TOAN 12 THPT LUONG THE VINH - HA NOI

SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – TOÁN 12
NĂM HỌC 2017-2018
Thời gian làm bài 90 phút
Họ và tên thí sinh:..............................................................SBD:.....................
Mã đề thi 103
Câu 1.

[2D1-1] Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. x = −2 ; y = −2 .

Câu 2.

B. x = −2 ; y =

1
.
2

2x −1
là.
x+2

C. x = −2 ; y = 2 .

[2D1-2] Biết đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số y =

D. x = 2 ; y = 2 .

2x +1
tại hai điểm phân biệt A , B
x −1

có hoành độ lần lượt là x A ; xB . Tính giá trị của x A + xB .
A. x A + xB = 2 .
Câu 3.

B. x A + xB = −2 .

C. x A + xB = 0 .

D. x A + xB = 1 .

2
[2D2-2] Tìm tập xác định D của hàm số y = log 3 ( − x + 3 x ) .

A. D = ¡ .

B. D = ¡ \ { 0;3} .

C. D = ( −∞ ;0 ) ∪ ( 3; + ∞ ) .

D. ( 0;3) .

Câu 4.

[2D1-2] Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
x −1
A. y = x 4 .

B. y = x 2 + 2 x + 2 .
C. y =
.
D. y = − x 3 + x .
x+3

Câu 5.

[2D1-3]Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

x

( x − m)

4 − x2

có ba tiệm

cận đứng.
A. −2 < m < 2 .
Câu 6.

m ≠ 0
B. 
.
 −2 < m < 2

C. Mọi giá trị m .

D. −2 ≤ m ≤ 2 .

[2H3-2]Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) , D ( 1; 2;3) .
Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A , B , C , D là:
A. x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z = 0 .
B. x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z − 14 = 0 .
C. x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z − 6 = 0 .

Câu 7.

2x −1
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
x−2
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 .
B. Hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 .
[2D1-1] Cho hàm số y =

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Câu 8.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =

[2D2-2] Tìm tập nghiệm S của phương trình 4 x − 6.2 x + 8 = 0 .
A. S = ( 1; 2 ) .

Câu 9.

D. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0

B. S = { 2} .

C. S = { 1} .

1
.
2

D. S = { 1; 2} .

[2H2-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B , AB = BC = a ,
SA = AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , gọi E là trung điểm của AD . Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S .CDE theo a .
A. R =

3a 2
.
2

B. R =

a 10
.
2

C. R =

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

a 11
.
2

D. R =

a 2
.
2

Trang 1/23


Câu 10. [2D2-2] Cho hàm số y =
A. 1.

1 2 x
x e . Giá trị của biểu thức y ′′ − 2 y′ + y tại x = 0 là
2
1
B. e .
C. 0 .
D. .
e

Câu 11. [2H2-3] Trong các hình hộp chữ nhật nằm trong mặt cầu bán kính R , thể tích lớn nhất có thể
của khối hộp chữ nhật là
A.

4R3 3
.
3

B.

8R3 3
.
9

C.

16 R 3 3
.
3

D.

8R3 3
.
3

Câu 12. [2D1-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 2 tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục tung.
A. y = 2 .
B. y = −3 x + 2 .
C. y = 3x + 2 .
D. y = −3 x − 2 .
Câu 13. [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − 2 x +3 + 3 = m có đúng 2
nghiệm thực phân biệt trong khoảng ( 1;3) .
A. −13 < m < −9 .

B. −9 < m < 3 .

C. −13 < m < 3 .

D. 3 < m < 9 .

Câu 14. [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 3 − 3x 2 − m = 0 có 2
nghiệm phân biệt
A. Không có m .
B. m ∈ { 4;0} .
C. m ∈ { −4;0} .
D. m = 0 .
9 − x2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 − 6 x + 8
B. 3 .
C. 2 .

Câu 15. [2D1-2] Đồ thị hàm số y =
A. 4 .

D. 1.

Câu 16. [2D1-3] Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m có ba điểm cực trị tạo
thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm là
3
1
A. m = 1 .
B. không có m .
C. m = .
D. m = .
2

2
Câu 17. [2D1-2] Hàm số y = x 4 − 2017 x 2 + 2018 có giá trị cực đại là
A. yCÑ = 2017 .

B. yCÑ = 0 .

C. yCÑ = 2018 .

D. yCÑ = 2018 .

Câu 18. [2D1-2] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đạo hàm được xác định bởi hàm số
f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1)
A. 0 .

3

( x + 3) . Hỏi đồ thị hàm số
B. 3 .

y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 2 .

D. 1.

Câu 19. [2H1-2] Cho hình trụ có diện tích toàn phần lớn hơn diện tích xung quanh là 4π . Bán kính của
hình trụ là?
A.

2
.

2

B. 2.

C.

2.

D. 1.

Câu 20. [2D2-1] Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x 2 − 1) .
−3

A. D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

B. D = ∅.

C. D = ¡ .

D. D = ¡ \ { ±1} .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 2/23


Câu 21. [0H3-2] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2; −1;1) . Tìm điểm C có hoành
độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C .
A. C ( 3;0;0 ) .
B. C ( 2;0;0 ) .

C. C ( 1;0;0 ) .

D. C ( 5;0;0 ) .

Câu 22. [0H3-2] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; −2 ) , B ( 2; −1; 2 ) . Tìm tọa độ điểm M
trên mặt phẳng Oxyz cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
3 1 
A. M ( 1;1;0 ) .
B. M  ; ;0 ÷.
C. M ( 2;1;0 ) .
2 2 

1 3 
D. M  ; ;0 ÷.
2 2 

−x

Câu 23. [2D2-2] Tập nghiệm của bất phương trình 2
A. S = ( 1; +∞ ) .

B. S = ( −∞;1) .

x+2

1
<  ÷ là
4

C. S = ( −∞; 2 ) .

Câu 24. [2D1-1] Số điểm cực trị của hàm số y = x 4 − 3x 2 + 5 là
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .

D. S = ( 2; +∞ ) .
D. 0 .

Câu 25. [2D2-1] Giải phương trình log 3 ( x − 1) = 2 .
A. 8 .

B. 10 .

C. 7 .

Câu 26. [2D2-3] Số chữ số của só tự nhiên N = 32017 là
A. 962 .
B. 964 .
C. 961 .

D. 9 .
D. 963 .

1

Câu 27. [2D2-2] Cho hàm số y = f ( x ) = e x( x +1) . Tính giá trị biểu thức T = f ( 1) . f ( 2 ) ... f ( 2017 ) .2018 e .
A. T = 1 .

1

C. T = .
e

B. T = e .

1

D. T = e 2018 .

Câu 28. [2H1-2] Cho khối hộp ABCD.A′B ′C ′D′ có thể tích là 36 . Tính thể tích V của khối chóp
A.CB′D′ .
A. V = 18 .
B. V = 6 .
C. V = 9 .
D. V = 12 .
Câu 29. [2H1-1] Cho hình chóp S . ABCD có cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60° và SA = a 3 , đáy
là tứ giác có hai đường chéo vuông góc, AC = BD = 2a . Tính thể tích V của khối chóp theo a .
A. V =

2a 3 3
.
3

B. V = 3a 3 .

C. V = a 3 .

D. V =

3a 3

.
2

Câu 30. [2D2-2] Hàm số y = x 3 − 3 x đồng biến trên khoảng nào?
A. ( −1;1) .

B. ( −∞; −1) .

C. ( −∞; +∞ ) .

D. ( 0; +∞ ) .

Câu 31. [2D2-3] Cho bất phương trình 2 x + x + 2 x ≤ 23− x − x 2 + 3 có tập nghiệm là [ a; b ] . Giá trị của
T = 2a + b là
A. T = 1 .
B. T = −5 .
C. T = 3 .
D. T = −2 .
2

mx − 1
trong đó m , n là tham số. Biết giao điểm của hai đường tiệm
x−n ,
cận của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng x − 2 y + 3 = 0 và đồ thị hàm số đi qua điểm

Câu 32. [2D1-3] Cho hàm số y =

A ( 0;1) . Giá trị của m + n là
A. m + n = −3 .

B. m + n = 3 .

C. m + n = 1 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. m + n = −1 .
Trang 3/23


3
2
Câu 33. [2D1-2] Biết rằng hàm số y = f ( x ) = x + ax + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1 , giá trị cực

tiểu bằng −3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 . Tìm giá trị của hàm số tại
x = 2.
A. f ( 2 ) = 8.

B. f ( 2 ) = 0.

C. f ( 2 ) = 0.

D. f ( 2 ) = 4.

x

x

π  2017 4
π 


 2017
x
12 tan 
4034
 tan 12 ÷
÷
1
1


12
Câu 34. [2D2-3] Cho phương trình 
÷ +

÷ = 2017. 
÷ .
π
π
π
2
3


 1 − tan ÷
 1 + tan ÷
1 − tan

12 
12 

12 
Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
A. 0
B. 1
C. −1
D. 2017
Câu 35. [2H2-2] Tính thể tích V khối lập phương biết rằng khối cầu ngoại tiếp khối lập phương có thể
tích là

32
π.
3

A. V =

64 3
.
9

B. V = 8 .

C. V =

8 3
.
9

D. V =

8 3

.
3

Câu 36. [2D2-1] Hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở dưới đồng biến trên các khoảng xác định của
hàm số?
2 x +1

π 
A. y =  ÷
e

.

−x

B. y = 3 .

C. y = ( sin 2017 ) .
x

x

2
D. y =  ÷ .
e

Câu 37. [1D5-4] Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Gọi A , B là các điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có
hoành độ lần lượt là x A ; xB , tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A , B song song với nhau và
đường thẳng AB tạo với 2 trục toạ độ một tam giác cân, đường thẳng AB có hệ số góc
dương. Tính giá trị x A xB .

A. x A xB = −1 .
B. x A xB = −3 .
C. x A xB = −2 .
D. x A xB = 2 .
2x −1
tại điểm có tung độ bằng 5 có hệ số góc k là
x−2
1
B. k = −1 .
C. k = −3 .
D. k = .
3

Câu 38. [1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị y =
1
A. k = − .
3

Câu 39. [2H2-2] Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 4 và diện tích đáy là 9π . Tính diện tích
xung quanh của hình nón.
A. S xq = 10π .
B. S xq = 15π .
C. S xq = 25π .
D. S xq = 30π .
4
trên [ 1;3] .
x
16
C. Min y = .
x∈[ 1;3]

3

Câu 40. [2D1-2] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 +
y =4.
A. Min
x∈[ 1;3]

y = 5.
B. Min
x∈[ 1;3]

y=6.
D. Min
x∈[ 1;3]

Câu 41. [2D1-1] Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây.
y
A. y = x 3 − 3 x − 2 .
−1
B. y = x 4 − 2 x 2 − 2 .
O
C. y = − x 4 + 2 x 2 − 2 .
D. y = x 4 + 2 x 2 − 2 .

1

x

−2
−3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 4/23


Câu 42. [2D2-2] Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 3) ≥ log 1 ( 9 − 2 x ) .
2

B. S = ( −∞; 4] .

A. S = ( 3; 4 ) .

2

 9
C. S =  3; ÷.
 4

D. S = ( 3; 4] .

2
Câu 43. [2H1-2] Diện tích toàn phần của một hình hộp chữ nhật là Stp = 8a . Đáy của hình hộp là hình
vuông cạnh a . Tính thể tích của khối hộp theo a .

A. V = 3a 3 .

C. V =

B. V = a 3 .

3a 3
.
2

D. V =

7 3
a.
4

Câu 44. [2H3-1] Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I ( −1; 2;0 ) và đi qua điểm
A ( 2; − 2;0 ) là
A. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 100.

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 5.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 10.

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 25.

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 45. [2D1-2] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y =
từng khoảng xác định.
A. ( −∞; −1) .

B. ( −1;1) .

C. ( 1; +∞ ) .

mx − 1
đồng biến trên
x−m

D. ( −∞;1) .

Câu 46. [2H2-2] Hình nón có chiều cao bằng đường kính đáy. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện
tích toàn phần của hình nón là:
1
1
1+ 5
5− 5
A. .
B.
.

C. .
D.
.
2
4
4
4
Câu 47. [2H1-1] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = a và vuông góc với
đáy. Thể tích V của khối chóp S . ABC theo a là
A. VS . ABC =

a3 3
.
12

B. VS . ABC =

a3 2
.
12

C. VS . ABC =

a3 3
.
3

D. VS . ABC =

a3 3

.
4

2
Câu 48. [2D2-2] Đạo hàm của hàm số y = log 2 ( x − 2 x ) là

A. y ′ =

1
( x − 2 x ) ln 2 .

B. y′ =

x −1
.
x − 2x

C. y ′ =

x −1
( x − 2 x ) ln 2 .

D. y ′ =

x −1
( x − 2 x ) ln 2 .

2

2

2

2

r
r
r
Câu 49. [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a = ( 1; 2;1) , b = ( 0; 2; −1) , c = ( m;1;0 ) . Tìm giá
r r r
trị thực của tham số m để ba véctơ a , b , c đồng phẳng.
1
1
A. m = 1 .
B. m = 0 .
C. m = − .
D. m = .
4
4
Câu 50. [2H2-1] Khối cầu có thể tích là 36 π . Diện tích xung quanh của mặt cầu là
A. S xq = 9π .
B. S xq = 27π .
C. S xq = 18π .
D. S xq = 36 π .
----------HẾT----------

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 5/23

1
C

2 3
A D

4
C

5
B

6 7 8
A A D

BẢNG ĐÁP ÁN
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C A B B A C D C D B C D A B D A B

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
D B D C B B B D D A A B C B B B D C D B D A D D D
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

[2D1-1] Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. x = −2 ; y = −2 .

B. x = −2 ; y =

1
.
2

2x −1
là.
x+2

C. x = −2 ; y = 2 .

D. x = 2 ; y = 2 .

Lời giải
Chọn C.
TXĐ: D = ¡ \ { −2} .
 lim+ y = −∞
x →−2
⇒ x = −2 là đường tiệm cận đứng.

lim
y
=
+∞
 x →−2−
lim y = 2 ⇒ y = 2 là đường tiệm cận ngang.
x →±∞

Câu 2.

[2D1-2] Biết đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số y =

2x +1
tại hai điểm phân biệt A , B
x −1

có hoành độ lần lượt là x A ; xB . Tính giá trị của x A + xB .
A. x A + xB = 2 .

B. x A + xB = −2 .

C. x A + xB = 0 .
Lời giải

D. x A + xB = 1 .

Chọn A.
d : y = x +1 ; ( H ) : y =

2x +1
.
x −1

Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( H ) : x + 1 =

2x +1
( 1)
x −1

( ĐK : x ≠ 1) .

⇔ x2 −1 = 2 x + 1 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3 .
Vì d cắt ( H ) tại hai điểm phân biệt A , B nên hoành độ hai điểm A , B là nghiệm của
phương trình ( 1) .
Vậy x A + xB = 2 .
Câu 3.

2
[2D2-2] Tìm tập xác định D của hàm số y = log 3 ( − x + 3 x ) .

A. D = ¡ .

B. D = ¡ \ { 0;3} .

C. D = ( −∞ ;0 ) ∪ ( 3; + ∞ ) .

D. ( 0;3) .

Lời giải
Chọn D.
Điều kiện: − x 2 + 3 x > 0 ⇔ 0 < x < 3 . Vậy D = ( 0;3) .
Câu 4.

[2D1-2] Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
x −1
A. y = x 4 .
B. y = x 2 + 2 x + 2 .
C. y =
.
D. y = − x 3 + x .
x+3

Lời giải
Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/23


Hàm số y =

Câu 5.

4
x −1
> 0 ∀x ≠ −3 nên hàm số này không có cực trị.
có đạo hàm y ′ =
2
( x + 3)
x+3

[2D1-3]Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y =

x

( x − m)

4 − x2

có ba tiệm

cận đứng.
m ≠ 0
B. 
.
 −2 < m < 2

A. −2 < m < 2 .

C. Mọi giá trị m .

D. −2 ≤ m ≤ 2 .

Lời giải
Chọn B.
Tập xác định D = ( −2; 2 ) \ { m} .
Xét x →lim
( −2 ) +

x

( x − m)

4 − x2

x = −2 , lim ( x − m ) 4 − x 2  = 0 nên lim + y = ∞ .
do x →lim
+
x →( −2 )
( −2 ) +


x →( −2 ) 
Suy ra x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị.
x
= ∞ , ta được x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tương tự, xét xlim
−
→2
( x − m ) 4 − x2
Để đồ thị hàm số có ba tiệm cận đứng thì: xlim
→m+

x

( x − m ) 4 − x2

=∞

 lim+ x ≠ 0
 x →m
⇔m≠0.

2
lim
x
−
m
4
−
x
=

0
(
)
 x →m+
m ≠ 0
Vậy để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận thì 
.
 −2 < m < 2
Câu 6.

[2H3-2]Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3) , D ( 1; 2;3) .
Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A , B , C , D là:
A. x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z = 0 .
B. x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z − 14 = 0 .
C. x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z − 6 = 0 .

D. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z = 0
Lời giải

Chọn A
Phương trình mặt cầu có dạng ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
1

A∈( S )
a = 2
1 − 2a + d = 0


4 − 4b + d = 0
B ∈ ( S )


b = 1
⇒
⇔
Ta có 
.
C ∈ ( S )
9 − 6c + d = 0
c = 3
D ∈ S
( ) 14 − 2a − 4b − 6d + d = 0  2

d = 0
Vậy phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A , B , C , là:
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 3z = 0 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/23


Câu 7.

2x −1
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
x−2
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 .
B. Hàm số có tiệm cận đứng là x = 2 .
[2D1-1] Cho hàm số y =

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =

1
.
2

Lời giải
Chọn A.
Câu 8.

[2D2-2] Tìm tập nghiệm S của phương trình 4 x − 6.2 x + 8 = 0 .
A. S = ( 1; 2 ) .

B. S = { 2} .

C. S = { 1} .

D. S = { 1; 2} .

Lời giải
Chọn D.
2x = 2
x =1
⇔
Ta có 4 − 6.2 + 8 = 0 ⇔  x
x = 2
2 = 4
x

Câu 9.

x

[2H2-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại A , B , AB = BC = a ,
SA = AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) , gọi E là trung điểm của AD . Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S .CDE theo a .

A. R =

3a 2
.
2

B. R =

a 10
.
2

C. R =

a 11
.
2

D. R =

a 2

.
2

Lời giải
Chọn C.
Vì E là trung điểm AD nên AE =

AD
= a , khi đó ABCE là hình vuông cạnh a . Từ đó ta có
2

CE ⊥ AD ( 1) .

Từ giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) suy ra SA ⊥ CE

( 2) .

Từ ( 1) và ( 2 ) ta có CE ⊥ ( SAD ) .
Ta coi hình chóp S .CDE là hình chóp C.SED , ta xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp C.SED .
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SED , gọi ∆ là đường thẳng đi qua I và vuông

góc với mặt phẳng ( SED ) . Khi đó ∆ // EC . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CE cắt ∆ tại
O , ta có OIEM là hình chữ nhật (với M là trung điểm CE ).
Do O nằm trên ∆ nên OE = OS = OD , do O nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
CE nên OE = OC .
Như vậy OC = OE = OS = OD nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.SED .
·
Tam giác SAD vuông cân đỉnh A nên SD = SA 2 = 2a 2 và SDE
= 45° .

Tam giác SAE vuông tại A và SA = 2a , AE = a nên SE = SA2 + AE 2 =

( 2a )

2

+ a2 = a 5 .

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SED , áp dụng định lí sin trong tam giác
SED ta có:
SE
SE
a 5
a 10
a 10
, hay IE = r =
.
= 2r ⇒ r =
=
=
·
·
2
2
sin SDE
2sin SDE 2sin 45°
EC a
= , nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .CDE là:
Mặt khác EM =

2
2
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/23


2

2
a 11
 a   a 10 
.
R = OE = OI + IE =  ÷ + 
=
÷
2
2  2 ÷

S
2

2

I
O

∆
E

A

D

M
C

B
Câu 10. [2D2-2] Cho hàm số y =
A. 1.

1 2 x
x e . Giá trị của biểu thức y ′′ − 2 y′ + y tại x = 0 là
2
1
B. e .
C. 0 .
D. .
e
Lời giải

Chọn A.
Ta có:
1
1 
1
′  1 ′

y ′ =  x 2 e x ÷ =  x 2 ÷ e x + x 2 ( e x ) ′ =  x + x 2 ÷e x ;
2

2 
2
 2 


1  ′ 
1 ′
1 
1 


y ′′ = ( y′ ) ′ =   x + x 2 ÷e x ÷ =  x + x 2 ÷ e x +  x + x 2 ÷( e x ) ′ = ( 1 + x ) e x +  x + x 2 ÷e x
2   
2 
2 
2 



1 2 x

Hay y ′′ = 1 + 2 x + x ÷e .
2 

1 2 x
1 2 x 1 2 x


x
Như vậy: y ′′ − 2 y′ + y = 1 + 2 x + x ÷e − 2  x + x ÷e + x e = e .

2 
2 
2


0
Do đó, giá trị của biểu thức y ′′ − 2 y′ + y tại x = 0 là e = 1 .
Câu 11. [2H2-3] Trong các hình hộp chữ nhật nằm trong mặt cầu bán kính R , thể tích lớn nhất có thể
của khối hộp chữ nhật là
4R3 3
A.
.
3

8R3 3
B.
.
9

16 R 3 3
C.
.
3

8R3 3
D.
.
3

Lời giải

Chọn B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/23


Gọi AB ∩ CD = O , A′B′ ∩ C ′D′ = O′ .
Ta có OO′ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đáy hình hộp chữ nhật. Gọi là I trung điểm OO′ .
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′
Gọi AB = a , AD = b , AA′ = c . Thể tích khối hộp VABCD. A′B ′C ′D′ = abc
2

BD  OO′
Ta có R = ID = DO + OI = 
=
÷ +
2
 2 
2

2

2

AB 2 + AD 2 AA′2
a 2 + b2 + c2
.
+
=

4
4
2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 3 a 2b 2c 2 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
⇒R≥

3
3 3 a 2b 2 c 2
3 3abc ⇒ R 3 ≥ 3 3V ⇒ V ≤ 8R 3 .
⇒ R3 ≥
8
9
2
8

Thể tích lớn nhất có thể của khối hộp chữ nhật là

8R3 3
, khi đó ABCD. A′B′C ′D′ là hình lập
9

phương.
Câu 12. [2D1-2] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 2 tại giao điểm của đồ thị
hàm số với trục tung.
A. y = 2 .
B. y = −3 x + 2 .
C. y = 3x + 2 .
D. y = −3 x − 2 .

Lời giải
Chọn B.
Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm ( 0; 2 ) .
Ta có y ′ = 3 x 2 − 3 , y ′ ( 0 ) = −3 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( 0; 2 ) có dạng:
y = y ′ ( 0 ) . ( x − 0 ) + 2 ⇒ y = −3 x + 2 .
Câu 13. [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x − 2 x +3 + 3 = m có đúng 2
nghiệm thực phân biệt trong khoảng ( 1;3) .
A. −13 < m < −9 .

B. −9 < m < 3 .

C. −13 < m < 3 .
Lời giải

D. 3 < m < 9 .

Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/23


x
Ta có 4 x − 2 x +3 + 3 = m ⇔ 22 x − 8.2 x + 3 = m . Đặt t = 2 ( t > 0 ) , phương trình đã cho trở thành

t 2 − 8t + 3 = m ( 1) . Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực phân biệt trong khoảng

( 1;3)
Thì phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt t ∈ ( 2;8 ) .

2
Hàm số f ( t ) = t − 8t + 3 có bảng biến thiên:

Để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt t ∈ ( 2;8 ) thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm
2
số f ( t ) = t − 8t + 3 tại hai điểm phân biệt. Khi đó −13 < m < −9 .

Câu 14. [2D1-2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 3 − 3x 2 − m = 0 có 2
nghiệm phân biệt
A. Không có m .
B. m ∈ { 4;0} .
C. m ∈ { −4;0} .
D. m = 0 .
Lời giải
Chọn C.
Ta có x 3 − 3 x 2 − m = 0 ⇔ x3 − 3x 2 = m .
Xét hàm số y = x 3 − 3 x 2 :
TXĐ: D = ¡ , y ′ = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hình dạng đồ thị của hàm số y = x 3 − 3 x 2 , để phương trình
3
2
x 3 − 3x 2 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − 3 x
tại hai điểm phân biệt suy ra m = 0 hoặc m = −4 . Vậy m ∈ { −4;0} .
9 − x2
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x2 − 6 x + 8
B. 3 .
C. 2 .
Lời giải

Câu 15. [2D1-2] Đồ thị hàm số y =
A. 4 .

D. 1.

Chọn D.

Tập xác định: D = [ −3;3] \ { 2} . Do hàm số không xác định trên khoảng vô hạn nên đồ thị hàm
số không có tiệm cận ngang.
Ta có: lim+ y = −∞ ⇒ x = 2 là tiệm cận đứng.
x →2

Câu 16. [2D1-3] Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m có ba điểm cực trị tạo
thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm là
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/23


C. m =

B. không có m .

A. m = 1 .

3
.
2

D. m =

1
.
2

Lời giải
Chọn C.
Tập xác định: D = ¡ .
x = 0
Ta có: y ′ = 4 x 3 − 4mx ; y ′ = 0 ⇔  2
.
x = m
Đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m có ba điểm cực trị ⇔ m > 0

(

) (

2
Tọa độ các điểm cực trị là: A ( 0; m ) , B − m ; m − m ; C

( *) .

)

m ; m − m2 .

Theo đề bài ta có gốc tọa độ là trọng tâm ∆ABC

(

)

m = 0
0 + m + − m = 3.0

⇔
.
⇔ 3m − 2m 2 = 0 ⇔ 
2
2
m = 3
m + ( m − m ) + ( m − m ) = 3.0

2
3
Đối chiếu với điều kiện ( *) ta được m = thỏa mãn.
2
Câu 17. [2D1-2] Hàm số y = x 4 − 2017 x 2 + 2018 có giá trị cực đại là
B. yCÑ = 0 .

A. yCÑ = 2017 .

C. yCÑ = 2018 .

D. yCÑ = 2018 .

Lời giải
Chọn D.

Tập xác định: D = ¡ .
x = 0

Ta có: y ′ = 4 x − 4034 x ⇒ y′ = 0 ⇔ 
2017 .
x=±

2
Bảng biến thiên:
3

x

−∞

−
−

y′

2017
2
0

+∞

2017
2
0

0

+

0
2018

−

y

4060217
4
Từ bảng biến thiên suy ra yCÑ = 2018 .
−

−

+∞
+

+∞

4060217
4

Câu 18. [2D1-2] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và có đạo hàm được xác định bởi hàm số
f ′ ( x ) = x 2 ( x − 1)
A. 0 .

3

( x + 3) . Hỏi đồ thị hàm số
B. 3 .

y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

C. 2 .
Lời giải

D. 1.

Chọn B.
x = 0

Ta có: f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .
 x = −3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/23


Bảng biến thiên:
x
−∞
f ′( x)
+

−3

0

0
0

−

−

1
0

+∞
+

f ( x)
 f ( x ) neáu x ≥ 0
Ta có: y = f ( x ) = 
.
 f ( − x ) neáu x < 0

Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau:
x

f ′( x )

−∞

−1
0

−

0
+

−

0

+∞

1
0

+

f ( x)
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị.
Câu 19. [2H1-2] Cho hình trụ có diện tích toàn phần lớn hơn diện tích xung quanh là 4π . Bán kính của
hình trụ là?
A.

2
.
2

B. 2.

C.

2.

D. 1.

Lời giải
Chọn C.
 Stp = 2π r ( h + r )
⇒ Stp − S xq = 2π r 2 = 4π ⇒ r = 2.
Ta có 
 S xq = 2π rh
Câu 20. [2D2-1] Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x 2 − 1) .
−3

A. D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) .

B. D = ∅.

C. D = ¡ .

D. D = ¡ \ { ±1} .
Lời giải

Chọn D.
Hàm số đã cho xác định ⇔ x 2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1.
Câu 21. [0H3-2] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2; −1;1) . Tìm điểm C có hoành
độ dương trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C .
A. C ( 3;0;0 ) .
B. C ( 2;0;0 ) .
C. C ( 1;0;0 ) .

D. C ( 5;0;0 ) .

Lời giải
Chọn A.
Do C có hoành độ dương trên trục Ox nên C ( x;0;0 ) , x > 0 .
uuur
uuur
Ta có: AC = ( x − 1; −2;0 ) , BC = ( x − 2;1; −1) .
uuur uuur
Vì tam giác ABC vuông tại C nên AC.BC = 0 ⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) − 2 = 0 .
x = 0( l )
⇔ x 2 − 3x = 0 ⇔ 
. Vậy C ( 3;0;0 ) .
x = 3
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/23


Câu 22. [0H3-2] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1; 2; −2 ) , B ( 2; −1; 2 ) . Tìm tọa độ điểm M
trên mặt phẳng Oxyz cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
3 1 
A. M ( 1;1;0 ) .
B. M  ; ;0 ÷.
C. M ( 2;1;0 ) .
2 2 
Lời giải
Chọn B.
uuur

uuuu
r
Ta có: AB = ( 1; −3; 4 ) , AM = ( x − 1; y − 2; z + 2 ) .

1 3 
D. M  ; ;0 ÷.
2 2 

uuuu
r
uuur
Ta có: MA + MB ≥ AB , dấu bằng xảy ra khi M nằm giữa A và B ⇔ AM = k AB .
3

x = 2
x −1 = k
x = k +1

1 
1


⇔  y − 2 = −3k ⇔  y = −3k + 2 ⇒ z = 0 ⇒ k = ⇒  y = .
2 
2
 z + 2 = 4k
 z = 4k − 2


z = 0



3 1 
Vậy M  ; ;0 ÷.
2 2 
−x

Câu 23. [2D2-2] Tập nghiệm của bất phương trình 2
A. S = ( 1; +∞ ) .

x+2

B. S = ( −∞;1) .

1
<  ÷ là
4

C. S = ( −∞; 2 ) .

D. S = ( 2; +∞ ) .

Lời giải
Chọn D.
−x

1
Ta có 2 x + 2 <  ÷ ⇔ 2 x + 2 < 2 2 x ⇔ x + 2 < 2 x ⇔ x > 2 .
4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( 2; +∞ ) .

Câu 24. [2D1-1] Số điểm cực trị của hàm số y = x 4 − 3x 2 + 5 là
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A.
Hàm số đã cho là hàm trùng phương có hệ số a, b trái dấu nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 25. [2D2-1] Giải phương trình log 3 ( x − 1) = 2 .
A. 8 .

B. 10 .

C. 7 .
Lời giải

D. 9 .

Chọn B.
x −1 > 0
⇔ x = 10 .
Ta có log 3 ( x − 1) = 2 ⇔ 
x −1 = 9
Câu 26. [2D2-3] Số chữ số của só tự nhiên N = 32017 là
A. 962 .
B. 964 .
C. 961.
Lời giải
Chọn D.

D. 963 .

2017
Ta có số chữ số của só tự nhiên N = 32017 là log 3  + 1 = 963 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/23


1

Câu 27. [2D2-2] Cho hàm số y = f ( x ) = e x( x +1) . Tính giá trị biểu thức T = f ( 1) . f ( 2 ) ... f ( 2017 ) .2018 e .
1
C. T = .
e
Lời giải

B. T = e .

A. T = 1 .

1

D. T = e 2018 .

Chọn B.
Ta có f ( x ) = e

1
x ( x +1)

⇔ f ( x) =

e
e

1
x

1
x +1

.
1

1

e e 2 e 2017 1
⇒ T = f ( 1) . f ( 2 ) ... f ( 2017 ) .2018 e = 1 . 1 ... 1 .e 2018 ⇔ T = e .
e 2 e 3 e 2018
Câu 28. [2H1-2] Cho khối hộp ABCD. A′B′C ′D′ có thể tích là 36 . Tính thể tích V của khối chóp
A.CB′D′ .
A. V = 18 .
B. V = 6 .
C. V = 9 .
D. V = 12 .
Lời giải
Chọn D.

A
D
C

B

D′

A′
B′

C′

Ta có VABCD. A′B′C ′D′ = VA.CB′D′ + 4.VC .C ′B′D′ .
1
S A′B′C ′D′ , ⇒ VABCD. A′B′C ′D′ = 6.VC .C ′B′D′ .
2
4
⇒ VABCD. A′B′C ′D′ = VA.CB′D′ + .VABCD . A′B′C ′D′
6
1
1
⇒ .VABCD. A′B′C ′D′ = VA.CB′D′ ⇒ VA.CB′D′ = .36 = 12 .
3
3

Mà S ∆B′C ′D′ =

Câu 29. [2H1-1] Cho hình chóp S . ABCD có cạnh bên SA tạo với đáy một góc 60° và SA = a 3 , đáy
là tứ giác có hai đường chéo vuông góc, AC = BD = 2a . Tính thể tích V của khối chóp theo a .

A. V =

2a 3 3
.
3

B. V = 3a 3 .

C. V = a 3 .

D. V =

3a 3
.
2

Lời giải
Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/23


1
AC.BD = 2a 2
2
·
Hạ SH ⊥ ( ABCD) ⇒ góc giữa SA và đáy là SAH
= 60°

S ABCD =

3 3a
.
=
2
2
1 2 3a
3
Vậy thể tích khối chóp là V = .2a . = a .
3
2
⇒ SH = SA.sin 60° = a 3.

Câu 30. [2D2-2] Hàm số y = x 3 − 3 x đồng biến trên khoảng nào?
A. ( −1;1) .

B. ( −∞; −1) .

C. ( −∞; +∞ ) .

D. ( 0; +∞ ) .

Lời giải
Chọn B.
TXĐ: D = ¡
y′ = 3x 2 − 3 .
x = 1
y′ = 0 ⇔ 
 x = −1

x

−∞

−1

y′

+

⇒ hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) .

0

+∞

1
−

0

+

2
Câu 31. [2D2-3] Cho bất phương trình 2 x + x + 2 x ≤ 23− x − x 2 + 3 có tập nghiệm là [ a; b ] . Giá trị của
T = 2a + b là
A. T = 1 .
B. T = −5 .
C. T = 3 .

D. T = −2 .
Lời giải
Chọn B.

Ta có 2 x

2

+x

+ 2 x ≤ 23 − x − x 2 + 3 ⇔ 2 x

2

+x

+ x 2 + x ≤ 23− x + 3 − x

( 1) .

t
t
Xét hàm số f ( t ) = 2 + t , có f ′ ( t ) = 2 .ln 2 + 1 > 0 ∀t ∈ ¡

Vậy hàm số f ( t ) đồng biến trên ¡ .

( 1) ⇔

f ( x 2 + x ) ≤ f ( 3 − x ) ⇔ x 2 + x ≤ 3 − x ⇔ −3 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ∈ [ −3;1] .

⇒ a = −3, b = 1 ⇒ T = 2a + b = −5 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/23


mx − 1
trong đó m , n là tham số. Biết giao điểm của hai đường tiệm
x−n ,
cận của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng x − 2 y + 3 = 0 và đồ thị hàm số đi qua điểm

Câu 32. [2D1-3] Cho hàm số y =

A ( 0,1) . Giá trị của m + n là
A. m + n = −3 .

B. m + n = 3 .

C. m + n = 1 .

D. m + n = −1 .

Lời giải
Chọn B.
Đồ thị hàm số y =

mx − 1
có đường tiệm cận ngang là y = m , đường tiệm cận đứng là x = n .
x−n

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận ⇒ I ( n; m ) . Đặt d : x − 2 y + 3 = 0
Ta có I ∈ d : x − 2 y + 3 = 0 ⇒ n − 2m + 3 = 0 .
m.0 − 1
Đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 0;1) ⇒ 1 =
0−n
 n − 2m + 3 = 0
n = 1

⇔
⇒ m + n = 3.
Ta có hệ phương trình:  m.0 − 1
m = 2
1 = 0 − n
3
2
Câu 33. [2D1-2] Biết rằng hàm số y = f ( x ) = x + ax + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1 , giá trị cực

tiểu bằng −3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 . Tìm giá trị của hàm số tại
x = 2.
A. f ( 2 ) = 8.

B. f ( 2 ) = 0.

C. f ( 2 ) = 0.

D. f ( 2 ) = 4.

Lời giải
Chọn C.

Theo đề bài ta có:
 f ′ ( 1) = 2a + b + 3 = 0
a = 1


3
2
 f ( 1) = a + b + c + 1 = −3 ⇒ b = −5 ⇒ f ( x ) = x + x − 5 x + 2 ⇒ f ( 2 ) = 4 .

c = 2

 f ( 0) = c = 2
x

x

π  2017 4
π 

 2017
x
tan
12
tan
4034

÷

÷
1

1


12
12
Câu 34. [2D2-3] Cho phương trình 
÷ +

÷ = 2017. 
÷ .
π
π
π
2
3


 1 − tan ÷
 1 + tan ÷
1 − tan

12 
12 
12 
Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình đã cho.
A. 0
B. 1
C. −1
D. 2017
Lời giải

Chọn D.
π 
tan  ÷
1
3 +1
x
=
 12  = 3 − 1
Ta có:
;
, đặt t =
phương trình trở thành:
π 
2
3
π
1 + tan  ÷
2
 
4034
1 − tan  ÷
 12 
 12 

(

)

2t
4

12 3 − 1
 3 −1 
+

÷
÷
2
 2 

2t

t

3 +1
 1 
=
2017

÷

÷
÷
2 3
 2 3 

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/23

(

)

2t
t
4
12 3 + 1


3 
3 
⇔ 
−
2017
+
=0
÷

÷
÷
 2+ 3 ÷
2
 2+ 3 



(

t

)

4

12 3 − 1
3 
2
Đặt X = 
ta
có:
÷
X − 2017. X +
= 0 suy ra phương trình có các nghiệm
÷
2
 2+ 3 

(

)

t1
t2
t1 + t2
4
12 3 − 1

 




3
3
3
1
X 1 , X 2 thỏa mãn X 1. X 2 = 
.
=
=
⇒ t1 + t2 =
÷

÷

÷
 2+ 3 ÷  2+ 3 ÷  2+ 3 ÷
2
2

 



x
x
1
⇒ 1 + 2 = ⇒ x1 + x2 = 2017
4034 4034 2

Câu 35. [2H2-2] Tính thể tích V khối lập phương biết rằng khối cầu ngoại tiếp khối lập phương có thể
tích là

32
π.
3

A. V =

64 3
.
9

B. V = 8 .

C. V =

8 3
.
9

D. V =

8 3
.
3

Lời giải
Chọn A.

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là x .
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương là:
4
AC ′ x 3
. Thể tích khối cầu này là π R 3 .
R=
=
3
2
2
3

4
32
4  x 3  32
64 3
3
= π ⇔ x3 =
Theo bài ra, ta có: π R = π ⇔ π 
.
÷
÷
3
3
3  2 
3
9
Vậy thể tích V khối lập phương là: V = x 3 =

64 3

.
9

Câu 36. [2D2-1] Hàm số nào trong bốn hàm số liệt kê ở dưới đồng biến trên các khoảng xác định của
hàm số?
2 x +1

π 
A. y =  ÷
e

.

−x

B. y = 3 .

C. y = ( sin 2017 ) .
x

x

2
D. y =  ÷ .
e

Lời giải
Chọn A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/23


2 x +1

2 x +1

π 
Với hàm số y =  ÷
e

π 
ta có y ′ = 2.  ÷
e

π 
.ln  ÷ > 0, ∀x ∈ R .
e

2 x +1

π 
Suy ra hàm số y =  ÷
e

đồng biến trên ¡ .

Câu 37. [1D5-4] Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 . Gọi A , B là các điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho có
hoành độ lần lượt là x A ; xB , tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A , B song song với nhau và

đường thẳng AB tạo với 2 trục toạ độ một tam giác cân, đường thẳng AB có hệ số góc
dương. Tính giá trị x A xB .
A. x A xB = −1 .

B. x A xB = −3 .

C. x A xB = −2 .
Lời giải

D. x A xB = 2 .

Chọn B.
Hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 có tập xác định D = ¡ . Đạo hàm y ′ = 3 x 2 − 6 x .
Gọi A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) . Từ giả thiết ta suy ra x A ≠ xB .
2
* Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A , B lần lượt là: k A = y′ ( x A ) = 3x A − 6 x A ;

k B = y′ ( xB ) = 3 xB2 − 6 xB .
Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A , B song song với nhau nên k A = k B ⇔
3 x A2 − 6 xA = 3 xB2 − 6 xB ⇔ x A2 − xB2 = 2 ( x A − xB ) ⇔ x A + xB = 2 (do x A ≠ xB ).
* Đường thẳng AB tạo với 2 trục toạ độ một tam giác cân, đường thẳng AB có hệ số góc
dương nên k AB = 1 ⇔
⇔

(x

⇔

( x A + xB )

3
A

yB − y A
=1 ⇔
xB − x A

− xB3 ) − 3 ( x A2 − xB2 ) = xB − x A ⇔
2

(x

3
A

(x

2
A

− 3 xA2 + 2 ) − ( xB3 − 3 xB2 + 2 ) = xB − x A
+ x A xB + xB2 ) − 3 ( x A + xB ) = 1

− x A xB − 3 ( x A + xB ) = 1 ⇔ 22 − x A xB − 3.2 = 1 ⇔ x A xB = −3 .
2x −1
tại điểm có tung độ bằng 5 có hệ số góc k là
x−2
1
B. k = −1 .
C. k = −3 .

D. k = .
3
Lời giải

Câu 38. [1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị y =
1
A. k = − .
3
Chọn C.
Hàm số y =

−3
2x −1
có tập xác định D = ¡ \ { 2} . Đạo hàm y ′ =
2 .
( x − 2)
x−2

Gọi ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, x0 ≠ 2 . Theo giả thiết ta có y0 = 5 ⇔

2 x0 − 1
=5 ⇔
x0 − 2

2 x0 − 1 = 5 ( x0 − 2 ) ⇔ 3 x0 = 9 ⇔ x0 = 3 .
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k = y′ ( 3) =

−3

( 3 − 2)

2

= −3 .

Câu 39. [2H2-2] Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 4 và diện tích đáy là 9π . Tính diện tích
xung quanh của hình nón.
A. S xq = 10π .
B. S xq = 15π .
C. S xq = 25π .
D. S xq = 30π .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/23


Lời giải
Chọn B.

h
O

r

Ta có: B = π r 2 ⇔ 9π = π r 2 ⇔ r = 3 ; l = r 2 + h 2 = 5 .
Diện tích xung quanh: S xq = π .3.5 = 15π
4
trên [ 1;3] .
x
16

C. Min y = .
x∈[ 1;3]
3
Lời giải

Câu 40. [2D1-2] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 +
y =4.
A. Min
x∈[ 1;3]

y = 5.
B. Min
x∈[ 1;3]

y=6.
D. Min
x∈[ 1;3]

Chọn B.
 x = 2 ∈ [ 1;3]
4 x2 − 4
′=0 ⇔ 
y
;
=
x2
x2
 x = −2
16
Tính: y ( 1) = 6 ; y ( 2 ) = 5 ; y ( 3) = .

3
Vậy min y = 5 .
Ta có: y ′ = 1 −

x∈[ 1;3]

Câu 41. [2D1-1] Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây.

A. y = x 3 − 3 x − 2 .

B. y = x 4 − 2 x 2 − 2 .
C. y = − x 4 + 2 x 2 − 2 . D. y = x 4 + 2 x 2 − 2 .
Lời giải

Chọn B.
 Loại A vì đồ thị là của hàm số bậc 4 trùng phương.
 Nhìn vào đồ thị xác định được hệ số a > 0 nên loại C.
 Do hàm số có 3 cực trị nên ab < 0 . Vậy Chọn B.
Câu 42. [2D2-2] Tập nghiệm của bất phương trình log 1 ( x − 3) ≥ log 1 ( 9 − 2 x ) .
2

A. S = ( 3; 4 ) .

B. S = ( −∞; 4] .

2

 9
C. S =  3; ÷.
 4

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. S = ( 3; 4] .
Trang 20/23


Lời giải
Chọn D.
9
.
2
Bất phương trình cho ⇔ x − 3 ≤ 9 − 2 x ⇔ x ≤ 4
So điều kiện, ta được: 3 < x ≤ 4 .
Điều kiện xác định: 3 < x <

2
Câu 43. [2H1-2] Diện tích toàn phần của một hình hộp chữ nhật là Stp = 8a . Đáy của hình hộp là hình
vuông cạnh a . Tính thể tích của khối hộp theo a .

A. V = 3a .

3a 3
C. V =
.
2
Lời giải

B. V = a .

3

3

D. V =

7 3
a.
4

Chọn C.
Gọi h là chiều cao hình hộp chữ nhật, theo bài ra ta có
3a
Stp = 2 ( ah + ah + aa ) = 8a 2 ⇒ h =
.
2
Vậy thể tích khối hộp: V = Bh =

3a 3
.
2

Câu 44. [2H3-1] Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I ( −1; 2;0 ) và đi qua điểm
A ( 2; − 2;0 ) là
A. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 100.

B. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 5.

C. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 10.

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 25.

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Chọn D.
Ta có: R = IA = 32 + 42 = 5 .
Vậy phương trình mặt cầu có dạng: ( x + 1) + ( y − 2 ) + z 2 = 25.
2

2

Câu 45. [2D1-2] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y =
từng khoảng xác định.
A. ( −∞; −1) .

B. ( −1;1) .

C. ( 1; +∞ ) .

mx − 1
đồng biến trên
x−m

D. ( −∞;1) .

Lời giải
Chọn B.
Tập xác định: D = ¡ \ { m} .
Ta có y ′ =

−m 2 + 1

( x − m)

2

, để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y ′ =

−m 2 + 1

( x − m)

2

>0

⇔ −m 2 + 1 > 0 ⇔ −1 < m < 1 .
Câu 46. [2H2-2] Hình nón có chiều cao bằng đường kính đáy. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện
tích toàn phần của hình nón là:
1
1
1+ 5
5− 5
A. .
B.
.
C. .
D.
.
2
4
4
4
Lời giải
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/23


Chọn D.
Gọi bán kính đáy là r thì h = 2r ⇒ l = r 5 .

(

)

2
2
2
Diện tích xung quanh S xq = π rl = π r 5 và diện tích toàn phần Stp = π rl + π r = π r 1 + 5 .

Vậy tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón là:

5− 5
.
4

Câu 47. [2H1-1] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = a và vuông góc với
đáy. Thể tích V của khối chóp S . ABC theo a là
A. VS . ABC =

a3 3
.
12

B. VS . ABC =

a3 2
.
12

C. VS . ABC =

a3 3
.

3

D. VS . ABC =

a3 3
.
4

Lời giải
Chọn A.
Ta có S ∆ABC = a 2

3
và h = SA = a .
4

1
1
3
3
Khi đó VS . ABC = S ∆ABC .h = a 2
.
a = a3
3
3
4
12
2
Câu 48. [2D2-2] Đạo hàm của hàm số y = log 2 ( x − 2 x ) là

A. y ′ =

1
( x 2 − 2 x ) ln 2 .

B. y′ =

x −1
.
x − 2x

C. y ′ =

x −1
( x − 2 x ) ln 2 .

D. y ′ =

x −1
( x − 2 x ) ln 2 .

2

2

2

Lời giải
Chọn D.
Áp dụng công thức ( log a u ) ′ =

(x

2

− 2x) ′

u′
ta được:
u ln a

2x − 2
x −1
.
= 2
− 2 x ) ln 2 ( x − 2 x ) ln 2 ( x − 2 x ) ln 2
r
r
r
Câu 49. [2H3-2] Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a = ( 1; 2;1) , b = ( 0; 2; −1) , c = ( m;1;0 ) . Tìm giá
r r r
trị thực của tham số m để ba véctơ a , b , c đồng phẳng.
1
1
A. m = 1 .
B. m = 0 .
C. m = − .
D. m = .
4
4

Lời giải
Chọn D.
r r r
r r r
Ba véctơ a , b , c đồng phẳng ⇔  a, b  . c = 0

( log ( x

2

2

− 2x )

) =(x
′

2

=

2

r ur
r r r
1
Ta có  a, b  = ( −4;1; 2 ) ,  a, b  . c = −4m + 1 = 0 ⇔ m = .
4

Câu 50. [2H2-1] Khối cầu có thể tích là 36 π . Diện tích xung quanh của mặt cầu là

A. S xq = 9π .
B. S xq = 27π .
C. S xq = 18π .
D. S xq = 36 π .
Lời giải
Chọn D.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/23


4
V = π R 3 = 36π ⇒ R = 3 ⇒ S xq = 4π R 2 = 36 π .
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 23/23