Giáo trình quy hoạch tuyến tính bài tập ứng dụng có lời giải

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN
ThS. N guyễn Đức Hiến

Giáo trình
Q U Y H O Ạ G H
T U Y Ế N

T ÍN H

(BÀI TẬP ỨNG DỤNG CÓ LỜI GIẢI)

NHÀ XUẤT BẢN THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
Hà Nội - 2009


LỜI NÓI ĐẦU
Toán Quy hoạch tuyên tính được ứng đụng rộng rãi trong kinh tế, kỹ
thuật và nhiều lĩnh vực khác. Bài toán quy hoạch tuyến tính rất đa dạng như:
lập kế hoạch sản xuất, kế hoạch vận chuyển hàng hóa, quy hoạch nông trang,
quy hoạch sử dụng đất, rừng, đầu tư tài chính, điều chế vận tải... Mục tiêu của
bài toán quy hoạch tuyến tính là tìm ra phương án tối ưu mà chúng ta đặt ra
trong những điều kiện nhất định nhằm đạt lợi nhuận cao nhất, cni phí thấp
nhất, sử dụng lao động họp lý nhất, sử dụng nguyên liệu và các nguồn tài
nguyên khác như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất...
Quy hoạch tuyến tính là môn học bắt buộc đối với các trường đại học
thuộc khối ngành khoa học tự nhiên, sư phạm, kinh tế ... và là môn thi tuyên
sau đại học đối với khối ngành kinh tế.
Nội dưng cuốn 'Giáo trình Quy hoạch tuyến tính" gồm 5 chương:
C hương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính tống quát và các mô hình
toán học
Chương 2: Phương pháp đơn hình

Chương 3: Quy hoạch đối ngẫu
Chương 4: Bài toán vận tải
Chương 5: Bài toán luồng cực đại trong mạng...
Cuốn sách với nhũng nội dung căn bản nhất của quy hoạch tuyến tính
như cấu trúc đa dạng của bài toán và cách chuyển đổi sang cấu trúc chính tắc,
chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính, cấu trúc bài toán đối ngẫu của
bài toán quy hoạch tuyến tính, các phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến
tính... được trình bày trong sách cùng với các ví dụ minh họa, đặc biệt nhiều
bài toán ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau sẽ giúp ích nhiều cho các
bạn sinh viên, nghiên cứu sinh cũng như các nhà quản lý, các nhà nghiên cứu
kinh tế và khoa học.


Cuốn sách được biên soạn với sự tham khảo, cập nhật tài liệu chuân
quốc tế, nhiều tài liệu trong nước cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp,
đặc biệt các thầy Nguyễn Quảng, Lê Dũng Mưu, Phạm Ngọc Anh, Nguyễn
Vũ Tiến... Cuốn sách sẽ không tránh khỏi thiếu sót; tác giả rất mong nhận
được ý kiến đóng góp của đồng nghiệp và bạn đọc. Mọi góp ý xin gửi về:
Nguyễn Đức Hiền, Bộ môn Toán, Trường Đại học Duy Tân, TP. Đà Nang..
TÁC GIA


BÀI TOÁN QUY HOẠCH
TOÁN HỌC TỔNG QUÁT VÀ
CAC MO HĨNH HOA TOẢN HOC
1.1. BAI TOAN QUY HOẠCH TOAN HỌC TO N G Q U Á T VÀ
PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN
1.1.1. Bài toán tối ưu tổng quát
Bài toán tối ưu tông quát là bài toán có dạng: Cực đại (cực tiếu)
hóa hàm:

f(x) —> max (min)

( 1 . 1)

với các điều kiện:
gi(x) (< >. =) bi, i=l,m

( 1.2 )

X e X c R"

(1.3)

trong đó cac hàm f(x), gi (x) ( i = \ j n ) là các hàm số; X là biến số có n

thành phần.
( 1. 1) gọi là hàm mục tiêu (objective function).
( 1.2 ) gọi là điều kiện ràng buộc (contraint conditions).
- Tập hợp: D = {x e X\gi(x) (<, >, =) b„ / = l,m } gọi là miền
phương án (alternative region) hay miền chấp nhận (feasilhe region)
- Mỗi điểm X = (X 1,X2,...,X„) e D được gọi là một phương án

(alternative) hay lời giải chấp nhận được (feasible solution).
- Phương án X* e D dùng cho hàm mục tiêu đạt cực đại (hay cực
tiểu), cụ thế là:
f(x*) > f(x) Vx e D (đối với bài toán max)
f(x*) < f(x) Vx e D (đối với bài toán min)


6

Giáo trình Ouy hoạch tuyến t inh

được gọi là phương án tối ưu (optimal alternative hoặc lời giải tối uuoptimal solution). Khi đó, giá trị f(x*) được gọi là giá trị tối ưu (o p tim a l
value) của bài toán.
Ví dụ I: Bài toán sau đây là bài toán tối ưu:
(1) Xị > 0; X, < 0; X, tuỳ ý

6 x , + 4 X; + X, < 5

(2 ) X, + 2 x, = 5
XI + x , + 4 x , > 3
( 3 ) f ( x ) = 2X| + 18 X2 +17 \ 3 —» m i n

1.1.2. Phân loại các bài toán
Căn cứ vào tính chất của các hàm trong hàm mục tiêu và điều kiện
ràng buộc mà người ta phân loại các bài toán khác nhau:
Quy hoạch tuyến tính (program m ing): là bài toán tối ưu mà f(\i.
gj(x) là các hàm tuyến tính ( V/ = 1, m ).
Quy hoạch p h ỉ tuyến (nonlinear program m ing-NLP): nếu f(Xj hoặc
có ít nhât một trong các hàm gi(x) là phi tuyến hoặc cà hai trường hợp đá
cùng xảy ra.
Quy hoạch tham số (parametric program m ing): nếu các hệ số trong
biểu thức của các hàm mục tiêu và các điều kiện ràng buộc phụ thuc'c vào
tham số.
Quy hoạch động (dynamic programming)', nếu đổi tượng xét à cá:
quá trình có nhiều giai đoạn nói chung hay các quá trình phát triển theo
thời gian.
Quy hoạch đa mục tiêu (multiobject program m ing): nếu trên cùng
một miền ràng buộc ta xét nhiều hàm mục tiêu khác nhau.

Quy hoạch rời rạc (discrete programming)', nếu miền D là rci rạc
Nếu các biến chỉ nhận giá trị nguyên thì gọi là quy hoạch nguyên (intege'
programming).


Chươmỉ l: Bài loán quy hoạch toán học lông quái

7

Tất cả các loại bài toán trên gọi chung là bài toán Ouv hoạch toán
học (hay íiọi là phạm trù học-Operation Research) (Bạn đọc xem thêm
troníỉ [3], [5]. [6 ]).
1.2. GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYÉN TÍNH ĐƠN GIẢN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.2.1. Xây dựng mô hình toán học cho một số vấn đề thực tế
Các bước thực hiện để lập mô hình toán học cho vấn đề thực tế.
Bước 1: Tìm kiếm thông tin gốc: Đây là quá trình thu thập các số
liệu kinh tế - kỹ thuật. Bước này khá quan trọne vì tất cả các bước sau
dựa vào các số liệu này đê tính toán. Nó quyết định tính chính xác của
kết quả thu được. Mỗi bài toán kinh tế cụ thể đòi hỏi các thông tin gốc
khác nhau.
Bước 2: X ư ìỷ sô liệu: Bước này có thê chia thành hai giai đoạn.
(Ị) Lập mô hình toán: Từ những số liệu và các yêu cầu về mặt kinh
tế - kỹ thuật, ta chuyển thành mô hình toán học. Đòi hỏi ở bước này là
phải thiết lập chính xác và đầy đù các điều kiện của bài toán.
(2)
Lựa chọn thuật toán thích hợp vù giải bài toán: Đây là quá
trình tính toán trên mô hình toán dựa vào các thành tựu mà toán học đã
đạt được. Kết quả ở bước này chính là lời giải cơ bản để đưa ra giải pháp
tối ưu về mặt kinh tế. Vì vậy đây là bước rất quan trọng.

B ước 3: Thông tin kết quá: Thực chất của bước này là sự diễn giải
các thông tin về mặt toán học thành các thông tin về mặt kinh tế. Nghĩa
là, dựa vào các kết quả tính toán đã có để những nhà làm chính sách đưa
ra các quyết định kinh tế.
1.2.2. Môt
số mô hình thưc
tế
•
•
1.2.2.1. Bài toán lập k ế hoạch sản xuất: (Production planning problem)
Bài toán tông quát:
Trong một chu kì sản xuất một doanh nghiệp sử dụng m loại nhân
tố sản xuất khác nhau để sản xuất ra n loại sản phẩm khác nhau
E | . E ; ..... E n.


Giáo trình Ouy hoạch tuyên tính

8

Tiêm năng vê các nhân tô sản xuât này của doanh nghiệp là có hạn
cho bời véc-tơ b = (b|. ồ 2,.., bm) 1•
Biết rằng để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm Ej (với ị = 1.2.....n)
cần chi phí hết a,j đơn vị nhân tố sán xuất thứ i (với i = 1.2 .....m). lọi
nhuận khi bán sản phẩm được cho bởi véc-tơ c = (C|. c2,.., c n)'.
Đật A - (ây)mn.
Vậy doanh nghiệp cần phải lập kế hoạch sán
không bị động về

xuất bao nhiêu

đê

tiềm năng các nhân tố sản xuất và thu được lợinhuận

lớn nhất.
P hân tích:
Gọi Xi, x 2..... xn lần lượt là số sản phẩm E|, E 2..... E„ (trong ke
hoạch cần sản xuất).
Theo đề bài ta có mô hình toán học như sau:
Tìm X = (xI, X?,..., x„) thoá mãn:
x,> 0

(7 = 1,« )

a n Xj + â|2 *2 + •••• + a i»*n - ,D1
<

a 21x,

+ a 22 x 2 +.... + a 2(ixn < b 2

.a mixi + a n,2 x2 +•••• + a „„,xn ^ b ,„
f(x) = C| X\ + C2 X2 +... + c nx n- > max

hay ta viết gọn dưới dạng ma trận:
X>0

f ( x ) - c ' X —> m ax

Ví dụ 2:
Một công ty phần mềm chuyên sản xuất 2 loại phần mềm A và B.
Với đội ngũ gồm: 6 thạc sỳ và 8 kỹ sư tin học.


( 'ha/nạ 1: Bùi toán quy hoạch loàn học tòng quát

9

Biêt rănu: Đê san xuàt hoàn thành 1 phân mêm A cân 2 thạc sỹ và
1 k sư. đè san xuât hoàn thành 1 phân mêm [ỉ cân 1 thạc SV và 3 kỳ sư.
Qua tiếp thị trên thị trườnc được biết nhu cầu cực đại cua ca 2 phần
mền. Giá bán ra cho một loại phần mềm A là: 2000USD và cho một loại
phái mêm B là: 3000USD.
Hãy lập kể hoạch sán xuất cho mỗi tháng đê thoa mãn yêu cầu
thị trường, không bị động về đội ngũ. doanh thu đem về cho công tv
lớr nhất.
Giải:
Gọi X|, X: lần lượt là số lượng phần mềm A và B cần sản xuất.
Theo đề bài ta có mô hình toán học:
Tìm x = ( x p x 2):
X, > 0 , x 2 > 0
2x, + X 2 < 6
.V, + 3x: < 8
f ( x ) = 2.V, + 3x: -> max ( 1 0 0 0 USD)
1.22.2. B ài toán vận tải (Transportation problem)
Bài toán:
Ta cần vận chuyển một loại mặt hàng nào dó (chẳng hạn như: máy
tínl . linh kiện điện tử. gạo, gồ, xi măng, xăng dầu, ...) gồm có m trạm

phá hàng Ả ị ,A 2.....Ả m vói lưựng hàng yêu cảu phái đi tương ứng là
ữ ,. 7: .....am đơn vị hàng, n trạm thu hàng B ị. B2

Bn với lượng hàng

y êi cầu chuyến đến tương ứng là bị ,b 2,...,bn đơn vị hàng và ma trận
cưcc phí vận chuyền (chi phí vận chuyển một đơn vị hàng).
c

Cm\

Cml

c 11111


10

Giáo trình Oiiy hoạch tuyến tín h
Ớ đây C'(; ụ = \,m : j = 1,«) là cước phí vận chuyển cho mồi đơ n

vị hàng ho á được chuvển từ trạm phát A đến trạm thu B .
Bài toán đặt ra với điều kiện:
HI
n
(ỉ

.4)

(1.4)

gọi là điều kiện căn bằng th u p h á t tức là: tổng lượng h àn g
phát đáp ứng đầy đủ cho tống lượng hàng thu (cung hằng Cầu). Hãy lập
kê hoạch vận chuyên hàng sao cho:
- Các trạm phát (cung) hết lượng hàng hiện có.

- Các trạm thu (cần) nhận đủ lượng hàng yêu cầu.
- Tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất.
Plìăn tích:
Gọi x n (/' = l,m ; j = \.n ) là lượng hàng vận chuyển ưr A, đến B r
Thây ràng x n > 0 , V/ = \ . m ; V/ = l ,/7 trong đó X > 0 khi A, phát
hàng cho B Ị ; còn x v = 0 khi A1 không phát hàng cho B . Khi đó mô hình
của bài toán nói trên là: Tìm một ma trận phàn phối và vận chuyển hàng:
x \n
X -)Ị

X-)2

x 2n

.1

viêtgọn = ( x iJ)mn

thỏa mãn các điều kiện sau:
(1)

Xy > 0 , v / = l , w; v / = l , «

y ' j x tị = a l (tổng lượng hàng phát đi từ trạm A,), / = 1, m
7= 1

(1.5

^ x ụ = bj (tổng lượng hàng chuyển đến trạm B .). / = 1, n
m n
O ) A X ) = ỵ ĩ , v , —> min (tổng chi phí v c bé nhất)
/= l

7=1


Chcơrìg 1: Bài loàn quy hoạch toán học tônạ quái
Vi dụ 3:
Ta cân vận chuyên máy tính từ 2 công ty (trạm phút)'. C |, Ci_ đên 3
nơ tiêu thụ (trạm thu) T |. ị 2 và T 3. s ố lượng máy tính ở mồi công ty cần
chuyên, nhu câu máy tính tại các nơi tiêu thự cũnQ như cước phí vận
ch.ivển cho mỗi máy tính được chuyên từ công ty C| đến nơi tiêu thụ
Tị V/ = 1.2. V/ = 1.3). được cho trong bảng sau:

Hãy lập kế hoạch vận chuyển máy tính như thế nào để:
- Các công ty phải phân phối hết số máy tính hiện có.
- Các nơi tiêu thụ nhận đủ số máy theo nhu cầu.
- Tổng cước phí vận chuyển là thấp nhất.
Giải:
Gọi Xjj là số máy tính sẽ vận chuyển từ cảng (Cj) đến nơi tiêu thụ
(T ,)(/ = Ũ

ý=ũ)

Với điều kiện: X j j > 0

(i = 1,2, j = 1,3).

Số máy tính vận chuyển từ Ci đến 3 nơi tiêu thụ là:
X ì \ + X i2 +

SỐ máy tính vận chuyển từ C 2 đến 3 nơi tiêu thụ là:
X 2I + x 22 + x 23

SỐ máy tính vận chuyển đến tiêu thụ Ti từ 2 cảng là:
x n + x 2|
Tổng sổ máy tính vận chuyển đến tiêu thụ T 2 từ 2 cảng là:
x 12+ x 22


12

Giáo trình Quv hoạch luyen tính
Tông sô máv tính vận chuyên đên tiêu thụ T;, từ 2 cang là:
*.3+*23
Tồng cước phí phải chi trả là: (tổng này càng nhỏ cànạ tốt),
5 x ,, + 7 x |: + 2 x |3 + 4 x 21 + 3 x 22 + 6 x ZĨ
Theo đề bài ta có mô hình toán học của bài toán là:
Tìm

X

= (xụ) với (/' = 1. . m : /
X >0

=

1. . r i ) thoả mãn:

(/ = 1 2 . 7 = Ũ )

x 2ì +X22+X2Ĩ = 4Ũ
= 15

20

x ]2+ x 22

=

a - , + x 23

= 25

f ( x ) = 5 x u + 7 x |2 + 2 x |? + 4 x 2| + 3 x 22 + 6 x 23 —> min
ịl

Ma trận hệ số A =

1

1

0

0

0'

' 20 '

0

0

0

1

1

1

40

1

0

0

1

0

0 ;B =

15

0

1

0

0

1

0

20

v0

0

1

0

0

b

v25y

/
X

XM

V X 2I

\

X I2

xu

x 22

x 23/

ở đây thay vì viết X = (x 11; X12; X 13; X21; X22; X23) ta viết thành ma
trận như trên đe ứng với một trạm phát và mồi cột ứng với một trạm thu
cho dề hình dung.
1.2.2.3. B à i toán n g ư ờ i du licit (Travelling salesm an problem )
Một người du lịch được phép mang theo một cái túi nặng khóng
quá bkg. Anh ta dự định đem theo n loại đồ vật. Mỗi một đồ vật loại / có


('hum ií' 1: Bài toán quy hoạch loàn học IÔIÌỊỊ quái

13

khỏi lượtm a,ku và có uiá trị la C|. Nmrời du lịch muôn săp \'ào túi các đô
vật mang theo sao cho:

- Khôi lưạnu tôim cộng khônu được vượt quá khôi lượrm cho
phép bke.
- Nhưnẹ có tông giá trị lớn nhất.
Ký hiệu X| ( / = \,n) là số lượng dô vật loại ị sẽ sấp vào túi du lịch.
Mỏ hình cua bài toán là:
Tìm một ma trận X = ( x r x 2.....x n ) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) X J > 0 . V/ = 1. n ; Xị nguyên, ị = \ . n
n

n
(3) f ( X ) = Y JCIXI -> max
Bài toán người đi du lịch (còn được gọi là bài toán cái túi) loại bài
toán này được gọi là quy hoạch nguyên.
Nhận định chung:
Qua các ví dụ được trình bày ở phần trên, ta thấy rằng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau có những yêu cầu khác nhau trong việc đề ra các
quyết định định lượng nhàm tối ưu hóa sán xuất. Nhưng những yêu cầu
này có thê được diễn giải thành mô hình toán và được tông quát hóa
như sau:
(1) Điều kiện tối ưu hóa: Đòi hỏi thởa mãn yêu cầu về mặt kinh tế
bao gồm hai trường hợp cực đại hóa hoặc cực tiểu hóa.
(2) Điều kiện ràng buộc: Bao gồm một hệ gồm các phương trình
hoậc bất phương trình bậc nhất. Hệ thống các ràng buộc này xuất phát từ
những đòi hỏi cần được thỏa mãn về mặt kỹ thuật.
(3) Điều kiện về dấu: Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn là các biến
quyết định đòi hói không âm.

Giáo trình Quy hoạch luyến lính

14
1.2.3. Phương pháp hình học

1.2.3.1 Các cách biểu diễn của bài toán quy hoạch tuyến tinh n h ư sau.
Tìm X = (xp x , .....x n) e R" thỏa mãn:
(1) X > 0

(j =ỉ, n)

a u Xị + a n x 2 + . . . . + a Ulx n ( < > = ) / > !

a 2íx ] + a 22 X, + .... + a 2nx n ( < > = ) / > ,

(2)

l «„,1*1 + a „,2 x2 +.... + amnxn (<>=)/>„,
(3) f(x)= XI c I +

X 2C2

+.. + x ncn —r min (max).

Hay viết gọn: T ìm x = (x 1,x 2,...,xn) với x : e R ,

V / = 1,0 thoa

mãn
(1)

X ỉ > 0;

\/j= ỉ,n

(2) X " ' / * / ( - ’ = hoặc <)b,; V/ = 1, m
./=!
n

(3) / ( * ) = y^ c Jx J -> min (max)
./=1
D ạng ma trận của bùi toán:
Gọi

A

=

(ayVn,

c =

(c I, C2,...,Cn)‘, X =

(X|,

.........?:n)'

b = (bi, b 2,...,bm) r
Khi đó: Bài toán quan hệ tuyến tính tổng quan có thể viết:
(1) -V> 0

(2) Ax (>, = hoặc <)b
(3) f(x) = CTX —> min (max)
Trong đó V(/ = l,/w; j = \,rí) các a , ố, và các c
còn

X (j

= 1,«) là các ân số.

đêu đã liêt


15

( 'hianiiỉ I : Hùi Itìán quy hoạch toán học tông quái
1.2.ĩ . 2. M ột sô kêt (¡lid trong đại sô và giải tích
Tập D được gọi là tập lồi nếu Vx. y e M ta có Ằ.X + ( 1- À.)y €E D.

Có nghĩa raim: với 2 điếm bất kì thuộc D thì tất ca các diêm năm
trên đoạn thăng nối hai điểm dỏ cũng thuộc D và ngược lại.
Ví dụ: Miền phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính
D-

j.Y

6 R" \ Ax < (hay >, hay =)h. X > ()| là tập lồi.

Thật vậy. lieu ta lấy 2 điếm bất kì X. y 6 D nghĩa là:
X > 0 ( ễ R"). y > 0 ( e R n)
Ax < b. A y < b
Ta chứng minh:
z = Ằx + ( 1- x.)y với mọi 0 < X < 1 cũng thuộc D
hay z > 0, Az > 0
Ta có: z > 0 (hiển nhicn)
Az = A [X.x+(l-X)y] = XAx + (l-X )A y < X b + (l - l)b = b
=> z e D
=ì> D là tập lồi.
Vi dụ:
Siêu phẳng (hyperplane):
H (a, d ):- Ị x e R " \ a ' x - d ; a t

R", d fc R) cũng làtập lồi.

Cụ thể: n = 2: H (a,d) ={(xi,x2) \ ai X, + a 2 x2= dj

đây chính là

đường thăng.
n = 3: H (a,d) ={(xi,x 2,x3) \ ai Xi + a 2 x 2 + a 3 X3= dj đây chính là
mặt phẳng.
Chú ỷ:
Mỗi siêu phẳng H(a,d) chia không gian R" ra làm hai phần, ta gọi
tương ứng là nửa không gian đúng dương và nửa không gian đủng âm
lần lượt là:

Giáo Irình Quy hoạch tuyến tín h

16

H+ (a.d) = {x e R n \ a' X > d; a e R n, d e R )

H. (a.d) = {x

g R"

\ a 1 X < d; a eR". d eR Ị là các tập lồi.

(Các đường thẳng, hình tròn, tam giác, tứ giác lồi. hình tứ diện,. . là
các tập lồi).

H ệ quả:
Giao hữu hạn các nua không gian đóng của R" là tập lồi.
Khi đó ta gọi là một tập lồi đa diện (polyhedron) hay khối da ciện
(chứng minh xem [3]).
Do đó miền phương án D của bài toán QHTT là một tập hợp lồ: có
đỉnh (vertex) tạo bởi giao của các nửa siêu phăng:
Ỵ j ai x Ị(<,>)bi

i = ỉ,m

7= 1

Các đỉnh của miền phương án D còn được gọi là phương án cực
biên (điểm cực biên_ extreme point) của bài toán QHTT. (xem [3])
Định lý 1:

Bùi toán Q H huy bài toán Q H TT nếu thoa mãn 2 điều kiện sau đáy.
- Điều kiện 1: Miền phương án D ± ộ
- Điều kiện 2: Hàm mục tiêu f ( x ) (với f là hàm liên tục) bị chận
(chặn dưới đối với bài toán min, chặn trẽn đối với bài toán max) trên D
thì tồn tại phư ơ ng ủn tối ưu.
Định lý 2:
Bài toán QHTT, nếu có phương án tối ưu, thì có phư ơ ng án cực
biên tối ưu.
Định lý 3:
Mỗi hệ ràng buộc tuyến tính chi cỏ hữu hạn đinh (ãiêm cực biên cỏn gọi là nghiệm cơ sờ chấp nhận) ([3])


( 'hu rniỊ 1: Bùi toán quy hoạch toán học lôm ' quát

17

1.2.ỉ . 3. Phương pháp hình học
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dưới dạng chuán với hai biến số:
f\x) =

Cị.v,

+ C'r v: —> min(max)
V/ = 1,2

Từ ý imhĩa hình học ta biết ràng mỗi bất phương trình:
+ a l2x 2 < h xác định một nửa mặt phăne.

Như vậy: miền D (miền chấp nhận) được xác định như là giao của
các nủa mặt phang và sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng.

Phương trình c 1X1 + C2X2 = oc • Khi a thay đôi sẽ xác định trên mặt
phăng các đường song song với nhau và ta sẽ gọi là các đường mức (level
curxe) với giá trị mức (X .
Mỗi điềm X* =(X|*. X2*) e D sẽ nằm trên đường mức với giá trị
mức a* = Ci Xi* + C2 X2*.

Bài toán đặt ra có thế phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau:
Trong số các đường mức cắt D. hãy tìm đường mức với giá trị mức
nhỏ nhất (lớn nhất).
Neu dịch chuyến song song các đường mức theo hưóng véc-tơ
pháp tuyến của chúng n = (Cị,c2) thì giá trị mức sẽ tăng (hoặc giảm nếu
dịch chuyển theo hướng ngược lại). Do đó để giải bài toán ta tiến hành
như sau:
Bước 1: Vẽ miên châp nhận được D.
Bước 2: Băt đâu từ một đường mức căt D ta dịch chuyên song song
các đường mức theo hướng (hay ngược hướng) véc-tơ pháp tuyến của
chúng n - (c,, c2) cho đến khi nào việc dịch chuyến tiếp theo làm cho
đường mức không cắt D nữa thì dừng.
Điêm căt D (có thê nhiêu điêm) năm trên đường mức cuôi cùng này
sẽ là lời giải tối ưu. Còn giá trị của hàm mục tiêu (tức là giá trị mức) tại
đó là giá trị tôi ưu cân tìm của bài toán.

-----

-----

-

........ .........

i ẼAI HOC QUOC GIA HA NOI
ỊI [3UNG.Ĩ ẨM rH Ồ N G .TIN ĨHƯ VIỆN

r

V

• Ù C /

£.H 3C


Giáo trình Q uy hoạch tuyến tính

18
Nhận xét:

Do trong quá trình vẽ miền D không thể tránh khỏi sai số (mà phần
chính là khi vẽ, xác định tọa độ, xác định vuông g ó c , . . . ) nên việc tin cậy

để xác định tọa độ tối ưu không cao.
Nên không mất tính chính xác của bài toán, ta có thể giải bài toán
quy hoạch tuyến tính dạng hai biến hay 3 biến được tóm tắt theo các
bước sau:
B ư ớ c 1: Vẽ miền chấp nhận được D (tức là ta xác định miền giao
nhau của các nứa mặt phẳng hay nửa không gian do điều kiện ràng buộc).
B ư ớ c 2: Nếu D ;É 0 v à bị chặn (chặn dưới đối với bài toán ta xét là
dạng min, chặn trên đối với bài toán ta xét là dạng max) thì khi đó bài toán
có phương án tối ưu. Ta xác định toạ độ các đỉnh (sang bước 3). Ngược
lại, kết luận bài toán vô nghiệm. Dừng

B ư ớc 3: Tính giá trị của f tại các đinh đó rồi kết luận (tức là tìm
giá trị lớn nhất hay nhó nhất của f ) .
Vỉ dụ 6: Xét lại bài toán.
Tìm X = (Xi, X2) thỏa mãn:
Â'| > 0 , X-Ị > 0
9x, + 3 x 2 < 2 7

(v dl)
2x, + x 2 < 7
2Xị + 2 x 2 < 12
/ (x) = 5.X, + 3x 2 -> max
Giải:
* Vẽ miền phư ơ ng án D:
Gọi:
d i: là đường thẳng 9x, + 3*2 = 27
d 2: là đường thẳng 2 x t + x 2 = 7
(Ì3: là đường thẳng 2 x ] + 2 x 2 = 12


Chưrng 1: Bài toán quy hoạch toán học tỏng q u á i...
Khi đó từ

( v d l

19

) ta được miền phương án D của bài toán là hình đa

giácOABCE. Đó là một đa giác lồi kín, nên bài toán có phương án tối

Thấy rằng điểm:
9x.

A = dị n ( O X ị) :

9*!

B = d]n d2:

c = d2n í/,:

+ 3 x

= 2 7

.

'
;
x2 = 0

.

=> 4 0 , 3 ) ; / ( / ( ) = 9

4- 3 x 2 = 2 7

5(2,3); f(B ) = 19
2xị +

x 2

=

7

2-t, + x2 = 7

=> 4 , 5 ) ; / ( £ ) = 20

2 x, + 2 x 2 = 12
2 x, + 2 x 2 = 12

£ = <Ị, n ( ỡ x 2)

F ( 0 ,6 ); / ( £ ) = 18
X, = 0

0 ( 0 ,0 ) ; / ( ơ ) = 0

Từ đó max f = max {9; 19; 20; 18; 0} = 20 = f(B).
Vậy x° = (1, 5) là nghiệm tối ưu của bài toán.


Giáo trình Ouy hoạch tuyến tinh

20
Vỉ dụ 3: Tìm X = (X|, X2, X3) thỏa mãn:
(1) X, > 0 , .V, > 0 , Xy > 0

(2 )

+ x 2 + X, < 4
X, < 2

(3) f (x) = X\ + 2 x 2 + 3x, - 20 —» max
Giải:
* Vẽ miền p h ư ơ ng án D:
Từ (1) và (2) ta thấv miền phương án D là hình chóp cụt
A B C O B ’C \ Đó là một đa diện lồi kín, nên bài toán đã cho có phương án
tối un.

* Tìm phư ơ ng án tối ưu x°:
Thấy ngay rằng các điểm:
A (2, 0, 0) có f(A) = - 18
o ( 0 , 0 , 0 ) có f( 0 ) = - 20


( 'hương ỉ: Bùi toán quy hoạch toán học tông quái

21

B' (0, 4. 0) có f(B') = -12
C" ( 0 . 0 . 4 ) c ó f ( C ') = - 8
Ký hiệu (P) là mặt phăng X| + X2 + X.1 = 4; (Q) là mặt phăng
Xi = 2; (K) là mặt phăng tọa độ ( x i O x 2) và (J) là mặt phắng tọa độ

(xịOx-ị) thì điểm:
X, + x 2 + X, - 4

B(2. 2, 0) với f(B) = -14

B = ( P ) n ( Q ) n ( K )
x ] + x; +
C = (P )n (Q )n (J)

X, = 2

=4
9

C(2, 0, 2) với f(C) = -12

X =0
Từ đó m a x f = max (-18, -20. -12. -14 , -12, - 8 } = - 8 = f(C’).
Vậy phương án tối ưu x° = C' = (0, 0, 4).
Chú ý: Có nhiều bài toán khi ta tiến hành giải bằng phương pháp
hình học, miền phương án là tập lồi nhưng không phải là đa diện.
Ví dụ 8: Tìm X = (X|. x 2) thỏa mãn:
( 1) Xị > 0 , x 2 > 0
Xj + 5x 2 > 10
3 x ] + 2 x 2 > 12

( 2 ) 2x , + 4 x 2 > 16
2 x ị + 2 x 2 > 10
X, >1

(3) f \ x ) = 2x] + 3x 2 + 7 -> min
Giai:

* Vẽ miền phư ơng án D:
Gọi các đường thẳng:


Giáo trình Quy hoạch tuyến tinh

22
d! :

+ 5x 2 = 1 0

d 2 : 3Xj + 2 x 2 = 12

d ĩ : 2x] + 4 x 2 = 16
í /4 : 2 *! + 2 x 2 = 10
d • X, = 1

Từ (1) và (2) ta có miền phương án D là một tập lồi (không kín):
+ 00A BCE + °0 và không rỗng. Bởi vậy bài toán đã cho muốn có phương
án tối ưu thì hàm mục tiêu f(x) phải được chặn dưới.
tiẶ

-

Gọi d(m) là đường thẳng 2xj + 3 x 2 = m (m là tham số). Ta thấy

khi m giảm, đường thẳng d(m) tịnh tiến ngược chiều với véc-tơ pháp
tuyến h = (2, 3) của đường thẳng d(m). Điều đó chứng tỏ hàm mục tiêu
f(x) = + 7 bị chặn dưới bởi biên của miền phương án D, nên bài toán đã
cho theo định lý 1 có phương án tối ưu x°.

* Tìm phương án tối ưu x°:
X, + 5 x 2 = 10

B — dị n d Ị . • 2 x] 1- Ax2 = 16 => B
3x; + 2 x 2 = 1 2

cc =
= d2
d 2 r^d-^ r\dậ
r ì í / 4 \: 'ị

2x, + 4 x, = 16
=> C(2, 3) => / ( C) = 20
xị + x2 = 5


C hfơng 1: Bài toán quv hoạch toán học tông c/uál
(

3.V. + 2.V, = 12
E = í/, n d , :
=> E

h='

Từ đó m i n f = min
Vậy phương án tối

V

L q)
2J

23
45
> / ( E ) = y = 22,5

{27; 22. 33; 20; 22.5} = 20 =f(C).
ưu: x° = (2. 3).

Nhận xét:
- Điêm tối ưu của bài toán QHTT có thế đạt tại nhiều điểm.
- Đối với các bài toán có dạng 2, 3 biến thì dùng phương pháp hình
hcc chứng minh là rất đơn giản trong việc tìm phương án tối ưu x° của
bải toán nhưng khi n > 4 (tức là đối với các bài toán nhiều hơn 4 biến)
th: dùng phương pháp hình học sẽ không giải được nếu bài toán không
thề biến đổi về bài toán dạng 2 biến, 3 biến (làm giảm biến). Vậy thì sao?
- Trong hoạt động kinh tế xã hội luôn đặt ra các bài toán tối ưu. Ví dụ
tìm phương án sản xuất cho lợi nhuận cao nhất, chất lượng sán phẩm tốt
nhất giá thành rẻ nhất và ảnh hưởng môi trường sống ít nhất.Dạng bài toán
nay người ta gọi là lối ưu đa mụ c tiêu (quy hoạch đa mục tiêu).

BÀI T Ậ P
Bài 1: Lập mô hình toán học
1.
Một doanh nghiệp Thiên Thần trong năm nay sẽ sản xuất 2 loại
sản phẩm P1 và P2 để cung cấp cho thị trường.
Trong một chu kì sản xuất doanh nghiệp sử dụng 3 nhân tố sản xuất
chính khác nhau là người lao động, nguyên liệu (đơn vị kg ), máy móc

(đơn vị giờ) để sản xuất. Tiềm năng về các nhân tố sản xuất (NTSX), lợi
nhuận sản phẩm, chi phí sản xuất cho mỗi sản phấm mỗi loại được cho
trong bảng sau:
Nhân tố sàn x u ấ t

Sản phẩm
P1

Tiềm năng của NTSX
P2

Nguyên liệu (kg)

6

2

18

Máy m óc (giờ)

4

2

14

Người lao động

15

15

90

Lợi nhuận (triệu đồng)

20

12


24

Giáo trình Quy hoạch tuyên tính

Qua tiếp thị trên thị trường nhận thấy nhu cầu tiêu thụ tối đa cua
sản phẩm P2 là 5 sản phẩm (trong năm nay).
Hãy lập kế hoạch sản xuất cho doanh nghiệp (trong năm) đê không
bị động về tiềm năng các nhân tố sán xuất, đáp ứng nhu cầu thị trườna và

thu được lợi nhuận lớn nhất (Các chi phí phát sinh trong quá trình san
xuất là 10 triệu).
2. Một trường Đại học X cần trang bị 2 loại phần mềm A và B do
công ty phần mềm sản xuất. Với nhu cầu trang bị ít nhất 15 loại, tron» đó
tối đa phải có 10 loại A. (Thời gian bàn giao cho trường X là không quá
25 giờ theo thoả thuận). Đội ngũ ở Công tv Phần mềm gồm: 30 lập
trình viên.
Biết rằng: đế sản xuất hoàn thành 1 phần mềm A cần 2 lập trình
viên, để sản xuất hoàn thành 1 phần mềm B cần 1 lập trình viên (nếu lập

trình viên tham gia công việc A thì không tham gia công việc B).
Thời gian cài đặt cho mỗi loại phần mềm này chỉ tốn 1 giờ.
Anh (chị) hãy lập kế hoạch sản xuất cho Công ty Phần mềm đê
thoá mãn yêu cầu bên trường X, không bị động về đội ngũ ở công ty,
doanh thu đem về cho công ty lớn nhất, (các chi phí khác là 5000USD).
Giá bán ra cho một loại phần mềm A là: 2000USD và cho một loại phần
mềm B là: 3000USD.
3. Một Công ty Phần mềm chuyên sản xuất 2 loại phần mềm A và B.
Với đội ngũ gồm: 6 thạc sỹ tin học và 8 kỹ sư tin học.
Biết ràng: để sản xuất hoàn thành 1 phần mềm A cần 2 thạc sỹ và 1
kỹ sư, để sản xuất hoàn thành 1 phần mềm B cần 1 thạc sỹ và 3 kỹ sư.
Qua tiếp thị trên thị trường được biết nhu cầu tiêu thụ cho 2 loại
phần mềm này là như nhau (trong một tháng) và nhu cầu tiêu thụ cực đại
của phần mềm B là 2 phần mềm.
Giá bán ra cho một loại phần mềm A là: 2000USD và cho một loai
phần mềm B là: 3000USD.
Hãy lập kế hoạch sản xuất cho mỗi tháng để: thoá mãn yêu câu thị
trường, không bị động về đội ngũ, doanh thu đem về cho công ty lớn
nhất, (các chi phí khác là 200USD).


Chương i : Bài loán quy hoạch toán hục lông quát

25

4. Đê chuân bị kv niệm 35 năm giải phóng Thành phố Đà Nằng.
UBND cho phép tồ chức đêm lễ hội. Đè chuẩn bị cho đêm lễ hội. ban tô
chức cần cung cấp một số thiết bị từ 3 cơ sở: A l, A2, A3 đến 4 địa điểm
tô chức lễ hội: B 1. B2. B3. B4.
Với lượng thiết bị có tại các cơ sở này lần lượt là: 500. 150. 350

(thiết bị).
Nhu cầu thiết bị tại các nơi tô chức lễ hội tương ứng là: 100. 200,
300. 400 (thiết bị). Đơn giá cước phí vận chuyên từ cơ sớ A (i = 1.3) đến
các nơi tô chức lễ hội B ( / = 1.4) lần lượt là:
4

12

16

28

40

32

16

20

24

8

12

8 (nghìn đồng/thiết bị)

Hãv lập kế hoạch vận chuyển thiết bị sao cho các CO' sở phân phối
hát thiết bị, các nơi tố chức lễ hội thoả mãn nhu cầu về thiết bị, đáp ứng

vèu cầu của ban tổ chức và tổng chi phí vận chuyển bé nhất.
5. Để chuẩn bị cho lễ hội Festival Huế 2012, ban tố chức cần cung
cáp một số thiết bị từ 3 cơ sở: Al. A 2. A 3 đến 4 địa điếm tổ chức lễ hội:
B I. B 2, B;,, B 4
Với lượng thiết bị có tại các cơ sở này lần lượt là: 80, 120, 130
(thiết bị).
Nhu cầu thiết bị tại các nơi tổ chức lễ hội tương ứng là: 80, 70, 130,
5 0 (thiết bị).
Đơn giá cước phí vận chuyển từ cơ sở A, ụ = 1,3) đên các nơi tô
chức lễ hội B, ( ị - 1,4) lần lượt là:
8

6

4

2

5

3

7

12

10

9

9

4 (triệu đồng/thiết bị)


Giáo trình Quy hoạch tuyến tính

26

Hãy lập kế hoạch vận chuyến thiết bị sao cho các cơ sờ phân phôi
hết thiết bị, các nơi tổ chức lễ hội thoả mãn nhu cầu về thiết bị, đáp ứng
yêu cầu của ban tổ chức và tổng chi phí vận chuyển bé nhất.
6 . M ột công ty vận tải cần chuyển hàng từ 3 cảng biển đến 4 nơi

tiêu thụ.
Số lượng hàng ở mỗi cang lần lượt là: 80. 120 , 130 tấn
Nhu cầu hàng của các cừa hàng lần lượt là: 80, 70, 130. 50 tấn
Đơn giá cước phí hàng từ cảng i đến nơi tiêu thụ j (/ = 1,3, 7 = 1-4)
lần lượt là:
24

18

12

6

15

9

21

36

30

27

27

12 (nghìn đồng/tấn)

Hãy lập kế hoạch phân phối sao cho các cảng giải phóng hết hàng,
các nơi tiêu thụ nhận đủ hàng mà tổng cước phí vận chuyển là ít tốn nhất.
Bài 2: D ùng phương pháp hình học giải các bài toán sau đây
1. Tìm X = (Xi, X2) thỏa mãn:
( 1)

x } > 0 , Jt2 > 0
+ x2 < 6

(2 )

X, + 4x 2 > 8
X, < 4

x2 < 5
2. Tìm X = (xi, X2) thỏa mãn:
( 1) X >0, x 2 > 0

X, - x 2 +1 > 0

( 2 ) 3x,

4-

2x2 - 6 > 0

-3x, - x 2 + 9 > 0

(3) f ( x ) = —jCj - x 2 + 2005 —»■min