SKKN hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vô tỷ

“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1.1 Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu......................................................................................1
1.3 Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2
1.4 Phương pháp nghiên cứu...............................................................................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................. 3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến...........................................................................3
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.........................................3
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề........................................4
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan....................................................................4
2.3.2.Một số bài tập vận dụng..................................................……………

4

2.3.3. Hệ thống bài tập tự
luyện………………………………………………17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến...............................................................................20
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.....................................................................

21

3.1. Kết luận........................................................................................................21
3.2 Kiến nghị.......................................................................................................21

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

0

“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

A.ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con
người phát triển tồn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào
tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện
để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào
tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương pháp
dạy học mơn Tốn.
Từ năm học 2016 – 2017 hình thức thi THPT Quốc Gia của mơn Tốn đã có sự
thay đổi ( chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm), bước
đầu làm cho giáo viên và học sinh thấy bỡ ngỡ.Không những vậy,năm học 2018
– 2019 tới đây trong đề thi THPT Quốc gia sẽ có cả phần kiến thức lớp 10, và
trong đề thi sẽ có phần BPT vơ tỷ, ngồi ra trong ma trận đề thi HSG mơn Tốn
của tỉnh Thanh Hóa cũng có phần này. Trước kì thi THPT Quốc gia năm học
2018 – 2019 đến gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em học sinh
một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa bài thi của mình, từ đó tơi
nghiên cứu và viết đề tài “Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập
trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’. Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ
ích cho giáo viên và học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài
tốn trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được
kết quả cao nhất.
Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tơi muốn định hướng để
học sinh có thể giải gianh, giải chính xác đối với những bài tốn có liên quan bất
phương trình vơ tỷ

1.3. Đối tượng nghiên cứu

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

1


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

- Kiến thức về BPT vơ tỷ
- Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, vectơ….
- Học sinh lớp 10G, 12A năm học 2017 – 2018 trường THPT Nga Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp.
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm.
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề
tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Bất phương trình vơ tỷ cơ bản

a/

�
�
�g  x   0
�
�
�
�f  x  �0

f  x  g  x � �
�
�
�g  x  �0
�
�
2
�f  x   g  x 
�

c/

�f  x  �0
�
f  x   g  x  � �g  x   0
�
2
�f  x   g  x 

b/

d/

�
�
�g  x  �0
�
�
�
�f  x  �0

f  x  �g  x  � �
�
�
�g  x   0
�
�
2
�f  x  �g  x 
�
f  x  �۳
g  x

�f  x  �0
�
�g  x  0
�
2
�f  x  �g  x 

2.1.2.Tìm tham số để bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước
Định lý: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên tập D.
Giả sử trên D tồn tại min f  x  ,maxf  x  , nếu không ta cần lập bảng biến thiên
D

D

và đưa ra kết luận( m là tham số)
a/ Bất phương trình f  x  �m có nghiệm x �D

min f  x 

D
b/ Bất phương trình f  x  �m có nghiệm x �۳

maxf  x 

x D
c/ Bất phương trình f  x  �m nghiệm đúng �

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

m

D

m

D

max f  x 

m

D

2


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

x D
d/ Bất phương trình f  x  �m nghiệm đúng �۳

min f  x 

m

D

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách “Giải bài tập trắc nghiệm phần bất
phương trình vơ tỷ” là rất cần thiết vì các lí do sau:
Thứ nhất: Mơn tốn đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thứ tự luận sang
trắc nghiệm, từ đó địi hỏi học sinh phải giải một bài tốn một cách nhanh nhất
có thể để tiết kiệm thời gian.
Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải quyết các dạng bài tập phần bất phương trình
vơ tỷ
thì học sinh cần nắm vững kiến thức về hàm số, vectơ … và nhiều kiến thức có
liên quan khác.
Trong bài viết này, tơi đưa ra một số bài tốn tìm tham số bất phương trình có
nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi giá trị thuộc miền cho trước , thấy kết quả đạt
tốt và phù hợp đối với các đối tượng học sinh trường tôi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan
 Biểu thức a  b có biểu thức liên hợp là a  b
rr r r
r r
r r
 Với hai vectơ a, b bất kì thì a.b �a . b , đẳng thức xảy ra khi a, b cùng hướng
 Cho hàm số f  t  đơn điệu trên miền D

f  v
u v
+ Nếu f  t  đồng biến trên D thì bất phương trình f  u  �۳
+ Nếu f  t  nghịch biến trên D thì bất phương trình f  u  �f  v  u v
3. Các bài tập vận dụng

3.1. Phương pháp biến đổi tương đương
Với phương pháp biến đổi tương đương, tôi đưa ra một số bài tập ở mức độ
thông hiểu và vận dụng để học sinh làm quen và rèn luyện kĩ năng làm bài. Cụ
thể:
x  x  2
�1
Bài tập1: Nghiệm của bất phương trình
3
 x  1  x

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

3


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

Có dạng x 

a  b
a, b, c �   . Tính a  2b  3c

c

A. 9

B. 12

C. 17

D. 18

(Trích Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III)
Lời giải:
Đk: x �0
Khi x �0 ta có

 x  1

3

 x 0

Bpt � x  x  2  �  x  1  x
3

� x 2  2 x �x 3  3x 2  4 x  1  2  x  1 x  x  1





� x3  2 x 2  2 x  1  2  x  1 x  x  1 �0 �  x  1 x 2  x  1  2 x 2  x �0

� x 2  x  1  2 x 2  x �0 �





Kết hợp với điều kiện, ta được x 

1 � 5
2

1  5
. Chọn đáp án C
2

Bài tập 2:Tập nghiệm của bất phương trình
� 1�
A. S  ��; �
� 2�

2

x 2  x  1 �0 � x 2  x  1  0 � x 

3

2x  1  3 6x  1  3 2x  1

� 1�

C. S  ��; �
� 2�

B. S   2; 1

�1
�
D. S  � ; ��
�2
�

(Trích Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III)
Lời giải:
Bpt đã cho � 3 2 x  1  3 2 x  1  3 6 x  1
� 2  3 3 (2 x  1)  2 x  1

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn



3



2x 1  3 2x 1  6x 1

4


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

� 3 (2 x  1)  2 x  1

� 3 2x  1



3

 2 x  1

2



3



2x 1  3 2x 1  2x 1  0

 3  2 x  1  2 x  1 

3

 2 x  1

2



 0 � 2x  1  0 � x  

�1
�
 ; ��
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  �
�2
�
Chọn đáp án D
3.2. Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp
Đới với phương pháp này, học sinh cần có kiến thức về biểu thức liên hợp. Đồng
thời khi nhân và chia với biểu thức liên hợp thì phải tìm điều kiện cho biểu thức
liên hợp.
Bài tập 1: Tập nghiệm của bất phương trình



6x2



2x  1  1

�1 �
 ;1�
A. �
�2 �

2

 2 x  1  x  1  









C. 10  4 5 ;  �

B. 4 5 ; �





D. 10  4 5 ;  �

(Trích bộ đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 )
Lời giải:
Điều kiện: x �1  1
Với  1 , bpt   �

6x2





2x  1 1

2

 2x 1  x  1 � x  3 2x  1  4  x 1

4 x2
2

2

3� �
1�
�
� � 2 x  1  � � x  1  �
2� �
2�
�

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

5

1
2


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

� 2x  1 

3
1
 x 1 
( vì
2
2

2x  1 

3
0,
2

x 1 

1
 0 với x �1 )
2

� 2x  1  x  1  2 � 2x 1  x  3  4 x 1 � x  2  4 x 1
�x  2
�
�x  2
� �2
� ��
x  10  4 5 � x  10  4 5  2 
�

�x  20 x  20  0
�
x  10  4 5
��

Từ  1 ,  2  suy ra: x  10  4 5
Vậy: tập nghiệm của bất phương trình là



x  2  x 2  x  2 � 3 x  2   là

Bài tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình

 a; b  Tính tích
A.



S  10  4 5 ;  � . Chọn đáp án D

a.b

4
3

B.

3
4

C. 2

D.3

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia lần 4 năm 2018 , trường THPT Đồng Quan –
Hà Nội)
Lời giải:
2
3

Điều kiện: x �  1

bpt   � x  2  3x  2   x  2   x  1 �0
�

2  x  2 

�
�
2
  x  2   x  1 �0 �  x  2  �
x 1
��0   
x  2  3x  2
x

2

3

x

2
�
�

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

6


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

2
Nếu x � thì
3

5
�
x

1
�
�
3
�
�
2
3
�

�
�
2
� x  2  3x  2
��
 x 2 0
Nên  �
Từ  1 ,  2  suy ra:

2
5
3
� 
0
2
x  2  3x  2 3

� x  1

x 2  2

2
�x �2
3

2 �
�
Vậy: Tập nghiệm của bất phương trình là S  � ; 2�
3 �
�

Chọn đáp án A

Bài tập 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 6
B. 7
C. 8
(Trích Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III)
Lời giải:
Đk: x �1
TH1: Nếu x � 1;4 (1),  * luôn đúng
TH2: Nếu x  4, thì bpt (*) �

x2





1 x 1

1

x2
1 x



 x  4 (*)

D. 9

2

 x4
x
� x  2  2 x  1  x  4 � x  1  3 � x  8 � 4  x  8(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 1 �x  8
Chọn đáp án D
Bài tập 4: Tập nghiệm của bất phương trình 4 x  1  6 x  4 �2 x 2  2 x  3(*)
là  a; b  . Tính a 2  b 2
A. 1
B. 4
C. 6
D. 2

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

2

7


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2018 , trường THPT Đống Đa– Hà
Nội)
Lời giải:
1
ĐK: x �
4

 * � 4 x  1   x  1  6 x  4  ( x  2) �2 x 2  4 x
�
�
1
1
� ( x 2  2 x) �

 2 ��0
� 4 x  1   x  1
�
6 x  4  ( x  2)
�
�
� x 2 2
x�
0 x 2
 0 �
Tập nghiệm của bpt là S   0;2
Chọn đáp án B
3.3. Phương pháp miền giá trị
Học sinh phải biết cách chia tập xác định của bất phương trình thành các miền
nhỏ, sau đó giải bất phương trình trên từng miền
Bài tập 1: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 5

B. 4

C. 3

x

3 x
 1 (*)
3 x

D. 6

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
ĐK:
TH1: Nếu

thì

nên (*)
�

TH2: Nếu x  3 thì

x  3  x   2 x  0 (vô nghiệm)

nên (*)
�  x  3 x  2 x � x  3  2 x
� x 2  10 x  9  0 � 1  x  9

Kết hợp với điều kiện ta được: 3  x  9
Chọn đáp án A

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

8


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

Bài tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình

2 1

2
8
có dạng
 2 x  �x (*)
x
x

 a; b  � c . Tính a  b  c
A. 1  5

C. 2

B. 1  5

D. 0

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
ĐK: 2 �x  0; x �2
TH1: Nếu 2 �x  0 thì (*) ln đúng





TH2: Nếu x  2 ( vì x  2 , (*) vơ nghiệm) thì (*) � x  2 2  2 x  4 �x x

� 2 x x  2 �x x





2x  4  2 � 2 x  2 � x





2x  4  2





� 2( x  2  x ) � 2 x 2  4 x � 4 2 x  2  x 2  2 x �2 x 2  4 x
� x  2 x  4 x  2 x  4 �0 �
2

2





2

x  2 x  2 �0
2

�
x  1  5(t / m)
� x2  2 x  4  0 � �
x  1  5(l )
�



Tập nghiệm của bất phương trình là S   2;0  � 1  5



Chọn đáp án A
Bài tập 3: Tập nghiệm của bất phương trình
x 2  3x  2  2 x 2  3x  1 �x  1(*)
Có dạng  a; b  � c . Tính c  b

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

9

“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

A. 0

B.

1
2

C. 1

D.

3
2

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
x 1
�
�
Đk:
1
�
x � , x �2
� 2
Nếu x  1 , (*) có dạng: 0 �0 (luôn đúng) � x  1 là một nghiệm của (*)
Nếu x �2 ,  * � x  2  2 x  1 � x  1 (vô nghiệm)

1
Nếu x � ,  * �
2

 2  x  1  x



 1  x  1  2x

�x  1

� 2  x  1  2 x � 1  x � 2  x  1  x � 1  2 x
� 3  2 x  2 x 2  3 x  2 �1  2 x � x 2  3 x  2  1 �0 (luôn đúng với

1
x � )
2
� 1�
�; �� 1
Vậy: Tập nghiệm S  �
� 2�
Chọn đáp án B
Bài tập 4: Tập nghiệm của bất phương trình

x 1
1
 x   *
2
x 1  3  x

Có dạng  a; b  � c; d  . Tính a  b  c  d
A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2018 , trường THPT Kim Liên– Hà
Nội)
Lời giải:
1 �x �3
�
ĐK: �
�x �1

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

10


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

 * �

x 1



x 1  3  x
2  x  1

  x  1 � x 1
2

 x2  2x  3
1
 x   **
2( x  1)
2

TH1: Nếu 1  x �3(1)

 ** � x  1 

 x 2  2 x  3  2 x2  3x  1

� 2   x 2  2 x  3   x 2  2 x  3  6  0 �  x 2  2 x  3 
�

3
2

2 7
2 7
x
2
2

Kết hợp với (1) ta được 1  x 

2 7
2

TH2: Nếu 1  x  1(2)

 ** � x  1 

 x 2  2 x  3  2 x 2  3x  1

<
�<
2 
x 2 2 x 3
 x2
�
2 7
1 �x 
�
2
��
�
2 7
 x �3
�
� 2

2x 3 6 0

0

x2

Kết hợp với (2) ta được: 1 �x 

2x 3

3
2

2 7
2

� 2 7 � �2 7 �
1;
1;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  �
���
�
2
�
� � 2 �
Chọn đáp án A
3.4. Phương pháp đặt ẩn phụ
Đối với phương pháp nay, học sinh cần nhận biết được khi nào đặt ẩn phụ để
đưa về bpt đa thức, khi nào đặt ẩn phụ để đưa về bpt hai ẩn. Chú ý khi đặt ẩn
phụ cần có điều kiện của ẩn.

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

11


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

Bài tập 1: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
x 3   3 x 2  4 x  4  x  1 �0

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2018 , trường THPT Đồng Quan –
Hà Nội)
Lời giải:
ĐK: x �1
Bpt đã cho có dạng x 3  3 x 2 x  1  4





3

x  1 �0  *

TH1: Nếu x  1 , (*) trở thành 1 �0 ( luôn đúng)
Vậy x  1 là một nghiệm của bất phương trình (*)
3

2

� x � � x �
TH2: Nếu x  1 � x  1  0,(*) trở thành �
� 3�
� 4 �0
� x 1 � � x 1 �

Đặt t 

x
, bất phương trình có dạng :
x 1

t �1
�
t 3  3t 2  4 �0 �  t  1  t 2  4t  4  �0 � �
t  2
�
�
1 �
x �x 1
Với t �

1  x �0
�
�
�x  0
�
�2
�
�x  x  1 �0
�

1 x

t 1

1 5
2

� 1 5 �
1;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  �
�
2
�
�
Chọn đáp án C
Bài tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình

x  1  x 2  4 x  1 �3 x

Có dạng  a; b  � c; d  . Tính b.c

A. 1

B. 0

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

C. 4

D. 2

12


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

(Trích đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2018 , trường THPT Lương Thế
Vinh – Hà Nội)
Lời giải:
�x �0
ĐK: �2
�x  4 x  1 �0

a  x 1
�
3 2
�
2
2
2
�

a

b

6
x
�
3
x

a

b
Đặt �

  0 �b �a 
2
b  x2  4 x  1
�
Bất phương trình trở thành: a + b �

3 2
a  b 2  � a 2  4ab  5b 2 �0  *

2

Nếu b  0 � a  0 � x  1 (loại)
Nếu b  0,  * trở thành t 2  4t  5 �0 � 0  t �5 (với t 

Suy ra:

a
0)
b

1
�
0
�
x
�
1
x  4 x  1 �  x  1 � �
4
�
5
x �4
�
2

� 1�
0; � 4;  �
Vậy tập nghiệm của bpt là S  �
� 4�
�
Chọn đáp án A
Bài tập 3: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 2

B. 1

x 4  2 x3  2 x  1
x� 3
x  2x2  2x

C. 3

D. 5

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
ĐK: x  0

 x  1  x  1 ۳
2
x�
�x  1  1�
�
3

Bpt ۳

x

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

( x )3
( x )2  1

 x  1 *

 
2
 x  1  1
3

13


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

�
a  x,a  0
Đặt �
, bất phương trình (*) trở thành
b  x 1
�

a3
b3
��
 � �
a 3
b 2 �۳
1 b 3  a 2 1

2
2
a 1 b 1

a

b  a2

ab b 2

a 2b 2 

0

a b

( Vì a 2  ab  b 2  a 2b 2  0, a  0 )

۳���
x x �
1

0  x �1
�
�
�x  1
�
�2
�
�x  3 x  1 �0
�

0  x �1
�
�

�x  1
�
�
�
�3  5
3 5
�x �
�
�
� 2
2
�

0 x

3 5
2

� 3 5�
0;
Vậy tập nghiệm của bpt là S  �
�. Chọn đáp án A
2
�
�
3.5. Phương pháp hàm số
Tôi đưa ra một số bài tốn cơ bản vận dụng tính đơn điệu của hàm số, ngoài ra
để học sinh thấy được rằng một bài tốn có thể xử lí bằng nhiều cách khác
nhau.Cụ thể:
Bài tập 1: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 2

B. 1

x 4  2 x3  2 x  1
x� 3
x  2x2  2 x

C. 3

D. 5

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
ĐK: x  0

 x  1  x  1 ۳
2
x�
�x  1  1�
�
3

Bpt ۳

x

Xét hàm số đặc trương f  t  

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

( x )3
( x )2  1

 x  1 *
 
2
x

1

1


3

t3
trên khoảng  0; �
t2 1

14


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

Có f

/

 t 

t 4  3t 2

t

2

 1

Mà: (*) có dạng f

2

 0, t  0 suy ra f  t  đồng biến trên khoảng  0; �

 x  �f۳x�1 �

x

x 1

3 5
2

0 x

� 3 5�
S

0;

Vậy tập nghiệm của bpt là
�
�. Chọn đáp án A
� 2 �
Bài tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình
x 2  2 x  3  x 2  6 x  11  3  x  x  1

Có dạng  a; b . Tính a 2  b 2
A. 5

B. 10

C. 11

D. 13

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
Đk: 1 �x �3
Bpt �

 x  1

2

 2  x 1 

 3  x

2

 2  3  x (*)

Xét hàm số đặc trương f  t   t 2  2  t trên đoạn  0;2
/
Có f  t  

t
t2  2



1
2 t

 0, t � 0;2 suy ra f  t  đồng biến trên  0;2

Mà: (*) có dạng f  x  1  f  3  x  � x  1  3  x � x  2
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bpt là S   2;3 . Chọn đáp án D
3.6. Phương pháp vectơ
Đối với phương pháp này, vấn đề mấu chốt là học sinh phải biết chọn tọa độ của
hai vectơ và áp dụng tính chất của tích vơ hướng của hai vectơ vào bài toán cụ
thể

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

15


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

Bài tập 1: Cho bất phương trình x  x  1 �3  2 x 2  10 x  16 . Biết nghiệm
của bất phương trình là một số tự nhiên a. Khi đó a 2  a  1 có giá trị bằng
A. 10

B. 15

C. 21

D. 23

(Trích Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III)
Lời giải:
Đk: x �1
Bpt �  x  3  x  1 � 2.

 x  3

2

  x  1

r
r
Xét các vectơ a  x  3; x  1 , b   1;1





rr
r r
Ta có: a.b  x  3  x  1, a . b  2.
rr r r
۳�
a
.b� a . b
Khi đó bpt

�

x3

1

rr
a.b

r r
a.b

 x  3

2

  x  1

hai vectơ cùng hướng

x 1

� x5
1

Kết hợp với Đk, bất phương trình có nghiệm duy nhất x  5
Chọn đáp án C
Bài tập 2: Cho bất phương trình  3  x  x  1  5  2 x � 40  34 x  10 x 2  x 3
.Biết nghiệm của bất phương trình là một số tự nhiên b. Khi đó, b chia hết cho
A. 3

B. 2

C. 5

D. 7

(Trích Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Tập III)
Lời giải:

5
Đk: 1 �x �
2

r
r
Xét các vectơ a   3  x;1 , b 



x  1; 5  2 x



rr
r r
2
3
Ta có: a.b  (3  x) x  1  5  2 x , a . b  40  34 x  10 x  x

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

16


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

rr r r
۳�
a
.b� a . b
Khi đó bpt

�

rr
a.b

r r
a.b

hai vectơ cùng hướng

3 x
1

� x2
x 1
5  2x

Kết hợp với Đk, bất phương trình có nghiệm duy nhất x  2
Chọn đáp án B
4. Một số bài tốn về bất phương trình vơ tỷ có chứa tham số
Với dạng tốn này, học sinh cần nắm vững cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số và áp dụng định lí cơ bản để xử lí bài tốn.
Bài tập 1: Giá trị lớn nhất của tham số m để bất phương trình

4  x  x  5 �m có nghiệm có dạng a b  0  b  a �  .
Khi đó a  2b bằng
A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
Đk: 5 �x �4
Xét hàm số f  x   4  x  x  5, x � 5;4
/

Có: f  x   

1
1
1

, f /  x  0 � x  
2 4 x 2 x5
2

�1�
 � 3 2
Mặt khác, maxf  x   f �
2�
�

5;4
 
Yêu cầu bài toán ۣ m 3 2 . Chọn đáp án B
Bài tập 2: Giá trị nguyên âm lớn nhất của tham số m để bất phương trình
m 1  x  12 1  x 2 �16 x  3m 1  x  2m  15 nghiệm đúng với mọi

x � 1;1
A. m  5

B. m  4

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

C. m  3

D. m  2

17


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Lời giải:
Đk: 1 �x �1
Bất phương trình � m





1  x  3 1  x �16 x  12 1  x 2  2m  15





� 2�
9 1  x   6  1  x   1  x    1  x  � m 3 1  x  1  x  2  5 �0
�
�
/
Đặt t  3 1  x  1  x � t 

3
1

 0, x � 1;1
2 1 x 2 1 x

� x � 1;1 thì t ��
 2;3 2 �
�
�
Bất phương trình trở thành

2t �

m �
t 2 
2

5 0

Xét hàm số f  t  
�f

/

2t 2  5
,t
t2

m

2t 2  5
, t ��
 2;3 2 �
�
�
t2

 t 

2t 2  8t  5

 t  2





2

Mặt khác, minf  t   f 3 2  
�
 2;3 2 �
�
�

� 2;3 2 �
�
�

 m 
Yêu cầu bài toán ۣ

 0, t ��
 2;3 2 �
�
�

31
23 2

31
. Chọn đáp án A
23 2

5.Hệ thống bài tập tự luyện
Bài tập 1: Tập nghiệm của bất phương trình

 x  1

x 2  2 x  5  4 x x 2  1 �2  x  1

A.  �;  1

B.  �;0

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

C.  0;1

D.  2;4

18


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

Bài tập 2: Tập nghiệm của bất phương trình
4 x  1  2 2 x  3 � x  1  x 2  2  có dạng  a � b; c  . Tính a 2  b

A. 0

B. 4

C. 6

D. 7

1
1
2

 x �1
x2
x 1 3

Bài tập 3: Tập nghiệm của bất phương trình
A.  2;  1

�2

�
B. � ;  1�
�3
�

3�
�
C. �2;  �
2�
�

2x x 

Bài tập 4: Tập nghiệm của bất phương trình
A.  0;1

B.  0; �

5  4x
10
� x 2
x
x

C.  1;4

Bài tập 5: Tập nghiệm của bất phương trình x 

3�
�

D. �2;  �
4�
�

D.  1; �
x

x2  1



35
có dạng
12

 a; b  � c; d  . Tính a  4b
A. 10

B. 11

C. 6

Bài tập 6: Tập nghiệm của bất phương trình 8

D. 9

2x  3
 3 �6 2 x  3 
x 1

4
là
x 1

 a; b  . Tính a  4b  3c
A. 10

B. 11

C. 6

D. 8

Bài tập 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m � 2;6 để bất phương
trình

 x  2  m
A. 4

x  1 �m  4 có nghiệm
B. 5

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

C. 6

D. 3

19

“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

Bài tập 8: Tìm m để bất phương trình 2 x  5  x 2  m nghiệm đúng với mọi
x ��
 5; 5 �
�
�
A. m �2 5

B. m � 5

C. m  2 5

D.

m 5
Bài tập 9: Tìm m để bất phương trình
A. m  1

B. m �0

x  x  m  m có nghiệm
C. m  5

Bài tập 10: Tập nghiệm của bất phương trình 2

D. m  2

x2  x  1

2
 x2  4 �
là
2
x4
x 1

 a; b  Tính a  b
A. 10

B. 11

C. 6

D. 0

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế cho thấy, với cách làm trên đã tạo được cho học sinh sự nhanh nhẹn,
kiên trì, linh hoạt, tiết kiệm được thời gian trong q trình giải tốn. Học sinh
biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến
thức, nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán. Cách làm
trên đã đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã được ôn
tập những kiến thức cơ bản về bất phương trình vơ tỷ , học sinh đã tự giải được
những bài tập tương tự, nhất là những bài tập nằm trong các đề thi thử THPT
Quốc gia của các trường trên cả nước trong thời gian gần đây. Đồng thời biết tự

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

20

“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

xây dựng cho mình hệ thống bài tập phù hợp với nội dung kiến thức được học và
những bài tập tương tự trong các đề thi thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo.
Qua đó, hiệu quả trong học tập của học sinh đã được nâng lên rõ rệt.
Để có được bài viết trên, tơi đã phải mày mị nghiên cứu và kiểm chứng qua một
số nhóm học sinh có học lực khá và trung bình khá trong các lớp mà tôi giảng
dạy như lớp 12A và lớp 10G năm học 2017 – 2018.
Với bài toán: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 2

B. 1

x 4  2 x3  2 x  1
x� 3
x  2x2  2x

C. 3

D. 5

(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 mơn Tốn)
Tơi đã chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có lực học ngang
nhau, làm theo hai cách:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
Cách 2: Sử dụng phương pháp hàm số
Kết quả thu được thể hiện ở bảng sau:
Nhóm

Số học

Số học sinh có lời giải

sinh
Nhóm I( phương pháp

15

Số lượng
10

đặt ẩn phụ)
Nhóm II(phương pháp

15

15

%
66,7%
100%

Số học sinh có lời
giải đúng
Số lượng
%
7
46,7%
14

93,3%

hàm số)
Qua bảng thống kê trên ta thấy, kết quả học tập của học sinh đã vượt trội
sau khi các em tìm được lời giải phù hợp với khả năng của mình trong một bài
tốn cụ thể.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Trong quá trình dạy học, đối với mỗi thể loại kiến thức, nếu giáo viên biết tìm
ra những cơ sở lý thuyết, biết phát huy, sáng tạo cái mới và hướng dẫn học sinh

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

21


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

vận dụng một cách hợp lý vào việc giải các bài tập tương ứng thì sẽ tạo được
điều kiện để học sinh củng cố và hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực hành
giải toán một cách hiệu quả hơn, tạo được sự hứng thú, phát huy được tính chủ
động và sự sáng tạo trong học tập của học sinh.
Mỗi nội dung kiến thức luôn chứa đựng những cách tiếp cận thú vị. Mỗi
giáo viên, cần có sự chủ động trong việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa và phát
huy những kiến thức có sẵn một cách sáng tạo. Trong quá trình giảng dạy, cần
xây dựng phương pháp giải và đưa ra hệ thống các bài tập phù hợp với từng đối
tượng học sinh để giúp cho việc học của học sinh tích cực, chủ động và đạt kết
quả cao hơn.
3.2. Kiến nghị

Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc khơng tránh khỏi những
thiếu sót, tơi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để bài viết được hoàn
thiện hơn, cũng như ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp mình giảng dạy,
đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, cuốn hút hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỎNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 25/05/2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Mai Phi Thường

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

22


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuyên đề luyện thi vào đại học – Đại số - Trần Văn Hạo – NXB Giáo
Dục
2. Các bài giảng luyện thi mơn Tốn – Phan Đức Chính – Lê Thống Nhất –
Tạ Mân – Đào Tam – Vũ Dương Thụy – NXB Giáo Dục
3. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPTQG mơn Tốn năm 2018 – Phan Đức
Tài – Nguyễn Ngọc Hải – Lại Tiến Minh – NXBGD Việt Nam

4. Bài Tập Phương trình – Bất phương trình vơ tỷ - Trần Sĩ Tùng – Nguồn
internet
5. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT – Nguồn internet

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

23


“Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải bài tập trắc nghiệm phần bất phương trình vơ tỷ’’

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
Mai Phi Thường
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn
Kết quả
Năm học
Cấp đánh
TT
Tên đề tài SKKN
đánh giá đánh giá xếp
giá xếp loại
xếp loại
loại
1.
Rèn luyện kĩ năng xác định Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh

C
đoạn vuông góc chung và tính
Hóa
2014 - 2015

Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn

24