On tap chuong II duong thang va mat phang trong khong gian quan he song song

2.Một số ví dụ Giải

A

*(DMN)
(ABD)
có điểm
D chung
Ví dụ 1: và
Cho
bốn điểm
không
đồng phẳng A,B,C,D. Trên hai đoạn AB
AM
AN . Hãy xác định
và
AC
lấy
hai
điểm
M
và
N
sao
cho
=
1
va
=2
Và M∈AB⇒ (DMN)∩(ABD)=DM
BM

NC
giao tuyến của mp (DMN) với các
*(DMN) và (ACD) có điểm D chung
mp (ABD) , (ACD) , (ABC), (BCD)
M
Và N∈AC⇒ (DMN)∩(ABD)=DN
*(DMN) và (ABC) có N∈AC , M∈AB

⇒ (DMN)∩(ABD)=MN

*(DMN) và (BDC) có điểm D chung
Và NM ∩ BC={E}

⇒ (DMN)∩(BDC)=DE

D

N
B

C
E


Ví dụ 3:Cho bốnGiải
điểm khơng đồng phẳng A,B,C,D . Trên
A ba cạnh AB,
AC,AD lần lược lấy các điểm M,N và K sao cho đường thẳng
KMN cắt
Ta

có thẳng
J∈MK⊂(MNK)
đường
BC tại H , đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I ,
đường
thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J . Chứng minh ba điểm H,I,J
J∈BD⊂(BDC)
thẳng hàng .
⇒J=(MNK)∩(BCD)
M
 Tương Tự có I∈NK⊂(MNK)
D
I∈CD⊂(BDC)

⇒I=(MNK)∩(BCD)

B

N

 Tương Tự có H∈MN⊂(MNK)
H∈BC⊂(BDC)

J
C

⇒H=(MNK)∩(BCD)
 Vậy H,I,J nằm trên giao tuyến
của 2mp (MNK) và (BCD)

I

H


Ví dụ 4: Cho ∆BCD và điểm A khơng thuộc mp (BCD) . Gọi K là
trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của ∆ABC . Tìm giao điểm
của đường thẳng GK và mp(BCD)
A
K

Giải
Gọi {J}=AG∩BC AG
Xét (AJD) tá có :

2 AK 1
= ;
= ;
AJ 3 AD 2

B

D

G

⇒GK∩JD={L}
Ta có L ∈ JD



 ⇒ L ∈ ( BCD )
ID ⊂ ( BCD ) 
{L} = GK ∩ ( BCD)

J
C
L


Ví dụ 5: Cho hình chóp
Giải S.ABCD đáy là hbh ABCD . Gọi M,N,P lần
lượt là trung điểm của AB,AD,SC. Tìm giao điểm của mp(MNP) với
S
MN
cắt
đường
thẳng
BC
,CD
tại
K,L
các mặt của hình chóp và giao tuyến của mp (MNP) với các mặt của
hình
chóp ; F=SD ∩PL
E=PK∩SB
P

Ta có : E== SB∩(MNP); P=SC ∩(MNP)

F

F=SD ∩(MNP)
Đo đó :

E

C

D
L

MN=(MNP) ∩(ABCD)

N

EM=(MNP) ∩(SAB)

B

PE=(MNP) ∩(SBC)
PF=(MNP) ∩(SCD)
FN= (MNP) ∩(SAD)
*Chú ý: (sgk)

K

M

A

4.Hình chóp và hình tứ diện
a.Hình chóp
Định nghĩa §

S

1

Trong mp (P) cho đa giác A1A2…An và một
điểm S Ï ( P) .Nối SA1,SA2,…,SAn để
được n tam giác SA1A2,SA2A3,…,SAnA1 .Hình
gồm n tam giác đó và đa giác A1A2…An gọi
là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2…An.

A2
A3

P

S

Đỉnh

A1

Hình chóp tam giác S.A1A2A3.

Cạnh
bên

S

Mặt bên

A5

Cạnh đáy

A1

A4

A1

A4

Mặt đáy

A2

A3

A3

P
H/C ngũ giác S.A1A2A3A4A5.
VÍ DỤb,c

A2

Hình chóp tứ giác S.A1A2A3A4.
GSP


Cho hình chóp tứ giác S.ABCD .Một mp(P) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại
A’,B’,C’,D’ .Tứ giác A’B’C’D’ được gọi là thiết diện hay mặt cắt của hình chóp S.ABCD
khi cắt bởi mp(P).
S

D’
A’

I
C’

B’

P
D

A

?. Thiết diện của hình chóp
tứ giác có thể là tam giác,
tứ giác ,ngũ giác ,lục giác
hay không ?

O
B
C

GSP-thietdien


Ví dụ

Muốn tìm giao tuyến của 2 mp phân biệt thì ta phải tìm 2 điểm chung phân biệt

Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD
khơng song song.M là điểm thuộc miền
trong tam giác SCD .

S

a. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).
b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).
c. Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).
d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt
bởi mp(ABM).

A

Giải

D

a.
Ta có S là 1 điểm chung của hai mp.
Gọi H=AB Ç CD

B

C

Vậy SH=(SAB) Ç (SCD)
H
VD b,c

CỦNG CỐ


Ví dụ

Ì ta
Muốn
tìm giao
của
2 mp
phân
biệt athì
a Ç2d điểm
= A chung
Muốn
tìm giao
điểmtuyến
của đt
d với
mp
(P).Tìm
(P)phải
mà tìm
.Khi đóphân

A=d Çbiệt
(P).

Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD
khơng song song.M là điểm thuộc miền
trong tam giác SCD .

S

a. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).
b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).
c. Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).
d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt
bởi mp(ABM).

Giải

M

b.Ta có S là 1 điểm chung của hai mp.

A

Gọi N=SM Ç CD
Trong mp(ABCD) nối BN cắt AC tại O.
O Ỵ BN Ì (SBM)ị O ẻ (SBM) ầ (SAC)

D

I

Vy (SBM) ầ (SAC)=SO
c. Trong mp(SBM) ta có

B

N

O

SO Ç BM=I ,SO Ì (SAC)
Vậy I=BM Ç (SAC).
VD a

VD .d

C


Ví dụ

Muốn tìm thiết diện của hình chóp với 1 mp (P) ,ta tìm các đoạn
giao tuyến (nếu có) của mp (P) với các mặt của hình chóp .

Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB và CD
khơng song song.M là điểm thuộc miền
trong tam giác SCD .

S

a. Tìm giao tuyến của hai mp (SAB) và (SCD).

Q

b.Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC).
c. Tìm giao điểm I của đt BM và mp(SAC).
d.Xác định thiết diện của h/c S.ABCD khi cắt
bởi mp(ABM).

Giải

M

A

D

I

d. Trong mp(SAC) đt AI cắt SC tại P.

P

Suy ra PM=(ABM) Ç (SCD)

đt PM cắt SD tại Q
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác
ABPQ.

B

N

O
C

VD b,c

CỦNG CỐ


Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi
M,N,P là trung điểm của các cạnh
AB,AD,SC.Xác định thiết diện của
hình chóp và mặt phẳng (MNP).

S

P

Giải:
F

+ Ta có giao tuyến MN

E
D

C

+ Trong mp(ABCD), gọi I, J
B
lần lượt là giao điểm của
M
MN với BC và CD.
I
+ Trong mp(SBC), gọi E là giao điểm của IP và
SB.
Ta có các giao tuyến ME vaì EP
+ Trong mp(SCD), gọi F là giao điểm JP và SD.
Ta có các giao tuyến PF và FN

N
A

+ Vậy thiết diện mp(MNP) và hình chóp là tứ giác MNFPE

J


Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD.Điểm C’ nằm trên cạnh
SC.Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABC’).
S

D'

C'

I'

A

D
I

B

C


Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
1) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
2) M là một điểm trên cạnh SA. Xác định thiết diện của hình chóp khi
cắt bởi mp(MBC)

d

.S

Lời giải:
1) Giao tuyến của (SAB) và (SCD)

.M

Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có S là
điểm chung. Cần xác định giao tuyến
của mặt
vớivà
các
Lại có: AB ⊂ (SAB),

CD(MBC)
⊂ (SCD)
mặt
(SAD)
và (SCD)
AB // CD nên giao
tuyến
d của
(SAB)
và (SCD) là đường thẳng qua S và
song song với AB.
2) Xác định thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mp(MBC)

N
A

D

B

C

Mp(MBC) và (SAD) có điểm M chung. AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (MBC) và AD // BC
nên giao tuyến của (SAD) và (MBC) là đường thẳng MN, MN // AD ( N ∈ SD).
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(MBC) là hình thang MNCB.


VÝ dơ 2 Cho tø diƯn ABCD. Gäi M, N, P, Q, R, S
lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng : AB,

CD, BC, DA, AC, BD. Chứng minh ba đoạn thẳng
MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi
đoạn. Điểm G khi đó gọi là trọng tâm của tứ
Giải diện ABCD.
Xét cặp đoạn thẳng MN và
1
ta có:
PQ
+
MP
=
AC

2

MP / / AC

vì MP là đờng trung
bình
BAC

+

1
PN
=
AC

2

PN / / AC

bình

vì MP là đờng trung
DAC

+ MN và PQ cùng nằm trên một
mp.
Suy ra tứ giác MNQP là hình bình hành. Từ đó suy
ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung


VÝ dơ 1 Cho tø diƯn ABCD. Gäi M, N, P, Q, R, S lần l
ợt là trung điểm của các đoạn thẳng : AB, CD, BC,
DA, AC, BD. Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và
RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm
G khi đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD.
Giải
Chứng minh tơng tự ta có
Tứ giác MNRS là hình bình hành,
khi đó hai đoạn thẳng MN và RS
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đ
ờng
tại đoạn
trung thẳng
điểm MN,
G của
MN

Vậy (các
PQ,
RS)
đồng quy tại trung điểm G của mỗi
đoạn
Điều phải chứng minh


Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một
hình bình hành.
a. Tìm giao điểm của hai mp(SAB) và (SCD)
b. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi
Giải b. cắt
Ta cóbởi mp(MBC) trong đó M là một điểm nằm
giữa hai điểm S và A.

( MBC ) ( SBC ) = BC

( MBC ) ∩ ( SAB ) = BM

t 3 mp(MBC), (SAD) và (ABCD) đôi một
nhau nên áp dụng định lý ta có giao tuyến của

( MBC ) ∩ ( SAD ) = d

®th ®i qua M và song song với AD
qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt SD tại N.

( MBC ) ( SDC ) = CN
( MBC ) ∩ ( ABCD ) = BC

Vậy thiết diện cần tìm là tứ
giác
MNCB.


Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành
tâm O.
a/ Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b/ Tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). c/ Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA và SB, K là một điểm
nằm giữa B và C. Tìm thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNK).
S
M
H
A

N
D

C
O

B

K

Hai đờng thẳng song song
c/ Tỡm thit din ca hỡnh chóp S.ABCD khi cắt bởi
S
mặt phẳng (MNK).
Ta có : MN // AB

M

MN ⊂ (MNK)
AB ⊂ (ABCD)

H
A

N

D

C
O

B

K

K ∈ (MNK) ∩ (ABCD)
⇒ (MNK) ∩ (ABCD) = KH(với H ∈ AD và KH // MN // AB)
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNKH.

Hai đờng thẳng song song
a/ Tỡm giao tuyn ca hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Ta có : S∈ (SAC) ∩ (SBD) (1)
Lại có : O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã: SO = (SAC) ∩ (SBD)
b/ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
S
Ta có : AD // BC
AD ⊂ (SAD)
x M
N
D
C
BC ⊂ (SBC)
H
O
A
K
S ∈ (SAD) ∩ (SBC)
B
Suy ra (SAD) cắt (SBC) theo giao tuyến Sx // AD //

Ví dụ 1:
Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của
các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng
(G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD).