TÍNH TOÁN CÁC THÔNG SỐ TỐI ƯU CỦA BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Ngọc Anh

TÍNH TOÁN CÁC THÔNG SỐ TỐI ƯU
CỦA BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Ngọc Anh

TÍNH TOÁN CÁC THÔNG SỐ TỐI ƯU
CỦA BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 8440109.02

Cán bộ hướng dẫn: TS. Nguyễn Xuân Nguyên

Hà Nội - 2018


Mục lục

1 Tổng quan

5

1.1

Bộ hấp thụ dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Bộ hấp thụ dao động dạng khối lượng TMD . . . . . . .

9

1.3

Bộ hấp thụ dao động TMD thụ động . . . . . . . . . . .

9

1.4

Bộ hấp thụ dao động TMD có độ cứng âm . . . . . . .

12

2 Bộ hấp thụ dao động có độ cứng âm
2.1

Tính toán các thông số tối ưu dựa trên phương pháp
điểm cố định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

14

15

So sánh kết quả của Shen [33] với kết quả của Den Hartog [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3 Bộ hấp thụ dao động có độ cứng âm áp dụng cho hệ
dầm
3.1

3.2

27
Tính toán các tham số cho bộ hấp thụ có độ cứng âm
áp dụng cho hệ dầm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

So sánh hiệu quả so với kết quả của R.G Jacquot . . . .

33

Tài liệu tham khảo

36

1


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Xuân Nguyên người đã tận tình
hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,
Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình
học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 1 tháng 07 năm 2018
Học viên

Trịnh Ngọc Anh

2


Lời mở đầu

Dao động có hại xuất hiện ở nhiều lĩnh vực trong cuộc sống: các

phương tiện giao thông chuyển động với tốc độ cao, dao động của tàu
thủy gây ra bởi sóng gió, dao động lắc lư của khoảng vận chuyển trên
cáp treo, cần cẩu, hay sự thay đổi đột ngột tốc độ của các máy móc
cũng dẫn đến những dao động không muốn, rồi những công trình cao,
dài, nhẹ và mảnh trở nên phổ biến, khả năng gây dao động ngày càng
lớn... và dao động có hại làm giảm tuổi thọ máy móc, giảm độ chính
xác, nguy hiểm cho các công trình. Vì vậy công nghệ giảm dao động là
một vấn đề rất được quan tâm về mặt lí thuyết và ứng dụng trong các
trung tâm nghiên cứu và các trường đại học.
Các phương pháp giảm dao động thường dựa trên cơ sở giảm hoặc
cách ly lực kích động, thay đổi tần số riêng để tránh cộng hưởng, tăng
cản cho cơ hệ. Trước đây, phương pháp phổ biến là tăng độ cứng của
kết cấu, tuy nhiên phương pháp này ngày càng tỏ ra không hiệu quả
bởi vì chi phí và độ phức tạp lớn khi quy mô của các kết cấu ngày càng
phức tạp. Chính vì vậy, trong vài thập kỉ gần đây, việc sử dụng bộ hấp
thụ dao động để giảm dao động có hại ngày càng phổ biến rộng rãi
vì tính hiệu quả về kỹ thuật, kinh tế cũng như việc dễ dàng trong lắp
đặt, bảo dưỡng, nâng cấp và đạt yêu cầu về thẩm mỹ. Các bộ hấp thụ
dao động được lắp đặt với mục đích hấp thụ và chuyển hóa một phần
năng lượng thừa của hệ kỹ thuật thành dạng năng lượng khác, từ đó
làm giảm dao động có hại của hệ kỹ thuật đó.
Bộ hấp thụ dao động dạng khối lượng(TMD) là một dạng của bộ
hấp thụ dao động lắp ngoài. Chúng tỏ ra rất hiệu quả khi kết cấu tương
đối cứng, chuyển động tương đối giữa các thành phần kết cấu là nhỏ.

3


MỤC LỤC

4

Mục đích của luận văn là đưa ra cơ sở khoa học của việc tính toán thiết
bị hấp thụ dao động. Luận văn sẽ trình bày cơ sở lí thuyết, phương
pháp nghiên cứu và trình bày phương pháp tính toán các thông số tối
ưu của bộ hấp thụ dao động.
Nội dung của luận văn bao gồm 3 chương:
• Chương 1 của luận văn trình bày các khái niệm cơ bản nhất về

bộ hấp thụ dao động và tổng quan các nghiên cứu về bộ hấp thụ
dao động dạng khối lượng (TMD).
• Chương 2 của luận văn trình bày phương pháp tính các thông số

tối ưu cho mô hình TMD với độ cứng âm.
• Chương 3 của luận văn trình bày phương pháp tính các thông số

tối ưu cho mô hình TMD với độ cứng âm áp dụng cho hệ dầm.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế
nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em
mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô
và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 1 tháng 07 năm 2018
Học viên

Trịnh Ngọc Anh


Chương 1
Tổng quan
1.1

Bộ hấp thụ dao động

Dao động và va chạm là những hiện tượng rất phổ biến trong thực
tế. Đa phần dao động và va chạm có hại. Ví dụ trong lĩnh vực công
nghiệp, các va chạm không mong muốn sẽ sinh ra khi cần phải hãm
các vật chuyển động với khối lượng lớn và tốc độ cao, chẳng hạn như
các thùng đựng khoáng sản, thùng đựng vật liệu trong các ngành khai
khoáng, khai thác kim loại đúc, các giàn cần cẩu nâng thiết bị trong
công nghiệp đóng tàu,... Lực va chạm rất lớn nên có thể phá hủy thiết
bị nếu không có kết cấu tốt. Trong lĩnh vực vận tải hàng hóa và con
người, do chuyển động với tốc độ cao nên các phương tiện vận tải
thường chịu những dao động và va chạm có hại, ảnh hưởng đến tuổi
thọ của phương tiện, chất lượng hàng hóa vận tải cũng như sự thoải
mái, an toàn của hành khách. Các hiện tượng thường gặp là dao động
của ô tô trên mặt đường mấp mô, va chạm của ô tô khi tai nạn, dao
động của tàu thủy gây ra bởi sóng gió... Các máy móc hoạt động với
tốc độ cao hoặc thay đổi tốc độ đột ngột gây ra dao động và va chạm
không mong muốn. Chẳng hạn như máy xay, máy nghiền nếu không
được chống rung sẽ gây đổ vỡ. Trong lĩnh vực quốc phòng, các thiết bị
quân sự như súng cỡ lớn hoặc xe chở súng đều được trang bị thiết bị
giảm dao động để tăng độ chính xác và khả năng chiến đấu, các tàu
chiến cần có hệ thống cân bằng và ổn định vì các loại tàu này có sự
thay đổi vận tốc và quỹ đạo rất lớn. Các hệ thống cân bằng và ổn định
dựa trên các kĩ thuật hiện đại về việc chống dao động có hại. Trong lĩnh
5


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

6

vực xây dựng dân dụng, các công trình ngày càng cao và dài nên khả
năng dao động ngày càng lớn. Những công trình cao, dài, nhẹ và mảnh
trở nên phổ biến như tháp vô tuyến, các cao ốc, các nhịp cầu, cầu dây
văng, cầu treo, ống khói,... Đối với loại công trình này, các tải động
như tải do gió, dòng chảy, sóng, động đất, phương tiện giao thông, va
đập... sẽ gây các dao động nguy hiểm cho công trình. Do vậy yêu cầu
về giảm dao động và va chạm có hại hết sức quan trọng trong cuộc sống.

Hình 1.1: Cây cầu Millau Viaduct (Pháp) cao nhất thế giới
Có rất nhiều giải pháp để giảm dao động và va chạm. Các giải pháp
chính bao gồm:
• Giải pháp về hình học: đây là giải pháp áp dụng cho các tải như

sóng, gió. Vì tải sóng gió phụ thuộc vào diện tích và hình dạng
mặt chắn nên nếu thay đổi những yếu tố này thì có thể giảm được
tác động của sóng gió. Ví dụ với nhà cao tầng có thể sử dụng các
giải pháp như vát góc, tạo ra các lỗ thoát, tạo ra các rìa, sườn,...để
giảm hệ số khí động.
• Giải pháp về kết cấu: bao gồm các biện pháp tăng khối lượng

hoặc tăng độ cứng của kết cấu.


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

7

• Giải pháp cách ly nền: đây là giải pháp áp dụng đối với tải dạng

gia tốc nền. Theo đó các thiết bị cách ly được đặt giữa kết cấu
với nền, qua đó làm giảm tác động của tải gia tốc nền vào kết
cấu.
• Giải pháp sử dụng bộ hấp thụ dao động: năng lượng dư thừa do

ngoại lực tác dụng vào kết cấu sẽ được chuyển qua bộ hấp thụ dao
động và tiêu tán qua một số hiện tượng như tính nhớt của chất
lỏng, tính đàn dẻo của chất rắn, sự ma sát của các bề mặt vật
liệu... Dựa vào phương pháp điều khiển, có thể chia bộ hấp thụ
dao động thành ba trường hợp là thụ động, bán chủ động và chủ
động. Điều khiển thụ động là trường hợp không có năng lượng
truyền vào hệ chính và cũng không có bất kỳ sự điều khiển nào
được thực hiện mà chỉ hoàn toàn có các thiết bị cơ học để tiêu
tán năng lượng. Điều khiển bán chủ động cũng không có năng
lượng truyền vào hệ chính nhưng phải có luật điều khiển để thay
đổi các thông số của bộ hấp thụ dao động. Điều khiển chủ động
là trường hợp sử dụng các thiết bị kích động lực tác động vào kết
cấu chính để giảm dao động.
Trong các giải pháp đó thì giải pháp sử dụng các bộ hấp thụ dao động
là một giải pháp được sử dụng rất phổ biến bởi các ưu điểm sau đây:
• Hiệu quả về mặt kĩ thuật.
• Hiệu quả về mặt kinh tế.
• Dễ dàng lắp đặt và bảo dưỡng.
• Đạt yêu cầu về thẩm mỹ.

Hiện nay, việc sử dụng các bộ hấp thụ dao động trong lĩnh vực giảm
dao động và va chạm đang phát triển do các nguyên nhân sau đây:
• Quy mô ngày càng lớn của các công trình, máy móc, thiết bị,

phương tiện giao thông khiến cho các hệ kỹ thuật rất nhạy cảm
với dao động và va chạm. Các phương pháp giảm dao động thông
thường như tăng khối lượng hoặc độ cứng không còn đủ hiệu quả
và trở nên không kinh tế.


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

8

• Cùng với sự gia tăng về quy mô là sự gia tăng các nguyên nhân

gây ra dao động và va chạm có hại. Ví dụ các tòa nhà ngày càng
cao, cầu càng dài nên phải đối mặt với những điều kiện gió và
động đất rất phức tạp.
• Ngoài ra, sự gia tăng về quy mô làm cho các hệ kỹ thuật trở nên

ngày càng đắt tiền, dẫn tới các yêu cầu về độ an toàn, tuổi thọ và
hiệu quả cũng tăng theo. Sự phát triển của ngành công nghệ cao
như công nghệ điện tử, công nghệ nano cũng đòi hỏi tiêu chuẩn
cao về giảm dao động mà các phương pháp thông thường không
đáp ứng được.
• Nguyên nhân cuối cùng có tính chất động lực cho sự phát triển

của công nghệ, đó là những tiến bộ trong khoa học vật liệu, trong
công nghệ chế tạo và khả năng phân tích thiết kế của máy tính.
Các vật liệu mới được sản xuất có khả năng tiêu tán năng lượng
lớn, tuổi thọ cao, đặc tính ổn định và giá thành chấp nhận được.
Những thiết bị được sản xuất có độ chính xác cao cho phép các
kỹ sư đạt được đặc trưng động lực mong muốn. Việc thiết kế các

bộ phận hấp thụ dao động cũng ngày càng hiệu quả do sự trợ
giúp của các phần mềm mô hình hóa vật liệu và kết cấu.
Bộ hấp thụ dao động chia làm hai loại chính:
• Bộ hấp thụ dao động lắp trong: đây là bộ hấp thụ dao động hoạt

động thông qua chuyển động tương đối giữa các thành phần bên
trong kết cấu. Bộ hấp thụ dao động lắp trong bao gồm bộ hấp
thụ dao động kim loại BRB ( Buckling Restranied Braces), bộ
hấp thụ dao động bản thép, bộ hấp thụ dao động ma sát dạng
Pall, bộ hấp thụ dao động ma sát qua chuyển động quay, bộ hấp
thụ dao động kim loại và ma sát một trục, bộ hấp thụ dao động
đàn nhớt, bộ hấp thụ dao động dạng vách cản nhớt, bộ hấp thụ
dao động chất lỏng nhớt dạng khe van,...
• Bộ hấp thụ dao động lắp ngoài: bao gồm bộ hấp thụ dao động

dạng khối lượng hay còn gọi là TMD (Tuned Mass Damper) hoặc
DVA (Dynamic Vibration Absorber). Bộ hấp thụ dao động lắp


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

9

ngoài tỏ ra rất hiệu quả trong trường hợp kết cấu cứng, chuyển
động tương đối giữa các phần trong kết cấu là nhỏ.
Như vậy trong phần này, luận văn đã trình bày các khái niệm cơ bản
nhất về bộ hấp thụ dao động trong việc giảm dao động có hại của kết
cấu. Chi tiết hơn về bộ hấp thụ dao động dạng khối lượng TMD sẽ
được trình bày trong các phần tiếp theo.

1.2

Bộ hấp thụ dao động dạng khối lượng
TMD

Bộ hấp thụ dao động dạng khối lượng hay còn gọi là TMD (Tuned
Mass Damper) là một loại bộ hấp thụ dao động lắp ngoài. TMD thực
chất là một hệ tích hợp giữa khối lượng, lò xo với các bộ hấp thụ dao
động lắp trong khác như bộ hấp thụ dao động đàn nhớt hoặc bộ hấp
thụ dao động chất lỏng nhớt. Khi sử dụng các bộ hấp thụ dao động lắp
trong, năng lượng dao động sẽ được tiêu tán qua chuyển động tương
đối giữa các thành phần khác nhau bên trong kết cấu. Trong trường
hợp kết cấu khá rắn, chuyển động tương đối giữa các thành phần trong
kết cấu không lớn thì sử dụng các bộ hấp thụ dao động lắp trong tỏ
ra không hiệu quả. Bộ hấp thụ dao động dạng khối lượng TMD là một
giải pháp thay thế thích hợp vì đây là một thiết bị lắp ngoài nên năng
lượng sẽ được tiêu tán thông qua chuyển động tương đối giữa kết cấu
với khối lượng TMD. Nguyên nhân tạo ra chuyển động tương đối này
là do quán tính của khối lượng phụ. Quán tính của khối lượng phụ
càng lớn thì chuyển động tương đối càng lớn. TMD được ứng dụng cho
nhiều lĩnh vực khác nhau như giao thông vận tải, máy móc, thiết bị,
... trong đó vật cần giảm dao động chuyển động như một vật rắn.

1.3

Bộ hấp thụ dao động TMD thụ động

Như đã đề cập ở phần 1.1, điều khiển thụ động là trường hợp không
có năng lượng truyền vào hệ chính và cũng không có bất kỳ sự điều
khiển nào được thực hiện mà hoàn toàn chỉ có các thiết bị cơ học để

tiêu tán năng lượng. Ý tưởng TMD đầu tiên được đề xuất bởi Frahm


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

10

[8] vào năm 1909. Tuy nhiên mô hình TMD đầu tiên này không chứa
phần tử cản nên chỉ hiệu quả trong một dải tần số rất hẹp xung quanh
tần số riêng của TMD. Vào năm 1928, Ormondroyd và Den Hartog
[14] phát hiện ra nếu TMD có thêm phần tử nhớt thì nó sẽ hiệu quả
trên một dải tần số rộng hơn. Mô hình TMD đưa ra bởi Ormondroyd
và Den Hartog cho đến nay được coi là mô hình kinh điển của TMD ở
đó một cản nhớt và một phần tử lò xo được mắc song song như Hình 1.2.

Hình 1.2: Mô hình TMD kinh điển
Trong bài toán thiết kế TMD, mục tiêu đó là đưa ra các thông số tối
ưu của TMD sao cho hiệu quả giảm dao động của nó là tốt nhất. Tuy
nhiên bởi vì trong thực tế khối lượng của TMD không thể quá lớn
(thông thường chỉ khoảng 3 % đến 5 % khối lượng kết cấu chính), do
đó hai thông số cần phải tối ưu của TMD đó là tỷ số tần số của TMD
so với kết cấu chính và tỷ số cản của TMD.
Trong trường hợp kết cấu chính không cản, đã có rất nhiều tiêu
chuẩn được đưa ra để thiết kế TMD. Ba tiêu chuẩn điển hình thường
hay dùng nhất đó là tiêu chuẩn H∞ , tiêu chuẩn H2 và tiêu chuẩn cực
đại sự ổn định. Tiêu chuẩn H∞ được đưa ra bởi Ormondroyd và Den
Hartog [14] vào năm 1928 khi hệ chính tạo kích động điều hòa. Mục
đích chính của tiêu chuẩn này là hạ thấp đỉnh của hàm khuếch đại

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

11

dao động trong miền cộng hưởng. Sử dụng phương pháp điểm cố định,
Den Hartog [7] đã đưa ra các thông số tối ưu của TMD đối với tiêu
chuẩn H∞ . Thực ra các thông số tối ưu của TMD thu được khi sử dụng
phương pháp điểm cố định này là không hoàn toàn chính xác tuyệt đối
vì có vài sự xấp xỉ trong quá trình tính toán. Tuy nhiên vào năm 2002,
khi hai tác giả người Nhật là Nishihara và Asami [38] đưa ra lời giải
chính xác cho tiêu chuẩn H∞ và so sánh với kết quả của Den Hartog [7]
thì họ thấy kết quả của Den Hartog [7] là vô cùng gần với lời giải chính
xác. Chính vì phương pháp điểm cố định được sử dụng rộng rãi đối
với tiêu chuẩn H∞ vì lời giải chính xác quá phức tạp và khó áp dụng
trong thực tế. Tiêu chuẩn H2 được đề xuất bởi Crandall và Mark [6]
vào năm 1963 khi kết cấu chính chịu kích động ngẫu nhiên. Mục đích
của tiêu chuẩn này là cực tiểu phần diện tích nằm dưới đường cong
của hàm khuếch đại dao động, nghĩa là cực tiểu tổng năng lượng dao
động của kết cấu chính trên toàn bộ dải tần số của ngoại lực. Sau đó
các thông số tối ưu của TMD sử dụng tiêu chuẩn H2 được đưa ra bởi
Iwata [13] vào năm 1982 và Asami [4] vào năm 1991. Tiêu chuẩn cực
đại sự ổn định và lời giải cho các thông số của TMD được đề xuất bởi
Yamaguchi [24] vào năm 1998. Mục đích của tiêu chuẩn này là tăng
cản tương đương của kết cấu chính để giảm dao động tự do. Như vậy,
toàn bộ các tiêu chuẩn đều đã có lời giải giải tích khi kết cấu chính
không cản.
Tuy nhiên giả thiết kết cấu chính không cản chỉ là sự xấp xỉ gần
đúng bởi vì trong thực tế luôn tồn tại cản kết cấu chính. Khi tính đến
cản của kết cấu chính, việc tìm lời giải giải tích cho các tham số tối
ưu của TMD trở nên khó khăn hơn rất nhiều. Vào năm 1978, Ioi và

Ikeda [12] sử dụng phương pháp số sau đó xây dựng công thưc nghiệm
gần đúng cho các thông số của TMD khi sử dụng tiêu chuẩn H∞ . Năm
1981, Randall và cộng sự [33] đề xuất một phương án tối ưu số cho
việc thiết kế TMD. Cũng vào năm 1981, Thompson [35] đưa ra một
phương pháp trong đó tỷ số tần số định bằng công thưc giải tích theo
tỷ số tần số vừa thu được. Warburton [36] sử dụng phương pháp số
khi kết cấu chính chịu tác dụng của cả lực điều hòa và ngẫu nhiên sau
đó xây dựng tham số tối ưu của TMD dưới dạng bảng. Fujino và Abe
[9] sử dụng phương pháp nhiễu để tìm ra các thông số tối ưu trong


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

12

trường hợp tỷ số khối lượng của TMD so với kết cấu chính nhỏ hơn
2% và tỷ số cản kết cấu rất nhỏ. Năm 1997, Nishihara và Matsuhisa
[11] đã tì ra lời giải chính xác cho trường hợp tiêu chuẩn cực đại sự
ổn định. Năm 1998, Pennestri [37] đưa ra một phương pháp số có tên
là phương pháp số có tên là phương pháp min-max cho trường hợp
tiêu chuẩn H∞ , trong phương pháp này hàm mục tiêu min-max chịu 6
phương trình ràng buộc và 7 biến chưa xác định. Năm 2002, Asami và
cộng sự [3] đã đưa ra nghiệm xấp xỉ dạng chuỗi đối với tiêu chuẩn H∞
và lời giải chính xác đối với tiêu chuẩn H2 , tuy nhiên kết quả của họ vô
cùng phức tạp và rất khó sử dụng trong thực tế. Năm 2007, sử dụng
giả thiết gần đúng về sự tồn tại của điểm cố định, Ghosh và Basu [10]
đưa ra công thức gần đúng cho tiêu chuẩn H∞ . Năm 2012, Tigli [34]
đưa ra lời giải chính xác cho tiêu chuẩn H2 khi tối ưu vận tốc và hai
lời giải xấp xỉ trong trường hợp tối ưu chuyển dịch và tối ưu gia tốc.
Như vậy đối với mô hình TMD kinh điển trong trường hợp kết cấu

chính có cản, hai tiêu chuẩn H2 và cực đại ổn định đã có lời giải chính
xác, còn tiêu chuẩn H∞ chỉ có lời giải số và lời giải xấp xỉ bằng giải
tích.

1.4

Bộ hấp thụ dao động TMD có độ cứng
âm

Độ cứng đạt giá trị dương khi lò xo biến dạng theo cùng một hướng
với lực tác dụng, thường hay gặp trong kỹ thuật thực tế. Ngược lại,
độ cứng đạt giá trị âm khi lực ngoài và chuyển vị trong các vật bị biến
dạng ngược chiều nhau. Các nghiên cứu về tính chất và điều kiện ổn
định của hệ thống độ cứng âm đã được báo cáo trong tài liệu tham
khảo [15–21]. Có một số cơ chế tạo ra độ cứng âm, chẳng hạn như con
lắc ngược hay thành phần nén được là các thiết bị tiêu biểu. Khi các
lò xo có độ cứng dương và âm được đặt song song và kết nối với các
thiết bị có khối lượng khác nhau, hệ thống có thể là phi tuyến, chẳng
hạn như sự bất ổn định hoặc phân nhánh. Khả năng chịu tải của hệ
thống với độ cứng âm là tốt hơn so với hệ thống chỉ với độ cứng dương,
và đồng thời tần số tự nhiên của hệ thống sẽ giảm. Hệ thống có độ


CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

13

cứng âm có thể có hiệu suất điều khiển rung tốt hơn nếu nó vẫn ổn
định. Do đó, việc đưa độ cứng âm vào hệ thống điều khiển rung là cần
thiết và có ý nghĩa. Platus [22] tạo ra độ cứng âm xung quanh trạng

thái cân bằng bằng cách sử dụng các chùm dầm theo tải trọng trục, và
chúng có hệ thống cách ly bằng cách kết hợp nó với một lò xo dương
tuyến tính. Trimboli [23] đề xuất áp dụng độ cứng âm trong bộ cách ly
rung cơ học, nơi độ cứng âm và độ cứng dương được bố trí song song.
Park [24] đã nghiên cứu bộ cách ly rung điều khiển hoạt động với độ
cứng âm và các đặc điểm hệ thống cơ bản đã được xác minh bằng thực
nghiệm. Mizuno [25–28] nghiên cứu một hệ thống cách ly rung động
hoạt động kết hợp hệ thống treo từ trường không công suất và phân
tích thử nghiệm. Họ phát hiện ra rằng một hệ thống không công suất
hoạt động như hệ thống độ cứng âm, và có thể tạo ra độ cứng vô hạn
nếu nó được kết nối với một lò xo bình thường trong chuỗi. Sau đó,
họ đề xuất một hệ thống cách ly rung mới, ở đây độ cứng âm được
thực hiện bằng kỹ thuật điều khiển chủ động [29]. Năm 2013, Acar [30]
nghiên cứu DVA thụ động thích ứng với một cơ chế độ cứng âm bằng
cách phân tích và thử nghiệm, và thấy rằng nó có thể giảm biên độ hệ
chính bằng cách điều chỉnh các thông số một cách thích hợp. Yang [31]
cũng nghiên cứu một chất cách ly rung phi tuyến với cơ chế độ cứng
âm. Nhiều học giả đã nghiên cứu ứng dụng của độ cứng âm trong hệ
thống cách ly rung và lợi thế của nó, nhưng ít nghiên cứu được thực
hiện về các thông số tối ưu của DVA với độ cứng âm cho đến bây giờ.


Chương 2
Bộ hấp thụ dao động có độ
cứng âm
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày phương pháp tính các
thông số tối ưu của thiết bị hấp thụ dao động DVA (Dynamic Vibration
Absober) hay còn gọi là TMD (Tuned Mass Damper) với độ cứng âm
dựa trên lý thuyết điểm cố định, đồng thời so sánh kết quả với mô hình
TMD của Den Hartog [7]

14


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

2.1

15

Tính toán các thông số tối ưu dựa trên
phương pháp điểm cố định

Hình 2.1: Mô hình TMD khi kết cấu được mắc với nền bởi lò xo có độ
cứng âm
Hình vẽ 2.1 mô tả kết cấu chính có khối lượng ms , được mắc với lò
xo có độ cứng ks nối với nền, kết cấu chính chịu kích động bởi lực
f (t) = F cos(ωt), TMD dạng khối lượng có khối lượng md , lắp vào kết
cấu chính bởi lò xo có độ cứng kd , cản nhớt c và nối với nền bởi lò xo
có độ cứng âm k .
Biểu thức động năng, thế năng, hàm hao tán của cơ hệ có dạng:
1
1
T = ms x˙ 2s + md x˙ 2d
2
2
1
1
1
V = ks x2s + kd (xs − xd )2 + kx2d

2
2
2
1 2
φ = cx˙ d
2

(2.1)
(2.2)
(2.3)

Sử dụng phương trình Lagrange loại II, ta lập được phương trình


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

16

vi phân dao động của hệ có dạng:
ms x¨s = −ks xs − kd (xs − xd ) − F cos(ωt)

(2.4)

md x¨d = −kd (xd − xs ) − kxd − cx˙ d

(2.5)

ms x¨s + ks xs + kd xs − kd xd = F cos(ωt)

(2.6)

md x¨d + cx˙ d + kxd + kd xd − kd xs = 0

(2.7)

⇔

Chia phương trình (2.6) cho ms , chia phương trình (2.7) cho md ta
được:
ks
kd
kd
F
xs +
xs −
xd =
cos(ωt)
ms
ms
ms
ms
k
kd
kd
c
x¨d +
x˙ d +
xd +
xd −
xs = 0

md
md
md
md
x¨s +

(2.8)
(2.9)

Đưa vào các kí hiệu :
md
ks
kd
;
; ωs =
; ωd =
ms
ms
md
k
c
ωd
γ = ;ξ =
;α =
kd
2md ωd
ωs
F
ω
f=

;β =
ms
ωs
µ=

(2.10)

Thay các công thức (2.10) vào phương trình (2.8) và (2.9) ta thu
được phương trình vi phân của hệ như sau:
x¨s + (ωs2 + µωd2 )xs − µωd2 xd = f cos(ωt)
x¨d + 2ωd ξ x˙ 2 + (γ

+ 1)ωd2 xd

− ω22 xs

=0

(2.11)
(2.12)

Ta tìm nghiệm của hệ trên dưới dạng:
xs = Xs eiωt
xd = Xd eiωt

(2.13)

Thay công thức (2.13) vào phương trình vi phân (2.11) và (2.12) ta
thu được hệ phương trình sau:
(−ω 2 + ωs2 + µωd2 )Xs + (−µωd2 )Xd = f

(2.14)

− ωd2 Xs + [−ω 2 + (γ + 1)ωd2 + 2iωωd ξ]Xd = 0

(2.15)


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

17

hay:
(−β 2 + 1 + µα2 )Xs + (−µα2 )Xd =

f
ωs2

− α2 Xs + (−β 2 + (γ + 1)α2 + 2iβαξ)Xd = 0

(2.16)
(2.17)

Giải hệ phương trình suy ra nghiệm:
Xs =

A
B

Trong đó:

A=

f
2
ωs2 (−β

+ (1 + γ)α2 + 2iαβξ)

B = [(−β 2 + 1 + µα2 )(−β 2 + (1 + γ)α2 ) − µα4 ] + 2iαβξ(−β 2 + 1 + µα2 )
Từ giá trị Xs đã tính được, ta thu được hàm khuếch đại dao động

[33]:
H=

Xs
Xs
=
=
F/ks
f /ωs2

C
D

(2.18)

Trong đó:
C = (γα2 + α2 − β 2 )2 + (2αβξ)2
D = [(1 + µα2 − β 2 )(γα2 + α2 − β 2 ) − µα4 ]2 + (2αβξ)2 (1 + µα2 − β 2 )2

Ta viết hàm khuếch đại (2.18) dưới dạng:
H=

H12 + H22 ξ 2
H32 + H42 ξ 2

trong đó:
H1 = γα2 + α2 − β 2
H2 = 2αβ
H3 = (1 + µα2 − β 2 )(γα2 + α2 − β 2 ) − µα4

(2.19)

H4 = 2αβ(1 + µα2 − β 2 )

Luận văn sẽ sử dụng phương pháp cố định của Den Hartog để đưa
ra thông số tối ưu của TMD đối với tiêu chuẩn H∞ . Phương pháp điểm
cố định được đề xuất bởi Den Hartog [7] 1956 với mục đích hạ thấp tối
đa đỉnh của đồ thị đáp ứng hệ chính khi chịu kích động điều hòa. Với
kết cấu, có hai đáp ứng được xét đến là chuyển dịch (liên quan đến độ


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

18

an toàn của kết cấu) và gia tốc (liên quan đến độ an toàn của thiết bị
và con người trong kết cấu). Giả sử kích động có dạng điều hòa, biểu
diễn kích động dưới dạng phức:
f (t) = fˆeiωt ; ag (t) = a

ˆg eiωt

(2.20)

Trong đó, fˆ và aˆg là các biên độ phức đáp ứng bình ổn có dạng:
xs = xˆs eiωt , xd = xˆd eiωt

(2.21)

với xˆs và xˆd lầ lượt là các biên độ phức của chuyển dịch hệ chính và
TMD. Thay (2.20) và (2.21) vào phương trình chuyển động. Nếu aˆg = 0,
giải phương trình chuyển động thu được biên độ phức của chuyển dịch
hệ chính có dạng:
xˆ =

H1 + iH2 ξ ˆ
f
H3 + iH4 ξ

(2.22)

trong đó, i là số ảo, ξ là tỷ số cản TMD, Hi (i=1,...4) là các hàm thực
của α (tỷ số các tần số riêng), β (tỷ số giữa tần số kích động và tần
số kết cấu) và một tham số khác ngoại trừ ξ . Các hàm Hi (i=1,...4)
sẽ được tính cho từng trường hợp cụ thể. Trong trường hợp fˆ = 0 và
a
ˆg = 0 thì ta cũng thu được biểu thức tương tự như (2.22) nhưng thay fˆ
bằng aˆg . Trường hợp chỉ tiêu gia tốc cũng có biểu thức tương tự (2.22)
nhưng thay biên độ chuyển dịch bằng biên độ của gia tốc. Từ (2.22),
biên độ thực đáp ứng có dạng:

|ˆ
x(t)| = fˆ(t)

H12 + H22 ξ 2
= H fˆ(t)
H32 + H42 ξ 2

(2.23)

Trong đó, H được gọi là hàm khuếch đại dao động giữa biên độ đáp
ứng và biên độ kích động. Mục đích của phương pháp điểm cố định là
hạ thấp một cách có thể đỉnh của hàm khuếch đại H trong toàn bộ
miền biến thiên của tần số kích động. Khi cố định các tham số ngoại
trừ tham số ξ , đồ thị H theo β với một giá trị của ξ có dạng như Hình
2.2.


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

19

Hình 2.2: Dạng biến thiên của hàm khuếch đại theo tần số kích động
ngoài
Trên Hình 2.2 ta thấy, với hai trường hợp tới hạn ξ = 0 (không cản)
và ξ = 1 (cản tới hạn) đều dẫn tới đỉnh của đồ thị tiến ra vô cùng.
Điều đó cho ta thấy giữa hai giá trị này tồn tại một giá trị tối ưu nào
đó của tỷ số cản thiết bị ξ . Ngoài ra tính chất không cản của hệ chính
dẫn tới sự tồn tại của hai điểm cố định P, Q không phụ thuộc vào tỷ
số cản ξ của TMD.
Bước đầu tiên của phương pháp điểm cố định là tìm hai điểm cố

định P, Q. Giả sử 2 điểm P, Q có hoành độ là β1 và β2 . Để H không
phụ thuộc vào ξ thì:
∂H
∂H
|β=β1 =
|β=β2 = 0
∂ξ
∂ξ

(2.24)

Từ biểu thức H trong (2.6) ta rút ra các phương trình:
H1
H2
|β=β1 =
|β=β1
H3
H4

(2.25)

H1
H2
|β=β2 =
|β=β2
H3
H4

(2.26)

CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

20

Và ta cũng thu được giá trị của H tại hai điểm P, Q:
H|P =

H2
H2
|β=β1 , H|Q =
|β=β2
H4
H4

(2.27)

Sau đó, Den Hartog [7] lý luận rằng muốn đồ thị H không thay đổi
độ lớn trong khoảng giữa hai đỉnh thì trước hết cần phải cho hai đỉnh
P và Q có độ cao bằng nhau, từ đó ta có thêm một phương trình:
H|P = H|Q ⇒

H2
H2
|β=β1 =
|β=β2
H4
H4

(2.28)

Như vậy ta đã có 3 phương trình (2.25), (2.26), (2.28) cho 3 ẩn β1 ,
β2 và α. Chú ý rằng tính chất không cản của hệ chính làm cho các hàm
Hi (i=1,..4) không phụ thuộc ξ . Do đó hệ (2.25), (2.26), (2.28) là hệ 3
phương trình đóng với 3 ẩn β1 , β2 và α. Hệ này có lời giải không phụ
thuộc vào ξ . Kết quả cho nghiệm tối ưu của α là α∗ .
Bước thứ hai của phương pháp điểm cố định là thêm một phương
trình nào nữa cho ẩn ξ . Sau khi đã có hai điểm cố định P, Q cao bằng
nhau, nếu vẽ đồ thị H theo tỷ số tần số với các giác trị ξ khác nhau,
ta lại có dạng trên Hình 2.3.

Hình 2.3: Dạng biến thiên của hàm khuếch đại khi α đã được điều
chỉnh đến giá trị tối ưu


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

21

Khi ξ còn nhỏ thì có 2 đỉnh của đồ thị cao hơn P và Q. Khi tăng
dần ξ thì 2 đỉnh đó thấp dần xuống. Đến một giá trị ξ ∗ thì 2 đỉnh này
đã thấp khá gần P, Q. Nếu lại tăng tiếp cản thì 2 đỉnh tiến tới chập
làm một và đỉnh duy nhất này cao lên. Như vậy tồn tại một giá trị ξ ∗
mà ta cần tìm sao cho P và Q gần với các đỉnh của đồ thị nhất. Trước
hết ta tìm giá trị ξ1 sao cho P là một đỉnh của đồ thị. Khi P là một
đỉnh của đồ thị thì đạo hàm của H theo β tại đó (tại β = β1 ) bằng 0.
Xuất phát từ biểu thức (2.23) của hàm khuếch đại H có:
H 2 (H32 + ξ 2 H42 ) = (H12 + ξ 2 H22 )
∂H
∂β

(2.29)

Lấy đạo hàm hai vế (2.29) theo β tại β = β1 và chú ý tới điều kiện
= 0 tại β1 thì ta thu được:
2

H =

Dẫn tới:
2

ξ =

∂H2
2
1
H1 ∂H
∂β + ξ H2 ∂β
∂H4
3
2
H3 ∂H
∂β + ξ H4 ∂β

∂H3
2
1
H1 ∂H
∂β − H H3 ∂β

∂H4
2
2
H2 ∂H
∂β − H H4 ∂β

(2.30)

(2.31)

Thay các giá trị α∗ và β1 vào đây ta có thể tính được ξ1 :
ξ12
ξ22

=

=

∂H3
2
1
H1 ∂H
∂β − H H3 ∂β
2
H2 ∂H
∂β
1
H1 ∂H
∂β
2

H2 ∂H
∂β

4
− H 2 H4 ∂H
∂β
3
− H 2 H3 ∂H
∂β
4
− H 2 H4 ∂H
∂β

tại α = α∗ và β = β1

(2.32)

tại α = α∗ và β = β2

(2.33)

Do ξ1 và ξ2 khác nhau nên P và Q không thể đồng thời là một đỉnh.
Giá trị tối ưu sẽ tương ứng với trường hợp P và Q gần các đỉnh nhất
như đã thấy trên hình 2.3. Giá trị này sẽ được lấy là giá trị trung bình
bình phương của ξ1 và ξ2 :
∗

ξ =

ξ12 + ξ22

2

(2.34)

Sử dụng phương pháp điểm cố định của Den Hartog để đưa ra thông
số tối ưu của TMD đối với tiêu chuẩn H∞ trong trường hợp hàm khuếch
đại dao động như công thức (2.19) như sau:


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

22

Bước 1: Tính tỷ số các tần số riêng α
Vì theo định lí điểm cố định khi ξd = 0 và ξd = ∞ thì hàm khuếch đại
tồn tại hai giá trị cố định, khi đó ta có:
H2
H1
=
H3
H4

(2.35)

Khi đó, ta có phương trình:
γα2 + α2 − β 2
1
=−
2
2

2
2
2
4
(1 + µα − β )(γα + α − β ) − µα
(1 + µα2 − β 2 )

(2.36)

Phương trình (2.36) tương đương:
2β 4 − 2(1 + α2 + µα2 + γα2 )β 2 + 2α2 (1 + γ) + µα4 (1 + 2γ) = 0

(2.37)

Mà H(β1 ) = H(β2 ) nên ta có:
1
1
=−
2
2
(1 + µα − β1 )
(1 + µα2 − β2 2 )

(2.38)

Phương trình (2.38) tương đương:
β12 + β22 = 2 + 2µα2

(2.39)

Xét phương trình (2.37) , theo Vi-et ta có:
β12 + β22 = 1 + α2 + µα2 + γα2

(2.40)

Từ (2.40) và (2.39) ta được [33]:
1 + α2 + µα2 + γα2 = 2 + 2µα2
⇔ 1 + µα2 − γα2 − α2 = 0
⇔ 1 − (γ + 1 − µ)α2 = 0
⇔α=

1
1+γ−µ

(2.41)

Bước 2: Tính tỉ số cản ξ
2

ξ =

∂H3
2
1
H1 ∂H
∂β − H H3 ∂β
∂H4
2
2
H2 ∂H

∂β − H H4 ∂β

(2.42)


CHƯƠNG 2. BỘ HẤP THỤ DAO ĐỘNG CÓ ĐỘ CỨNG ÂM

23

Thay (2.41) vào phương trình (2.37) ta được:
β4 − 2

(1 + γ)2 − µ2
1+γ
=0
β2 +
1+γ−µ
(1 + γ − µ)2

(2.43)

Giải phương trình (2.42) ta được 2 nghiệm:
β12 =

1
(1 + γ +
1+γ−µ

µ
)

2

(2.44)

β22 =

1
(1 + γ −
1+γ−µ

µ
)
2

(2.45)

Thay các giá trị α và β1 , β2 vào công thức (2.32) ta được [33]:
ξ12 =
ξ22 =

3µ
8(1 + γ +
3µ

µ
2)

8(1 + γ −

µ

2)

⇒ξ=

ξ12 + ξ22
=
2

3µ(1 + γ)
4[2(1 + γ)2 − µ]

(2.46)

Bước 3: Tính tỉ số độ cứng γ
Ta có:
H(β2 ) =

1
= (1 + γ − µ)
1 + µα2 − β22

2
µ

(2.47)

Do các đặc trưng của lò xo có độ cứng âm chỉ được thể hiện ở trạng
thái trước tải, phép lấy xấp xỉ để tối ưu là trạng thái trước biến dạng
trùng với tọa độ của 2 điểm cố định. Khi đó ta có β = 0, thay công
thức (2.41) vào công thức hàm khuếch đại ta có:

H=

(1 + γ)α2
(1 + µα2 )(1 + γ)α2 − µα4

2

=

(1 + γ)(1 + γ − µ)
(1 + γ)2 − µ

(2.48)