SKKN rèn luyện kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số trong kì thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ
KHAI THÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG KÌ THI THPT
QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2018

0


MỤC LỤC
1. Mở đầu…..............................................................................................
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………
1.3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài………………………………….
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………….
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm......................................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …………………………..
2.1.1. Đạo hàm của hàm số hợp……………………………………………
2.1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm…………………………………...
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị …………………………………
2.1.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số…………………………

2.2. Thực trạng của vấn đề……………………………………………….....
2.2.1. Thực trạng vấn đề…………………………………………………….
2.2.2. Kết quả của thực trạng………………………………………………
2.3. Giải quyết vấn đề ……………………………………………………..
( x ) ......................................................
2.3.1. Khai thác đồ thị hàm số y  f �
2.3.1.1. Xác định khoảng đơn điệu….........................……………………
2.3.1.2. Xác định cực trị của hàm số….................................................……
2.3.1.3. Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, so sánh các
giá trị của hàm số….………………....………..………..………..………..
2.3.2. Khai thác đồ thị hàm số y  f  x  ......................................................
2.3. 3. Ngân hàng đề thi về dạng toán khai thác đồ thị hàm số.....................
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..
2.4.1. Về phía học sinh…………………………………….………..……
2.4.2. Về phía giáo viên……………………………………………………
3. Kết luận, kiến nghị……………………….............................................
3.1 Kết luận………………………………………………………................
3.2. Kiến nghị……………….……………………………………………....
Tài liệu tham khảo…..................................................................................
Phụ lục......................................................................................................
Danh mục các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá cấp
Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên..........................................................

Trang
1
1
1
1
1
2

2
2
2
2
3
4
4
5
6
6
6
9
10
14
16
19
19
19
19
19
19

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Cùng với những đổi mới trong giáo dục là đổi mới trong thi cử. Trong kì
thi Trung học phổ thông Quốc gia năm 2017, môn Toán bắt đầu chuyển từ hình
thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan. Trước kia khi thi tự luận, phần

khảo sát và vẽ đồ thị luôn luôn chiếm vị trí quan trọng trong đề thi, giờ đây do
hình thức thi trắc nghiệm nên học sinh không phải vẽ đồ thị nữa. Tuy nhiên để
khai thác phần đồ thị này người ra đề đã chuyển hướng sang kiểm tra các em
khả năng đọc đồ thị. Trong đề thi chính thức năm 2017 và đề minh họa của Bộ
giáo dục năm 2018 xuất hiện các bài toán có giả thiết là cho đồ thị của hàm số
y f�
 x  , y  f  x  và yêu cầu học sinh chỉ ra các tính chất của hàm số
y  f  x  như tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, số nghiệm
của phương trình...
Phần kiến thức này tuy là không quá khó nhưng cách hỏi mới mẻ cộng với
kiến thức nền tảng chưa vững khiến cho các học sinh THPT mà cụ thể là học
sinh lớp 12 lúng túng khi gặp dạng toán này. Đa số các em chưa định hình được
hướng giải, chưa biết cách khai thác đồ thị và kết nối các kiến thức với nhau để
tìm ra lời giải.
Từ quá trình nghiên cứu lí thuyết và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản
thân, tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm: Rèn luyện kĩ năng giải
các bài toán khai thác đồ thị hàm số trong kì thi THPT quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:
- Hệ thống một cách khoa học các dạng toán liên quan tới khai thác đồ thị hàm
 x  , y  f  x  và phương pháp giải.
số y  f �
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm để ôn tập phần giải các bài toán khai
 x  , y  f  x  có hiệu quả cho học sinh THPT nói
thác đồ thị hàm số y  f �
chung và đặc biệt là học sinh lớp 12 nói riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Đề tài tập trung nghiên cứu phần toán liên quan tới khai thác đồ thị hàm số
y f�
 x  , y  f  x  trong đề thi trắc nghiệm trong các năm học 2016-2017 và

2017-2018.
- Các kết quả khảo sát được tiến hành tại các trường THPT trên địa bàn huyện
Triệu Sơn mà chủ yếu là tại trường THPT Triệu Sơn 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.

2


- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số
liệu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Đạo hàm của hàm số hợp
y  f  u  có
Định lí: Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là u�
x và hàm số
��
đạo hàm tại u là yu�thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là y�
x  yu .u x .
[3]
2.1.2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng I .
 x   0 với mọi x �I thì hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng I .
a) Nếu f �
 x   0 với mọi x �I thì hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng I .
b) Nếu f �
 x   0 với mọi x �I thì hàm số y  f  x  không đổi trên khoảng I .
c) Nếu f �

[1]
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng  a; b  chứa điểm x0 và có
đạo hàm trên các khoảng  a; x0  và  x0 ; b  . Khi đó
 x   0 với mọi x � a; x0  và f �
 x   0 với mọi x � x0 ; b  thì hàm số
a) Nếu f �
y  f  x  đạt cực tiểu tại điểm x0 .
 x   0 với mọi x � a; x0  và f �
 x   0 với mọi x � x0 ; b  thì hàm số
b) Nếu f �
y  f  x  đạt cực đại tại điểm x0 . [1]
Định lí được viết gọn trong hai bảng biến thiên sau

3


2.1.4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f  x  , để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
khoảng  a; b  ta có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số
● Trường hợp 1

f  x   f  x0  .
Kết luận: min
 a ;b 
● Trường hợp 2

4

f  x   f  x0  .
Kết luận: max
 a ;b
● Trường hợp 3

f  x   f  a  , max f  x   f  b  .
Kết luận: min
 a ;b
 a ;b
● Trường hợp 4

f  x   f  b  , max f  x   f  a  .
Kết luận: min
 a ;b
 a ;b
5


2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng của vấn đề
Trong chương trình toán THPT nói chung, phần giải tích nói riêng thì
đạo hàm là một phần chiếm tỉ lệ lớn về kiến thức, thời lượng và ứng dụng. Nó là
một công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán cả trong giải tích, đại số, thậm
chí là hình học (như các bài toán về cực trị hình học). Giữa hàm số y  f  x  và
 x  có nhiều mối liên hệ chặt chẽ, ví dụ như từ việc xét
đạo hàm của nó y  f �
 x  có thể kết luận về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị
hàm y  f �
nhỏ nhất của hàm y  f  x  .
Tuy nhiên, sự điều chỉnh của bộ giáo dục trong năm học 2016-2017 về

hình thức thi môn Toán từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm và thời gian làm bài
từ 180 phút xuống còn 90 phút đã khiến học sinh ít nhiều lúng túng. Bởi lâu nay
học sinh quen với cách làm bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,
 x  xong rồi mới
học sinh làm việc với công thức của hàm y  f  x  và y  f �
vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  . Với hình thức thi trắc nghiệm, việc thay đổi
 x ,
cách đặt câu hỏi và yêu cầu học sinh biết khai thác đồ thị hàm y  f �
y  f  x  cùng với thời gian làm bài rút ngắn, bình quân 1,8 phút một câu đã đòi
hỏi học sinh nắm vững lí thuyết và thành thạo kĩ năng khai thác đồ thị.
Qua khảo sát thực tế tôi thấy thực trạng dạy học phần rèn luyện kĩ năng
 x  , y  f  x  có những đặc
giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số y  f �
điểm sau:
2.1.1.1. Về phía học sinh
 x  rồi
- Các em vẫn còn quen với việc làm các bài tập theo kiểu xét hàm y  f �
suy ra tính đơn điệu, cực trị,... của hàm số chứ chưa quen việc quan sát đồ thị
 x  , y  f  x  để rút ra các kết luận tương tự.
hàm y  f �
- Thời gian giải quyết một bài tập dạng này còn lâu.
- Các học sinh học lực trung bình và yếu gần như không thể giải được các bài
tập dạng này. Trong khi đó, trong kì thi THPT Quốc gia 2017 có tới 4 câu hỏi
dạng này trong mỗi đề, ứng với 0,8 điểm. Do vậy để đạt điểm cao trong kì thi
THPT Quốc gia, nhất định học sinh cần rèn luyện tốt phần này.
2.1.1.2. Về phía giáo viên
Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tập
cũng được thiết kế theo kiểu thi truyền thống. Các bài tập kiểu khai thác đồ thị
 x  , y  f  x  như trong đề thi chính thức THPT quốc gia 2017
hàm số y  f �

và đề minh họa 2018 không có trong SGK. Vì thế, giáo viên dạy Toán ở các
trường THPT chúng tôi đang dạy phần này theo cách sau:
- Tham khảo các tài liệu, các đáp án thi thử của các trường và trao đổi kinh
nghiệm của đồng nghiệp để hình thành một chuyên đề về dạng toán khai thác đồ
 x , y  f  x .
thị hàm số y  f �
- Bám sát vào đề thi chính thức THPT quốc gia 2017 và đề minh họa 2018 của
Bộ giáo dục và đào tạo để có hướng ôn tập phù hợp.
6


- Tranh thủ thời gian trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm để
 x  , y  f  x  đồng thời xây
hướng dẫn kĩ năng khai thác đồ thị hàm số y  f �
dựng hệ thống bài tập để học sinh thực hành.
Tuy nhiên, do đây là chuyên đề mới, bài tập dạng này chưa nhiều và rải
rác trong các đề thi trên toàn quốc nên không phải giáo viên nào cũng có một hệ
thống bài tập đầy đủ. Cộng với thời lượng dành cho phần này chưa nhiều nên
các giáo viên gặp không ít khó khăn trong quá trình giảng dạy.
2.1.2. Kết quả của thực trạng
Từ thực tế ấy, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ngay ở các lớp tôi dạy là
12B2, 12B5 sau khi dạy xong chương 1 - Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " với thời gian làm bài là 15 phút để kiểm
 x , y  f  x
tra các em kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số y  f �
(đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm nhưng có yêu cầu các em trình bày lời giải
để tránh việc các em lụi đáp án).
Kết quả như sau:
Đa số các em tuy nắm lí thuyết nhưng rất lúng túng trong việc áp dụng vào bài
 x  với

làm, việc trình bày còn rối, còn nhầm lẫn giữa đồ thị của hàm số y  f �
đồ thị hàm số y  f  x  dẫn tới việc không tìm ra được kết quả hoặc kết quả sai.
Bảng thống kê điểm kiểm tra:
Điểm
Lớp
8-10
6,5-dưới 8
5,0-dưới 6,5
Dưới 5,0
12B2 (42HS)
3
15
16
8
12B5 (42HS)
0
8
18
16
2.3. Giải quyết vấn đề

 x
2.3.1. Khai thác đồ thị hàm số y  f �
2.3.1.1. Xác định khoảng đơn điệu
Ví dụ 1: (Câu 39 đề minh họa thi THPT QG 2018_Bộ GD-ĐT)
 x  có
Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f �
đồ thị như hình bên. Hàm số y  f  2  x 
đồng biến trên khoảng
A.  1;3 .

B.  2;� .
C.  2;1 .
D.  �; 2  .

Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  để tìm khoảng dương, âm của
f '  x  , từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  2  x  .
 x  ta dễ dàng nhận thấy:
Nhận xét: Dựa vào đồ thị hàm số y  f �
7


 x   0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị
● f�
trên trục hoành.
 x   0 thì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị
● f�
dưới trục hoành.
Do đó ta có kết luận:
 x
● x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị y  f �
hoành thì trong khoảng đó hàm số y  f  x  đồng biến.
 x
● x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị y  f �
hoành thì trong khoảng đó hàm số y  f  x  nghịch biến.
Lời giải
 x  ta có:
Từ đồ thị của hàm số y  f �
x4
x  1
�

�
f�
 x  0 � �
 x  0 � �
và f �
.
1  x  1
1 x  4
�
�

y f�
 x  nằm phía
y f�
 x  nằm phía

nằm phía trên trục
nằm phía dưới trục

Mặt khác: y  f  2  x  có y�
 f�
 2  x  . 2  x  �  f �
 2  x
0�f�
 2  x  0
Do đó, hàm số y  f  2  x  đồng biến � y�
2  x  1
x3
�
�

� f�
��
 2  x  0 � �
.
1 2  x  4 �
2  x  1
�
Chọn đáp án C.
Chú ý: Với hình thức thi trắc nghiệm thì với dạng toán này học sinh có thể dựa
 x  để chọn hàm số y  f �
 x  phù hợp.
vào hình dáng của đồ thị hàm số y  f �
Cách chọn hàm này sẽ giúp cho các học sinh có học lực trung bình và yếu giải
quyết bài toán dễ dàng hơn.
Bài tập này ta còn có thể làm như sau:
 x  , ta nhận thấy đây có thể là đồ thị của hàm đa thức
Từ đồ thị hàm số y  f �
 x  cắt trục hoành tại các điểm có
bậc ba với hệ số a  0 , đồ thị hàm số y  f �
hoành độ x  1 , x  1 , x  4 nên có thể chọn hàm số
f�
 x    x  1  x  1  x  4 
Đặt g ( x)  f  2  x 
Ta có g �
 x  f �
 2  x  . 2  x  �  f �
 2  x
   2  x  1  2  x  1  2  x  4 
   3  x   1  x   2  x 
  x  3  x  1  x  2 

x3
�
g�
x 1
 x  0 � �
�
�
x  2
�
Bảng biến thiên
8


Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số
y f�
 x  như hình vẽ bên và f  2   f  2   0 .
Hàm số y  �
�f  x  �
� nghịch biến trên khoảng nào
2

dưới đây?
� 3�
1; �.
A. �
B.  2; 1 .
� 2�
C.  1;1 .
D.  1;2  .

Lời giải
 x  , ta có bảng biến thiên
Từ đồ thị hàm số y  f �

Từ bảng biến thiên ta nhận thấy y  f  x  �0, x ��.
�
�
Đặt g  x   �
�f  x  �
�, ta có g  x   2 f  x  . f  x  .
2
�
f
x
�
Do đó hàm số y  �


�
� nghịch biến � g  x   0
2

x  2
�
� 2 f  x . f �
 x  0 � f �
 x  0 � �
.
1 x  2
�

Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: (Đề thi thử trường THPT Chu
Văn An-thi ngày 21.4.2018)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số
y f�
 x  như hình vẽ bên.
x2
Hàm số y  f  1  x    x nghịch
2
biến trên khoảng nào dưới đây?
� 3�
1; �.
A. �
B.  2;0  .
� 2�

9


C.  3;1 .

D.  1;3 .

Lời giải
x2
Đặt g  x   f  1  x    x
2
�
�
Ta có g  x    f  1  x   x  1

x2
Hàm số g  x   f  1  x    x nghịch
2
 x  0
biến � g �
�f�
 1  x  x 1  0
�f�
 1  x  1  x
� f�
 1  x     1  x  (1)
Đặt t  1  x , (1) trở thành
f�
 t   t
(2)
Kẻ thêm đường thẳng y   x lên hình vẽ
đã cho (dễ thấy đường thẳng này đi qua
các điểm  3;3 ,  1; 1 và  3; 3 ).
Dựa vào đồ thị ta có:  2  � 1  t  3 � 1  1  x  3 � 2  x  0 .
Chọn đáp án B.
Chú ý: Trong bài này học sinh dễ mắc sai lầm vẽ thêm đường thẳng y  x  1
lên đồ thị hàm số dẫn tới kết quả sai.
2.3.1.2. Xác định cực trị của hàm số
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Nguyễn
Huệ - Ninh Bình)
Cho hàm số y  f  x  xác định và có đạo hàm
y  f '  x  . Đồ thị của hàm số y  f '  x  như
hình vẽ bên.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị.

B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  �;2 
C. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  0;1
D. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  �; 1 .
Phương pháp: Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  để tìm khoảng dương, âm của
f '  x  , từ đó tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của f  x  .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số y  f '  x  ta có bảng biến thiên
10


Chọn đáp án A.
Chú ý khi giải:
Học sinh có thể nhầm lẫn đồ thị hàm số y  f '  x  thành đồ thị hàm số y  f  x 
do đọc không kĩ đề dẫn đến chọn sai đáp án.
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử Chuyên Bắc Ninh
lần 2-2018)
Cho hàm số y  f  x  với đạo hàm f '  x  có đồ
thị như hình vẽ bên.
x3
Hàm số g  x   f  x    x 2  x  2 đạt cực
3
đại tại điểm nào ?
A. x  1.
B. x  1.
C. x  0.
D. x  2.
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f '  x  để suy ra bảng biến thiên của
hàm số y  f  x  , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  để kết
luận điểm cực trị.
Lời giải

x3
2
Xét hàm số g ( x)  f  x    x 2  x  2, có g '( x)  f '  x   x  2 x  1; x ��.
3
2
Ta có: g '( x)  0 � f '  x    x  1  *
Từ đồ thị hàm số f '  x  ta thấy:
2
f '  0   1   0  1 nên x  0 là một nghiệm của g '( x).
2
f '  1  0   1  1 � x  1 là một nghiệm của g '( x).

f '  2   1   2  1 � x  2 là một nghiệm của g '( x).
Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1  0, x2  1, x3  2.
2

2
( x)
Vẽ đồ thị hàm số y   x  1 trên cùng mặt phẳng tọa độ với y  f �
Ta thấy:
( x)
Trong khoảng (0;1) thì đồ thị hàm số y  f �

nằm phía trên đồ thị hàm số y   x  1 nên
g�
( x)  0, x �(0;1)
( x)
Trong khoảng (1;2) thì đồ thị hàm số y  f �
2

nằm phía dưới đồ thị hàm số y   x  1 nên
g�
( x)  0, x �(1;2) .
Do đó ta có bảng biến thiên
2

11


Vậy x  1 là điểm cực đại của hàm số y  g ( x).
2.3.1.3. Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, so sánh các
giá trị của hàm số
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Sơn Tây - Hà Nội)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f '  x  cắt trục Ox
tại ba điểm có hoành độ a, b, c như hình vẽ bên.
Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?
A. f  a   f  c   f  b  .
B. f  b   f  a   f  c  .
C. f  c   f  a   f  b  .
D. f  c   f  b   f  a  .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f '  x  để suy
ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x  , sau đó dựa vào
bảng biến thiên của hàm số y  f  x  và diện tích hình phẳng để kết luận.
Lời giải
Từ đồ thị hàm số f '  x  ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên dễ thấy f  b  là số bé nhất trong ba số f  a  , f  b  , f  c  .
Gọi S1 là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f '  x  và trục hoành và
nằm bên dưới trục hoành.
Gọi S2 là phần diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f '  x  và trục hoành và

nằm bên trên trục hoành.
c

b

b

a

f�
f�
 x  dx  �
 x  dx
Dựa vào đồ thị y  f '  x  , ta có S2  S1 � �
c

b

b

a

��
f�
f�
 x  dx  �
 x  dx � f  x  b   f  x 
c

b

a

� f  c  f  b  f  a   f  b � f  c   f  a  .
Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 2-2018)
12


Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên � và
 x  như hình vẽ bên.
có đồ thị của hàm y  f �
Biết rằng f  0   f  3  f  2   f  5  . Giá trị
nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của y  f  x  trên
đoạn  0;5 lần lượt là
A. f  1 , f  3 .
B. f  2  , f  5  .
C. f  0  , f  5  .
D. f  2  , f  0  .
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f '  x  để suy ra bảng biến thiên của
hàm số y  f  x  , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f  x  và tính
đơn điệu của hàm số để kết luận.
Lời giải
Từ đồ thị hàm số f '  x  ta có bảng biến thiên

f ( x)  f  2  � Loại các đáp án A, C.
Từ bảng biến thiên ta có min
 0;5

Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng (2; 5) nên ta có f  3  f  2  .
Theo giả thiết f  0   f  3  f  2   f  5 � f  5   f  0   f  3  f  2   0

� f  5   f  0  � max f ( x)  f  5  .
 0;5

Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: (Trích đề thi chính thức năm 2017-mã đề 101)
( x)
Cho hàm số y  f ( x ) . Đồ thị của hàm số y  f �
như hình bên. Đặt h( x)  2 f ( x)  x 2 . Mệnh đề nào
dưới đây đúng?
A. h(4)  h(2)  h(2) .
B. h(4)  h(2)  h(2) .
C. h(2)  h(4)  h(2) .
D. h(2)  h(2)  h(4) .

13


Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f '  x  để suy ra bảng biến thiên của
hàm số y  h  x  , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  h  x  và diện
tích hình phẳng để kết luận.
Lời giải
( x)  2 f �
( x)  2 x
Ta có: h�
h�
( x)  0 � 2 f �
( x)  2 x  0
x  2
�
� f�

( x)  x � �
x2 .
�
�
x4
�
Trên hình vẽ đã cho, ta kẻ thêm đường thẳng
y x.
Dựa vào hình vẽ ta có bảng biến thiên

h  x   h  2  , min h  x  � h  2  , h  4   .
Từ bảng biến thiên suy ra: max
 2;4
 2;4
Dựa vào đồ thị ta có
2

4

2

2

S1  S2 � 2S1  2S2 � 2 �
�
dx  2�
�
x f�
dx
 x  x�

 x �
�f �
�
�
�
2

4

2

2

��
h�
h�
 x  dx  �
 x  dx � h  x 

 h  x 
2
2

4
2

� h  2   h  2   h  2   h  4  � h  2   h  4 
Vậy h  2   h  2   h  4  .
2.3.2. Khai thác đồ thị hàm số y  f  x 
Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Lần1-2018)

Cho hàm số y   x 4  2 x 2 có đồ thị như hình vẽ
bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình  x 4  2 x 2  log 2 m có bốn nghiệm
thực phân biệt
A. 0 �m �1 .
B. m  0 .
C. m �2 .
D. 1  m  2 .
Phương pháp giải: Dựa vào sự tương giao
của đường thẳng y  log 2 m và đồ thị hàm
14


số y   x 4  2 x 2 .
Lời giải
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng
số giao điểm của đường thẳng y  log 2 m
và đồ thị hàm số y   x 4  2 x 2 .
Dựa vào đồ thị hàm số y   x 4  2 x 2 ta
thấy phương trình  x 4  2 x 2  log 2 m có
bốn nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi 0  log 2 m  1 � 1  m  2 .
Ví dụ 2:
Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ.

Gọi m là số nghiệm thực của phương trình f ( f ( x))  0 khẳng định nào sau đây
là đúng?
A. m  6 .
B. m  7 .
C. m  5 .
D. m  9 .

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) ta dễ thấy
x  a  1  a  0 
�
�
f ( x)  0 � �
x 1
�
x  b  2  b  3
�
15


�f ( x)  a
�
Do đó ta có: f ( f ( x))  0 � �f ( x)  1
�
�f ( x)  b
Trên đồ thị hàm số y  f ( x ) kẻ các đường thẳng y  a , y  1 , y  b .
Đường thẳng y  a cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 3 điểm phân biệt nên phương
trình f ( x)  a có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 .
Đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 3 điểm phân biệt nên phương
trình f ( x)  1 có 3 nghiệm phân biệt x4 , x5 , x6 .
Đường thẳng y  b cắt đồ thị hàm số y  f ( x) tại 1 điểm duy nhất nên phương
trình f ( x)  b có 1 nghiệm duy nhất x7 .
Các nghiệm này dễ thấy không trùng nhau nên phương trình f ( f ( x))  0 có 7
nghiệm thực.
Ví dụ 3: (Trích đề thi thử trường THPT Quảng Xương 1- Lần 2-2018)
 x  trên khoảng  �; � . Đồ thị của hàm số

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f �
y  f  x  như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số y   f  x   có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
D. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại.
Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) để tìm nghiệm của của các
( x)  0 rồi xét dấu. Khi xét dấu của f �
( x) thì chú ý
phương trình f ( x)  0 , f �
xem tại điểm đó là điểm cự đại hay điểm cực tiểu.
2

Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) ta dễ thấy
x0
�
f ( x)  0 � �
x  1 (nghiệm kép)
�
�
x3
�
Trên đồ thị hàm số y  f ( x ) , từ các điểm
16


cực trị, kẻ vuông góc trục hoành để xác định hoành độ của điểm cực trị (có thể

( x) trên cùng một hệ trục tọa độ), ta có:
vẽ đồ thị hàm số y  f �
x  x1  0  x2  1
�
�
f�
( x)  0 � �
x 1
�
x  x2  2  x2  3
�

 x  2 f  x . f �
 x
Đặt y  g  x    f  x   , ta có g �
2

g�
( x)  0 � x  0, x  3, x  1, x  x1  0  x2  1 , x  x2  2  x2  3
Bảng xét dấu

( x ) ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x  0 ; x  1 ; x  3 , đạt
Từ bảng xét dấu g �
cực đại tại x  x1 và x  x2 .
Vậy hàm số có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu.
2.3. 3. Ngân hàng đề thi về dạng toán khai thác đồ thị hàm số
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ
bên. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.  �; 2  .

B.  1;2  .
C.  0; � .
D.  1;1 .

Câu 2: (Trích đề thi thử trường THPT Lương Văn Tụy-2018)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �, đồ thị
 x  như hình vẽ bên. Trong các
của đạo hàm f �
mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. f đạt cực tiểu tại x  0 .
B. f đạt cực tiểu tại x  2 .
C. f đạt cực đại tại x  2 .
D. cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.
Câu 3: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lam Sơn-Lần 1-2018)
 x  có
Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f �
17


đồ thị như hình vẽ bên.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên  �;1 .
B. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có hai điểm cực trị.
C. Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x  1 .
D. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có một điểm cực tiểu.
 x
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f �
có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f  1  x 
nghịch biến trên khoảng:
A.  0;2  .

B.  1;� .
C.  2;0  .
D.  �; 3 .
Câu 5: (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc
Hứa-Lần 1-2018)
Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên �
và có đạo hàm f '  x  . Biết rằng hàm số f '  x  có
đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng (2;0) .
B. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  0;� .
C. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  �; 3 .
D. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  3; 2  .
Câu 6: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Đại học Vinh-Lần 2-2018)
Cho hàm số bậc bốn y  f  x  . Hàm số
y f�
 x  có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực đại của hàm số
y f





x 2  2 x  2 là

A. 1.
C. 4 .

B. 2 .

D. 3 .

Câu 7: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �.
 x  như hình bên.
Đồ thị của hàm số y  f �
Đặt g  x   2 f  x    x  1 . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. Min g ( x)  g (3) .
2

 3;3

g ( x)  g (1) .
B. Min
 3;3
g ( x)  g (3) .
C. Min
 3;3

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g ( x) trên  3;3 .
18


Câu 8: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên
 x  như hình vẽ bên.
đoạn  3;3 và đồ thị hàm số y  f �
( x  1) 2
Biết f (1)  6 và g ( x )  f ( x) 
.
2

Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Phương trình g ( x)  0 có đúng hai nghiệm thuộc
 3;3 .
B. Phương trình g ( x)  0 có đúng một ng hiệm thuộc
 3;3 .
C. Phương trình g ( x)  0 không có nghiệm thuộc  3;3 .
D. Phương trình g ( x)  0 có đúng ba nghiệm thuộc  3;3 .
Câu 9: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Thái Bình-Lần 5-2018)
( x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Cho hàm số y  f �

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  e 2 f ( x )1  5 f ( x ) .
A. 1.
B. 2.
C. 4.
Câu 10: (Trích đề thi thử Sở GD & ĐT Quảng Nam-2018)
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên.
Phương trình f  x   1 có bao nhiêu nghiệm
thực phân biệt nhỏ hơn 2?
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. 3.

D. 3.

Câu 11: (Trích đề thi thử trường THPT Vinh
Lộc-2018)
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1.
B. Giá trị cực đại của hàm số là 0.
C. Điểm cực tiểu của hàm số là 1.
D. Điểm cực đại của hàm số là 3.
Câu 12: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên
Đại học Vinh-Lần 1-2018)
19


Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
A. Đồng biến trên khoảng  0; 2  .
B. Nghịch biến trên khoảng  3; 0  .
C. Đồng biến trên khoảng  1; 0  .
D. Nghịch biến trên khoảng  0; 3 .
Hướng dẫn giải, đáp số và một số câu ở các đề thi thử gần đây xem ở phụ lục.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Về phía học sinh
Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trong
năm học 2017 -2018 tại các lớp 12B5 (Ban cơ bản A), 12B2 (Ban KHTN). Tôi
đã thực hiện ôn tập và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm
 x  , y  f  x  cho học sinh và kết quả thu được rất khả quan. Năng lực
số y  f �
học sinh đã có sự chuyển biến tích cực qua những lần thi KSCL theo định hướng
thi THPT Quốc gia của nhà trường. Điểm thi cụ thể các lớp tôi dạy qua các lần
thi khảo sát như sau:
12B2
12B5
Điểm lần 1
6.01

4,12
Điểm lần 2
6.50
4.60
Điểm lần 3
6.95
5.35
Điểm lần 4
7.50
6.55
Qua điều tra tất cả các em học sinh đã biết cách giải các bài toán khai thác
 x  , y  f  x  . Các em cũng tự tin khi thực hành làm đề
đồ thị hàm số y  f �
trên lớp và ở nhà. Tất cả điều đó góp phần chuẩn bị tốt cả về kiến thức, kĩ năng,
tâm lí cho học sinh chuẩn bị bước vào kì thi THPT Quốc gia với kết quả cao
nhất.
2.4.2. Về phía giáo viên
Tôi đã trao đổi và chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán
 x  , y  f  x  với các đồng nghiệp môn Toán
khai thác đồ thị hàm số y  f �
trong và ngoài trường. Các giáo viên đều đánh giá cao về tính khoa học và tính
thực tiễn của đề tài.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Khi dạy chương 1- Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị của hàm số " cùng với việc dạy cho học sinh biết xét tính đơn điệu, cực
trị của hàm số..., giáo viên cũng cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác đồ
( x) , y  f  x  . Kĩ năng này sẽ giúp cho các em làm nhanh,
thị các hàm số y  f �
làm tốt bài thi THPT Quốc gia trong tình hình các em thi theo hình thức trắc

20


nghiệm khách quan và thời gian thi rút ngắn chỉ còn lại 90 phút. Đề tài của tôi
cũng chính là một kinh nghiệm để các thầy cô giáo dạy Toán tham khảo nhằm
nâng cao chất lượng, hiệu quả các giờ dạy Toán nói chung và dạy học phần giải
 x  , y  f  x  nói riêng.
các bài toán khai thác đồ thị hàm số y  f �
3.2. Kiến nghị
1. Trong chương trình Sách giáo khoa mới sắp tới cần đưa phần giải các bài
 x  , y  f  x  vào chương trình một cách hệ
toán khai thác đồ thị hàm số y  f �
thống và khoa học, có thêm nhiều bài tập dạng trắc nghiệm khách quan. Trong
đó cần định hướng rõ hơn cho giáo viên về yêu cầu cần đạt và phương pháp thực
hiện. Đồng thời chương trình phải phát huy được tính chủ động, tích cực của học
sinh.
2. Sở Giáo dục và đào tạo tổ chức các hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm để các
giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung và dạy đọc hiểu
văn bản nói riêng.
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình dạy học rèn luyện kĩ
 x  , y  f  x  cho học sinh
năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số y  f �
THPT trong các giờ dạy học Toán, vì vậy không tránh khỏi còn có những thiếu
sót.Tôi rất mong nhận được sự đánh giá góp ý của Hội đồng khoa học của
ngành và các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có tính ứng dụng thực tiễn
hiệu quả.
Tôi xin trân trọng cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Tác giả

Lê Thị Hiền

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nhiều tác giả, SGK Giải tích 12 (Nâng cao)
[2]. Nhiều tác giả, SGK Giải tích 12 (Cơ bản).
[3]. Nhiều tác giả, SGK Đại số và giải tích 11 (Cơ bản).
[4]. Đề thi THPT quốc gia năm 2017.
[5]. Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2018 của Bộ GD&ĐT.
[6]. Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc.
[7]. Nguồn Internet.

22


PHỤ LỤC
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình vẽ
bên. Hàm số y  f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A.  �; 2  .
B.  1;2  .
C.  0; � .

D.  1;1 .
Hướng dẫn
Chọn A
Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) thì hàm số y  f ( x )
nghịch biến trên khoảng  �; 2  .
Câu 2: (Trích đề thi thử trường THPT Lương Văn Tụy-2018)
Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �, đồ thị
 x  như hình vẽ bên. Trong các
của đạo hàm f �
mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. f đạt cực tiểu tại x  0 .
B. f đạt cực tiểu tại x  2 .
C. f đạt cực đại tại x  2 .
D. cực tiểu của f nhỏ hơn cực đại.
Hướng dẫn
Chọn B.
Quan sát đồ thị hàm số y  f '  x  ta có:
x  2
�
f�
, f�
 x  0 � �
 x   0 � 2  x  0
x

0
�
Vậy B sai; A, C và D đúng
Câu 3: (Trích đề thi thử trường THPT Chuyên Lam Sơn-Lần 1-2018)
 x  có

Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f �
đồ thị như hình vẽ bên.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên  �;1 .
B. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có hai điểm cực trị.
C. Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x  1 .
D. Đồ thị hàm số y  f ( x ) có một điểm cực tiểu.
Hướng dẫn
Chọn D
 x  ta có bảng biến thiên
Từ đồ thị hàm số y  f �
23


Vậy mệnh đề đúng là " Đồ thị hàm số y  f ( x) có một điểm cực tiểu".
 x
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f �
có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f  1  x 
nghịch biến trên khoảng:
A.  0;2  .
B.  1;� .
C.  2;0  .
D.  �; 3 .
Hướng dẫn
Chọn B
Ta có: f 1  x �
  f �1  x .

 







1  x  3
4 x
�
�
�
��
 1  x  0 � �
Ta có:  f  1  x    0 � f �
.
1  1  x  1 �
0x2
�
Câu 5: (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc Hứa-Lần 1-2018)
Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên � và có đạo hàm f '  x  . Biết rằng
hàm số f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y  f  x 
B. Hàm số y  f  x 
C. Hàm số y  f  x 
D. Hàm số y  f  x 
Hướng dẫn
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số
f�

 x   0, x � 3; 2 

đồng biến trên khoảng (2;0) .
nghịch biến trên khoảng  0;� .
đồng biến trên khoảng  �; 3 .
nghịch biến trên khoảng  3; 2  .
f '  x  ta thấy
� f  x  đồng biến trên khoảng  3; 2 
24