bài toán LOGARIT phần2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

GTLN, GTNN BIỂU THỨC CHỨA LÔGARIT
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

8
x.
D. 81 .

P  log 42 x  12 log 22 x.log 2

Câu 1: Cho 1  x  64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 64 .
B. 96 .
C. 82 .
2
m  log a 3 ab
Câu 2: Cho
, với a  1, b  1 và P  log a b  16 log b a . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ
nhất.
1
m
2.
A. m  1 .
B.
C. m  4 .
D. m  2 .
m  log a ab với a, b  1 và P  log 2b  54 log b a . Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị
Câu 3: Cho

nhỏ nhất?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .





P   log a b
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của
b  a  1 là



2 2

�
 6�
log
� b
� a

2

b�
�
a�
�

với a , b là các số thực thay đổi thỏa mãn

A. 30 .
Câu 5:

B. 40 .
C. 18 .
D. 60 .
P
Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị lớn nhất Max của biểu thức
1
�b � 7
P
 log a � �
2
log b a
�a � 4 .

A.

PMax  2

.

B.

PMax  1

.

C.

PMax  0

.

D.

PMax  3

.
4
P  log a ab 
 1  log a b  .log a ab

b
Câu 6: Cho 0  a  1  b , ab  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
P

3
P

2
P

4
P



4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
�
a �b
a
P  log a a  log b
�
b 1
b.
b
Câu 7: Xét các số thực a, b thỏa mãn �
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
Pmin  .
P  1.
P  3.
P  9.
3
A.
B. min
C. min

D. min
�a �
P  log a a  2 log b � �
�b �đạt giá trị
b
Câu 8: Xét các số thực a, b thỏa mãn b  1 và a �b  a . Biểu thức

khỏ nhất khi:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 100


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

2
A. a  b .

2
3
3
2
2
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b.
� 1�

1
P  log a �
b  � log a b
 b  a 1
4�
a
,
b
�
4
b
Câu 9: Xét các số thực
thỏa mãn
. Biểu thức
đạt giá trị nhỏ
nhất khi:
2
1
3
log a b  .
log a b  .
log a b  .
log a b  3.
3
3
2
A.
B.
C.
D.

Câu 10: Xét các số thực a, b thỏa mãn a  1  b  0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  log a2 a 2b  log

b

a3 .
B. Pmax  2 3.

A. Pmax  1  2 3.

C.

Pmax  2.

D. Pmax  1  2 3.
2

�
�
�a �
P  2�
2 log a a  log a b � 27 log a � �
2
�b �đạt giá
b
b
�
�
Câu 11: Xét các số thực a, b thỏa 1  a �b . Biểu thức

trị nhỏ nhất khi:
2
A. a  b .

Câu

12:

Cho

các

số

B. a  2b.
thực a, b, c  1 .

P  log a  bc   log b  ca   4 log c  ab 

A. 6 .

C. a  b  1
Tìm

giá

trị

D. 2a  b  1.
nhỏ

của

biểu

thức

.
C. 10 .
log 2 a � 1  log 2 b log 2 c  log bc 2

B. 12 .

nhất

Câu 13: Cho các số thực a, b, c  1 thỏa mãn
2
2
2
biểu thức S  10 log 2 a  10 log 2 b  log 2 c .

D. 11 .
. Tìm gái trị nhỏ nhất của

7
9
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .

2
2
2
Câu 14: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 5log 2 a  16 log 2 b  27 log 2 c  1 . Tính giá trị lớn nhất
S  log 2 a log 2 b  log 2 b log 2 c  log 2 c log 2 a
của biểu thức
.
1
1
1
1
A. 16 .
B. 12 .
C. 9 .
D. 8 .

P  log a  bc   3log b  ca   4 log c  ab 
Câu 15: Với a, b, c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
A. 16 .
B. 6  4 3 .
C. 4  6 3 .
D. 4  8 3 .

log b  ca 
S  log a  bc   2log b  ca   9 log c  ab 
Câu 16: Cho các số thực a, b, c  1 .Tính
khi biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất.





8 2 2 1
A. 2 2 .

B.

7

.

C. 3  2 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
82 2
7
D.
.

Trang 101


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

c

c
 2log b  3
b
b
Câu 17: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn
.Gọi M , m
P  log a b  logb c
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.Tính
S  2m  3M .
2
1
S
S
3.
3.
A.
B.
C. S  3 .
D. S  2 .
Câu 18:
Cho a, b là hai số thực thỏa mãn b  0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
log 2a b  log b2 c  log a

P

A.

 a  b

2

  10a  log b 

2

.

2 log  ln10 

.
1
�1 �
 log �
�
�ln10 �
C. ln10
.

B.

�1
�
�1 �
2�
 log �
�
�
�ln10 �
�ln10

�.

�1
�
�1 �
2�
 ln �
�
�
�ln10 �
�ln10
�.
D.
c
c
log 2a b  log b2 c  log a  2 log b  1
b
b . Tìm giá trị
Câu 19: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn
P  log a b  log b c
lớn nhất của biểu thức
.
1  2 10
2 10  1
1  2 10
10  2
3
3
3
3

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
a
,
b
,
c
0

a
,
b
,
c

1
Câu 20: Cho các số thực
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S  log a b  log b c  log c a

.

3

5 2
A. 2 2 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 2 .
Câu 21: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn log a.log b  log b.log c  3log c.log a  1 . Biết giá trị nhỏ
m  n
2
2
2
p
nhất của biểu thức P  log a  log b  log c là
với m, n, p là các số nguyên dương
m
và p tối giản. Tính T  m  n  p .
A. T  64 .
B. T  16 .
C. T  102 .
D. T  22 .
Câu 22: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  e . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức
p
p
M  ln a.ln b  2 ln b.ln c  5ln c.ln a là q với p, q là các số nguyên dương và q tối giản. Tính
S  2 p  3q .Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. S  7 .

B. S  13 .

C. S  16 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. S  19 .

Trang 102


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 23:

Mũ – Lôgarit

P
Xét các số thực a , b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất min của biểu thức
�a �
P  log 2a  a 2   3log b � �
�b �.
b
A.

Pmin  19

.

B.

Pmin  13

.

C.

Pmin  14

.

D.

Pmin  15

.
1
� �
a �� ;3�
9 �và M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
�
Câu 24: Cho
9 log 31 3 a  log 21 a  log 1 a 3  1
3
3
3
. Khi đó giá trị của A  5m  2 M là
A. 4 .
B. 5 .
C. 8 .
D. 6 .
2
S  log a ab , khi biểu thức P  log a b  8log b a đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 25: Cho a  1 , b  1 . Tính

1 3 4
S

S  2 1 3 4
3
3
2 .
A. S  6 2 .
B.
C. S  4 .
D.
.
log a b
P
 log a ab
a�
2�
log a � �
S  log a 3 ab , khi biểu thức
�b �
Câu 26: Cho hai số thực b  a  1 , tính
đạt giá trị
nhỏ nhất.
11
4
S
S
4 .
3.
A. S  4 .

B.
C.
D. S  3 .
1
1
m
S

log
a
log
b
4
ab
ab
Câu 27: Cho hai số thực a  1 , b  1 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
là n với
m
m , n là các số nguyên dương và n tối giản. Tính P  2m  3n .
A. P  30 .
B. P  42 .
C. P  24 .
D. P  35 .





a, b � 1; 2
Cho các số thực

thỏa mãn a  b . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  2 log a  b 2  4b  4   log 2b a
3
a
là m  3 n với m, n là các số nguyên dương. Tính S  m  n .
A. S  9 .
C. S  18 .
D. S  54 .
C. S  15 .
P  log a  bc   logb  ac   4 log c  ab 
Câu 29: Cho a, b, c  1. Biết rằng biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất
log b c  n.
bằng m khi
Tính giá trị m  n .
25
mn 
2 .
A. m  n  12 .
B.
C. m  n  14 .
D. m  n  10 .
Câu 28:

Câu 30: Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 , biết
m
M khi b  a . Tính T  M  m .
7
37
T

T
2.
10 .
A.
B.

�a 4 �
P  log b2 � 4 � log b a
�b �

C.

T

17
2 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
đạt giá trị nhỏ nhất bằng

D.

T

35
2 .
Trang 103

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit
P

1
a
 log a
log ab a
b đạt giá trị

Câu 31: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a �b  1 . Biết rằng biểu thức
k
lớn nhất khi có số thực k sao cho b  a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1
1
1
1
0k 
 k 1
1  k  
 k 0
2.
2.
A.
B. 2
.
C.
D. 2
.

Câu 32: Xét hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn b  a  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
�a 2 �
�b �
P  log 3a � 2 � log 3 2 � �
.
b �
a�
�b �
.
23  16 2
23  16 2
23  8 2
23  8 2
2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 33: Cho hai số thực a �b  1 . Biết rằng biểu thức

T

2

a
 log a
log ab a
b đạt giá trị lớn nhất là M

khi có số thực m sao cho b  a . Tính P  M  m .
81
23
19
49
P
P
P
P
16 .
8 .
8 .
16 .
A.
B.
C.
D.
1
 b  a 1
Câu 34: Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn 4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
� 1�
P  log a �
b  � log a b
� 4�

b
.
m

1
A. 2 .

Câu

3
9
B. 2 .
C. 2 .
a, b, c� 1; 2
35:
Xét các số thực
. Tìm giá trị nhỏ
2
2
P  log bc  2a  8a  8   log ca  4a  16a  16   log ab  c 2  4c  4 
.

7
D. 2 .
nhất

của

biểu

thức

11
A. 3 .
B. 2 .
C. 4 .
D. 6 .
Câu 36:
Xét các số thực a, b thỏa a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
�a �
P  log 2a a 2  3log b � �
�b �.
b

 

A. 19 .

B. 13 .

C. 14 .

D. 15 .

1
 b  a 1
Câu 37: Xét các số thực a, b thỏa 6
. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức
1
�6b  1 �

3
P  log 3a �
� 4 log b a
8
�9 �
a
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 104


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. m  9 .

Mũ – Lôgarit

m

B. m  12 .

23
2 .

m

25
2 .

C.
D.
Câu 38: Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn a  b  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
�a �
�b �
P  log a � � 3log b � �
�b �
�a �
.
B. 5  6 .
C. 5  2 6 .
D. 4  6 .
2
2
Câu 39: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x  4 y  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P  log 2  x  2 y  .log 2  2 x  4 y 
.
1
1
1
2
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 9 .
2
2
Câu 40: Cho các số thực x, y thỏa mãn x  2 xy  3 y  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức
2

P  log 2  x  y 
là:
max P  3log 2 2
max P  log 2 12
A.
B.
C. max P  12
D. max P  16
�1 �
� ;1�
x , x ,..., xn
Câu 41: Cho các số thực 1 2
thuộc khoảng �4 �. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. 5 .

� 1�
� 1�
� 1�
P  log x1 �x2  � log x2 �x3  � ...  log xn �x1  �
� 4�
� 4�
� 4 �.
A. 2n .
B. n .
C. 2 .

Câu 42:

Cho các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
log a3  ab  .log b a

P

b

3  log a b  1  8
2

.

1
A. e .
B. 8 .
Câu 43:
Cho hai số thực a, b
�a 2  4b 2 �
1
S  log a �
.
�
4
4
log
b
�
�
ab
5
9
A. 4 .

B. 4 .
1
8

Câu

44:

D. 4 .

3

1
D. 4 .

1
4

C. e .

lớn hơn 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

13
C. 4 .

7
D. 4 .

1
 b  a 1

3
. Biết biểu thức

Cho hai số thực a , b thay đổi thỏa mãn
�3b  1 �
P  log a � 3 � 12 log 2b a
m
�4a �
a
đạt giá trị nhỏ nhất bằng M khi a  b . Tính T  M  m .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 105


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

T

37
3 .

T

28
3 .

A. T  15 .
B. T  12 .
C.
D.
a
b
a

b

1
Câu 45: Cho hai số thực , thay đổi thỏa mãn
. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S   log a b



2 2

T  m n p.
A. T  1 .

�
 6�
log
�
�

2

b
a

b�
�
a�
�là

m 3 n  3 p

B. T  0 .

với

m ,n , p

C. T  14 .

Câu 46: Cho các số thực a  1  b  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

là các số nguyên. Tính

D. T  6 .
P  log a  a 2b   log
2

b

a3

.

A. 1  2 3 .

B. 1  2 2 .
C. 1  2 3 .
D. 1  2 2 .
Câu 47: Cho hai số thực dương a, b nhỏ hơn 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
�4ab �
P  log a �
� log b  ab 
�a  4b �
.
1 2 2
2 .
A.

2 2
2 .
B.

A. 3.

3
B. 3.2 .

3 2 2
2
C.
.

5 2
D. 2 .

C. 4.

D. 6.

3
3
3
1; 2
Câu 48: Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn   thỏa mãn log 2 a  log 2 b  log 2 c �1 . Khi biểu thức
P  a3  b3  c3  3  log 2 a a  log 2 bb  log 2 c c 
đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a  b  c là

1
3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 106


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

C – HƯỚNG DẪN GIẢI
BẢNG ĐÁP ÁN

1.D
11.A
21.D
31.B
41.A

2.A
12.C
22.C
32.B
42.B

3.A
13.A
23.D
33.A
43.B

4.C
14.B
24.D
34.C
44.D

5.B
15.C
25.B
35.D
45.C

6.D
16.A
26.C
36.D
46.A

7.C
17.C
27.A
37.B
47.C

8.B
18.B
28.D
38.C
48.C

9.C
19.C
29.A
39.B

10.D
20.A
30.B
40.B

GTLN, GTNN BIỂU THỨC CHỨA LÔGARIT

VẬN DỤNG CAO:

Câu 1: [DS12.C2.3.D04.d] Cho 1  x  64 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
A. 64 .
B. 96 .
C. 82 .
Hướng dẫn giải
8
P  log 42 x  12 log 22 x.log 2  log 42 x  12 log 22 x (log 2 8  log 2 x)
x
log 2 1  log 2 x  log 2 64 � 0  log 2 x  6
Vì 1  x  64 nên
t  log 2 x
Đặt
với 0  t  6 .
4
2
4
3
2
Ta có P  t  12t (3  t )  t  12t  36t

P  log 42 x  12 log 22 x.log 2

8
x

D. 81 .

t  0( L)
�
�
P '  4t  36t  72t  0 � �
t  6( L)
�
t  3(TM )
�
3

2

Lập bảng biến thiên ta:
Chọn D.

Pmax  81

m  log a
Câu 2: [DS12.C2.3.D04.d] Cho
cho P đạt giá trị nhỏ nhất.
A. m  1 .

B.

m

khi x  3



3

1
2.

ab

 , với

a  1, b  1 và P  log 2a b  16 logb a . Tìm m sao

C. m  4 .
Hướng dẫn giải

D. m  2 .

Chọn A.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 107


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Vì a  1, b  1 , ta có:
Đặt

t  log a b  t  0 
,

Dấu “  ” xảy ra khi

Mũ – Lôgarit

� 1
�m   1  log a b 
� 3
�
log a b  0
�
� P   log a b  
2

t2 

16
8 8
16
8 8
 t 2   t 2   �3. 3 t 2 . .
log a b
t t  12 .
t
t t

8
t � t3  8 � t  2 .

m

1
 1  2
3
1.

log a b  2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  12 khi
. Suy ra
m  log a ab với a, b  1 và P  log 2b  54 log b a . Khi đó giá trị của
Câu 3: [DS12.C2.3.D04.d] Cho
m để P đạt giá trị nhỏ nhất?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1 1
m  log a ab   log a b � log a b  2m  1
2 2
Ta có
1
2
P  log 2 a b  54 log b a   2m  1  54.
.
2m  1
Lại có
54
P  t2 

t  2m  1  t �0 
t thấy Pmin  27 � t  3 � m  2
Đặt
khảo sát hàm
P   log a b
Câu 4: [DS12.C2.3.D04.d] Giá trị nhỏ nhất của
thay đổi thỏa mãn b  a  1 là
A. 30 .
B. 40 .



2 2

�
 6�
log
�
�

2

b
a

b�
�
a�
�

C. 18 .
Hướng dẫn giải

với a , b là các số thực
D. 60 .

Chọn C.

 log b 

2 2

a

�
 6�
log
� b
� a

2

�
b�
2
 4  log a b   6 �
log
�
�
a�

�
�

2

b
a

�
�
b
2
. a � 4  log a b   6 �
1  log b
�
�
a
�
�
a

2

�
a�
�
�

2

�
�
�
�
1
2
2
�
 4  log a b   6 �
1
�
1
b � 4  log b  2  6 �
�
1
�
�
a
� log a
�
� log a b  2 �
a �
�
2

2

2

�t  1 �

� 1 �
�t  1 �
2
� P  4t  6 �
1
 4t 2  6 � ��2 4t .6 � �
�
t  log a b
�t  2 � Theo BĐT Cosy
� t 2�
�t  2 �
Đặt
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 108


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

2

�t  1 �
� Pmin  2 4t 2 .6 � �
�t  2 �Dấu bằng xảy ra khi:

�

�t  1 �
2t  6 � �
�
�t  2 �
�
�
2
�t  1 �
�t  1 � �
2t   6 � �
4t 2  6 � � �
�t  2 �
�t  2 � �
�
t
�
�
�
t
�
�
�
�
t
�
�
2
�
�
2t (t  2)  6(t  1)

2t  (4  6)t  6  0
�
��
��
t
2
�
2t (t  2)   6(t  1)
2t  (4  6)t  6  0
�
�
�

4 6 
4
4 6 
4
4 6 
4
4 6 
4

22
22
22
22

P
Câu 5: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị lớn nhất Max của biểu
1

�b � 7
P
 log a � �
2
log b a
�a � 4 .
thức
A.

PMax  2

.

B.

PMax  1

.

P 0
C. Max
.
Hướng dẫn giải

D.

PMax  3

.

Chọn B.
2

1
3
1�
�b � 7
�
 log a � �   log a2 b  log a b    �
log a b  � 1 �1
2
log b a
4
2�
�a � 4
�
� PMax  1
.
Câu 6: [DS12.C2.3.D04.d] Cho 0  a  1  b , ab  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4
P  log a ab 
 1  log a b  .log a ab
b
.
A. P  2 .
B. P  4 .
C. P  3 .
D. P  4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

log a b  0
Do 0  a  1  b , ab  1 nên suy ra
.
1  log a b
�
0
log b ab  0 � log b a  1  0
� log a b  1  0
log
b
a
Mặt khác ta có
.
P

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 109


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
P  log a ab 
Ta có

 1  log a b 

4
 1  log a b  .log a ab  1  log a b 
b

Mũ – Lôgarit
4
 1  log a b   log ab1 a  log ab1 b 

4
log a b �
1
4

 1  log a b  �
 1  log a b 
�
�
1  log a b 1  log a b �
1  log a b
�
 P   1  log a b  

.

4
�4
1  log a b
.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :
Suy ra P �4 .
� 1  log a b  2 � log a b  3 � a 3b  1
Đẳng thức xẩy ra
.

�a �b 2
�
b 1
a
,
b
Câu 7: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực
thỏa mãn �
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a
P  log a a  log b
b.
b

1
Pmin  .
3
A.

B.

Pmin  1.

P  3.
C. min
Hướng dẫn giải

D.

Pmin  9.

a 1
�
�
b 1.
Từ điều kiện, suy ra �
1  log a b
1
P

1  log a b
log a b .
Ta có

1
a �b 2 ��
� logb a �logb b 2  2 ��
� t  log a b � .
t  log a b  0
2
Đặt
. Do
1 1 t
P

 f  t
1 t
t
Khi đó
.

� 1�
�1 �
0; �
P  f  t  �f � � 3
�
f t
�2 � .
Khảo sát hàm   trên � 2 �, ta được
Chọn C.

Câu 8: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn b  1 và
�a �
P  log a a  2 log b � �
�b �đạt giá trị khỏ nhất khi:
b
2
A. a  b .

2
3
B. a  b .

a 1
�
�
b 1.
Từ điều kiện, suy ra �

3
2

C. a  b .
Hướng dẫn giải

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
a �b  a . Biểu thức

2
D. a  b.

Trang 110


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
P

Ta có
Đặt

Câu

Mũ – Lôgarit

1
1
4
 4  logb a  1 

4
1  log a b

1  log a b log a b
.

t  log a b  0

1
a �b  a ��
� log a a �log a b  log a a ��
� �t  1.
2

. Do
1 4
P
  4  f  t
1 t t
Khi đó
.
1 �
2
�
;1�
t
�
f  t
f
t


2 �, ta được

3.
Khảo sát
trên �
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi
2
2
t  ��
� log a b  � a 2  b3 .
3
3
Với
Chọn B.
1
 b  a 1
9: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn 4
.
� 1�
P  log a �
b  � log a b
� 4�
b
đạt giá trị nhỏ nhất khi:

2
log a b  .
3
A.

Biểu

thức

1
log a b  .
3
B.

3
log a b  .
log a b  3.
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
2
1
1
� 1�
b  ��0 ��
� b 2  b  �0 ��
� b  �b 2
�
4
4
Ta có � 2 �
.
� 1�
a  1 ��
� log a �
b  ��log a b 2  2 log a b

4�
�
Mà
.
1 log a b
� 1� 1
� 1 � 1 log a b
P  log a �
b  � .log a b  log a �
b  � .
�2 log a b  .
.
4
2
4
2
1

log
b
2
1

log
b
�
�
�
�
a

a
b
Ta có

t  log a b

� t  log a b  1 .
. Do b  a  1 ��
t
P �2t 
 f  t
2t  2
Khi đó
.

Đặt

Khảo sát
Chọn C.

f  t

1; �
trên khoảng 
, ta được

�3 � 9
P �f  t  �f � � .
�2 � 2

Câu 10: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn a  1  b  0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
P  log a2 a 2b  log b a3 .
thức
P  2.
A. Pmax  1  2 3.
B. Pmax  2 3.
C. max
D. Pmax  1  2 3.
Hướng dẫn giải
2
log a a b log a a 3 log a b  2
6
2
3
P  log a2 a b  log b a 



.
2
log a a
2
log a b
log
b
a
Ta có
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 111

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

t  log a b

� log a b  log a 1  0 ��
� t  0.
. Do a  1  b  0 ��
Cauchy
t2 6 t 6
� t 6�
P
   1  1 �
  � � 1  2 3.
2
t 2 t
�2 t �
Khi đó
Chọn D.
11: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b
thỏa

Đặt

Câu

Mũ – Lôgarit

1  a �b 2 .

Biểu

thức

2

�
�
�a �
P  2�
2 log a a  log a b � 27 log a � �
�b �đạt giá trị nhỏ nhất khi:
b
b
�
�
2
A. a  b .

B. a  2b.

C. a  b  1
Hướng dẫn giải

D. 2a  b  1.

� b�
log a b  log a �
a. � log a a  1

b
b � a�
b
Ta có
.
2

2

�
� 27
�
�
�
� 27
P  2�
2log a a  �
log a a  1�
 2�
log a a  1 �
�
� b
�
� b
� log a a
� b
� log a a

b
Do đó

t  log a a
2
� a �b , suy ra
b
Đặt
. Do 1  a �b ��
1
1
a
1 1

 log a  1  log a b �1  log a a  1   ��
� t �2
t log a a
b
2 2

b

.

.

b

27
P  2  t  1 
 f  t
t
Khi đó

.
2

f  t

 2; �

Khảo sát
trên
, ta được
t  2 ��
� log a a  2 � a  b2 .
b
Với
Chọn A.

f  t

63
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi t  2 .

Câu 12: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a, b, c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  log a  bc   logb  ca   4log c  ab 

A. 6 .

B. 12 .

.
C. 10 .

Hướng dẫn giải

D. 11 .

Chọn C.
Ta có

P  log a  bc   log b  ca   4log c  ab   log a b  log a c  logb c  log a a  4  log c a  log c b 

 log a b 

ab
�
1
4
4
 log a c 
 log b c 
�
c  a2
log a b
log a c
log b c �2  4  4  10 . Dấu “=” xảy ra khi �
.

log 2 a � 1  log 2 b log 2 c  log bc 2
Câu 13: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a, b, c  1 thỏa mãn
. Tìm
2
2

2
gái trị nhỏ nhất của biểu thức S  10 log 2 a  10 log 2 b  log 2 c .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 112


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. 4 .

Mũ – Lôgarit

9
C. 2 .
Hướng dẫn giải

B. 3 .

7
D. 2 .

Chọn A.
Điều kiện bài toán, ta có
x  log 2 a, y  log 2 b, z  log 2 c � x, y, z  0

.
1
z�
 1  yz  � xy  yz  zx�1 S  10  x 2  y 2   z 2

y

z
Do đó
và
.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có
x2 y 2 z2  x  y  z 
2
12 x  12 y  3z 

 �
 2 x  y  z
1
1
1
1 1 1
 
12 12 3 12 12 3
.
2

2

2

2

10 x 2  10 y 2  z 2 �4  xy  yz  zx  �4
Do đó

.
Chú ý. Ta đánh giá như sau:
10 x 2  10 y 2  z 2 �2k  xy  yz  zx   k  0 

�  k  10  x 2   k  10  y 2   k  1 z 2 �k  x  y  z 

2

x2
y2
z2
2


�k  x  y  z 
1
1
1
k  10 k  10 k  1
.
Cauchy

Schwarz
Sử dụng bất đẳng thức
ta có:
�

 x  y  z
x2
y2

z2


�
1
1
1
1
1
1


k  10 k  10 k  1 k  10 k  10 k  1 .
1
1
1


k �k 2
Vậy cần Chọn k  0 sao cho k  10 k  10 k  1
. Ta có kết quả như trên.
2

2
2
2
Câu 14: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 5log 2 a  16 log 2 b  27 log 2 c  1 .
S  log 2 a log 2 b  log 2 b log 2 c  log 2 c log 2 a
Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
.

1
1
1
1
A. 16 .
B. 12 .
C. 9 .
D. 8 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
2
2
x  log 2 a, y  log 2 b, z  log 2 c
Đặt
, ta có 5 x  16 y  27 z  1 và S  xy  yz  zx .

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có:

11x  22 y  33 z
2

2

2

 x  y  z
�

2

1 1
1
 
11 22 33

 6 x  y  z

2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 113


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

5�
x 216
�y 2 27 z 2 12  xy
Câu

yz zx 

S

Mũ – Lôgarit

1
12 .

[DS12.C2.3.D04.d] Với a, b, c  1 . Tìm giá trị
P  log a  bc   3log b  ca   4 log c  ab 
.
A. 16 .
B. 6  4 3 .
C. 4  6 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Sử dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
P   log a b  log a c   3  log b c  log b a   4  log c a  log c b 

15:

nhỏ

nhất

của

biểu

thức

biểu

thức

D. 4  8 3 .

  log a b  3log b a    3log b c  4 log c b    log a c  4 log c a 

�2 log a b.3log b a  2 3log b c.4log c b  2 log a c.4 log c a
 2 3  2 12  4  4  6 3.
Câu

16:

[DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a, b, c  1 .Tính
S  log a  bc   2 logb  ca   9 log c  ab 
đạt giá trị nhỏ nhất.





log b  ca 

8 2 2 1
A. 2 2 .

B.

7

.
C. 3  2 .
Hướng dẫn giải

khi

8 2 2
7
D.
.

Chọn A.
Sử dụng biến đổi và bất đẳng thức AM – GM ta có:
S   log a b  log a c   2  log b c  log b a   9  log c a  log c b 

  log a b  2 logb a    2logb c  9log c b    log a c  9 log c a 

�2 log a b.2 log b a  2 2 log b b.9 log c b  2 log a c.9 log c a

 2 2  2 18  2 9  6  8 2 .

Câu

�
log a b  2 logb a  2
�
3 2
2
�
2 log b c  9 log c b  18 � log b  ca   log b c  log b a 

2 2
�
2
2

�
log c  9 log c a  9
Dấu bằng đạt tại � a
.
a
,
b
,
c
17: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương
khác 1 thỏa mãn

c
c
 2log b  3
b
b
.Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
P  log a b  log b c
của biểu thức
.Tính S  2m  3M .
2
1
S
S
3.
3.
A.
B.
C. S  3 .

D. S  2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
log 2a b  log b2 c  log a

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 114


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

x  log a b , y  log b c x  log a b , y  logb c � P  x  y
Đặt
và thay vào điều kiện ta được:
2
2
x  y  xy  x  2 y  1 (*)
Từ P  x – y � y  x – P thế vào (*) ta được:
2
x2   x  P   x  x  P   x  2  x  P   1
� x 2   3  P  x   P  1  0
2

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

5
�


1
�
P
�
   3  P   4  P  1 �0
3
5
5
M  � S  2m  3M  2.(1)  3.  3
3
3
Vậy m  1 và
.
a
,
b
Câu 18: [DS12.C2.3.D04.d] Cho
là hai số thực thỏa mãn b  0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

P

A.

 a  b

2

2

  10a  log b 

2

.

2 log  ln10 

.
1
�1 �
 log �
�
�ln10 �
C. ln10
.
Chọn B.
Xét điểm

B.

�1
�
�1 �
2�
 log �
�
�
�ln10 �

�ln10
�.

�1
�
�1 �
2�
 ln �
�
�
�ln10 �
�ln10
�.
D.
Hướng dẫn giải

A  a;10a  , B  b; log b 

x
Do đồ thị của hai hàm số y  10 , y  log x đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Do đó
khoảng cách giữa hai điểm A, B là AB  P đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B đối xứng nhau qua
yx.
Vì vậy A , B cùng nằm trên đường thẳng y   x  m .

Khi đó tọa độ các điểm là

Câu

A  a;10a  , B  10 a ; a 

� �1 �
�
�1
�
�1 �
� AB  f (a )  2 10a  a �min f ( a)  f �
log �
 2�
 log �
�
�
�
�
�
�ln10 �
� �ln10 �
�
�ln10
�.
19: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa

log 2a b  log b2 c  log a
1  2 10
3
A.
.

mãn

c

c
 2 log b  1
b
b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  log a b  log b c .
2 10  1
3
B.
.

1  2 10
3
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

10  2
3
.

Chọn C.
2
2
x  log a b y  logb c � P  x  y
Đặt
,
và thay vào điều kiện ta có x  y  xy  x  2 y  1 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 115


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

Khi đó y  x  P và
2
x2   x  P   x  x  P   x  2  x  P   1 � x2   3  P  x  P2  2P  1  0

.

Phương trình có nghiệm khi
2

�
   3  P   4  P 2  2 P  1 �0 ۣ

1  2 10
3

P

1  2 10
3
.

Câu 20: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0  a, b, c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
S  log a b  log b c  log c a

thức
.
3
5 2
A. 2 2 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
log a b log b c log c a  0
Ta có
,
,
với 0  a, b, c  1 .
Sử dụng bất đẳng thức Coossi ta có:
log a b  log b c �2 log a b.log b c  2 log a c
Do đó
Câu

.

S �2 log a c  log c a �2 2 log a c . log c a  2 2
.

21:
[DS12.C2.3.D04.d]
Cho
ba
log a.log b  log b.log c  3log c.log a  1 .

số

B. T  16 .

giá

a, b, c

dương
trị

nhỏ

nhất

thỏa

mãn

biểu thức
m  n
m
2
2
2
P  log a  log b  log c là
p
với m, n, p là các số nguyên dương và p tối giản.
Tính T  m  n  p .

A. T  64 .

Biết

thực

C. T  102 .
Hướng dẫn giải

của

D. T  22 .

Chọn D.
Cách 2: mẹo trắc nghiệm, vai trò của x và z là như nhau nên cho x  z ta có
�P  2 x 2  y 2
�
� P  3x 2  2 xy   2 x 2  y 2 �  3P  2  x 2  2 Pxy  y 2  0
� 2
3 x  2 xy  1
�
2 2
�

P��
y  3�
P 2  y 2
x

0

P2

 3P

2

0

P

3  17
2

Câu 22: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  e . Biết giá trị lớn nhất của
p
p
biểu thức M  ln a.ln b  2 ln b.ln c  5ln c.ln a là q với p, q là các số nguyên dương và q tối
giản. Tính S  2 p  3q .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S  7 .

B. S  13 .

C. S  16 .
Hướng dẫn giải

D. S  19 .

Chọn C.
x

y
z
Đặt a  e , b  e , c  e
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 116


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

abc  e � x  y  z  1  1
M  ln a.ln b  2 ln b.ln c  5 ln c.ln a � M  xy  2 yz  5 zx
Ta có
.
 1 � z  1  x  y
M
Từ
thay vào biểu thức chứa
ta có:
2
5 5
2
� 3x 1 � 1
M  2 y 2  5 x 2  6 xy  2 y  5 x  2 �y   �  x  2   �
2 2
� 2 2� 2
5
5

3
max M 
x  2, y  , z 
2
2
2
khi
p  5, q  2 � S  16
Vậy

P
Câu 23: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a , b thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất min của biểu
�a �
P  log 2a  a 2   3log b � �
�b �.
b
thức
A.

Pmin  19

.

B.

Pmin  13

.

P  14

C. min
.
Hướng dẫn giải

D.

Pmin  15

.

Chọn D.
Với điều kiện đề bài, ta có
2

�
2
�a �
�a � � �a �
�a �
P  log  a   3log b � � �
2 log a a � 3logb � � 4 �
log a � .b �
 3log b � �
�
�b � � b �
�b � � b �b �
�b �
�
2
�a �

 4�
1  log a b � 3log b � �
�b �
�
b �
2
a
b

2

3
3
P  4(1  t )2   4t 2  8t   4  f (t )
t
t
b
Đặt
(vì a  b  1 ), ta có
.
3
2
2
3 8t  8t  3 (2t  1)(4t  6t  3)
f�
(t )  8t  8  2 

t
t2
t2

Ta có
1
�1 �
Pmin  f � � 15
f�
(t )  0 � t 
�2 � .
2 . Khảo sát hàm số, ta có
Vậy
t  log a b  0

1 �
�
a �� ;3�
9 �và M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
�
Câu 24: [DS12.C2.3.D04.d] Cho
9 log 31 3 a  log 21 a  log 1 a 3  1
3
3
3
. Khi đó giá trị của A  5m  2M là
A. 4 .
B. 5 .
C. 8 .
D. 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1
P  log 33 a  log 32 a  3log3 a  1

3
Rút gọn biểu thức
.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 117


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
1 �
�
a �� ;3�� t � 2;1
log 3 a  t
9 �
�
Đặt
. Vì
.

f (t ) 

Mũ – Lôgarit

1 3 2
t  t  3t  1
2;1
3
trên đoạn 
bằng cách

Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
14
2
M  ;m 
� A  5m  2 M  6
3
3
lập bảng biến thiên ta thu được
.
S  log a ab , khi biểu thức P  log 2a b  8log b a đạt
Câu 25: [DS12.C2.3.D04.d] Cho a  1 , b  1 . Tính
giá trị nhỏ nhất.
1 3 4
S

S  2 1 3 4
3
3
S

6
2
S

4
2
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
4
4
4
4
P  log 2a b  8log b a  log 2a b 

�3. 3 log 2a b.
.
 3 3 16
log a b log a b
log a b log a b
Ta có
.
3
4
1
1 4
log 2a b 
� log a b  3 4 � S   1  log a b  
log a b
2
2 .
Dấu bằng xảy ra





S  log a 3 ab , khi biểu thức
Câu 26: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực b  a  1 , tính
log a b
P
 log a ab
a�
2�
log a � �
�b �
đạt giá trị nhỏ nhất.
11
4
S
S
4 .
3.
A. S  4 .
B.
C.
D. S  3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
log a b
1  log a b
t

t 1
P

 f  t 

2
2
2
2
 1  log a b 
 t  1
Ta có
.
t  log a b  1, b  a  1
Với
.
1  log a b 4
11
f  t  �min f  t   f  3 
log a b  3 � S 

 1;�
4 . Dấu bằng đạt tại
3
3.
Do đó
Câu 27: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a  1 , b  1 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
1
m

m
S

log ab a log 4 ab b
là n với m , n là các số nguyên dương và n tối giản. Tính P  2m  3n .
A. P  30 .
B. P  42 .
C. P  24 .
D. P  35 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
1
5 �
1
�
S  log a ab  log b 4 ab   1  log a b    log a b  1   �
log a b  log b a �
4
4 �
4
�
Ta có
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 118


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

5
1
5
9
2 log a b. .logb a
1
4
4
4
4.
Vậy m  9, n  4 � P  18  12  30 .
a, b � 1; 2
Câu 28: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực
thỏa mãn a  b . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu
2
2
P  2 log a  b  4b  4   log b a
3
a
thức
là m  3 n với m, n là các số nguyên dương. Tính
S  mn.
A. S  9 .
C. S  18 .
D. S  54 .
C. S  15 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
1

1
log 2b a 

2
b
 log a b  1
a
log 2a
a
Ta có
.




S

2
3
b � 1; 2
 b  1  b 2  4  �0 .
Với mọi
, ta có b  4b  4 �b vì tương đương với
Dấu bằng đạt tại b  2 .
log a  b 2  4b  4  �log a b3  3log a b
Khi đó
.
x  log a b  x  1
Đặt
.

1
1
P �6 x 
 3  x  1  3  x  1 
6
2
2
 x  1
 x  1
.
1

P 6 3. 3 3  x 1 .3  x 1 .
6 3. 3 9
2
 x  1
.
1
1
1
1
3
3  x  1 
�  x  1  � x  1  3 � log a b  1  3
2
3
3
3
 x  1
Dấu bằng đạt tại

.
P  log a  bc   log b  ac   4 log c  ab 
Câu 29: [DS12.C2.3.D04.d] Cho a, b, c  1. Biết rằng biểu thức
đạt
log b c  n.
giá trị nhỏ nhất bằng m khi
Tính giá trị m  n .
25
mn 
2 .
A. m  n  12 .
B.
C. m  n  14 .
D. m  n  10 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
P  log a  bc   logb  ac   4 log c  ab   log a b  log a c  log b a  4 log b c  4 log c b

log a b  log b a �2;log a c  4 log c a �4;log b c  4 log c b �4
Ta có:
Khi đó P �10  m
�a  b
�a  b
�a  b
��
��
��
log a c  4 log c a
log a c  2 �
logb c  2

�
�
Dấu bằng xảy ra
Vậy m  n  12.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 119


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

Câu 30: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa mãn a  b  1 , biết
m
giá trị nhỏ nhất bằng M khi b  a . Tính T  M  m .
7
37
17
T
T
T
2.
10 .
2 .
A.
B.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

�a 4 �
P  log � 4 � log b a
�b �
2
b

D.

T

đạt

35
2 .

2

�4 log a b �
1
P�
�
1  log a b � 2 log a b
�

Ta có
.
x  log a b,  0  x  1
Đặt
, ta có,

2
16 x
1
65 x3  3 x 2  3 x  1
1
�1 � 7
�
y

y

2
3 2
y�
 0 � x  � min y  y � �
2
x
21 x x
 1 x
5
�5 � 2 .
,
;
7
1
7 1 37
M  , m  �T   
2
5
2 5 10 .

Do đó
Câu 31: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a và b thỏa mãn a �b  1 . Biết rằng biểu thức
1
a
P
 log a
log ab a
b đạt giá trị lớn nhất khi có số thực k sao cho b  a k . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A.

0k 

1
2.

1
 k 1
B. 2
.

1  k  

C.
Hướng dẫn giải

1
2.

1

 k 0
D. 2
.

Chọn B.
P

Ta có

1
a
 log a  log a  ab   log a a  log a b
log ab a
b
2

1� 9 9
�
 1  log a b  1  log a b   � 1  log a b  � �
2� 4 4 .
�

Dấu bằng đạt tại

1  log a b 

3
1
3
3

1
� log a b  � b  a 4 � k  �  k  1
2
4
4
2
.

Câu 32: [DS12.C2.3.D04.d] Xét hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn b  a  1 . Tìm giá trị lớn nhất của
�a 2 �
�b �
P  log 3a � 2 � log 3 2 � �
.
b �
a�
b �
�
biểu thức
.
23  16 2
23  16 2
23  8 2
23  8 2
2
2
2
2
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 120


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

3

�
� 3
3�
1 �
3
�a �
�b �
P�
2 log a � �
 logb � � 8  1  log a b   �
1

.
�
�
2 � log a b �
�b �
�a �
�
� 2
3� 1�
3
3
2
P  f  x  8 1 x  �
1 � f �
x


24
1

x




2
log a b  x, ( x  1)
2 � x �và
2x
Đặt

, ta có
.
f�
 x  0 � x 

1 2
� 1; �
2
.

�
1  2 � 23  16 2
Pmax  max f  x   f �
� 2 �
�
 1;�
2
�
�
Lập bảng biến thiên, ta có
.

Câu 33: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a �b  1 . Biết rằng biểu thức

T

2
a
 log a
log ab a

b đạt giá

m

trị lớn nhất là M khi có số thực m sao cho b  a . Tính P  M  m .
81
23
19
49
P
P
P
P
16 .
8 .
8 .
16 .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
2
a
T
 log a  2 log a  ab   log a a  log a b  2  1  log a b   1  log a b
log ab a
b
2

1 � 33 33
�
 2 � 1  log a b  �
�
4� 8
8 .
�
15

1
15
15
33
1  log a b  � log a b 
� b  a16 � m  , M 
4
16
16
8 .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó

P

15 33 81
 
16 8 16 .

1
 b  a 1
Câu 34: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn 4
. Tìm giá trị nhỏ nhất
� 1�
P  log a �
b  � log a b
4�
�
b
của biểu thức
.

1
A. 2 .

3
B. 2 .

9
C. 2 .
Hướng dẫn giải

7
D. 2 .

Chọn C.

1
1

1
1
1 log a b
log a b  .
 .
 .
2 log a 2 log b a  1 2 1  log a b
b
b
b
Ta có
, và

2

1
� 1�
b  ��0 � b  �b 2
�
4
� 2�
, do đó

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 121


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

� 1�
log a �
b  ��log a b 2  2 log a b
� 4�
.
1 log a b
P �2 log a b  .
2 1  log a b .
Khi đó ta có:

Đặt

x  log a b,  x  1

f�
 x  2 

f  x  2x 
,

x
21 x

.

1

3

�
f
x

0
�
x

� 1; �


2  x  1
2
,
.
2

�3 � 9
min f  x   f � �
1; �
�2 � 2 .
Lập bảng biến thiên ta được  

� 1
� 1
b
b   b2
�
�
� 4

�
2
��
�
3
�
�a  1
log a b 
� 34.
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi �
a, b, c� 1; 2
Câu 35: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
P  log bc 2a  8a  8  log ca 4a  16a  16  log ab c 2  4c  4
.





11
B. 2 .

A. 3 .
Chọn D.
Với



x� 1; 2

Khi đó ta có

ta có







D. 6 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải





x 2  4 x  4 �x 3 �  x  1 x 2  4 �0

: luôn đúng.

P �logbc 2a 3  log ca 4b3  log ab c 3  log bc 2  log ca 4  3  log bc a  log ca b  log ab c 

logbc 2  log ca 4 

Mặt khác

logbc a  log ca b  log ab c 

1
1
1
1
3

�

 , a, b, c� 1; 2
log 2 bc log 4 ca log 2  2.2  log 4  2.2  2

, và

ln a
ln b
ln c
3


�
ln b  ln c ln c  ln a ln a  ln b 2 .

3
3
P �  3.  6
2

2
Do đó
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  2 .
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 122

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

Câu 36: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
�a �
P  log 2a a 2  3log b � �
�b �.
b

 

A. 19 .

B. 13 .

D. 15 .

C. 14 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.
P

Đặt

4
2

� �a �
�
log a � �
�
�
� �b �
�

 3  log b a  1 

4

 1  log a b 

2



3
3

log a b
.

f  x 

log a b  x,  0  x  1

4

 1 x

2

3
 3
x

, và
3
8
1
f�
, f�
 x   2 
 x   0 � x  � 0;1
3
3
x 1 x

.

.

�1 �
1
P �f � � 15
x  log a b  � b  3 a
�3 � . Dấu bằng xảy ra tại
3
Lập bảng biến thiên, ta có
.
1
 b  a 1
Câu 37: [DS12.C2.3.D04.d] Xét các số thực a, b thỏa 6
. Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu
1
�6b  1 �
3
P  log 3a �
� 4 log b a
8
�9 �
a
thức
.
A. m  9 .

m

B. m  12 .

C.
Hướng dẫn giải

23
2 .

D.

m

25
2 .

Chọn B.
4 log 3b a 
a

Ta có

4
3

� b�
log a �
�
� a�



 log

4
a

  3b �
1

b 1

3

2

0

,

6b  1 2
1
b
 b  a 1
9
và 6

�6b  1 �
3 2
3
log 3a �
��log a b  8log a b.

�9 �
Nên

Đặt

log a b  x  x  1

f�
 x   3x 2 

12

 x  1

4

f  x   x3 

,

4

 x  1

3

.

, f�
 x   0 � x  2 � 1; �

.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 123


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Mũ – Lôgarit

Câu 38: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực a, b thay đổi thỏa mãn a  b  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của
2
�a �
�b �
P  log a � � 3log b � �
�b �
�a �
biểu thức
.
B. 5  6 .

A. 5 .

C. 5  2 6 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Biến đổi và sử dụng AM-GM, ta có

�a �
�b �
P  2 log a � � 3log b � � 2  1  log a b   3  1  log b a 
�b �
�a �
 5   3log b a  2 log a b  �5  2 3log b a.2 log a b  5  2 6
Dấu bằng xảy ra

� 3log a b  2 log b a � log a b 

D. 4  6 .

.

3
2.

2
2
Câu 39: [DS12.C2.3.D04.d] Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x  4 y  1 . Tìm giá trị lớn
P  log 2  x  2 y  .log 2  2 x  4 y 
nhất của biểu thức
.
1
1
1
2
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .

D. 9 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
x  2y 
 x  2 y   x  2 y   1 suy ray
x  2y .
Theo giả thiết, ta có

Vì vậy

P  log 2  x  2 y  .log 2

2
 log 2  x  2 y  �
1  log 2  x  2 y  �
�
�
x  2y

2

1� 1 1
�
 �
log 2  x  2 y   � �
2� 4 4 .
�
3
1

�
�
x
x  2y 
�
�
�
x  2y  2
x  2y
�
� 2 2
�
��
��
�
�
1
1
�
�y  1
x  2y 
log 2  x  2 y  
�
�
�
2
�
2
� 4 2.
Dấu bằng xảy ra

2
2
Câu 40: [DS12.C2.3.D04.d] Cho các số thực x, y thỏa mãn x  2 xy  3 y  4. Giá trị lớn nhất của biểu
2
P  log 2  x  y 
thức
là:

A.

max P  3log 2 2

B.

max P  log 2 12

C. max P  12
Hướng dẫn giải

D. max P  16

Chọn B.
2
2
Từ x  2 xy  3 y  4. Suy ra:

Nếu y  0 thì x  �2 � P  2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 124