LỜI GIẢI TV IMO 1959 1960

Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

IMO 1959
Câu 1. Chứng minh phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.
Giải: Ký hiệu ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a, b là . Chúng ta sử dụng
thuật toán Euclidean
Do đó, phân số tối giản.
Nguồn:
/>Câu 2. Với giá trị thực nào của x thì biểu thức

nhận giá trị
a.
b.
c.
Ở đây, chỉ những số thực không âm mới có căn bậc hai.
Giải:
Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là

. Bình phương hai vế, ta có

Từ đó suy ra kết quả
a.
b. .
c.
Nguồn
/>Câu 3. Cho a, b, c là các số thực. Xét phương trình bậc hai theo
Dùng các số a, b, c này lập phương trình bậc hai theo có cùng nghiệm với phương trình
ban đầu. So sánh hai phương trình khi
Giáo viên: Lê Văn Tho

1


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Giải: Giả sử phương trình thứ nhất có các nghiệm . Chúng ta xây dựng một phương trình
bậc hai với hai nghiệm là .
Rõ ràng, tổng của hai nghiệm này là
và tích của chúng là
Do đó, phương trình cần lập là:
Bây giờ, với , phương trình thứ nhất là
và phương trình thứ hai là
Phương trình thứ nhất suy ra và phương trình thứ hai suy ra được
ra cùng nghiệm x.

Hai kết quả này suy

Nguồn:
/>Câu 4. Dựng tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền c và đường trung bình ứng với cạnh
huyền bằng trung bình nhân của hai cạnh góc vuông.
Giải:
C

Chúng ta ký hiệu hai cạnh góc vuông của
tam giác là a và b.

b

A

Vì tam giác ABC vuông nên Theo đề

Ta lại có . Do đó

Giáo viên: Lê Văn Tho

2

H

c

a

2
c

M

B


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Như vậy, H là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường thẳng song song và
cách đều AB một khoảng c/4. Ta suy ra cách dựng.

Nguồn:
/>Câu 5. Cho một điểm M tùy ý trên đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và
MBEF ở về cùng một phía của đoạn AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại
tiếp hai hình vuông này. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm chung thứ hai N. Đường thẳng
AF và BC cắt nhau tại N’.
a. Chứng minh N trùng với N’.
b. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định S không phụ thuộc M.
c. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn PQ khi M di chuyển trên đoạn AB.
Giải:

E

F
N
C

D
R

Q

I

T

P
A

H

M L

K

B

S

a. Vì (c.g.c) nên mà nên . Mặt khác, nên B, C, N thẳng hàng hay N trùng với N’.
b. Ta thấy (g.g) nên
Giáo viên: Lê Văn Tho

3


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

mà

Nên

và do đó NM là phân giác của góc . Dựng đường tròn đường kính AB thì đường tròn này
xác định và đi qua N (vì vuông). Gọi S là điểm chính giữa cung AB (như hình vẽ) thì S
cố định và MN đi qua S (vì NM là đường phân giác theo chứng minh trên).
c. Gọi I là trung điểm của PQ, gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P, Q, I lên
đoạn AB. Ta có

Suy ra điểm I nằm trên đường thẳng d song song với đường AB và cách AB một khoảng

AB/4 (phần chứa các hình vuông).
Giới hạn: Gọi R, T là giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các đường thẳng vuông
góc với AB dựng tại A, B. Ta thấy khi M chạy tới A thì I chạy tới R và khi M chạy tới B
thì I chạy tới T.
Kết luận: Khi M chạy trên đoạn AB (trừ hai điểm A, B) thì I chạy trên đoạn RT (trừ hai
điểm R và T).
Nguồn:
/>Câu 6. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) giao nhau theo đường thẳng p. Điểm A nằm trên
(P), và điểm C nằm trên (Q) mà cả hai đều không nằm trên p. Dựng hình thang cân
ABCD ngoại tiếp được đường tròn có B thuộc (P) và D thuộc (Q).
Giải:

Giáo viên: Lê Văn Tho

4


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

B' a

B

A

p

P

Q
c
D

A'

D'

C

Nhận thấy . Trong (P) ta dựng đường thẳng a qua A và song song với p, trong (Q), ta
dựng đường thẳng c qua C và song song với p. Vì ABCD là hình thang cân ngoại tiếp
được đường tròn nên

Trong mặt phẳng (R) chứa hai đường thẳng song song a và c, ta hạ AA’ vuông góc với c
tại A’ thì được nên suy ra . Trong (R), dựng đường tròn (C; CA) cắt a tại điểm B, (A, CA)
cắt b tại điểm D.
Nhận xét: Tùy theo số giao điểm của đường tròn (C; CA) và đường thẳng a mà ta có số
nghiệm hình là 0, 1 hoặc 2.
Nguồn:
/>
IMO 1960 Rumani
Giáo viên: Lê Văn Tho

5


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Câu 1. Tìm tất cả các số có 3 chữ số, sao cho số này chia hết cho 11 và kết quả bằng tồng
bình phương các chữ số của số này.
Giải: Gọi số đó là thì hoặc .
Trường hợp , theo đề

Từ đây suy ra c là số chẵn. Xem (1) là phương trình ẩn a tham số c thì theo điều kiện có
nghiệm

Từ đó suy ra hoặc 4. Thử lại vào (1) thấy thì thỏa mãn. Vậy trường hợp này số cần tìm
là 550.
Trường hợp theo đề

Từ đây suy ra c là số l. Xem (1) là phương trình ẩn a tham số c thì theo điều kiện có
nghiệm

Từ đó suy ra hoặc 5. Thử lại vào (1) thấy thì thỏa mãn. Vậy trường hợp này số cần tìm
là 803.
Vậy có hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài là 550 và 803.
Câu 2. Với giá trị nào của x thì thỏa mãn bất phương trình sau

Giải: Điều kiện Đặt thì bất phương trình suy ra

Suy ra

Nguồn:
/>Giáo viên: Lê Văn Tho

6

Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chia cạnh huyền BC thành n đoạn bằng nhau, n
lẻ. Đoạn chính giữa nhìn đỉnh A dưới góc . Gọi h là khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh BC.
Chứng minh rằng

Giải:

C
Q
P

α
A

B

Đặt hệ trục tọa độ vào sao cho , . Khi đó ta có

Hệ số góc của AQ và AP lần lượt là

Do đó, ta có

Nguồn:
/>Câu 4: Dựng tam giác ABC biết độ dài các đường cao hạ từ A, B và độ dài đường trung
tuyến hạ xuất phát từ điểm A.

Giáo viên: Lê Văn Tho

7


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Giải:

d

A
ha hb ma

H'

K

B'''
C''
N

l

B C'

H

M

B'

C

B''
C'''

Phân tích: Giả sử ta đã dựng được tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, BC là tiếp
tuyến của đường tròn tâm A bán kính và BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán
kính /2. Như vậy, C là giao điểm của hai tiếp tuyến này và M là trung điểm của BC. Từ
đó, ta suy ra cách dựng như sau.
Cách dựng: Dựng , dựng đường tròn tâm A bán kính . Tiếp tục, ta dựng đường tiếp
tuyến l qua M của đường tròn tại H. Ta dựng đường tròn tâm M bán kính /2, sau đó đựng
tiếp tuyến d của đường tròn này từ M. Giao điểm của l và d là C; sau đó, ta lấy điểm B
sao cho M là trung điểm của BC.
Chứng minh: Theo cách dựng thì tam giác ABC có

Giáo viên: Lê Văn Tho

8


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Biện luận: Vì từ mỗi điểm bên ngoài một đường tròn ta luôn dựng được hai tiếp tuyến
với đường tròn đó. Do vậy, theo cách dựng ta có 4 nghiệm hình với mỗi ví trí của trung

tuyến AM cố định.
Nguồn:
/>Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có X là một điểm trên đường chéo AC và
Y là một điểm trên đường chéo B’D’.
a. Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn XY.
b. Tìm quỹ tích điểm Z trên đoạn XY sao cho YZ = 2 XZ.
Giải:
a.

B

A
X
C

D
Q

I

P

S

R
A'

B'

Y

D'

C'

Thuận: Gọi I là trung điểm của đoạn XY ta có khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng ABCD
và A’B’C’D’ là bằng nhau. Như vậy, I nằm trên mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng này.
Giới hạn: Khi X, Y tiến tới các vị trí biên A, C và B, D thì I tiến đến bốn góc của hình
vuông PQRS. Vậy quỹ tích nằm trong hình vuông PQRS kể cả biên.
Nghịch: Với mỗi điểm I thuộc miền trong hình vuông PQRS kể cả biên, ta xác định giao
điểm K của D’I và mặt phẳng (ACB’). Lúc này, X là giao điểm của B’K với AC và Y là
giao
điểm
của
XI
với
B’D’.
b. Tương tự câu a, quỹ tích là một hình chữ nhật.
Giáo viên: Lê Văn Tho

9


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Nguồn:
/>Câu 6: Cho hình cầu bán kính r cố định. Mộ hình nón và một hình trụ cùng ngoại tiếp
hình cầu. Gọi V và V’ lần lượt là thể tích của khối nón và khối trụ.
a. Chứng minh

b. Gọi k là số thực thỏa . Xác định góc ở đỉnh của hình nón để k nhỏ nhất.
Giải:

O

α
E

F
r
r

h
R'
O'

R
A

C

H

D

B

a. Ta có

Suy ra

b. Ta có

Vì thì . Do đó, xét hàm số

Giáo viên: Lê Văn Tho

10


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Khảo sát ta được

khi

Nguồn:
/>
Giáo viên: Lê Văn Tho

11