CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MŨ – LOGARIT CHỨA THAM SỐ.
Câu 1.
(
)
Tập hợp các giá trị của m để phương trình m ⋅ ln 1 − 2x − x = m có nghiệm thuộc
(−∞; 0) là
A. (ln 2;+∞) .
B. (0;+∞) .
C. (1;e ) .
D. (−∞; 0) .
Lời giải
Chọn
B.
Điều kiện: 1 − 2x > 0 ⇔ x < 0 .
Phương trình đã cho tương đương với: m =
(
(
)
ln 1 − 2x − 1
với x < 0 . Có f ′ =
x
x
.
(
)
x
x
−2x. ln 2
1 − 2x
2
(ln (1 − 2 ) − 1)
x
(1 − 2 ) ln (1 − 2 ) − (1 − 2 )1 + x .2 .ln 2 .
=
(1 − 2 )(ln (1 − 2 ) − 1)
x
)
ln 1 − 2x − 1
ln 1 − 2x − 1 − x .
x
Xét hàm số f (x ) =
x
x
Vì
2
x < 0 nên
0 < 1 − 2x < 1 ,
do
f ′ (x ) < 0 ∀x < 0 . Vậy f (x ) nghịch biến trên (−∞; 0) .
Mặt khác, dễ thấy lim f (x ) = +∞ ; lim− f (x ) = 0 . Ta có BBT sau:
x →−∞
x →0
Vậy phương trình có nghiệm khi m > 0 .
Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
(
2
4 log2 x
A. m ≤
) − log
1
.
4
1
2
x + m = 0 có nghiệm thuộc (0;1).
B. 0 < m <
1
.
4
C. 0 ≤ m.
D. m ≥
1
.
4
Lời giải
Chọn
A.
ĐK: x > 0 .
Phương trình ⇔ log22 x + log2 x + m = 0
(1) .
Trang 1
đó
Do xét x ∈ (0;1) nên đặt t = log2 x , t < 0 . Phương trình (1) thành t 2 + t + m = 0
⇔ t 2 + t = −m .
Xét hàm số f (t ) = t 2 + t với t < 0 .
Có f ′ (t ) = 2t + 1 ; f ′ (t ) = 0 ⇔ t = −
1
2
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra −m ≥ −
Câu 3.
Cho hàm số y = 5−x
2
+6x −8
1
1
⇔m≤ .
4
4
. Gọi m là giá trị thực để y ′(2) = 6m ln 5 . Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. m <
1
.
3
B. 0 < m <
1
.
2
C. m ≥
1
.
2
D. m ≤ 0 .
Lời giải
B.
Chọn
Ta có y ′ = 5−x
Câu 4.
2
+6 x −8
(−2x + 6). ln 5 ⇒ y ′ (2) = 2 ln 5 ⇒ 6m ln 5 = 2 ln 5 ⇒ m = 13 .
Tìm m để bất phương trình m.9x − (2m + 1).6x + m.4x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi
x ∈ (0;1) .
A. 0 ≤ m ≤ 6
B. m ≤ 6 .
C. m ≥ 6 .
D. m ≤ 0 .
Lời giải
B.
Chọn
x
x
9
3
Ta có m.9 − (2m + 1).6 + m.4 ≤ 0 ⇔ m. − (2m + 1) + m ≤ 0 .
4
2
x
x
x
x
3
3
Đặt t = . Vì x ∈ (0;1) nên 1 < t <
2
2
Khi đó bất phương trình trở thành m.t 2 − (2m + 1)t + m ≤ 0 ⇔ m ≤
Đặt f (t ) =
t
2
(t − 1)
Ta có f ′ (t ) =
t
2
(t − 1)
.
.
−t − 1
3
(t − 1)
, f ′ (t ) = 0 ⇔ t = −1 .
Trang 2
−1
t
f ′ (t )
+ 0
3
2
1
−
−
+∞
f (t )
6
Bảng biến thiên.
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ lim f (t ) = 6 .
t→
Câu 5.
3
2
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình log2 3 x − m log
3
x + 9 = 0 có nghiệm
duy nhất sao cho nghiệm đó nhỏ hơn 1 .
A. m = −4 .
B. m = ±6 .
C. m = − 6 .
D. Không tồn tại m .
Lời giải
C.
Chọn
Cách 1.
Đặt t = log
3
x , t < 0 vì x < 1 .
Khi đó ta có phương trình log2 3 x − m log
3
x + 9 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1 khi
và chỉ khi phương trình t 2 − mt + 9 = 0 có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 0 .
∆ = 0
m 2 − 36 = 0
m = ±6
⇔ m = −6 .
⇔ m
Vậy ta có b
⇔
−
< 0
m < 0
<0
2a
2
Cách 2.
Đặt t = log
3
x , t < 0 vì x < 1 .
Ta được phương trình t 2 − mt + 9 = 0 ⇔ m ≤
Đặt f (t ) =
t2 + 9
, (t ≠ 0) .
t
t2 + 9
, t < 0.
t
Ta có f ′ (t ) =
t2 − 9
, f ′ (t ) = 0 ⇔
t2
t = 3 .
t = −3
Bảng biến thiên.
t
−∞
0
−3
f ′ (t )
+
0
−
3
−
0
−6
f (t )
−∞
−∞
Dựa vào bảng biến thiên ta có m ≤ max f (t ) = f (−3) = −6 .
(−∞;0)
Câu 6.
Tìm tất cả giá trị của m để phương trình log23 x − (m + 2). log 3 x + 3m − 1 = 0 có hai
nghiệm
x1 x 2
,
sao cho
x1.x 2 = 27
.
Trang 3
A. m = 1 .
B. m =
4
.
3
C. m = 25 .
28
.
3
D. m =
Lời giải
Chọn
A.
log x − (m + 2). log 3 x + 3m − 1 = 0 (1).
2
3
Điều kiện xác định: x > 0 .
Đặt t = log3 x . Ta có phương trình: t 2 − (m + 2)t + 3m − 1 = 0 (2).
Để phương trình (1) có 2 nghiệm x 1, x 2 sao cho x 1.x 2 = 27 .
Thì phương trình (2) có 2 nghiệm t1; t2 thỏa mãn t1 + t2 = 3 .
∆ > 0
m 2 − 8m + 8 > 0
⇒ m = 1.
⇔
⇔
m = 1
m + 2 = 3
Câu 7.
Giá trị của m để phương trình 4x − m.2x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm
x1 + x 2 = 3
x1 x 2
,
thỏa mãn
là
B. m = 4 .
A. m = 3 .
C. m =
9
.
2
D. m =
3
.
2
Lời giải
Chọn
B.
Đặt t = 2x , t > 0 , phương trình trở thành t 2 − 2mt + 2m = 0
Pt có 2 nghiệm x 1, x 2 khi ∆′ > 0 ⇔ m 2 − 2m > 0 ⇔ m ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞)
x +x 2
P = S = 2m , P = 2m = t1t2 = 2 1
Câu 8.
= 23 = 8 ⇔ m = 4 .
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
(
)
x
(
m
để phương trình
)
x
log2 5 − 1 .log 4 2.5 − 2 = m có nghiệm x ≥ 1.
1
A. ; + ∞ .
2
1
B. − ; + ∞ .
4
)
C. 1; + ∞ .
)
D. 3; + ∞ .
Lời giải
Chọn
D.
Ta có:
(
)
(
)
log2 5x − 1 .log 4 2.5x − 2 = m
(1)
1
⇔ log2 5x − 1 . log2 5x − 1 2 = m
2
1
⇔ log2 5x − 1 log2 5x − 1 + 1 = m
2
(
)
(
(
(
)
)
)
1
1
1
t (t + 1) = m ⇔ t 2 + t = m
2
2
2
PT (1)có nghiệm x ≥ 1 khi và chỉ khi PT(2) có nghiệm t ≥ 2
(
)
Đặt t = log2 5x − 1 , PTTT:
Xét hàm số f (t ) =
(2)
1 2 1
1
t + t f ' (t ) = t +
2
2
2
Trang 4
x
y
1
2
∞
'
-
0
2
+∞
+
y
3
1
8
Dựa vào BBT, PT(2) có nghiệm t ≥ 2 khi và chỉ khi m ≥ 3 .
Câu 9.
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
2
(m − 1) log (x − 2)
2
1
2
+ 4 (m − 5) log 1
2
m
để phương trình
1
+ 4m − 4 = 0 có nghiệm thực trong đoạn
x −2
5
; 4 :
4
A. m < −3 .
7
.
3
C. m >
B. −3 ≤ m ≤
7
.
3
D. −3 < m <
7
.
3
Lời giải.
Chọn
B.
Điều kiện: x > 2 .
1
2
(m − 1) log (x − 2) + 4 (m − 5) log x − 2 + 4m − 4 = 0
⇔ 4 (m − 1) log (x − 2) + 4 (m − 5) log (x − 2) + 4m − 4 = 0 (*)
Đặt log (x − 2) = t .
2
1
2
1
2
2
2
2
2
5
x ∈ ; 4 ⇒ 0 ≤ x − 2 ≤ 2 (Kết hợp với điều kiện). Vậy t ≤ 1 .
4
Phương trình (*) có dạng: ⇔ 4 (m − 1)t 2 + 4 (m − 5)t + 4m − 4 = 0 (* *)
Ta cần tìm m sao cho PT (**) có nghiệm thỏa mãn t ≤ 1 .
⇔ (m − 1)t 2 + (m − 5)t + m − 1 = 0
⇔m=
t 2 + 5t + 1
.
t2 + t + 1
Đặt f (t ) =
t 2 + 5t + 1
−4t 2 + 4
′
;
.
f
t
=
() 2
2
t2 + t + 1
t +t +1
(
)
Lập bảng biến thiên ta có
Vậy −3 ≤ m ≤
7
thì phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
Trang 5
Câu 10. Tìm
tất
(
4 log 2 x
cả
2
)
các
giá
trị
thực
của
tham
số
m
để
bất
phương
trình
+ log 2 x + m ≥ 0 nghiệm đúng mọi giá trị x ∈ (1; 64 ).
A. m < 0.
B. m ≤ 0.
C. m ≥ 0.
D. m > 0.
Lời giải.
Chọn
D.
Điều kiện: x > 0 .
(
4 log 2 x
2
)
+ log 2 x + m ≥ 0 ⇔ log22 x + log2 x + m ≥ 0 (*) .
Đặt log2 x = t ⇒ 1 < x < 64 ⇔ 0 < log2 x < 6 ⇔ 0 < t < 6 .
Phương (*) có dạng: t 2 + t + m ≥ 0 .
Vậy ta tìm m để t 2 + t + m ≥ 0 có nghiệm với 0 < t < 6 .
Xét hàm f (t ) = t 2 + t .
f ′ (t ) = 2t + 1 .
Lập bảng biến thiên ta có
Vậy PT t 2 + t + m ≥ 0 có nghiệm với 0 < t < 6 ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0 .
Câu 11. Tìm giá trị của tham số m để phương trình log22 x + log22 x + 1 − 2m − 5 = 0 có nghiệm
trên đoạn 1;2 3 .
A. m ∈ (−∞; −2 ∪ 0; +∞ ) .
C. m ∈ (−∞; 0) .
B. −2; +∞ ) .
D. m ∈ −2; 0 .
Lời giải
Chọn
D.
log22 x + log22 x + 1 − 2m − 5 = 0 ⇔ log22 x + log 22 x + 1 = 2m + 5 .
Xét f (x ) = log 22 x + log22 x + 1 , x ∈ 1;2 3 .
Trang 6
2 log2 x
2 log2 x
1
.
x
.ln
2
+
=
f ′ (x ) =
1 +
2
2
x .ln 2
x
.ln
2
2 log2 x + 1
2 log2 x + 1
2 log2 x
f ′ (x ) = 0 ⇔ x = 1 (Tm).
f ′ (x ) không xác định tại x = 0 (loại ).
BBT
Vậy phương trình có nghiệm khi: 1 ≤ 2m + 5 ≤ 5 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0 .
Câu 12. Tìm tập hợp các giá trị của m để phương trình 3x + 3 = m. 9x + 1 (1)có đúng 1 nghiệm.
(
A. (1, 3
B. 3; 10
)
C.
{ 10 }
D. (1; 3) ∪
{ 10 }
Lời giải
x
Phương trình (1) tương đương:
3 +3
x
= m đặt t = 3x ( t > 0 )
9 +1
t +3
Phương trình (1) trở thành:
t2 + 1
=m
Lập bảng biến thiên của hàm số y =
Ta có: y ' =
1 − 3t
2
2
=0↔t =
(t + 1) t + 1
t +3
t2 + 1
với( t > 0 )
1
3
Dựa vào đồ thì ta có: m ∈ (1, 3
0
3
1
1
Đáp án A
Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 2 log2 x + log2 x + 3 = m có ba
nghiệm thực phân biệt.
Trang 7
A. m ∈ (0;2) .
B. m ∈ {0;2} .
C. m ∈ (−∞;2) .
D. m ∈ {2} .
Giải:
Đáp án
C.
x ≠ −3
Điều kiện:
x ≠ 0
2 log2 x + log2 x + 3 = m ⇔ log2 x 2 x + 3 = m ⇔ x 2 x + 3 = 2m
Xét hàm số: y = x 2 x + 3 với x ∈ ℝ \ {−3; 0}
3x 2 + 6x x > −3
⇒ y ' =
2
−3x − 6x x < −3
–∞
x
y'
Bảng biến
-3
–
Thiên
0
0
+
3
0
+∞
–
0
+∞
+
4
+∞
y
0
0
m
2 = 0 ⇔ m > 2
Từ bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm khi: m
2 > 4
x
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m + e 2 = 4 e 2x + 1 có nghiệm
thựC.
A. 0 < m ≤
2
.
e
B.
1
≤ m < 1.
e
C. 0 < m < 1 .
D. −1 < m < 0 .
Giải
Chọn C
Biến đổi phương trình về dạng m =
4
2
(e )
x
+ 1 − e x . Đặt t = e x ;(t > 0) ta xét hàm số
y = 4 t 2 + 1 − t trên (0; +∞) .
t
y' =
(
2
3
)
2. t + 1
4
−
1
2 t
(
=
(
2
3
)
2. t . t + 1
4
3
)
t3 − 4 t2 + 1
4
=
3
(t )
2
(
(
2
3
< 0 (∀t > 0)
)
2. t . t + 1
4
3
)
− 4 t2 + 1
Bảng biến thiên
Vậy điều kiện cần tìm là 0 < m < 1
Trang 8
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 log24 x − 2 log2 x + 3 − m = 0
1
có nghiệm thuộc đoạn ; 4 .
2
A. m ∈ 2; 3 .
11
C. m ∈ ;15 .
4
B. m ∈ 2; 6 .
11
D. m ∈ ;9 .
4
Giải
Chọn B
2
Biến đổi phương trình về dạng (log2 x ) − 2 log2 x + 3 = m
1
≤ x ≤ 4 thì −1 ≤ log2 x ≤ 2 . Ta tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x 2 − 2x + 3
2
trên −1;2
y = 2x − 2; y ' = 0 ⇔ x = 1
Với
y(1) = 2; y(−1) = 6; y(2) = 3
Vậy GTLN của hàm số y = x 2 − 2x + 3 trên −1;2 bằng 6
2
GTNN của hàm số y = x − 2x + 3 trên −1;2 bằng 2
Suy ra 2 ≤ m ≤ 6
ln2 x − m ln x + m + 4 ≤ 0
Câu 16. Hệ bất phương trình x − 3
có nghiệm khi
>0
2
x
A. m < −3 hoặc m ≥ 6 .
C. m < −3 .
B. m ≤ −3 .
D. m ≥ 6 .
Lời giải
Chọn
D.
Ta có
x −3
>0⇔x >3
x2
ln2 x − m ln x + m + 3 ≤ 0 ⇔ m (ln x − 1) ≤ ln2 x + 3
ln2 x + 3
ln x − 1
Đặt t = ln x ; t ≥ ln 3
m≤
Ta xét hàm số f (t ) =
t2 + 3
t −1
t2 + 3
4
= t +1+
t −1
t −1
t = 3
4
4
′
;
f
t
0
1
0
⇒ f ′ (t ) = 1 −
=
⇔
−
=
⇔
()
t = −1
2
2
(t − 1)
(t − 1)
f (t ) =
Trang 9
Vậy hệ có nghiệm khi m ≥ 6 .
Câu 17. Cho phương trình 91+
1−x 2
− (m + 2).31+
1−x 2
+ 2m + 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị m để
phương trình có nghiệm.
64
7
Hướng dẫn giải
Chọn
A.
B. 4 ≤ m ≤ 8
A. 4 ≤ m ≤
1−x 2
Đặt t = 31+
C. 3 ≤ m ≤
64
7
D. m ≥
→ t ∈ 3;9
Phương trình có dạng t 2 − (m + 2)t + 2m + 1 = 0 ↔ m =
Xét hàm số f (t ) =
Ta có: f ′(t ) =
64
7
t 2 − 2t + 1
(do t ∈ 3; 9 ).
t −2
t 2 − 2t + 1
trên t ∈ 3; 9
t −2
t 2 − 4t + 3
2
(t − 2)
> 0, ∀t ∈ 3;9 , nên hàm số đồng biến trên 3; 9 . Vậy để phương
trình có nghiệm thì min f (t ) ≤ m ≤ max f (t ) ↔ f (3) ≤ m ≤ f (9) ↔ 4 ≤ m ≤
3;9
Câu 18. Số
giá
trị
(
2
nguyên
)
3;9
của
(
tham
số
m
sao
cho
bất
64
.
7
phương
)
2
trình
log 5 + log x + 1 ≥ log mx + 4x + m nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực ℝ là
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn
C.
Điều kiện xác định:
m > 0
m > 0
mx 2 + 4x + m > 0 ∀x ∈ ℝ ⇔
⇔ m > 2 ⇔ m > 2.
16 − 4m 2 < 0
m < −2
(
)
(
)
(
)
(
log 5 + log x 2 + 1 ≥ log mx 2 + 4x + m ⇔ log 5 x 2 + 1 ≥ log mx 2 + 4x + m
(
) (
)
)
⇔ 5 x 2 + 1 ≥ mx 2 + 4x + m ⇔ (5 − m ) x 2 − 4x + 5 − m ≥ 0, ∀x ∈ ℝ
Trang 10
m < 5
5 − m > 0
m < 5
m < 5
−2 ≤ 5 − m ⇔ m ≤ 7 ⇔ 3 ≤ m < 5.
⇔
⇔
⇔
16 − 4 5 − m 2 ≥ 0
4 ≥ 5 − m 2
(
)
(
)
5 − m ≤ 2
m ≥ 3
Có 2 giá trị nguyên thỏa mãn m ∈ {3; 4} .
Câu 19. Tìm
tất
cả
các
giá
trị
của
tham
số
m
để
phương
trình
f (x ) < 10 ⇔ x − 1 + (x 2 − 3)log2 5 < 1 + log2 5. có đúng một nghiệm.
A.
1
4
C. m =
1
.
4
B. m = 4 .
D. 0 < m <
1
hoặc m > 4 .
4
Lời giải
Chọn
D.
Điều kiện: m > 0.
Ta có: x 3 − 3x − log2 m = 0 ⇔ x 3 − 3x = log2 m
(*).
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 3x với đường
thẳng y = log2 m .
Ta có y ' = 3x 2 − 3; y '' = 6x .
x = 1(y = −2)
y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔
.
x = −1(y = 2)
Bảng biến thiên
log m > 2
m > 4
2
.
Từ bảng biến thiên, ta thấy (*) có đúng một nghiệm ⇔
⇔
0 < m < 1
log2 m < −2
4
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 9x − 2.3x + 3 − m > 0 được
nghiệm đúng ∀x ∈ ℝ .
A. m < 2 .
B. m < 3 .
C. 2 < m < 3 .
D. m > 2 .
Lời giải
Chọn
A.
Đặt 3 = t, (t > 0). Bất phương trình trở thành t 2 − 2t + 3 − m > 0 ⇔ m < t 2 − 2t + 3.
x
Trang 11
Xét hàm số f (t ) = t 2 − 2t + 3 trên khoảng (0; +∞).
Có f ′ (t ) = 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1 . Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m < 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
3
Câu 21. Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình log22 x − (m − 1) log2 x + 4 − m = 0
có hai nghiệm phân biệt thuộc 1; 4 là
B. 3 ≤ m ≤
A. 3 < m ≤ 4 .
10
.
3
C.
10
3
D. 3 < m ≤
10
.
3
Lời giải
Chọn
D.
Đặt t = log2 x . Vì x ∈ 1; 4 nên t ∈ 0;2 .
Phương trình trở thành t 2 − (m − 1)t + 4 − m = 0 ⇔ m =
Xét hàm số f (t ) =
Ta có f ′ (t ) =
t2 + t + 4
.
t +1
t2 + t + 4
trên đoạn 0;2 .
t +1
t 2 + 2t − 3
2
(t + 1)
t = 1
.
= 0 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔
t = −3
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn
1; 4 thì
3
10
.
3
Câu 22. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 5
x +2 −x
− 5m = 0 có nghiệm
thực.
Trang 12
(
)
A. 0;5 4 5 .
B. 5 4 5; +∞ .
D. 0;5 4 5 .
C. (0;+∞) .
Lời giải
Chọn
A.
Điều kiện m > 0 .
5
x +2 −x
− 5m = 0 ⇒ x + 2 − x = 1 + log5 m
(1) (x ≥ −2) .
Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x + 2 − x
(x ≥ −2) với đường
thẳng y = 1 + log5 m.
Xét hàm số y = x + 2 − x
Ta có y ′ =
(x ≥ −2) .
1
7
− 1; y ′ = 0 ⇒ x = − .
4
2 x +2
Bảng biến thiên
||
Để phương trình ban đầu có nghiệm thực thì 1 + log5 m ≤
9
⇒ 0 < m ≤ 5 4 5.
4
Câu 23. Tìm các giá trị của m để phương trình 4x − 2x +2 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt?
A. m > 0 .
B. 0 < m < 4 .
C. m < 4 .
D. m ≥ 0 .
Lời giải
Chọn
B.
Đặt t = 2x , phương trình đã cho trở thành t 2 − 4t + m = 0 (2) .
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai
4 − m > 0
nghiệm phân biệt dương, hay
⇔ 0
m > 0
Câu 24. Với giá trị nào của m thì phương trình 4x − m 2x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm x 1, x 2 thỏa
x1 + x 2 = 3 ?
A. m = 1 .
B. m = 4 .
C. m = 2 .
D. m = 3 .
Lời Giải
Chọn
B.
Đặt t = 2x > 0
Trang 13
Ta có t 2 − 2mt + 2m = 0 .
m < 0
.
PT có 2 nghiệm phân biệt khi: m 2 − 2m > 0 ⇔
m > 2
x
x
x 1 + x 2 = 3 ⇔ 2 1.2 2 = 8 ⇔ t1.t2 = 8 ⇔ 2m = 8 ⇔ m = 4.
Câu 25. Xác định tham số m để phương trình: 9x + 2m.3x + m + 2 = 0 có nghiệm là:
A. −2 < m ≤ 1 .
B. m ≤ −1 .
C. −2 < m ≤ −1 .
D. m ≥ 1 .
Lời giải:
Chọn
B.
x
Đặt t = 3 , t > 0 thì phương trình trở thành:
t2 + 2
t2 + 2
= −m, (t > 0) . Xét hàm số f (t ) =
trên (0;+∞) có:
2t + 1
2t + 1
2t 2 + 2t − 4
t = 1
′
f ′ (t ) =
f
t
,
0
=
⇔
(
)
2
t = −2
(2t + 1)
t 2 + 2m.t + m + 2 = 0 ⇔
0
1
0
2
1
Từ bảng biến thiên chọn đáp án B.
PP trắc nghiệm: Dùng giá trị m đặc biệt thay vào thử đáp án.
Câu 26. Tìm m để phương trình log23 x − log 3 x 2 + 3 − m = 0 có nghiệm x ∈ 1;27 .
A. 2 < m < 6 .
B. 3 ≤ m ≤ 6 .
C. 2 ≤ m ≤ 3 .
D. 2 ≤ m ≤ 6 .
Lời giải:
Chọn
D.
Điều kiện: x > 0 .
log23 x − log 3 x 2 + 3 − m = 0 ⇔ log23 x − 2 log 3 x + 3 = m . Đặt u = log3 x .
Khi 1 ≤ x ≤ 27 ⇒ 0 ≤ u ≤ 3
2
Xét f (u ) = u 2 − 2u + 3 = (u − 1) + 2 trên 1; 3 ta có max f (u ) = 6, min f (u ) = 2 suy ra
1;3
1;3
đáp án
D.
PP trắc nghiệm: Dùng máy tính thử bằng tính năng table.
Câu 27. Tìm m để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8 .
A. 2 ≤ m ≤ 6 .
B. 2 ≤ m ≤ 3 .
C. 3 ≤ m ≤ 6 .
D. 6 ≤ m ≤ 9 .
Lời giải
Chọn
A.
Điều kiện: x ∈ 1; 8 .
Trang 14
Ta có: log22 x − log2 x 2 + 3 = m ⇔ log22 x − 2 log2 x + 3 = m
Đặt log2 x = t , t ∈ 0; 3 . Phương trình trở thành: t 2 − 2t + 3 = m
2
Xét hàm số f (t ) = t − 2t + 3 , với t ∈ 0; 3 .
f ′ (t ) = 2t − 2 , f ′ (t ) = 0 ⇔ 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1 .
Bảng biến thiên:
Để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8 thì phương trình:
2
t − 2t + 3 = m có nghiệm t ∈ 0; 3 . Do đó đồ thị hàm số y = f (t ) phải cắt đường thẳng
y =m.
Từ bảng biến thiên ta thấy 2 ≤ m ≤ 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 28. Cho phương trình 7 2x − (m + 1) .7x + m = 0 . Tìm m để phương trình có duy nhất một
nghiệm.
A. m > 0
B. m < 0
C. −2 ≤ m ≤ 0
D. m ≤ 0
Lời giải
Chọn A
Đặt t = 7x > 0 thì t là hàm đồng biến trên (0;+∞) nên tương ứng với mỗi x có một giá trị
t tương ứng.
Phương trình trở thành:
t2 + t
2
+
t
t
=
∀t > 0
y
∀t > 0 ⇔
t 2 − (m + 1).t + m = 0 ⇔ m =
−
t
1
1−t
y = m
−t 2 + 2t + 1
t2 + t
t = 1 − 2 < 0(L)
Xét hàm số y =
=
⇔
∀t > 0 có y ' =
0
2
1−t
t = 1 + 2
(1 − t )
Từ bảng biến thiên ta có m > 0 → Đáp án A.
2
Câu 29. Số các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 3cos
x
2
+ 2sin
x
≥ m.3sin
có nghiệm là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải:
Trang 15
2
x
Chọn C
- Chia cả hai vế cho 3sin
2
x
> 0 ta được:
3t 2 − t + 1 ≥ m
2
1
1
≥ m ⇔ 3 2 − 2 + 1 ≥ m ⇔
3cos x −sin x
(*)
1
3sin x 3sin x
t = sin2 x
3
1
1
1
≤ 1 ⇒ t ∈ ; 1
DK : 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇔ ≤
.
2
3
3 3sin x
y = max
(*) ⇒ m ≤ max
3t 2 − t + 1 ⇒ m ≤ y (1) = 3
sin2 x
2
2
+
3
2
1 ; 1
3
1 ; 1
3
{
(
)
}
m ∈ ℤ+ ⇒ m = 1; 2; 3
- Chú ý : ở đây chúng ta sử dụng phương pháp hàm số ; phân biệt bpt có nghiệm và bpt
có nghiệm với mọi x.
Câu 30. Tìm m để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8
A. 2 ≤ m ≤ 6 .
B. 2 ≤ m ≤ 3 .
C. 3 ≤ m ≤ 6 .
D. 6 ≤ m ≤ 9 .
Lời giải
Chọn
D.
log22 x − log2 x 2 + 3 = m ⇔ log22 x − 2 log2 x + 3 = m
Đặt log2 x = t (0 ≤ t ≤ 3)
t 2 − 2t + 3 = m với (0 ≤ t ≤ 3)
Xét f (t ) = t 2 − 2t + 3
f ′ (t ) = 2t − 2 , f ′ (t ) = 0 ⇔ t = 1
Bảng biến thiên
Dựa và BBT suy ra 2 ≤ m ≤ 6 .
Câu 31. Với giá trị nào của tham số m, phương trình 4x +1 − 2x +2 + m = 0 (1) có hai nghiệm phân
biệt?
A. m ≤ 0.
B. m < 1.
C. 0 < m < 1.
D. m ≥ 1.
Lời giải
Chọn
C.
x
Đặt t = 2
(t > 0) . Ta được phương trình : 4t
2
− 4t + m = 0 (2)
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Trang 16
4 − 4m > 0
∆ ' > 0
−4
⇔ S > 0 ⇔ −
> 0 ⇔ 0 < m < 1.
4
P > 0
m
> 0
4
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log22 x + 2 log2 x − m = 0 có
nghiệm x > 2.
A. m < −1.
B. m ≥ 3.
C. m < 3.
D. m > 3.
Lời giải
Chọn
D.
2
log2 x + 2 log2 x − m = 0 (1).
Đặt t = log2 x , phương trình (1) trở thành: t 2 + 2t − m = 0 ⇔ t 2 + 2t = m (2).
Phương trình (1) có nghiệm x > 2 ⇔ phương trình (2) có nghiệm
(
)
t > 1 do t = log2 x > log2 2 = 1 .
Xét hàm số y = t 2 + 2t ⇒ y ' = 2t + 2, y ' = 0 ⇔ t = −1 ( loại).
Bảng biến thiên
x
+∞
1
y′
+
+∞
y
3
Từ Bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t > 1 ⇔ m > 3.
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 49x − 2m 7x + m + 2 = 0 có 2 nghiệm
phân biệt
A. m < −1 .
B. −1 < m < 2 .
C. m > 2 .
D. m ∈ ∅ .
Lời giải
Chọn
C.
Đặt 7 x = t (t > 0) phương trình trở thành: t 2 − 2mt + m + 2 = 0 .
Để phương trình đầu có 2 nghiệm thì t 2 − 2mt + m + 2 = 0 có hai nghiệm dương do đó
2
∆m′ > 0
m − m − 2 > 0
⇔ m > 2.
điều kiện cần và đủ là:
P > 0 ⇔ m + 2 > 0
S > 0
m > 0
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình log2 (−x 2 − 3x − m + 10) = 3 có 2
nghiệm thực phân biệt trái dấu.
Trang 17
A. m < 4 .
B. m > 2 .
C. m < 2 .
D. m > 4 .
Lời giải
Chọn
C.
−x 2 − 3x − m + 10 > 0
log2 (−x 2 − 3x − m + 10) = 3 ⇔ 2
−x − 3x − m + 2 = 0
Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu
⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2.
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log2 x − log x 2 + 2 − m = 0 có
3
nghiệm x ∈ 1;9 .
A. 0 ≤ m ≤ 1 .
B. 1 ≤ m ≤ 2 .
C. m ≤ 1 .
3
D. m ≥ 2 .
Lời giải
Chọn
B.
Đặt: t = log 3 x . Vì x ∈ 1;9 nên t ∈ 0;2
pt ⇔ t 2 − 2t + 2 − m = 0 ⇔ t 2 − 2t + 2 = m
Đặt h (t ) = t 2 − 2t + 2 với t ∈ 0;2
h ' (t ) = 2t − 2 , h ' (t ) = 0 ⇔ t = 1
h (1) = 1 , h (0) = h (2) = 2
⇒ max h (t ) = 2 , min h (t ) = 1
[0,2]
[0,2]
Pt có nghiệm ⇔ 1 ≤ m ≤ 2.
Câu 36. Tìm m để phương trình x 4 − 6x 2 − log2 m = 0 có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3 nghiệm
lớn hơn -1.
A.
1
< m < 1.
25
Chọn
B.
1
< m < 1.
29
1
≤ m < 1.
29
Lời giải
C.
D.
1
≤ m < 1.
25
A.
2
Đặt x = t ( t > 0)
Khi đó pt x 4 − 6x 2 − log2 m = 0 (1) trở thành t 2 − 6t − log2 m = 0 (2)
Để pt (1) có bốn nghiệm phân biệt trong đó có ba nghiệm lớn hơn -1 thì pt ( 2) phải có hai
nghiệm
dương phân biệt trong đó có một nghiệm nhỏ hơn 1 (t1 < 1 < t2 )
m > 1
9 + log m > 0
2
29
1
− log m > 0
⇔ m < 1 ⇔ 5 < m < 1
2
Tức là:
2
−5 − log m < 0
1
2
m >
25
.
Trang 18
Câu 37. Tìm m để phương trình 9x +
A. m ≥ 30 .
54
+ 3 = m có nghiệm.
3x
B. m ≥ 27 .
C. m ≥ 18 .
D. m < 9 .
Lời giải
Chọn
A.
Xét hàm số f (x ) = 9x +
54
+ 3. Khi đó, số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ
3x
54
+ 3 và đường thẳng y = m .
3x
54 ln 3
27
= 2 ln 3 9x − x .
Ta có f ′ (x ) = 9x ln 9 −
x
3
3
thị hàm số f (x ) = 9x +
Rõ ràng f ′ (x ) = 0 ⇔ x = 1.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra m ≥ 30. thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 38. Cho phương trình 91+
1−x 2
− (m + 2).31+
1−x 2
+ 2m + 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị m để
phương trình có nghiệm.
A. 4 ≤ m ≤
64
.
7
B. 4 ≤ m ≤ 8 .
C. 3 ≤ m ≤
64
.
7
D. m ≥
64
.
7
Lời giải
Chọn
A.
Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1.
Xét g (x ) = 31+
1−x 2
Khi đó: g ' (x ) = 31+
với −1 ≤ x ≤ 1.
1−x 2
.ln 3.
−2x
1− x2
. Suy ra g ' (x ) = 0 ⇔ x = 0.
Từ bảng biến thiên của g (x ).
Trang 19
Đặt t = 31+
1−x 2
Suy ra ∀x ∈ −1;1 ⇒ t ∈ 3; 9 .
Phương trình đã cho trở thành t 2 − (m + 2)t + 2m + 1 = 0
Ta có, (1) ⇔ m =
(1) , t ∈ 3; 9 .
t 2 − 2t + 1
, t ∈ 3;9 .
t −2
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = m và đồ thị hàm số
f (t ) =
t 2 − 2t + 1
, t ∈ 3;9 có điểm chung.
t −2
Xét hàm số f (t ) =
t 2 − 4t + 3
t 2 − 2t + 1
.
, t ∈ 3;9 : f ' (t ) =
2
t −2
(t − 2)
Từ bảng biến thiên của f (x ). Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 4 ≤ m ≤
64
.
7
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 32x −1 + 2m 2 − m − 3 = 0 có nghiệm.
A. m ∈ (0; l ) .
1
B. m ∈ − ; 0 .
2
3
C. m ∈ −1; .
2
D. m ∈ (0; +∞) .
Lời giải
Chọn
C.
Phương trình 32x −1 + 2m 2 − m − 3 = 0 ⇔ 32x −1 = −2m 2 + m + 3 có nghiệm khi
−2m 2 + m + 3 > 0
3
⇔ m ∈ −1; .
2
Câu 40. Giá trị của m để phương trình 9x + 3x + m = 0 có nghiệm là:
A. m > 0 .
B. m < 0 .
C. m > 1 .
D. 0 < m < 1 .
Lời giải
Chọn
B.
2
( )
Ta có: 9x + 3x + m = 0 ⇔ 3x
+ 3x + m = 0 ⇔ t 2 + t + m = 0 (1) với t = 3x (t > 0) .
Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm dương
Trang 20
∆ = 1 − 4m ≥ 0
m ≤ 1
⇔
⇔
4 ⇔ m < 0 .(vì tổng hai nghiệm
m < 0
−b + ∆ = −1 + 1 − 4m > 0
2a
2
t1 + t2 = −1 < 0 nên không xảy ra trường hợp có hai nghiệm dương)
Câu 41. Tìm m để phương trình log22 x − log2 x 2 + 3 = m có nghiệm x ∈ 1; 8 .
A. 3 ≤ m ≤ 6. .
B. 6 ≤ m ≤ 9. .
C. 2 ≤ m ≤ 6. .
D. 2 ≤ m ≤ 3. .
Lời giải
Chọn
C.
Điều kiện x > 0
log22 x − log2 x 2 + 3 = m ⇔ log22 x − 2 log2 x + 3 = m
Đặt t = log2 x
Phương trình trở thành t 2 − 2t + 3 = m
(1)
Phương trình đã cho có nghiệm x ∈ 1; 8 ⇔ phương trình (1) có nghiệm x ∈ 0; 3 .
Đặt g (t ) = t 2 − 2t + 3
g ′ (t ) = 2t − 2. g ′ (t ) = 0 ⇔ 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1
BBT
Từ BBT ta suy ra để phương trình đã có nghiệm x ∈ 1; 8 thì 2 ≤ m ≤ 6 .
Câu 42. Tìm m để phương trình
A. m ≥ 2.
(
x
) (
2 −1 +
x
)
2 + 1 − m = 0 có nghiệm.
B. m > 0.
C. m ≤ −2.
D. m < 0.
Lờigiải
Chọn
TA có
Đặt
(
A.
(
x
) (
2 −1 .
x
)
x
2 +1 =
) (
2 − 1 = t (t > 0) ⇒
(
)(
2 −1 .
x
2 + 1 = 1.
)
x
1
2 +1 = .
t
)
Trang 21
1
t
(1)
PT ⇔ t + − m = 0. ⇔ t 2 − mt + 1 = 0
Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m 2 − 4 ≥ 0 ⇔ m ∈ (−∞; −2 ∩ 2; +∞)
Mà ta có t > 0 ⇒ t +
⇒ m ∈ 2; m ) .
Câu 43. Tìm tất cả
các
1
>0
t
giá
x x + x + 12 ≤ m.log5−
A. m > 2 3 .
trị
thực
của
tham
số
m
để
bất
phương
trình
3 có nghiệm.
4−x
B. m ≥ 2 3 .
C. m ≥ 12 log3 5 .
D. 2 ≤ m ≤ 12 log3 5 .
Lờigiải
Chọn
C.
Ta có x x + x + 12 ≤ m.log5−
(
) log
⇔ x x + x + 12 .
(
(
1
5− 4−x
) (
g (x ) = (x x +
Đặt
)
3
4−x
3
≤m
)
⇔ x x + x + 12 log 3 5 − 4 − x ≤ m
)
(
)
x + 12 .log 3 5 − 4 − x .
Yêu cầu bài toán trở thành m ≥ Max g (x )
Điều kiện
x ≥ 0
x + 12 ≥ 0
x ≥ 0
5 − 4 − x > 0 ⇔ x > −21 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4.
x ≠ −12
5 − 4 − x ≠ 1
x ≤ 4
4 − x ≥ 0
1
3
1
2 4−x
.log 5 − 4 − x + x x + x + 12
g ' (x ) = x +
3
2
2 x + 12
5 − 4 − x .ln 3
(
) (
)
(
)
3
1
1
⇒ g ' (x ) = x +
.log 3 5 − 4 − x + x x + x + 12 .
2
2 x + 12
2 4 − x . 5 − 4 − x .ln 3
(
) (
)
(
⇒ g ' (x ) > 0 ∀x ∈ 0; 4
⇒ g (x ) đồng biến trên 0; 4 .
Trang 22
)
(
)
(
)
⇒ GTLN
g (x ) = g (4) = 4 4 + 4 + 12 . log 3 5 − 4 − 4 .
x ∈0;4
⇒ GTLN
g (x ) = 12 log 3 5.
x ∈0;4
⇒ m ≥ 12 log 3 5.
Trang 23