228 câu oxyz từ các đề trường chuyên 2018

Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của

đường thẳng

 x = 2t

∆ :  y = −1 + t
z = 1


A. uu
r
m ( 2; −1;1)

là

B. r
v ( 2; −1;0 )

C. r
u ( 2;1;1)

D. r
n ( −2; −1;0 )

Đáp án D
Phương pháp:
+ Cho phương trình đường thẳng

điểm

M ( x 0 ; y0 )

 x = x 0 + at

∆ :  y = y0 + bt .
z = z + ct
0


Khi đó ta biết đường thẳng

∆

đi qua

và có vVTCP r
.
u = ( a; b;c )

+ Chú ý: Véc tơ là một VTCP của

∆

thì

cũng là một VTCP của .
r
∆
ku ( k ∈ ¢ )

Cách giải:
Ta có VTCP của

∆

là: r
cũng là một VTCP của
r
∆
u = ( 2;1;0 ) ⇒ n = ( −2; −1;0 )

Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong

không gian Oxyz, cho điểm

M ( 1; 2;3) .

Hình

chiếu của M lên trục Oy là điểm
A.

S ( 0;0;3)

Đáp ánC

B.

R ( 1;0;0 )

C.

Q ( 0; 2;0 )

D.

P ( 1;0;3)


Phương pháp: Điểm

M ( a; b;c )

M1 ( a;0;0 ) , M 2 ( 0; b;0 )

và

có hình chiếu trên trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:

M 3 ( 0;0; c )

.

Cách giải: Hình chiếu của M lên trục Oy là

Q ( 0; 2;0 )

Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

( α) :

( α)

và

x + 2y − z − 1 = 0

và ( β )
A.

( β ) : 2x + 4y − mz − 2 = 0.

Tìm m để hai mặt phẳng

song song với nhau.

m =1

B. Không tồn tại m

C.

m = −2

D.

m=2

Đáp án B
Phương pháp:

Cho

hai

( α) / / ( β) ⇔

mặt

phẳng:

( α ) : a1x + b1y + c1z + d1 = 0
.

β
:
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
(
)


2
2
2
2

a1 b1 c1 d1
=
= ≠
a 2 b 2 c2 d 2

Cách giải:
Để

( α) / / ( β)

thì

m = 2
2 4 − m −2
= =
≠
⇔
⇒ m ∈∅
1 2 −1 −1
m ≠ 2

Khi

đó

Câu 4:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho điểm

phẳng

( α)
A.

M ( 1; 0; −1) .

Mặt

đi qua M và chứa trục Ox có phương trình là

x+z =0

B.

C.

y + z +1 = 0

D.

y=0

x+y+z =0

Đáp án C
Phương pháp:

+) Phương trình đường thẳng đi điểm

M ( x 0 ; y0 ; z0 )

và có VTPT r
có phương
n = ( a; b; c )

trình:

a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0.
+) Hai vecto r r cùng thuộc một mặt phẳng thì mặt phẳng đó có VTPT là: r
r r
u; v
n =  u, v 
Cách giải:
Mặt phẳng

( α)

chưa điểm M và trục Ox nên nhận uur
uuuu
r uuur là một VTPT.
n α = OM; u O x 

Mà uuuu
r
OM = ( 1;0; −1)
uur uuuu
r uuur

⇒ n α = OM; u O x  =
 uuur
u O x = ( 1;0; 0 )
Kết hợp với

( α)

đi qua điểm

(

0
0

−1
0

;

−1
0

1
1

;

1
1

0
0

) = ( 0; −1; 0 )

M ( 1;0; −1) ⇒ ( α ) : − y − ( y − 0 ) = 0 ⇔ y = 0

Câu 5: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

x −1 y − 2 z − 3
d:
=
=
1
2
1

và mặt phẳng


( α ) : x + y − z − 2 = 0.

( α)

Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng

, đồng thời vuông góc và cắt đường d?

A.

C.

B.

x −5 y − 2 z −5
∆3 :
=
=
3
−2
1

∆1 :

x+2 y+4 z+4
=
=
−3
2
−1

∆4 :

x −1 y −1 z
=
=
3
−2 1

D.

x−2 y−4 z−4
∆2 :
=
=
1
−2
3

Đáp án A
Phương pháp:
Gọi đường thẳng cần tìm là d’
Gọi

A = d ∩ ( α ) ⇒ A ∈ d '.

Tìm tọa độ điểm A.

uur uur uuur là 1 VTCP của đường phẳng d’
n d ' =  u d ; n ( α ) 
Cách giải:
Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, gọi

Ta có

Mà

A = d ∩ ( α) ⇒ A ∈ d '

x = 1 + t


d :  y = 2 + 2t ( t ∈ ¡ ) ⇒ A ( t + 1; 2t + 2; t + 3 )
z = 3 + t


A ∈ ( α ) ⇒ ( t + 1) + ( 2t + 2 ) − ( t + 3 ) − 2 = 0 ⇒ A ( 2; 4; 4 )


Lại có uur
là một VTCP của d’
u d = ( 1; 2;1)
uur uuur
⇒  u d ; n ( α )  = ( −3; 2; −1)
 uuur
n ( α ) = ( 1;1; −1)
Kết hợp với d’ qua
A ( 2; 4; 4 ) ⇒ d :

x−2 y−4 z−4
x −5 y −2 z −5
=
=
⇔
=
=
−3
2
−1
3
−2

1

Câu 6:(Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( α) : x − z − 3 = 0
lên

( α)

và điểm

M ( 1;1;1)

. Gọi A là điểm thuộc tia Oz, B là hình chiếu của A

. Biết rằng tam giác MAB cân tại M. Diện tích của tam giác MAB bằng

A.

B.

C.
6 3

3 123
2

D.
3 3
2

3 3

Đáp án C
Phương pháp:
+) Gọi

A ( 0;0;a ) , ( a > 0 )

viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với

( α)
+)

B = AB ∩ ( α )

tìm tọa độ điểm B theo a.

+) Tam giác MAB cân tại

M ⇒ MA = MB,

tìm a.

+) Sử dụng công thức tính diện tích
S∆MAB =

r uuur
1 uuuu
 MA; MB


2


Cách giải:
Gọi

Mà

A ( 0;0;a ) ( a > 0 ) ,

vì

AB ⊥ mp ( α ) ⇒

B = AB ∩ ( α ) ⇒ B ( t;0;a − t )

Khi đó

Phương trình đường thẳng

x = t
( AB ) :  y = 0
z = a − t


và
B ∈ mp ( α ) ⇒ t = ( a − t ) − 3 = 0 ⇔ t =

a +3

2

uuuu
r
 AM = ( 1;1;;1 − a )
 a +3 a −3 
B
;0;
r
÷ ⇒  uuuu
2   BM =  − a + 1 ;1; 5 − a ÷
 2
2 
 2


AM = BM ⇔ AM = BM ⇔ 2 + ( 1 − a )
2

2

2

( a + 1)
= 1+

2

+ ( 5− a)
4

2

2a 2 − 8a + 26
4
2
2
⇔ 2a = 18 ⇔ a = 9 ⇔ a = 3 ( a > 0 )
uuuu
r
 AM = ( 1;1; −2 )
uuuu
r uuuu
r
⇒  uuuu
⇒  AM; BM  = ( 3;3;3)
r
 BM = ( −2;1;1)
⇔ a 2 − 2a + 2 =

Vậy diện tích tam giác MAB là
S∆MAB =

r uuur 3 3
1 uuuu
MA; MB =
2
2

Câu 7: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A ( 10;6; −2 ) , B ( 5;10; −9 )

mặt phẳng

( α)

và mặt phẳng

( α ) : 2x + 2y + z − 12 = 0.

sao cho MA, MB luôn tạo với

( α)

Điểm M di động trên

các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn


thuộc một đường tròn

A.

( ω)

cố định. Hoành độ của tâm đường tròn

B.

9
2

C.

2

( ω)

bằng

D.

10

−4

Đáp án B
Phương pháp:
+) Gọi

tọa độ các véc tơ uuuu
r uuuu
r
M ( x; y; z ) ⇒
AM; BM

+) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A,B lên

+) Tính sin các góc

AMH; BMHK

( α)

, có

AMH = BMK

và suy ra đẳng thức. Tìm quỹ tích điểm M là một

đường tròn.
+) Tính tâm của đường tròn quỹ tích đó.
Cách giải:
Gọi

uuuu
r
uuuu
r
M ( x; y; z ) ⇒ AM = ( x − 10; y − 6; z + 2 ) ; BM = ( x − 5; y − 10; z + 9 )

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên

AH = d ( A; ( P ) ) =
Khi đó

Suy ra

2.10 + 2.6 − 2 − 12

22 + 22 + 12

( α) ,

có

AMH = BMK

= 6; BK = d ( B; ( P ) ) =

2.5 + 2.10 − 9 − 12
22 + 22 + 12

AH

sin AMH = MA
AH BK
⇒
=
⇒ MA = 2MB ⇔ MA 2 = 4MB2

MA MB
sin BMK = BK

MB

( x − 10 )

2

2
2
2
2
2
+ ( y − 6 ) + ( z + 2 ) = 4 ( x − 5 ) + ( y − 10 ) + ( z + 9 ) 




2

⇔ x 2 + y2 + z 2 −

có tâm

Vậy

2

2

20
68
68
10  
34  
34 

x − y + z + 228 = 0 ⇔ ( S ) :  x − ÷ +  y − ÷ +  z + ÷ = 40

3
3
3
3 
3  
3 


 10 34 −34 
I ; ;
÷
 3 3 3 

M ∈ ( C)

là giao tuyến của

 10 34 −34 
I ; ;
÷
 3 3 3 

( α)

trên mặt phẳng

( α)

và

( S) ⇒

Tâm K của

( C)

là hình chiếu của

.

Phương trình đương thẳng đi qua I và vuông góc với

( α)

có dạng

10

 x = 3 + 2t

34

 y = + 2t
3

34

z = − 3 + t


34
34 
 10
 10
  34
  34 
⇒ K  + 2t; + 2t '− + t ÷, K ∈ ( α ) ⇒ 2  + 2t ÷+ 2  + 2t ÷+  − + t ÷− 12 = 0
3
3
 3

 3
  3
  3

2
⇔ 9t + 6 = 0 ⇔ t = − ⇒ K ( 2;10; −12 ) ⇒ x K = 2
3

Câu 8: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( α ) : 2x + y − 2z − 2 = 0,
x +1 y + 2 z + 3
d:
=
=
1
2
2

( α)

đường thẳng

và điểm

. Gọi
là đường thẳng nằm trong mặt phẳng
∆
1


A  ;1;1÷
2



∆


( α)

, song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng

∆

cắt mặt

phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A.

B.

7
3

C.

7
2

D.
21
2

3
2

Đáp án B
Phương pháp:
+) Kiểm tra

+) Gọi

( α) ⇒ 1
+)

d ⊂ ( α)

B = ∆ ∩ ( O xy ) ⇒ B ( a; b;0 ) ⇒ B ∈ ( α ) ,

thay tọa độ điểm B vào phương trình

phương trình 2 ẩn a, b.

d / / ∆ ⇒ d ( ( d ) ; ( ∆ ) ) = d ( B; ( d ) ) = 3.

d ( B; ( d ) )

Sử dụng công thức tính khoảng cách

lập được 1 phương trình 2 ẩn chứa a, b.
uuuu
r uur
 BM; u d 


=
,
uur
ud

+) Giải hệ phương trình tìm a,b => Toạn độ điểm B => Độ dài AB.
Dế thấy

Ta có

d ⊥ ( α)

và

( −1; −2; −3) ∈ ( α ) ⇒ d ⊂ ( α )

B = ∆ ∩ ( O xy ) ⇒ B ( a; b;0 )

Lại có

mà

B ∈ ∆ ⊂ ( α ) ⇒ 2a + b − 2 = 0 ⇒ b = 2 − 2a

d / / ∆ ⇒ d ( ( d ) ; ( ∆ ) ) = d ( B; ( d ) ) = 3

uur
u d = ( 1; 2; 2 )

. Đường thẳng d đi qua

M ( 0;0; −1)

, có


uur
u d = ( 1; 2; 2 )

uuuu
r
uuuu
r r

BM = ( −a; − b; −1) ⇒  BM; u  = ( −2b + 2; −1 + 2a; −2a + b )
Do đó
d ( B; ( d ) )

uuuu
r uur
 BM; u d 


=
=
uur
ud

( 2b − 2 )

2

+ ( 1 − 2a ) + ( 2a − b )
2

3

2

=3

⇔ ( 2b − 2 ) + ( 1 − 2a ) + ( 2a − b ) = 81 ⇔ ( 2 − 4a ) + ( 1 − 2a ) + ( 4a − 2 ) = 81
2

⇔ ( 1 − 2a )

Vậy
AB =

2

2

2

2

2

2

  a = −1
⇒ B ( −1; 4;0 )

1 − 2a = 3
 a = −1   b = 4
=9⇔ 
⇔
⇔
 a = 2
1 − 2a = −3
a = 2

⇒ B ( 2; −2;0 )

  b = −2

7
2

Câu9: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình
lập phương ABCD.A’B’C’D’ có
và
Khoảng
A ( 0;0;0 ) , B ( 1;0;0 ) , D ( 0;1;0 )
A ' ( 0;0;1) .
cách giữa AC và B’D là
A.
B.
1
1
.
.
6
3

C. 1.

D.

2.

Đáp án B.
Gọi

K = AC ∩ BD.

Gọi H là hình chiếu của K lên B’D. Khi đó KH là

đường vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và B’D
Ta có:
KH BB'
KH
1
2 1
6
=
⇔
=
⇒ KH =
.
=
.
KD B'D
2
6
2
3
3
2
Câu 10:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho
và mặt phẳng
Tìm trên (P)
A ( −3;0;0 ) , B ( 0;0;3) , C ( 0; −3;0 )
( P ) : x + y + z − 3 = 0.

điểm M sao cho uuuu
r uuur uuur nhỏ nhất
MA + MB − MC
A.

B.

M ( 3;3; −3) .

M ( −3; −3;3) .

C.

M ( 3; −3;3) .

D.

M ( −3;3;3) .
Đáp án D.
Gọi
uur Iulà
ur điểm
uur thỏa
r mãn
uur uuu
r r
uur uuur
IA + IB − IC = 0 ⇔ IA + CB = 0 ⇔ IA = BC = ( 0; −3;3) ⇒ I ( −3;3;3 )

Ta có: uuuu
M là hình
r uuur uuur uuu
r uur uuur uur uuu
r uur uuu
r
MA + MB − MC = MI + IA + MB + IB − MI − IC = MI = MI min ⇔
chiếu của I trên

( P ) : x + y + z − 3 = 0,

dễ thấy

I ∈ ( P ) ⇒ M = I ( −3;3;3) .

Câu 11: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm
Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam
A ( 0;1; 2 ) , B ( 2; −2;0 ) , C ( −2;0;1) .
giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là
A.
B.
4x + 2y − z + 4 = 0.
4x + 2y + z − 4 = 0.
C.

4x − 2y − z + 4 = 0.

D.

4x − 2y + z + 4 = 0.

Đáp án C.
Dễ thấy

4.0 − 2.1 − 2 + 4 = 0suy ra A ∈ ( P ) : 4x − 2y − z + 4 = 0.

Câu 12: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
A ( −1;0;0 ) , B ( 0;0; 2 ) , C ( 0; −3;0 ) .
A.

B.
14
.
3

Đáp án C.

C.
14
.
4

D.
14
.
2

14.

Vì

OA = 1, OB = 2, OC = 3

và đôi một vuông góc

⇒R=

OA 2 + OB2 + OC 2
14
=
.
2
2

Câu 13: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các
điểm
Mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất, đi qua O, A, B có tâm là
A ( 0;0; −2 ) , B ( 4;0;0 ) .
A.

I ( 2;0; −1) .

B.

I ( 0; 0; −1) .

C.

I ( 2;0;0 ) .

D.

2
4
I =  ; 0; − ÷.
3
3

Đáp án A.
Ta có: uuur
suy ra uuur uuur
vuông tại O.
uuur
OA.OB = 0 ⇒ ∆OAB
OA = ( 0;0; −2 ) , OB = ( 4;0;0 )
Do đo, mặt cầu (S) có bán kính
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là

R min

và đi qua O, A, B có tâm là trung điểm của AB.

I ( 2;0; −1) .

Câu 14:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
Góc giữa

A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , C ( 0; 2;0 ) , A ' ( 0; 0; 2 ) .
BC’ và A’C bằng
A.
900.

B.

600.

C.

300.

Đáp án A.
Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông cân

⇒ C ' ( 0; 2; 2 ) .

Ta có uuuu
và uuuuur
r
uuuu
r uuuur
A 'C ' = ( 0; 2; −2 ) ⇒ BC '.A 'C = 0 ⇒ BC ' ⊥ A 'C.
BC ' = ( −2; 2; 2 )
Câu 15: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, mặt phẳng đi qua các điểm

A ( 2;0;0 ) ; B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; 4 )

có phương trình là:


A.

C.

B.

6x + 4y + 3z + 12 = 0

D.

6x + 4y + 3z − 12 = 0

6x + 4y + 3z = 0
6x + 4y + 3z − 24 = 0

Đáp án C
Phương trình mặt phẳng đoạn chắn của

Do đó

( ABC )

là

x y z
+ + =1
2 3 4

( ABC ) : 6x + 4y + 3z − 12 = 0

Câu 16: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu

( S) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9
2

2

tâm I và mặt phẳng

( P ) : 2x + 2y − z + 24 = 0

. Gọi H

là hình chiếu vuông góc của I lên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn
nhất. Tính tọa độ điểm M.
A.

B.

M ( −1;0; 4 )

M ( 0;1; 2 )

C.

D.

M ( 3; 4; 2 )

M ( 4;1; 2 )

Đáp án C
Phương trình đường thẳng
IH :

Độ dài MH lớn nhất

Suy ra

MI ≡ MH

⇒M

, gọi

x −1 y − 2 z − 3
=
=
⇒ H = IH ∩ ( P ) = ( −5; −4; 6 )
2
2
−1

là một trong hai giao điểm của MI và

( S)

M ( 1 + 2t; 2 + 2t;3 − t ) ∈ ( S ) ⇔ 4t 2 + 4t 2 + t 2 = 9 ⇔ t = ±1


Do đó

 M1 ( 3; 4; 2 ) ⇒ M 2 H = 12
⇒ MH max ⇔ M ≡ M 2 = ( 3; 4; 2 )

 M 2 ( −1;0; 4 ) ⇒ M 2 H = 34

Câu 17:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng

( P) :

x + y − 2z + 3 = 0

và điểm

I ( 1;1;0 ) .

Phương trình mặt cầu

tâm I và tiếp xúc với (P) là:
A.

C.

B.

5
( x − 1) + ( y − 1) + z =
6
2

2

2

2

+ ( y − 1) + z 2 =

25
6

( x + 1)

2

+ ( y + 1) + z 2 =

25
6

2

D.

5
( x − 1) + ( y − 1) + z 2 =
6
2

( x − 1)

2

2

Đáp án B
Ta có:

5
R = d ( I; ( P ) ) =
⇒
6

PT mặt cầu là:

( x − 1)

2

+ ( y − 1) + z 2 =

2

25
6

Câu 18: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu

( S) : x 2 + y2 + z 2 − 2x + 6y − 4z − 2 = 0,
phẳng vuông góc với

mặt phẳng

B.

Gọi

( P)

là mặt

song song với giá của vecto r
tiếp xúc
v ( 1; 6; 2 ) và ( P )
( α) , ( P)

với (S). Lập phương trình mặt phẳng ( P ).
A.

( α ) : x + 4y + z − 11 = 0.

2x − y + 2z − 2 = 0

x − 2y + 2z + 3 = 0

và

và

x − 2y + z − 21 = 0

x − 2y + z − 21 = 0


C.

2x − y + 2z + 3 = 0

D.

và

2x − y + 2z + 5 = 0

2x − y + 2z − 21 = 0

và

x − 2y + 2z − 2 = 0

Đáp án C
Ta có: uuur
uuur uuur
n ( P ) =  n ( α ) ; n ( P )  = ( 2; −1; 2 ) ⇒ ( P ) : 2x − y + 2z + D = 0
Mặt cầu

( S)

có tâm
I ( 1; −3; 2 ) ; R = 4 ⇒ d ( I; ( P ) ) = 4 ⇔

D = 3
=4⇔
4 +1+ 4
 D = −21
9+D

Câu 19: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng

( P) :

x + y + z − 1 = 0.
A.

K ( 0;0;1)

B.

J ( 0;1;0 )

C.

I ( 1;0;0 )

D.

O ( 0;0;0 )

Đáp án D
Câu 20: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,
cho hai mặt phẳng

( P ) : 3x − 2y + 2z − 5 = 0

biệt thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng

và

C. r
a = ( 4;5; −1)

Các điểm A, B phân

uuur cùng phương với vectơ nào sau
( P ) và ( Q ) . AB

đây?
A. uu
r

w = ( 3; −2; 2 )

( Q ) : 4x + 5y − z + 1 = 0.

B. r
v = ( −8;11; −23)
D. r
u = ( 8; −11; −23)


Đáp án D
Ta có: uuur uuur uuur
u AB =  n ( P ) ; n ( Q)  = ( −8;11; 23)
Do đó uuur phương với véc tơ r
AB
u = ( 8; −11; −23 )
Câu 21: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho mặt cầu

( S) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16
2

2

2

và các điểm

A ( 1;0; 2 ) , B ( −1; 2; 2 ) .

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt
cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng

Tính tổng
A.

ax + by + cx + 3 = 0.

T = a + b + c.
B.

3

C.

−3

D.

0

−2

Đáp án B
Xét

( S) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16
2

Gọi O là hình chiếu của I trên

Khi và chỉ khi

IO ≡ IH

2

mp ( P ) .

có tâm

Ta có

I ( 1; 2;3)

, bán kính

R=4

Smin ⇔ d ( I; ( P ) ) max ⇔ IO max

với H là hình chiếu của I trên AB.

mà
là trung điểm của AB
uur là véc tơ pháp tuyến của mp

( P ) IA = IB ⇒ H
⇒ IH
là
uur
⇒ H ( 0;1; 2 ) ⇒ IH = ( −1; −1; −1) ⇒ mp ( P ) − x − y − z + 3 = 0


Câu 22: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho các điểm

A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;3 ) , D ( 2; −2;0 ) .

Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi

qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D ?
A.

B.

7

5

C.

6

D.

10

Đáp án B

Ta có uuur
thẳng hàng
 AB = ( −1; 2;0 )
uuur uuur r
⇒ AB + AD = 0 ⇒ A, B, D
 uuur
 AD = ( 1; −2;0 )

Do đó, 5 điểm O, A, B, C, D tạo thành tứ diện như hình vẽ bên
Vậy có tất cả 5 mặt phẳng cần tìm đó là:
•

Mặt phẳng

•

( OAC )

đi qua 3 điểm O, A, C

Bốn mặt phẳng là các mặt bên của tứ diện O.BCD đi qua 3 điểm trong 5 điểm O,

A, B, C, D
Câu23: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

A ( 1;2; −3) , B ( −3; 2;9 ) .

A ( 1;2; −3) , B ( −3; 2;9 ) .
A.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
B.

x + 3x + 10 = 0.

−4x + 12z − 10 = 0

C.

D.

x − 3y + 10 = 0.

x − 3z + 10 = 0.

Đáp án D.
Gọi I là trung điểm của AB. Ta có:

uuur
I ( −1; 2;3) , AB ( −4;0;12 )

Mặt phẳng trung thực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
hay
P
:
−

4
x
−
1
+
0
y
−
2
+
12
z
−
3
=
0
( ) (
) (
)
(
)
( P ) : x − 3z + 10 = 0.
Câu 24:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi H
hình chiếu vuông góc của
lên đường thẳng
Tìm tọa độ
x −1 y z − 2
M ( 2;0;1)
∆:
= =

.
1
2
1
điểm H .
A.
H ( 2; 2;3) .

B.

H ( 0; −2;1) .

C.

D.

H ( 1;0; 2 ) .

H ( −1; −4;0 ) .

Đáp án C.
Vtcp của

∆

là: r
Phương trình mặt phẳng qua M và nhận r làm vtpt là:
u ( 1; 2;1) .
u

( P ) :1( x − 2 ) + 2 ( y − 0 ) + 1( z −1) = 0
Khi đó:

( P) ∩ ∆ = H ⇒

hay

( P ) : x + 2y + z − 3 = 0.

tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình

 x −1 y z − 2
= =

2
1 ⇔ x = 1, y = 0, z = 2 ⇒ H ( 1; 0; 2 ) .
 1
 x + 2y + z − 3 = 0
Câu 25:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
I ( 1; −2;3) .
A.

( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 10.
2

2

2

B.

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 9.
2

2


C.

( x − 1)

2

D.

+ ( y + 2 ) + ( z − 3 ) = 8.
2

2

( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 16.
2

2

Đáp án A.
Ta có: uuur
Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với Oy là:
n Oy ( 0;1;0 ) .
( P) : y + 2 = 0

( P ) ∩ Oy = E ( 0; −2;0 ) ⇒

bán kính mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc

( 1− 0)

R = IE =

với trục Oy là:

2

+ ( −2 + 2 ) + ( 3 − 0 ) = 10 ⇒
2

( x − 1)

2

2

+ ( y + 2 ) + ( z − 3) = 10.
2

2

Câu 26:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm
và đường thẳng d có phương trình
Phương trình
x −1 y + 1 z
M ( 2;1;0 )
d:
=
= .
2
1
−1
của đường thẳng
A.

C.

∆

đi qua điểm, M cắt và vuông góc với đường thẳng d là:

x − 2 y −1 z

=
=
.
1
−4
−2

B.

x − 2 y −1 z
=
= .
−1
−3 2

x − 2 y −1 z
=
= .
−1
−4
2

D.

x − 2 −y −1 z
=
=
.
−3
−4

−2

Đáp án A.
Gọi
Giải

ta có: uuu
r
I ( 1 + 2t; −1 + t; − t ) ∈ d
MI ( 2t − 1; t − 2; − t )
uuu
r uur
r 1 4 2
2 uur uuu
MI.u d = 4t − 2 + t − 2 + t = 0 ⇔ t = − ⇒ u ∆ = MI =  ; − ; − ÷
3
3 3 3

Suy ra
d:

x − 2 y −1 z
=
=
.
4
−4
−2

Câu 27: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
điểm
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm Mvà cách gốc tọa độ O một khoảng
M ( 1; 2;3) .
lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A,B,C. Tính thể tích khối chóp
O.ABC.
A.
B.
C.
D.
1372
686
524
343
.
.
.
.
9
9
3
9
Đáp án B.
Ta có:

d ( O; ( P ) ) ≤ OM

Dấu bằng xảy ra
Hay

⇔ OM ⊥ ( P ) ⇒ ( P ) :1( x − 1) + 2 ( y − 2 ) + 3 ( z − 3) = 0

( P ) : x + 2y + 3z − 14 = 0

14 

⇒ A ( 14;0;0 ) ; B ( 0;7;0 ) ;C  0;0; ÷
3


1
686
⇒ VO.ABC = OA.OB.OC =
.
6
9

Câu 28:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
véctơ r
Tìm tọa độ của véctơ r biết rằng véctơ r ngược hướng với véctơ r
a = ( 1; −2;3) .
b
b
a

và r
r
b=2a
A. r
b = ( 2; −2;3 )

B. r
b = ( 2; −4; 6 )

C. r
b = ( −2; 4; −6 )

D.

r
b = ( −2; −2;3)
Đáp án C
Ta có: r
r
b = −2a = ( −2; 4; −6 )
Câu 30:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai


điểm

A ( l;0; −3) , B ( −3; −2; −5 ) .

mãn đẳng thức

cầu

Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian thỏa

( S)

A.

AM 2 + BM 2 = 30

là một mặt cầu

( S)

. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt

là:

B.

I ( −2; −2; −8 ) ; R = 3
C.

I ( −1; −1; −4 ) ; R = 6

D.

I ( −1; −1; −4 ) ; R = 3

I ( −1; −1; −4 ) ; R =

30
2

Đáp án C
Gọi

I ( −1; −1; −4 ) ; AB = 24
2

Suy ra

là trung điểm của AB khi đó

AM 2 + BM 2 = 30

uuuu
r 2 uuur 2
uuu
r uur 2 uu
r uur 2
MA + MB = 30 MI + IA + MI + IB = 30

(

) (

)

uuu
r uur uur
AB2
2
2MI + IA + IB + 2MI IA + IB = 30 ⇔ 2MI = 30 −
⇔ MI = 3.
2

2

2

Do đó mặt cầu

(

2

( S)

tâm

)

I ( −1; −1; −4 ) ; R = 3

Câu 31: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ tọ độ Oxyz, cho bốn
điểm

A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) ,

C ( 0;0;1) , D ( 0;0;0 ) .

Hỏi có bao nhiêu điểm cách đều bốn mặt phẳng

( ABC ) , ( BCD ) ,

( CDA ) , ( DAB ) ?
A.

B.

4

C.

5

D.

1

8

Đáp án D
Gọi

I ( a; b;c )

là điểm cách đều bốn mặt phẳng

Khi đó, ta có

a =b=c=

a + b + c −1
3

( ABC ) , ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) .
. Suy ra có 8 cặp

( *)

( a; b;c )

thỏa mãn (*).

Câu32: ( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

điểm M sao cho biểu thức
A.

MA 2 + 2MB2
B.

M ( −1;3; −2 )

A ( 0; 2; −4 ) , B ( −3;5; 2 ) .

Tìm tọa độ

đạt giá trị nhỏ nhất.
C.

M ( −2; 4;0 )

M ( −3;7; −2 )

D.

 3 7

M  − ; ; −1÷
 2 2


Đáp án B
Gọi

M ( a; b;c )

Khi đó

suy ra uuuu
r
uuuu
r
AM = ( a; b − 2;c + 4 ) , BM = ( a + 3; b − 5;c − 2 )

2
2
2
2
2
MA 2 + 2MB2 = a 2 + ( b − 2 ) + ( c + 4 ) + 2 ( a + 3 ) + ( b − 5 ) + ( c − 2 ) 




= 3a 2 + 12a + 3b 2 − 24b + 3c 2 + 96 = 3 ( a + 2 ) + 3 ( b − 4 ) + 3c 2 + 36 ≥ 36
2

Vậy

{ MA2 + 2MB2 }

min

= 36.

Dấu “=” xảy ra

2

⇔ ( a; b;c ) = ( −2; 4;0 ) .

Câu 33: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )


Trong không gian với hệ tọa độ

( x + 1)
A.

C.

2

+ ( y − 3) + z = 16.
2

Oxyz,

cho mặt cầu có phương trình

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

2

I ( −1;3;0 ) , R = 4

I ( −1;3;0 ) , R = 16

B.

D.

I ( 1; −3;0 ) , R = 4

I ( 1; −3;0 ) , R = 16

Đáp án A
Câu 34: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 )
Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho hai điểm

A ( 2;3; 4 ) và B ( 5;1;1) .

Tìm tọa độ

véctơ uuur
AB.
A. uuur
AB = ( 3; 2;3)

B. uuur
AB = ( 3; −2; −3)

C. uuur
AB = ( −3; 2;3)

D. uuur
AB = ( 3; −2;3)

Đáp án B

Câu 35: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

cho hai véctơ r
Tìm tọa độ véctơ r
r
r r

a = ( 2; −3;1) và b = ( −1;0; 4 ) .
u = −2a + 3b.

A. r
u = ( −7;6; −10 )
Đáp án B

B. r
u = ( −7;6;10 )

C. r
u = ( 7;6;10 )

D. r
u = ( −7; −6;10 )


Ta có r
u = −2 ( 2; −3;1) + 3 ( −1;0; 4 ) = ( −7;6;10 ) .
Câu 36: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ
cho tam giác ABC với

Oxyz,

mặt phẳng

A.

A ( 1;0;0 ) , B ( 3; 2; 4 ) , C ( 0;5; 4 ) .

Tìm tọa độ điểm M thuộc

sao cho uuuu
r uuur uuur nhỏ nhất.
( Oxy )
MA + MB + 2MC

M ( 1; −3;0 )

B.

M ( 1;3;0 )

C.

D.

M ( 3;1;0 )

M ( 2;6;0 )

Đáp án B
Gọi I là trung điểm thỏa mãn uur uur uur
IA + IB + 2IC = 0 ⇒ I ( 1;3;3 ) .
Ta có Mà

Khi đó

M ∈ ( Oxy ) ⇒ M ( x; y;0 ) .

uuu
r
P = 4MI = 4

( x − 1)

2

uuuu
r uuur uuur
2
+ ( y − 3 ) + 32 ≥ 12 ⇒ MA + MB + 2MC

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

x = 1
.

y = 3

Vậy

min

= 12.

M ( 1;3;0 ) .

Câu 37: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
véc tơ r

và ur
. Mệnh đề nào sau đây sai?
r
r
a = ( 2;3;1) , b = ( 5, 7, 0 ) , c = ( 3; −2; 4 )
d = ( 4;12; −3)
A. r r r là ba vecto không đồng phẳng
a , b, c

B. r r u
r r
2a + 3b = d − 2c

C. r r ur r
a+b = d +c

D. ur r r r
d = a +b −c

Đáp án B


Ta có r r
đúng
r ur
a + b = ( 7;10;1) ≠ c + d = ( 4;12; −3) ⇒

r r ur r
2a + 3b ≠ d − 2c
Câu 38: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của d?
x
=
1
−
t


d :  y = −2 + 2t .
z = 1 + t

A. r
n = ( 1; −2;1)

B. r
n = ( 1; 2;1)

C. r
n = ( −1; −2;1)

D. r
n = ( −1; 2;1)

Đáp án D

Câu 39: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm
Độ dài đoạn AB bằng
A ( 1; −1; 2 ) ; B ( 2;1;1) .
A. 2

B.

C.

6

D. 6

2

Đáp án B

AB =

( 2 − 1)

2

+ ( 1 + 1) + ( 1 − 2 ) = 6
2

2

Câu 40:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng
A.

Q ( 1; −2; 2 )

B.

N ( 1; −1;1)

C.

P ( 2; −1; −1)

( P ) : 2x − y + z − 2 = 0
D.

M ( 1;1; −1)

Đáp án B
Đáp án C
Gọi

A ( x; y ) , B ( − x; y ) , C ( x − y; x + y )

Ta có

là các điểm biểu diễn 3 số phức theo đề bài