SKKN THPT lê lợi giải một số bài toán áp dụng phương pháp phân tích véc tơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LỢI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
NÂNG CAO NĂNG LỰC TƯ DUY MÔN TOÁN QUA VIỆC
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP
PHÂN TÍCH VÉC TƠ.

Người thực hiện: Lê Thị Lịch
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018
1


MỤC LỤC
STT
1

Nội dung
1.Mở đầu

Trang
1

1.1. Lí do chọn đề tài.

1.2. Mục đích nghiên cứu

2

1.3. Đối tượng nghiên cứu
2

3

1.4. Mục đích nghiên cứu
2. Nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm

2

2.1. Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm

2

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

3

2.2.1. Thuận lợi

3

2.2.2. Khó khăn
2.3. Các kiến thức trọng tâm và bài tập áp dụng

3

3

2.3.1. Một số kiến thức liên quan

4

2.3.2. Các bài tập áp dụng

5

2.3.2.1. Hướng dẫn HS các bài tập phân tích véc tơ theo hai 6-8
véc tơ không cùng phương.
4

5
6

7
8

2.3.2.2.Các bài tập áp dụng phương pháp phân tích véc tơ
2.3.3. Các bài tập rèn luyện

8-14

2.3.3.1. Các bài tập tự luận

14-15

2.3.3.2. Bài tập trắc nghiệm

2.4. Kết quả
3.1. Kết luận

15-17
17-18

3.1.1. Bài học kinh nghiệm

19

3.1.2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Các SKKN đã được xếp loại

20
21
22-23

1. Mở đầu:

2


1.1. Lí do chọn đề tài. Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục
phải được thực hiện theo nguyên lí học đi đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao
động sản xuất, lý luận phải gắng liền với thực tiễn...”[3]. Trước bối cảnh mà toàn
nghành giáo dục nước ta đang chuẩn bị cho quá trình đổi mới toàn diện chương
trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông sau năm 2015, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
chủ trương cần thiết phải đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh
giá kết quả giáo dục theo định hướng phát triển năng lực người học. Đất nước ta

đang trong quá trình hội nhập quốc tế sâu rộng, trong sự phát triển nhanh chóng của
khoa học và công nghệ, khoa học giáo dục và sự cạnh tranh quyết liệt trên nhiều lĩnh
vực giữa các quốc gia trên thế giới. Xu thế chung của thế giới khi bước vào thế kỉ
XXI là các nước tiến hành đổi mới mạnh mẽ và cải cách giáo dục [ 3 ].
Mục tiêu của giáo dục ngày nay là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ để phục vụ đất
nước. Do vậy các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với các bài tập vận dụng
và có tính tư duy . Chính vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng chỉnh sửa cải
cách nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu của xã hội [ 3]
Trong hình học lớp 10, chương I - Vectơ là chương đầu tiên và cũng là phần kiến thức
mới đối với các em học sinh, đặc biệt là những kiến thức này các em thường cho là
khó và lạ với các em khi bước vào Trung học phổ thông. Ở lớp 10, vectơ được áp
dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng
là cơ sở để trình bày phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Ngoài ra, các kiến thức về
vectơ còn được áp dụng trong Vật lý như vấn đề tổng hợp lực, phân tích một lực theo
hai lực thành phần…và nó còn giúp các em sử dụng để giải quyết những bài toán hình
học không gian liên quan đến véc tơ ở lớp 11 và 12, đặc biệt là các bài toán trong các
kỳ thi học sinh giỏi [4]
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là bài toán ngược của bài
toán tính tổng của hai vectơ, việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương còn giúp học sinh giải các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, các bài
toán áp dụng trong vật lý… Nó cũng là một dạng bài tập mới lạ đối với các em lớp
10, tạo nhiều hứng thú đối với các em yêu thích môn Hình học. Từ thực tế những năm
học đã qua, có nhiều em còn lúng túng và rất ngại học khi gặp các bài tập về dạng
này.
Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em mà cần dạy cả
phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, đặc
biệt hướng tư duy khái quát. Xuất phát từ những lí do chủ quan của bản thân và tính
tất yếu về yêu cầu thực tiễn của đổi mới giáo dục. Chính vì lẽ đó mà tôi chọn đề tài:
"Nâng cao năng lực tư duy Toán học qua việc hướng dẫn học sinh lớp 10 trường
THPT Lê Lợi giải một số bài toán áp dụng phương pháp phân tích véc tơ "

1.2. Mục đích nghiên cứu.
3


Trong quá trình công tác và giảng dạy môn Toán ở trường THPT Lê Lợi tôi thấy.
Trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, đã có không ít học sinh thi đạt kết quả cao đạt
điểm 8 thậm chí đạt điểm 9 đến điểm 10, nhưng khi vào học thì kết quả học tập chỉ
đạt trung bình, thậm chí điểm yếu hoặc không thể học tiếp. Lí do vì sao? Có một số
em không chú ý học nhưng nguyên nhân chủ yếu là các em chưa có phương pháp học
tập đúng, khả năng suy luận, khái quát còn yếu, chưa quen với chương trình Toán ở
cấp THPT. Do đó vấn đề đặt ra cho người thầy là:
+ Ngoài sự yêu nghề, lòng đam mê bộ môn toán học người thầy phải có phương
pháp tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh từ đó gợi mở sự sáng tạo, phát triển tư
duy của các em.
+ Người thầy không chỉ thường xuyên rèn luyện phẩm chất đạo đức, học tập để
nâng cao trình độ mà còn phải đổi mới về phương pháp, cách truyền đạt cho học sinh
để giúp các em tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng.
+ Cần giúp các em giải quyết các bài tập để nâng cao năng lực tư duy Toán học
từ đó các em học Toán dể dàng hơn.
Vì vậy tôi chọn đề tài này nhằm mục đích hướng dẫn các em học sinh có thể tiếp cận
với môn hình học, đặc biệt là hình học véc tơ ở lớp 10 để các em học sinh có hứng
thú, say mê học tập môn toán và đáp ứng một phần câu hỏi khó trong kỳ thi THPT
Quốc gia sắp tới.
1.3. Đối tượng nghiên cứu. Trong nhà trường phổ thông khi dạy bộ môn Toán thì sự
hứng thú và đam mê học để có kết quả cao là một nhiệm vụ quan trọng đối với học
sinh và các thầy cô giáo cũng như tập thể nhà trường. Nhiệm vụ quan trọng này được
các em học sinh quyết tâm nổ lực phấn đấu và rèn luyện để đạt kết quả tốt nhất. Kết
quả này phụ thuộc rất lớn vào sự nổ lực phấn đấu của các em học sinh và quá trình
giảng dạy của các thầy cô giáo, đặc biệt là các thầy cô dạy lớp 10, lớp đầu tiên của

cấp học Trung học phổ thông. Chính vì vậy đề tài này của tôi tập trung nghiên
cứu dành chủ yếu cho các em học sinh lớp 10 trường THPT Lê lợi khi mà các
em còn bở ngỡ, chưa quen với tư duy cách học của cấp Trung học phổ thông.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
1.4.1. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
Nghiên cứu các tài liệu có nội dung liên quan đến đề tài như: Sách, báo, các phương
tiện truyền thông.
1.4.2. Các phương pháp nghiên cứu thực tiễn.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
Phương pháp thống kê sử lí số liệu.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa,
người thầy phải cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy
4


luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt để học sinh có được
những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên. Hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng
bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp,
khái quát hoá các vấn đề giúp nâng cao năng lực tư duy Toán học cho học sinh.
Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này: Từ các bài tập đơn giản,
với cách giải là áp dụng phương pháp có sẵn, nhưng ta thấy:
Có nhiều cách trình bày giải khác nhau.
Từ một bài toán cụ thể ta có thể mở rộng ra những bài toán tổng quát, nâng cao.
Kết quả của bài toán này có thể sử dụng để làm bài toán khác
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1.Thuận lợi:
Các em được học “Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” sau khi đã

học các phép cộng, phép trừ hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số và các tính
chất của các phép toán đó. Các em so sánh được các phép toán trên vectơ và các phép
toán trên các tập hợp số đã học.
Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương có áp dụng trong một số bài
toán có nội dung vật lý liên quan đến thực tế.
Sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phục vụ cho việc học tập của các em đầy đủ.
Đa số các em học sinh ở trường tôi chăm chỉ học tập, nắm vững những kiến thức cơ
bản ở các lớp dưới và các kiến thức liên quan, chủ động, tích cực trong học tập.
2.2.2. Khó khăn:
“Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương” là một mục nhỏ trong bài
“Tích của vectơ với một số” thời gian học khoảng 10 đến 15 phút. Bài tập dạng này
và áp dụng của nó là bài mới và khó đối với các em mới được học về vectơ, không có
thời gian luyện tập, nhiều em còn lúng túng trong việc tìm cách giải và cách trình bày
bài giải.
Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít, chưa phát huy được tác dụng rèn luyện kỹ
năng giải bài tập cho học sinh
2.3. Các kiến thức trọng tâm và bài tập áp dụng.
2.3.1. Một số kiến thức liên quan:
*Quy tắcuba
điểm: rvới u
3uu
điểm
M, N, P tùy ý ta có:
uur uuuu
r
MP = MN + NP

Quy
:urVớiuuba
O,

uuu
r tắc
uuu
r vềuuhiệu
u
r hai vectơ
uuu
r uu
u
r điểmuu
u
r A,uuB
u
r tùy
uuu
rý cho trước ta có:
OB − OA = AB (hoặc OA − OB = BA ) hay AB = OB − OA
*Quy tắc hình bình hành:
B
C
uuu
r uuur uuur
Cho hình bình hành ABCD thì AB + AD = AC
A
*Tính chất của trung điểm của đoạn thẳng:

uuur uuur

D
r

M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = 0
5


M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm I ta có:
uuur 1 uu
r uur
IM = ( IA + IB)
2

*Tính chất trọng tâm của tam giác:
A

G

B

C

I

uuu
r uuu
r uuur r
G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:

uuuu

r 1 uuur uuur uuuu
r
MG = ( MA + MB + MC ) .
3

*Điều kiện hai vectơ cùng phương:
r r r r
r
r
Hai véc tơ a, b b ≠ 0 cùng phương ⇔ ∃k : a = k b , ( k ∈ ¡ ). Khi k>0 thì ta có

(

r r r r
a, b b ≠ 0 cùng hướng.

(

)

)

*Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
uuu
r
uuur
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k sao cho AB = k AC , ( k ∈ ¡ , k ≠ 0, k ≠ 1 ).
*Phân tích mộtr vectơr theo hai vectơ không cùng phương:
r
Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ c đều phân tích được

r
r
một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số thực m, n sao
r
r
r
cho c = ma + nb .
r r

r

r

r

m = 0

*Nếu a, b không cùng phương mà ma + nb = 0 ⇔ 
.
n = 0
*Phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: sử dụng quy
tắc ba điểm phối hợp với các tính chất của các phép toán vectơ để biểu thị vectơ cần
biểu diễn theo hai vectơ không cùng phương cho trước.
Có hai hướng giải:
Hướng1: Từ giả thiết của bài toán xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai
triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp “chèn” điểm theo quy tắc ba điểm.
Hướng 2: Giả sử đã có một cặp số m, n. Dùng các tính chất đã biết và giả thiết của bài
toán biến đổi về hai vectơ không cùng phương cho trước rồi dùng điều kiện cùng
phương để suy ra m, n.
2.3.2. Các bài tập vận dụng :

6


2.3.2.1. Hướng dẫn học sinh phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương qua bài tập sau.
Bài tập 1: Cho ∆ ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm
củar các
cạnh
và
uuu
r r BC,
uuur CA, AB và I là giao điểm ucủa
ur uAD
uur uu
ur EF.
uuur
r r
Đặt u = AE ; v = AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE , DC theo hai vectơ u, v
Giáo viên: Với bài này học sinh dể dàng sử dụng tính chất trung điểm, quy tắc 3 điểm,
tính chất trọng tâm mà không phải tư duy nhiều. Giáo viên có thể gọi học sinh lên
bảng để giải.
A
Hướng dẫn giải:
uur

1 uuur 1 uuur uuur
2
2
uuur 2 uuur 2 r 2 r
AG = AD = u + v

3uu
3ur 3r
uuur u
r
uu
r
DE = FA = − AF = 0.u + (−1)v
uuur uuu
r uuur uuur r r
DC = FE = AE − AF = u − v

1r
2

1r
2

Ta có AI = AD = ( AE + AF ) = u + v)

C

Bài tập 2. Cho AK và BM
r là
uuuhai
r r trung
uuuu
r tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích s
vectơ sau theo hai vectơ a = AK , b = BM .
uuu
r

a, Véc tơ AB
uuur
b, Véc tơ BC
Hướng dẫn giải:
C
M
A

G

K
uuu
r

B

a,
Trước hết hướng
dẫn học sinh phân tích vectơ AB theo hai vectơ
r uuur r uuuu
r
a = AK , b = BM .
Giáo viên: Gọi một học sinh nhắc lại cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không
cùng phương. Nêu các hướng giải?
uuu
r
Giáo viên: Theo quy tắc ba điểm và giả thiết của bài, vectơ AB có thể phân tích thành
tổng của hai
uuu
r vectơ

uuur không
uuu
r cùng phương nào?
Trả lời : u
AB
AK
uu
r= u
uuu
r+ KB
uuur
AB
MB
uuu
r = AM
uuur + u
uu
r
AB = AC + CB

……….
Giáo viên : Gọi một em lên bảng làm bài .
Khi học sinh hoàn thành bài giải trên bảng, giáo viên sửa lời giải:
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Theo quy tắc ba điểm ta có:
7


uuuu
r

r
uuu
r uuur uuu
r uuur uuuu
r uuur
1 uuu
KM
=
−
AB
,
mà
(vì MK là đường trung bình của
AB = AK + KB = AK + KM + MB
2

tam giác ABC).

uuu
r uuur

r uuuu
r
uuu
r 1 uuu
r uuur uuuu
r
r uuur uuuu
r
1 uuu

3 uuu
AB = AK − BM
2
2
2
uuu
r 2 uuur 2 uuuu
r 2 r r
Hay AB = AK − BM = (a − b) .
3
3
3
uuur uuuu
r
uuu
r
Giáo viên: Theo em còn cách nào phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK , BM nữa

Do đó: AB = AK − AB − BM ⇔ AB + AB = AK − BM ⇔

không? Áp dụng hiệu
uuu
r của
uuu
r hai
uuu
rvectơuta
uurcó cách
uuuu
r giải như thế nào?

Cách 2: Ta có: AB = CB − CA = −2 BK + 2 AM

uuu
r
uuur uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuu
r
uuur uuuu
r
⇔ AB = −2( AK − AB) + 2( BM − BA) ⇔ 3 AB = 2 AK − 2 BM
uuu
r 2 uuur 2 uuuu
r 2 r r
⇔ AB = AK − BM = (a − b)
3
3
3

Để rèn luyện tư duy của học sinh, giáo viên cho nhận xét về vị trí của điểm M và K?
Từ đó suy ra cách giải 3.
Cách 3: Vì M,
uuurK lần
uuu
r lượt
uuurlà các
uuu

r trung
uuuu
rđiểm
uuu
rcủa các
uuu
r cạnh
uuuu
rAC và BC, ta có:
uuu
r
uuur uuuu
r
2 AK = AB + AC = AB + 2 AM = AB + 2( AB + BM ) ⇔ 3 AB = 2 AK − 2 BM
uuu
r 2 uuur 2 uuuu
r 2 r r
Hay AB = AK − BM = (a − b) .
3
3
3

Giáo viên : Nếu tinh ý hơn, vẫn theo qui tắc ba điểm nhưng nếu sử dụng tính chất
trọng tâm của tam giác ta có cách giải khác như thế nào?
Cách 4: Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
uuu
r uuur uuu
r 2 uuur 2 uuuu
r 2 r r
AB

=
AG
+
GB
=
AK
−
BM
= ( a − b) .
Theo qui tắc ba điểm, ta có:
3
3
3

Nếu trình bày bài giải theo hướng thứ hai thì
uuu
r ta làm
uuurnhư uthế
uuu
r nào ?
Cách 5: Giả sử đã có cặp số m, n sao cho: AB = m AK + nBM (1).
Gọi G là giao điểm của hai trung tuyến AK và BM của tam giác ABC.
uuur

r
2 uuur uuur 2 uuuu
AK ; BG = BM
3
3r uuur uuu
uuu

r
Theo qui tắc ba điểm: AB = AG + GB
uuur
uuur uuu
r 3 uuur 3 uuur
3
3
 uuur
Do đó (1) ⇔ AG + GB = m AG + nBG ⇔  m − 1÷AG = (− n − 1) BG (2)
2
2
2
2

2

3
m=
m −1 = 0


uuur uuur
2

3
⇔
Vì AG, BG không cùng phương nên từ (2) ⇒ 
− 3 n − 1 = 0
n = − 2
3

 2

uuu
r 2 uuur 2 uuuu
r 2 r uu
r
Vậy AB = AK − BM = (a − b) .
3
3
3

Ta có: AG =

8


Sau khi hướng dẫn học sinh các cách giải và trình bày ý thứ nhất, giáo viên cho các
em nhận xét và trình bày bài giải vào vở bằng cách ngắn gọn nhất. Qua đó giáo viên
cũng lưu ý các em là cách phân tích véc tơ có nhiều hướng để làm. Tuy nhiên các em
nên tư duy để đưa ra cách ngắn nhất để tiết kiệm thời gian trong các lần thi trắc
nghiệm và đặc biệt là phát triển tư duy chouuu
các
3.
r em như cách giải
r uuur r uuuu
r
b, Làm tương tự với việc phân tích vectơ BC theo hai vectơ a = AK , b = BM
Giáo viên : Gọi học sinh trình bày cách giải và nên cho học sinh tư duy theo hướng
uuur
2r 4r

=
a+ b
ngắn và khoa học nhất. Kết quả: BC =
3
3

Để học sinh luyện khả năng khái quát giáo viên có thể hỏi: Có một công thức nào để
áp dụng phân tích nhanh một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho trước
không? Cho học sinh làm bài toán sau:
Bài
Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho
uuur toán
uuuu
r3: Cho tam giác ABC.uuu
u
r
uuu
r uuur
MB = k MC ( k ≠ 1) . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB , AC .
Học sinh dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán mà không phải tư duy nhiều.
Lời giải:
uuur
uuuu
r
uuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r
MB

=
k
MC
⇔
AB
−
AM
=
k
AC
−
AM
Ta có:
uuu
r
uuur
uuuu
r AB − k AC
⇔ AM =
1− k

(

)

uuuu
r uuu
r
uuur
⇔ (1 − k ) AM = AB − k AC

Giáo viên :Lưu ý học sinh đưa ra nhận xét k = – 1
uuuu
r

Nếu k = – 1 thì ta có AM =

r uuur
1 uuu
AB + AC . Đúng với tính chất trung điểm của đoạn
2

(

)

thẳng.
Ta có thể thay đổi giả thiết của bài toán để được bài toán mới:
Bài
Điểm M nằm
trên đường thẳng BC sao cho
uuuu
rtoánuu4:
uu
r Cho tam giác ABC.
uuuu
r
uuu
r uuur
nBM = mMC . Phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB , AC .

Giáo viên: Gọi học sinh nhận xét giả thiết của bài toán 3 so với bài toán 2 để áp dụng
được công thức của bài toán 3 ta làm thế nào?

uuuu
r uuu
r
uuur uuuu
r
⇔ n AM − AB = m AC − AM
uuuu
r
r
uuuu
r
uuu
r
uuur
n uuu
m uuur
AB +
AC
⇔ (m + n) AM = n AB + m AC ⇔ AM =
m+n
m+n
uuur
r
uuuu
r
uuuu
r

m uuuu
Ta có : nBM = mMC ⇔ MB = − MC . Theo kết quả bài toán 3 khi đó
n
uuu
r m uuur
uuuu
r AB + AC
uuuu
r
r
n uuu
m uuur
n
AM =
⇔ AM =
AB +
AC .
m
m
+
n
m
+
n
1+
n
uuuu
r

uuuu

r

Bài giải: Ta có: nBM = mMC

(

)

(

)

Giáo viên: Từ hai bài toán trên đưa ra bài toán tổng quát
9


uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
uuuu
r AB − k AC
- Nếu MB = k MC ( k ≠ 1) thì với điểm A bất kì ta có: AM =
(*)
1− k
uuuu
r
r

uuuu
r
uuuu
r
n uuu
m uuur
AB +
AC (**)
- Nếu nBM = mMC thì với điểm A bất kì ta có: AM =
m+n
m+n

Giáo viên : Gọi học sinh lên bảng học sinh làm bài tập áp dụng.

Áp dụng
BC của tam giác ABC
lấy một điểm M sao
uuur 1:uuTrên
uu
r đường thẳng chứa cạnh
uuur
uuuu
r
uuur
cho MB = 5MC . Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ AB và AC .
Bài giải: Với bài này học sinh
tư
uuu
r sẽ uu
ur duy và áp dụng ngay dụng công thức (*),

uuur

uuuu
r

uuuu
r

Ta có: MB = 5MC ⇒ AM =

r
AB − 5 AC 5 uuur 1 uuu
= AC − AB
1− 5
4
4

uur

uur

Áp dụng 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2 IC = 3BI . Phân
uuur
uur
uuur
tích vectơ AI theo hai vectơ AB và AC .
Bài giải: Bài này thì các em thấy ngay được việc áp dụng công thức (**)
uur

uur

uur

Ta có: 5BI = 3IC . Do đó: AI =

r
r 3 uuur
5 uuu
3 uuur 5 uuu
AB +
AC = AB + AC .
5+3
5+3
8
8

Giáo viên: Lưu ý hai kết quả trên rất phù hợp với các bài tập trắc nghiệm.
Chú ý: Với một số bài khi phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương cho
trước, ta có thể phải qua một số bước trung gian.
2.3.2.2. Từ các bài toán trên, ta có thể hướng dẫn học sinh giải một số bài tập áp
dụng phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
uuuu
rphương
uuu
r . uuur
Nếu cho tam giác ABC và có một điểm M thoả đẳng thức vectơ AM = m AB + n AC
thì điểm M có chắc thuộc đường thẳng BC hay không và cần thêm điều kiện gì ? Khi
nào điểm M thuộc đoạn thẳng BC.
Để giải quyết vấn đề đó ta xét ba bài toán sau:
Bài toán 5: Cho tam giác ABC. Chứng

rằng
uuuu
rminhuu
u
r điểm
uuur M thuộc đường thẳng BC khi
m
,
n
và chỉ khi tồn tại các số
sao cho AM = m AB + n AC với m + n = 1
Bài giải: M thuộc đườnguthẳng
uuu
r BC khi
uuu
r và chỉ
uuur khi B, C, M thẳng hàng (điều kiện 3
điểm thẳng hàng) ⇔ ∃k : AM = ( 1 − k ) AB + k AC
uuuu
r
uuu
r
uuur
 AM = m AB + n AC
⇔
(đặt m = 1 − k , n = k ) ( Điều phải chứng minh)
m + n = 1

các số m, n xác định như trên là duy nhất (đã được chứng minh trong phần phân tích
một vectơ theo hai vectơ không cùng phương của bài học)

Để nâng cao năng lực tư duy cho học sinh giáo viên có thể đưa ra bài toán mở rộng
sau:
Bài toán 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi
m + n = 1
uuu
r
và chỉ khi tồn tại các số m, n sao cho  uuuur

uuur ; m, n ∈ (0;1)
AM
=
m
AB
+
n
AC

10


Bài giải: M thuộc đoạn thẳng BCuukhi
và chỉ khi B, C, M thẳng hàng và M nằm giữa
uu
r uuur
hai điểm B, C . Khi đó hai véc tơ BM, BC cùng hướng.

uuuu
r uuu
r
uuur uuu

r
uuuu
r
uuur
⇔ ∃k : BM = k BC (k>0, k < 1) ⇔ ∃k : AM − AB = k AC − AB
uuuu
r
uuu
r
uuur
⇔ ∃k : AM = ( 1 − k ) AB + k AC
uuuu
r
uuu
r
uuur
 AM = m AB + n AC
⇔
(đặt m = 1 − k , n = k ). Khi đó: m,n ∈ (0;1) ( Điều phải chứng
m
+
n
=
1


(

)

minh )
Bài toán 7: Cho đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng điểm M thuộc đoạn thẳng BC khi
m + n = 1
m
,
n
và chỉ khi tồn tại các số
sao cho  uuur uuuur

r ;(m, n ∈ (0;1))
mMB + nMC = 0

Giáo viên: Với bài này thì giáo viên gợi ý cho học sinh vẽ hình . Từ hình vẽ có có thể
đưa ra điều kiện điểm M thuộc đoạn thẳng
BC khi B, C, M thẳng hàng và M nằm
uuuu
r uuur
giữa hai điểm B, C . Khi đó hai véc tơ BM, BC cùng hướng. Từ đó đưa ra hướng giải.
Lời giải: M thuộc đoạn thẳng BCuukhi
và chỉ khi B, C, M thẳng hàng và M nằm giữa
uu
r uuur
hai điểm B, C . Khi đó hai véc tơ BM, BC cùng hướng.
uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r
uuur
⇔ ∃k : BM = k BC (k>0, k < 1) ⇔ ∃k : − MB = k MC − MB

uuur
uuuu
r r
⇔ ∃k : ( 1 − k ) MB + k MC = 0

(

)

∈ (0;1)
Khi đó đặt : m=1=uurk. Ta
uuur k, nuu
r thấy : m + n =1 và m, n
Do đó ta có: mMB + nMC = 0
Để rèn luyện kỹ năng phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương , cho
học sinh làm thêm các bài tập.
Bài tập 8 : Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB

1
1
3
2
uuu
r r uuur r
uuur
a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB = a , AC = b

và CD sao cho AM = AB, CN = CD .

uuur

r r

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN. Hãy phân tích AG theo hai vectơ a, b .
Giáo viên : Gọi học sinh vẽ hình, phân tích đề bài để tìm ra cách giải hợp lí nhất
Lưu ý: Nếu giả thiết bài toán cho có trung điểm thì nên kiểm tra cách dùng tính chất
trung điểm của đoạn thẳng trước, sử dụng giả thiết sao cho linh hoạt.
Bài giải:
M

A

B
G

D

N

C

11


uuur

uuur uuur

a) vì N là trung điểm của đoạn CD, nên với điểm A bất kỳ, ta có: 2AN = AC + AD ;
uuu

r uuur uuur uuur uuur uuu
r
ABCD là hình bình hành nên: AB + AD = AC ⇒ AD = AC − AB
uuur

uuur uuur uuu
r

uuur uuu
r

uuur

uuur 1 uuu
r
2

1r
2

r

Vậy 2 AN = AC + AC − AB = 2 AC − AB .Do đó: AN = AC − AB = − a + b
b) Vì G là trọng tâm của tam giác MNB, với điểm A bất kỳ, ta có:
uuur uuuu
r uuur uuu
r 1 uuu
r 1 uuu
r uuur uuu
r 5 uuu

r uuur
3 AG = AM + AN + AB = AB − AB + AC + AB = AB + AC
3
2
6
uuur 5 uuu
r 1 uuur 5 r 1 r
Vậy, AG = AB + AC = a + b
18
3
18
3

*Bài toán 8 ta có thể tổng quát, mở rộng, phát triển bài toán trên như sau:
Bài tập 9 : Với giả thiết bài toán 8, giáo viênuucó
r thểuuđưa
ur uuu
rra các
uurcâu hỏi sau:
c) Gọi I, J lần lượt là các điểm xác định bởi BI = pBC , AJ = q AI . Hãy phân tích các
uur uuu
r
r r
vectơ AI , AJ theo hai vectơ a, b và p, q.
d) Xác định p để AI đi qua G.
Với câu c) học sinh có thể dễ dàng tìm ra lời giải
Lời giải:
c,
3uu
điểm,

uurTheo
uuu
rquiuutắc
r u
r
uuta
ur có:
uuu
r
uuur uuu
r
uuu
r
uuur
r
r
AI = AB + BI = AB + pBC = AB + p ( AC − AB ) = (1 − p) AB + p AC = (1 − p )a + pb .
uuu
r
uur
Từ giả thiết : AJ = q AI
uur
r
r
Mà AI = (1 − p) a + pb
uuu
r
r
r
Vậy AJ = q(1 − p) a + qpb

Giáo viên : Gọi học sinh giải thích yêu cầu của câu d ? Nhắc lại điều kiện để ba điểm
phân biệt thẳng hàng ?
uuur

r 1 uuur
5 uuu
AB + AC ;
18 uuu
uur
r 3 uuur
Theo kết quả câu c, ta có: AI = (1 − p) AB + p. AC

d, Theo kết quả câu b, ta có: AG =

uur uuur

Để AI đi qua G thì 3 điểm A, I, G thẳng hàng. Khi đó AI , AG cùng phương
5k
6


1− p =
p=


u
u
u
r
u

u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
uur
uuur


5k
k
18
11
⇔
Suy ra: AI = k AG ⇔ (1 − p) AB + p. AC = AB + AC ⇔ 
18
3
p = k
k = 18

3
11

6

Vậy với p =
thì AI đi qua G
11

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là
1
3

điểm trên AC sao AK= AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Lời giải: Với bài toán này giáo viên có thể cho học sinh
12


tư duy và đưa ra hướng giải. Giáo viên có thể gợi ý
hướng giải cho học sinh.
Ta có:
uur uuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuur
uur
uuu
r uuur
2 BI = BA + BM = BA + BC ⇔ 4 BI = 2 BA + BC (1)
2

uuur uuu
r uuur uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur uuu

r 2 uuu
r 1 uuur
uuur
uuu
r uuur
BK = BA + AK = BA + AC = BA + ( BC − BA) = BA + BC ⇔ 3BK = 2 BA + BC (2)
3
3
3
3
uuur
uur uuur 4 uur
Từ (1) và (2)⇒ 3BK = 4 BI ⇒ BK = BI ⇒ B, I, K thẳng hàng.
3

Bài tập 11: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là các điểm thoả
uuuu
r
uuu
r uuur 2 uuur
AM = 2 AB, AN = AC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
5
uuuu
r uuuu
r
uuu
r uuur
a.Hãy phân tích các vectơ MN , MG theo hai vectơ AB, AC .

b.Chứng minh MN đi qua trọng tâm G.

Giáo viên: Gọi học sinh vẽ hình, trình bày bài giải trên bảng câu a.
A
Chú ý tìm cách ngắn gọn nhất.
uuuu
r uuur uuuu
r 2 uuur uuu
r
N
Bài giải: a) Ta có: MN = AN − AM = AC − 2 AB (1)
uuuu
r uuur uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuu
r
MG = AG − AM = ( AB + AC ) − 2 AB
3
r
1 uuur 5 uuu
= AC − AB (2)
3
3

5

B

G
C

M
Giáo viên : Khi nào ta có MN đi qua trọng tâm G? Với câu hỏi này thì học sinh sẽ tư
duy : MN đi qua trọng tâm G khi 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
Giáo viên : Điều kiện để 3 điểm M, N, G thẳng hàng là ugì?
Ta rđã có những gì? Học
uuu
r uuuu
sinh sẽ buộc phải nghĩ đến hướng chứng minh hai véc tơ MN, MG cùng phương.
Từ đó suy ra cách giải câu b.
uuuu
r
uuur
uuu
r
5MN = 2 AC − 10 AB
uuu
r
b) Theo kết quả câu a. Từ (1) và (2) ta có:  uuuur uuur
6 MG = 2 AC − 10 AB
uuuu
r 6 uuuu
r
Suy ra: MN = MG hay 3 điểm M, N, G thẳng hàng, tức là MN đi qua G
5

Giáo viên cũng lưu ý cho các em là với bài này khi đề bài không cho câu a thì các em
phải tư duy được hướng giải để giải câu a, từ đó giải câu b.
Bài tập 12: Cho tam giác ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Gọi D, F lần lượt là các
uuu
r

uuur uuur

1 uuur
3

điểm thoả BE = 2 BD, CF = CD .
13


uuu
r uuur

uuur

a) Hãy biểu diễn vectơ AD theo hai vectơ AB, AF ;
uuu
r uuur
uuur
b) Hãy biểu diễn vectơ AF theo hai vectơ AB, AE ;

uuu
r 1 uuu
r
2

uur

c) Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm thỏa AJ = JC . Hãy biểu diễn vectơ IF theo
uur uuu

r

hai vectơ JB, JC .
d) Tìm trên đoạn thẳng IJ một điểm K sao cho A, K, D thẳng hàng.
Giáo viên: yêu cầu học sinh vẽ hình, xác định các điểm trên hình vẽ.Với những câu
nào ta có thể sử dụng công thức (*) hoặc (**)
A
J
I
Bài giải:
a) Theo qui tắc 3 điểm, ta có:

B

D

E

F

uuur uuu
r uuur uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur uuu
r
r 1 uuur
2 uuu
AD = AB + BD = AB + BF = AB + AF − AB = AB + AF
3
3

3
3

(

)

C

Chú ý : Học sinh có thể chưa biết cách áp dụng công thức (**). Giáo viên cần hướng
uuu
r

uuur uuur

1 uuur
3

uuur

1 uuur
2

dẫn học sinh tư duy để biến đổi giả thiết BE = 2 BD, CF = CD suy ra DB = − DF
uuu
r 1 uuur
uuur AB + AF 2 uuu
r 1 uuur
2
= AB + AF .

Vậy theo công thức (**), ta có: AD =
1
3
3
1+
2

b)Làm tương tự câu a) ta có thể trình bày lời giải theo công thức hoặc theo qui tắc 3
uuur

r 3 uuur
1 uuu
2
2

điểm: Ta được kết quả: AF = − AB + AE .
Giáo viên:uurVới câu c) ta có làm tương tự được không? vì sao? Với giả thiết của đề bài
thì vectơ IF có thể phân tích thành tổng của những vectơ nào là hợp lí nhất ?
Trả lời : Ta chưa thể áp dụng công thức ngay được vì giả thiết của câu c) chưa có
dạng giả thiết của bài toán 2 hoặc 3.
uur

uu
r uuur uuur

r 3 uuu
r 1 uuu
r
1 uuu
2

2
4
u
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
1
1
3
1
= − JC − JB + JC = − JB + JC .
2
4
2
4

c) Ta có: IF = IA + AC + CF = − AB + JC + CB = −

r uur 3 uuu
r 1 uur uuu
r
1 uuu
AJ + JB + JC + JB − JC
2
2
4

(

)

(

)

Giáo viên : Gọi Học sinh phân tích câu d) : K nằm trên IJ ta có gì ?

uuur
uuur
uur uur
AD
=
n
AK
=
n

AI + IK
Ba điểm A, K, D thẳng hàng ta có gì?
uur uur
Học sinh: nhận xét hệ số của AI , IK trong trường hợp này bằng nhau; Như vậy bài
uuur
uur uur
toán đưa về phân tích vectơ AD theo AI , IK , rồi từ đó suy ra hai hệ số của chúng bằng

(

)

nhau.
uur
uu
r
d) Ta có : K nằm trên IJ ⇒ IK = mIJ
14


uuur

uuur

(

uur uur

)

uur

uur

Ba điểm A, K, D thẳng hàng ⇒ AD = n AK = n AI + IK = n AI + nIK (1)
uuu
r

uuur

Từ giả thiết BE = 2 BD ⇒ D là trung điểm của BE, ta có:
uuur uuu
r uuur uuu
r 1 uuu
r uuur 3 uuu
r 1 uuur
2 AD = AB + AE = AB + ( AB + AC ) = AB + AC
2
2
2
uur 3 uuu
r
uur 3 uur uu
r
r
9 uur 3 uu
= 3 AI + AJ = 3 AI + AI + IJ = AI + IJ
2
2
2

2
uuur 9 uur 3 uur uuur 9 uur 3 uur
IK ⇒ AD = AI +
IK ( 2 )
Do đó: 2 AD = AI +
2
2m
4
4m

(

)

9
3
1
=
⇒m= .
4 4m
3

Từ (1) và (2) suy ra:

uur

r
1 uu
3

Vậy với điểm K nằm trên IJ sao cho IK = IJ thì ba điểm A, K, D thẳng hàng.
Bài tập 13. Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thay đổi trên các cạnh
AD, BC sao cho

AM CN
=
. Các điểm E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD.
AD CB

Chứng minh I luôn chuyển động trên đoạn EF.
Giáo viên: Dẫn dắt gợi ý cho học sinh để chứng minh I di động trên EF ta phải chứng
minh 3 điểm
E, I, F luôn thẳng hàng I nằm giữa E, F. Điều này ta đi đến chứng minh
uu
r uur
hai véc tơ EI, EF cùng hướng.Đây là bài toán yêu cầu học sinh cần phải biết tư duy để
đưa ra cách giải nhanh nhất bằng phương pháp véc tơ tránh sai lầm khi dùng phương
pháp thông thường sẽ rất khó và dài.
Giải. Đặt

AM CN
=
=k
AD CB

( 0 ≤ k ≤ 1)

Vì E là trung điểm của AC, I là trung điểm của MN nên ta có
uur 1 uuuu
r uuur 1 uuur uuu

r 1 uuur uuu
r
EI = AM + CN = k AD + kCB = k AD + CB
2
2
2

(

)

(

)

(

)

(1)

Mặt khác do E và F là trung điểm của AC và BD
uuur

Nên EF =

r
1 uuur uuu
AD + CB
2

(

)

(2)
uur

uu
r uur

uuur

Từ (1) và (2) suy ra EI = k EF ( 0 ≤ k ≤ 1) nên hai véc tơ EI, EF cùng hướng. Do đó I
luôn chuyển động trên đoạn EF.
Ngoài việc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương giúp các em làm
các bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta còn thấy nó được ứng dung trong một
số bài toán có nội dung vật lý qua đó tư duy của các em được phát triển, đặc biệt là
khi phải sử dụng kiến thức liên môn như bài tập sau:
Bài tập 14: Một giá đỡ được gắn vào tường (như hình vẽ). Tam giác MEP vuông cân
E vào điểm M một vật nặng 7N. Hỏi có những lực nào tác động
ở đỉnh P. Người ta treo
vào bức tường tại hai điểm E và P?
Giáo viên: Gọi học sinh nhận xét lực sinh ra bởi vật treo tại điểm M có thể phân tích
MTheo qui tắc nào?
thành những lực thành phần nào?
P
N
N
N

15


N

E
uu
r
F1

P

M
ur
F

uur
F2

Bài giải: Theo hình vẽ ur
Tại điểm Muurcó u
lực
kéo F hướng
thẳng
đứng xuống dưới với cường độ 7N.
u
r
uu
r

uu
r
ur
Ta có F = F1 + F2 với 2 vectơ F1 và F2 lần lượt nằm trên hai đường thẳng MP và MN.
uu
r

ur

uur

ur

Vì tam giác MEP vuông cân tại P nên F1 = F và F2 = F . 2 .
Vậy có một lực ép vuông
góc với bức tường tại điểm P và một lực kéo bức tường tại
uuuu
r
điểm E theo hướng EM với cường độ 7 2 N
Với một số em ham học hỏi và những học sinh giỏi, học sinh trong đội tuyển học sinh
giỏi giáo viên mở rộng thêm: phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
không chỉ giúp các em làm bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng
mà nó còn được áp dụng trong không gian ở lớp 11, 12 và các bài tập thực tiễn liên
quan đến môn vật lí ở lớp 10
Sau khi học và hoàn thành các bài tập, giáo viên cho một số bài tập để các em rèn
luyện, có thể giới thiệu cho các em một số tài liệu tham khảo hoặc những bài toán hay
và tổng quát để các em tham khảo và thử sức của mình.
2.3.3..
Bài tập rèn luyện:
2.3.1.1. Bài tập tự luận;

Bài 1. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N
là mộtuuđiểm
trên AC và
uuur
uuur
ur
NA=2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .
Bài 2: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là
điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
uur uur

uuu
r uuur

a) Tính AI , AJ theo véc tơ AB, AC
uuur
uur
uuur
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ


→
→
→
→
→
→
Bài 3: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho MB
= 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0
→

→
→
→
a, Tính PM , PN theo AB và AC
b, Chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng

16


Bài 4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Xét hai điểm M, N cho bởi
uuuur 1 uuur uuur 1 uuur
AM = AB ,AN = AC . Tìm điểm H thuộc AD sao cho ba điểm M, H, N thẳng
2
4
hàng.
Bài
uuur 5: Cho
uuur hình chữ nhật ABCD. F là trung điểm cạch CD. E là điểm xác định bởi
AB = 2EA .
uuur
uuur
uuur
a. Hãy phân tích vectơ EF theo hai vectơ AB và AC . uuur
uuur
uuur
b. Gọi G là trọng tâm tam giác BEF. Phân tích vectơ DG theo hai vectơ AB và AD .
BJ
c. BG cắt AF tại J. Tính tỉ số
.
BI

Bài
uuur6: Cho
uuurtamr giác
uur ABC.
uur Gọi
uurD rvà I là các điểm xác định bởi các đẳng thức vectơ:
3DB − 2DC = 0,IA + 3IB − 2IC = 0.
uuur
uuur
uuur
a. Phân tích vectơ AD theo hai vectơ AB và AC .
b. Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.
c. Gọi M là trung điểm của AB. Hãy xác định điểm N trên AC sao cho ba đường thẳng
AD, BC, MN đồng quy.
Bài 7: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng
của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a, Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b, Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 8 ( Dành cho học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi):
trên
uuuu
r Cho
uuu
rtứuudiện
ur ABCD,
uuur
các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = k AB, DN = k DC ( k ≠ 1) .
uuur uuur
uuuu
r

a. Hãy biểu diễn vectơ MN theo hai vectơ AD, BC ;
b.
Iuuurlần
uuu
r GọiuuurP,uuu
rQ, u
uuur lượtuuurlà các điểm thuộc AD, BC, MN sao cho
AP = mAD, MI = mMN , BQ = mBC . Chứng minh rằng P, Q, I thẳng hàng.
2.3.1.2. Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1.
Cho tam
giácuuABC.
Gọi M là điểm trên cạnh AB: MB = 4MC. Khi đó, biễu
ur
uuuu
r
uuur
diễn AM theo AB và AC là:
A.

uuuur
uuur uuur
AM = 4 AB + AC

B.

uuuu
r 4 uuur
uuur
AM = AB + 0 AC

5

C.

uuuur 4 uuur 1 uuur
AM = AB − AC
5
5

Câu 2.Chouuutam
giácuuurABC.uuuGọi
M là điểm trên cạnh BC sao cho
r
u
r
biễu diễn AM theo AB và AC là:
A.

uuuur 1 uuur 4 uuur
AM = AB + AC
5
5

B.

uuuur 4 uuur
uuur
AM = AB + 0 AC
5

C.

uuuur 4 uuur 1 uuur
AM = AB + AC
5
5

uuuur 4 uuur 1 uuur
AM = AB + AC
5
5
uuur
uuuu
r
MB = −4MC . Khi đó,

D.

D.

uuuur
uuur uuur
AM = 4 AB + AC

Câu 3.Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM và trọng tâm G. Khẳng định nào sau
đây là đúng
A.

uuuur
uuur uuur

AM = 2( AB + AC )

B.

uuuu
r
uuur uuur uuuu
r
MG = 3( MA + MB + MC )

C.

uuuu
r
uuuu
r
AM = −3GM

D.

uuur 1 uuur uuur
AG = ( AB + AC )
3

17


Câu 4.Cho tam giác ABC.
M
của BC, N là

uuurGọiuu
u
r là trung điểm của AB, D là trung điểm
uuur
điểm thuộc AC sao cho CN = 2NA . K là trung điểm của MN. Khi đó AK bằng:
uuur

uuu
r

uuur

A. AK = 1 AB + 1 AC
4

6

uuur

uuu
r

uuur

B. AK = 1 AB + 1 AC
2

3

uuur

uuur

C. AK = 1 AD
2

uuur

uuur

D. AK = 2 AD
5

Câu 5.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB=2MC. Chọn đáp
án đúng?
uuur

r 2 uuur
1 uuu
3
3

uuur

r 1 uuur
2 uuu
3
3

A. AM = AB + AC . B. AM = AB + AC

uuur

uuu
r uuur

C. AM = AB + AC

uuur

r 3 uuur
2 uuu
5
5

D. AM = AB + AC

Câu 6.Cho hình bình hành ABCD. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng:
uuu
r 2 uuur 1 uuur
uuu
r 1 uuur 1 uuur
A. AB = AC + BD
B. CB = AC − BD
3
5
2
2
uuur 1 uuur 1 uuur
uuur 1 uuur 1 uuur

C. AD = AC + BD
D. DC = AC − BD
2
2
4
2
Câu
uuuu
r 7. Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó
MN bằng:
uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur uuur
AC + DB
AC + BD
AC + BD
A.
B.
C.
D. 2 AC + BD
2
2
4
uuuu
r uuur r
Câu 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm được xác đinh: 4 BM − 3BC = 0 . Khi đó
uuuu
r
vectơ AM bằng:

r 1 uuur
r 2 uuur
r 3 uuur
1 uuu
1 uuu
1 uuu
uuu
r uuur
AB
+
AC
AB
+
AC
AB
+ AC
AB + AC
2
3
3
3
4
4
A.
B.
C.
D.

(

)

(

)

(

)

(

)

Câu 9.Cho ba điểm A,B,C phân biệt. Điều kiện cần
để
uuu
rvà đủ
uuu
r ba điểm thẳng hàng là:
AB = k AC , ∀k ≠ 0
A. AB = AC
B. uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur
MA + MB = 3MC , ∀M
AC
−
AB
= BC

C.
D.
r uuur
uuur uuur
u
=
MA
−
4
MB + 3MC
Câu10.Cho tứ giác ABCD và điểm M tùy ý. Khi đó vectơ
bằng:
r uuu
r uuur
r
uuur uuu
r
u
=
BA
+
3
BC
u
=
3
AC
+
AB
A. r

B. r
uur
uur
C. u = 2 BI với I là trung điểm của AC.
D. u = 2 AI với I là trung điểm BC
Câu 11.Nếu G là trọng tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng.
A. AG =

AB + AC
2

B. AG =

AB + AC
3

C. AG =

3( AB + AC )
2

D. AG =

2( AB + AC )
3

18


Câu12.Cho ba lực

ur uuur ur uuur ur uuur
F 1 = MA, F 2 = MB, F 3 = MC cùng tác
động vào một vật tại điểm M và
ur vật
ur
đứng yên. Cho biết cường độ của F 1 , F 2
đều bằng 50 N và góc ·AMB = 600 .
uu
r

Khi đó cường độ lực của F3 là:
A. 100 3 N B. 25 3 N
ur

uuur ur

C. 50 3 N
uuur ur

uuuu
r

Câu 13. Cho ba lực F 1 = MA, F 2 = MB, F 3 = MC
cùng tác động vào một vật tại điểm M
và vật
ur ur
đứng yên. Cho biết cường độ của F 1 , F 2 đều
bằng 50N
và góc ·AMB = 900 . Khi đó cường độ
uu

r
lực của F3 là:
A. 100 3 N
B. 25 3 N
C.
ur

uuur ur

uuur ur

D. 50 2 N

50 3 N

D.

50 2 N

uuuu
r

Câu 14. Cho ba lực F 1 = MA, F 2 = MB, F 3 = MC
cùng tác động vào một vật tại điểm M
và vật
ur ur
đứng yên. Cho biết cường độ của F 1 , F 2 đều
bằng 50uuN
và góc ·AMB = 1200 . Khi đó cường độ
r

lực của F3 là:
A. 50 N
B. 50 3 N
C. 50 2 N
D. 100 3 N
2.4. Kết quả:
Sau khi hướng dẫn các em các cách phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương, thì việc làm bài tập dạng này và các bài dạng chứng minh đẳng thức vectơ,
chứng minh ba điểm thẳng hàng đối với các em không còn lúng túng và kết quả bài
kiểm tra của các em có tiến bộ rõ rệt. Từ chỗ các em rất sợ những bài toán liên quan
đến bài tập về phân tích véc tơ và đặc biệt các bài toán áp dụng của nó. Nay thì các
em đã tỏ ra thích thú với các bài toán này và tìm ra hướng giải nhanh chóng. Đến các
tiết học các em lại hào hứng để sẵn sàng làm bài tập và vui vẻ trao đổi với nhau. Vì
thế mà kiến thức về toán học của các em được khắc sâu và tư duy toán học nâng lên
nhiều, các bài toán trong các đề thi đã được các em biết cách giải. Cụ thể như sau: Kết
quả khảo sát khi cho các em làm bài kiểm tra 15 phút và 45 phút của ba lớp 10 như
sau( Năng lực của học sinh lớp 10 trường THPT Lê Lợi năm học 2016-2017 và năm
học 2017-2018 là như nhau)
*Khi chưa sử dụng sáng kiến kinh nghiệm năm học 2016-2017

19


Kiểm tra lần 1 vào ngày 15 , tháng 9, năm 2016( Kiểm tra 15 phút)
Đối tượng
Tổng
Lớp

số

Điểm7đến 10
SL

%

10A4 45

6

10A8. 44

Kết quả kiểm tra
Điểm 0 đến 4
%

SL

%

13,33 20

44,44

19

42,23

8

18,18 26

59,09

10

22,73

10A10 43

6

13,63 25

58,13

12

28,24

Tổng

20

15,15 71

53,78

41

31,07

học sinh

132

SL

Điểm 5 đến 6

Kiểm tra lần 2 vào ngày 20, tháng 9, năm 2016: ( Kiểm tra 45 phút).
Đối tượng
Lớp

Tổng
số
học sinh

Kết quả kiểm tra .
Điểm 6 đến 8

Điểm 0 đến 3

Điểm 4 đến 5,5

SL

%

SL

%

SL

%

10A4 45

6

13,33

19

42,23

20

44,44

10A8 44

7

15,90

20

45,45

17

38,65

10A10 43

6

13,63

18

41,86

19

44,51

Tổng

19

14,39

57

43,18

56

42,43

132

*Khi đã sử dụng sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017-2018: Tôi đã áp dụng đề tài
trên ở 3 lớp 10A1, 10A4, 10A5 thì có thu được một số kết quả sau:
Kiểm tra lần 1 vào ngày 25, tháng 9, năm 2017 : (Kiểm tra 15 phút)
Đối tượng
Lớp
Tổng

Kết quả kiểm tra .
Điểm 8 đến 10
Điểm 6 đến 7

Điểm 4 đến 5
20


số
học sinh SL

%

SL

%

SL

%

10A1

45

25

55,56 10

22,22 10

22,22

10A4

44

28

63,63 9

20,45 7

15,92

10A5

43

26

60,46 9

20,93 8

18,61

Tổng

132

79

59,84 28

21,21 25

18,95

Kiểm tra lần 2 vào ngày 1, táng 10, năm 2017 .(Kiểm tra 45 phút)
Đối tượng

Kết quả kiểm tra .
Điểm 8 đến 10

Điểm 6 đến 7

Điểm 4 đến 5

SL

%

SL

SL

45

40

88,89 3

6,66 2

4,45

10A4

44

42

95,46 1

2,27 1

2,27

10A5

43

42

97,67 0

0,00 1

2,33

Tổng

132

124

93,94 4

3,03 4

3,03

Lớp

10A1

Tổng số
học sinh

%

%

Đối chiếu trước và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Kết quả bài kiểm tra .
Trước khi áp dụng SKKN
Tỉ lệ %
Điểm 7 đến 10
Điểm 5 đến 6
Điểm dưới 5

Sau khi áp dụng SKKN
Tỉ lệ %

13,33

83,94

44,42

2,28

42,25

3,78

3.1. Kết luận
21

3.1.1. Bài học kinh nghiệm: Để nâng cao chất lượng môn toán nói chung và phần
Hình học nói riêng, cần có sự phối hợp giữa thầy và trò. Thầy hướng dẫn, gợi ý, trò
phân tích tìm hiểu, để tìm hướng đi. Sau mỗi bài học và giờ luyện tập giáo viên cho
các em rút ra những vấn đề cơ bản của bài học hoặc những dạng bài đã làm, dạng tổng
quát (nếu có), có thể mở rộng bài toán theo những hướng khác nhau và cho thêm bài
theo từng dạng để các em hình thành kỹ năng giải của từng dạng toán, từ đó phát triển
tư duy cho học sinh.
Điều quan trọng nhất vẫn là sự cố gắng học tập của các em. Không ai có thể thay
thế cho các em được. Bản thân các em phải xác định đúng động cơ học tập, có ý thức
tự giác, ham học hỏi, có tinh thần vượt khó, xây dựng cho mình phương pháp học tập
khoa học, học kỹ lý thuyết trước khi làm bài tập.
Bên cạnh đó là sự gần gũi với học sinh, để các em không ngại khi cần trao đổi
những vấn đề mình chưa hiểu. Hãy cố gắng khơi dậy sự tự tin trong mỗi em học sinh,
ta sẽ tạo điều kiện cho các em đạt tới nhiều đỉnh cao trong học tập.
3.1.2. Kết luận: Bài toán phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là
dạng bài phong phú và đa dạng. Từ các bài toán đơn giản trong sách giáo khoa ta đã
thấy có nhiều cách trình bày lời giải, ở mỗi cách đều có thể nêu ra hướng tư duy để
dẫn đến cách giải đó. Từ bài toán với các giá trị cụ thể, ta có thể rút ra bài toán tổng
quát, mở rộng bằng cách sử dụng kết quả của nó để làm bài dạng chứng minh ba điểm
thẳng hàng. Với nội dung đề tài trên, tôi đã thực hiện trong thời gian khoảng đối với
ba lớp 10A1, 10A4 và 10A5 trường THPT Lê Lợi năm học 20017-2018 vào các giờ
học, các buổi học bồi dưỡng và bước đầu tạo được hứng thú cho học sinh. So với các
em học sinh lớp 10 năm học 2016-2017 thì các em đã thể hiện được khả năng tư duy,
phát triển khả năng sáng tạo. Tuy nhiên thời gian dành cho phần học này còn ít, các
em luyện tập không được nhiều, do đó việc hướng dẫn các em cách học, phương pháp
giải bài tập là rất quan trọng.
Mặc dù đã rất cố gắng trong qúa trình tìm tòi và nghiên cứu, nhưng do hạn chế về mặt
về mặt năng lực và thời gian nên những trình bày trong đề tài không tránh khỏi những

thiếu sót, việc khai thác đề tài chắc chắn chưa hoàn thiện triệt để. Ở đây tôi chỉ cố
gắng đưa ra những ví dụ để học sinh giải quyết, những ví dụ nhỏ về cách hướng dẫn
học sinh lớp 10 phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Do thời gian
làm có hạn nên tôi chưa khai thác hết được các cách phân tích một vectơ theo hai
vectơ không cùng phương và các ứng dụng của nó. Kính mong rằng quí thầy (cô),
đồng nghiệp đóng góp ý kiến quí báu để đề tài được hoàn thiện và thật sự có ích thiết
thực trong công tác giảng dạy của chúng ta
3.2. Kiến nghị. Để việc mở rộng và phát triển của sáng kiến có hiệu quả cao hơn tôi
xin đề xuất một số kiến nghị sau.
3.2.1 Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Cần tổ chức tập huấn bồi dưỡng
chuyên môn cho giáo viên thay đổi phương pháp dạy học nâng cao năng lực tư duy
cho học sinh và đặc biệt là các bài toán có ứng dụng trong thi học sinh giỏi.
3.2.2. Đối với trường trung học phổ thông và các thầy cô giáo:
22


+ Nhà trường cần tổ chức cho giáo viên có cơ hội được trao đổi, học tập nâng cao
kiến thức và phương pháp dạy học.
+ Đảm bảo cho học sinh nắm vựng kiến thức Toán học, chú trọng đến các bài toán
nâng cao năng lực tư duy của học sinh
+ Giáo viên trong các tiết dạy cần tổ chức các hoạt động gây hứng thú cho học sinh
như có mô hình, dụng cụ minh họa ...tạo cơ hội cho các em khám phá các tình huống
+ Cần cho các em tham gia các buổi giao lưu tham gia các câu lạc bộ Toán để nâng
cao năng lực tư duy môn Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25, tháng 04 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm do tôi

viết, không sao chép nội dung của người khác.

Lê Thị Lịch
TÀI LIỆU THAM KHẢO

*********
[1]. Sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 10 của Bộ Giáo Dục - Nhà xuất bản
Giáo Dục ,năm 2009
[2]. Phương pháp giải toán vectơ . Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Bích NgọcLê Hữu Trí - Nhà xuất bản Hà Nội - 2005
[3]. Trần Vui,Nâng cao chất lượng dạy học Toán theo những xu hướng mới-Nhà xuất
bản giáo dục năm 2006
[4]. Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Hình Học lớp 10 – Nhà xuất bản
giáo dục, năm 2006
[5]. Bộ sách 10 vạn câu hỏi vì sao-Toán học- Nhà Xuất bản khoa học kỷ thuật,
năm 2013
[6]. Sách bài tập hình học nâng cao lớp 10 của Bộ Giáo Dục, Nhà xuất bản Giáo Dục,
năm 2009
23


[7]. Mô đun THPT 7 “ Xây dựng trường học thân thiện học sinh tích cực” của Bộ giáo
dục và Đào tạo
[8]. Toán nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Nguyễn Minh Hà (chủ biên) –Nguyễn Xuân
Bình – Nhà xuất bản giáo dục - 2005
[9]. Tìm tòi các lời giải khác nhau của bài toán Hình Học 10 như thế nào? – PGS
Nguyễn Văn Lộc (chủ biên) cùng cộng sự – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 2008.
[10]. Luật Giáo dục Việt Nam, năm 2005.
[11]. Bài tập cơ bản và nâng cao Hình Học 10. Tác giả: Xuân Thu, Nguyễn Văn Quí,
Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh. Nhà xuất bản Đà Nẵng - 2009

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Lịch
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Lê Lợi
Trong những năm qua tôi đã đạt được 5 sáng kiến kinh nghiệm . Cụ thể như sau:
Cấp đánh giá xếp

Kết quả Năm học

TT Tên đề tài SKKN

loại (Phòng, Sở,

đánh giá đánh giá

1.

Ứng dụng bảng biến thiên của

Tỉnh...)
Sở Giáo Dục và

xếp loại
C

xếp loại
2010-2011

hàm số để hướng dẫn học sinh lớp

Đào Tạo Thanh Hóa

C

2011-2012

12 THPT Lê Lợi giải và khai thác
2.

một số bài toán chứa tham số.
Hướng dẫn học sinh lớp 11, 12

Sở Giáo Dục và

trường THPT Lê Lợi áp dụng

Đào Tạo Thanh Hóa

phương pháp véc tơ để giải một số
24


3.

bài toán hình học không gian
Giúp học sinh lớp 11, 12 nâng cao

Sở Giáo Dục và

năng lực tư duy toán học thông

Đào Tạo Thanh Hóa

C

2014-2015

qua việc giải một số bài toán đại
số ở các kỳ thi tốt nghiệp THPT
Quốc Gia dựa vào phương pháp
4.

lượng giác.
Một số giải pháp để nâng cao công Sở Giáo Dục và
tác giáo dục hướng nghiệp, dạy

C

2015-2016

Đào Tạo Thanh Hóa

nghề cho học sinh trường THPT
5.

Lê Lợi
Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường Sở Giáo Dục và
THPT Lê Lợi giải một số bài tập

C

2016-2017

Đào Tạo Thanh Hóa

hình nâng cao có ứng dụng thực
tiến trong các kỳ thi trung học phổ
thông Quốc Gia

25