SỔ TAY TOÁN học 10

Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)

CHỦ ĐỀ: TẬP XÁC ĐỊNH
1

A0
A

A 
A0
x  2
x 2  3x  2  0 

x  1

x 2  3 x  2  0 
1  x  2

x 2  2 x  1  0 
x 1

x 2  2 x  1  0 


Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số: y 

Lời giải: Ta có: y 

x

x

2x  6 1

2

 2 x  16  x 2

1

A0
A

x 2  x  2  0 x 
x 2  2 x  1  0 
 x 1



x  3
x  3
 2


  x  16  0 
 4  x  4 
 D  3; 4  .
2
16  x
x x  2  0
 x  0, x  2



 

2x  6 1

2

 2x

CHỦ ĐỀ: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
Lý thuyết căn bản cần nắm vững về khảo sát sự biến thiên của hàm số:
— Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số y  f ( x).
 x1 , x2  D
f ( x2 )  f ( x1 )
 Xét tỉ số T 
— Bước 2. Giả sử 

x2  x1
 x1  x2

+ Nếu T  0: hàm số đồng biến trên miền D.
+ Nếu T  0: hàm số nghịch biến trên miền D.
— Bước 3. Kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D.

HÀM SỐ BẬC NHẤT

Một người chiến thắng

Không bao giờ ngừng cố gắng.

Trang 1/8


Cụ Nguyn Phng Anh Chuyờn Luyn Toỏn Cp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)

phửụng trỡnh baọc nhaỏt moọt aồn


Giai va biờn luõn phng trinh ax b 0 ax b
H s

Kt luõn

a0

a0

(i)

b
( i ) co nghiờm duy nhõt x
a
b0

( i ) vụ nghiờm.

b0

( i ) nghiờm ung vi moi x.

Bai toan tim tham s trong phng trinh bõc nhõt ax b 0

( ii )

ờ phng trinh (ii ) co nghiờm duy nhõt a 0.


ờ phng trinh (ii ) co tp nghiờm la

(vụ s nghiờm)

a 0


b 0

a 0

b 0

ờ phng trinh (ii ) vụ nghiờm

ờ phng trinh (ii ) co nghiờm co nghiờm duy nhõt hoc co



tp nghiờm la

a 0

a 0
b 0


Lu y: Co nghiờm la trng hp ngc lai ca vụ nghiờm. Do
o, tim iờu kiờn ờ (ii ) co nghiờm, thụng thng ta tim iờu kiờn
ờ (ii ) vụ nghiờm, rụi lõy kờt qua ngc lai.

phửụng trỡnh baọc hai moọt aồn


a 0 . Tõp xỏc nh ca hm s ny l

Hm s bõc hai: y ax 2 bx c

D .

I TH CA HM S BC HAI


b
ụ th ca hm s y ax 2 bx c a 0 l mt ng parabol co inh la iờm I ; , cú trc
2a 2a
b
i xng la ng thng x . Parabol ny quay bờ lừm lờn trờn nờu a 0, xung di nờu a 0.
2a
y

y
4a

b
2a

x

O

x
b
2a

O
4a

a0
a0
2
Cỏch v: ờ v parabol y ax bx c a 0 , ta thc hiờn cỏc bc

Mt ngi chin thng

Khụng bao gi ngng c gng.

Trang 2/8


Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)


 b
1) Xác định tọa độ của đỉnh I   ;   .
 2a 4a 
b
2) Vẽ trục đối xứng x   .
2a
3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm  0;c  ) và trục hồnh (nếu có).
4) Vẽ parabol. Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a ( a  0 bề lõm quay lên trên, a  0 bề lõm
quay xuống dưới).
II – CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
Dựa vào đờ thị hàm số y  ax 2  bx  c  a  0  , ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a  0
và a  0 như sau

a0

a0
b
2a

x

b
2a

x
y

y

4a
4a

Dạng toán 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai
Giải và biện ḷn phương trình bậc hai: ax2  bx  c  0

(i)

Phương pháp:
Bước 1. Biến đởi phương trình về đúng dạng ax2  bx  c  0.
Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:
 Trường hợp 1: a  0, ta giải và biện luận ax  b  0.
 Trường hợp 2: a  0. Ta lập   b2  4ac. Khi đó:

Nếu
x1,2 

0

thì ( i )

có 2 nghiệm phân biệt

b  

2a

Nếu   0 thì ( i ) có 1 nghiệm (kép): x  

b

2a

Nếu   0 thì ( i ) vơ nghiệm.
Bước 3. Kết luận.
Lưu ý:
a  0
a  0

hoặc 
b  0
  0

 Phương trình ( i ) có nghiệm  

a  0
a  0

hoặc 
b

0

  0

 Phương trình ( i ) có nghiệm duy nhất  

Một người chiến thắng

Khơng bao giờ ngừng cố gắng.

Trang 3/8


Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)

Dạng toán 2: Đònh lý Viét & Ứng dụng


Định lý Viét

b
S  x1  x2  


a
Nếu phương trình bậc hai ax2  bx  c  0, (a  0) có 2 nghiệm x1 , x2 thì 
c
P  x x 
1 2

a
Ngược lại, nếu hai số u và v có tởng u  v  S và tích uv  P thì u, v là 2 nghiệm của phương

trình x2  Sx  P  0, (S2  4P  0).
Ứng dụng định lý Viét
 Tính giá trị các biểu thức đối xứng của 2 nghiệm phương trình bậc hai:
 x12  x22  ( x12  2 x1 x2  x22 )  2 x1 x2  ( x1  x2 )2  2 x1 x2  S2  2 P.

 ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  4x1 x2  S2  4P  x1  x2  a  0  ( x1  x2 )2  a2  S2  4P  a2 .
 x13  x23  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x22 )  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  3x1 x2   S.(S 2  3P )  S 3  3SP.............

b
(1)
S  x1  x2   a

Biểu
Lưu ý: Nếu biểu thức khơng đối xứng thường ta giải hệ
 thức khơng đối xứng
(2)
c
 P  x1 x2 
(3)
a


bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được x1 , x2 theo m và thế x1 , x2 vào (3) để tìm m.
 Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: x1  0  x2  P  0.
  0

 Phương trình có 2 nghiệm dương: 0  x1  x2  P  0 
S  0

  0

 Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt: 0  x1  x2  S  0 
P  0


  0

 Phương trình có 2 nghiệm âm: x1  x2  0  P  0 
S  0

  0

 Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt: x1  x2  0  P  0 
S  0

 x1  x2  0

  0


P  0
0  x1  x2

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu: 

Lưu ý: Nếu đề bài u cầu so sánh 2 nghiệm x1 , x2 với số  , ta thường có 2 cách làm sau:
Một là đặt ẩn phụ t  x   để đưa về so sánh 2 nghiệm t1 , t2 với số 0 như trên.
 x1  a  x2  x1  a  0  x2  a  ( x1  a)( x2  a)  0

Hai là biến đởi, chẳng hạn: 


x  a
 x  a  0 nhân ( x1  a)( x2  a)  0 

a  x1  x2   1
 1




 x2  a
 x2  a  0  
 x1  x2  2a  0


Một người chiến thắng

Khơng bao giờ ngừng cố gắng.

Trang 4/8


Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)

Dạng toán 2: Phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối

Để giải phương trình chứa dấu trị tụt đối, ta tìm cách khử dấu trị tụt đối bằng cách: dùng
 A khi A  0
, hoặc bình phương 2 vế hoặc đặt ẩn phụ.
 A khi A  0

định nghĩa A  

 A  0

B  0

AB

 Loại 1: A  B   A  B hoặc sử dụng định nghĩa: A  B   

A  0
 A  B


  A  B
A  B


 Loại 2: A  B  
 A  B

 Loại 3: a. A  b. B  C dùng phương pháp chia khoảng để giải.
 Lưu ý: Giải và biện luận phương trình ax  b  cx  d ta làm như sau:
 ax  b  cx  d
 ax  b  cx  d

(1)
(2)

 Phương trình ax  b  cx  d  

 Giải và biện luận từng phương trình (1) và (2).
 Xét trường hợp nghiệm của phương trình (1) trùng với nghiệm phương trình (2).
 Kết luận.

Dạng toán 3: Phương trình chứa dấu căn thức



 B  0
A B

2
 A  B





A  B  A  B2 .


DẠNG:

 A  0 (hay B  0)
A B

A  B
3

A  B  A  B3 .

A B C 0

Phương pháp giải:
 Bước 1. Đặt điều kiện.
 Bước 2. Chuyển vế để hai vế đều dương, tức PT  A  C  B.
 Bước 3. Bình phương hai vế A  C  2 AC  B  2 AC  B  A  C.

Đây là dạng cơ bản

 B  0
A B

2
 A  B

 Lưu ý: Biến đởi trên là biến đởi hệ quả, do đó khi giải xong cần thay thế nghiệm
lại đề bài và kiểm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai.
ĐƯA VỀ TÍCH SỐ BẰNG PHÉP NHĨM
Phương pháp: Dùng các phép biến đởi, đờng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép
thích hợp để đưa phương trình đã cho về dạng tích số đơn giản hơn và biết cách giải,
Một người chiến thắng

Khơng bao giờ ngừng cố gắng.

Trang 5/8


Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)

chẳng hạn như: A.B  0  A  0 hoặc B  0 ………
Một số biến đổi thường gặp:


f ( x)  ax 2  bx  c  a.( x  x1 )( x  x2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của f ( x)  0.



Dùng các hằng đẳng thức cơ bản, lưu ý các biến đổi thường gặp sau:
u  v  1  uv  (u  1)  v(u  1)  0  (u  1)(1  v)  0  u  v  1.
au  bv  ab  vu  a(u  b)  v(u  b)  0  (u  b)(a  v)  0.

DẠNG:

3

A3B3C

Phương pháp giải:
 Bước 1. Lũy thừa: ( 3 A  3 B )3  ( 3 C )3  A  B  3 3 AB.( 3 A  3 B )  C


Bước

2.

Thế

3

A3B3C

()

()

vào

thì

()  A  B  3 3 ABC  C  3 3 ABC  C  A  B
 27.ABC  (C  A  B)3 .

 Lưu ý: Biến đổi trên là biến đổi hệ quả, do đó khi giải xong cần thay thế nghiệm lại
đề bài và kiểm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai.
ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1: a. f ( x)  b. n f ( x)  c  0

(1)

Dấu hiệu nhận dạng: Biểu thức chứa biến trong và ngoài căn thức có mối liên hệ với
nhau.
Phương pháp giải: Đặt t  n f ( x)  t n  f ( x) thì (1)  a.t n  b.t  c  0  t  x.
ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2: a. f ( x)  b. g( x)  2ab. f ( x).g( x)  h( x)

(2)

Dấu hiệu nhận dạng: Có chứa các hạng tử loại tổng và tích hoặc hiệu và tích.
Phương pháp giải:
 Bước 1. Đặt t  tổng hoặc t  hiệu, suy ra: t 2  ...... hoặc t 3  .......
 Bước 2. Giải phương trình với biến mới theo t , suy ra x.

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 3:   n a  f ( x)    m b  f ( x)  c

(3)

Dấu hiệu nhận dạng: Chỉ số căn thức lệch bậc hoặc đồng bậc cao.
u  n a  f ( x)

n
m
un  a  f ( x)

u  v  a  b
 m

, suy ra
m b  f ( x)
u   v  c
v

b

f
(
x
)

v







Phương pháp giải: Đặt 
u, v  x.

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 4: a  n A2  b  n A.B  c  n B2  0

(4)

Phương pháp giải: có 2 hướng xử lý
 Hướng 1. Đặt 2 ẩn phụ u  n A , v  n B , thì (4)  a.u2  b.uv  c.v2  0 (đẳng cấp)



Hướng 2. Chia trực tiếp cho lượng khác 0, chẳng hạn

n

B2  0, để được phương

2

 A
A
trình bậc hai dạng, tức: (4)  a   n   b  n  c  0.
B
 B

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 5: a. f ( x)  b.g( x)  c. f ( x).g( x)

(5)

Dấu hiệu nhận dạng: Phương trình có 1 căn thức và biểu thức trong căn thức phân
Một người chiến thắng

Không bao giờ ngừng cố gắng.

Trang 6/8


Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)

tích được thành tích số.
Phương pháp giải: có 2 hướng xử lý
 Hướng 1. Đặt 2 ẩn phụ u 

f ( x), v  g( x), đưa về phương trình đẳng cấp bậc

hai dạng: a.u2  b.v2  c.uv.
 Hướng 2. Chia trực tiếp cho lượng dương, chẳng hạn g( x)  0, để được phương

trình bậc hai dạng: a 

f ( x)
f ( x)
c
 b  0.
g( x)
g( x)

 Một số lưu ý:

– Đề bài thường cho giải phương trình với các dạng thường gặp sau đây:
ax2  bx  c  (dx  e)  mx  n.

(1)

ax 2  bx  c  d  mx 2  nx  p .

(2)

ax 2  bx  c  d  mx 3  nx 2  px  q .

(3)

ax 2  bx  c  d  mx 4  nx 3  px 2  qx  r .

(4)

  ax 2  bx  c    mx 2  nx  p    dx 2  ex  f .

(5)

Trong đó dạng (5) ta cần chuyển vế sao cho 2 vế đều dương và lũy thừa sẽ đưa
về một trong các dạng (2), (3), (4).
– Thơng thường, các biểu thức trong căn thức chưa phân tích thành tích số sẵn
mà ta phải phân tích với các dạng phân tích hay được sử dụng sau:
f ( x)  ax2  bx  c  a  ( x  x1 )  ( x  x2 ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của f ( x)  0.

Chia Hoocner đối với đa thức bậc cao khi nhẩm được nghiệm đẹp.
a3  b3  (a  b)(a2

ab  b2 ), a2  b2  (a  b)(a  b).

x4  x2  1  ( x2  1)2  x2  ( x2  1  x)( x2  1  x).

x4  1  ( x2  1)2  2x2  ( x2  x 2  1)( x2  x 2  1).
4x4  1  (2x2  1)2  4x2  (2x2  2x  1)(2x2  2x  1) ......

ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 6: a. f ( x)  b.g( x)  c. d. f 2 ( x)  e.g 2 ( x)

(6)

Phương pháp giải: Đặt 2 ẩn phụ u  f ( x), v  g( x), đưa phương trình đã cho về dạng
cơ bản

A  B, với c. d.u2  e.v 2  a.u  b.v hoặc chia cho lượng dương g( x)  0 thu
 f ( x) 
f ( x)
f ( x)
để bài toán đơn giản
 b và đặt t 
  e  a.
g( x)
g( x)
 g( x) 

được phương trình: c. d. 
hơn.

 Lưu ý: Biểu thức trong căn thức (căn thức lớn) chưa phân tích sẵn, ta cần phân
tích biểu thức này theo tởng của các biểu thức bên ngồi bằng đờng nhất

thức quen thuộc.

hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn


HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
 Định nghĩa:
Một người chiến thắng

Khơng bao giờ ngừng cố gắng.

Trang 7/8


Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp 3 : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)
a1 x  b1 y  c1 (1)
với
a2 x  b2 y  c2 (2)

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ có dạng ( I ) : 
a12  b12  0

 2
2
a2  b2  0

Cặp số ( xo ; yo ) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ.
 Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
Ký hiệu: D 

a1
a2

b1
c
 a1b2  a2 b1 , Dx  1
b2
c2

b1
a
 c1b2  c2 b1 , Dy  1
b2
a2

Xét D

Kết quả
Hệ có nghiệm duy nhất x 

D0

Dx  0 hoặc Dy  0

D0

c1
 a1c2  a2 c1 .
c2

Dy
Dx
, y

D
D

Hệ vô nghiệm.

Dx  Dy  0

Hệ có vô số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương
pháp thế, phương pháp cộng đại số.
 Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm ( x; y) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M( x; y) thuộc cả 2 đường thẳng:
(d1 ) : a1 x  b1 y  c1 và (d2 ) : a2 x  b2 y  c2 .

 Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất  (d1 ) và (d2 ) cắt nhau.
 Hệ ( I ) vô nghiệm  (d1 ) và (d2 ) song song với nhau.
 Hệ ( I ) có vô số nghiệm  (d1 ) và (d2 ) trùng nhau.
a1 b1

a2 b2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

y

y

yo

y
( d1 )

(d2 )

O

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

(d2 )

( d1 )

(d2 )

M

x

xo

Nghiệm duy nhất

Một người chiến thắng

x

O

Vô nghiệm

Không bao giờ ngừng cố gắng.

( d1 )

O

x

Vô số nghiệm

Trang 8/8