Hỏi
sau 2 năm anh Huy nhận được số tiền là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức (3) ta có:
a = 3.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 2 x 12 = 24 tháng.
Sau 2 năm anh Huy nhận được số tiền là:
P24 = 2.000.000(1 + 0, 6%)

(1 + 0, 6%) 24 − 1
≈ 51.771.205,3 đồng.
0, 6%

Ví dụ 2:

Ngày 01/08/ 2019 mẹ Trang muốn có số tiền là 200 triệu đồng để cho
con chi phí khi đậu đại học. Vậy từ trước đó ba năm mẹ Trang phải gửi tiết kiệm
một tháng là bao nhiêu tiền? Biết rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức
lãi kép, kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 0,67% một tháng. Lãi suất không thay đổi
trong thời gian gửi.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức (3) cho Pn = 200.000.000 đồng, r = 0,67%,
n = 36 tháng.(3 năm)
14

Ta có: Pn = a(1 + r )
⇔a=

(1 + r ) n − 1
rPn
⇔a=
r
(1 + r )[(1 + r ) n − 1]

0,67% × 200.000.000
⇔ a ≈ 4.898.146 .
(1 + 0,67%)[(1 + 0,67%)36 − 1]

Vậy hàng tháng mẹ Trang phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng.
Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r%
một tháng, kỳ hạn 1 tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân
hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn lại là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi Pn là số tiền còn lại sau tháng thứ n.
- Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là:
a + ar = a (1 + r ) = ad với d = 1 + r
Rút x đồng thì số tiền còn lại là: P1 = ad − x = ad − x

d −1
d −1

- Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là:
ad − x + (ad − x)r = (ad − x)(1 + r ) = (ad − x)d

Rút x đồng thì số tiền còn lại là:
P2 = (ad − x )d − x = ad 2 − xd − x = ad 2 − x(d + 1) = ad 2 − x

- Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

[

] [

]

d 2 −1
d −1

[

]

ad 2 − x(d + 1) + ad 2 − x (d + 1) r = ad 2 − x(d + 1) (1 + r ) = ad 2 − x(d + 1) d

Rút x đồng thì số tiền còn lại là:

[

]

P3 = ad 2 − x(d + 1) d − x = ad 3 − xd 2 − xd − x = ad 3 − x(d 2 + d + 1)
= ad 3 − x

d 3 −1

...............
d −1

- Sau tháng thứ n số tiền còn lại là:
Pn = ad n − x

d n −1
(1 + r ) n − 1
, (4) với d = 1 + r
⇔ Pn = a (1 + r ) n − x
d −1
r

Ví dụ 1: Một cụ già có 150.000.000 đồng gửi vào ngân hàng theo hình
thức lãi kép, kỳ hạn 1 tháng với lãi suất 0,7% một tháng. Mỗi tháng cụ rút ra
2.000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau 2 năm số tiền của cụ còn
lại là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức (4):
n = 24, r = 0,7%, x = 2.000.000, a = 150.000.000.
Vậy số tiền cụ già còn lại sau 2 năm là:
P24 = 150.000.000(1 + 0, 7%) 24 − 2.000.000

(1 + 0, 7%) 24 − 1
≈ 125.266.821, 2 đồng.
0, 7%
15


Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp

(Bài toán này cách xây dựng như bài toán số 2)
Bài toán tổng quát: Một người vay số tiền là a đồng, kỳ hạn một tháng
với lãi suất cho số tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi
trên dư nợ giảm dần, nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời
điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng,
số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x
đồng. Tìm công thức tính x? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong
thời gian vay.
Hướng dẫn giải
Gọi Pn là số tiền còn lại sau tháng thứ n.
- Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a + ar = a(1 + r ) = ad với d = 1 + r .
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là: P1 = ad − x = ad − x

d −1
.
d −1

- Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là:
ad − x + (ad − x)r = (ad − x)(1 + r ) = (ad − x)d với d = 1 + r .

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ hai là:
d 2 −1
P2 = (ad − x )d − x = ad − xd − x = ad − x(d + 1) = ad − x
d −1
2

2

- Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:

[

] [

2

]

[

]

ad 2 − x(d + 1) + ad 2 − x (d + 1) r = ad 2 − x(d + 1) (1 + r ) = ad 2 − x(d + 1) d

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ ba là:

[

]

P3 = ad 2 − x(d + 1) d − x = ad 3 − xd 2 − xd − x = ad 3 − x(d 2 + d + 1) = ad 3 − x

d 3 −1
d −1

...................
- Số tiền còn lại sau tháng thứ n là:
Pn = ad n − x

d n −1
(1 + r ) n − 1
⇔ Pn = a (1 + r ) n − x
(5a ) với d = 1 + r .
d −1
r

- Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay, ta có:
Pn = 0 ⇔ ad n − x

d n −1
ad n ( d − 1)
a(1 + r ) n r
=0⇔ x=
⇔
x
=
(5b)
d −1
d n −1
(1 + r ) n − 1

Ví dụ 1: Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, mỗi
tháng trả góp số tiền 4.000.000 đồng và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là
1,1% một tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu người đó trả hết nợ?
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức (5b) cho: a = 50.000.000, r = 1,1%, x = 4.000.000,
Pn = 0. Tìm n ?
16

Từ công thức (5b) ta có: x =

ar (1 + r ) n
⇔ x(1 + r ) n − x = ar (1 + r ) n
(1 + r ) n − 1

⇔ ( x − ar )(1 + r ) n = x ⇔ (1 + r ) n =
⇔ n = log1+ r

x
x − ar

x
4.000.000
⇔ n = log1+1,1%
⇔ n ≈ 13,52
x − ar
4.000.000 − 50.000.000 × 1,1

Ở đây ta thấy n không là số nguyên, lúc này ta có hai cách làm chọn
▪ Nếu chọn n = 13 (chọn số nguyên cao hơn gần nhất)
Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 12 là:
P12 = 50(1 + 1,1%)12 − 4

(1 + 1,1%)12 − 1
= 6,001147461 triệu đồng
1,1%

Số tiền người này phải trả tháng cuối là: P12 (1+0,5%) ≈ 6,067 triệu đồng.

▪ Nếu chọn n = 14 (chọn số nguyên nhỏ hơn gần nhất)
Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 13 là:
(1 + 1,1%)13 − 1
P13 = 50(1 + 1,1%) − 4
= 2,067160083 triệu đồng
1,1%
13

Số tiền người này phải trả tháng cuối là: P13 (1+0,5%) ≈ 2,09 triệu đồng.
Nhận xét:
Nếu chọn theo n = 13 thì tháng cuối trả nhiều hơn 4 triệu đồng.
Nếu chọn theo n = 14 thì tháng cuối trả ít hơn 4 triệu đồng.
Ví dụ 2:

Ông A mua hàng ở Điện Máy Xanh theo hình thức vay ngắn hạn 200 triệu
đồng, lãi suất cho số tiền chưa trả là 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho cửa hàng
theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần
17


hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như
nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số
tiền x mà ông A phải trả cho cửa hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết
rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
Hướng dẫn giải
Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất trong 1 tháng là 1% một tháng.
Áp dụng công thức (5b) cho: a = 200.000.000, r = 1%, n = 3, P3 = 0. Tìm x?
Vậy số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ để 3
tháng hết nợ là: x =

ar (1 + r ) n 200 × 0, 01(1 + 0, 01) 3
=
≈ 68 triệu đồng một tháng.
(1 + r ) n − 1
(1 + 0, 01)3 − 1

2.3.4. Một số bài toán trắc nghiệm khách quan:
Câu 1: Lãi suất ngân hàng hiện nay là 6%/năm. Lúc con ông A, bắt đầu học lớp
10 thì ông gởi tiết kiệm 200 triệu. Hỏi sau 3 năm ông A nhận cả vốn lẫn lãi là
bao nhiêu?
A. 238,2 triệu
B. 233,2 triệu
C. 228,2 triệu
D. 283,2 triệu
Câu 2: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn
một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó có
được ít nhất 20 triệu ?
A. 18
B. 15
C. 17
D. 16
Câu 3: Anh An mua nhà trị giá năm trăm triệu đồng theo phương thức trả góp.
Nếu anh An muốn trả hết nợ trong 5 năm và phải trả lãi với mức 6%/năm thì
mỗi tháng anh phải trả bao nhiêu tiền? (làm tròn đến nghìn đồng)
A. 9892000
B. 8333000
C. 118698000
D. 10834000
Câu 4: Ông An gửi 100 triệu vào tiết kiệm trong một thời gian khá lâu mà
không rút ra với lãi suất ổn định trong mấy chục năm qua là 10%/ 1 năm. Tết

năm nay do ông kẹt tiền nên rút hết ra để gia đình đón Tết. Sau khi rút cả vốn
lẫn lãi, ông trích ra gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết trong nhà thì ông còn 250
triệu. Hỏi ông đã gửi tiết kiệm bao nhiêu lâu ?
A. 10 năm
B. 17 năm
C. 15 năm
D. 19 năm
Câu 5: Bạn Ninh gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng trong thời gian 10 năm
với lãi suất 5% một năm. Hỏi rằng bạn Ninh nhận được số tiền nhiều hơn hay ít
hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất

5
%
12

một tháng?

A. Nhiều hơn 1811487,091 đồng
B. Ít hơn 1611487,091 đồng
C. Nhiều hơn 1611487,091 đồng
D. Ít hơn 1811487,091 đồng
Câu 6: Một người, cứ mỗi tháng anh ta gửi vào ngân hàng a đồng theo thể thức
lãi kép với lãi suất 0,6% một tháng. Biết rằng sau 15 tháng người đó nhận được
1 triệu đồng. Hỏi a bằng bao nhiêu?
A. 63531
B. 60530
C. 73201
D. 68531
Câu 7: Theo hình thức lãi kép một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo
kỳ hạn một năm với lãi suất 1,75% (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi) thì

sau hai năm người đó thu được một số tiền là bao nhiêu?
A. 103,531 triệu đồng
B. 103,351 triệu đồng
18


D. 103,500 triệu đồng
C. 103,530 triệu đồng
Câu 8: Để tăng chất lượng cơ sở cho việc dạy học ở website QSTUDY.VN của
mình, năm học 2017 thầy Mẫn Ngọc Quang đã đầu tư cho bên hậu cần máy
quay phim Panasonic AG-AC160 để có được những hình ảnh tốt nhất truyền tải
đến các em học sinh thân yêu của mình, nhưng vì ngân sách mua một lần không
đủ, thầy Quang đã chọn phương thức mua trả góp với lãi suất tiền chưa trả là
0.5% mỗi tháng. Biết giá của một chiếc máy quay Panasonic AG-AC160 là 60
triệu đồng vậy nếu cuối mỗi tháng thầy Quang chi trả 2,034 triệu đồng cho hợp
đồng, hỏi sau thời gian bao lâu thầy Quang hoàn thành hợp đồng?
A. 32 tháng
B. 30 tháng
C. 33 tháng
D. 31 tháng
( Luyện tốc độ giải nhanh trắc nghiệm toán học - Mẫn Ngọc Quang )
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi triển khai đề tài này tôi thấy hiệu quả rất tốt, học sinh dần dần có tự
tin, biết vận dụng thực tế khi gặp các bài toán liên quan, có niềm đam mê, yêu
thích môn toán, mở ra cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến
thức đã học, tạo nền tảng cho việc tự học, tự nghiên cứu.
Để thấy được kết quả sát thực của SKKN (sáng kiến kinh nghiệm), tôi đã
chọn hai lớp 12A8 và 12A1 trong đó lớp 12A1 có học lực khá hơn để tiến hành
làm đối chứng cụ thể như sau:
Trước khi áp dụng SKKN tôi ra đề bài cho học sinh hai lớp bao gồm 4 bài

tập tự luận và 6 bài tập trắc nghiệm về toán ứng dụng thực tế lãi suất ngân hàng,
vay vốn, trả góp, yêu cầu các em làm bài ra giấy và chấm điểm, kết quả như sau:
Lớp Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
12A8 48
4
8.3% 8
16.7% 22
45.8% 14
29.2%
12A1 47
10
21.3% 11
23.4% 21
44.7% 5
10.6%
Kết quả bài làm của học sinh chủ yếu ở mức độ trung bình, yếu có em gần
như bế tắc, số bài đạt khá, giỏi có rất ít. Trước tình trạng đó tôi tập trung bồi
dưỡng cho các em vào một số buổi học bồi dưỡng, tôi đã truyền thụ các nội
dung chủ yếu trong SKKN, các em đã tự tin hơn khi làm loại bài tập này, kết quả
thu được của bài kiểm tra lần hai tốt hơn nhiều so với lần đầu, tôi đã ghi lại như
sau:
Lớp Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém

12A8 48
15
31,3% 20
42%
9
19%
4
7.7%
12A1 47
21
44,7% 18
38.3% 8
17%
0
0.0%
Với kết quả như trên và bài làm thực tế của học sinh, tôi nhận thấy việc hệ
thống hóa kiến thức, hệ thống hóa các dạng bài tập, các bài toán thực tế ứng
dụng của lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp đã có hiệu quả tốt, giúp học sinh
tiếp thu và vận dụng làm bài tập một cách tự tin, nhanh chóng. Kết quả bài kiểm
tra lần hai cao hơn nguyên nhân là do học sinh đã hiểu rõ vấn đề, được trang bị
một khối lượng kiến thức chắc chắn.
19


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận:
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau:
Sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra được các công thức tính lãi suất một cách
có hệ thống, giải quyết một lượng lớn các bài tập, đặc biệt đã tổ chức thực
nghiệm sư phạm thành công để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những

biện pháp được đề xuất. Học sinh rất hứng thú khi được tiếp cận các dạng bài
tập có hệ thống.
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tại trường trung học phổ thông với nội
dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài
toán ứng dụng thực tế nói chung và toán về lãi suất ngân hàng, vay vốn, trả góp
nói riêng. Tôi hi vọng có điều kiện để trình bày mở rộng các vấn đề này trong
những năm tiếp theo.
3.2. Đề xuất:
Sau thời gian nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm tôi có một số kiến nghị sau:
Đây là đề tài cần được mở rộng và phát triển sâu, rộng hơn nữa để giáo
viên và học sinh tiếp cận, đào sâu, có kỹ năng tính toán tốt, không còn tâm lý né
tránh, hay sợ sệt.
Cần có thêm các loại sách tham khảo, nghiên cứu về bài toán thực tế nói
chung và toán lãi suất ngân hàng nói riêng.
3.3. Lời kết:
Làm sao để các em học sinh yêu toán học hơn? Biết vận dụng toán học vào
trong thực tiễn một cách linh hoạt? Thể hiện vai trò to lớn của giáo dục đến sự
phát triển trí tuệ, nhân cách của mỗi cá nhân và sự phát triển kinh tế của xã hội?
đó luôn là niềm trăn trở, là mục đích hướng tới của những người giáo viên có
lương tâm và trách nhiệm nghề nghiệp. Bài toán ứng dụng thực tế lãi suất ngân
hàng, vay vốn, trả góp là một chuyên đề khá hay và rộng, song trong khuôn khổ
giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm nên tôi cũng chỉ nêu ra được một số công
thức, một số dạng toán điển hình, vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng
góp quý báu của hội đồng chuyên môn và của đồng nghiệp để đề tài được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2019
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

viết, không sao chép nội dung của người
khác.

NGƯT, ThS LƯƠNG HỮU HỒNG
20


Lê Bích Hảo
TÀI LIỆU KHAM KHẢO
1. Luyện tốc độ giải nhanh trắc nghiệm toán học, Mẫn Ngọc Quang, 2016.
2. Bộ đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm 2016-2017; 2017-2018.
3. Bộ đề tinh túy ôn thi trung học phổ thông quốc gia 2017 môn toán, Nhà
xuất bản đại học Quốc Gia Hà Nội.
4. Bộ đề: Luyện thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017, Nhà xuất bản
giáo dục Việt Nam, Phạm Đức Tài, 2016.
5. Bộ đề: Luyện thi trung hoc phổ thông quốc gia năm 2018, Nhà xuất bản
giáo dục Việt Nam, Phạm Đức Tài, 2018.
6. Tham khảo qua mạng Internet.

21