SKKN một số giải pháp giúp học sinh trường THPT thường xuân 2 giải thành thạo bài toán tính xác suất

MỤC LỤC
1. Mở đầu.......................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài.....................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu...............................................................................1
1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................................1
1.4. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.............................................................2
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi sử dụng sáng kiến.......................................2
2.3. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề......................................3
2.3.1. Giải pháp 1: Tóm tắt lý thuyết..............................................................3
2.3.2. Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại bài toán tính xác suất......4
2.3.3. Giải pháp 3: Bài tập áp dụng................................................................15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.......................................................17
3. Kết luận và kiến nghị................................................................................17
3.1. Kết luận....................................................................................................17
3.2. Kiến nghị.................................................................................................17
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................19

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Gần đây, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học nói chung đang được bàn
đến trên nhiều diễn đàn khác nhau. Người ta đã đề xuất, thử nghiệm nhiều
phương pháp dạy học để nâng cao hiệu quả giờ dạy Toán. Luật giáo dục do
Quốc hội khóa X thông qua đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần
phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ
năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học

tập cho học sinh”.
Toán học là một môn học đòi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành
phương pháp giải từng dạng toán là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng
dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu.
Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, Y học, công nghệ thông
tin và các ngành kinh tế. Lý thuyết xác suất được đưa vào chương trình Đại số &
Giải tích 11 và cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về ngành toán học
này. Hơn nữa, trong những năm gần đây thì dạng toán này còn có trong đề thi
THPT Quốc gia do bộ giáo dục và đào tạo quy định.
Đứng trước một bài toán xác suất nhiều học sinh thường lúng túng, không
biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong cũng không
dám chắc mình đã làm đúng. Từ những lí do trên tôi đã chọn đề tài: “ Một số
giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân 2 giải thành thạo bài
toán tính xác suất”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung xác xuất gồm định
nghĩa và tính chất để tìm ra phương pháp cho từng dạng bài toán tính xác suất,
giúp học sinh tiếp thu dễ dàng. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh
trong các tiết học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Các dạng toán và phương pháp tính xác suất. Khám phá, phân tích lời giải
chi tiết từ đó học sinh hoàn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu
đáo và có chiều sâu.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, sách tham
khảo về các vấn đề liên quan đến đề tài.
2

1.4.2. Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều tra
theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ.
1.4.3. Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình
giảng dạy, kiểm tra đánh giá nhằm minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng
các giải
pháp.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Theo Nguyễn Bá Kim thì "Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có
nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học
sinh” và “.một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải
thuộc vào học vấn phổ thông..."
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do
đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Với đa số học sinh phổ thông việc
làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất còn rất bỡ ngỡ và thấy khó.
Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản đồng
thời phải thường xuyên làm bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi
giải quyết các bài toán bằng các phương pháp phù hợp.
Do đó tôi luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới để truyền dạy cho
học sinh, một phương pháp học đơn giản, một phương pháp mà học sinh cảm
thấy hứng thú khi học.
Để tiếp cận bài toán xác suất cũng như các bài toán khác ta nên tập cho
học sinh vận dụng quy trình giải toán của G. Polia.
Quy trình 4 bước của G. Polia như sau:
 Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
 Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán.
 Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2.
 Bước 4: Nghiên cứu sâu về lời giải.

Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể sẽ góp phần
tập cho HS xây dựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó. Bản
chất của việc này là làm cho HS chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trường THPT Thường Xuân 2 đóng trên địa bàn miền núi, với đa số học
sinh là con em dân tộc Thái, Mường, còn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến
thức, đặc biệt là kiến thức của các môn đòi hỏi tư duy trừu tượng như môn Toán.
3


Đại đa số các em đều có học lực môn Toán là trung bình, yếu. Với đặc điểm như
trên, để cải thiện chất lượng môn Toán cho đối tượng học sinh đại trà, chúng tôi
thường tập trung vào giúp các em nắm vững và giải thành thạo các bài toán ở
phần kiến thức được đánh giá là dễ học, dễ tiếp thu và giới hạn hàm số là một
trong số kiến thức cần cung cấp cho các em.
Lượng kiến thức về phần xác suất trình bày trong sách giáo khoa Đại số &
Giải tích 11 không nhiều. Qua thực tế giảng dạy xác suất cho học sinh ở trường
THPT Thường Xuân 2 tôi nhận thấy: Đa số các em chưa hiểu sâu sắc các khái
niệm cơ bản như: Không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung
khắc…và đặc biệt đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng,
quy tắc nhân xác suất để giải các bài tập về tính xác suất. Cụ thể năm học 20172018 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi cho học sinh lớp 11B2 làm
bài khảo sát, kết quả như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Số
TL(%
TL(%
Lớp

SL
TL(%) SL
TL(%) SL
SL
HS
)
)
11B2 39
2
5,1
11
28,2
14
35,9
12
30,8
Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2018-2019 tôi đã tiến hành đổi
mới cách dạy nội dung này tại các lớp 11B4, 11B5, 11B6 (Trong đó có lớp 11B5
có chất lượng tương đương với lớp 11B2 trong năm học trước).
2.3. Các giải pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
2.3.1. Giải pháp 1. Hệ thống lại kiến thức liên quan đến xác suất.
a. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố.
a1. Phép thử ngẫu nhiên: Là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả
của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.
a2. Không gian mẫu: Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được
gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là  .
a3. Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu. Biến cố thường được ký hiệu
bằng chữ in hoa A, B, C ,... và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt
bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

 Tập �được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không).
 Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.
a4. Phép toán trên biến cố.
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và
các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
4


 Tập  \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A , kí hiệu là A . Và A xảy
ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
 Tập A �B được gọi là hợp của các biến cố A và B .
 Tập A �B được gọi là giao của các biến cố A và B , còn được viết là
A.B .
 Nếu A �B  � thì ta nói A và B là xung khắc.
 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất của xảy
ra của biến cố kia.
b. Xác suất của biến cố.
b1. Định nghĩa cổ điển của xác suất.
Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết
quả đồng khả năng xuất hiện.
n( A)
Ta gọi tỉ số n() là xác suất của biến cố A kí hiệu là P ( A) . Vậy
P( A) 

n( A)
n()

b2. Tính chất của xác suất.
+) Tính chất cơ bản.

 P (�)  0


P ( )  1

 0 �P ( A) �1 , với mọi biến cố A .
 P ( A)  1  P ( A)
+) Quy tắc cộng xác suất
 Nếu A và B xung khắc ( A �B  �) thì: P ( A �B )  P ( A)  P ( B) .
B
 Nếu A ǹ�
thì P ( A �B)  P ( A)  P ( B )  P( A �B )
+) Quy tắc nhân xác suất:
 Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi: P ( A �B)  P( A).P ( B) .
Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh phân loại bài toán xác suất.
Đối với bài toán tính xác suất ta có thể chia thành các dạng sau:
Dạng 1: Các bài toán tính xác suất áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:
Với dạng này giáo viên cần hướng dẫn học sinh thực hiện theo 3 bước sau:

5


Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra của phép
thử): n() .
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố A đang xét (số kết quả thuận lợi):
n( A)
Bước 3: Tính xác suất theo công thức:

P  A 

n( A)
.
n ()

Bài toán 1(Bài 6 – trang 76 sách Đại số và giải tích ). Xếp ngẫu nhiên ba bạn
nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho.
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
Hướng dẫn giải:
a)
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T: ‘‘Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê
theo hàng ngang” (6 người vào 6 ghế).
* Số phần tử của không gian mẫu: n()  6!  720.
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A : “Nam nữ ngồi xen kẽ nhau”: � n( A)  3!.3! 3!.3!  72
72
1
P ( A) 

720 10 .
Bước 3: Tính xác suất:
b)
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu: � n()  6!  720.
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố B : “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau”: n(B)  4.3!.3!  144
Bước 3: Tính xác suất:

P(B) 

144 1

720 5 .

Bài toán 2( Đề thi chính thức 2018 ). Từ một hộp chứa 11 quả cầu đỏ và 4 quả
cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả
cầu màu xanh bằng:
4
24
4
33
A. 455 .
B. 455 .
C. 165 .
D. 91 .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
6


* Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu từ hộp chứa 15 quả cầu”.
3
* Số phần tử của không gian mẫu: n()  C15  455 (phần tử)
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố

� n  A  C43  4
Xét biến cố A : “Lấy được 3 quả cầu màu xanh”
( phần tử ).
n( A)
4

P ( A) 

n() 455 . Chọn A.
Bước 3: Tính xác suất:
Bài toán 3 (Đề thi chính thức THPT 2018). Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu
1;17 
nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn 
. Xác suất để ba số được viết ra
có tổng chia hết cho 3 bằng
1728
1079
23
1637
A. 4913 .
B. 4913 .
C. 68 .
D. 4913 .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T: “Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự
1;17  ”
nhiên thuộc đoạn 
* Số phần tử của không gian mẫu: n()  17.17.17  4913 (phần tử).
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A : “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 ”.
Lấy một số tự nhiên từ 1 đến 17 ta có các nhóm số sau:
3;6;9;12;15 .
+) Số chia hết cho 3 : có 5 số thuộc tập 
1;4;7;10;13;16 .
+) Số chia cho 3 dư 1 : có 6 số thuộc tập 

2;5;8;11;14;17 .
+) Số chia cho 3 dư 2 : có 6 số thuộc tập 
Ba bạn A , B , C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
 1;17  thỏa mãn ba số đó có tổng chia hết cho 3 thì các khả năng xảy ra như
sau:
3
 TH1: Ba số đều chia hết cho 3 có 5  125 cách.
3
 TH2: Ba số đều chia cho 3 dư 1 có 6  216 cách.
3
 TH3: Ba số đều chia cho 3 dư 2 có 6  216 cách.

 TH4: Một số chia hết cho 3 , một số chia cho 3 dư 1 , chia cho 3 dư 2 có
5.6.6.3!  1080 cách.

� n  A   125  216  216  1080  1637 ( phần tử ).

7


Bước 3: Tính xác suất:

P ( A) 

n( A) 1637

n() 4913 . Chọn D

Bài toán 4( Câu 40 - Đề minh họa 2019): Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi
dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy

ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh
nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
2
1
3
1
A. 5 .
B. 20 .
C. 5 .
D. 10 .
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T: “Xếp ̉ học sinh vào ̉ ghế”.
* Số phần tử của không gian mẫu: n()  6!  720 (phần tử)
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A : “Mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ”.
* Học sinh nam thứ nhất có 6 cách xếp, học sinh nam thứ 2 có 4 cách xếp, học
sinh nam thứ 3 có 2 cách xếp.
* Học sinh nữ có: 3! cách xếp.
� n  A   6.4.2.3!  288 ( phần tử ).
n( A) 288 2
P ( A) 


n
(

)
720
5 . Chọn A

Bước 3: Tính xác suất:
Bài toán 5 (Thi thử THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019): Gọi S
là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các
chữ số 1,2,3, 4,5,6,7,8,9 . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S . Tính xác suất để lấy
được một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11.

2
1
1
8
P .
P
.
P .
.
63
126
63
21
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn học sinh giải:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau
được chọn từ các chữ số 1, 2,3,4,5,6,7,8,9 ”.
P

4

* Số phần tử của không gian mẫu: n()  A9  3024 (phần tử)
Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
Xét biến cố A : “Lấy được một số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó
cũng chia hết cho 11 ”.

8


Gọi số tự nhiên thuộc S có dạng abcd .
Vì abcd  1000a  100b  10c  d  1001a  99b  11c  (a  c)  (b  d )

11 � b  d  (a  c)M
11
nên abcd M
a  cM
11
�
a  b  c  dM
11 � �
b  dM
11
�
Từ giả thiết

2;9  ,(3;8),(4;7);(5;6)
Các cặp có tổng chia hết cho 11 là 
n( A)  4 �3 �2!�2!  48 ( phần tử ).
Bước 3: Tính xác suất:

P ( A) 

n( A)
48
1


n() 3024 63 . Chọn D

Dạng 2: Biến cố đối.
Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và
phức tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn
gọn. Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy.
Bài toán 1 (Bài 8 – trang 77 sách Đại số và giải tích). Cho một lục giác đều
ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào 6 thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.
Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ
đó là:
a) Cạnh của lục giác.
b) Đường chéo của lục giác.
c) Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
Hướng dẫn giải:
* Phép thử T : ‘‘ Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ từ 6 thẻ”. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân
2
biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra được n()  C6 đoạn
thẳng.
2
* Số phần tử của không gian mẫu: n()  C6  15.
a) Xét biến cố A : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ

n( A)  6 � P ( A) 

6 2

15 5 .

là cạnh của lục giác”:
b) Xét biến cố B : cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai
thẻ là đường chéo của lục giác”:

B  A � P ( B )  1  P ( A)  1 

2 3

5 5.
9


cố C : “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ
c) Xét biến
là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”:
n(C ) 6 3
 
n() 15 5
Bài toán 2. Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các
biến cố:
a) Biến cố A : “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b) Biến cố B : “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Hướng dẫn giải:
Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất
hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai
lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.

Do đó học sinh sẽ giải bài toán theo cách giải dạng 1:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu
* Phép thử T : ‘‘tiền xu cân đối đồng chất 3 lần’’
* Số phần tử của không gian mẫu gồm n()  6.6  2.2.2  8 phần tử
n(C )  6 � P (C ) 

Bước 2: Tính số phần tử của biến cố
* Xét biến cố A : “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
A   NSS , SNS , SSN , SNN , NNS , NSN , NNN  � n( A)  7

� P ( A) 

7
8

Bước 3: Tính xác suất:
Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Ta có thể xét
biến cố đối của biến cố A là biến cố A : “Không có lần nào xuất hiện mặt
ngửa”. Do đó bài toán này sẽ được giải theo cách khác:
Cách khác.
* Phép thử T : ‘‘tiền xu cân đối đồng chất 3 lần’’.
* Số phần tử của không gian mẫu gồm n()  6.6  2.2.2  8 phần tử.
* Xét biến cố A : “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố: A : “Không có lần nào xuất hiện
mặt ngửa”.
1
1 7
 SSS  � n( A)  1 � P( A)  � P( A)  1  P( A)  1  
8
8 8

Và ta có: A =
b) Biến cố B : “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.

10


Ta có biến cố đối của biến cố B là biến cố: B : “Trong 3 lần gieo hoặc là không
có mặt ngửa, hoặc là không có mặt sấp”.
2 1
B   SSS , NNN  � n( B )  2 � P( B )  
8 4
Ta có:
� P (B)  1  P(B)  1 

1 3

4 4.

Bài toán 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác
suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A : “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”.
b) Biến cố B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 ”
Hướng dẫn giải:
Nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp, chẳng hạn:
- Đối với biến cố A .
· Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất.
· Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai.
· Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm trong cả hai
khả năng trên).
- Đối với biến cố B . Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức là có

10 khả năng xảy ra.
Vì thế đối với bài toán này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là phương
pháp tối ưu.
* Phép thử: “Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần”.
* Số phần tử của không gian mẫu: n()  6.6  36.
a) Biến cố đối của biến cố A là A : “Không lần nào xuất hiện mặt một chấm”.
25
� n( A)  5.5  25 � P ( A) 
36
25 11
� P (A)  1  P (A)  1 

36 36
b) Biến cố đối của biến cố B là B : “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo
là một số không nhỏ hơn 11 ”.
3
1
B    5;6  ;  6;5  ;  6;6   � n( B)  3 � P( B) 

36 12
� P (B)  1  P (B)  1 

1 11

12 12 .
11


Bài toán 4( Câu 34 - Đề thi thử THPT Quốc gia của sở GD&ĐT Thanh Hóa
2018). Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành một hàng

ngang. Tính xác suất để có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau.
79
5
5
9
A. 14 .
B. 84 .
C. 84 .
D. 14 .
Hướng dẫn giải:
Bài toán này đã trình bày ở trên bằng cách áp dụng định nghĩa cổ điển của xác
suất. Tuy nhiên bài toán này cũng có thể giải bằng cách sử dụng biến cố đối.
* Phép thử T : “Xếp ngẫu nhiên 8 chữ cái trong cụm từ “THANH HOA” thành
một hàng ngang”.
* Số phần tử của không gian mẫu:
Xét trường hợp các chữ cái được xếp bất kì, khi đó ta xếp các chữ cái lần lượt
như sau
3
- Có C8  56 cách chọn vị trí và xếp có 3 chữ cái H.
2
- Có C5  10 cách chọn vị trí và xếp có 2 chữ cái A.
- Có 3!  6 cách xếp 3 chữ cái T, O, N.
n()  56.10.6  3.360
Xét biến cố: A : “Có ít nhất hai chữ cái H đứng cạnh nhau”.

Ta có: A : “ Không có hai chữ cái H đứng cạnh nhau”.
2
Đầu tiên ta xếp 2 chữ cái A và 3 chữ cái T, O, N, có C5 .3!  60 cách xếp.
3
Tiếp theo ta có 6 vị trí (xen giữa và ở hai đầu) để xếp 3 chữ cái H, có C6  20

cách xếp
1200 5
5 9
P ( A) 

� P( A)  1   .
3360 14
14 14 Chọn D
Do đó
..
Nhận xét: Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên
để vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
 Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,
“tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù
gọn hơn thì ta dùng biến cố đối.
 Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
hợp để tránh xác định sai biến cố đối.

Dạng 3: Các bài toán sử dụng công thức cộng xác suất.
Khi dùng quy tắc cộng xác suất cần phải chú ý cho học sinh các biến cố cơ sở
phải xung khắc, trường hợp các biến cố cơ sở khong xung khắc thì phải dùng
12


công thức cộng xác suất mở rộng. Khi đó phải sử dụng cả công thức nhân xác
suất sẽ được trình bày ở dạng 4
Bài toán 1. Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất
để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng nghĩa là không có
chi tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài toán này không thể giải theo

dạng 1 mà phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng
xác suất
Hướng dẫn giải:
* Phép thử T : “Lấy 6 chi tiết trong hòm có 10 chi tiết”.
6
* Số phần tử của không gian mẫu: n()  C10  210
Gọi

A1 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”.
A2 là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”.

A là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”.
Khi đó A  A1 �A2 . Do A1 và A1 xung khắc nhau nên
P( A)  P( A1 )  P( A2 ) .
6
Có 8 chi tiết không bị hỏng nên n( A1 )  C8  28
5
Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là: C8  56 .
1
Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là : C2  2
Theo quy tắc nhân ta có n( A2 )  56.2  112

Do vậy ta có:

P ( A1 ) 

n(A1 ) 28
1



n() 210 15 .

n(A 2 ) 112 8


n() 210 15
2 8 2
� P ( A)  P ( A1 )  P ( A2 )   
15 15 3 .
P ( A2 ) 

Bài toán 2. Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ. Để lập một đoàn đại
biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người. Tính xác suất sao cho
đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ.
Hướng dẫn giải:
Gọi: A là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam hoặc toàn nữ”,
B là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam”,
C là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nữ”.
13


Ta có: B �C  �, A  B �C � P ( A)  P ( B )  P (C )
2
Chọn 2 người từ tổ I, có C13 cách.
2
C
12
Chọn 2 người từ tổ II, có
cách.
2

2
Từ đó không gian mẫu gồm: C13 .C12  5148 (phần tử).
n( B)  C62 .C82  420

n(C)  C72 .C42  126

P (A) 

420 126
546


�0,106
5148 5148 5148

Vậy
Bài toán 3. Một hộp đựng 88 viên bi xanh và 44 viên bi đỏ. Lấy ngẫu
nhiên 33 viên bi. Tính xác suất để
a) Lấy được 33 viên bi cùng màu.
b) Lấy được 33 viên bi khác màu.
c) Lấy được ít nhất 22 viên bi xanh.
Hướng dẫn giải:
a) gọi A là biến cố “ Lấy được 33 viên bi xanh”, B là biến cố “ lấy
được 33 viên bi đỏ” và H là biến cố “ lấy được 33 viên bi cùng màu”.
Ta có H  A �B và A �B  � nên P( H )  P ( A)  P ( B)
C83 14
C43 1
P ( A)  3 
P (B)  3 
C12 55 và

C12 55
14 1 15 3
P( H )   

15 55 55 11
Vậy nên
b) Biến cố “ lấy được 33 viên bi khác màu” là biến cố H ,
3 8
� P( H )  1  P( H )  1  
11 11
c) Gọi C là biến cố: “lấy được 22 viên bi xanh và một viên bi đỏ” .
K là biến cố: “ lấy được ít nhất 22 viên bi xanh”.
Ta có K  A �C và A �C  � nên P( K )  P( A)  P(C)
C82 .C41 28
P (C ) 

C123
55

P( K ) 

14 28 42


55 55 55

Vậy:
Dạng 4: Các bài toán sử dụng công thức nhân xác suất.
Để làm được cách này học sinh phải hiểu các khái niệm về biến cố giao, các
biến cố độc lập, quy tắc nhân xác suất.

14


Bài toán 1. Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0, 2 . Tính xác suất để
trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần.
Hướng dẫn giải:
Gọi A là biến cố: “ Người xạ thủ bắn trúng bia”.
Khi đó A là biến cố: “Người xạ thủ không bắn trúng bia”.

 

P A  1  0,2  0,8
Ta có P( A)  0,2 và
Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và không trúng hai lần sau là
P1  0,2 �0,8 �0,8  0,128

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 không trúng là

P2  P1

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần 1 và lần 2 không trúng là P3  P1
Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng một lần là
P  0,128.3  0,384
Bài toán 2. Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A

7
trong một lần bắn là 10 . Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn
9
trúng của B trong một lần bắn là 10 . Tìm xác suất để mục tiêu không trúng
đạn.

Hướng dẫn giải:
3
P ( A1 ) 
10
Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì
3
P( A2 ) 
10
Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì
A1 , A2 là độc lập và A  A1 �A2 là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn

3
P( A)  P ( A1 ).P ( A2 )  ( ) 2
10
Gọi B1 là biến cố B bắn trượt lần bắn thứ nhất thì
Gọi B2 là biến cố B bắn trượt lần bắn thứ hai thì

P ( B1 ) 

P( B2 ) 
P( B3 ) 

Gọi B3 là biến cố B bắn trượt lần bắn thứ ba thì
B  B1 �B2 �B3 là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắ

1
10

1
10

1
10

15


1
P ( B )  P ( B1 ).P( B2 ) P( B3 )  ( ) 3
10
A, B là độc lập và A �B là biến cố mục tiêu không trúng đạn
32
P ( A �B )  P ( A).P ( B )  5
10 .
Bài toán 3. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm.
b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn .
Hướng dẫn giải.
a) Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử của
biến cố, học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp. Tất nhiên là
cách giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học sinh khá hơn
thì sử dụng tính toán để đếm số phần tử như sau:
Ta có n()  6.6  36 .
Gọi A là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm”
Do đó

A    i, j  / i, j � 2,4,6 

.

i � 2,4,6 , với mỗi cách chọn i ta có 3 cách chọn j. Do đó có 9
Có 3 cách chọn 
i, j �A � n( A)  9 .
cách chọn  
P ( A) 

n( A) 9 1


n() 36 4 .

Tuy nhiên bài toán này có thể được giải quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử
dụng quy tắc nhân xác suất.
Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn chấm”
B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn chấm”.
X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn chấm”.
Thấy rằng A và B là hai biến cố độc lập và
(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)

P ( A)  P ( B) 

3 1

6 2.

1 1 1
P ( X )  P (A.B)  P(A).P(B)  . 
2 2 4.
Do đó:
b) Gọi Y là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”

Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:
· Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ.
· Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn.
16


· Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
Khi đó: Y : “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả hai
con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.
Ta có Y  A.B và A,.B độc lập nên ta có:
� 1 �� 1 � 1
P (Y )  P( A).P ( B)   1  P( A)  . 1  P( B)  �
1 �
.�
1  �
� 2 �� 2 � 4
1 3
P (Y)  1  
4 4
Vây:
Bài toán 4. ( VD 2 sách bài tập Đại số & giải tích 11 trang 70). Một lớp học có
40 sinh viên học tiếng anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả
tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất của các
biến cố sau:
a) A : “Sinh viên được chọn học tiếng Anh”.
b) B : “Sinh viên được chọn chỉ học tiếng Pháp”.
c) C : “Sinh viên được chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp”.
d) D : “Sinh viên được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp”.
Hướng dẫn học sinh giải:
40 2

30 1
20 1
P ( A) 

P (B) 

P ( A �B) 

60
3
60
2
60
3.
Ta có:
,
và

Vậy:

P (C )  P( A �B )  P( A)  P ( B )  P(A�B) 

2 1 1 5
  
3 2 3 6.

5 1

6 6
Bài toán 5. Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là

P (D)  P( A �B )  P ( A �B)  1  P(A �B)  1 

1
4 . Lớp học có đủ ánh sáng nếu ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tìm xác suất để lớp học
có đủ ánh sáng
Hướng dẫn giải:
Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố “ lớp có 6 bóng đèn sáng ”, “ lớp có 5
bóng đèn sáng ” và “ lớp có 4 bóng đèn sáng ”.
3
Mỗi bóng có xác suất sáng là 4 . Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:
6

�3 �
P ( A)  � �
�4 � ;

5

�3 ��1 �
5 � �� �
P( B)  C6 �4 ��4 �;

4

2

�3 ��1 �
4 � �� �
P(C )  C6 �4 ��4 �.
17

Gọi X là biến cố lớp có đủ ánh sáng . Ta có :
P ( X )  P ( A)  P( B )  P (C )  0,8305
2.3.3. Giải pháp 3: Bài tập áp dụng.
Bài 1. Học sinh A thiết kế bảng điểu khiển điện tử mở của phòng học của lớp
mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có 2 nút
nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn 3 nút khác nhau sao cho 3 số
trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10.
Học sinh B không biết quy tắc mở của trên đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút
khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất để B mở được của phòng học đó.
( THPTQG 2016)
Bài 2. Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu
nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm Y tế dự
phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác
chuẩn bị. Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được
chọn.
( THPTQG 2015)
Bài 3. Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4
thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
(ĐH A2014)
Bài 4. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ
phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận
kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3
hộp sữa được chọn có cả 3 loại.
(ĐH B2014)
Bài 5. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được chọn
từ các số 1;2;3;4;5;6;7. Xác định số phần tử của S, tính xác suất để số được chọn
là số chẵn.
(ĐH A2013-CB)

Bài 6. Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi
trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
hộp ra một viên. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi cùng màu.
(ĐH B2013-CB).
Bài 7. Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên
gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được
gọi có cả nam và nữ.
(ĐH B2012-CB).
Bài 8. Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời,
trong đó chỉ có một câu đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời
18


sai bị trừ 1 điểm .Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú hoạ một câu trả
lời. Tính xác suất để:
a/ Học sinh đó được 13 điểm
b/ Học sinh đó được điểm âm
Bài 9. Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bong xác suất bị cháy là 0,25. Lớp
học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 5 bóng đèn. Tính xác suất để lớp học không đủ
ánh sáng
Bài 10. Một đoàn tầu có 4 toa đỗ ở một sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên
tầu, mỗi người độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để 1 toa
có 3 người, 1 toa có một người và2 toa còn lại không có ai.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Như trong phần đặt vấn đề đã nêu, sáng kiến nhằm đưa ra giải pháp giúp
học sinh trường THPT Thường Xuân 2 giải thành thạo bài toán tính xác suất.
Với tinh thần đó, trong quá trình soạn, dạy dạng toán này tôi thực hiện
theo cách phân dạng và định hướng cách giải cho từng dạng từ dễ đến khó dự
theo định nghĩa cổ điển của xác suất và các tính chất của xác suất thông qua các

bài toán được chọn lọc. Khi tiến hành các giải pháp này tại các lớp lớp 11B4,
11B5, 11B6, tôi nhận thấy:
- Học sinh tỏ ra hứng thú hơn khi giải toán, không còn thấy lúng túng, mơ
hồ về dạng toán này vì không biết bắt đầu từ đâu.
- Giờ dạy tránh được tính đơn điệu, nhàm chán theo một lối mòn lâu nay.
- Học sinh có nhiều thay đổi tích cực về phương pháp học tập và tư duy
giải toán.
Kết quả đó còn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra ở lớp 11B5 (vì
lớp 11B5 có chất lượng tương đương với lớp 11B2 trong năm học trước).

Lớp

Số
HS

11B5

38

Giỏi

Khá

TB

SL

TL(%)

SL

TL(%) SL

7

18,4

16

42,1

11

Yếu
TL(%
)
28,9

SL
4

TL(%
)
10,5

Như vậy tôi thấy cách triển khai đề tài này mang lại hiệu quả rất khả quan.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết quả thực hiện đề tài
Qua thời gian thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi chưa đưa chuyên đề vào

giảng dạy, học sinh chỉ có thể giải quyết những bài tập tính xác suất ở mức độ
19


nhận biết và thường gặp lúng túng khi giải các bài toán ở dạng thông hiểu, vận
dụng thấp và vận dụng cao. Sau khi học chuyên đề học sinh đã có thể làm tốt
các bài tập khó, các em hứng thú và say mê hơn trong học tập. Qua khảo sát kết
quả học tập của các em tăng lên rõ rệt.
3.2. Kiến nghị
a) Để học sinh có kết quả cao trong học tập giáo viên cần nghiên cứu, tìm
tòi, phân loại và xây dựng được các phương pháp giải toán sao cho học sinh dễ
hiểu và cách giải ngắn nhất.
b) Giáo viên tăng cường kiểm tra, sửa chữa sai sót cho học sinh, đồng thời
động viên các em khi các em tiến bộ.
c) Giáo viên hướng dẫn cách tự đọc sách của học sinh, động viên tìm tòi
các phương pháp hay, ngắn gọn.
d) Tôi thấy chuyên đề này thực sự hiệu quả với đa số các em học sinh
khối 11 trong trường, vì vậy nhà trường, tổ chuyên môn cần tạo điều kiện để
chuyên đề này được triển khai ở tất cả các lớp 11 trong năm học tới.
Trên đây là một vài ý kiến nhỏ của cá nhân tôi qua quá trình giảng dạy bài
xác suất lớp 11. Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có
nhiều thiếu sót và hạn chế. Rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng
nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 9 tháng 5 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Đỗ Thị Oanh

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phương pháp dạy học môn toán – Nguyễn Bá Kim(Chủ biên) và Vũ Dương
Thụy (Trang 212).
2. Sách giáo khoa; sách bài tập Đại số & Giải tích lớp 11 (Chương 2).
3. Tìm kiếm trên Internet các chuyên đề ôn thi Đại học liên quan đến bài toán
tính xác suất, và sưu tầm toàn bộ các bài toán tính xác suất trong các đề thi Đại
học, đề thi THPTQG các năm gần đây.

21


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Oanh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thường Xuân 2.

Cấp đánh giá
xếp loại
TT

1.

Tên đề tài SKKN

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Một số sai lầm của học sinh

Ngành GD cấp
khi làm bài toán khảo sát hàm huyện.

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

B

2006

Ngành GD cấp
huyện.

A

2009

Ngành GD cấp
tỉnh

C

2011

Ngành GD cấp
huyện.

B

2013

Ngành GD cấp
huyện.

B

2014

số.
2.

Hướng dẫn học sinh giải bài
toán viết phương trình đường
thẳng trong mặt phẳng.

3.

Hướng dẫn học sinh giải bài
toán tính thể tích khối đa
diện.

4.

Hướng dẫn học sinh giải bài
toán tìm giới hạn.

5.

Hướng dẫn học sinh trung
bình yếu ở trường THPT
Thường Xuân 2 giải bài tập
chương 2 Hình học 11: “Quan

22


hệ song song trong không
gian”.
6.

Hướng dẫn học sinh trung
bình yếu ở trường THPT

Ngành GD cấp

huyện.

A

2016

Thường Xuân 2 giải bài tập
chương 2 Hình học 11: “Quan
hệ song song trong không
gian”.

23