Chuẩn kiến thức-kỹ năng Toán 11 CTNC

lớp 11
Chủ đề Mức độ cần đạt
Ghi chú
I. Hàm số lợng giác và phơng trình lợng giác
1. Hàm số lợng
giác
Định nghĩa.
Tính tuần hoàn.
Sự biến thiên.
Đồ thị.
Về kiến thức:
Hiểu đợc khái niệm hàm số lợng giác (của biến số
thực).
Về kỹ năng:
-Xác định đợc: tập xác định; tập giá trị; tính chất
chẵn, lẻ; tính tuần hoàn; chu kì; khoảng đồng biến,
nghịch biến của các hàm số y = sinx; y = cosx; y
= tanx; y = cotx.
- Vẽ đợc đồ thị của các hàm số y = sinx; y = cosx;
y = tanx; y = cotx.
Ví dụ. Cho hàm số y = - sinx.
- Tìm tập xác định.
- Tìm tập giá trị.
- Hàm số đã cho là chẵn hay lẻ?
- Hàm số đã cho có là hàm số tuần hoàn không? Cho
biết chu kỳ?
- Xác định các khoảng đồng biến và khoảng nghịch
biến của hàm số đó.
2. Phơng trình l-
ợng giác cơ bản
Các phơng trình

lợng giác cơ
bản.
Công thức
nghiệm.
Minh hoạ trên
đờng tròn lợng
giác.
Về kiến thức:
Biết đợc phơng trình lợng giác cơ bản: sinx = m;
cosx = m; tanx = m; cotx = m và công thức
nghiệm.
Về kỹ năng:
Giải thành thạo phơng trình lợng giác cơ bản. Biết
sử dụng máy tính bỏ túi để giải phơng trình lợng
giác cơ bản.
Ví dụ. Giải phơng trình
a) sinx = 0,7321.
b) sin2x = 0,5.
Ví dụ. Giải và minh hoạ trên đờng tròn lợng giác
nghiệm của mỗi phơng trình sau:
a) sinx = 0,789.
b) 2sinx = 1.
Chủ đề Mức độ cần đạt
Ghi chú
3. Một số phơng
trình lợng giác
thờng gặp
Phơng trình bậc
nhất, bậc hai
đối với một

hàm số lợng
giác.
Phơng trình
asinx + bcosx =
c.
Một số phơng
trình lợng giác
khác.
Về kiến thức:
Biết đợc dạng và cách giải phơng trình: bậc nhất,
bậc hai đối với một hàm số lợng giác; phơng trình
asinx + bcosx = c; phơng trình thuần nhất bậc
hai đối với sinx và cosx; phơng trình có sử dụng
công thức biến đổi để giải.
Về kỹ năng:
Giải thành thạo phơng trình thuộc dạng nêu trên.
Ví dụ: Giải phơng trình
a) 3sinx - 2 = 0.
b)
01cos3cos2
2
=+
xx
.
c) sinx + 12cosx = 13.
d) sin
2
x (1+
3
)sinxcosx +

3
cos
2
x =
0
.
e) sinx + sin2x + sin3x = 0.
g) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x.
h) sin
2
x + sin
2
3x = 2sin
2
2x.
II. Tổ hợp. Khái niệm xác suất
1. Đại số tổ hợp
Quy tắc cộng
và quy tắc
nhân.
Chỉnh hợp.
Hoán vị. Tổ
hợp.
Nhị thức Niu-
tơn.
Về kiến thức:
Biết quy tắc cộng và quy tắc nhân; hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp chập k của n phần tử; công thức nhị
thức Niu-tơn (a + b)
n

.
Về kỹ năng:
- Bớc đầu vận dụng đợc quy tắc cộng và quy tắc
nhân.
- Tính đợc số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k
của n phần tử và vận dụng đợc vào bài toán cụ thể.
- Biết khai triển nhị thức Niu-tơn đối với một số
mũ cụ thể.
- Tìm đợc hệ số của x
k
trong khai triển (ax + b)
n
thành đa thức.
Ví dụ. Một đội thi đấu bóng bàn gồm 8 vận động
viên nam và 7 vận động viên nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách:
a) Cử vận động viên thi đấu đơn nam, đơn nữ.
b) Cử vận động viên thi đấu đôi nam - nữ.
Ví dụ. Cho các chữ số 1; 2; 3; 4; 5. Hỏi có bao
nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau đợc
thành lập từ các chữ số đã cho.
Ví dụ. Hỏi có bao nhiêu cách chia một lớp có 40
học sinh thành các nhóm học tập mà mỗi nhóm có 8
học sinh.
Ví dụ. a) Khai triển (2x + 1)
10
thành đa thức.
b) Tìm hệ số của x
5
trong đa thức đó.

Ví dụ. Chứng minh
nn
nnnn
CCCC 2...
210
=++++
.
Chủ đề Mức độ cần đạt
Ghi chú
Ví dụ. Chứng minh
0 2 4 2
2 2 2 2
...
n
n n n n
C C C C+ + + +
=
1 3 5 2 1
2 2 2 2
...
n
n n n n
C C C C

+ + + +
.

2. Xác suất
Phép thử và
biến cố. Xác

suất của biến cố
và các tính chất
cơ bản của xác
suất.
Biến cố xung
khắc, công
thức cộng xác
suất.
Biến cố độc
lập, công thức
nhân xác suất.
Về kiến thức.
- Biết đợc: Phép thử ngẫu nhiên; không gian mẫu;
biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên; định
nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê xác suất của
biến cố.
- Biết đợc các khái niệm: Biến cố hợp; biến cố
xung khắc; biến cố đối; biến cố giao; biến cố độc
lập.
- Biết tính chất: P(ỉ) = 0; P() =1; 0 P(A) 1.
- Biết (không chứng minh) định lí cộng và định lí
nhân xác suất.
Về kỹ năng:
- Xác định đợc: phép thử ngẫu nhiên; không gian
mẫu; biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên.
- Biết vận dụng công thức cộng, công thức nhân
xác suất trong bài tập đơn giản.
Ví dụ. Gieo một con súc sắc (đồng chất).
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định biến cố xuất hiện mặt có số lẻ chấm.

Ví dụ. Gieo hai con súc sắc. Tính xác suất của biến
cố tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc
sắc bằng 8.
Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính xác suất.
3. Biến ngẫu
nhiên rời rạc
Định nghĩa. Kỳ
vọng toán, ph-
ơng sai và độ
lệch chuẩn của
biến ngẫu
nhiên rời rạc.
Về kiến thức:
Biết đợc: khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc;
phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc; kỳ
vọng toán, phơng sai, độ lệch chuẩn của biến
ngẫu nhiên rời rạc.
Về kỹ năng:
- Lập và đọc đợc bảng phân bố xác suất của biến
ngẫu nhiên rời rạc với một số ít giá trị.
- Tính đợc: kỳ vọng toán, phơng sai, độ lệch
chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc trong bài tập.
Ví dụ. Một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi
xanh. Lấy bất kì từ hộp đó 4 viên bi. Gọi X là số
viên bi xanh đợc chọn ra trong số các viên bi.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Tính giá trị của biến ngẫu nhiên X.
c) Tính kỳ vọng, phơng sai, độ lệch chuẩn của
biến ngẫu nhiên rời rạc X.
Chủ đề Mức độ cần đạt

Ghi chú
III. Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân
1. Phơng pháp
quy nạp toán
học
Giới thiệu ph-
ơng pháp quy
nạp toán học và
các ví dụ áp
dụng.
Về kiến thức:
Hiểu đợc phơng pháp quy nạp toán học.
Về kỹ năng:
Biết cách giải một số bài toán đơn giản bằng ph-
ơng pháp quy nạp toán học.
Ví dụ. Chứng minh rằng n
3
+ 11n chia hết cho 6 với
mọi nN*.
Ví dụ. Chứng minh rằng với mọi nN* ta có
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ n
2
=
( 1)(2 1)

6
n n n+ +
.
Ví dụ. Cho số thực x > - 1. Chứng minh rằng với
mọi n

N* ta có (1 + x)
n
1 + nx.
2. Dãy số
Dãy số.
Dãy số tăng,
dãy số giảm.
Dãy số bị chặn.
Về kiến thức:
- Biết đợc khái niệm dãy số; cách cho dãy số (bởi
công thức tổng quát; bởi hệ thức truy hồi; mô tả);
dãy số hữu hạn, vô hạn.
- Biết tính tăng, giảm, bị chặn của một dãy số.
Về kỹ năng:
Chứng minh đợc tính tăng, giảm, bị chặn của một
dãy số đơn giản cho trớc.
Ví dụ. Trong các dãy số đợc cho dới đây, hãy chỉ ra
dãy hữu hạn, vô hạn, tăng, giảm, bị chặn:
a) 2, 5, 8, 11.
b) 1, 3, 5, 7, , 2n+1, ...
c)
1
2
,

2
5
,
3
10
,
d) 1, -1 , 1 , -1, 1, - 1,
Ví dụ. Chứng minh rằng dãy số (u
n
) với u
n
=
2 3
3 2
n
n
+
+
là một dãy số giảm và bị chặn.
Ví dụ. Xác định số thực a để dãy số (u
n
) với
u
n
=
3
3 2
an
n
+

+
là:
a) một dãy số tăng.
b) một dãy số giảm.
3. Cấp số cộng
Số hạng tổng
quát của cấp số
cộng.
Về kiến thức:
Biết đợc: khái niệm cấp số cộng, tính chất
2;
2
11

+
=
+
k
uu
u
kk
k
, số hạng tổng quát u
n
, tổng
Ví dụ. Cho cấp số cộng 1, 4, 7, 10, 13, 16, Xác
định u
1
, d và tính u
n

, S
n
theo n.
Ví dụ. Cho cấp số cộng mà số hạng đầu là 1 và tổng
của 10 số hạng đầu tiên là 100. Tìm số hạng tổng
Chủ đề Mức độ cần đạt
Ghi chú
Tổng n số hạng
đầu của một
cấp số cộng.
của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng S
n
.
Về kỹ năng:
Tìm đợc các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5
yếu tố u
1
, u
n,
, n, d, S
n
.
quát của cấp số cộng đó.
Ví dụ. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
(u
n
) biết rằng u
23
u
17

= 30 và
2 2
23 17
u u+
=450.
4. Cấp số nhân
Số hạng tổng
quát của cấp số
nhân.
Tổng n số hạng
đầu của một
cấp số nhân.
Về kiến thức.
Biết đợc: khái niệm cấp số nhân, tính chất
2;.
11
2
=
+
kuuu
kkk
, số hạng tổng quát u
n
, tổng
của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân S
n
.
Về kỹ năng:
Tìm đợc các yếu tố còn lại khi cho biết 3 trong 5
yếu tố u

1
, u
n,
, n, q, S
n
.
Ví dụ. Cho cấp số nhân 1, 4, 16, 64, Xác định
u
1
, q và tính u
n
, S
n
theo n.
Ví dụ. Cho cấp số nhân mà số hạng đầu là 1 và tổng
của 5 số hạng đầu tiên là 341. Tìm số hạng tổng
quát của cấp số nhân đó.
Ví dụ. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và
u
n + 1
= 5u
n
+ 8 với mọi n 1. Chứng minh rằng dãy
số (v
n
) với v

n
= u
n
+ 2 là một cấp số nhân. Tìm số
hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
IV. Giới hạn
1. Giới hạn của
dãy số
Khái niệm giới
hạn của dãy số.
Một số định lí
về giới hạn của
dãy số.
Tổng của cấp số
nhân lùi vô hạn.
Dãy số dần tới
vô cực.
Về kiến thức:
- Biết khái niệm giới hạn của dãy số (thông qua ví
dụ cụ thể).
- Biết (không chứng minh):
+/ Nếu
limu
n
L
=
và
nu
n

0
và thì L

0 và
L
=
n
ulim
.
+/ Định lí về: lim (u
n
v
n
), lim (u
n
.v
n
), lim
n
n
u
v
.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng:
;0
1
lim
=

n
n

;0
1
lim
=

n
n

lim
n
n
q

= 0
với q< 1 để tìm giới hạn của một số dãy số đơn
giản.
- Tìm đợc tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Ví dụ. Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
3
n
n
, n

N*
a) Chứng minh rằng
1
2
3
n
n
u
u
+

.
b) Bằng phơng pháp quy nạp, chứng minh rằng
0 < u
n
<
2
3
n

ữ

.
c) Chứng minh rằng dãy số (u
n
) có giới hạn.
Ví dụ. a) Tính
n
n
n

1
lim
+

; b) Tính
nn
n
n
+
+

2
2
1
lim
.
Ví dụ. Tính tổng của cấp số nhân:
1 1 1
1, , , ,
2 4 8

Chủ đề Mức độ cần đạt
Ghi chú
Ví dụ. Tính
2
1 2
lim
2 1
n
n n

n

+
+
.
2. Giới hạn của
hàm số
Định nghĩa.
Một số định lí
về giới hạn của
hàm số.
Mở rộng khái
niệm giới hạn
của hàm số
(giới hạn một
bên, giới hạn ở
vô cực và giới
hạn vô cực).
Về kiến thức :
Biết khái niệm giới hạn của hàm số, giới hạn một
bên.
- Biết (không chứng minh):
+ Nếu
0
lim ( )
x x
f x L

=
và

0)(

xf
với mọi x x
0
thì
L

0 và
0
lim
x x
L

=f(x)
.
+ Định lí về giới hạn:
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x


,
[ ]
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x

,
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x

.
Về kỹ năng:
Trong một số trờng hợp đơn giản, tính đợc:
- Giới hạn của hàm số tại một điểm;
- Giới hạn một bên;
- Giới hạn của hàm số tại

;
- Một số giới hạn dạng
0
0
;


;

.
Không dùng ngôn ngữ , để định nghĩa giới hạn
của hàm số.
Ví dụ. Tính

)43(lim
2
2
+

xx
x
.
Ví dụ. Tính
2
1 0
lim 1
x
x
+

.
Ví dụ. Tính
2
lim (2 3 5)
x
x x
+
+
.
Ví dụ. Tính
2
2
1
5 4

lim
1
x
x x
x

+

.
Ví dụ. Tính
2
2
2 5 1
lim
3 1
x
x x
x

+
+
.
Ví dụ. Tính
2
2
5 4
lim
1
x
x x

x
+
+

.
Ví dụ. Tính
2
lim ( 1).
x
x x
+
+
Ví dụ. Tính
0
2
lim
x
x x
x x
+

+

.
Ví dụ. Cho hàm số
2
2 1 2
( )
2 1 2.
x khi x

f x
x khi x



=

+ >


Tìm các giới hạn sau (nếu có):
( 2)
lim ( )
x
f x


,
( 2)
lim ( )
x
f x
+

,
2
lim ( )
x
f x

.
Chủ đề Mức độ cần đạt
Ghi chú
3. Hàm số liên
tục
Định nghĩa hàm
số liên tục tại
một điểm, hàm
số liên tục trên
một khoảng.
Một số định lí
về hàm số liên
tục.
Về kiến thức:
Biết đợc
- Định nghĩa hàm số liên tục (tại một điểm, trên
một khoảng, một đoạn).
- Định lí về tổng, hiệu, tích, thơng các hàm số liên
tục.
- Định lí về hàm đa thức, phân thức hữu tỷ liên tục
trên tập xác định của chúng
- Định lí (giá trị trung gian): Giả sử hàm số f(x)
liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu f(a) f(b) thì với
mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít
nhất một điểm c

(a; b) sao cho f(c) = M.
Về kỹ năng:
- Biết ứng dụng các định lí nói trên xét tính liên tục
của một hàm số đơn giản.

- Biết chứng minh một phơng trình có nghiệm
dựa vào định lí giá trị trung gian.
Ví dụ. Xét tính liên tục của hàm số
1
73
)(
2
2
+
+
=
x
xx
xf
tại x = 3.
Ví dụ. Cho hàm số
2
3 2
2
( )
2
1 2
x x
khi x
f x
x
khi x

+

=



=

.
Chứng minh rằng hàm số đó liên tục tại x = 2.
Ví dụ. Chứng minh rằng phơng trình
x
2
cosx + xsinx + 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;
).
V. Đạo hàm
1. Khái niệm
đạo hàm
Định nghĩa.
Cách tính.
ý nghĩa hình
học và ý nghĩa
cơ học của đạo
hàm.
Về kiến thức:
- Biết định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một
khoảng).
- Biết ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ học của đạo
hàm.
Về kỹ năng:
- Tính đợc đạo hàm của hàm luỹ thừa, hàm đa thức

bậc hai hoặc bậc ba theo định nghĩa.
- Viết đợc phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số tại một điểm thuộc đồ thị.
- Biết tìm tốc độ tức thời tại một thời điểm của một
chuyển động có phơng trình S = f(t).
Ví dụ. Cho y = 5
2
x
+ 3x + 1. Tính y(2).
Ví dụ. Cho y =
2
x
- 3x. Tìm y(x).
Ví dụ. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm
số y =
2
x
biết rằng:
a) Tiếp điểm có hoành độ là 2.
b) Tiếp điểm có tung độ là 4.
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Ví dụ. Một chuyển động có phơng trình
S =3
2
t
+ 5t + 1 (t tính theo giây). Tính tốc độ tại
thời điểm t = 1s (v tính bằng m/s).
Chủ đề Mức độ cần đạt
Ghi chú
2. Các quy tắc

tính đạo hàm.
Đạo hàm của
hàm hợp.
Đạo hàm của
tổng, hiệu, tích,
thơng của các
hàm số.
Đạo hàm của
hàm hợp.
Về kiến thức:
Biết quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, th-
ơng các hàm số; hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp.
Về kỹ năng:
Tính đợc đạo hàm của hàm số đợc cho ở các dạng
nói trên.
Ví dụ. Tính đạo hàm của
1
13
2
2
++
+
=
xx
xx
y
.
Ví dụ. Tính đạo hàm của
102
)( xxy

+=
.
Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = (3x + 1)(x
2
+ 2)(3x
5
+ 6).
b) y =
10
3
2
5 1
7 9
x x
x x

+
ữ
+ +

3. Đạo hàm của
các hàm số lợng
giác
Về kiến thức:
- Biết đợc
1
sin
lim
0

=

x
x
x
.
- Biết đợc đạo hàm của hàm số lợng giác.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng
1
sin
lim
0
=

x
x
x
trong một số giới hạn
dạng
0
0
đơn giản.
- Tính đợc đạo hàm của một số hàm số lợng giác.
Ví dụ. Tính
a)
2
0
3cos1
lim

x
x
x


.
b)
2
0
1 2 cos3
lim
x
cos x x
x


.
Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số:
a) y = tan(3x).
b) y = tan(sinx).
4. Vi phân
Về kiến thức:
Biết đợc dy = ydx.
Về kỹ năng:
Tính đợc
- Vi phân của một hàm số.
- Giá trị gần đúng của hàm số tại một điểm nhờ
vi phân.
Ví dụ. Cho hàm số
3

)( xxf
=
. Tính vi phân của
hàm số tại điểm x = 2 ứng với

x =
0
,
0
1.
Ví dụ. Cho y =
132
3
+
xx
. Tính dy.
Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của sin 45

3
0
.