Bai toan ve nghiem nguyen

Toán 8: Dạng toán về nghiệm nguyên
Bài 1 Tìm số nguyên n sao cho n + 4 chia hết cho n + 1.
Bài 2: Tìm n

Z để
12
23
+

n
n
là số nguyên.
Bài 3: Tìm số nguyên n, sao cho 3n + 4 chia hết cho n +1
Bài 4: Tìm x nguyên để M=
2
102
2
2
+
+
x
x
có giá trị nguyên.
Bài 5: Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức sau là số nguyên:
2
5 15
6 9 1
x
B
x x
+

=

Bài 6:Tìm giá trị của t để phơng trình có nghiệm là số dơng:
2
4
1
t
x
=
+
Bài 7:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
2
2
2
1
1
x
P x
x x
=
+
Bài 8:Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x
2
-3x + 9 = -xy+2y
Bài 9: Tìm số tự nhiên n để n
4
+ 4 là số nguyên tố.
Bài 10: Cho P =
4
4 3 2

x - 16
x - 4x + 8x - 16x + 16
Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 11. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình:
(Pt và bài toán với nghiệm nguyên NXB giáo dục )
Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x
6
+ 3x
3
+ 1 = y
4

Bài 13: Tìm các số nguyên x và y sao cho x
3
+x
2
+x+1=y
3

(PT và bài toán với nghiệm nguyên: TG Vũ Hữu Bình)
Bài 14: Tìm các số nguyên nghiệm đúng phơng trình sau:(x
2
+ 1) (x
2
+ y
2
) = 4x
2
y.
Bài 15: Tuyển tạp các bài toán chọn lọc)

Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
2 2 2 2
1 1 1 1
1
x y z t
+ + + =
Bài 16: Tìm tất cả các số nguyên dơng thỏa mãn điều kiện:
a)
3
111
=
yx
b)
xyyx
1
3
111
+=+
Bài 17: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x thoả mãn:
| x-3 | + | x-10 | + | x+101 | + | x+990 | + | x+1000 | = 2004(Báo toán học tuổi trẻ năm 2004)
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên sau đó lấy nghiệm nguyên dơng của phơng trình2x + 5y = 48
(Giáo trình thực hành giải toán)
Bài 19: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: xy-2x-3y+1=0
Bài 20: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x + xy + y = 4
Bài 21: ( Sáng tác)
Cho phơng trình bậc hai : x
2
+ 3x + 1 - p
2
= 0 ( p là tham số )

Hãy tìm các giá trị nguyên của p để phơng trình có nghiệm nguyên
Bài 22: Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phơng trình:
(17x 1)(7x 1)(6x 1)(5x 1) = 1920.
Bài 23: Tìm số tự nhiên n để: n
2
+ 6n + 2608 là số chính phơng
Bài 24. Cho phân số A
3
1

+
=
n
n
(
;zn


3

n
)
a)Tìm
n
để A có giá trị nguyên. b)Tìm
n
để A là phân số tối giản.
22
31942 yxx
=+

Bài 25:Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
1
1111
=+++
tzyx
Bài 26:. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x + xy + y = 4
Bài 27: Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho :
344
3

x
chia hết cho x-7
Bài 28: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
1919...
4
14
4
2
4
1
=+++
xxx
Bài 29: Tìm các số nguyên x sao cho (
xxx 28
23
+
) chia hết cho
1
2
+

x
Bài 30: Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
6
1
6
111
=++
xyyx
Bài 31: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
183
22
=+
xyxy
Bài 32: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn phơng trình : x
4
+(x+1)
4
=y
2
+(y+1)
2
Bài 33: Cho P =
4
4 3 2
16
4 8 16 16
x
x x x x

+ +

Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 34 Cho biểu thức:A =
3
3

x
-
2
9
6
x
x

+
3
+
x
x
(với x

3)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 35:Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức:


Bài 36: Cho Biểu thức: B =
2
2

a
a
Tìm các số nguyên a để B là số nguyên.
Bài 37: Cho biểu thức:
1
6
+
+
=
a
a
M
Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.
Bài 38: Cho biểu thức B =
89
352
24
24
+
+
aa
aa
a)Rút gọn biểu thức B b) Tính a

Z để B

Z
Câu II Tìm a , b , c biết : a =
2

2
1
2
b
b
+
; b =
2
2
1
2
c
c
+
; c =
2
2
1
2
a
a
+
Câu II Tìm a , b , c biết : a =
2
2
1
2
b
b
+

; b =
2
2
1
2
c
c
+
; c =
2
2
1
2
b
a
+

Nhận xét các số a ; b ; c là các số dơng
áp dụng bất đẳng thức cosi 1+ b
2


2b

a =
2
2
1
2
b

b
+



b
b
2
2
2
= b (0 .5đ)
1 + c
2


2c

b =
2
2
1
2
c
c
+



c
c

2
2
2
= c (0 .5đ)
1 + a
2


2a

c =
2
2
1
2
b
a
+



a
a
2
2
2
= a (0 .5đ)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta có a = b = c và theo cosi thì a = b = c = 1 (0 .25đ)
2; Tìm 4 số nguyên dơng x,y,z,t thoả mãn
1

1111
2222
=+++
tzyx
2, Tìm 4 số nguyên dơng x, y, z , t . thoả mãn :

1
1111
2222
=+++
tzyx

Không mất tính tổng quát , giả sử : x

y

z

t (1) (0,25đ)
(1)
1
4
2

t


t = 1 , hoặc t = 2 (0,25đ)
Với t =1 thì
0

111
222
=++
zyx
Vô lý (0,5đ)
Với t = 2 thì
4
33
2

z
Vậy z = 2


22
11
yx
+
=
2
1
(0,5đ)
Nên x = y = z = t = 2
1)Tìm 4 số nguyên dơng x, y, z, t thoả mãn
1
1111
2222
=+++
tzyx
1) Không mất tính tổng quát , giả sử : x

y

z

t (1)
(1)
1
4
2

t


t = 1 , hoặc t = 2
Với t =1 thì
0
111
222
=++
zyx
Vô lý
Với t = 2 thì
4
33
2

z
Vậy z = 2

22
11
yx
+
=
2
1

Nên x = y = z = t = 2
Bài 4: Cho B =
1
6
+
+
a
a
a, Tìm các số nguyên a để B là số nguyyên.
b, Chứng minh rằng với a =
9
4
thì B là số nguyên.
c, Tìm các số hữu tỷ a để B là só nguyên.
Bài 4:
a, M =
1
5
1
+
+

a
. Để M nguyên thì
1
5
+
a
nguyên .Ta biết rằng khi a là số nguyên thì
a
hoặc là
nguyên. ( nếu a là số chính phơng). Hoặc là số vô tỉ ( nếu a không là số chính phơng). Để
1
5
+
a
là số
nguyên thì
a
không thể là số vô tỉ, do đó
a
là số nguyên,
suy ra :
a
+ 1 là ớc tự nhiên của 5 ta có:
a
+ 1 1 5
a

0 4
a 0 16
B 6 2

b, Với a=
9
4
thì B =
4
1
3
2
6
3
2
=
+
+
(0,5đ).
c, Ta có : B =
1
5
1
+
+
a
. Để B là số nguyên thì
1
5
+
a
phải là số nguyên.
Đặt
1

5
+
a
= n

Z . Ta có: n
a
+ n = 5 do đó
a
=
n
n

5
(do n

0).
Giải điều kiện
0
5


n
n
Ta đợc 0<n
5

.
Do n

Z nên n

{ }
5;4;3;2;1
Ta có
N 1 2 3 4 5
a
4
2
3
3
2
4
1
0
a 16
4
9
9
4
16
1
0
B 2 3 4 5 6
Hoàn chỉnh câu c (1đ).

đáp án
đáp án
Bài 1:n + 4 = (n + 1) + 3
Z

nn
n

+
+=
+
+

1
3
1
1
4

+
+

1
1
3
nZ
n
Ư(3) = {
3;1

}
Vậy n

{-4;-2;0;2}
Bài 2: Với n

Z , để
12
23
+

n
n
là số nguyên thì 3n - 2 chia hết cho 2n + 1
mà 2n +1 chia hết cho 2n + 1 do đó 3(2n + 1) - 2(3n - 2) chia hết cho 2n + 1
hay 7 chia hết cho 2n + 1, hay 2n + 1 là ớc của 7 Suy ra 2n

{

1 ;

7} Vậy n = 0 ; - 1 ; 3 ; - 4
Bài 3: Ta có 3n + 4 = 3n + 3 + 1 = 3(n + 1) + 1
Do 3(n + 1)

n + 1 nên để 3n + 4

n + 1 thì 1

n + 1 hay n + 1 là ớc của 1
mà các ớc của 1 là

1
Nếu n + 1 = 1 suy ra n = 0 ; Nếu n + 1 = - 1 suy ra n = - 2
Vậy với n

{0 ; - 2} thì 3n + 4

n +1
Bài 4: M= 2+
2
6
2
+x
Do x

z

M

z thì
z
x

+
2
6
2
và x
2
+2 >0

x
2
+2=1

Ư(6)
Nếu x
2
+2 =1

x
2
=-1 <0 loại ; x
2
+2 =2

x
2
=0

x=0
x
2
+2=3

x
2
=1

x=
1

; x
2

+2 =6

x
2
=4

x=
2

Vậy giá trị x cần tìm làx
{ }
2;1;2;1;0

.
Bài 5: Ta có: B =
2 2 2
5 15 15 5 5(3 1)
6 9 1 9 6 1 (9 6 1)
x x x
x x x x x x
+
= =
+ +
B =
2
5(3 1) 5
(3 1) 3 1
x
x x

=

ĐKXĐ x
1
3
Vì x Z nên 3x-1 Z do đó b Z
5
3 1
Z
x



-5
M
(3x-1) 3x-1 là ớc của (-5)
Ư(-5) {1; 5}Nếu 3x-1 = 1 thì x =
2
3
(loại)
Nếu 3x-1 =-1 thì x=0 B=5 (TMĐK) ; Nếu 3x 1 =5 thì x=2 B= -1 (TMĐK)
Nếu 3x-1 =-5 thì x=
4
3

(loại) ; Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là : x {0 ; 2}
Bài 6:đkXĐ: x

-1
2

4 ; 4 4 2; 4 ) 2
1
t x tx t t x t
x

= + = =

+

Với t = 4 phơng trình (2) vô nghiệm ;Với t
4
phơng trình (2) có nghiệm x=
t
t


4
2
( TM đk x
1

)
Để phơng trình có nghiệm dơng

x
0>

t
t

4
2
> 0




>
>
04
02
t
t




<
>
4
2
t
t

2<t<4
Hoặc

<
<
04
02
t
t





>
<
4
2
t
t
(loại)Vậy với 2<t<4 thì phơng tình (1) có nghiệm là số dơng
Bài 7:P =x
2
-1-
1
2
2
++
xx
x
. Vì x

Z nên x

2
-1

Z để P

Z
1
2
2
++

xx
x

Z
Vì x

Z nên 2x

Z ; x
2
+x+1

Z Do đó
1
2
2
++
xx
x

Z

2x

(x
2
+x+1)

2(x
2
+x+1) - 2x(x+1)

(x
2
+x+1)

(2x
2
+ 2x +2-2x
2
-2x)

(x
2
+x+1)

2

(x

2
+x+1)

x
2
+ x +1 là ớc của 2
Ư(2)

{1; 2} mà x
2
+ x + 1 =
2
1 3
( ) 0
2 4
x + + >
với mọi x
nên x
2
+ x + 1=1

x(x+1) = 0

x=0 hoặc x= -1
x
2
+ x + 1=2

x
2

+ x 1 = 0


2 2 2
1 5 1 5 1 5
0 ( ) 0 ( )
4 4 2 4 2 4
x x x x+ + = + = + =
1 5
2 2
x + =


x=
5 1
2

(loại) hoặc:
1 5 5 1
2 2 2
x x

+ = =
(loại)
Thử lại:Với x= 0 thì P = -1 (TM) ; Với x = -1 thì P = 2 (TM)
Vậy có 2 giá trị nguyên của x thoả mãn x

{0; -1}
Bài 8:x
2

3x +9 = -xy+2y ; x
2
3x +9 +xy-2y = 0 ; x
2
2x+xy-2y-x+2+7 = 0
x(x-2) + y(x-2) (x-2) =-7 ; (x-2)(x+y-1) = -7
Vì x,y

Z
+
nên x-2 > -7 và x-2 là ớc của (-7)
Ư(-7) lớn hơn (-7) là 1; 7
TH1:
2 1 3
1 7 9
x x
x y y
= =



+ = =

(loại) TH2:
2 1 1
1 7 7
x x
x y y
= =

+ = =