Luận văn phép biến đổi phân tuyến tính trên trục thực và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG

PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN
TUYẾN TÍNH TRÊN TRỤC THỰC
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN NGỌC PHƯƠNG

PHÉP BIẾN ĐỔI PHÂN
TUYẾN TÍNH TRÊN TRỤC THỰC
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành :

PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Bình Định - 2012


Mục lục
Mở đầu

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Định nghĩa hàm số và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

. . . . . . . . . . .

7

1.2

Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Một số tính chất của hàm phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

10

2 Một số lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính

16

2.1

Một lớp phương trình hàm tuyến tính cơ bản . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Một lớp phương trình hàm phân tuyến tính dạng cơ bản . . . . .

22

2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3

2.4

αx + β
= x có 2 nghiệm phân biệt 22
γx + δ
αx + β
Trường hợp phương trình
= x có 1 nghiệm kép . . 24
γx + δ
αx + β
Trường hợp phương trình
= x không có nghiệm thực 26
γx + δ

Trường hợp phương trình

Một số lớp phương trình hàm phân tuyến tính mở rộng . . . . . .
2.3.1

Lớp phương trình hàm phân tuyến tính với hệ số biến thiên 29

2.3.2

Lớp phương trình hàm với vế phải là hàm phân tuyến tính

34

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3 Một số bài toán liên quan đến hàm phân tuyến tính
3.1

29

38

Phương trình và hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng 38
3.1.1

Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . .
1

38

2
3.1.2
3.2
3.3

Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . .

47

Lớp bài toán về công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ
số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

60


Mở đầu

Phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của
giải tích toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác. Lớp
phương trình hàm sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính để giải các bài toán
phổ thông thường xuất hiện nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi olympic
quốc gia, khu vực và quốc tế. Tuy nhiên, các học sinh ở trường chuyên, lớp chọn
còn biết rất ít về phương pháp giải phương trình hàm và các bài toán về dãy số
vận dụng các phép biến đổi phân tuyến tính. Vì thế, việc nghiên cứu để đáp ứng
nhu cầu học tập và giảng dạy toán ở bậc phổ thông và được sự định hướng của
Thầy giáo Nguyễn Văn Mậu, luận văn "Phép biến đổi phân tuyến tính trên trục
thực và một số ứng dụng" với mục tiêu tổng hợp, chọn lọc và hệ thống cách giải
một lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính. Đồng thời vận dụng
các phép biến đổi phân tuyến tính để giải quyết một số bài toán liên quan về
dãy số dạng phân tuyến tính. Trên tinh thần đó, luận văn được chia thành ba
chương:
Chương 1. Một số tính chất của hàm phân tuyến tính. Chương này nêu lên
một số kiến thức cơ bản về hàm số nói chung và hàm phân tuyến tính nói riêng.
Từ các tính chất đặc trưng cơ bản của hàm phân tuyến tính sẽ sinh ra một lớp
phương trình hàm sử dụng các phép biến đổi phân tuyến tính để giải.
Chương 2. Một số lớp phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính. Phần
đầu của chương này được tác giả dành cho việc trình bày một lớp phương trình
hàm tuyến tính cơ bản dạng
f (αx + β) = af (x) + b, ∀x ∈ R, α = 0, a = 0.

(0.1)

Đây là lớp phương trình hàm cơ bản làm cơ sở vận dụng trong quá trình giải các
phương trình hàm nói chung và lớp phương trình hàm sinh bởi dạng phân tuyến
tính nói riêng.
Tiếp theo, tác giả trình bày lớp phương trình hàm mở rộng của dạng (0.1), đó
3

4
là lớp phương trình hàm phân tuyến tính cơ bản dạng
f

αx + β
γx + δ

= af (x) + b, a = 0, γ = 0; αδ − βγ = 0.

(0.2)

Trong phần này, tác giả trình bày hệ thống phương pháp giải dạng (0.2) thông
qua ba trường hợp cụ thể:
• Trường hợp phương trình

αx + β
= x có 2 nghiệm phân biệt.
γx + δ

• Trường hợp phương trình

αx + β
= x có 1 nghiệm kép.
γx + δ

• Trường hợp phương trình

αx + β

= x không có nghiệm thực.
γx + δ

Từ đó, ta có cách giải tổng quát cho lớp phương trình hàm dạng (0.2).
Tiếp theo, tác giả cũng đề xuất lớp phương trình hàm phân tuyến tính mở rộng
với hệ số biến thiên
f

αx + β
γx + δ

= g(x)f (x) + h(x), γ = 0; αδ − βγ = 0.

(0.3)

Dạng (0.3) được trình bày thông qua một số bài toán và phương pháp giải cụ
thể.
Phần cuối, tác giả giới thiệu một lớp phương trình hàm phân tuyến tính cho cả
biến số và hàm số dạng
f(

at
af (t)
)=
, f (0) = 0, f (0) = 1.
1 − bt
1 + cf (t)

(0.4)

Chương 3. Một số bài toán liên quan đến hàm phân tuyến tính. Phần này
trình bày một số các lớp phương trình và hệ phương trình sai phân tuyến tính
với hệ số hằng để sử dụng vào việc tuyến tính hóa với hàm phân tuyến tính.
Phần trọng tâm của chương là giải quyết các bài toán quan trọng về dãy số liên
quan đến hàm phân tuyến tính:
• Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng.
• Tính tuần hoàn của các dãy sinh bởi dạng phân tuyến tính.
• Giới hạn của một số dãy truy hồi dạng phân tuyến tính.


5
Trong khuôn khổ của một luận văn, dù biết rằng không thể đề cập hết các
dạng toán về phép biến đổi phân tuyến tính, tuy nhiên vẫn hy vọng đây là một
tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh yêu thích toán học và quý thầy cô giáo
phổ thông. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng khả năng và thời gian có hạn nên
chắc chắn luận văn còn nhiều sai sót. Kính mong quý thầy cô giáo và các bạn
đồng nghiệp góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Luận văn hoàn thành được là nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình, đầy nghiêm khắc
của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu; Thầy không những hướng dẫn tôi hoàn thành
luận văn mà còn chỉ dẫn cho tôi bước đầu làm quen với việc nghiên cứu toán
học, gợi mở nhiều ý tưởng hay và truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cũng như
những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tôi theo học và
nghiên cứu đề tài.
Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc đến
thầy giáo Nguyễn Văn Mậu, người đã tận tâm chỉ bảo, giúp tôi hoàn thành luận
văn này. Nhân đây, tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu,
Phòng Sau đại học, Khoa Toán học Trường Đại học Quy Nhơn cùng với quý thầy
cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán khóa 13 đã quan tâm, giúp đỡ, động viên và
chia sẻ cho tôi rất nhiều trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Bên
cạnh đó, tác giả còn nhận được sự quan tâm của Ban Giám hiệu trường THPT

Chu Văn An, các bạn đồng nghiệp, các anh chị em trong lớp cao học Toán khóa
13 của Trường Đại học Quy Nhơn đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi
để tôi có nhiều thời gian hoàn thành tốt đề tài. Luận văn còn là món quà gửi
đến gia đình, người vợ yêu quí đã động viên, chia sẻ với tôi trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu.


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm số, đặc trưng của hàm
và một số tính chất của hàm phân tuyến tính.

1.1
1.1.1

Định nghĩa hàm số và một số tính chất
Định nghĩa hàm số

Định nghĩa 1.1. Cho hai tập X, Y ⊂ R. Một ánh xạ f : X → Y được gọi là một
hàm số từ tập X đến tập Y và kí hiệu là y = f (x).
X: được gọi là tập xác định của hàm số và thường kí hiệu D. Khi đó ta viết
f : D → R.
f (x0 ) là giá trị của hàm số tại điểm x0 ∈ D.

Tập T = {f (x) |x ∈ D} được gọi là tập giá trị của hàm số f .
Lưu ý:
• t ∈ T ⇔ phương trình f (x) = t có nghiệm x ∈ D
• t ∈ T ⇔ t có thể viết dưới dạng t = f (x) với x ∈ D.

Điểm x0 ∈ D được gọi là điểm bất động của hàm số f nếu như f (x0 ) = x0 . Như
vậy việc tìm điểm bất động của hàm số f (x) thực chất là việc giải phương trình
f (x) = x, điểm bất động này giúp chúng ta rất nhiều trong việc giải một số bài

toán về phương trình hàm.


7

1.1.2

Hàm số liên tục

Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b). Ta nói hàm số
f (x) liên tục tại x0 ∈ (a, b) nếu lim f (x) = f (x0 ).
x→x0

Một số tính chất
1. f (x) liên tục tại x0 ∈ D
⇔ ∀ {xn } ⊂ D, xn = x0 : lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = f (x0 ) .
n→∞

n→∞

2. Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số khác 0) của hai hàm số liên tục tại x0 là
những hàm số liên tục tại x0 .
3. Nếu f (x) là hàm số liên tục thì hàm số f (λx), ∀λ ∈ R cũng là hàm số liên
tục.
4. Nếu g(x) liên tục tại x0 và hàm f (u) liên tục tại u0 = g(x0 ) thì hàm hợp
f (g(x)) liên tục tại x0 .

5. Nếu hàm số f (x) là đơn ánh, liên tục trên một khoảng nào đó thì nó đơn
điệu thực sự trên khoảng đó.
6. Nếu hàm f : R → R liên tục và cộng tính thì f (x) = kx, k ∈ R tùy ý.
(Phương trình hàm cauchy).
7. Nếu hàm f : R+ → R+ liên tục và nhân tính thì f (x) = xα , ∀α ∈ R.
x+y
f (x) + f (y)
)=
, ∀ x, y ∈ R thì
2
2
hàm f có dạng tuyến tính, nghĩa là f (x) = ax + b, ∀x ∈ R; ∀a, b ∈ R.

8. Nếu hàm số f (x) liên tục trên R và f (

1.1.3

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

Trước hết, ta xét lớp hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính.
Định nghĩa 1.3 (Xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính
chu kỳ a, (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

 ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M
 f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M.


8
Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất trong các số a ở trên thì T được gọi là chu

kỳ cơ sở của hàm số f (x).
2xπ
là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 3 trên R.
3
Thật vậy, ta có ∀x ∈ R thì x ± 3 ∈ R và

Ví dụ 1.1. Hàm số f (x) = sin

f (x + 3) = sin

2xπ
2π
(x + 3) = sin
= f (x), ∀x ∈ R.
3
3

Định nghĩa 1.4 (Xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn cộng
tính chu kỳ b, (b > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

 ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M
 f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M.
Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất trong các số b ở trên thì T được gọi là chu
kỳ cơ sở của hàm số f (x).
Ví dụ 1.2. Hàm số f (x) = sin πx là hàm phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ 1
trên R. Thật vậy, ta có ∀x ∈ R thì x ± 1 ∈ R và
f (x + 1) = sin π(x + 1) = − sin πx = −f (x), ∀x ∈ R.

Tiếp theo, ta khảo sát lớp hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính.
Định nghĩa 1.5 (Xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính

chu kỳ a, (a ∈
/ {0; −1; 1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

 ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M
 f (ax) = f (x), ∀x ∈ M.
Ví dụ 1.3. Hàm số f (x) = sin(2π log2 x) là hàm số liên tục và tuần hoàn nhân
tính chu kỳ 2 trên R+ . Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì 2±1 x ∈ R+ và
f (2x) = sin(2π log2 (2x)) = sin(2π + 2π log2 x) = sin(2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R+ .

Định nghĩa 1.6 (Xem [1]). Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân
tính chu kỳ a, (a ∈
/ {0; −1; 1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

 ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ D
 f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M.


9
Ví dụ 1.4. Hàm số f (x) = sin(π log3 x) là hàm số liên tục và phản tuần hoàn
nhân tính chu kỳ 3 trên R+ . Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ thì 3±1 x ∈ R+ và
f (3x) = sin(π log3 3x) = sin(π + π log3 x) = − sin(π log3 x) = −f (x), ∀x ∈ R+ .

Ta khảo sát mối quan hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính.

Nhận xét 1.1. Nếu f (x) là hàm số tuần hoàn cộng tính chu kỳ (a > 0) trên R
thì
g(t) = f (ln t), (t > 0)

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R+ . Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuần
hoàn nhân tính chu kỳ a, (0 < a = 1) trên R+ thì g(t) = f (et ) là hàm tuần hoàn

cộng tính chu kỳ ln a trên R.

1.2

Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp

Như ta đã biết phương trình hàm là một phương trình thông thường mà
nghiệm của nó là một hàm số. Để giải quyết tốt vấn đề này ta cần phân biệt
tính chất hàm với đặc trưng hàm.
1. Hàm số tuyến tính f (x) = ax, a = 0.
Đặc trưng của hàm tuyến tính là f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
2. Hàm số bậc nhất f (x) = ax + b, a = 0, b = 0.
Đặc trưng của hàm bậc nhất là f (

x+y
f (x) + f (y)
)=
, ∀ x, y ∈ R.
2
2

3. Hàm số lũy thừa f (x) = xm , x > 0.
Đặc trưng của hàm lũy thừa là f (xy) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R.
4. Hàm số mũ f (x) = ax , 0 < a = 1.
Đặc trưng của hàm số mũ là f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R.
5. Hàm số logarit f (x) = loga |x| , 0 < a = 1, x > 0.
Đặc trưng hàm logarit là f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\ {0} .
6. Hàm số f (x) = cos x.
Đặc trưng hàm cos x là f (x + y) + f (x − y) = 2f (x).f (y), ∀x, y ∈ R.

10
7. Hàm số f (x) = tan x, (x =

π
+ kπ).
2

f (x) + f (y)
,
1 − f (x).f (y)
π
π
(2k + 1)π
, x = + kπ, y = + kπ.
x+y =
2
2
2

Đặc trưng hàm tan x là f (x + y) =

8. Hàm số lượng giác ngược f (x) = arcsin x.
Đặc trưng hàm arcsin x là f (x) + f (y) = f (x

√
1 − y 2 + y 1 − x2 ),

∀x, y ∈ [−1; 1] .

9. Hàm số lượng giác ngược f (x) = arccos x.

√

Đặc trưng hàm arccos x là f (x) + f (y) = g(xy − 1 − x2 . 1 − y 2 ),
∀x, y ∈ [−1; 1] .

10. Hàm số lượng giác ngược f (x) = arctan x.
Đặc trưng hàm arctan x là f (x) + f (y) = f (

x+y
), ∀x, y : xy = 1.
1 − xy

11. Hàm số lượng giác ngược f (x) = arccot x.
Đặc trưng hàm arccot x là f (x) + f (y) = f (

1.3

xy − 1
), ∀x, y : x + y = 0.
x+y

Một số tính chất của hàm phân tuyến tính

Kiến thức trong phần này được tác giả trình bày dựa trên tài liệu [2].
Xét hàm phân tuyến tính (hay ánh xạ phân tuyến tính)
y = ω(x) =

αx + β

, γ = 0, αδ − βγ = 0.
γx + δ

(1.1)

Khi đó ta có một số tính chất sau:
Định lý 1.1. Ánh xạ phân tuyến tính là một phép đồng phôi từ C lên C.
Chứng minh.
• Nếu γ = 0 là hiển nhiên.
• Nếu γ = 0. Giải phương trình (1.1) đối với x ta có
x=

δω − β
, αδ − βγ = 0.
−γω + α

(1.2)


11
Đó là hàm ngược của (1.1). Ánh xạ (1.2) đơn trị trong mặt phẳng C và là ánh xạ
phân tuyến tính. Do đó (1.1) đơn trị một - một trên C. Tính liên tục của (1.1)
δ
γ

tại các điểm x = − , ∞ là hiển nhiên. Bằng cách đặt ω(∞) =

α
δ
, ω(− ) = ∞, ta

γ
γ

thấy rằng (1.1) liên tục trên C. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2. Ánh xạ phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trên C.
δ
γ

Chứng minh. Đối với trường hợp x = − , ∞ tính bảo giác suy ra từ nhận xét
dω
αδ − βγ
=
= 0. Bây giờ giả sử hai đường cong (l1 ) và
dx
(γx + δ)2
δ
(l2 ) đi qua điểm x = − và φ là góc giữa (l1 ) và (l2 ) tại điểm ấy. Suy ra rằng
γ
∗
góc giữa các ảnh (l1 ) và (l2∗ ) của (l1 ) và (l2 ) tương ứng qua ánh xạ (1.1) tại điểm

rằng tại các điểm đó

ω = ∞ (tương ứng với x = − γδ ) là bằng φ vì
1
γ
lim
= lim
= 0.
δ αx + β (x + δ )

δ αx + β
x→−
x→−
γ
γ γx + δ
γ

Trường hợp x = ∞ cũng được chứng minh tương tự.
Định lý 1.3. Tập hợp mọi đẳng cấu phân tuyến tính lập thành một nhóm với
phép toán hợp ánh xạ.
Chứng minh. Ta cần chứng minh:
1. Hợp (tích) các đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính.
2. Ánh xạ ngược của đẳng cấu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính.
Khẳng định 2 là hiển nhiên. Ta cần chứng minh khẳng định 1.
Giả sử
ς=

α1 x + β1
, α1 δ1 − β1 γ1 = 0,
γ1 x + δ1

ω=

α2 ς + β2
, α2 δ2 − β2 γ2 = 0.
γ2 ς + δ2

Khi đó
α1 x + β1
+ β2

(α1 α2 + β2 γ1 )x + (β1 α2 + δ1 β2 )
αx + β
γ1 x + δ1
ω=
=
=
,
α1 x + β1
(α1 γ2 + γ1 δ2 )x + (β1 γ2 + δ1 δ2 )
γx + δ
γ2
+ δ2
γ1 x + δ1
α2

trong đó αδ − βγ = (α1 δ1 − β1 γ1 )(α2 δ2 − β2 γ2 ) = 0.


12
Nhận xét 1.2. Nhóm các đẳng cấu phân tuyến tính là nhóm không giao hoán.
1
x

Thật vậy, giả sử ω(x) = , ϕ(x) = x + 1. Khi đó
ω(ϕ(x)) =

1
1
, ϕ(ω(x)) = + 1.
x+1

x

Do đó ω(ϕ(x)) = ϕ(ω(x)). Trên mặt phẳng phức ta qui ước gọi đường thẳng hay
đường tròn đều là đường tròn trên C (ta xem đường thẳng trên C là đường tròn
trên C đi qua điểm ∞) và gọi hình tròn, phần ngoài hình tròn và nửa mặt phẳng
(hình tròn với bán kính vô cùng) đều là hình tròn trên C.
S(α, R) = {|x − α| < R} là hình tròn,
S ∗ (α, R) = {|x − α| > R} là phần ngoài hình tròn,
P (R, ϕ) = x ∈ C : Re(e−iϕ x) > R là nửa mặt phẳng.

Khi đó ta có tính chất sau:
Định lý 1.4. Đẳng cấu phân tuyến tính bất kỳ biến hình tròn (đường tròn)
thành hình tròn (tương ứng thành đường tròn).
Nhận xét 1.3. Hình tròn và đường tròn đều là bất biến của nhóm các đẳng cấu
phân tuyến tính.
Chứng minh. Ánh xạ phân tuyến tính có thể biểu diễn dưới dạng hợp của các
ánh xạ:
α βγ − αδ
1
δ
+
ξ; ξ = ; ς = x + ,
2
γ
γ
ς
γ
1
trong đó có hai ánh xạ tuyến tính và ánh xạ ξ = . Đối với các ánh xạ tuyến
ς

1
tính Định lý 1.4 là hiển nhiên. Ta chỉ cần xét phép nghịch đảo ω = .
x
ω=

1. Ta xét trường hợp hình tròn S(α; R). Ảnh của nó sẽ là
1
− α < R, |1 − αω| < R |ω| , |1 − αω|2 < R2 |ω|2
ω
⇒ 1 − 2Re(αω) + α2 |ω|2 < R2 |ω|2 .

Tiếp theo ta xét ba trường hợp sau
a) |α| > R. Ta có
(|α|2 − R2 ) |ω|2 − 2Re(αω) + 1 < 0,


13
suy ra
αω

2

|ω| − 2Re

2

|α|

− R2

+

|α|2
2

(|α|

do đó
ω−

<

− R2 )2

|α|2
2

(|α|

2

α

<

|α|2 − R2

− R2 )2

R2

(|α|2 − R2 )2

−

1
2

|α| − R2

,

,

hay
ω−

α
2

|α|

<

− R2

R
2

|α| − R2

.

Đó là hình tròn.
b) |α| < R. Tương tự như trên ta có ω −

α
2

|α|

>

− R2

R
R2

− |α|2

.

c) |α| = R. Đặt α = |α| eiϕ , φ = argα, ta có:
Re(αω) >

1
1
⇒ Re(eiϕ ω) >
.
2
2 |α|

Đó là nửa mặt phẳng.
2. Đối với phần ngoài hình tròn A∗ (α, R) định lý được xét tương tự.
3. Bây giờ ta xét phép ánh xạ nửa mặt phẳng Re(e−iϕ x) > −R, R > 0, ảnh của
1
ω

nó sẽ là Re(e−iϕ ) > −R ⇒ Re(e−iϕ

ω
2

|ω|

) > −R ⇒ Re(eiϕ ω) > −R |ω|2 ,

do đó 2R |ω|2 + 2Re(eiϕ ω) > 0 ⇒ |ω|2 + 2Re(
e−iϕ
⇒ ω+
2R

2

eiϕ
1
1
ω) +
>
2
2R

4R
4R2

1
e−iϕ
>
,
ω
+
4R2
2R

2

>

1
.
2R

Đó là phần ngoài hình tròn.
Phép ánh xạ nửa mặt phẳng Re(e−iϕ x) > R > 0 được xét tương tự.
Nhận xét 1.4. Trong mọi trường hợp điểm α được ánh xạ thành điểm

1
, điểm
α

này thuộc ảnh hình tròn S(α, R) cùng với một lân cận nào đó của nó.
Định lý 1.5. Tồn tại đẳng cấu phân tuyến tính duy nhất biến ba điểm khác

nhau x1 , x2 , x3 ∈ C thành ba điểm khác nhau ω1 , ω2 , ω3 ∈ C tương ứng. Đẳng cấu
đó được xác định theo công thức
ω − ω1 ω3 − ω2
x − x1 x3 − x2
.
=
.
.
ω − ω2 ω3 − ω1
x − x2 x3 − x1


14
Định nghĩa 1.7 (Xem [2]).
a) Hai điểm x và x∗ được gọi là đối xứng với nhau qua đường tròn
Γ = {|x − x0 | = R} ⊂ C

nếu chúng có các tính chất sau:
• x và x∗ cùng nằm trên một tia đi từ x0 ;
• |x − x0 | . |x∗ − x0 | = R2 .

b) Mọi điểm trên đường tròn Γ được xem là đối xứng với chính nó qua Γ.
Từ định nghĩa trên suy ra rằng các điểm đối xứng qua đường tròn Γ liên hệ với
2

R
nhau bởi hệ thức ω = x0 + x−x
.
0

Thật vậy, từ biểu thức vừa viết suy ra |ω − x0 | . |x − x0 | = R2 và
arg(ω − x0 ) = arg(x − x0 ).

Trong hình học sơ cấp ta biết rằng hai điểm x và x∗ đối xứng với nhau qua đường
tròn Γ khi và chỉ khi mọi đường tròn đi qua x và x∗ đều trực giao với Γ. Khi đó
ta có tính chất sau:
Định lý 1.6. Tính đối xứng tương hỗ giữa các điểm là một bất biến của nhóm
các đẳng cấu phân tuyến tính.
Định lý 1.7. Đẳng cấu phân tuyến tính bất kỳ biến nửa mặt phẳng trên lên
hình tròn đơn vị đều có dạng ω = eiλ .

x−a
, Ima > 0, trong đó λ ∈ R là số thực
x−a

tùy ý.
Nhận xét 1.5. Theo Định lý 1.7 góc quay giữa các đường cong tại điểm a là
bằng λ −

π
x−a
π
vì ω = eiλ
nên arg ω (a) = λ − .
2
x−a
2

Định lý 1.8. Mọi đẳng cấu phân tuyến tính biến hình tròn {|x| < 1} lên hình
tròn {|ω| < 1} đều có dạng ω = eiλ .

x−a
, trong đó |a| < 1, λ ∈ R là số thực tùy
1 − ax

ý.
αx + β
, αδ − βγ = 0 biến nửa mặt
γx + δ
phẳng trên lên chính nó khi và chỉ khi mọi hệ số α, β, γ, δ đều là những số thực

Định lý 1.9. Ánh xạ phân tuyến tính ω =
thỏa mãn điều kiện αδ − βγ > 0.


15
Chứng minh. Giả sử ánh xạ phân tuyến tính trên biến nửa mặt phẳng trên lên
chính nó. Ta xét ba điểm khác nhau x1 , x2 và x3 của trục thực trong mặt phẳng
x, ảnh của ba điểm này là những điểm biên của nửa mặt phẳng Imω > 0, tức

là các số ωk = ω(xk ), k = 1, 2, 3 là những số thực. Từ đó, ta thu được hệ phương
trình với các hệ số thực để xác định α, β, γ, δ. Do đó với sự chính xác đến một
thừa số nào đó từ hệ phương trình tuyến tính vừa thu được dễ dàng suy ra rằng
các hệ số của ánh xạ phân tuyến tính đều là thực. Vì ω = u + iv, x = a + ib nên
khi b > 0 ta có v > 0. Thay ω = u + iv, x = a + ib vào ánh xạ phân tuyến tính,
b(αδ − βγ)
. Từ đó suy ra αδ − βγ > 0. Ngược lại, nếu các hệ số
(γa + δ)2 + (γb2 )
α, β, γ, δ đều thực thì trục thực của mặt phẳng (x) được ánh xạ lên trục thực của

ta có v =

mặt phẳng (ω) và vì αδ − βγ > 0 nên nửa mặt phẳng trên được ánh xạ lên nửa
mặt phẳng trên.


Chương 2
Một số lớp phương trình hàm sinh
bởi hàm phân tuyến tính
2.1

Một lớp phương trình hàm tuyến tính cơ bản

Phần này chủ yếu trình bày lớp phương trình hàm sinh bởi các phép biến đổi
hình học cơ bản như phép đồng dạng x → ax, phép tịnh tiến x → x + b và các tổ
hợp của chúng. Cụ thể ta khảo sát lớp phương trình hàm dạng
f (αx + β) = af (x) + b, ∀x ∈ R, α = 0, a = 0.

Đây là dạng phương trình hàm cơ bản làm nền tảng để vận dụng vào việc giải
các phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính.
Bài toán 2.1. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + 3) = f (x) − 1, ∀x ∈ R.

(2.1)

Lời giải. Dựa vào đặc trưng hàm ta có thể xem f (3) = −1 nên
f (x + 3) = f (x) + f (3).
1
3

1
3

Như vậy, f (x) = ax, nên a(x + 3) = ax − 1 ⇒ a = − . Đặt f (x) = − x + g(x), thế
vào (2.1) ta được
1
1
− (x + 3) + g(x + 3) = − x + g(x) − 1
3
3
⇒ g(x + 3) = g(x), ∀x ∈ R, chứng tỏ g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3.
1
Vậy f (x) = − x + g(x), trong đó g(x) là hàm tuần hoàn tùy ý chu kỳ 3.
3

Bài toán 2.2. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + 3) = 2f (x), ∀x ∈ R.
16

(2.2)


17
Lời giải. Dựa vào đặc trưng hàm ta có thể xem f (3) = 2 nên
f (x + 3) = f (x).f (3).
1

x

Như vậy, f (x) = ax , nên ax+3 = 2ax ⇒ a = 2 3 . Đặt f (x) = 2 3 .g(x) thế vào (2.2) ta

được
2

x+3
3

x

.g(x + 3) = 2.2 3 .g(x),

hay
g(x + 3) = g(x), ∀x ∈ R,

chứng tỏ g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 3.
x

Vậy f (x) = 2 3 .g(x), trong đó g(x) là hàm tuần hoàn tùy ý chu kỳ 3.
Bài toán 2.3. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (−x) = f (x), ∀x ∈ R.

(2.3)

Lời giải. Ta thấy rằng
f (x) =

1
[f (x) + f (−x)] , ∀x ∈ R.
2

(2.4)

Ta chứng minh mọi nghiệm của (2.3) đều có dạng
f (x) =

1
[g(x) + g(−x)] , ∀x ∈ R,
2

(2.5)

trong đó g(x) là hàm tùy ý.
Thật vậy, rõ ràng mọi hàm xác định theo (2.5) đều là nghiệm. Ta có
f (−x) =

1
[g(−x) + g(x)] = f (x), ∀x ∈ R.
2

Ngược lại, ta chứng minh mọi nghiệm đều có dạng (2.5). Nhìn vào (2.4) ta thấy
đúng.
Bài toán 2.4. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R.

(2.6)

Lời giải. Ta thấy rằng
f (x) =

1
[f (x) − f (−x)] , ∀x ∈ R.

2

(2.7)


18
Ta chứng minh mọi nghiệm của (2.7) đều có dạng
f (x) =

1
[g(x) − g(−x)] , ∀x ∈ R,
2

(2.8)

trong đó g(x) là hàm tùy ý.
Thật vậy, rõ ràng mọi hàm xác định theo (2.8) đều là nghiệm. Ta có
f (−x) =

1
[g(−x) − g(x)] = −f (x), ∀x ∈ R.
2

Ngược lại, ta chứng minh mọi nghiệm đều có dạng (2.8). Nhìn vào (2.7) ta thấy
đúng.
Bài toán 2.5. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + 2) = −f (x), ∀x ∈ R.

(2.9)


 f (x) = −f (x + 2), ∀x ∈ R
Lời giải. Ta thấy rằng (2.9) ⇔
 f (x + 4) = f (x), ∀x ∈ R

 f (x) = 1 [f (x) − f (x + 2)] , ∀x ∈ R
2
⇔

f (x + 4) = f (x), ∀x ∈ R.
Ta chứng minh rằng mọi nghiệm của (2.9) đều có dạng
f (x) =

1
[g(x) − g(x + 2)] , ∀x ∈ R,
2

(2.10)

trong đó g(x) là hàm tùy ý tuần hoàn chu kỳ 4.
Thật vậy, nếu f (x) có dạng (2.10), trong đó g(x) là hàm tùy ý tuần hoàn chu kỳ
4 thì
f (x + 2) =

1
1
[g(x + 2) − g(x + 4)] = − [g(x) − g(x + 2)] = −f (x), ∀x ∈ R.
2
2

Ngược lại, mọi hàm thỏa mãn (2.9) đều viết được dưới dạng (2.10), điều này
đúng vì (2.9), ta chỉ cần chọn f (x) = g(x).
Bài toán 2.6. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (x + 2) = −3f (x) + 5, ∀x ∈ R.

(2.11)
5
4

Lời giải. Dùng hàm hằng c để khử hệ số tự do. Ta có c = −3c + 5 ⇒ c = . Đặt
f (x) =

5
+ g(x) thế vào (2.11) ta được
4
5
5
+ g(x + 2) = −3( + g(x)) + 5,
4
4


19
hay
g(x + 2) = −3g(x), ∀x ∈ R.

(2.12)

x

Đặt g(x) = 3 2 .h(x), thế vào (2.12) ta được
3

x+2
2

x

h(x + 2) = −3.3 2 .h(x),

hay
h(x + 2) = −h(x)

Suy ra h(x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ 2, ta đã giải trong Bài toán 2.5.
Bài toán 2.7. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (5 − x) = −3f (x) + 5, ∀x ∈ R.

(2.13)
5
4

Lời giải. Dùng hàm hằng c để khử hệ số tự do. Ta có c = −3c + 5 ⇒ c = . Đặt
f (x) =

5
+ g(x) thế vào (2.13) ta được
4
g(5 − x) = −3g(x), ∀x ∈ R.

(2.14)

Đặt 5 − x = t, thì x = 5 − t thế vào (2.14) ta được g(t) = −3g(5 − t), ∀t ∈ R
hay
g(x) = −3g(5 − x), ∀x ∈ R.

(2.15)

Từ (2.14) và (2.15) ta có hệ phương trình

 g(5 − x) = −3g(x)
 g(x) = −3g(5 − x).
5
4

Suy ra g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R. Vậy f (x) = . Thử lại ta thấy thỏa mãn (2.13).
Nhận xét 2.1. Như vậy ta đã giải xong dạng
f (± x + β) = af (x) + b

với a, b tùy ý.
Bài toán 2.8. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (2x) = 3f (x) − 1, ∀x > 0.

(2.16)


20
1
2

Lời giải. Dùng hàm hằng c để khử hệ số tự do. Ta có c = 3c − 1 ⇒ c = . Đặt

f (x) =

1
+ g(x) thế vào (2.16) ta được
2
g(2x) = 3g(x), ∀x > 0.

(2.17)

Dựa vào đặc trưng hàm ta có thể xem g(2) = 3 nên g(2x) = g(2)g(x). Như vậy,
g(x) = xm , nên (2x)m = 3xm ⇒ m = log2 3. Đặt g(x) = xlog2 3 .h(x), thế vào (2.17)

ta được
h(2x) = h(x), ∀x > 0,

(2.18)

là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. Do x > 0 nên đặt x = 2t ⇔ t = log2 x, thay
vào (2.18) ta được
h(2t+1 ) = h(2t ), ∀t ∈ R

hay
ϕ(t + 1) = ϕ(t), ∀t ∈ R,

trong đó ϕ(t) = h(2t ) với ϕ(t) là hàm tuần hoàn chu kỳ 1.
Vậy f (x) =

1
+ xlog2 3 .ϕ(log2 x), với ϕ(t) là hàm tuần hoàn tùy ý chu kỳ 1.
2

Bài toán 2.9. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (2x) = −f (x), ∀x > 0.

(2.19)

Lời giải. Đặt x = 2t ⇔ t = log2 x do x > 0, thế vào (2.19) ta được
f (2t+1 ) = −f (2t ),

hay
h(t + 1) = −h(t),

với h(t) = f (2t ). 

h(t) = −h(t + 1)
Từ (2.20) ta có
 h(t + 2) = h(t), ∀t ∈ R.
Suy ra

 h(t) = 1 [h(t) − h(t + 1)]
2

(2.20)

(2.21)

 h(t + 2) = h(t), ∀t ∈ R.
Ta chứng minh mọi nghiệm của (2.20) đều có dạng
h(t) =

1
[g(t) − g(t + 1)] , ∀t ∈ R.
2

(2.22)


21
Rõ ràng mọi hàm h(t) thỏa mãn (2.22), g(t) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2 là nghiệm
của (2.20). Ngược lại, chọn g(t) = h(t) thì (2.22) là nghiệm của (2.20). Khi đó
f (x) = h(log2 x) =

1
[g(log2 x) − g(log2 x + 1)] ,với g là hàm tùy ý chu kỳ 2.
2

Bài toán 2.10. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (2x + 1) = 3f (x) − 5, ∀x ∈ R.

(2.23)
5
2

Lời giải. Dùng hàm hằng c để khử hệ số tự do. Ta có c = 3c − 5 ⇒ c = . Đặt
f (x) =

5
+ g(x), thế vào (2.23) ta được
2
5

5
+ g(2x + 1) = 3 g(x) +
− 5,
2
2

hay
g(2x + 1) = 3g(x), ∀x ∈ R.

(2.24)

Đặt x = −1 + t suy ra 2x + 1 = −1 + 2t. Khi đó (2.24) có dạng
g(−1 + 2t) = 3g(−1 + t),

hay
h(2t) = 3h(t),

(2.25)

với h(t) = g(−1 + t), ∀t ∈ R.
• Nếu t > 0 thì (2.23) giải tương tự Bài toán 2.8.
• Nếu t = 0 suy ra h(0) = 0.
• Nếu t < 0, đặt t = −u, u > 0 ta được h(−2u) = 3h(−u), ∀u > 0

hay ϕ(2u) = 3ϕ(u), ∀u > 0, với ϕ(u) = h(−u), (giải tương tự Bài toán 2.8.)
Bài toán 2.11. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện
f (3x − 1) = −2f (x) + 1, ∀x ∈ R.

(2.26)
1

3

Lời giải. Dùng hàm hằng c để khử hệ số tự do. Ta có c = −2c + 1 ⇒ c = . Đặt
f (x) =

1
+ g(x) thế vào (2.26) ta được
3
g(3x − 1) = −2g(x).

Đặt x =

(2.27)

1
1
1
+ t thay vào (2.27) ta được g( + 3t) = −2g( + t),
2
2
2

hay
h(3t) = −2h(t),
1
2

với h(t) = g( + t).

(2.28)

22
• Nếu t > 0 đặt t = 3u , ∀u ∈ R ta được h(3u+1 ) = −2h(3u ),

suy ra ϕ(u + 1) = −2ϕ(u), (giải tương tự Bài toán 2.6.)
1
• Nếu t = 0 suy ra g( ) = 0.
2
• Nếu t < 0, đặt t = −u, u > 0 ta được h(−3u) = −2h(−u), ∀u > 0

hay ϕ(3u) = −2ϕ(u), ∀u > 0, với ϕ(u) = h(−u) (giải tương tự Bài toán 2.6)
Nhận xét 2.2. Như vậy, phương trình
f (αx + β) = af (x) + b, ∀x ∈ R, α = 0, a = 0

đã được giải trong mọi trường hợp.

2.2

Một lớp phương trình hàm phân tuyến tính
dạng cơ bản

Phần này trình bày lớp phương trình hàm phân tuyến tính dạng cơ bản
f

αx + β
γx + δ

= af (x) + b,

trong đó a = 0, γ = 0; αδ − βγ = 0.
Đối với phương trình hàm dạng này cách giải khác với phương trình hàm tuyến
tính, ta cần phải dựa vào số nghiệm của phương trình

αx + β
= x để đưa về
γx + δ

dạng phương trình hàm tuyến tính. Do đó, cách giải phương trình hàm này được
phân thành ba trường hợp sau:
αx + β
= x có 2 nghiệm phân biệt.
γx + δ
αx + β
2.2.2 Trường hợp phương trình
= x có 1 nghiệm kép.
γx + δ
αx + β
2.2.3 Trường hợp phương trình
= x không có nghiệm thực.
γx + δ

2.2.1 Trường hợp phương trình

2.2.1

Trường hợp phương trình

αx + β
= x có 2 nghiệm phân

γx + δ

biệt
Bài toán 2.12. Nêu cách dựng hàm ω(x) =
có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.

αx + β
αx + β
để phương trình
=x
γx + δ
γx + δ


23
Lời giải. Ta có

αx + β
= x, γ = 0.
γx + δ

Theo giả thiết ta có
γ(x − 1)(x − 2) = 0 ⇔ γx2 − 3γx + 2γ = 0,

hay
x(γx − 3γ + λ) = λx − 2γ, λ tùy ý,

do đó
λx − 2γ
, λ tùy ý.

γx − 3γ + λ
λx − 2γ
αx + β
Vậy ω(x) =
thì phương trình
= x có hai nghiệm x1 = 1; x2 =
γx − 3γ + λ
γx + δ
2, ∀λ, γ ∈ R, γ = 0.
3x − 4
Bài toán 2.13. Cho hàm số ω(x) =
. Tìm tất cả các hàm f : R\ {2} → R
x−2
x=

thỏa mãn điều kiện
f (ω(x)) = 7f (x) − 2, ∀x = 2.

(2.29)

3x − 4
= x có 2 nghiệm phân biệt x = 1; x = 4. Thay
x−2
1
x = 1; x = 4 vào (2.29) ta được f (1) = f (4) = .
3
x−1
1
Xét x = 1; x = 4. Đặt
= t thì t ∈

/ − ; 0; 1 .
x−4
2

Lời giải. Ta nhận thấy

Suy ra
3
x=4+
t−1
3x
−
4
3

=4+
.
x−2
−2t − 1




Thay vào (2.29) ta được
f (4 +

3
3
1
) = 7f (4 +

) − 2, ∀t ∈
/ − ; 0; 1 ,
−2t − 1
t−1
2

hay
1
g(−2t) = 7g(t) − 2, ∀t ∈
/ − ; 0; 1 ,
2
3
1
trong đó g(t) = f (4 +
), ∀t ∈
/ − ; 0; 1 .
t−1
2
1
log2 7
Đặt g(t) = + |t|
.h(t) thế vào (2.30) ta được
3
1
h(−2t) = h(t), ∀t ∈ − ; 0; 1 .
2

Kết luận

1

nếu x ∈ {1; 4}
3
f (x) =
 g( x − 1 ) nếu x ∈
/ {1; 4},
x−4




(2.30)