VI PHÂN, ĐẠO HÀM CẤP CAO ĐẠI SỐ 11 CÓ ĐÁP ÁN

Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
 Tích f '( x0 ).x được gọi là vi phân của hàm số y  f ( x) tại điểm x0 (ứng với số gia x ) được kí hiệu

là df ( x0 )  f '( x0 )x .
 Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '( x)x được gọi là vi phân hàm số y  f ( x) , kí hiệu là:

df ( x)  f '( x)x .
Đặc biệt: dx  x ' x  x nên ta viết df ( x)  f '( x)dx .

B – BÀI TẬP
Câu 1. Cho hàm số y  f  x    x  1 . Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f  x  ?
2

A. dy  2  x  1 dx .
C. dy  2  x  1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy  f   x  dx  2  x  1 dx .

B. dy   x  1 dx .
2

D. dy  2  x  1 dx .

Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số y  x3  2 x2
A. dy  (3x2  4 x)dx

C. dy  (3x2  2 x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy  (3x2  4 x)dx

B. dy  (3x2  x)dx
D. dy  (3x2  4 x)dx

Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số y  3x  2
3
1
A. dy 
B. dy 
dx
dx
3x  2
2 3x  2
1
3
C. dy 
D. dy 
dx
dx
3x  2
2 3x  2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3
dy 
dx

2 3x  2
Câu 4. Cho hàm số y  x3  9x2  12 x  5 . Vi phân của hàm số là:
A. dy   3x 2  18 x  12  dx .

C. dy    3x 2  18 x  12  dx .

B. dy   3x 2  18 x  12  dx .

D. dy   3x 2  18 x  12  dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 1


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có dy   x3  9 x 2  12 x  5  dx   3 x 2  18 x  12  dx .
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số y  (3x  1)10
A. dy  10(3x  1)9 dx

B. dy  30(3x  1)10 dx

C. dy  9(3x  1)10 dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy  30(3x  1)9 dx .

D. dy  30(3x  1)9 dx

Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số y  sin 2 x  sin3 x
A. dy   cos 2 x  3sin 2 x cos x  dx

C. dy   2 cos 2 x  sin 2 x cos x  dx

B. dy   2 cos 2 x  3sin 2 x cos x  dx
D. dy   cos 2 x  sin 2 x cos x  dx

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
dy   2 cos 2 x  3sin 2 x cos x  dx
Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số y  tan 2 x
B. dy  (1  tan 2 2 x)dx

A. dy  (1  tan 2 2x)dx

D. dy  2(1  tan 2 2 x)dx

C. dy  2(1  tan 2 2 x)dx
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
dy  2(1  tan 2 2x)dx
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số y  3 x  1
1
A. dy 
dx
3
( x  1)2

2
C. dy 
dx
3
( x  1)2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
dy 
dx
3
3 ( x  1)2

3

B. dy 
3

D. dy 

( x  1)2
1

dx

3 3 ( x  1)2

dx

Câu 9. Xét hàm số y  f  x   1  cos2 2 x . Chọn câu đúng:

A. df ( x) 

 sin 4 x

dx .

2 1  cos 2 x
cos 2 x
C. df ( x) 
dx .
1  cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2

B. df ( x) 
D. df ( x) 

 sin 4 x
1  cos 2 2 x
 sin 2 x

dx .

2 1  cos 2 2 x

dx .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 2

Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có : dy  f   x  dx

1  cos


2

2 x 

dx 

4 cos 2 x.sin 2 x

dx 

2 1  cos 2 2 x
2 1  cos 2 2 x
Câu 10. Cho hàm số y  x3  5x  6 . Vi phân của hàm số là:

 sin 4 x
1  cos 2 2 x

dx .

B. dy    3x 2  5  dx .

A. dy   3x 2  5 dx .

D. dy   3x 2  5 dx .

C. dy   3x 2  5  dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có dy   x 3  5 x  6  dx   3x 2  5  dx .
Câu 11. Cho hàm số y 

1
A. dy  dx .
4
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1
. Vi phân của hàm số là:
3x3
1
1
B. dy  4 dx .
C. dy   4 dx .
x
x

D. dy  x4dx .

1 3x 2

1
 1 
  4 dx .
Ta có dy   3  dx  .
2
3
3 x 
x
 3x 

Câu 12. Cho hàm số y 
A. dy 
C. dy 

dx

 x  1

3dx

2

.

B. dy 

2

.

D. dy  

3dx

 x  1

x2
. Vi phân của hàm số là:
x 1

 x  1

2

.

dx

 x  1

2

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
 x  2 
Ta có dy  
dx .

 dx  
2
 x 1 
 x  1

Câu 13. Cho hàm số y 
A. dy  

x2  2 x  2
dx .
( x  1)2

2x 1
dx .
( x  1)2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

C. dy  

x2  x  1
. Vi phân của hàm số là:
x 1

B. dy 

2x 1
dx .
( x  1) 2

D. dy 

x2  2 x  2
dx .
( x  1)2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 3


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 2 x  1 x  1   x 2  x  1
 x 2  x  1 
x2  2x  2

dx .
Ta có dy  
d
x

d
x

2
2
 x  1
 x  1

 x 1 
Câu 14. Cho hàm số y  sin x  3cos x . Vi phân của hàm số là:
A. dy    cos x  3sin x  dx .
B. dy    cos x  3sin x  dx .
C. dy   cos x  3sin x  dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có dy   sin x  3cos x  dx   cos x  3sin x  dx .

D. dy    cos x  3sin x  dx .

Câu 15. Cho hàm số y  sin 2 x . Vi phân của hàm số là:
A. dy  – sin 2 x dx .
B. dy  sin 2x dx .
C. dy  sin x dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy  d sin 2 x  sin 2 x  dx  cos x.2sin xdx  sin 2 xdx .



 



Câu 16. Vi phân của hàm số y 
A. dy 

D. dy  2cosx dx .

tan x
là:
x

2 x
dx .
4 x x cos 2 x

B. dy 

sin(2 x )
dx .
4 x x cos 2 x

2 x  sin(2 x )
2 x  sin(2 x )
dx .
dx .
D. dy  
2
4 x x cos x
4 x x cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
1
.
. x  tan x .


2
 tan x 
2 x cos x
2 x dx
Ta có dy  
 dx =
x
x 


C. dy 

1
1
sin x 1  1
x  sin x cos x
=  .

.
.dx
 dx =
2
2 x x .cos 2 x
 2 cos x cos x 2 x  x

2 x  sin 2 x
.dx
4 x x .cos 2 x
Câu 17. Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân là:
A. dy   x cos x – sin x  dx .

=

B. dy   x cos x  dx .

C. dy   cos x – sin x  dx ..
D. dy   x sin x  dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có dy   x sin x  cos x  dx   sin x  x cos x  sin x  dx   x cos x  dx .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 4


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 18. Hàm số y 

x
. Có vi phân là:
x 1
2

1  x2
2x
B. dy  2
dx
dx
2

2
( x  1)
( x  1)
1  x2
1
C. dy  2
D. dy  2
dx
dx
( x  1)2
( x  1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x2  1  2x2
1  x2
 x 

dx .
Ta có dy   2  dx 
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
 x 1
2
Câu 19. Cho hàm số y  f  x    x  1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số đã cho?
A. dy 

A. dy  2  x  1 dx .

B. dy  2  x  1 .

C. dy   x  1 dx .
D. dy   x  1 dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn A
2
y  f  x    x  1  y  2  x  1  dy  2  x  1 dx
2

2
Câu 20. Vi phân của hàm số f  x   3 x  x tại điểm x  2 , ứng với x  0,1 là:

A. 0, 07 .
B. 10 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có: f   x   6 x  1  f   2   11

D. 0, 4 .

C. 1,1 .

df  2   f   2  x  11.0,1  1,1

Câu 21. Vi phân của y  cot  2017 x  là:
A. dy  2017 sin  2017 x  dx.
C. dy  

2017
dx.
cos  2017 x 

2

B. dy 

2017
dx.
sin  2017 x 
2

D. dy  

2017
dx.
sin  2017 x 
2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

y  cot  2017 x   y  

2017
2017
 dy   2
dx
sin  2017 x 
sin  2017 x 

Câu 22. Cho hàm số y =

x2  x  1
. Vi phân của hàm số là:
x 1

A. dy  

2

x2  2 x  2
dx
( x  1)2

B. dy 

2x 1
dx
( x  1)2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 5


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

2x 1
dx
( x  1)2
Hướng dẫn giải:

Chọn D.
 x 2  x  1 
x2  2x  2
dy  
d
x

dx

( x  1) 2
 x 1 
C. dy  

Câu 23. Cho hàm số y 

D. dy 

x2  2 x  2
dx
( x  1)2

x3
. Vi phân của hàm số tại x  3 là:
1 2x
1
B. dy  7dx.
C. dy   dx.
7

1

A. dy  dx.
7
Hướng dẫn giải:
Chọn A
7
1
 y  3 
Ta có y 
2
7
1  2 x 

1
Do đó dy  dx
7
Câu 24. Vi phân của y  tan 5x là :
5x
5
dx.
A. dy 
B. dy   2 dx.
2
cos 5 x
sin 5 x
5
5
dx.
dx.
C. dy 
D. dy  

2
cos 5 x
cos 2 5 x
Hướng dẫn giải:
Chọn C
5
y  tan 5 x  y 
cos 2 5 x
5
dx
Do đó dy 
cos 2 5 x
( x  1) 2
y

f
(
x
)

Câu 25. Hàm số
. Biểu thức 0,01. f '(0,01) là số nào?
x
A. 9.
B. -9.
C. 90.

D. dy  7dx.

D. -90.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( x  1) 2
1
1
y  f ( x) 
 y 
 2  y  0, 01  9000
x
x x x
Do đó 0,01. f '(0,01)  90
Câu 26. Cho hàm số y  sin(sin x) .Vi phân của hàm số là:
A. dy  cos(sin x).sin xdx .
B. dy  sin(cos x)dx .
C. dy  cos(sin x).cos xdx .
D. dy  cos(sin x)dx .
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 6


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: y '  (sin x)'.cos(sin x)  cos x.cos(sin x) nên dy  cos x.cos(sin x)dx

 x 2  x khi x  0
Câu 27. Cho hàm số f ( x)  

. Kết quả nào dưới đây đúng?
khi x  0
2 x
x2  x
A. df (0)  dx .
B. f  0  lim
 lim ( x  1)  1 .
x 0
x 0
x


2
C. f  0  lim x  x  0 .
D. f  0  lim 2 x  0 .

 

x 0





 
 

x 0

Hướng dẫn giải:

Chọn B.
Ta có: f   0   lim
x 0

x2  x
 lim ( x  1)  1 ;
x 0
x

f   0   lim

2x
 2 và hàm số không có vi phân tại x  0
x 0 x
Câu 28. Cho hàm số y  cos2 2x . Vi phân của hàm số là:
A. dy  4cos 2 x sin 2 xdx .
B. dy  2cos 2 x sin 2 xdx .
C. dy  2cos 2 x sin 2 xdx .
D. dy  2sin 4 xdx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có : dy  d  cos 2 2 x   2 cos 2 x.(cos 2 x) 'dx  4 cos 2 x.sin 2 xdx  2sin 4 xdx
 x 2  x khi x  0
Câu 29. Cho hàm số f ( x)  
. Khẳng định nào dưới đây là sai?
khi x  0
x
A. f   0   1 .
B. f   0   1 .

C. df (0)  dx .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: f   0   lim
x 0

D. Hàm số không có vi phân tại x  0 .

x
x2  x

 lim ( x  1)  1 và f   0   lim  1 và df (0)  dx
x 0 x
x 0
x

Câu 30. Cho hàm số y  f ( x)  1  cos2 2 x . Chọn kết quả đúng:
 sin 4 x
dx .
A. df ( x) 
B. df ( x) 
2 1  cos 2 2 x
cos 2 x
dx .
C. df ( x) 
D. df ( x) 
1  cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

 sin 4 x
1  cos 2 2 x
 sin 2 x
1  cos 2 2 x

dx .
dx .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 7


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có : dy  df ( x)  d





1  cos 2 2 x 

(1  cos2 2 x) '
2 1  cos 2 2 x

dx 

Câu 31. Cho hàm số y  tan x . Vi phân của hàm số là:
1

A. dy 
B.
dx .
2 x cos 2 x
1
C. dy 
D.
dx .
2 x cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.


1
1
Ta có : dy  d tan x  
 .( x ) 'dx 
2
2 x .cos 2
 cos x 
2x  3
Câu 32. Vi phân của hàm số y 
là :
2x 1
8
dx .
A. dy  
B.
2
 2 x  1



C. dy  



4

 2 x  1

2

dx .

2.2cos 2 x.sin 2 x
2 1  cos 2 2 x

1

dy 

dy 

x

x cos 2 x
1

 sin 4 x

dx 

1  cos 2 2 x

dx

dx .

2 x cos 2 x

dx .

dx

dy 

4

 2 x  1

D. dy  

2

dx .

7

 2 x  1

2

dx .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
8
 2x  3 
dx
Ta có : dy  d 

2
 2 x  1  (2 x  1)

1  x2
Câu 33. Cho hàm số y 
. Vi phân của hàm số là:
1  x2
4
4 x
4
dx .
dx .
dx .
A. dy 
B. dy 
C. dy 
2
2

2
2
2
1

x
1
1


x
x
 
 
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 1  x2
Ta có : dy  d 
2
1 x

D. dy 

dx

1  x2 


4 x
dx


2 2
 (1  x )

Câu 34. Cho hàm số f ( x)  cos 2 x . Khi đó
sin 2 x
dx .
A. d  f  x   
2 cos 2 x
 sin 2 x
dx .
C. d  f  x   
2 cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

B. d  f  x   
D. d  f  x   

sin 2 x
cos 2 x
 sin 2 x
cos 2 x

dx .
dx .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 8

2

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có : df ( x)  d





cos 2 x 

(cos 2 x) '
2 cos 2 x

dx 

 sin 2 x
cos 2 x

Đạo hàm – ĐS> 11

dx

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 9

Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được

gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '' , tức là: f ''  ( f ') ' .
 Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  1 (với n  , n  2 ) là f ( n1) . Nếu f ( n1) cũng có

đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f ( n) , tức là:

f ( n)  ( f ( n1) )' .
Để tính đạo hàm cấp n:
 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.

B – BÀI TẬP
Câu 1. Hàm số y 
A. y  0 .

x
có đạo hàm cấp hai là:
x2
1
B. y 
.
2
 x  2

C. y  

4

 x  2

2

.

D. y 

4

 x  2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 2 
2  x  2
4
x 
2


Ta có y  
; y  
  2.
 

2
4
3
2
  x  2 
 x  2   x  2
 x  2  x  2



Câu 2. Hàm số y   x 2  1 có đạo hàm cấp ba là:
3

A. y  12  x 2  1 .

C. y  24  5 x 2  3 .

B. y  24  x 2  1 .

D. y  –12  x 2  1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y  x6  3x4  3x2  1 ; y  6x5  12x3  6x
y  30x4  36x2  6 ; y  120 x3  72 x  24  5 x 2  3 .
Câu 3. Hàm số y  2 x  5 có đạo hàm cấp hai bằng:
1
1
A. y 
.

B. y 
.
(2 x  5) 2 x  5
2x  5
1
1
C. y  
.
D. y  
.
(2 x  5) 2 x  5
2x  5
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 10

3

.


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

y  








2x  5 

2
1

2 2x  5
2x  5
2

2x  5
1
.
  2 2x  5  
2x  5
2x  5
 2 x  5 2 x  5

Ta có y 



Câu 4. Hàm số y 

x2  x  1

có đạo hàm cấp 5 bằng:
x 1

120
.
( x  1)6
1
C. y (5) 
.
( x  1)6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
Ta có y  x 
.
 y  1 
2
x 1
 x  1

A. y (5)  

 y 

2

 y3 

 x  1

3

C. y 5 

 x  1

 x  1

5

 y  4 

24

 x  1

5

 y (5)  

120
.
( x  1)6

x  x 1
có đạo hàm cấp 5 bằng :
x 1

120

1

 x  1

4

D. y (5)

2

Câu 5. Hàm số y 
A. y 5  

6

120
.
( x  1)6
1
.

( x  1)6

B. y (5) 

6

B. y 5 

.

120

 x  1

5

D. y 5  

.

.

1

 x  1

5

.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x2  x  1
1
Ta có: y 
.
 x
x 1
x 1

120
24
2
6
1
; y 
; y  
; y  4 
; y  5  
.
 y  1 
5
4
2
3
6
 x  1
 x  1
 x  1
 x  1
 x  1
Câu 6. Hàm số y  x x 2  1 có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. y  
C. y 

2 x3  3x

1  x 
2

1  x2

2 x3  3x

1  x 
2

1  x2

.

.

B. y 

2 x2  1

D. y  

1  x2

.

2 x2  1
1  x2

.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 11


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Ta có: y  x 2  1  x

x
x2  1



2x 1
2

x2  1

; y 

4 x x 2  1   2 x 2  1
x2  1

x
x 1 
2

2 x3  3x

1  x 
2

1  x2

Câu 7. Hàm số y   2 x  5  có đạo hàm cấp 3 bằng :
5

B. y  480  2 x  5  .

A. y  80  2 x  5 .
3

2

C. y  480  2 x  5  .
D. y  80  2 x  5  .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
4
4
3
2
Ta có: y  5  2 x  5   2  10  2 x  5  ; y  80  2 x  5  ; y  480  2 x  5 .
2

3

Câu 8. Hàm số y  tan x có đạo hàm cấp 2 bằng :
2sin x
1
1
A. y  
.
B. y 
.
C. y  
.
2
3
cos x
cos 2 x
cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2cosx  sinx  2sinx
1
Ta có: y 
. y  

2
cos x
cos 4 x
cos3 x
Câu 9. Cho hàm số y  sinx . Chọn câu sai.


A. y  sin  x   .

B. y  sin  x    .
2

3 

C. y  sin  x 
D. y 4  sin  2  x  .
.
2 

Hướng dẫn giải:
Chọn D.




Ta có: y  cosx  sin   x  ; y  cos   x   sin   x  .
2

2

3

3





y  cos   x   sin 

 x  ; y  4  cos 
 x   sin  2  x  .
 2

 2

2
2 x  3x
Câu 10. Hàm số y 
có đạo hàm cấp 2 bằng :
1 x
2
2
1
A. y  2 
.
B. y 
.
C. y 
.
2
3
3
1  x 
1  x 
1  x 
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
1

2
Ta có: y  2 x  1 
; y 
.
 y  2 
2
1 x
(1  x)3
1  x 

D. y 

2sin x
.
cos3 x

D. y 

2

1  x 

4



 
4
Câu 11. Hàm số y  f  x   cos  2 x   . Phương trình f    x   8 có nghiệm x   0;  là:
3


 2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 12

.


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. x 


2

B. x  0 và x 

.

C. x  0 và x 


3

.

D. x  0 và x 


6



2

.
.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.









Ta có: y  2sin  2 x   . y  4cos  2 x   . y  8sin  2 x   . y  4  16cos  2 x  
3
3
3
3







1


Khi đó : f  4  x   8  16cos  2 x    8  cos  2 x    
3
3
2


 2



 
 2 x  3  3  k 2
 x  2  k
x0; 

 2




x  .
2
 2 x     2  k 2
 x     k



6
3
3
Câu 12. Cho hàm số y  sin2x . Chọn khẳng định đúng
A. 4 y  y  0 .
B. 4 y  y  0 .
C. y  y tan 2x .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y  2cos2x ; y  4sin2x .  4 y  y  0 .
1
Câu 13. Cho hàm số y  f  x    . Xét hai mệnh đề :
x
2
6
 II  : y  f   x    4 .
 I  : y  f   x   3 .
x
x
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  II  đúng.
C. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
6
2
Ta có: y  2 ; y   3 ; y  4 .

x
x
x
2sin x
Câu 14. Nếu f   x  
thì f  x  bằng
cos3 x
1
1
A.
.
B. 
.
C. cot x .
cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 1  2cosx   sinx  2sinx

Vì:  tan x   
.

2 
cos3 x
cos 4 x
 cos x 
Câu 15. Cho hàm số y  f  x  

D. y 2   y   4 .

2

D. Cả hai đều sai.

D. tan x .

 x2  x  2
. Xét hai mệnh đề :
x 1

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 13


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 I  : y  f   x   1 

2
 0, x  1 .
( x  1)2

 II  : y 

f   x  

4
 0, x  1 .

( x  1)2

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I  đúng.
B. Chỉ  II  đúng.
C. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
2
4
2
 x2  x  2
Ta có: y  f  x  
; y 
.
 x 
 y  1 
2
3
x 1
x 1
 x  1
 x  1

D. Cả hai đều sai.

Câu 16. Cho hàm số f  x    x  1 . Giá trị f   0  bằng
3

A. 3 .

B. 6 .
C. 12 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
Vì: f   x   3  x  1 ; f   x   6  x  1  f   0   6 .

D. 24 .

 
Câu 17. Cho hàm số f  x   sin 3 x  x 2 . Giá trị f    bằng
2
A. 0 .
B. 1 .
C.  2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

D. 5 .

 
Vì: f   x   3sin 2 xcosx  2 x ; f   x   6sinxcos 2 x  3sin 3 x  2  f     1 .
2

Câu 18. Cho hàm số f  x   5  x  1  4  x  1 . Tập nghiệm của phương trình f   x   0 là
3

A.  1; 2  .
B.  ; 0 .
C. 1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2
Vì: f   x   15  x  1  4 ; f   x   30  x  1  f   x   0  x  1 .
Câu 19. Cho hàm số y 

D.  .

1
. Khi đó :
x 3

1
3
3
A. y 1  .
B. y 1  .
C. y 1   .
8
8
8
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
3
2
1
6
 y 1   .
Vì: y  
; y 

; y  
2
4
3
8
 x  3
 x  3
 x  3

1
D. y 1   .
4

Câu 20. Cho hàm số y   ax  b  với a , b là tham số. Khi đó :
5

A. y  1  0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
10

B. y

10

1  10a  b .

C. y 

10

1  5a .

D. y

10

1  10a .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 14


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Vì: y  5a  ax  b  ; y  20a 2  ax  b  ; y  60a3  ax  b  ; y 4  120a 4  ax  b  ; y 5  120a5 ;
4

2

3

y  6  0  y10  0 . Do đó y

10

1  0

 
Câu 21. Cho hàm số y  sin 2 2x . Tính y  4   bằng:
6
A. 64 .
B. 64 .
C. 64 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì: y  2sin2x  2cos2x   2sin4x ; y  8cos4x ; y  32sin4x ;

D. 64 3 .

4  
y  4  128cos4x  y      64 3 .
6

Câu 22. Cho hàm số y  sin 2 x . Tính y ''
A. y ''   sin 2 x

B. y ''  4sin x

C. y ''  sin 2x

D. y ''  4sin 2 x

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có y '  2cos 2 x  y ''  4sin 2 x





Câu 23. Cho hàm số y  sin 2 x . Tính y '''( ) , y (4) ( )
3
4
A. 4 và 16
B. 5 và 17
C. 6 và 18
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có y '''  8cos 2 x, y (4)  16sin 2 x

D. 7 và 19


2


 4; y (4) ( )  16sin  16 .
Suy ra y '''( )  8cos
3
3
4
2
Câu 24. Cho hàm số y  sin 2 x . Tính y( n)





B. y ( n )  2n sin(2 x  )
2

A. y ( n )  2n sin(2 x  n )
3



C. y ( n )  2n sin( x  )
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.





D. y ( n )  2n sin(2 x  n )
2





Ta có y '  2sin(2 x  ), y ''  22 sin(2 x  2 ) , y '''  23 sin(2 x  3 )
2
2
2



Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n )  2n sin(2 x  n )
2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 15


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A



Với n  1  y '  21 sin(2 x  ) đúng
2
Giả sử y ( k )  2k sin(2 x  k


2

),





)  2k 1 sin  2 x  (k  1) 
2

2

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
suy ra y ( k 1)   y ( k )  '  2k 1 cos(2 x  k

Câu 25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 

2x 1
x2

(1)n 1.3.n !
( x  2)n 1
(1)n1.3.n !
C. y ( n ) 
( x  2)n1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A. y ( n ) 

(1)n1.n !
( x  2)n1
(1)n1.3.n !

( x  2)n1

B. y ( n ) 
D. y ( n )

'

3 ( x  2) 2 
3
3.2
, y ''  

Ta có y ' 
2
4
( x  2)
( x  2)
( x  2)3
y ''' 

(1)n1.3.n !
3.2.3
(n)
.
Ta
chứng
minh
y

( x  2)4
( x  2)n1

(1)0 .3
3
 Với n  1  y ' 
đúng


2
( x  2)
( x  2)2
(1)k 1.3.k !
 Giả sử y ( k ) 
( x  2)k 1
(1)k 1.3.k !. ( x  2)k 1  ' (1)k .3.(k  1)!
( k 1)
(k )
y
  y '  

( x  2)2 k  2
( x  2)k  2
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
1
,a  0
Câu 26. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 
ax  b
(2)n .a n .n!
(1)n .a n .n !
(n)
A. y ( n ) 
B.
y

(ax  b)n1
( x  1)n1
(1)n .n!
(ax  b)n1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
a
a 2 .2
a3 .2.3
Ta có y ' 
,
y
''

,
y
'''

(ax  b)2
(ax  b)3
(ax  b)4
C. y ( n ) 

D. y ( n ) 

(1)n .a n .n !
(ax  b)n1

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo hàm – ĐS> 11

(1)n .a n .n !
(ax  b)n1
(1)1.a1.1!
a
 Với n  1  y ' 
đúng

2
(ax  b)
(ax  b)2
(1)k .a k .k !
(k )
 Giả sử y 
(ax  b)k 1
(1)k .a k .k !. (ax  b) k 1  ' (1)k 1.a k 1.(k  1)!
( k 1)
(k )
y
  y '  

(ax  b)2 k  2
( x  2) k  2
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
2x 1
Câu 27. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  2
x  5x  6
n
n

(1)n1.7.n ! (1)n1.5.n !
(2) .7.n ! (1) .5.n!
(n)
A. y ( n ) 
B.
y



( x  2)n1 ( x  3)n1
( x  2)n1
( x  3)n1
(1)n .7.n ! (1)n .5.n!
(1)n .7.n ! (1)n .5.n!
(n)
C. y ( n ) 
D.
y



( x  2)n1 ( x  3)n1
( x  2)n
( x  3)n
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: 2 x  1  7( x  2)  5( x  3) ; x2  5x  6  ( x  2)( x  3)
7
5


Suy ra y 
.
x 3 x 2
(n)
( n)
(1)n .1n.n! (1)n .n!  1 
(1) n .n!
 1 
Mà 

,
 
 
( x  2)n1 ( x  2)n1  x  2 
( x  3)n1
 x2
(1)n .7.n ! (1)n .5.n!
Nên y ( n ) 
.

( x  2)n1 ( x  3)n1
Câu 28. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2 x


n


A. y ( n )   1 cos  2 x  n 
B. y ( n )  2n cos  2 x  
2

2






C. y ( n )  2n 1 cos  2 x  n 
D. y ( n )  2n cos  2 x  n 
2
2


Hướng dẫn giải:
Chọn D.




Ta có y '  2 cos  2 x   , y ''  22 cos  2 x  2  ,
2
2




y '''  23 cos  2 x  3  .
2




Bằng quy nạp ta chứng minh được y ( n )  2n cos  2 x  n  .
2

Ta chứng minh: y ( n ) 

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 17


Đạo hàm – ĐS> 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 29. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  2 x  1
A. y

(n)



C. y ( n ) 

(1) n 1.3.5...(3n  1)

B. y

(2 x  1) 2 n 1
(1) n 1.3.5...(2n  1)

(n)



D. y ( n ) 

(2 x  1) 2 n 1

(1) n 1.3.5...(2n  1)
(2 x  1) 2 n 1
(1) n 1.3.5...(2n  1)
(2 x  1) 2 n 1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
3
Ta có y ' 
, y ''  
, y ''' 
3
2x  1
(2 x  1)
(2 x  1)5
Bằng quy nạp ta chứng minh được: y ( n ) 

(1) n 1.3.5...(2n  1)

Câu 30. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 

(2 x  1) 2 n 1
2x 1
x  3x  2
2

5.(1)n .n ! 3.(1)n .n!

( x  2)n1 ( x  1)n1
5.(1)n .n ! 3.(1)n .n !
C. y ( n ) 
:
( x  2)n1 ( x  1)n1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
5
3

Ta có: y 
x  2 x 1
A. y ( n ) 

Bằng quy nạp ta chứng minh được: y

5.(1)n .n! 3.(1) n .n!

( x  2)n1 ( x  1)n1
5.(1)n .n! 3.(1) n .n!


( x  2)n1 ( x  1)n1

B. y ( n ) 
D. y ( n )

(n)

5.(1)n .n! 3.(1) n .n!
.


( x  2)n1 ( x  1)n1

Câu 31. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 

x
x  5x  6
2

(1)n .3.n ! (1)n .2.n!
(1)n .3.n ! (1)n .2.n!
(n)
A. y 
B. y 


( x  3)n1 ( x  2)n1
( x  3)n
( x  2)n
(1)n .3.n ! (1)n .2.n!
(1)n .3.n ! (1)n .2.n!

(n)
C. y ( n ) 
D.
y



( x  3)n1 ( x  2)n1
( x  3)n1 ( x  2)n1
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: x  3( x  2)  2( x  3) ; x2  5x  6  ( x  2)( x  3)
3
2

Suy ra y 
.
x3 x2
(n)
( n)
(1)n .1n.n! (1)n .n!  1 
(1) n .n!
 1 
Mà 


,





( x  2)n1 ( x  2)n1  x  3 
( x)n1
 x2
(n)

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Nên ta có: y ( n ) 

Đạo hàm – ĐS> 11

(1)n .3.n ! (1)n .2.n!
.

( x  3)n1 ( x  2)n1

Câu 32. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2 x




A. y ( n )  2n 1 cos  2 x  n 
B. y ( n )  2n 1 cos  2 x  n 
2
2







C. y ( n )  2n cos  2 x  
D. y ( n )  2n cos  2 x  n 
2
2


Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có :






y '  2 cos  2 x   , y ''  22 cos  2 x  2  , y '''  23 cos  2 x  3  .
2
2
2





Bằng quy nạp ta chứng minh được y ( n )  2n cos  2 x  n  .

2


Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo hàm – ĐS> 11

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Ý nghĩa vật lí :
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s  s  t  tại thời điểm t0 là

v  t0   s '  t 0  .

Cường độ tức thời của điện lượng Q  Q  t  tại thời điểm t0 là : I  t0   Q '  t0  .

Câu 1. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  t 3  3t 2  5t  2 , trong đó t tính bằng giây
và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t  3 là:
A. 24m / s 2 .
B. 17m / s 2 .
C. 14m / s 2 .
D. 12m / s 2 .
Hướng dẫn giải:
Đ
nD
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t .

s  t 3  3t 2  5t  2   3t 2  6t  5





s  6t  6  s  3  12

Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  t 3  3t 2  9t  2 ( t tính bằng giây; s tính
bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 hoặc t  2 .
B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t  2 là v  18 m / s .
C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t  3 là a  12 m / s 2 .
D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t  0 .
Hướng dẫn giải:
Đ
n C.
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển
động tại thời điểm t .
s  t 3  3t 2  5t  2   3t 2  6t  5





s  6t  6  s  3  12

Câu 3. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s  t 3  3t 2 ( t tính bằng giây; s tính bằng mét).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là a  18m / s 2 .

B. Gia tốc của chuyển động khi t  4s là a  9m / s 2 .
C. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  12m / s .
D. Vận tốc của chuyển động khi t  3s là v  24m / s .
Hướng dẫn giải:
Đ
nA
s  3t 2  6t  s  6t  6
s  4   18
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đạo hàm – ĐS> 11

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 21