Bài tập toán cao cấp tập 3, phép tính giải tích nhiều biến số

NGUYỄN ĐiNH TRÍ (Chu biên.ì
TẠ VÄN ĐĨNH - NGUYỂN Hỏ QUỲ-MH

Tập ba

N ^ y lc ỉl

4- i C O

'

nhỉeu biến sế
h

NHÀ XUẤT

X

B Ả N UI ÁC DỤC

:


N G U Y Ễ N ĐÌNH TRÍ (chủ biên)
t ạ

V ã n đ ĩ n h - NGUYỄN H ổ QUỲNH

Bài tập

T O Á N CAO CẤP

TẬP BA

'PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN s ố
( T ú i b c ỉn lầ n th ử t á m )

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO D ự c


LỜI NÓI ĐẦU

Quyên bài tập này trinh bày lời giải của các bài tập đả ra trong
quyên Toán học cao cấp tập ba, phép tính giải tích nhiều biến số. Một
s ố bài tập khác đả được bỗ sung vào.
Như chúng ta đả biết, trong học toán, giữa việc hiêu sâu sác lý
thuyết và làm thành thạo các bài tập có m ột môi quan hệ mật thiết.
Chính trong quá trình học lý thuyết rồi làm các bài tập, từ những bài
tập vận dụng đơn giản lý thuyết đến những bài tập ngày càng khó
hơn, chúng ta dần dần hiểu được các khái niệm toán học mới, nắm
được các phương pháp cơ bản, nhớ được các kết quả cơ bản.
Đối với các bạn sinh viên dùng quyên sách này, chúng tôi khuyên
các bạn hãy tự mình giải các bài tập đả ra trong giáo trinh và cỉu
xem lời giải trong quyển sách này đê kiêm tra lại, tự m inh đánh giá
kết quả học tập của minh. Mong rằng quyên sách này giúp các bạn
học tốt hơn và tìm được những lời giải hay hơn.
Quyên sách này viết lần đầu nên không tránh khỏi các sai sót.
Chúng tôi mong nhận được ỷ kiến đóng góp của độc giả. Xin chân
thành cảm ơn.
CÁC TÁC GIẢ

%

Chương I

HÀM SỐ

NHIỀU BIẾN s ố

A - ĐỂ BÀI
1. Tìm miền xác định của các hàm số sau
a) fix, y) = lnxy;

b) f(x, y) =

c) f(x, y) = V4 - X2 - y2 + Vx^ +
y

—

- 1 ;
_____

\

d) f(x, y) = arcsin --------;
X

e) f(x, y) = Vxlny

0 f(x, y) = ^—z ;

y - xz

g) f(x, y) = lnx + lnsiny;

h) f(x, y) = x ;
cos^y

i) f(x, y) = Vỹ~-~x ln (y

+ x)

2. Tìm giói hạn khi (x, y) -> (0, 0) của các hàm số sau
X9 — V2

a) f(x, y) = ——

'

;

b) f(x, y) =

X2 + y z

XVl2

y

;

xz + y4

c) f(x, y) = xarctg ^ ;
X

ÍY y)\ -= 1----+ (1
* 2+
e)1 f(x,
y

y 2 -1 -_

d) f(x, y)= x — y

X ■+■y

cosy)\ ;

n
f) ÍY
f(x,

;

y)\ = —
xz - xy +

- ,

(a, ß ) G R 2

g) f(x, y) = si"* - s7 ;
shx —shy

h) f(x, y) =

3. Tínhcác đạo hàm riêng cấp mộtcủa các
fa) f(x, y) = x - y ;
X2 + y2

shx —siny
hàm số

.
sau

t b) f(x, y) = ln (x + V(x2 + p~);
r


'O
<

^ c)
> e)
'
rg )
i)

f(x, y)= y2sin “ ;

y

^d) f(x, y) = arctg
X
—2------ 2~
ff) f(x, y) = ln ""Ẫr—-nr— “
Vxz + yz + X

f(x, y) = arcsin (x - 2y) ;
_______

I

f(x, y) = arctg \ — ^7 ;
IxH y^

h)

f(x, y)= ln (x + lny) ;

f(x, y) = e^cosxsiny
j) f(x, y) = xy3 (x > 0)

ị ị p k) f(x, y, z) = Ỷ? (x > 0, y >0) ; 1) f(x, y, z) = ex-vz sin
1

ỵ

m) f(x, y, z) = e*2 + ỳ* + ìz ;

n) f(x, y, z) = zsin—
X +

4.

z
z

Khảo sát sư liên tục của các hàm số sau và của các đạo hàmi

riêng cấp một của chúng
a)

(x2 + y2) sin (
) nếu (x, y) * (0, 0)
vX + y
f(x, y) =
nếu (X, y) = (0, 0)
.
0

b)
f(x, y) =

«

x 3 _

y3

n
X2 +

n
y 2

0

-

xarctg ( ^ )

c)
f(x,

y)

0
xsiny —ysinx
j
f(x , y )

(X ,

y) * (0, 0)

nếu

(X ,

y) = (0, 0)

nếu

X

*

nếu

X

=

nếu

(x, y )

0

v X '

= .

d)

nếu

tì
x 2 +

íì
y2

0

a) z = eu ■ 2v2,

V

= V x^ +

=

—

;

y
c) z = x2lny, X = — , y = 3u - 2v

;

ln

u = cosx,

( u 2 4- V 2 ) , u

V

6

0)

nếu (X, y) = (0, 0)

0

5. Tính đạo hàm của các hàm số họp sau

z =

(0 ,

=
l

b)

*

=

xy,

V

;

d)

z

=

u e v -I- v e

u,

u

=

ex, V =

yx2

;

X

e) z -

xey ,

f)z

X V l +,

=

X = c o st,

y = 6

X = t e 2t, y = e'_t

;

6. Chứng minh rằng
a) Hàm số z = yln (x2 - y2) thỏa mân phương trình
I_>
zx+
z y — _5_
v x
y
y
b) Hàm số z = yx sin thỏa mãn phương trình
X

X2z ’x + xyz’y = yz

7. Tìm hàm số z = z(x, y) thỏa mãn phương trình
a) 2z’x - z’y = 0, bằng phép đổi biến số
u = x + y, v = x + 2y
b) x z ’x — yz*y =

X2 — y 2 ,

u

=

X

+

bằng phép
y, V =

đổi

biến

số

xy

8. Tim vi phân toàn phần của các hàm số
a) z = sin (x2 + y2) ;

b) z = ex (cosy + xsiny)

c) z = lntg ^ ;

d) z = arctg “— ^

X

X

X

g) z = / y t2cos2tdt ;

h) u = y2Vx^ - 3y Vz^

i) u = xe*v + yez + zex ;

j) u = x^ z (x > 0)

xy

9. Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau
a) 3V(1,02)2 + (0,05)2 ;
c) V9 . (1,95)2 + (8,1)2 ;

b) ln ( V 17ỠĨ + Võ,98 - 1)
d) Vsin2 1,55 + 8 . e°’°15
7


f) (V39 - 3/ ĩ 2 4 ) 3
10.

Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phưrcmg

trình sau:
a) x^y —y^x = a4, tính y ’

;

b) xe^ + yex - exy = 0, tính y ’

;

4. x + y = I , 4.'
u y»
c)\ arctg----tinh
a
a
d) ln Vx2 +

y ^ = arctg^", tính y’, y ” ;
X

e) y5 4- 3x2y2 + 5x4 = 12, tính y ’

;

f) 2y2 + vGẸỹ = 3x2 + 17, tính y ’

;

g) 3sin — - 2cos — + 1 = 0, tính y ’
y
y
h) X + y +

z = e z , t í n h z ’x , z ’y

i) X3 + y 3 + z 3 =

3xyz, tín h

;
;

z ’x , Z y

;

j) xy2z3 + x 3y2z = X + y + z, tính z’x , z y

k) xe^ + yz + zex = 0, tính z’x, z’y

;

;

1) xyz = cos (x + y + z), tính z’x , Zy

;

m) y2ze*+y — sin(xyz) = 0, tính z*x, z’y

;

11. a) z = f(x, y) là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức

z

z —xey = 0
Tính gần đúng f(0,02; 0,99)
b) Cho hàm số
8


Ị’ V
à*’

u =

X + z
y + z

trong đó z là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức
zez = xex + ye-v
Tính u’x, u’y
c) z = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bỏi hệ thức
:2 +

=

Chửng minh rằng
1
d)

1

y '
z
F(u, v) là một hàm số khả vi z = z(x, y) là hàm số an xác định

bởi hệ thức
F(cx - az, cy - bz) = 0

(c / 0)

Chứng minh rằng
az’x + bz’y = c
e) z = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức
X2 + y 2 + z 2 =

y f(y ) ,

Trong đó f là một hàm số khả vi. Chúng minh rằng
(x2 - y2 - z2) z’x + 2xyz’y

= 2xz

f) Tính đạo hàm của các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ
phương trình
X + y + z = 0

X2 ,+ y2 ,+ z2 _= 11
g) y = y(x) là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức
9

*3>"
*c

X3 + y 3 - 3xy - 1 = 0 .
Tìm khai triển hữu hạn đến cấp 3 của y(x) ở lân cận của điểm
X = 0.
h)
Tìm khai triển hữu hạn đến cấp 3 ở lân cận điểm X = 0 của
hàm sô" y = y(x) xác định bởi hệ thức
arctg(xy) +1 = ex+y .
12.

Tính các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau

a) f(x,y) = x 2y + x ự ỹ ;

b) f(x, y) = sin(x + y) + cos(x - y)

c) f(x,y) = ỉ ự ( x 2 + y 2)3 ;
ố

d) f(x, y) = x2ln(x + y)

e) f(x, y) = ỉn ( \ + y

Ị x 2 + y 2 ) ; f) f(x,y) = a r c t g -

X

g) f(x, y) = xlny ;

h) f(x, y) = cos(ax + ey)

'1 3 . Tính f ”xy (0, 0) và p y x (0, 0) nếu
nếu X * - y
f(x,y) =

x+y
0 nếu X = - y
nếu (X, y) * (0, 0)

b)
f(x ,y )= i

X +y
0

nếu (x, y) = (0, 0)

14. a) Tìm hàm số u(x, y) thỏa m ãn phương trình u",^ = 0
b) Tìm hàm số u (x , y) thỏa m ãn phưòng trình u" 2 = 0
c) Tìm hàm sô" u(x, y, z) thỏa m ãn phương trình

=0

d) Tìm hàm sô' u(x, y), b iết rằng
= 1 2 x 2y + 2 , u'y = X4 - 3 0 x y 5 , u(0, 0) = 1, u (l, 1) = -2
e) Tìm hàm sô' u(x, y), biết rằng

10

t*ÕT
I*

u ’x =

X2

- 2xy2 + 3,

= y2 - 2x2y + 3

u ’y
y

f) Tìm hàm số u(x, y) biết
,

(3x2 - y2) (x2 + y 2)

U x_

2

Xy

(3y2 - X2) (x2 + y2)
>u y 2
XV

,

15. a) Chứng minh rằng hàm số u(x, y) = In ~p~—

thỏa mãn

V X2 + y 2

phương trình
Ỡ2U

Au : =

d2u

, = 0
ởy2

ởx2

(phương trình Laplace trong không gian R )
b) Chứng minh rằng hàm số u(x, y, z) =
u „

■■

4. ' u

thỏa mãn

V X 4- y

phương trinh
Ờ2U

Au : =

4- z

Ở2U

2+

2 +

2

(phương trình Laplace trong R/5).
c) Cùng câu hỏi như câu b) với hàm sô
V

u(x, y, z) = arctg

X

d) Tìm hàm số u(x, V.
1' = V x~ + y“ +

z

X

y

z

dạng u

=

+ arctg ~ + arctg“
z) có

f(r), trong đó

, sao cho
Au =

ớ“u
+ —- +
'i 2
3 2
ơx^
ơy^

ở^u
—- = 0
liƠZ“

16. Chứng minh rằng hàm số z = xf* ( ^ ) , trong đó f là một

xX 7

hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục, thỏa mãn phương trình
z

X

z

■”

(z

xv)

•

17. a) Chứng minh rằng hàm số
11


ơẹ*<

/
z = f

y

\
+xg

( .. \
y

uJ

trong đó f, g là hai hàm sô khả vi liên tục hai lần, thỏa mãn
phương trình
2
X

z

n

II

2 + 2 xyz"y + y

2

z

"

-> =

0

...

(*)

.

b) Tìm hàm số z = z(x, y) thỏa mãn phương trình (*) bằng
cá ch

đổi biến số u

=

X, V =

—

•

X

18. Tìm hàm sô" z = z(x, y)
a) Thỏa mãn phương trình

b ằ n g cách đối biến sô u = y + ax, V = y - ax .
b) Thỏa mãn phương trình
2 n
2„ n
/
„I
X 2 2 —y z 2 = x z ' - y z '
X

y"
A
>
b ằ n g c á c h đổi b iến sô

11 = xy, V = — •
X

19.
a) Tính đạo hàm của hàm_|ô u = xy2z3 tại điểm(M0( l, 2, -1 ) "
theo hướng xác định bơi vectơ M()Mj vói Mj(0, 4, -3 ).

b) Tính đạo hàm của hàm s ố z = X2 - xy + y2 tại điểm M (l, 1)
th e o h ư ớ n g của vectơ

V = 6i + 8j •

c) Tính đạo hàm của hàm sô z = ln(x2 + y2) tại điểm M(3, 4)
theo hướng của vectơ g'raốz.
d) Tính đạo hàm của hàm số z = arcsin— z __

tại điểm

í v
M„(l, 1, 1) theo hướng của vectơ M„Mj với Mt(3, 2, 3) •
2

2

2

e) T ín h đao h àm của h à m số u = ——++ —— th eo hướng
a
b2
c2
của bán kính vectơ r cúa điếm M(x, y, z). Vdi điều kiện nào đôì
vối các số dương a, b, c đạo hàm ấy bằng Igradu I?

12


■

f) Tính đạo hàm của hàm sô"
ĩ
1
u = —=
r y j x 2 +y 2 + z 2
theo hướng của vectơ 1 có các cosin chỉ hướng là (cosoc, cosß,
cosy). Khi nào đạo hàm ấy triệt tiêu?
20. a) Cho hàm sô' u = x2y2z2. Tính gradu và — tại M0(l, -1 , 3)
aĩ
biết rằng

1 đượcxác định bởi vectơ M0Mj vớiM^o,

1,

1).

----- >
ỡu
b) Cho hàm sô u = xsinyz. Xác định gradu và —=- tại M0(l, 3, 0)
dì
biết rằng 1 được xác định bởi vectơ v = i + 2 j - k
c) Xét hàm sô' z = xey tại điểm M0(2, 0). Tính vận tốc biến thiên
của hàm số đó theo hướng từ Mu đến M^õ, 4). Theo hướng nào thì
vận tốc biến thiên của z có giá trị tuyệt đối lớn nhất. Tính giá trị ấy.
d) Tìm độ 1ỚĨ1. và hướng của gradu, u = X3 + y* + za - 3xyz tại
điểm M0( l, 2, 1). Tại những điểm nào thì gradu vuông góc với
trục Oz, tại những điểm nào thì gradu triệt tiêu.
21. Chứng minh rằng
a) N ếu u lf u 2là hai hàm số' khả vi, Clỹ C2 là hai hằng sô" thì
>

_

_ ------->

-------->

grad (C 1u 1 + C2U2) = CìgradiỈỊ + c 2gradu2
b) N ếu Uị , u 2 là hai hàm sô" khả vi thì
----- >
----- >
----- ^
g r a d ( u 1. u 2) = U , . g r a d i i 2 + u 2 gradUj

c) N ếu f, u là những hàm sô' khả vi thì
grad(f(u)) = f'(u).gradu

22. a) Khai triển hàm số' f(x, y) = 2x2 - xy - y2 - 6x - 3y + 5
theo công thức Taylor ở lân cận điểm Mo(l, -2).
b)
K hai triển hàm sô' f(x, y) = xy (x > 0) theo công thức Taylor
ở lân cận điểm M0(l, 1) đến các sô' hạng bậc 3.
13


23. Tìm cực trị của các hàm số
a) z = 4(x - y) -

- y2 ;

b) z =

c) z = X + y - xe7 ;

+ xy + y2 4-

X —

'y ' +

1

d) z = 2x4 + y 4 —X2 - 2y2!

e) z = xyln (x2 4- ỳ 2) ; f) z = x y \ / 1

g) z = (x - y)2 + (x + y)a ;

= X4 + y4 - 2 (x - y)2 ;

-

- ^“7, a > co. b > 0
a2 b2

h) z = x2(x + 1) + y :*
j) z = x2y3 (3x + 2y + 1) .

24. Tính giá trị lớn nhất và bé nhát của hàm số
a) z = X2 - y2 trong miền D xác định bởi
b)

z = X2 + y2

trong

miền

D

+ y 2, < 4 •
xác định

bởi

(x - V2 f + (y - V2)2 < 9
z = x^y (4 - X - y) trong miền đóng D giới hạn bải các (đường
thẳng X = 0, y = 0, X + y = 6.

d) z =

X 2,

+ 2xy - 4x + 8y trong miền đóng D giói hạn lb)ỏi các

đường th ẳ n g X = 0, X = 1, y = 0, y = 2.

e)
X2 +

z = e" (x + y )(2 x 2 + 3y2) trong

miền

D xác địmlh

bởi

y 2, < 1

f) z = sinx + siny + sin (x + y) trong miền đóng D giói hạn bởi các
đường thẳng X = 0, X =

2

= ° ’y = f

g) z = (a2 - c2)x2 + (b2 —c2)y2 + c2 — [(a—c)x2 + (b -c )y 2 - f c]2,
với a > b > c, trong miền D xác định bởi X2 + y2 < 1.

25. Tìm cực tri của hàm số


2

c) u =

X 2, + y 2,

2

+ z2 với điều kiện ~~ +
a
b2

2

— = 1, a > b > c
cr

d )u = x + y + z với điều kiện —+ —+ —= 1
X

26.

y

z

Cho hình cầu bán kính R. Hình hộp chữ nhật nào nội tiếp

trong hình cầu ấy có thể tích lớn nhất.

B - LỜI GIẢI
1.

a) Hàm số f(x, y) = lnxy xác định khi xy > 0, vậy miền xác

định của nó là tập họp
{(x, y) e R 2 : X > 0, y > 0} u {(x, y) e R 2 : X < 0, y < 0}
b) H àm số f(x, y) = — : + —z m r xác đinh khi X + y > 0 và
Vx + y
Vx —y
X - y > 0. Miền xác định của nó là tập hợp.

{(x, y) E R2 : X >0, - X < y < x}
c) Hàm số f(x, y) = V4 —X2 —
4 —

+ Vx^ + y2 — Ị xác định khi

—y2 > 0 và X2 + y2 — 1 > 0. Miền xác định của nó là vành

khuyên đóng giói hạn bởi các đường tròn

= 1,

= 4.

y —1

y —1
d) Hàm số f(x, y) = arcsin ------ xác định khi — 1 < ------- < 1.
X

'

X

Miền xác định của nó là tập họp
{(x, y) e R 2 : X > 0, 1 - X < y < 1 + x} u
u {(x, y) e R 2 : X < 0, 1 + X < y < 1 - x}
e) Hàm số f(x, y) = VxTiĩy xác định khi xlny > 0. Miền xác định
của nó là tập họp

15


O'

{(x, y) e R2 : X > 0, y > 1} u {(x, y) G R2 : X < 0, 0 < y < 1 }
f) Hàm số fix, y) = ------- - xác định khi y —X2 ^ 0. Miền xác địịnh
•»
y —X
cua nó là tập họp
{(x, y) G R 2 : y * X2} .
g) Hàm số f(x, y) = lnx + lnsiny xác định khi X > 0 và siny > 0.
Miền xác định của nó là tập họp
{(x, y) E R 2 : X > 0, 2ĩìJĩ < y < (2n + 1) 71, n E Z} ,
h) Hàm số f(x, y) = -----— xác định khi cosy ^ 0. Miền xác đị:nh
eos y

cua nó' 1la' tập I™
họp
{(x, y) G R2 : y * (2n + 1)

I ,n

G Z} .

i) Hàm số f(x, y) = Vỹ — X ln(y -f x) xác định khi y —X > 0r và
y + X > 0. Miền xấc định của nó là tập họp
{(x,y) E R 2 : y > 0, - y < X < y} .
2. a) f(x, y) =

xác đinh với V (x, y)
X2 +

(0. 0).

y 2

Cho X = 0, ta CÓ f(0, y) = - 1, Vy * 0. Vây f(x, y)

- 1 dọc thieo

trục Oy.
Cho y = 0, ta CÓ f(x, 0) = 1, Vx ^ 0. Vây f(x, y) -> 1 dọc thieo
trục Ox.
Hàm số f dần tới hai giới hạn khác nhau theo hai phương kihiác
nhau, vậy không tồn tại giói hạn của f khi (x, y) -» (0, 0).

b) f(x, y) =

XV2

X + y

7 xác định V (x, y) * (0, 0).

Cho y = kx, k là hằng số, ta có

w
16

- 1 7 * ?

v* ‘ °


Do đó f(x, y) -*• 0 khi (x, y)

(0, 0) theo mọi đường thẳng y = kx.

Điều đó không có nghĩa là giới hạn phải tìm bằng 0. Thật vậy, cho
X = y 2, ta có

f(x, y) = f(y2, y) = ^ 7 = 0
2y
*

Vy * 0

Do đó f(x, y)

“■ khi (x, y) -> (0, 0) dọc theo đường parabôn
z
X = y2. Vậy không tồn tại giói hạn của f khi (x, y) -> (0, 0).
y

c) f(x, y) = xarctg

X

If(x, y) I = I xarctg

không xác định khi X = 0. Ta có
y
X

I< IX

Do đó
lim f(x, y) = 0 •
(X, y) -> (0, 0)
d) f(x, y) = “ 7—
xác định V(x, y) ^ (0, 0). Ta có
X ■+■y
IX3 + y3 1 = I(x + y) (xz - xy + y'z) I < IX + y I [xz 4- y z + Ixy I]
Nhung Ixy I < “ (x2 + y2) V(x, y) E R^, do đó

2

X3 + y 3 1 < IX + y I . 2 (x2 + y2)
Suy ra

i f l* 'í! Ậ ,H ẹ c « u ố c ạ Ạ ; iK H <
lim f(x, y) = ịnỉRUNG TAM THÔNG TỊN THƯ \

f(x' y)l

Vậy

(x, y) - (0, 0)
1 +

X2 +

y 2

V - ỳ 0 Ị ẢA 7 £

e) f(x, y) = ------— Jt—(1 —cosy) xác định Vy
r
y2
thức khai triển hữu hạn của hàm số cosx, ta có
2.BTTCCT3-A

0. Theo công

17

1 - cosy = ^- + 0 (y2) khi y -* o
Do đó
f(x, y) = (1 + X2 + y2) (

2

+ 0 (!) ) khi y “*■ 0

Vậy
lim f(x, y) = (X, y) - (0, ü)

f) f(x, y) =

x ^ ---- — xác định V(x, y) * (0, 0).
xz - xy + yz

Khi đó X2 —xy 4- y2 > 0. Một mặt, ta có f(x, x) = Xa + ß ~ 2
nên nếu a + ß - 2 < 0 thì giói hạn đả cho không tồn tại; mặt khác,
nếu a < 0, hoặc ß < 0, thì không tồn tại lim f(x, y ) .
(X, y) - (0, 0)

Bây giờ ta xét trường hợp a + ß —2 > o, a > 0, ß > 0. Đặt
k =max ( IXI, |y I). Ta CÓ \xa yß\ <
9

9

/

y \2

VỈ

x2 - x y + y2 =

nên

I.yr9 - xy +

Do đó

If(x, y) I < ^ ktt + fi - 2

Vậy

( x - J )

9.1
I >

+ß
+

3y2

/

x\2

^ - = ( y - | )

3x2

+ ^

3k2

lim f(x, y) = 0
(X, y) - (0, 0)

Nếu a + jS - 2 = 0 thì
Xa +ß " 2 .

k/*

lim f(x, kx) = lim
~ =
” (phụ thuộc k)
X-* 0
x -()l“ k + k
1 - k + k2
Tóm lại giới hạn chỉ tồn tại khi a + ß - 2 > o, a > 0, ß > o,
giới hạn ấy bằng 0.
18

2.BTTCCT3-B


ý'Ạ*'

o : X- y
X+ y
zsin —T“1 cos —■—
, ^
x sinx —siny
2
2
g) f(x, y) = “ T 7----3T“ = --------- --------------

Khi (x, y)
J

(0, 0) ta có sin ~ — ^sh “—
2

^ . Do đó
2

2

lim f(x, y) = 1 .
(x.y) -* (0: 0)

h) Cho
(x, y )

-»

X =

y, ta có f(x, x)

(0. 0) dọc theo đường

y

= -

1Vx

0. Vậy f(x,y)

->

-

1 khi

= X.

Cho y = 0, ta được f(x, 0)

= 1Vx ^ 0. Vây f(x, 0) -*

1 khi

(x, y) -> (0, 0) dọc theo dường y = 0.

Do đó không tồn tại

lim f(x, y) .
(xf y ) - ( 0 , 0)

X4 — 2xy:^ + 3x^y2
( x ^ + y 2)2

Vi lí do đối xứng giữa X và y, ta có
1y

y4 - 2ỵx:s + 3x2y2
/ 9 . ..‘A9

b) f(x, y) = ln (x + Vxz + y^)

rA V = ______l
-___________
2_______________
z
I—r:--------rr• I— -------rr- —
I— -------- —
X + Vx^ +

Vx^ + y 2

X V x2 +

+ y2

c) f(x, y) = y2sin y

19


fv=

. X
9
X /
X\
_
. XX
2ysin — + yzcos —(- —“ ) = zysm —— xcos —
y
y v y2 /
y
y

d) f(x, y) = arctg ^
x
i—
/y \2 v
i +

(i)
1

x

1

X

e) f(x, y) = arcsin (x - 2y)
f*
----------1 x = ---------rz----- :------^
„o > r1 V = V 1 - (x - 2y)2 ’ y
V 1 — (x — 2y)2
f) f(x, y) = ln (Vx2 + y ^ - x) - ln (Vx2 + y^ + x)
—
Vx2 + y2

-

r
X

y

i

■■■--

Vx2 + y

——+ 1
Vx2 + y2"

- x

2

Vx2 4- y^" + x

___ X___

___ Z___

Vx2 + y^ —x

Vx2 + y2 + x

y—
( - —i —
Vx2 + y2 Vx2 + y2 —x

Vx2 + y2

7 — )
Vx2 4- y2 + x

2x
Vx2 + y^

y2
9

g) f(x, y) = arctg'

y Vx2 + y2^

2

x^9 + y“9

1_____ _____1_____

20

X2 - y2

. / x 2j ^ y 2

x2 + y2

V x2 +

y2

(x2 4- y2)2x — (x2 - y2)2x
(X2 + y2)2


_____1_____
2x2

I/

x2

-7

4xy2

y2

(x2 + y2)2

X V X4 - y*

y x2 + y2
= X2 + y 2

1

(x 2 + y 2) ( - 2 y ) - (x2 - y 2)2y

11 X2 -

2x2

(x2 + y2)2

21/ ^
X2 + V2 _____1
2x2

4x^y

_

y

\ / X2 - y2 (x2 + y2)2

Vx4 - y4

V x2 + y2
h) f(x, y) = exycosxsiny
Px = exyycosxsiny - exysinxsiny

f y = exyxcosxsiny + exycosxcosy .
i) f(x, y) = ln(x + lny)
f

= ----------X + lny ’

f

= --------------- •
y
y (x + lny)

f) f(x, y) = xy:i
r x = y v :i - 1 , fy = xy3 . 3y2 . lux

.

k) f(x, y, z) = xy
f x = yzxyZ ” 1 , fy = x^7 . zyz_ 1 . lnx
f z = xy . yz . lny . lnx

1) f(x, y, z) = exyzsin ^
z
f x = exyzyz sin ^
z
f

= exyzxz sin ^ + exyz . “ COS
21


m) f(x, y, z) = e**~+yr +~?
2x
(x2 + y2 + z2)2
2y

f y = _ ex* + / + ? .
( x^ 4-

4-

2z

f z = - ex* + ỹ7 + z2 •
(x^ 4-

+ z^)2

n) f(x, y, z) = zsin — —
X + z

r = z . ------1 COS — —
y
Fy
X 4- z

X

+ z

r
.
y
y
.... y
í z = sin — — — z . ---- ----- - COS — — *
X+ z
(x + zỴZ
X+ z
4. a) Ta có V(x, y) ^ (0, 0)
|f(x, y) I = (X2 + y2) I sin

vx z + y¿ '

I ^ X2 + y 2

Do đó khi (x, y) -» (0, 0), f(x, y) -» 0 = f(0, 0). Hàm số f(x, y) liên
tục tại (0, 0). Rõ ràng f(x, y) liên tục tại mọi (x, y) ^ (0, 0), vậy f(x, y)
liên tục trên R 2.
Các đạo hàm riêng f x(x, y), fy(x, y) tồn tại tại mọi (x, y)
Bây giờ xét tại (0, 0). Ta có Vx ^ 0, f(x, 0) = x^sin ■—

x2

Do đó r x(0, 0) = lim
h 0

f(h, 0) - f(0, 0)
= lim hsin
h
h- 0

(0, 0).


Tương tự ta được fy (0, 0) = 0. Vậy các đạo hàm riêng f x(x, y),
fy(x,y) tồn tại trên RẴ Với (x, y) * (0, 0) ta có
rx(x, y) = 2x ( sin

1

-

xz + yz

\

-

COS —

xz +

)
+ y2 '

Do đó với X ^ 0
f X(x, 0) = 2xsin

- —COS “ ■
X

X

X2

Tử đó ta thấy rằng không tồn tại
lim r x(x, 0)
X -* 0

tức là r x (x, y) không liên tục tại (0, 0). v ì vai trò của X và y đối xứng
nhau nên
Tóm

f y ( x ,

y) củng không liên tục tại (0, 0).

lạif(x, y)liên tục

trên R 2, các đạo hàm riêng f x(x, y),

fy(x,y) tồn tại trên R 2, nhuTig chỉ liên tục tại (x, y) ^ (0, 0).
X'^ —
b) hàm số f(x, y) = ~7—
liên tục tại mọi (x, y) ỹ* (0, 0). Ta có
X +y
IX13 + Iy I3
|f(x ,y )| < 1 -1I
< |x | + Iy I
xz + y Z

7

Do đó f(x, y) -> 0 = f(0, 0) khi (x, y) -* (0, 0). Vậy hàm số f(x, y)
củng liên tục tại (0, 0). Suy ra f(x, y) liên tục trên R 2.
Với (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng f X(x, y),
và liên tục
X
^

(x ’ y)

-

(

+

2y3)

v¿

(xz'¿ z+ yz2 )z

7

V = - y M ± 3x2y ± 2*3)

,
y

=

(x3 + 3xy2

, y

)

-

Xét tại (0, 0) ta có

(X2 + y 2)2

fy (x ,

y) đều tồn tại


„
«X

f (h, 0) - f (O, 0)
f x(0, 0) = lim —
^ — L = lim
h -*• 0

h

7

h

= 1

h -0 h

« (0, 0) = lim f(°. k) - f(°.
.• —
- k
f*y
v °) = lim
= - 1
k-*0
k
k-»0 k

—1

Vậy cácđạo hàm riêng f x(x, y), fy(x. y) củng tồn tại tại (0, 0),
nhung chúng không liên tục tại (0, 0), vì
1

f X(x, tx) = ——
J
(1 + t2)2

+ 3 t2 + 2 t3

Do đókhi (x, y) -* (0, 0) theo đường y = tx thì
1 + 3t2 + 2t3 . , . ,
,,
* x(x>y)— » giới han này thay đôi theo t.
(1 + t2)2

,

Củng vậy, ta có


1 + 3t2 + t3
= (1 7 , ị

Do đó khi (x, y) -» (0, 0) theo đường X = ty thỉ
1 + 3t2 +
fy(x, y) -* — ------ '2 2— , giới hạn này củng thay dổi theo t.
(1 + t )
Vậy f(x, y) liên tục trên R 2, các đạo hàm riêng f x(x, y), fy(x, y)
tồn tại trên R 2, nhưng chỉ liên tục tại (x, y) ^ (0, 0).
c) Hàm số f(x, y) = xarctg

liên tục tại mọi X 7* 0.

Ta có

Vx * 0
|f(x ,y )| < | x | . |
Do đó f(x, y) -> 0 = f(0, y) khi X -+ 0. Vậv f(x, v) củng liên tục tại
X = 0, suy ra f(x, y) liên tục trên R 2.
Với X ^ 0, các đạo hàm riêng fX>(x, y), fy(x, y) đều tổn
liên tục
24

tại và


f X(x, y) = arctg ( z ) 2 + X ------ ------- . 2 ( z
VX >

1 + /X

\ 4

) =

' X '

'

X2 7

'X •

/ y \ 2 2x^y2
= arctg I f ) - ¿
' X '

„ /
f%(x, y) = X .

1
1 +

~

X4 4- y4

/y \ 1
.2 ( ) . =

/ X \ 4

v X /

X

2x3y
X

+ y

' X '

Bây giờ xét tại X = 0. Nếu V 5É 0, ta có
f x(0, y)

= lim f^h; y)
h^o
h

” f (° ’ ^ = lim
h-*0

arctg ( f ) 2 = f
h
z

f y o , y) = lim f ( » .y + k ) - f ( 0 , y ) = Um 0 = 0
k-0

k-*0

N ếu y = 0, ta có

r x(0, 0)

= lim f(-h’ °)
h-*0

r y(0, 0)

= lim ^

k-*0

— f^Q’ ° -)= lim

h

—C&.Q1

0= 0

h^o

= lim 0 = 0

k

k->()

Vậy các đạo hàm riêng r x(x, y), fy(x, y) củng tồntại tại X= 0. Tử
các kết quả trên,ta thấy rằng fy(x, y) liên tục trên R 2, nhungf X(x, y)
liên tục trên R 2\(0, 0).
d) Hàm số f(x5y) = xs-ny —y^inx liên tục tại mọi (x, y) * (0, 0).
Ta có V(x, y) * (0, 0).

y

x ( y ~ 31 + 0(y3) ) “ y ( x“ §7 + 0(x3) )
f

(

x

’

y )

=

xz + yz

--------------------------- : -------------------------- ~ 2 ------" 2 ---------------------------------------- 1 ----------------

_ x.y (Ể . ~ y 2) + x-°(.y3) - y-0(x3)
3! (X2 + y2)
X2 + y2

25


Do đó khi (x, y) -> (0, 0) thì f(x, y) -> 0 = f(0, 0), hàm số f(x, y)
củng liên tục tại (0, 0), vậy nó liên tục trên R 2.
Với (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng f X(x, y), fy(x, y) đều tồn tại
và liên tục.
—X2 ) siny - y (x^ + y2) cosx + 2xysinx
z
f — ^
(x +
(y2 - x2)sinx + x(x2 + y )cosy - 2xysiny
(y2

r*(x, y) = ^

Xét tại (0, 0), ta có

Bạn đọc hãy chứng minh rằng không tồn tại các giói hạn
lim
(X,

y)

-

f x(x, y) ,

(0 . 0 )

lim

f y(x, y).

(x , y ) -> (0 . 0 )

Như vậy hàm số f(x, y) liên tục trên R/% các đạo hàm riêng
f x(x,y), f y(x,y) tồn tại trên R2 nhung chỉ liên tục trên R 2\(0, 0).
5. a) Ta có

Do đó
z’x = - e', c o s

X

Zy = - e'c o s 2x
b)
26

2 (x

+ y ) (2cosxsinx + 4x)

- 2 ( x 2 + y 2)

4y