đề thi thử toán phth quốc gia môn toán 2020 có đáp án

ĐỀ MINH HỌA SỐ ĐỀ 06

(

)

2
4
2
2
Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) = m − 2m x + (4m − m ) x − 4 . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) ?
A. 0

B. Vô số

C. 2.

D. 3.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = f ( x ) =

x −1
nghịch biến trên
x−m

khoảng ( −∞; 2 ) ?
A. m > 2

B. m ≥ 1.

C. m ≥ 2.

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = f ( x ) =

D. m > 1.
x 2 + mx + 1
đạt cực đại tại
x+m

x=2 ?

A. m = −1 .

B. m = −3 .

C. m = 1 .

D. m = 3 .

4
2
Câu 4: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số: y = f ( x ) = x − ( 3m − 1) x + 2m + 1 có ba

điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với điểm D ( 7;3) nội tiếp được một đường tròn?
A. m = 3.

C. m = −1 .

B. m = 1.

D. Không tồn tại m.

3
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình − x + 3mx − 2 < −

1
x3

nghiệm đúng ∀x ≥ 1 ?
A. m <

2
3

B. m ≥

2
3

C. m ≥

3
2

1
3
D. − ≤ m ≤
3
2

3
2
Câu 6: Cho đồ thị ( Cm ) : y = f ( x ) = x − 2 x + ( 1 − m ) x + m . Tất cả giá trị của tham số m để

( Cm )

2
2
2
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thoả x1 + x2 + x3 = 4 là?

A. m = 1.

B. m ≠ 0.

Câu 7: Cho đồ thị ( C ) : y = f ( x ) =

C. m = 2.

1

m > −
4.
D. 
 m ≠ 0

x2 − x + 1
và đường thẳng d : y = m. Tất cả các giá trị tham số
x −1

m để ( C ) cắt d tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB = 2 là?
A. m = 1 + 6 .

 m = 1 − 6
B. 
.
 m = 1 + 6

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

C. m = 1 − 6 .

m < 1
D. 
.
m > 3
Trang 1


Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ ¡ ?
m.4 x + ( m − 1) .2 x + 2 + m − 1 > 0
A. m ≤ 3 .

B. m ≥ 1 .

C. −1 ≤ m ≤ 4 .

D. m ≥ 0 .

( )

2
3
Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) = x ln x thì f ' ( 3) bằng?

A. 9 + 6ln3.

B. 9 + 18ln3.

C. 9 + ln3.

D. 9 + 9ln3.

Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) = x.s inx . Biểu thức nào sau đây biểu diễn đúng?
A. xy ''− 2 y '+ xy = −2sinx .

B. xy''+ y'− xy = −2 cosx + s inx .

C. xy '+ yy '− xy ' = 2sin x.

D. xy '+ yy ''− xy ' = 2sin x .

Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình ln ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) + 1 > 0 là?
A. ( 1; 2 ) ∪ ( 5; +∞ ) .

B. ( 1; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) .

C. ( −∞;1) ∩ ( 2;3) .

D. ( −∞;1) ∪ ( 2;3) .

Câu 12: Cho a là số thực dương khác 1. Xét hai số thực x 1, x2. Phát biểu nào sau đây là phát biểu
đúng?
A. Nếu a x1 < a x2 thì ( a − 1) ( x1 − x2 ) < 0 .

B. Nếu a x1 < a x2 thì ( a − 1) ( x1 − x2 ) > 0 .

C. Nếu a x1 < a x2 thì x1 < x2 .

D. Nếu a x1 < a x2 thì x1 > x2 .

2
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình log 2 ( x − 1) = log 2 2 x là?

1 + 2 
A. 

 2 

B. { 2; 4}

{

C. 1 − 2;1 + 2

}

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4

{

D. 1 + 2
x +1 + 3− x

}

−14.2

x +1 + 3− x

+8 = m

có nghiệm?
A. m ≤ −32

B. −41 ≤ m ≤ 32

C. m ≥ −41

D. −41 ≤ m ≤ −32

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC ) và ∆ABC vuông ở B. AH là đường cao của
∆SAB . Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC

B. AH ⊥ BC

C. AH ⊥ AC

D. AH ⊥ SC

Câu 16: Cho mặt phẳng ( P ) và điểm M nằm ngoài ( P ) , khoảng cách từ M đến ( P ) bằng 6. Lấy A
thuộc ( P ) và N trên AM sao cho 2MN = NA. Khoảng cách từ N đến ( P ) bằng bao nhiêu?
A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 2


A. Hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Với mỗi điểm A
thuộc ( P ) và mỗi điểm B thuộc ( Q ) thì ta có AB vuông góc với d.
B. Nếu hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( R ) thì giao tuyến của ( P ) và

( Q ) nếu có cũng sẽ vuông góc với ( R ) .
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau
D. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc
với mặt phẳng kia.
Câu 18: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai
mặt phẳng khác nhau. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’, C’A. Tứ giác
MNPQ là hình gì?

A. Hình bình hành.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình vuông.

D. Hình thang.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 4a(cm).
Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’,CD,A’D’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng EG và C’F là d =

9
( cm ) .
2 30

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho O trùng với B’, Ox là B’A’, Oy
là B’C’ và Oz là B’B. Trả lời các câu hỏi từ Câu 19 đến Câu 21.
Câu 19: Tính chính xác độ dài đoạn AB?
A. AB =

1
( cm )
6

B. AB = 2 ( cm )

C. AB =

1

( cm )
4

D. AB = 1( cm )

Câu 20: Gọi α là góc giữa hai đường thẳng EG và C’F. Tính chính xác sinα?
A. sin α =

2
2

B. sin α =

1
2

C. sin α = 1

D. sin α =

3
2

Câu 21: Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,CC’,A’C’. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến
mặt phẳng (HIK)?
A. d ( B ', ( HIK ) ) =

5
( cm )
2 14

B. d ( B ', ( HIK ) ) =

5 14
( cm )
2

C. d ( B ', ( HIK ) ) =

5
( cm )
4

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 3


D. d ( B ', ( HIK ) ) =

14
( cm )
2

Câu 22: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 z + 3 = 0 . Vectơ nào dưới
đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?
r
r
A. n = ( 1; −2;3)
B. n = ( 1;0; −2 )

r
C. n = ( 1; −2;0 )

r
D. n = ( 3; −2;1)

Câu 23: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A ( 1; 2;3) , B ( 3;3; 4 ) , C ( −1;1; 2 ) ?
A. thẳng hàng và A nằm giữa B và C.

B. thẳng hàng và C nằm giữa A và B.

C. thẳng hàng và B nằm giữa A và C.

D. là ba đỉnh của một tam giác.

Câu 24: Cho mặt phẳng ( α ) : x − 2 y + z − 1 = 0 và điểm A ( 2; −1;3) , B ( 0;0;1) . Tìm mặt phẳng

( α ')

đi qua hai điểm A,B sao cho góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( α ') là bé nhất?

A. ( α ') : x + 4 y − z + 5 = 0

B. ( α ') : 2 x + 8 y − 2 z − 2 = 0

C. ( α ') : x + 4 y + z − 1 = 0

D. ( α ') : x − 4 y + z − 1 = 0

Câu 25: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ :

( α ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q ) :ax+by+cz+3=0

x −1 y −1 z
=
=
1
2
2

và mặt phẳng

chứa ∆ và tạo với ( α ) một góc nhỏ nhất.

Tính chính xác giá trị của a+b+c?
A. –1.

B. 3.

C. 5.

Câu 26: Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) =
A. k < 2

B. k < 2 3

D. 1.
k sin x + 1
lớn hơn –1?

cos x + 2

C. k < 3

D. k < 2 2

2
2
Câu 27: Cho các góc nhọn x,y thoả mãn phương trình sin x + sin y = sin ( x + y ) . Khẳng định nào

sau đây là đúng?
A. x + y =

π
2

B. x + y =

π
4

C. x + y =

π
6

D. x + y =

π
3

Câu 28: Cho a,b,c,d là các số thực khác 0 và hàm số y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx . Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A. y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi

c
là số hữu tỉ.
d

B. y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi

a
là số hữu tỉ.
d

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 4


C. y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi

c
là số hữu tỉ.
b

D. y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi

a
là số hữu tỉ.

x

Câu 29: Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác
đó. Tính xác suất được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật?
A. P =

45
3
=
4845 323

B. P =

30
3
=
4840 484

C. P =

40
1
=
4840 121

D. P =

45
5
=

4842 538
n

1 

Câu 30: Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển biểu thức  x3 − 2 ÷ , biết n là số tự nhiên
x 

4
n −2
thoả mãn Cn = 13Cn ?

A. C158 . ( −1) = 6435

B. C159 . ( −1) = −5005

C. C157 . ( −1) = −6435

D. C156 . ( −1) = 5005

8

9

7

6

Câu 31: Từ tập E = { 1; 2;3; 4;5;6;7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt trong đó
luôn có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1?

A. 250.

B. 240.

n
Câu 32: Tính chính xác giá trị của nlim
→+∞
A.

4
3

B.

2
3

C. 233.

(

3

D. 243.

)

8n 3 + n − 4 n 2 + 3 ?
C. −

2
3

D. −

4
3

Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, đồng biến trên đoạn [a;b] và dãy hữu hạn có các số c 1,c2,c3,
…,cn cùng thuộc [a;b]. Khẳng định nào trong các khảng định sau đây là đúng?
A. Phương trình f ( x ) =

1
 f ( c1 ) + f ( c2 ) + ... + f ( cn )  luôn có nghiệm trong đoạn [ a; b ]
n

B. Phương trình f ( x ) =

1
 f ( c1 ) + f ( c2 ) + ... + f ( cn )  luôn có 4 nghiệm phân biệt trong đoạn
n

[ a; b] .
C. Phương trình f ( x ) =

1
 f ( c1 ) + f ( c2 ) + ... + f ( cn )  vô nghiệm trong đoạn [ a; b ] .
n

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 5


D. Phương trình f ( x ) =

1
 f ( c1 ) + f ( c2 ) + ... + f ( cn )  luôn có 2 nghiệm phân biệt trong đoạn
n

[ a; b] .
Câu 34: Cho hàm số y =

( x − 1)

x

x

, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số liên tục trên ¡

B. Hàm số không liên tục trên ( 0; +∞ ) .

C. Hàm số gián đoạn tại x = 0 .

D. Hàm số liên tục trên ( −∞;0 ) .

 x2

khi x ≤ 1

Câu 35: Cho hàm số y = f ( x ) =  2
. Với gia strij nào sau đây của a,b thì hàm số
ax + b khi x > 1

có đạo hàm tại x = 1?
A. a = 1, b = −

1
2

1
1
B. a = , b =
2
2

1
1
C. a = , b = −
2
2

D. a = 1, b =

1
.
2

2
Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) = x − x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0

là?

(

( ∆x ) + 2 x∆x − ∆x
A. ∆lim
x→0
2

)

( ∆x + 2 x − 1)
B. ∆lim
x →0

(

( ∆x + 2 x + 1)
C. ∆lim
x→0

( ∆x ) + 2 x∆x + ∆x
D. ∆lim
x →0

Câu 37: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) =

2

)

x+5
tại điểm có hoành độ x0 = 3 có hệ số góc
x−2

bằng bao nhiêu?
A. 3.

B. –3.
5

Câu 38: Giả sử

C. –7.

D. –10.

C. 81.

D. 3.

dx

∫ 2 x − 1 = ln K . Giá trị của K là?
1

A. 9.

B. 8.
3

3
x
dx thành I = ∫ f ( t ) dt , với t = 1 + x . Khi đó f ( t ) là hàm nào
Câu 39: Biến đổi I = ∫
0 1+ 1+ x
1

trong các hàm số sau?
2
A. f ( t ) = 2t − 2t .

2
B. f ( t ) = t + t .

C. f ( t ) = t − 1 .

2
D. f ( t ) = 2t + 2t .

Câu 40: Tập hợp các số phức w = ( 1 + i ) z + 1 với z là số phức thoả mãn z − 1 ≤ 1 là hình tròn. Tính
diện tích hình tròn đó?
A. 4π .

B. 2π .

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

C. 3π .

D. π .
Trang 6


2
Câu 41: Biết phương trình z + az + b = 0, ( a, b ∈ ¡

)

có một nghiệm là z = 1 − i . Tính môđun của

số phức w = a + bi ?
A.

2.

B. 2.

C. 2 2 .

D. 3.

Câu 42: Cho số phức z bất kỳ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
2
A. z = z

2

B. z.z = z

2

C. z = z

Câu 43: Cho các số phức z1 ≠ 0, z2 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện

thức P =
A.

D. z 2 = z

2

2 1
1
+ =
. Tính giá trị của biểu
z1 z2 z1 + z2

z1
z
+ 2 ?
z2
z1

1
2

B.

C. P = 2

2

D.

3 2
2

Câu 44: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt
đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển
động theo phường thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t ) = 10t − t 2 , trong đó t(phút) là thời
gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì
khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là?
A. v = 5 (m/p).

B. v = 7 (m/p).

Câu 45: Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

C. v = 9 (m/p).
sin 3 x
là?
cos 4 x

A.

1
1
+
+C .
3
3cos x cos x

B. −

C.

1
1
+
+C .
3
3cos x cos x

D.

Câu 46: Nếu

D. v = 3 (m/p).

1
1
−
+C .
3
3cos x cos x

1
1
−
+C
3
3cos x cos 2 x

1

a

a

0

1

0

∫ f ( x ) dx = 2017, ∫ f ( x ) dx = 6051 với a > 1 thì ∫ f ( x ) dx bằng?

A. 8068.

B. 4034.

C. 12204867.

D. 3.

Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có AB=3a, AC=4a, BC=5a, SA=SB=SC=6a.Tính thể tích V của
khối chóp S.ABC?
A. V = 119a 3 .

B. V =

119a 3
.
3

C. V =

4 119a 3
3

D. V = 4 119a 3

Câu 48: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3. Cạnh bên tạo với đáy
một góc 60o. Tính thể tích V?
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 7


A. V =

9 2
2

B. V =

9 3
2

C. V =

9 6
2

D. V =

3 6
2

Câu 49: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a?
A. V =

2 3
a
4

B. V =

3 3
a
2

C. V =

3 3

a
4

D. V =

2 3
a
3

D. V =

2
12

Câu 50: Thể tích của khối tứ diện đều cạnh 1 là?
A. V = 1

B. V = 10

C. V =

3
12

Đáp án
1–D
11–B
21–A
31–B
41–C

2–C
12–A
22–B
32–C
42–D

3–B
13–D
23–A
33–A
43–D

4–A
14–D
24–C
34–C
44–C

5–A
15–C
25–D
35–A
45–A

6–A
16–A
26–D
36–B
46–A

7–B
17–B
27–A
37–C
47–A

8–B
18–B
28–A
38–D
48–C

9–B
19–D
29–A
39–A
49–C

10–A
20–C
30–C
40–B
50–D

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án D.
•

Hướng dẫn giải: Ta xét hai trường hợp.

 m = 0 ⇒ y = −4 ( l )
2
Hệ số a = m − 2m = 0 ⇔ 
2
 m = 2 ⇒ y = 4 x − 4
Hàm số y = 4 x 2 − 4 có đồ thị là một parabol nghịch biến trên khoảng ( −∞;0 ) , đồng biến trên
khoảng ( 0; +∞ )
Do đó m = 2 thỏa mãn. (Học sinh rất hay mắc phải sai lầm là không xét trường hợp a = 0 ). Hệ số
a = m 2 − 2m ≠ 0 .
Dựa vào biểu hiện đặc trưng của hàm trùng phương thì yêu cầu bài toán tương đương với đồ thị
hàm số có một cực trị và đó là cực tiểu.
m < 0
m 2 − 2m > 0
ab ≥ 0
a > 0

⇔
⇔
⇔
⇔   m > 2 ⇔ 2 < m ≤ 4 ⇒ m = { 3; 4}
2
4m − m ≥ 0
a > 0
b ≥ 0
0 ≤ m ≤ 4

Dễ dàng kết luận được m = { 2;3; 4}
Câu 2: Đáp án C.

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 8


•

Hướng dẫn giải : Ta có y ′ =

−m + 1

( x − m)

2

. Với −m + 1 < 0 ⇔ m > 1 thì y ′ < 0, ∀x ≠ m

 Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng ( −∞; m ) và ( m; +∞ )
Yêu cầu bài toán ⇔ ( −∞; 2 ) ⊂ ( −∞; m ) ⇔ m ≥ 2 (thỏa mãn).
•

Bổ trợ kiến thức: Ta có y ′ =

−m + 1

( x − m)

2

 y′ < 0, ∀x < 2

m > 1
 −m + 1 < 0
 −m + 1 < 0
⇔
⇔
⇔
⇔m≥2.
Yêu cầu bài toán ⇔ 
 m ∈ [ 2; +∞ )
x ≠ m
m ≥ 2
 m ≠ ( −∞; 2 )
Câu 3: Đáp án B.
•

Hướng dẫn giải: Tập xác định: D = ¡ \ { −m} .

Đạo hàm : y ′ =

x 2 + 2mx + m 2 − 1

( x + m)

2

.

 m = −1
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ y′ ( 2 ) = 0 ⇔ 
. Thử lại với m = –1 thì hàm số đạt cực tiểu tại

 m = −3
x = 2 : Không thỏa mãn. Thử lại với m = −3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2 : Thỏa mãn.

Câu 4: Đáp án A.
•

Hướng dẫn giải: Hàm số có 3 điểm cực trị khi m >

1
. Áp dụng công thức:
3

2 ∆

2 ∆ 
2
2
+ c ÷y + c  − ÷= 0
Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: x + y −  −
 b 4a

 b 4a 
Thay vào ta có phương trình:
 −27 m3 + 75m 2 − m − 15 
−54m 4 + 75m3 + 41 − 27 m − 11
x 2 + y 2 − 
y
+
= 0 (T)
÷

÷
4
3
m
−
1
4
3
m
−
1
(
)
(
)


D ( 7;3) ∈ ( T ) ⇒ 27 m 4 − 78m3 + 92m 2 − 336m + 99 = 0

Sử dụng chức năng SOLVE, tìm ra nghiệm duy nhất thỏa mãn là m = 3 .
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 9


Câu 5: Đáp án A.
•

Hướng dẫn giải: Bất phương trình ⇔ 3mx < x 3 −
⇔ 3m < x 2 −

Ta có f ′ ( x ) = 2 x +

1
+ 2, ∀x ≥ 1
x3

1 2
+ = f ( x ) , ∀x ≥ 1 .
x4 x

4 2
 4  2 4 2 −2
− 2 ≥ 2 2x  5 ÷− 2 =
> 0 suy ra f ( x ) tăng.
5
x
x
x2
x  x

Yêu cầu bài toán ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ 1 ⇔ min f ( x ) = f ( 1) = 2 > 3m ⇔
x ≥1

•

2
>m.
3

Bổ trợ kiến thức: Bài toán này có cách giải và hướng tư duy lời giải tương tự như bài toán
số 01 trong đề kiểm tra lần 01, đề kiểm tra 45 phút học kì 1 Trích sách “100 đề kiểm tra trắc
nghiệm Toán lớp 12”.

Một số kiến thức cần nhớ cho học sinh khi làm bài thi trắc nghiệm. Cho hàm số y = f ( x ) xác định
trên tập D.
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≤ M với mọi x thuộc
f ( x) .
D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M . Kí hiệu M = max
D
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≥ m với mọi x thuộc
f ( x) .
D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m . Kí hiệu m = min
D
Câu 6: Đáp án A.
•

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm

của

( Cm )

và trục hoành là

x = 1
x 3 − 2 x 2 + ( 1 − m ) x + m = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − x − m ) = 0 ⇔  2
.
 x − x − m = 0 ( 1)
Ta có ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

1

∆ > 0
1 + 4m > 0
m > −
⇔
⇔
⇔
4 ( *) .
1 − 1 − m ≠ 0
m ≠ 0
 m ≠ 0
 x1 + x2 = 1
Gọi x3 = 1 còn x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) nên theo Vi–et ta có 
.
 x1 x2 = − m
Vậy x12 + x22 + x32 = 4 ⇔ x12 + x22 + 1 = 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 − 3 = 0 ⇔ m = 1 (thỏa (*)).
2

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 10


Kết luận m = 1.
Câu 7: Đáp án B.
•

Hướng

dẫn

giải:

Phương

trình

hoành

độ

giao

điểm

(C)

và

d

là

 x ≠ 1
x2 − x + 1
=m⇔ 2
, (C) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1)
x −1
 x − ( m + 1) x + m + 1 = 0 ( 1)

∆ = ( m + 1) ( m − 3) > 0
 m < −1
⇔
( *) .
có hai nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ 
1 − m − 1 + m + 1 ≠ 0
m > 3
 x1 + x2 = m + 1
Hoành độ giao điểm x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) nên theo Vi–et ta có: 
.
 x1 x2 = m + 1
Khi đó: A ( x1 ; m ) , B ( x2 ; m ) , suy ra AB = 2 ⇔ AB 2 = 2
m + 1 = 2 + 6
m = 1 + 6
2
2
⇔ ( x2 − x1 ) = 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 − 2 = 0 ⇔ 
⇔
.
 m + 1 = 2 − 6
 m = 1 − 6
m = 1 − 6
Kết luận 
.
 m = 1 + 6
Câu 8: Đáp án B.
•

x
x+2

Hướng dẫn giải: Đặt t = 2 x > 0 thì m.4 + ( m − 1) .2 + m − 1 > 0 , đúng ∀x ∈ ¡

⇔ m.t 2 + 4 ( m − 1) .t + ( m − 1) > 0, ∀t > 0 ⇔ m ( t 2 + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > 0
−4t 2 − 2t
4t + 1
′
g
t
=
< 0 nên g ( t ) nghịch biến trên
(
)
⇔ g ( t) = 2
< m, ∀t > 0 . Ta có
2
2
t
+
4
t
+
1
t + 4t + 1
(
)
g ( t ) = g ( 0) = 1 ≤ m .
[ 0; +∞ ) . Yêu cầu bài toán ⇔ max
t ≥0
•

Bổ trợ kiến thức: Bài toán này có cách giải và hướng tư duy lời giải tương tự như bài toán
số 01 trong đề kiểm tra lần 01, đề kiểm tra 45 phút học kì 1 Trích sách “100 đề kiểm tra trắc
nghiệm Toán lớp 12”.

Một số kiến thức cần nhớ cho học sinh khi làm bài thi trắc nghiệm: Cho hàm số y = f ( x ) xác định
trên tập D.
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≤ M với mọi x thuộc
f ( x) .
D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M . Kí hiệu M = max
D
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 11


+ S m c gi l giỏ tr nh nht ca hm s y = f ( x ) trờn tp D nu f ( x ) m vi mi x thuc
f ( x) .
D v tn ti x0 D sao cho f ( x0 ) = m . Kớ hiu m = min
D
Cõu 9: ỏp ỏn B.
Cõu 10: ỏp ỏn A.


Hng dn gii: Cú
y = x sin x, y Â= sin x + x cos x, y ÂÂ= cos x + cos x - x sinx = 2 cosx- xsinx

i vi bi ny cỏch ti u nht l s dng mỏy tớnh nh sau:
+ Bc 1: Chn x =

p

p
p
ị y = , y Â= 1; y ÂÂ=2
2
2

+ Bc 2: Lu x, y , y Â, y ÂÂln lt vo cỏc bin A,B,C,D trờn mỏy tớnh. Nhp

p
sau ú bm
2

lu vo bin A, tng t cho y, y Â, y ÂÂ.
+ Bc 3: Th sai: Gi li cỏc A
AD - 2C + AB =- 2 =- 2sin

bm

. Kim tra ỏp ỏn A: nhp

p
. Nu A sai th tip cỏc ỏp ỏn cũn li.
2

Cõu 11: ỏp ỏn B


Hng

dn

gii:

Ta

cú:

( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) +1 > 0 x3 - 6 x 2 +11x - 5 > 0 v

ự
ln ộ
ở( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) +1ỷ> 0 ( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) +1 >1 ( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) > 0
ộ1 < x < 2
ờ
. Vy l hon thnh xong bi toỏn.
ờ
ở x >3


B tr kin thc: Cỏc em cú th dựng mỏy tớnh VINACAL 570ES PLUS II gii nhanh
ự
cỏc dng toỏn ny nh sau, nhp vo mỏy tớnh: ln ộ
ở( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) +1ỷ, bm CALC vi
ự
X = 10 ta thy c ln ộ
ở( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) +1ỷ> 0 , do ú loi nhanh c cỏc phng ỏn
C,D khụng tha món yờu cu bi toỏn.

HOCTAI.VN HC THNH TI!

Trang 12


ù
Tiếp theo bấm CALC với X = 4 ta thấy được ln é
ë( x - 1) ( x - 2) ( x - 3) +1û> 0 , do đó loại nhanh
được phương án A không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Trong một số bài toán với nhiều công thức
tính toán phức tạp thì việc áp dụng phương pháp loại trừ rất quan trọng để giải quyết nhanh gọn các
bài toán.

Câu 12: Đáp án A
•

Hướng dẫn giải: Nếu 0 < a <1 thì x1 > x2 . Nếu a >1 thì x1 < x2 . Từ đây suy ra

( a - 1) ( x1 - x2 ) < 0 . Vậy là hoàn thành xong bài toán.
Câu 13: Đáp án D
•

Hướng

dẫn

giải:

Điều

kiện

x >1 .

Ta

có

phương

trình

đã

cho

é x =1+ 2
Û x2 - 1 = 2x Û x2 - 2x - 1 = 0 Û ê
ê
ê
ëx = 1- 2 ( 1)
•

Bổ trợ kiến thức: Dùng chức năng CALC của máy tính VINACAL 570ES PLUS II để giải
2
nhé! Đơn giản các em nhập vào máy tính: log 2 ( x - 1) - log 2 2 X và bấm CALC

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 13


2

X = 1 + 2 khi đó ta dễ dàng thấy được log 2 ( x - 1) - log 2 2 X = 0 và chọn nhanh được

phương án đúng.
Đây là những phương trình cơ bản nên khuyến khích các em giải tay để nhanh chóng ra kết quả

chính xác, tuy nhiên nếu gặp một phương trình phức tạp hơn mà máy tính có thể xử lí được thì các
em hãy để cho máy tính hỗ trợ cho ta xử lí các vấn đề về tính toán. Bài toán có cách giải và hướng
tư duy giải tương tự giống như bài số 01 đề kiểm tra 15 phút lần 2 học kì 1. Trích sách “100 đề
kiểm tra trắc nghiệm Toán lớp 12”
Câu 14: Đáp án D
•

Hướng dẫn giải: Đặt t = x +1 + 3 - x . Xét hàm số f ( x ) = x +1 + 3 - x trên [- 1;3]
. Ta có f ¢( x ) =

1
1
, f ¢( x ) = 0 Û x = 1
2 x +1 2 3 - x

Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên của hàm số f ( x ) trên [- 1;3] . Từ đó suy ra
ù. Khi đó ta có phương trình: 4t - 14.2t + 8 = m
tÎ é
ê2; 2 2 ú
ë
û
ùnên a Î é4; 4 2 ù. Ta có phương trình a 2 - 14a + 8 = m . Xét hàm
Đặt a = 2t , do t Î é
ê
ú

ê2; 2 2 ú
ë
û
ë
û
2
số g ( a ) = a - 14a + 8, g ¢( a ) = 2a - 14, g ¢( a ) = 0 Û a = 7

4; 4 2 ù
Lập bảng biến thiên của hàm số g ( a ) trên é
ê
ú
ë
û. Từ bảng biến thiên ta thấy để phương
trình có nghiệm thì - 41 £ m £ - 32
Câu 15: Đáp án C
•

Hướng dẫn giải: Giả sử câu C đúng khi đó ta được AB ^ AC (vô lý)

Câu 16: Đáp án A

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 14


•

Hướng dẫn giải:

d ( N ,( P) )
AN
2
=
Þ d ( N , ( P ) ) = .6 = 4
AM d ( M, ( P ) )
3

Câu 17: Đáp án B
•

Hướng dẫn giải: Nếu hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( R ) thì giao
tuyến của ( P ) và ( Q ) nếu có cũng sẽ vuông góc với ( R ) ( hệ quả, định lí SGK Hình học lớp
11 )

Câu 18: Đáp án B
•

Hướng dẫn giải: Dễ thấy tứ giác MNPQ là
hình bình hành, gọi H là trung điểm của
AB. Vì hai tam giác đều ABC và ABC’ có
ïì CH ^ AB
chung cạnh AB nên ïí
ïïî C ¢H ^ AB
Suy ra AB ^ ( CHC ¢) . Do đó AB ^ CC ¢.
ìï PQ / / AB
ïï
Ta lại có: í PN / / CC ¢Þ PQ ^ PN . Kết
ïï

ïïî AB ^ CC ¢
luận tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Cho hình lập phương ABCD. A¢B ¢C ¢D ¢có cạnh bằng
4a(cm). Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm của các cạnh
BB ¢, CD, A¢, D ¢và khoảng cách giữa hai đường thẳng
EG và C ¢F là d =

9
( cm) . Chọn hệ trục tọa độ
2 30

Oxyz sao cho O trùng với B ¢, Ox là B ¢A¢, Oy là B ¢C ¢và Oz là B ¢B . Trả lời các câu hỏi từ Câu
19 đến Câu 21
Câu 19: Đáp án D
•

Hướng dẫn giải: Ta có D ¢( 4a; 4a;0) , D ( 4a; 4a; 4a ) , G ( 4a; 2 a;0) , E ( 0;0; 2a ) , F ( 2a; 4a; 4a )
uuur
uuu
r
Þ EG ( 4a; 2a; - 2a ) , C ¢F ( 2a;0; 4 a )

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 15


Gi ( P ) l mt phng cha C ÂF v song song vi EG, do ú:
d=

9
= d ( EG , C ÂF ) = d ( E , ( P ) )
2 30

2
2
2
Li cú ( P ) : 8a ( x - 0) - 20a ( y - 4a ) - 4a ( z - 0) = 0 2 x - 5 y - z + 20a = 0

1
ị a = ị AB = 1
4
Cõu 20: ỏp ỏn C


uuur uuu
r
C ÂF .EG
ã ÂF , EG = uuur
ã
Hng dn gii: Ta cú: cos C
uuu
r = 0 ị C ÂF , EG = 90ị sin a = 1
C ÂF . EG

(

)

(

)

Cõu 21: ỏp ỏn A


ổ
ổ
ử
ổ 1ử
1 1 ử
1
ữ
ỗ
ỗ
; ;0ữ
,
H
;0;1
,
F
0;1; ữ
Hng dn gii: D thy K ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ

ữ ố
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ2
ỗ 2ứ
ố2 2 ứ
ứ
3 ổ 1ử
1 ổ 1ử
1
5
ị ( HKF ) : ỗ
x- ữ
+ ỗ
y- ữ
+ z = 0 ị d ( B Â, ( HIK ) ) =
( cm)
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ 2ứ 2 ố
ỗ 2ứ 4
4ố
2 14

B tr kin thc: Mt s dng toỏn m hc sinh cn nm vng.
+ Mt l bit im thuc mt phng v vecto phỏp tuyn. Mt phng ( P ) i qua im
r
M ( x0 ; y0 ; z0 ) v cú vecto phỏp tuyn l n ( A; B; C ) . Khi ú phng trỡnh mt phng ( P ) l
A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
+ Hai l bit im thuc mt phng v cp vecto ch phng. Mt phng ( P ) i qua im
r r
r
M ( x0 ; y0 ; z0 ) v cú cp vecto ch phng l a, b . Khi ú nu ta gi n l mt vecto phỏp
r
r
r
tuyn ca mt phng ( P ) thỡ n s bng tớch cú hng ca hai vecto a v b . Tc l
r
r r
n=ộ
a
, bự
ờ
ỳ
ở ỷ
+ Ba l bit im thuc mt phng v song song vi mt phng khỏc. Mt phng ( P ) i qua
im

M ( x0 ; y0 ; z0 )

Ax + By + Cz + D = 0 .

v

song song vi
Khi

ú

mt

mt
phng

phng

( P) s

( Q ) cú phng trỡnh l:
cú

phng

trỡnh

A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0

HOCTAI.VN HC THNH TI!

Trang 16

l:

+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm
uuu
r uuu
r
không thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng ( P ) có cặp vecto chỉ phương là AB, AC hoặc
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
AB, BC hoặc AC , BC …
Câu 22: Đáp án B
•

2
2
2
Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ax + by + cx + d = 0 ( a + b + c > 0) có một VTPT là

r
r
n = ( a; b; c ) . Dựa vào đó, ta thấy ngay ( P ) : x - 2 z + 3 = 0 có một VTPT là n = ( 1;0; - 2)

Câu 23: Đáp án A
•

uuu
r

uuu
r
Hướng dẫn giải: Dễ dàng ta tính được AB = ( 2;1;1) ; AC = ( - 2; - 1; - 1) , suy ra A là trung
điểm của BC

Câu 24: Đáp án C
•

Hướng dẫn giải: Dễ thấy A( 2; - 1;3) Î ( a ¢) Þ loại B, D . B ( 0;0;1) Î ( a ¢) Þ loại A.

•

Bổ trợ kiến thức: Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững.

+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vecto pháp tuyến. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )
và có vecto pháp tuyến là

r
n ( A; B; C ) . Khi đó phương trình mặt phẳng ( P )

là

A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vecto chỉ phương. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm
r r
r
M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp vecto chỉ phương là a, b . Khi đó nếu ta gọi n là một vecto pháp tuyến của
r
r r
r

r
r
a
, bù
mặt phẳng ( P ) thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vecto a và b . Tức là n = é
ê
ú
ë û
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm
M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng ( Q ) có phương trình là: Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó
mặt phẳng ( P ) sẽ có phương trình là: A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm không
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng ( P ) có cặp vecto chỉ phương là AB, AC hoặc AB, BC hoặc
uuu
r uuu
r
AC , BC …
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 17


Câu 25: Đáp án D
•

uuu
r éuuu
r uu
r uu
r
ù; n ù
n
;
n
Hướng dẫn giải: Dùng công thức để giải nhanh: n( Q) = êé
ë ( Q) V ú
û Vú
ëê
û
uuu
r
Áp dụng công thức nên ta có n( Q) = ( - 8; 20; - 16) suy ra:

( Q ) : - 8( x - 1) + 20 ( y - 1) - 16 z = 0 Û 2 x - 5 y + 4 z + 3 = 0 Þ a + b + c = 1
•

Bổ trợ kiến thức: Một số kiến thức toán mà học sinh cần nắm vững.
Phương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c) bán kính R là ( S ) : ( x - a ) +( y - b) +( z - c ) = R 2
2

2

2

.Trong không gian Oxyz cho phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2 Ax + 2 By + 2Cz + D = 0 là
phương trình mặt cầu khi A2 + B 2 + C 2 - D > 0 . Khi đó mặt cầu có tâm I ( - A; - B; - C ) và
bán kính R = A2 + B 2 + C 2 - D .
Một số dạng toán mà học sinh cần nắm vững
+ Một là biết điểm thuộc mặt phẳng và vecto pháp tuyến. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 )
và có vecto pháp tuyến là

r
n ( A; B; C ) . Khi đó phương trình mặt phẳng ( P )

là

A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
+ Hai là biết điểm thuộc mặt phẳng và cặp vecto chỉ phương. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm
r r
r
M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có cặp vecto chỉ phương là a, b . Khi đó nếu ta gọi n là một vecto pháp tuyến của
r
r r
r
r
r
a
, bù
mặt phẳng ( P ) thì n sẽ bằng tích có hướng của hai vecto a và b . Tức là n = é
ê
ë ú
û
+ Ba là biết điểm thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng khác. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm
M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng ( Q ) có phương trình là: Ax + By + Cz + D = 0 . Khi đó

mặt phẳng ( P ) sẽ có phương trình là: A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = 0
+ Bốn là biết 3 điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. Mặt phẳng ( P ) đi qua 3 điểm không
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
thẳng hàng A, B, C. Khi đó mặt phẳng ( P ) có cặp vecto chỉ phương là AB, AC hoặc AB, BC hoặc
uuu
r uuu
r
AC , BC …
Câu 26: Đáp án D
•

Hướng dẫn giải: Ta có y =

k sin x +1
Û y cos x - k sin x + 2 y - 1 = 0 , dễ thấy ta
cos x + 2

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

Trang 18


2

ị y 2 + k 2 ( 2 y - 1) 3 y 2 - 4 y +1- k 2 Ê 0

Yờu cu bi toỏn


2-

2-

3k 2 +1
2 + 3k 2 +1
Ê yÊ
3
3

3k 2 +1
>- 1 5 > 3k 2 +1 k < 2 2
3

B tr kin thc: cho bi toỏn c d hiu hn cỏc em cú th ngh hng gii mt
cỏch n gin nh sau, u tiờn l cỏc em dựng kin thc v min, max ca hm s tỡm
cỏc GTLN v GTNN ca hm s ( k c cú tham s hay khụng cú tham s ), sau ú gii
quyt min > 1 vy l hon thnh xong bi toỏn.
Bc khú khn ca bi toỏn trờn l bc tỡm min ca y = f ( x ) =

k sin x +1
do gp phi
cos x + 2

tham s k nhng nu dựng cỏc k thut s cp x lớ v d tỡm thy c
2-

3k 2 +1
2 + 3k 2 +1
, khi ú ta ch cn tỡm k sao cho min y > 1 vy l ta chn
Ê yÊ
3
3

c ỏp ỏn ỳng.
Cõu 27: ỏp ỏn A


Hng dn gii: Ta cú hm s

ổ pử
y = s inx ng bin trờn khong ỗ
0; ữ
ữ
ỗ
ữ v
ỗ
ố 2ứ

ổ pử
p
p
x, y , - x , - y ẻ ỗ
0; ữ
ữ
ỗ
ữ.

ỗ
ố 2ứ
2
2
ổ
ử
ùỡ
ỡù
p
ỗp - y ữ
ùù x > - y ùù sin x > sin ỗ
ữ
ữ= cos y
ỗ2
ùù
ố
ứ
p ù
2
ị ớ
Gi s x + y > ị ớ
ù
ổ
ử
p
2 ùù
p
- xữ
ùù y > - x ùùù sin y > sin ỗ
ữ

ỗ
ữ= cos x
ỗ
2
ố2
ứ
ùợ
ùợ
D

thy

sin 2 x + sin 2 y = sin x.sin x + sin y.sin y > sin x cos y +sin y cos x = sin ( x + y )

( mõu thun vi gi thit ).
ỡù
ổ
ử
ỡù
p
ỗp - y ữ
ùù x < - y ùù sin x < sin ỗ
ữ
ữ= cos y
ỗ
ùù
ố2
ứ
p ù
2

ị ớ
Gi s x + y < ị ớ
ù
ổ
ử
p
2 ùù
p
- xữ
ùù y < - x ùùù sin y < sin ỗ
ữ
ỗ
ữ= cos x
ỗ
2
ố2
ứ
ùợ
ùợ
D

thy

sin 2 x + sin 2 y = sin x.sin x + sin y.sin y < sin x cos y +sin y cos x = sin ( x + y )

(mõu thun vi gi thit), vy ta c x + y =
HOCTAI.VN HC THNH TI!

p
2

Trang 19




B tr kin thc: Cỏc em cú th s dng mỏy tớnh cm tay VINACAL 570ES PLUS II
gii bi toỏn trờn nh sau. Gi s cho x = 0,27 , t phng trỡnh bi:
sin 2 x + sin 2 y = sin ( x + y ) v t cỏc ỏp ỏn bờn di, ta th tng phng ỏn thỡ rừ rng
ùỡù x = 0, 27
ùớ
lm tha món phng trỡnh, khi ú ta d dng chn c phng ỏn ỳng.
ùù y = p - 0, 27
ùợ
2
ổ pử
0; ữ
Cỏc em ghi nh luụn nhộ ỏp dng vo cỏc bi tp khỏc: vi x, y ẻ ỗ
ữ
ỗ
ữthỡ ra luụn cú
ỗ
ố 2ứ
sin 2 x + sin 2 y = sin ( x + y ) ị x + y =

p

2

Cõu 28: ỏp ỏn

Hng dn gii: Gi s y = f ( x ) l hm s tun hon
ị $T > 0 : f ( x +T ) = f ( x ) " x ẻ Ă
ỡù a sin cT + b cos dT = b
ị
Cho x = 0, x =- T ị ùớ
ùợù - a sin cT + b cos dT = b
Gi s

ùỡù cos dT = 1
ị
ớ
ùùợ sin cT = 0

ùớỡù dT = 2np ị c = m ẻ Ô
ùợù cT = mp
d 2n

c
c k
2pk 2l p
ẻ Ô ị $k , l ẻ Â : = . t T =
=
d
d l
c
d

D thy f ( x +T ) = f ( x ) " x ẻ Ă ị f ( x ) l hm s tun hon vi chu kỡ T =

2pk 2l p
=
c
d

B tr kin thc: Thng thỡ nhng bi toỏn nh trờn cỏc em cú th suy lun c ngay
c
mi cú s liờn quan v quyt nh n vic hm s y = f ( x ) cú tun hon hay khụng.
d
Tuy nhiờn ch cn nhn ra c chiu thun y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx l hm s tun
hon ị

c
l s hu t l cỏc em ó thy ngay c phng ỏn ỳng ri, chng minh
d

chiu ngc li thỡ ú l iu khụng d dng.
Cỏc em ghi nh luụn nhộ ỏp dng vo cỏc bi tp khỏc: Cho a,b,c,d l cỏc s thc
khỏc 0 v hm s y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx , khi ú y = f ( x ) = a sin cx + b cos dx l
hm s tun hon khi v ch khi
HOCTAI.VN HC THNH TI!

c
l s hu t
d
Trang 20


Cõu 29: ỏp ỏn A

Hng dn gii: Cú 10 ng kớnh ca ng trũn c ni bi 2 nh ca a giỏc u.
Mt hỡnh ch nht cú 4 nh l nh ca mt a giỏc c to bi 2 ng kớnh núi trờn. S
cach chn 4 nh ca a giỏc l:



C

4

= 4845 . Xỏc sut cn tỡm l: P =
20

45
3
=
4845 323

B tr kin thc: tớnh xỏc sut P ( A) ca mt bin c A ta thc hin cỏc bc: 1) Xỏc
nh khụng gian mu Wri tớnh s phn t n ( W) ca W. Xỏc nh tp hp con mụ t bin c
A ri tớnh s phn t n ( A) ca tp hp A. Tớnh P ( A) theo cụng thc P ( A) =

n ( A)
n ( W)

Cõu 30: ỏp ỏn C

ỡù n 3
Hng dn gii: iu kin ùớ
ùùợ n ẻ Ơ
Ta cú:

4

n- 2
C n =13Cn

n!
n!
= 13.
n 2 - 5n - 150 = 0
4!( n - 4) !
( n - 2) !2!
15

ộn = 15 ( t / m)
ờ
ờn =- 10 ( l )
ở

k

15
15
ổ3 1 ử
1ử
k

k
3 15- k ổ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
n
=
15
Vi
ta cú ỗx - 2 ữ
= ồ C15 ( x )
.ỗ- 2 ữ
= ồ C15k ( - 1) .x 45- 5 k
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố x ứ k =0
x ứ
k =0

trong khai trin ó cho cú s hng cha x10 thỡ 45 - 5k = 10 ị k = 7 ( t / m)
Vy h s ca x10 trong khai trin ó cho l


C

7

7

.( - 1) =- 6435

15

B tr kin thc: Bi toỏn thng gp vi cỏc dng cõu hi: Tỡm h s ca x,k trong khai
trin, hoc tỡm s hng khụng cha bin trong khai trin, hoc s hng th k trong khai trin
hoc cỏc cõu hi khỏc liờn quan n h s trong mt khai trin nh thc Newton ó cho. Khi
ú ta s thc hin theo cỏc bc.
+Bc 1: Khai trin nh thc Newton dng tng quỏt hoc dng khai trin
k

+Bc 2: Tỡm dng s hng tng quỏt ca khai trin kớ hiu: Tk +1 = C na n- k b k . Rỳt gn s
hng tng quỏt vi s m thu gn ca cỏc bin cú trong khai trin.
+Bc 3: Cn c v yờu cu ca bi toỏn a ra phng trỡnh tng ng vi giỏ tr ca k.
Gii phng trỡnh tỡm k tha món: 0 Ê k , k Ê n
+Bc 4: Thay giỏ tr k va tỡm c v s hng tng quỏt v tr li ỳng yờu cu ca bi
toỏn.
Cõu 31: ỏp ỏn B
HOCTAI.VN HC THNH TI!

Trang 21


•

Hướng dẫn giải: Từ tập E = {1; 2;3; 4;5;6;7} có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân
biệt trong đó luôn có chữ số 7 và chữ số hàng nghìn luôn là chữ số 1.

Gọi số có 5 chữ số phân biệt: a1a2 a3 a4 a5 ; trong đó ai ; i = 1;5 .
Gán a2 = 1 Þ a2 có một cách chọn
Chọn 1 trong 4 vị trí còn lại của các chữ số để đặt số 7 Þ có 4 cách chọn vị trí cho số 7
3
Ba vị trí còn lại nhận giá trị là 3 số lấy từ E \ {1;7} Þ có A5 cách xếp 3 số vào 3 vị trí còn

lại.
Suy ra, số các số gồm 5 chữ số phân biệt lấy từ tập E, trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng
3
ngàng là chữ số 1 là: 1.4. A5 = 240 (số)

Kết luận: Có 240 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 32: Đáp án C

•

Hướng dẫn giải: Dễ thấy: lim n
n®¥

vì n
•

(

3

8n3 + n -

) (

4n 2 + 3 = n

(

3

)

8n3 + n - 2n - lim

n®+¥

) (

8n3 + n - 2n - n

3

(

)

4n2 + 3 - 2n =-

4n 2 + 3 - 2n

2
3

)

Bổ trợ kiến thức:
Bài toán có cách giải tương tự bài số 01, đề kiểm tra 15 phút lần 1 đề 2 Học kì II. Các em có
thể sử dụng MTCT VNACAL 570ES PLUS II để giải bài toán trên như sau.
Nhập X

(

3

8X 3 + X -

)

4 X 2 + 3 máy tính cầm tay, khi đó bấm CALC với X càng lớn ta

được một con số xấp xỉ với đáp án đúng, ví dụ như
X

(

3

8X 3 + X -

)

4 X 2 + 3 » - 0, 6666674 »

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

X = 106

ta được

- 2
.
3
Trang 22


Vy l ta cú th chn c nhanh ỏp an, ch cú phng ỏn C tha món, vic cho giỏ tr X bng bao
nhiờu l do kh nng chn ca bn nhộ, nú mang tớnh cht tng i nhiu hn l tuyt i, chn
sao cho n ln l c v phi trong tm tớnh toỏn ca mỏy tớnh na, mi cỏch chn n cng ln thỡ
ta cng c s xp x vi ỏp ỏn.
Cõu 33: ỏp ỏn A


Hng dn gii: Ta cú c1 , c2 , c3 ,K , cn cựng thuc [ a; b ] nờn
a Ê c1 Ê b, a Ê c2 Ê b, a Ê c3 Ê b, K
Hm s y = f ( x ) ng bin trờn [ a; b ] nờn suy ra c

f ( a ) Ê f ( c1 ) Ê f ( b )
v
f ( a ) Ê f ( c2 ) Ê f ( b)

f ( a ) Ê f ( c3 ) Ê f ( b) ,K f ( a ) Ê f ( cn ) Ê f ( b ) ị nf ( a ) Ê f ( c1 ) + f ( c2 ) +K f ( cn ) Ê nf ( b )
ị f ( a) Ê

1ộ

f ( c1 ) + f ( c2 ) +K + f ( cn ) ự
ỷÊ f ( b )
nở

1
f ( c1 ) + f ( c2 ) +K + f ( cn ) ự
t M = ộ
ỷ, xột hm g ( x ) = f ( x ) - M liờn tc trờn
nở

[ a; b ] , g ( a ) = f ( a ) - M Ê 0 v g ( b) = f ( b) - M 0 vy thỡ g ( a ) .g ( b) Ê 0
ộg ( a ) = 0
+ Khi g ( a ) .g ( b) = 0 ờ
ờg ( b) = 0 nờn a hoc b l nghim ca phng trỡnh f ( x ) = M
ở
+ Khi g ( a ) .g ( b) < 0 thỡ phng trỡnh f ( x ) - M = 0 cú ớt nht mt nghim trong ( a; b)
1
f ( c1 ) + f ( c2 ) +K + f ( cn ) ự
Kt lun phng trỡnh: f ( x ) = ộ
ỷluụn cú nghim trong [ a; b ]
nở
Cõu 34: ỏp ỏn C


Hng dn gii:
+ Vi x > 0, f ( x ) = x - 1 l hm a thc nờn liờn tc trờn Ă , do ú liờn tc trờn ( 0;+Ơ )
+ Vi x > 0, f ( x ) = 1- x l hm a thc nờn liờn tc trờn Ă , do ú liờn tc trờn ( - Ơ ;0)
f ( x ) =- 1;lim f ( x ) = 1
D thy hm s giỏn on ti x = 0 , vỡ xlim
x đ0

đ 0+



B tr kin thc: Cho hm s y = f ( x ) xỏc nh trờn khong K v x0 ẻ K
f ( x ) = f ( x0 )
+ Hm s y = f ( x ) c gi l liờn tc ti x0 nu xlim
đ x0

HOCTAI.VN HC THNH TI!

Trang 23


+ Hàm số y = f ( x ) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó. Trích định
nghĩa 1 SGK Đại số và Giải tích lớp 11 chương III, bài 3: Hàm số liên tục, phần I và định
nghĩa I.
Câu 35: Đáp án A
•

Hướng dẫn giải: Hàm số liên tục tại x = 1 nên ta có a + b =
Hàm số có đạo hàm tại x = 1 nên giới hạn 2 bên của

lim+

x®1

1
2

f ( x) - f ( 1)
bằng nhau và ta có
x- 1

f ( x ) - f ( 1)
ax + b - ( a.1 + b)
a ( x - 1)
= lim+
= lim+
= lim+ a = a và dễ dàng ta cũng có
x ®1
x ®1
x ®1
x- 1
x- 1
x- 1

x2 1
được: lim f ( x ) - f ( 1) = lim 2 2 = lim ( x +1) ( x - 1) = lim ( x +1) = 1 Þ a = 1, b =- 1
x®1+
x ®1+ x - 1
x ®1+
x ®1+
x- 1
2 ( x - 1)
2
2
•

Bổ trợ kiến thức: Ta luôn ghi nhớ: Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x = x0 thì

f ( x ) liên tục tại điểm đó
Còn khẳng định: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục tại điểm x = x0 thì f ( x ) có đạo hàm tại
điểm đó là khẳng định sai.
Một số kiến thức cần ghi nhớ dành cho học sinh: Giả sử hàm số y = f ( x ) là hàm số xác
định tại điểm x0 và trong lân cận của điểm x0
f ( x0 +D x ) - f ( x0 )
Dy
tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi
= lim
D x®0 D x
D x® 0
Dx

Nếu giới hạn lim

là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 , kí hiệu f ¢( x0 )
Câu 36: Đáp án B
•

Hướng dẫn giải: Ta dễ thấy: D y = ( x0 +D x ) - ( x0 +D x ) - ( x0 2 - x0 ) =
2

2

2

x0 2 + 2 x0D x +( D x ) - x0 - D x - x0 2 + x0 = ( D x ) + 2 x0D x - D x
Dy
D x® 0 D x

Khi đó f ¢( x0 ) = lim
2

= lim

D x® 0

( D x) + 2 x0D x - D x
Dx

= lim ( D x + 2 x0 - 1) Þ f ¢( x ) = lim ( D x + 2 x - 1)

HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!

D x®0

D x ®0

Trang 24




B tr kin thc: Mt s kin thc cn ghi nh dnh cho hc sinh:
+ i lng D x = x - x0 c gi l s gia ca i s ti x0
+ i lng D y = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 +D x ) - f ( x0 ) c gi l s gia tng ng ca
Dy
D x đ0 D x

hm s. Nh vy y Â( x0 ) = lim

Trớch SGK i s v Gii tớch lp 11 chng IV: o hm, bi 1 phn I mc 2 phn chỳ
ý.
Cõu 37: ỏp ỏn C
x +5
- 7
ị f Â( x ) =
, " x ạ 2 ị k = f Â( 3) =- 7
2
x- 2
( x - 2)



Hng dn gii: Ta cú f ( x ) =



B tr kin thc: Bi toỏn ny tng t nh bi toỏn s 08 kim tra 15 phỳt ln 2 1
Hc kỡ II. Mt s kin thc cn ghi nh dnh cho hc sinh:
Phng trỡnh tip tuyn ca th ( C ) ca hm s y = f ( x ) ti im M 0 ( x0 ; f ( x0 ) ) l
y - y0 = f Â( x0 ) ( x - x0 ) trong ú y0 = f ( x0 )
Trớch SGK i s v Gii tớch lp 11 chng IV: o hm, bi 1, phn I mc 5 v nh lớ
3

Cõu 38: ỏp ỏn D
5

Hng dn gii:

5
ổ
ử
dx
1
1
ữ
ỗ
=
ln
2
x
1
= ln 9 = ln 3 ị K = 3
(
)
ữ
ũ 2 x - 1 ỗỗố2
ữ
ứ1 2
1

Cõu 39: ỏp ỏn A


Hng dn gii:
t t = 1 + x ị t 2 = 1 + x ị 2tdt = dx . i cn x = 0 ị t = 1; x = 3 ị t = 2
2

I =ũ
1

2

2

t2 - 1
2tdt = ũ( t - 1) 2tdt =ũ( 2t 2 - 2t ) dt ị f ( t ) =2t 2 - 2t
1+ t
1
1

Cõu 40: ỏp ỏn B


Hng dn gii: Gi w = x + yi, ( x, y ẻ Ă ) . Ta cú w = ( 1 + i ) z +1 z =

HOCTAI.VN HC THNH TI!

w- 1
1+i

Trang 25