Lý thuyết Graph và ứng dụng

Lý thuyết Graph và ứng dụng
Một trong những kết quả đầu tiên trong lý thuyết đồ thị (graph) xuất hiện
trong bài báo của Leonhard Euler về Bảy cây cầu ở Königsberg, xuất bản
năm 1736. Bài báo này cũng được xem như một trong những kết quả topo đầu
tiên trong hình học, tức là, nó không hề phụ thuộc vào bất cứ độ đo nào. Nó
diễn tả mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết đồ thị và tôpô học.

Năm 1845, Gustav Kirchhoff đưa ra Định luật Kirchhoff cho mạch
điện để tính điện thế và cường độ dòng điện trong mạch điện.
Năm 1852 Francis Guthrie đưa ra bài toán bốn màu về vấn đề liệu chỉ với
bốn màu có thể tô màu một bản đồ bất kì sao cho không có hai nước nào cùng biên
giới được tô cùng màu. Bài toán này được xem như đã khai sinh ra lý thuyết đồ thị,
và chỉ được giải sau một thế kỉ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel và Wolfgang
Haken. Trong khi cố gắng giải quyết bài toán này, các nhà toán học đã phát minh
ra nhiều thuật ngữ và khái niệm nền tảng cho lý thuyết đồ thị.
Năm 1933 nhà toán học Dénes Kőnig đã xuất bản cuốn sách giáo khoa
đầu tiên về đồ thị và phát biểu định lí Kőnig rất nổi tiếng. Năm 1959 xuất bản
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1


cuốn sách The Theory of Graphs and its Applications được coi như cuốn sách
giáo khoa thứ 2 về vấn đề graph.
Mặc dù Lý thuyết đồ thị đã được khoa học phát triển từ rất lâu nhưng lại
có nhiều ứng dụng hiện đại. Đặc biệt trong khoảng vài mươi năm trở lại đây,
cùng với sự ra đời của máy tính điện tử và sự phát triển nhanh chóng của Tin
học, Lý thuyết đồ thị càng được quan tâm đến nhiều hơn. Đặc biệt là các thuật
toán trên đồ thị đã có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như:
Mạng máy tính, Lý thuyết mã, Tối ưu hoá, Kinh tế học v.v... Chẳng hạn như trả
lời câu hỏi: Hai máy tính trong mạng có thể liên hệ được với nhau hay không ?;
hay vấn đề phân biệt hai hợp chất hoá học có cùng công thức phân tử nhưng lại
khác nhau về công thức cấu tạo cũng được giải quyết nhờ mô hình đồ

thị. Hiện nay, môn học này là một trong những kiến thức cơ sở của bộ môn
khoa học máy tính.
Trong toán học và tin học, lý thuyết đồ thị nghiên cứu các tính chất
của đồ thị. Một cách không chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi
là các đỉnh (hoặc nút) nối với nhau bởi các cạnh (hoặc cung). Cạnh có thể có
hướng hoặc vô hướng. Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm (các
đỉnh nối với nhau bằng các đoạn thẳng (các cạnh).
Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều bài toán thực tế có thể
được biểu diễn bằng đồ thị. Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể được
biểu diễn bằng một đồ thị có hướng như sau: các đỉnh là các trang web hiện có
tại website, tồn tại một cạnh có hướng nối từ trang A tới trang B khi và chỉ
khi A có chứa 1 liên kết tới B. Do vậy, sự phát triển của các thuật toán xử lý đồ
thị là một trong các mối quan tâm chính của khoa học máy tính.
Cấu trúc đồ thị có thể được mở rộng bằng cách gán trọng số cho mỗi
cạnh. Có thể sử dụng đồ thị có trọng số để biểu diễn nhiều khái niệm khác nhau.
Ví dụ, nếu đồ thị biểu diễn một mạng đường giao thông, các trọng số có thể là
độ dài của mỗi con đường. Một cách khác để mở rộng đồ thị cơ bản là quy định
hướng cho các cạnh của đồ thị (như đối với các trang web, A liên kết tới B,
nhưng B không nhất thiết cũng liên kết tới A). Loại đồ thị này được gọi là đồ thị
có hướng. Một đồ thị có hướng với các cạnh có trọng số được gọi là một lưới.
Trong những năm gần đây, vấn đề đồ thị được đưa vào áp dụng trong
nhiều bài toán tổ hợp thi học sinh giỏi (Quốc gia và quốc tế). Theo xu hướng
của quốc tế, vấn đề tổ hợp nói chung và vấn đề đồ thị nói riêng cần được quan
tâm phát triển mạnh hơn nữa, tạo tiền đề tốt cho học sinh khi tham gia các kì thi
học sinh giỏi. Trong chuyên đề này chúng tôi trình bày lý thuyết từ đầu của
phương pháp đồ thị (các khái niệm và kết quả) cùng một số phương pháp áp
dụng vào giải các bài toán thi học sinh giỏi.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

1. Định nghĩa mở đầu
Định nghĩa 1. Một graph (hay một đồ thị) là tập các đỉnh và các cạnh nối một
số đỉnh với nhau. Kí hiệu G  V , E  với V là tập đỉnh và E  V  V là tập
cạnh.
Ví dụ: Có 11 graph khác nhau với tập đỉnh
có 4 phần tử. Biểu diễn của các graph như
hình vẽ bên.

Định nghĩa 2. Hai đỉnh được gọi là kề nhau nếu có 1 cạnh nối 2 đỉnh này.
Kí hiệu cạnh nối 2 đỉnh A, B là  AB  , nói chung  AB  khác  BA , nếu ta coi 2
cạnh này là 1 thì ta có graph vô hướng, nếu coi chúng khác nhau thì ta có graph
có hướng.
Có thể tồn tại cạnh nối 1 điểm với chính nó, cạnh này gọi là
khuyên.
Có thể tồn tại nhiều cạnh nối 2 điểm phân biệt, các cạnh
này gọi là cạnh kép.
Một graph đơn nếu nó không có khuyên và không có cạnh kép. Các bài toán ta
gặp chủ yếu là graph đơn.
Định nghĩa 3. Một graph đầy đủ với n đỉnh, kí hiệu là K n , là graph mà 2 đỉnh
bất kì đều có cạnh nối giữa chúng, khi đó có tất cả Cn2 cạnh.

Ví dụ :

K4

và

K5

Định nghĩa 4. Với U là tập con của tập các đỉnh, kí hiệu G U  là graph con
của G, thu được khi ta xóa tất cả các đỉnh nằm ngoài U, chỉ giữ lại các cạnh mà
cả 2 đầu mút thuộc U.
Các định nghĩa và kết quả dưới đây có giả thiết là graph đơn và vô hướng.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3


2. Bậc của đỉnh
Định nghĩa 5. Kí hiệu d  v  hoặc deg  v  cho bậc của đỉnh v, là số cạnh mà v là
đầu mút. Một khuyên được tính 2 lần cho đỉnh. Một điểm gọi là chẵn nếu nó có
bậc chẵn và được gọi là lẻ nếu nó có bậc lẻ.
Ví dụ: Graph bên có d  v1   4, d  v2   6, d  v3   1,

d  v4   3, d  v5   4 .

Kết quả 1. Trong một graph có nhiều hơn 1 đỉnh luôn có 2 đỉnh có cùng bậc.
Chứng minh
Xét G V , E  có n đỉnh, khi đó bậc của mỗi đỉnh sẽ là số tự nhiên nhỏ hơn n,
hơn nữa không tồn tại 2 đỉnh mà bậc của chúng tương ứng là 0 và n  1 (Có
đỉnh bậc n  1 có nghĩa nó nối với tất cả các đỉnh khác nên không còn đỉnh bậc
0).
Nếu không tồn tại 2 đỉnh cùng bậc thì bậc của các đỉnh này nhận tất cả các giá
trị 0,1,2,..., n  1 , mâu thuẫn với nhận xét trên. Ta có điều chứng minh.
Kết quả 2. Trong một Graph vô hướng G tùy ý tổng bậc của tất cả các đỉnh gấp
đôi số cạnh của Graph.
Chứng minh: Trong mỗi graph tổng bậc các đỉnh của một graph thì mỗi
cạnh được tính đúng hai lần bởi hai đỉnh của nó. Do đó tổng này gấp đôi số
cạnh của graph
Hệ quả 1: Trong một Graph vô hướng G tùy ý số đỉnh bậc lẻ luôn là một số
chẵn.

Chứng minh: Theo định lý trên thì tổng các bậc của các đỉnh luôn là một số
chẵn do vậy số các đỉnh bậc lẻ luôn là một số chẵn.
Hệ quả 2: Trong một graph vô hướng G có số lẻ đỉnh luôn có một số lẻ các
đỉnh có bậc chẵn.
Chứng minh: Theo hệ quả trên thì số đỉnh bậc lẻ trong graph G là một số
chẵn. Do trong graph G có số lẻ đỉnh, nên số các đỉnh bậc chẵn phải là số lẻ.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4


Ví dụ: Trong bữa tiệc có 51 người. Khi đó:
1. Có 1 người quen với chẵn người khác trong bữa tiệc;
2. Có 2 người có cùng số người quen;
3. Nếu mỗi người tính số người quen của mình trong bữa tiệc thì tổng của các số
này là số chẵn.
3. Đường đi, chu trình trong graph, graph liên thông.
Định nghĩa 6. Đường đi trong graph là một dãy các cạnh liên tiếp (hai cạnh liên
tiếp nếu chúng có chung đỉnh). Với đồ thị đơn, nếu đường đi đi qua các đỉnh
v1 , v2 ,..., vn theo thứ tự thì ta kí hiệu  v1 , v2 ,..., vn  , nếu đường đi đi qua các cạnh
e1 , e2 ,.., en theo thứ tự thì ta kí hiệu  e1 , e2 ,.., en  .

v4
e3

Ví dụ với graph bên, ta có đường đi
 v1 , v2 , v6 , v5 , v3  , đường đi này có thể kí hiệu là

 e1, e6 , e5 , e4  .

v1

e2

v3
v2

v5

e4

e1

e5
e6
v6

Độ dài của đường đi là số cạnh của đường đi này.
Ví dụ: Đường đi ở ví dụ trên có độ dài là 4.
Khoảng cách giữa 2 đỉnh a và b là độ dài của đường đi ngắn nhất nối 2 đỉnh
này, kí hiệu d  a, b  . Quy ước d  a, a   0 . Nếu không có đường đi nối a, b thì
quy ước d  a, b    .
Ví dụ: Ở graph trên ta có d  v1 , v3   4, d  v3 , v4   1 .
Đường kính của graph G là khoảng cách lớn nhất giữa 2 đỉnh của graph, kí hiệu
d  G  . Nếu graph có 2 điểm a, b mà d  a, b    thì quy ước d  G    .
Ví dụ: Graph trên có đường kính là 4.
Định nghĩa 7. Graph gọi là liên thông nếu với 2 đỉnh bất kì luôn tìm được 1
đường đi nối chúng.
Kết quả 3. Với G V , E  là liên thông thì E  V  1 .
Chứng minh
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5

Ta chứng minh quy nạp theo số đỉnh n của đồ thị.
Với n  1,2 ta thấy điều cần chứng minh.
Giả sử bài toán đúng với graph N đỉnh, nghĩa là có ít nhất N  1 cạnh.
Xét G V , E  có N  1 đỉnh và liên thông, suy ra bậc của mỗi đỉnh đều lớn hơn
0. Ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Bậc của mỗi đỉnh đều lớn hơn 1.
Ta có 2 E   d  A   2 N , suy ra E  N , có điều chứng minh.
AV

Trường hợp 2 : Giả sử có đỉnh A của đồ thị có bậc 1, xét graph con
G '  G   A (bỏ A và cạnh mà A là đầu mút). Dễ thấy G ' là liên thông và có N
đỉnh

và

E 1

cạnh.

Theo

giả

thiết

quy

nạp

với

G'

ta

có

E  1  N  1  E   N  1  1 , có điều chứng minh.
Kết quả 4. Các đỉnh có thể phân hoạch thành các tập V1 ,V2 ,...,Vr mà các graph
con G Vi  là liên thông và không có cạnh nào nối cặp điểm ở 2 tập khác nhau.
Chúng được gọi là các thành phần liên thông của G.
Định nghĩa 8. Chu trình của đồ thị là 1 đường đi đóng (điểm đầu và điểm cuối
trùng nhau). Độ dài của chu trình là số cạnh trong chu trình này.
Định nghĩa 9. Đường đi Ole là 1 đường đi qua tất cả các cạnh, mỗi cạnh đúng 1
lần.
Ví dụ trong graph bên, đường đi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là 1 đường
đi Ole.
Đường đi này có thể đi qua 1 đỉnh nhiều lần, cần chú ý điều
này để so sánh với đường đi Hamilton ở phần sau.
Định nghĩa 10. Đường đi Ole được gọi là chu trình Ole nếu điểm đầu và điểm
cuối trùng nhau.
Ví dụ graph bên có đường đi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 là chu trình Ole.
Kết quả 5. Một graph có chu trình Ole thì tất cả các đỉnh là chẵn.
Chứng minh
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6


Chú ý rằng, tại mỗi đỉnh nếu có cạnh vào thì sẽ có cạnh ra nên bậc luôn là chẵn.
Kết quả 6. Graph liên thông bất kì với tất cả các đỉnh là chẵn có 1 chu trình Ole.

Chứng minh
Bắt đầu từ đỉnh v1 không lặp lại bất kì cạnh nào và chú ý rằng do điều kiện bậc
mỗi đỉnh đều chẵn, đường đi này sẽ kết thúc ở v1 , đây là 1 chu trình. Nếu vẫn
còn cạnh chưa đi qua, xét đỉnh v2 thuộc đường đi trên và là đầu mút của 1 cạnh
chưa đi qua, xét đường đi bắt đầu từ v2 và qua cạnh chưa sử dụng này, đường đi
này cũng sẽ kết thúc ở v2 . Liên hết 2 đường đi này tại đỉnh v2 , nếu chưa được
chu trình thì tiếp tục quá trình. Ta có điều cần chứng minh.
Kết quả 7. Nếu 1 graph có đường đi Ole thì có nhiều nhất 2 đỉnh lẻ.
Chứng minh
Tương tự như kết quả 5.
Kết quả 8. Một graph liên thông có đúng 2 đỉnh lẻ chứa 1 đường đi Ole.
Chứng minh
Nối 1 cạnh mới giữa 2 đỉnh lẻ, khi đó tất cả các đỉnh là chẵn. Theo kết quả trên,
graph này có chu trình Ole. Xét chu trình bắt đầu từ 1 đỉnh lẻ lúc đầu, cạnh mới
thêm đi qua sau cùng. Khi đó nếu xóa cạnh mới thêm này thì chu trình này trở
thành đường đi Ole. Ta có điều chứng minh.
4. Cây
Định nghĩa 11. Một rừng là 1 graph không nhất thiết liên thông và không có
chu trình.
Định nghĩa 12. Một cây là 1 graph liên thông và không có chu trình.
Kết quả 9. Một cây bất kì luôn chứa đỉnh có bậc 1, đỉnh này được gọi là lá.
Chứng minh
Giả sử tất cả các đỉnh đều có bậc không nhỏ hơn 2. Xét đường đi bất kì
 v1 , v2 ,..., vn   n  2  . Nếu vn nối với 1 trong các đỉnh v1,..., vn2 thì ta có 1 chu
trình, mâu thuẫn.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7


Nếu không thì vn phải nối với 1 đỉnh khác vn1 . Tiếp tục quá trình thì graph sẽ
có vô hạn đỉnh, mâu thuẫn.

Hệ quả. Từ kết quả trên suy ra nếu graph có bậc mỗi đỉnh đều lớn hơn hoặc
bằng 2 thì có chu trình.
Kết quả 10. Một cây có thể tạo thành từ 1 graph liên thông bằng cách bỏ đi 1 số
cạnh.
Thật vậy, ta có thể tạo ra bằng cách bỏ đi 1 cạnh trong 1 chu trình, làm với tất
cả các chu trình ta sẽ thu được cây.
Kết quả 11. Một graph liên thông là 1 cây nếu và chỉ nếu nó chứa đúng V  1
cạnh.
Chứng minh
Giả sử G là liên thông, có n đỉnh và có n  1 cạnh và G có chu trình, chẳng hạn
A1 A2 ... Ak A1 . Nhận thấy nếu loại bỏ cạnh A1 A2 đồ thị mới vẫn liên thông, tuy
nhiên lúc này nó chỉ có n  2 cạnh, mâu thuẫn với E  V  1 , do G liên thông.
Ngược lại, do mọi cây đều có đỉnh bậc 1, bỏ đỉnh này khỏi đồ thị, khi đó ta có 1
cây mới mà số đỉnh và số cạnh cùng giảm đi 1. Bằng quy nạp theo số đỉnh ta có
điều chứng minh.
Kết quả 12. Nếu bỏ đi bất kì 1 cạnh của cây thì nó không liên thông.
Chứng minh
Giả sử cây có n đỉnh, theo kết quả trên thì nó có n  1 cạnh. Nếu bỏ đi 1 cạnh thì
nó còn n  2 cạnh. Cũng theo kết quả trên thì nó không còn là cây. Việc bỏ đi 1
cạnh sẽ không làm xuất hiện chu trình nào, suy ra nó không liên thông.
Kết quả 13. Nếu graph G không có chu trình, có n đỉnh và n  1 cạnh thì nó là 1
cây.
Chứng minh
Cần chứng minh G liên thông.
Phân hoạch G thành các thành phần liên thông, giả sử có k thành phần liên
thông. Ta tạo ra k  1 cạnh mới bằng cách nối thành phần liên thông thứ 1 với
thứ 2 (lấy 1 đỉnh ở 1 nối với 1 đỉnh ở 2), làm đến thành phần liên thông thứ k.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8

Khi đó ta sẽ được graph mới liên thông và không có chu trình (mỗi thành phần
liên thông không có chu trình và cách nối không tạo ra chu trình), suy ra graph
mới này là 1 cây. Theo kết quả trên, số cạnh của cây này là n  1 , suy ra k  1 ,
nghĩa là graph ban đầu liên thông, ta có điều chứng minh.
Kết quả 14. Giữa 2 đỉnh A, B bất kì trong 1 cây có đúng 1 đường đi.
Chứng minh
Do 1 cây là liên thông nên giữa A, B có ít nhất 1 đường đi.
Giả sử còn 1 đường đi nữa nối A, B. Ta thấy chỉ xảy ra 1 trong 3 trường hợp như
hình dưới đây, khi đó cây này có chu trình, mâu thuẫn.

Vậy giả sử sai, có điều chứng minh.
Nhận xét:
1. Nếu ta nối 2 đỉnh không kề nhau trong cây thì sẽ thu được 1 chu trình. Khi đó
nếu graph G có n đỉnh và ít nhất n cạnh thì nó có chu trình.
2. Kết quả mạnh hơn được đưa ra bởi Erdos: Một graph có n đỉnh và số cạnh ít
 n  1 k thì tồn tại 1 chu trình có độ dài ít nhất là k  1 .
nhất là
2
3. Một graph có n đỉnh và n  1 cạnh thì có ít nhất 2 chu trình.
Thật vậy, trước hết khẳng định graph có 1 chu trình, ta xóa 1 cạnh của chu trình
này thì graph còn lại có n cạnh, khi đó có 1 chu trình khác. Vậy nó có ít nhất 2
chu trình.
4. Nếu tất cả các đỉnh có bậc ít nhất là d thì có 1 đường đi có độ dài ít nhất là
d  1.
Định nghĩa 13. Đường đi Hamilton là đường đi đi qua tất cả các đỉnh, mỗi đỉnh
đúng 1 lần. Một đường đi Hamilton có điểm đầu và cuối trùng nhau được gọi là
chu trình Hamiltonian.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9

Ví dụ 1: Graph bên có đường đi 1, 2, 3, 4, 5 là 1 đường đi
Hamilton.

4
1

Đường đi 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 1 chu trình Hamilton.

2

3

6
5

Ví dụ 2: Trong các graph dưới đây, graph nào có chu trình Ole, chu trình
Hamilton?
Hình 1: Có cả chu trình Ole và Hamilton.
Hình 2: Có chu trình Hamilton và không có chu trình Ole.
Hình 3: Có chu trình Ole và không có chu trình Hamilton.
Hình 4: Không có cả chu trình Ole và chu trình Hamilton.
5. Tô màu
Số màu (sắc số) của graph là số nhỏ nhất của số màu cần thiết để tô các đỉnh sao
cho không có 2 đỉnh kề nhau được tô cùng màu.
Số màu của graph luôn nhỏ hơn hoặc bằng đỉnh lớn nhất cộng 1.
Hiển nhiên theo định nghĩa trên.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10

Một số bài toán áp dụng
Bài 1. Cho số nguyên dương n  2 và n thành phố, có 1 đường đi trực tiếp nối 2
thành phố bất kì, đường đi này thuộc sở hữu của 1 hãng hàng không. Biết rằng
không có hãng hàng không nào có quá n  2 đường đi. Chứng minh tồn tại 3
thành phố mà đường đi nối chúng đôi một thuộc 3 hãng hàng không khác nhau.
Giải
Đưa bài toán về ngôn ngữ đồ thị như sau: Cho đồ thị đầy đủ có n đỉnh, tô màu
mỗi cạnh bởi 1 màu sao cho không có màu nào được dùng quá n  2 lần. Chứng
minh tồn tại một tam giác mà 3 cạnh được tô 3 màu khác nhau.
Chứng minh bài toán bằng nguyên lí cựu hạn
Giả sử phản chứng, nghĩa là không tồn tại tam giác mà 3 cạnh được tô 3 màu
khác nhau.
Giả sử ta sử dụng các màu 1, 2, 3, …, k.
Với mỗi i, kí hiệu Ci là tập tất cả các đỉnh mà với 2 đỉnh bất kì trong đó có
đường đi được tô cùng màu i (Đường đi trong đồ thị là dãy các cạnh liên tiếp).
Đặt C  max Ci , giả sử các đỉnh trong C được tô màu 1.
i 1,..., k

Do điều kiện mỗi màu được dùng không quá n  2 lần nên tồn tại đỉnh v không
thuộc C.
Xét 2 đỉnh bất kì u, w trong C, khi đó cả 2 cạnh vu, vw được tô màu khác màu 1
(vì nếu có cạnh được tô màu 1 thì v thuộc C).
Nếu 2 cạnh này được tô 2 màu khác nhau thì tam giác uvw thỏa mãn điều kiện,
mâu thẫu giả sử.
Nếu 2 cạnh này được tô cùng màu, giả sử màu 2. Khi đó tất cả các cạnh nối v và
đỉnh trong C cùng được tô màu 2 (do u, w được lấy bất kì).
Suy ra tập C  v chứa các đỉnh mà với 2 đỉnh bất kì trong đó có đường đi
được tô cùng màu 2, tập này có nhiều phần tử hơn tập C, mâu thuẫn cách chọn
C.

Vậy điều giả sử là sai, ta có điều phải chứng minh.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11


Bài 2 (IMO Shortlist 1990). Có 10 thành phố và 2 hãng hàng không cung cấp
tất cả các đường bay trực tiếp từ 2 thành phố bất kì, giữa 2 thành phố có đúng 1
đường bay. Một hãng hàng không chỉ tổ chức được chuyến bay trên đường bay
mà mình quản lí. Chứng minh có 1 hãng hàng không có thể tổ chức 2 chuyến du
lịch, mỗi chuyến là đường đi vòng tròn qua lẻ thành phố và không có thành phố
chung của 2 chuyến du lịch này.
Giải
Đưa bài toán về ngôn ngữ graph: Xét graph đầy đủ K10 . Mỗi cạnh của graph
được tô bởi màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh tồn tại 2 chu trình rời nhau, cùng
màu và có độ dài lẻ.
Trước hết cần có 2 bổ đề:
Bổ đề 1. Mỗi cạnh của graph K 6 được tô bởi 1 trong 2 màu, khi đó tồn tại tam
giác đơn sắc.
Chứng minh
Dễ chứng minh bằng nguyên lí Dirichle.
Bổ đề 2. Mỗi cạnh của graph K 5 được tô bởi 1 trong 2 màu, giả sử không tồn tại
tam giác đơn sắc. Khi đó tồn tại 2 chu trình đơn sắc có độ dài 5.
Chứng minh
Xét các đỉnh của K 5 là v1 , v2 , v3 , v4 , v5 và các cạnh v1v2 , v1v3 , v1v4 , v1v5 .
Nếu cả 4 cạnh này cùng màu thì sẽ tồn tại tam giác đơn sắc, mâu thuẫn giả thiết.
Nếu có 3 cạnh, giả sử là v1v2 , v1v3 , v1v4 cùng màu, giả sử là màu đỏ.
Xét 3 cạnh v2v3 , v3v4 , v4v2 , nếu có cạnh màu đỏ thì có tam giác đỏ, nếu không thì
có tam giác xanh, mâu thuẫn giả sử.
Vậy mỗi đỉnh là đầu mút của đúng 2 cạnh xanh và 2 cạnh đỏ.
Xét graph sinh ra từ graph trên mà chỉ giữ lại cạnh được tô đỏ, graph này có 5
đỉnh, mỗi đỉnh đều có bậc 2, khi đó nó là hợp của các chu trình rời nhau, do chỉ

có 5 đỉnh nên nó chỉ có 1 chu trình, chu trình này có độ dài là 5. Tương tự với
graph khi ta chỉ giữ lại các cạnh được tô xanh.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12


Ta có điều phải chứng minh.
Quay lại bài toán
Xét 10 đỉnh của graph là v1 , v2 ,..., v10 .
Theo bổ đề 1, tồn tại tam giác đơn sắc, giả sử là v1v2v3 .
Tiếp tục bổ đề 1 với graph con K10  v1 , v2 , v3 , ta có tam giác đơn sắc, giả sử là
v4v5v6 .

Nếu 2 tam giác này cùng màu ta có điều phải chứng minh.
Ngược lại, giả sử v1v2v3 màu xanh và v4v5v6 màu đỏ.
Xét 9 cạnh vi v j ,1  i  3,4  j  6 , theo nguyên lí Dirichle có 5 cạnh trong số
chúng cùng màu, giả sử là màu xanh. Khi đó tồn tại j0 , 4  j0  6 sao cho 2
trong 3 cạnh v1v j0 , v2v j0 , v3v j0 cùng màu xanh, ta có 1 tam giác xanh và 1 tam
giác đỏ chung nhau đúng 1 đỉnh v j0 , giả sử ta có v1v2v3 màu đỏ và v3v4v5 màu
xanh.
Xét graph con K10  v1 ,..., v5 có 5 đỉnh.
Nếu graph này có tam giác đơn sắc thì có điều chứng minh.
Ngược lại, theo bổ đề 2 thì tồn tại 1 chu trình đơn sắc có độ dài 5.
Chu trình này cùng với 1 trong 2 tam giác ở trên thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài 3. Một viện hàn lâm có 999 viện sĩ, mỗi đề tài khoa học có đúng 3 viện sĩ
nghiên cứu và 2 viện sĩ bất kì có chung nhau đúng 1 đề tài cùng nghiên cứu.
Chứng minh trong số các đề tài nghiên cứu, tồn tại 250 đề tài mà mỗi viện sĩ chỉ
nghiên cứu tối đa 1 đề tài trong số 250 đề tài đó.
Giải
Giả sử các đề tài là 1, 2, …, n tương ứng với các màu 1, 2, …, n.

Xây dựng đồ thị G có 999 đỉnh, 2 đỉnh nối với nhau nếu 2 viện sĩ tương ứng
nghiên cứu cùng 1 đề tài, đồng thời tô màu cạnh này tương ứng với đề tài đó.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13


Khi đó ta được G là đầy đủ, hơn nữa với mỗi màu có đúng 3 cạnh được tô màu
này và 3 cạnh này tạo thành 1 tam giác đơn sắc.
Cần chứng minh tồn tại 250 tam giác đơn sắc đôi một rời nhau.
Gọi k là số lớn nhất các tam giác đơn sắc đôi một không có điểm chung.
Nếu k  250 ta chọn k đề tài ứng với k màu của k tam giác trên thì bài toán
được chứng minh.
Nếu k  250 , trong  999  3k  đỉnh còn lại không thể tìm được 1 tam giác đơn
sắc nào nữa (nếu có thì k không lớn nhất).
Gọi S là tập chứa  999  3k  đỉnh này, T là tập các đỉnh không thuộc S.
Suy ra với 2 điểm X, Y bất kì trong S, tồn tại duy nhất điểm Z trong T sao cho
 XYZ đơn sắc.
Ta có S  999  3.249  252, T  249.3  747.
Có tất cả C 2S cặp điểm trong S.


2

 CS 
 1  
  1 cặp điểm trong S mà
999

T




3


mỗi cặp điểm này đều kề với 1 đỉnh của tam giác ABC trong T.
 C 2S
Theo nguyên lí Dirichle, tồn tại 
 k



 C 2S 
S
Dễ dàng chứng minh được 
  1  ,252  S  999 nên trong số các
2
 999  T 
3


cặp điểm kề với các đỉnh của tam giác ABC sẽ có 2 cặp kề với 2 đỉnh khác nhau
(vì nếu không thì sẽ có 2 cặp điểm chung nhau 1 đỉnh cùng nối với 1 đỉnh của
tam giác, suy ra có 4 đỉnh tương ứng với 4 người có cùng đề tài, mâu thuẫn).

Suy ra tồn tại 2 cặp điểm  X 1 , Y1  và  X 2 , Y2  trong S tương ứng kề với 2 điểm

A, B là 2 đỉnh của tam giác ABC đơn sắc trong T.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14

Khi đó nếu bỏ đi tam giác ABC và thay bởi 2 tam giác đơn sắc X 1Y1 A và
X 2Y2 B thì số tam giác đơn sắc nhiều hơn k, trái với tính lớn nhất của k. Vậy

k  250 không thỏa mãn.

Ta có điều chứng minh.
Bài 4. Cho 1 nhóm người mà mỗi người quen không quá m người khác trong
nhóm. Chứng minh có thể chia nhóm người này thành m  1 nhóm sao cho 2
người trong cùng 1 nhóm thì không quen nhau.
Giải
Xây dựng graph G có số đỉnh ứng với số người trong nhóm, 2 đỉnh được nối với
nhau nếu 2 người tương ứng quen nhau.
Tô màu m  1 đỉnh bất kì bởi m  1 màu khác nhau. Thực hiện tô màu các đỉnh
còn lại sao cho 2 đỉnh kề nhau được tô màu khác nhau. Do mỗi đỉnh kề với
không quá m đỉnh nên việc tô màu thực hiện được.
Khi đó tạo được m  1 nhóm mà trong mỗi nhóm các đỉnh được tô cùng màu,
hay chúng không kề với nhau. Ta có điều chứng minh.
Bài 5 (IMO 1992, P3). Cho G là graph đầy đủ với 9 đỉnh. Mỗi cạnh được tô bởi
1 trong 2 màu xanh, đỏ hoặc không tô màu. Tìm n nhỏ nhất sao cho nếu tô màu
n cạnh bất kì thì tồn tại ít nhất 1 tam giác đơn sắc (tam giác có 3 cạnh không
được tô không được gọi là đơn sắc).
Giải
Số cạnh của graph là C92  9.4  36 .
+) Chứng minh tồn tại cách tô 32 cạnh mà không có tam giác đơn sắc.
Xét đỉnh V và tô 4 cạnh xanh nối tới các đỉnh B1 , B2 , B3 , B4 và 4 cạnh đỏ nối tới
các đỉnh R1 , R2 , R3 , R4 . Các cạnh Bi Bi 1 tô đỏ, Ri Ri 1 tô xanh với mọi i  1,2,3,4 .
Các cạnh Bi R j tô xanh nếu i  j lẻ, cạnh Bi R j tô đỏ nếu i  j chẵn.
Khi đó ta tô màu 32 cạnh và không có tam giác đơn sắc. Suy ra n  33 .
+) Chứng minh n  33 thỏa mãn.

Giả sử phản chứng, có thể tô 33 cạnh mà không có tam giác đơn sắc.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15


Xét đỉnh X bất kì, nếu X là đầu mút của 5 cạnh được tô xanh, giả sử được nối
với các đỉnh A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . Nếu có cạnh nối 2 trong 5 đỉnh trên được tô màu
thì đó là màu đỏ.
Chú ý: Nếu có nhiều hơn

k2
cạnh của graph k đỉnh được tô đỏ thì tồn tại tam
4

giác đơn sắc đỏ.
 52 
Suy ra trong các cạnh được tạo từ 5 đỉnh trên thì có nhiều nhất    6 cạnh
4
được tô đỏ hay có ít nhất 4 cạnh không được tô màu, suy ra có nhiều nhất 32
cạnh được tô màu, mâu thuẫn.

Suy ra X là đầu mút của nhiều nhất 4 cạnh được tô xanh, tương tự suy ra X là
đầu mút của nhiều nhất 4 cạnh được tô đỏ.
Giả sử X là đầu mút của đúng 8 cạnh được tô màu thì có đúng 4 cạnh được tô
xanh nối với B1 , B2 , B3 , B4 và đúng 4 cạnh được tô đỏ nối với R1 , R2 , R3 , R4 .
44
Trong 6 cạnh Bi B j nếu được tô màu thì đc tô không nhiều hơn
 4 cạnh đỏ,
4
nghĩa là có ít nhất 2 cạnh không được tô màu. Tương tự với các cạnh Ri R j có ít

nhất 2 cạnh không được tô màu. Suy ra có ít nhất 4 cạnh của G không được tô
màu, nghĩa là tô màu nhiều nhất 32 cạnh, mâu thuẫn.
Suy ra, nếu chỉ xét những cạnh được tô màu thì không có đỉnh nào có bậc 8, suy
ra bậc mỗi đỉnh nhiều nhất là 7, suy ra tổng bậc của 9 đỉnh nhiều nhất là
9.7  63  2.33  69 , mâu thuẫn.
Vậy giả sử sai, ta có điều chứng minh.
Bài 6. Cho graph G đơn, vô hướng, hữu hạn. Chứng minh có thể tô tất cả các
đỉnh của G, mỗi đỉnh bởi 1 trong 2 màu sao cho 2 đỉnh kề nhau được tô màu
khác nhau khi và chỉ khi mọi chu trình đơn trong G đều có độ dài chẵn.
Giải
1) Giả sử có thể tô tất cả các đỉnh của G, mỗi đỉnh bởi 1 trong 2 màu xanh, đỏ
sao cho 2 đỉnh kề nhau được tô màu khác nhau.
Nếu G không có chu trình ta có điều chứng minh.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16


Nếu G có chu trình, xét chu trình bất kì v1v2 ...vnv1 , vn i  vi  i  1,2,..., n  , giả sử
v1 được tô xanh, suy ra tất cả các đỉnh vi với i lẻ được tô xanh và vi với i chẵn

được tô đỏ. Do v1 và vn kề nhau nên vn được tô đỏ, hay n chẵn. Ta có điều
chứng minh.
2) Giả sử mọi chu trình đơn trong G đều có độ dài chẵn.
Ta chỉ ra cách tô màu thỏa mãn điều kiện
Chia G thành các thành phần liên thông rời nhau, và tô màu từng thành phần
liên thông.
Xét thành phần liên thông P có tập đỉnh là V.
Chọn đỉnh u trong V và tô xanh cho u. Xét đỉnh v khác u bất kì trong V. Do mọi
chu trình đều có độ dài chẵn nên mọi đường đi từ v đến u có độ dài cùng tính
chẵn lẻ. Nếu độ dài các đường đi là chẵn thì tô v bởi màu xanh, ngược lại tô v
bởi màu đỏ. Ta được cách tô thỏa mãn điều kiện.

Ta có điều chứng minh.
Bài 7 (TOT 1986). Có 20 đội bóng tham gia giải thi đấu. Trong ngày đầu tiên
tất cả các đội thi đấu với 1 đội khác. Ngày thứ 2 tất cả các đội thi đấu với 1 đội
khác ngày hôm trước. Chứng minh sau ngày thi đấu thứ 2 có thể chọn được 10
đội sao cho không có 2 đội trong số chúng đã thi đấu với nhau.
Giải
Xây dựng đồ thị 20 đỉnh ứng với 20 đội bóng, cạnh nối hai đỉnh khi 2 đội thi
đấu với nhau. Tô màu đỏ cho cạnh ứng với trận đấu của ngày thứ nhất và màu
xanh ứng với trận đấu của ngày thứ 2.
Khi đó tại mỗi đỉnh đều có bậc 2 và là đầu mút của 1 canh đỏ, 1 cạnh xanh, suy
ra các thành phần của đồ thị là các chu trình chẵn rời nhau. Trong mỗi chu trình
chọn được 1 nửa đỉnh trong số chúng không kề nhau. Ta có điều phải chứng
minh.
Bài 8.
a. Xét graph G V , E  , tập D chứa các đỉnh của G được gọi là “trội” nếu mỗi
đỉnh của G hoặc thuộc D, hoặc có 1 đỉnh kề thuộc D.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17


Chứng minh nếu G không có điểm cô lập thì tồn tại 1 tập “trội” có không quá
V
đỉnh.
2
b. (Nga 2001) Trong một bữa tiệc có 2n  1  n  *  người. Biết rằng nếu chọn
ra n người bất kì thì tồn tại 1 người trong số n  1 người còn lại quen với tất cả
n người này. Chứng minh tồn tại 1 người quen với tất cả những người còn lại
trong bữa tiệc.
Chứng minh bổ đề
Dễ thấy nếu G không có điểm cô lập thì có thể phân hoạch tập đỉnh V thành 2
tập V1 ,V2 sao cho mỗi đỉnh trong V1 có đỉnh kề trong V2 và ngược lại.

Hai tập này đều là các tập trội nên có 1 tập có không quá

V
phần tử, ta có điều
2

chứng minh.
Dễ thấy nếu tập D là trội thì các tập hợp thành của D và 1 số đỉnh không thuộc
V
D cũng là tập trội. Khi đó ta có thể kết luận rằng tồn tại tập trội có đúng
2
phần tử.
Chứng minh bài toán
Phát biểu lại bằng ngôn ngữ graph: Cho graph có 2n  1 đỉnh ứng với 2n  1
người, nếu cặp 2 người không quen nhau thì 2 đỉnh tương ứng sẽ nối với nhau.
Giả sử phản chứng, nghĩa là graph không có đỉnh cô lập, theo bổ đề trên, tồn tại
tập D là tập trội, tập này có n phần tử.
Do điều kiện bài toán nên tồn tại 1 đỉnh trong số n  1 đỉnh còn lại không nối
với bất kì đỉnh nào trong D, mâu thẫu với định nghĩa tập trội.
Vậy giả sử sai, ta có điều chứng minh.
Bài 9 (China TST 2012). Cho n và k là các số nguyên dương sao cho n  2 và
n
 k  n . Xét graph G có n đỉnh sao cho G không chứa chu trình độ dài k  1
2
nhưng nếu thêm bất kì 1 cạnh mới trong G thì sẽ có chu trình độ dài k  1 . Gọi

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18


đỉnh trong G là tốt nếu nó liên thông đến mọi đỉnh trong G. Hỏi G có ít nhất bao

nhiêu đỉnh tốt.
Giải
Chứng minh nếu k  1  n  2k  1 thì có ít nhất 2k  n đỉnh tốt.
Do k  1  n nên có 2 đỉnh u, v  G không kề nhau, xét tập T  u, v , S là tập
các đỉnh mà khi nối u, v thì cùng với các đỉnh này lập thành chu trình độ dài
k  1 , tập U  G \ T , S  .
Chú ý rằng S  k  1  2k  n  U .
Giả sử có bộ 3 tập rời nhau T, S, U sao cho G  T  S  U , T  S  N  S  và

S  2k  n  U .
Nếu U là tập rỗng thì S chứa ít nhất 2k  n đỉnh tốt, có điều cần chứng minh.
Ngược lại, chọn 1 đỉnh tùy ý u U .
Nếu S  N  u  thì theo trên xét với U '  U \ u , T '  T \ u và S '  S thì
S '  2k  n  U ' . Cố định đỉnh v thuộc S sao cho u, v không kề nhau.

Theo trên, tồn tại k  1 đỉnh cùng với u, v tạo thành chu trình độ dài k  1 lấy
trong cá tập U 0  U \ u , T0  T và S0  S \ v . Nhưng G không có chu trình
độ dài k  1 nên T0  S  k .
Suy ra k  1  U 0  T0  S0  U 0  k  S  S0
Suy ra S0   U 0  S  1  2k  n   U  U 0  1
Do U 0  U  1 nên S0 khác rỗng.
Xét các tập U '  U \ u  U 0  , T '  T  u  U 0   S '\ S0  và S '  S0 .
Ta có điều chứng minh.
Bài 10 (IMO Shortlist 2004, C8). Cho graph hữu hạn G, kí hiệu f  G  là số tam
giác trong G và g  G  là số đồ thị con K 4 của G. Xác định giá trị nhỏ nhất của
3

4

c sao cho g  G   cf  G  , G .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19


Giải
2
Trước hết có bổ đề: Một graph có f tam giác và h cạnh thì f 2  h3 .
9

Chứng minh
Đặt di là bậc của đỉnh i. Do mỗi đỉnh là đỉnh của nhiều nhất h tam giác, nhưng
di2
tính theo bậc thì nó là đỉnh của nhiều nhất
tam giác.
2

Suy ra 3 f   h.

di2
h
h

di 
.2h  2h3 , có điều chứng minh.

2
2
2

Quay lại bài toán.
Graph G có f tam giác và g đồ thị con K 4 . Xét đỉnh i là đỉnh của fi tam giác và

gi đồ thị con K 4 .

Xét graph con gồm các đỉnh kề với đỉnh này, graph này có f i cạnh và gi tam
giác, theo bổ đề ta có gi2 

2 3
fi .
9

Tuy nhiên ta có gi  f , suy ra
1

1

1

2
3  2 f 3
 2 f 3
4 g   gi    fi 3 f   
.
f




 .3 f
i
9
  9 

 9 
2f
Suy ra 64 g 3  
 9

3 4

3
4
3
f
 .27 f  2.27 f  g 
32


Vậy giá trị nhỏ nhất của c là

3
.
32

Bài 11. (Croatian TST 2011) Có n người trong 1 bữa tiệc, một số người trong
đó quen biết nhau. Chọn 4 người bất kì thì có 3 người hoặc cùng quen với người
còn lại hoặc cùng không quen với người còn lại. Chứng minh có thể chia những
người này thành 2 nhóm rời nhau A và B sao cho những người trong A đôi một
quen nhau và những người trong B đôi một không quen nhau, (mỗi nhóm A, B
có thể không có người).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20

Giải
Phát biểu lại theo ngôn ngữ graph: Xét graph G có n đỉnh ứng với n người, nối 2
đỉnh nếu 2 người tương ứng quen nhau.
Điều kiện bài toán tương đương: Với 4 đỉnh bất kì thì có 3 đỉnh cùng kề với
đỉnh còn lại hoặc cùng không kề với đỉnh còn lại.
Chú ý: Một graph luôn tồn tại graph con đầy đủ. Một graph con đầy đủ được gọi
là lớn nhất nếu nó chứa nhiều đỉnh nhất.
Dễ thấy nếu A là graph con đầy đủ lớn nhất của G thì nó thỏa mãn điều kiện, ta
cần chứng minh B là tập G  A .
Nếu G là đầy đủ hoặc tất cả các đỉnh của G là cô lập thì có điều cần chứng
minh.
Ngược lại, ta có 2  A  n  1 .
Giả sử có 2 đỉnh v1 , v2 trong G  A là 2 đỉnh kề nhau.
Do A là tập con đầy đủ lớn nhất của G nên tồn tại đỉnh u1 trong A không kề với
v1 .

(Nếu không thì v1 kề với tất cả các đỉnh trong A, khi đó

A  v1 là graph đầy đủ lớn hơn A).
Nếu u1 không kề với v2 , xét đỉnh u bất kì trong A.
Với 4 đỉnh u , v1 , v2 , u1 : u kề với u1 , v1 kề với v2 và u1
không kề v2 , u1 không kề v1 , suy ra v1 , u1 , v2 cùng kề với
u.
Suy ra graph  A  u1   v1 , v2  là graph đầy đủ lớn hơn A.
Vậy u1 kề với v2 , lập luận tương tự như trên thì u kề với v2 .
Khi đó graph A  v2  là graph đầy đủ lớn hơn A.
Vậy giả sử sai, suy ra trong G  A tất cả các đỉnh là cô lập, ta có điều cần chứng
minh.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------21

Bài 12 (USA 1982). Trong nhóm 1982 người, với 4 người bất kì thì có ít nhất 1
người quen với 3 người còn lại. Có ít nhất bao nhiêu người mà người này quen
với tất cả những người còn lại.
Giải
Phát biểu lại theo ngôn ngữ graph: Xét graph G có 1982 đỉnh ứng với 1982
người, nối 2 đỉnh nếu 2 người tương ứng quen nhau.
Xét 4 đỉnh bất kì thì có ít nhất 1 đỉnh kề với cả 3 đỉnh còn lại. Cần xem xét
trong G có ít nhất bao nhiêu đỉnh kề với tất cả những đỉnh còn lại.
Nếu bất kì đỉnh nào trong G cũng kề với các đỉnh còn lại thì giá trị nhỏ nhất là
1981.
Nếu có 2 đỉnh A, B không kề nhau. Xét 2 đỉnh bất kì C, D khác A, B thì 2 đỉnh
này phải kề nhau, ngược lại 4 đỉnh A, B, C, D không có đỉnh nào kề với cả 3
đỉnh còn lại.
Nếu A và B cùng kề với tất cả các đỉnh còn lại thì có 1980 đỉnh mà mỗi đỉnh kề
với tất cả các đỉnh còn lại.
Nếu có C không kề với A thì đỉnh D bất kì sẽ kề với cả A, B, C. Khi đó có 1979
đỉnh mà mỗi đỉnh kề với tất cả những đỉnh còn lại.
Vậy có ít nhất 1979 đỉnh mà mỗi đỉnh kề với tất cả những đỉnh còn lại.
Bài 13 (Taiwan 2001). Cho số nguyên n  3 và A1 , A2 ,..., An là các tập con phân
biệt của của S  1,2,..., n . Chứng minh tồn tại phần tử x  S sao cho các tập
A1 \  x , A2 \  x ,..., An \  x là phân biệt.

Giải
Xét graph G với các đỉnh A1 , A2 ,..., An . Với phần tử y  S , nếu 2 tập Ai \  y và
Aj \  y trùng nhau thì nối Ai và Aj bởi 1 cạnh, mỗi y ta chỉ nối 1 cạnh (nghĩa

là nếu có nhiều cặp 2 tập  Ai , Aj  cùng thỏa mãn điều kiện thì ta chọn ra 1 cặp
bất kì nào đó). Dễ thấy không có 2 đỉnh nào được nối 2 lần, ta có graph đơn.
Giả sử phản chứng, không tồn tại phần tử x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó

với mỗi phần tử của S sẽ có đúng 1 cặp đỉnh được nối với nhau. Hơn nữa không
xảy
ra
trường
hợp
tồn
tại
phân
biệt
mà
Ai , Aj
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22


Ai \  x1  Aj \  x1 , Ai \  x2   Aj \  x2  với x1 , x2 phân biệt (nếu có thì Ai , Aj

trùng nhau).
Suy ra graph có ít nhất n cạnh, suy ra tồn tại 1 chu trình, giả sử là
 A1 , A2 ,..., Ak  , k  3 , có nghĩa tồn tại các phần tử phân biệt x1, x2 ,..., xk  S sao
cho A1 \  x1  A2 \  x1 , A2 \  x2   A3 \  x2  ,..., Ak \  xk   A1 \  xk  .
Do điều kiện A1 \  x1  A2 \  x1 nên x1 thuộc đúng 1 trong 2 tập S1 , S2 , giả sử
x1  A2

Suy ra x1  A3 (do x1  x2 ), tiếp tục quá trình suy ra x1  Ak và cuối cùng
x1  A1 , mâu thuẫn.

Vậy giả sử phản chứng sai, ta có điều chứng minh.
Bài 14 (USA TST 2002). Cho n là số nguyên dương và S là tập có 2n  1 phần
tử. Xét hàm f đi từ tập các tập con có 2 phần tử của S vào tập 0,1,2,...,2n1  1 .
Giả sử với bộ ba phần tử bất kì

 x, y , z 

của S, một trong các số

f  x, y  , f
a , b, c  S

 y, z , f  z, x bằng tổng của 2 số còn lại. Chứng minh tồn tại
sao cho f a, b  f b, c  f c, a   0 .

Giải
Xét tập con S’ của S sao cho S '  2n1  1 và với mọi x, y  S ' thì f  x, y là
số chẵn.
f

 x, y , x, y  S ' , ta có hàm g từ S’ đến

0,1, 2,...,2
2
có tính chất giống như hàm f. Vậy ta sẽ xét hàm f từ S’ đến 0,1, 2,...,2
Đặt g  x, y  

mà với mọi a, b thuộc S’ thì f a, b lẻ hoặc f

n 2

 1

n 2

 1

a, b  0 .

Xét graph G có 2n  1 đỉnh tương ứng các phần tử trong S. Hai đỉnh a, b nối với
nhau nếu và chỉ nếu f a, b lẻ. Ta chứng minh G là hai phần.
Chú ý rằng với bất kì các đỉnh a, b, c thì có 0 hoặc 2 cạnh tạo ra từ chúng.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23


Nếu G không là hai phần từ có 1 chu trình lẻ, giả sử chu trình lẻ có độ dài ngắn
nhất là v1v2 ...v2 k 1 . Xét 3 đỉnh v1 , v3 , v4 có 0 hoặc 2 cạnh tạo ra từ chúng. Do đã
có cạnh v3v4 nên sẽ có 1 trong 2 cạnh v1v3 hoặc v1v4 , hơn nữa không tồn tại
cạnh v1v3 (nếu không 3 đỉnh v1 , v2 , v3 có 3 cạnh) nên có cạnh v1v4 , suy ra chu
trình v1v4v5 ...v2 k 1 có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng v1v2 ...v2 k 1 , mâu thuẫn.
Vậy G là 2 phần, có 1 phần có ít nhất 3 phần tử, 3 phần tử này không nối với
nhau, ta có điều chứng minh.
Bài 15 (IMO Shortlist 2002, C6). Cho n là số nguyên dương chẵn. Chứng minh
tồn tại 1 hoán vị  x1 , x2 ,..., xn  của 1,2,...,n  sao cho với bất kì i  1,2,..., n , số
xi 1 là 1 trong các số 2 xi ,2 xi  1,2 xi  n, 2 xi  n  1 , quy ước xni  xi .

Giải
Đặt n  2m .
Xây dượng graph có hướng với m đỉnh và 2m cạnh. Với mỗi
i  m , đỉnh i có 2 cạnh đi ra được đánh số 2i  1,2i và 2 cạnh đi
vào được đánh số là i, i  m . Ta cần chứng minh có 1 chu trình
Ole, bởi vì các cặp cạnh liên tiếp tạo ra có 1 trong các dạng
 i,2i  1 ,  i,2i  ,  i  m,2i  ,  i  m, 2i  1 .

Ta thấy, bậc vào của mỗi đỉnh bằng bậc ra suy ra tồn tại 1 chu trình Ole.
Thật vậy, ta có thể chứng minh điều trên bằng phương pháp quy nạp.
Có một đường đi từ 1 đến k: Do có 1 đường đi từ 1 đến j khi 2 j  k hoặc
2 j  1  k và 1 cạnh từ j đến k suy ra có 1 đường đi từ 1 đến k.

Suy ra điều chứng minh.
Bài 16 (St Petersburg 1996, P4). Trong 1 nhóm người, một số người quen biết
nhau và một số người không. Mỗi tối, một người nào đó đãi tiệc mời tất cả
những người mình quen biết và giới thiệu họ cho nhau. Biết rằng, sau khi mỗi
người đều đã tổ chức tiệc vẫn còn hai người trong nhóm vẫn chưa quen nhau.
Chứng minh tại bữa tiệc tiếp theo, họ vẫn không được giới thiệu cho nhau.
Giải

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24


Xây dựng graph có n đỉnh (giả giả nhóm này có n người), nối 2 đỉnh khi 2
người tương ứng quen nhau.
Mỗi bước thực hiện công việc như sau: Chọn 1 đỉnh và nối đôi một tất cả các
đỉnh kề với đỉnh này. Khi đó ta được 1 graph con đầy đủ. Sau khi thực hiện với
tất cả các đỉnh ta sẽ thu được các graph đầy đủ như trên. Theo giả thiết bài toán
sẽ tồn tại 2 graph rời nhau. Các bước thực hiện tiếp theo sẽ không tạo thêm cạnh
nào, hay 2 graph này luôn rời nhau. Ta có điều chứng minh.
Bài 17 (Czech – Slovak Mathch 1997, P2). Trong một hội đồng có nhiều hơn 6
người, mỗi người trao đổi thư với đúng 3 người khác. Chứng minh có thể chia
hội đồng này thành 2 nhóm khác rỗng mà mỗi người trao đổi thư với ít nhất 2
người trong nhóm của anh ta.
Giải
Xét graph G có n đỉnh (n là số người trong hội đồng), 2 đỉnh được nối với nhau
nếu 2 người tương ứng trao đổi thư với nhau.

Chứng minh có thể chia graph này thành 2 graph con mà trong mỗi graph bậc
của mỗi đỉnh ít nhất là 2.
Theo giả thiết mỗi đỉnh có bậc đúng là 3, suy ra trong graph tồn tại chu trình.
Xét chu trình ngắn nhất, mỗi đỉnh trong chu trình này nối với ít nhất 2 đỉnh
trong chu trình đó, vậy chu trình này là 1 graph con thỏa mãn điều kiện, kí hiệu
graph này là G’.
Xét các đỉnh còn lại, nếu có các đỉnh v1 , v2 ,..., vk , mỗi đỉnh nối với ít nhất 2 đỉnh
của graph con trên thì graph G ' v1 , v2 ,..., vk  là graph con thỏa mãn.
Ngược lại, các đỉnh còn lại, mỗi đỉnh chỉ nối với nhiều nhất 1 đỉnh trong G’ thì
graph G  G ' thỏa mãn điều kiện.
Ta có điều chứng minh.
Bài 18 (BAMO 2005/4). Có 1000 thành phố ở đất nước của Ole, một số cặp 2
thành phố được nối với nhau bởi 1 con đường đất. Biết rằng giữa 2 thành phố
bất kì có 1 đường đi (đi qua 1 số đường đất liên tiếp). Chứng minh chính phủ có
thể lát một số con đường sao cho ở 1 thành phố bất kì luôn có lẻ con đường
được lát xuất phát từ đây.
Giải
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25