Hình lồi trong không gian afin và một số vấn đề liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ MINH HỒNG

HÌNH LỒI TRONG KHÔNG GIAN AFIN
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội, tháng 5 năm 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRẦN THỊ MINH HỒNG

HÌNH LỒI TRONG KHÔNG GIAN AFIN
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội, tháng 5 năm 2019


Lời cảm ơn
Trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận
được sự hướng dẫn, chỉ đạo tận tình của các thầy cô giáo, sự giúp đỡ, động
viên của bạn bè, đồng nghiệp, gia đình.
Nhân dịp hoàn thành khóa luận, cho phép tôi bày tỏ lòng cảm ơn tới
các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô
trong bộ môn tổ Hình học cũng như các thầy cô giảng dạy đã tận tình
truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS
Nguyễn Năng Tâm, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, dành thời nhiều
công sức, thời gian chỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành khóa luận
này.
Xin được chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã tạo mọi
điều kiện và giúp đỡ tôi về mọi mặt trong thời gian hoàn thành khóa luận.
Do điều kiện về thời gian và ngoại cảnh còn nhiều hạn chế nên khóa
luận này không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong nhận được những nhận
xét, góp ý của các thầy cô cùng bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Trần Thị Minh Hồng


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu, tìm tòi của cá
nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Các nội dung
trong khóa luận là hoàn toàn trung thực. Các thông tin trích dẫn trong
khóa luận đều được chỉ rõ nguồn gốc.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này
đã được cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Trần Thị Minh Hồng


Bảng kí hiệu
A

Không gian afin A.

A

Không gian vectơ liên kết với không gian afin A.

An

Không gian afin n chiều A.

An

Không gian vectơ liên kết với không gian n chiều A.

An (R)

Không gian afin thực n chiều A.

dimA

Số chiều của không gian afin A.

o

G

Tập các điểm trong của G.

∂G

Bờ của G.

H(P0 , P1 , ...Pm ) m - hộp đóng. (trong đó m + 1 điểm Pi độc lập)
o

H(P0 , P1 , ...Pm ) m - hộp mở. (trong đó m + 1 điểm Pi độc lập)
S(P0 , P1 , ...Pm )

m - đơn hình với các đỉnh P0 , P1 , ...Pm .

coX

Bao lồi của tập X.

affA

Bao afin của tập A.

E

Không gian Ơclit E.

En

Không gian vectơ Ơclit n chiều E.

En

Không gian Ơclit n chiều E.

KA

Nón lồi sinh bởi tập A.

N(n/A)

Nón pháp tuyến của tập lồi A tại đỉnh n.
Kết thúc chứng minh.

i


Mục lục

Bảng kí hiệu

i

Lời mở đầu

1

1 KHÔNG GIAN AFIN

3

1.1

Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1.

4

Không gian afin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2. Hệ điểm độc lập
1.2

1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Mục tiêu afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Khái niệm mục tiêu afin . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Tọa độ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3. Công thức đổi tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Phẳng afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2. Phương trình của m - phẳng . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3. Vị trí tương đối của các phẳng . . . . . . . . . . .

10

2 HÌNH LỒI
2.1

14

Hình lồi trong không gian afin . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.2. Bao lồi

Trần Thị Minh Hồng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.3. Đơn hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.4. Hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2

Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3

Tính chất tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4

Hình đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5

Hình lồi trong không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.1. Không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.2. Hình lồi không gian Ơclit . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.3. Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5.4. Tập afin, Bao afin . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.5.5. Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Một số bài toán có yếu tố hình lồi . . . . . . . . . . . . .

42

2.6

TÀI LIỆU THAM KHẢO

58

iii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

Lời mở đầu
• Lý do chọn đề tài
Từ những niên đại trước công nguyên, trong đời sống hàng ngày
con người đã tiếp xúc với những vấn đề đo đạc, điều đó đòi hỏi phải
có một số kiến thức nhất định về hình học. Sau khi được phát triển,
nghiên cứu đến ngày nay, hình học lại càng cho thấy rõ sự thú vị
và tầm quan trọng đối với thực tiễn. Với mong muốn được nghiên
cứu và bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em đã
quyết định chọn một đề tài hình học để thực hiện nghiên cứu khoa
học. Sau thời gian tìm hiểu, khái quát lại kiến thức, em đặc biệt chú
ý đến kiến thức về Hình lồi được trình bày trong chương trình Đại
học. Người ta đã có rất nhiều nghiên cứu về hình lồi trong không
gian Ơclit nhưng em xin mạnh dạn trình bày một số hiểu biết về
hình lồi trong không gian afin. Tên đề tài mà e lựa chọn để đặt cho
nghiên cứu khoa học này là:"Hình lồi trong không gian afin
và một số vấn đề liên quan".
• Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Tên gọi hình lồi có vẻ còn rất mới lạ đối với học sinh khối trung
học phổ thông, nhưng thực ra chúng đã có mặt rất sớm trong hệ

thống kiến thức mà mang những cái tên riêng biệt của mình như
hình vuông, hình tròn, hình chữ nhật... Khi lên các cấp cao hơn,
hình lồi được đưa vào nghiên cứu trong không gian afin, không gian
Ơclit.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

• Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu liên quan đến hình lồi trong không gian
afin, đưa ra một số bài toán có yếu tố lồi.
• Phương pháp nghiên cứu
– Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu liên quan đến
hình lồi trong không gian afin.
– Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xin ý kiến của giáo viên
trực tiếp hướng dẫn và các giáo viên khác để hoàn thành nội
dung cũng như cấu trúc khóa luận.
– Phương pháp tổng hợp: Tổng kết các kiến thức của bản thân,
kết hợp ý kiến của giảng viên để hoàn thành khóa luận.
• Nội dung chính của khóa luận
Nội dung chính của khóa luận gồm hai chương như sau:
Chương 1. Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản sẽ dùng ở chương
sau.
Chương 2. Chương này trình bày một số nội dung về hình lồi trong không
gian afin và không gian Ơclit. Những kiến thức được trình bày
để giải quyết một số bài toán hình học tổ hợp.

2


Chương 1
KHÔNG GIAN AFIN
Trong chương trình phổ thông trung học, hình học cổ điển được xây
dựng từ các đối tượng cơ bản như điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các
tiên đề, định lý quy định mối liên hệ giữa chúng. Với cách định nghĩa
hình học như vậy, rất phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh phổ
thông trung học. Nhưng sau các thành tựu của Đại số tuyến tính, người
ta tìm ra cách trình bày hình học cổ điển đơn giản và tổng quát hơn,
hạn chế được nhược điểm của cách trình bày ở phổ thông đó là khó khăn
khi mở rộng không gian nhiều chiều. Từ đó, hình học afin cũng được
xây dựng chỉ với hai đối tượng là điểm và vectơ cùng với tám tiên đề về
vectơ và hai tiên đề về điểm (đã được trình bày trong đại số tuyến tính).
Các chứng minh trong hình học afin chủ yếu sử dụng thành tựu của Đại
số tuyến tính. Nội dung trình trong chương này chủ yếu được lấy từ [1].

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1

Trần Thị Minh Hồng

Khái niệm

1.1.1.

Không gian afin

Cho K là một trường, V là một K - không gian vectơ, tập hợp A khác
rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, một ánh xạ ϕ được xác định
như sau:
ϕ :

A × A −→ V
−−→
M, N −→ ϕ(M, N ) := M N

với M, N ∈ A thỏa mãn các tiên đề sau đây:
−−→
1. ∀ M ∈ A, ∀u ∈ V tồn tại duy nhất điểm N sao cho M N = u
−−→ −−→ −−→
2. ∀ M, N, P ∈ A luôn có M N + N P = M P .
Khi đó bộ ba (A, ϕ, V) được gọi là không gian afin A liên kết với không
gian vectơ V (hoặc K - không gian afin A), (xem [1, tr.5]).
Mỗi M ∈ A được gọi là một điểm.
Không gian vectơ liên kết V thường được kí hiệu là A.
Nếu dimV = n thì không gian afin A gọi là n chiều, kí hiệu: dimA = n,
(xem [1, tr.5]).
Ví dụ: Cho V là một K - không gian vectơ, ánh xạ ϕ : V × V → V cho
bởi ϕ(a, b) = b − a, (a, b ∈ V). Khi đó (V, ϕ, V) trở thành không gian
afin V liên kết với không gian vectơ V và gọi là không gian afin chính
tắc trên V, (xem [1, tr.5]). Thật vậy, ta kiểm tra hai tiên đề:
• ∀a ∈ V, u ∈ V tồn tại duy nhất b ∈ V sao cho u = b − a
• ∀x, y, z, a, b, c ∈ V trong đó x = b − a, y = c − b, z = c − a, ta
xét x + y = b − a + c − b = c − a = z.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2.

Trần Thị Minh Hồng

Hệ điểm độc lập

Hệ m + 1 điểm A0 , A1 , ..., Am (m 1) của không gian afin A gọi là độc
−−−→ −−−→
−−−→
lập nếu m vectơ A0 A1 , A1 A2 , ..., A0 Am của A là hệ vectơ độc lập tuyến
tính. Hệ gồm một điểm (tức trường hợp m = 0) luôn được xem là độc
lập, (xem [1, tr.6]).
Định lý: Nếu A là không gian afin n chiều thì trong A luôn có những
hệ m điểm độc lập với 0

m

n + 1. Mọi hệ điểm nhiều hơn n + 1

điểm đều là độc lập, (xem [1, tr.7]).

1.2
1.2.1.

Mục tiêu afin

Khái niệm mục tiêu afin

Cho không gian afin n chiều A liên kết với không gian vectơ A. Lấy
e = {e1 , e2 , ..., en } là một cơ sở của A và một điểm O thuộc A. Khi đó
tập hợp {O, e} được gọi là một mục tiêu afin của An ; O gọi là điểm gốc
của mục tiêu, ei gọi là vectơ cơ sở thứ i của mục tiêu. Để chỉ mục tiêu
afin {O, e} ta có thể viết là {O, ei } (xem [1, tr.7]).
1.2.2.

Tọa độ

Giả sử {O, ei } là một mục tiêu của không gian afin An . Khi đó với
−−→
mọi điểm M thuộc A, vectơ OM ∈ An nên ta có biểu diễn tuyến tính
−−→
của OM qua cở sở {ei }, i = 1, 2, ..., n:
n

−−→
OM =

xi ei
i=1

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

−−→
Điều này có nghĩa vectơ OM có tọa độ (x1 , x2 , ..., xn ) đối với cơ sở {ei },
xi ∈ K, (i = 1, 2, 3, ..., n, ) (xem [1, tr.7]).
Bộ (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ K cũng được gọi là tọa độ của điểm M trong mục
tiêu {O, ei }, xi được gọi là tọa độ thứ i của M . Kí hiệu: M (x1 , x2 , ..., xn )
hay M (xi ) (xem [1, tr.7]).
Chú ý: Nếu M (xi ), N (yi ) đối với mục tiêu afin {O, ei } thì
−−→ −−→ −−→
M N = ON − OM =

n

n

yi e i −
i=1

n

(yi − x1 )e1

xi e i =
i=1

i=1

−−→
Tức là M N có tọa độ (yi − xi ) đối với cơ sở {ei }, (i = 1, 2, 3, ..., n),
(xem [1, tr.7]).

1.2.3.

Công thức đổi tọa độ

Trong không gian afin n chiều An , cho hai mục tiêu afin {O, e} và
{O , e }. Một điểm M ∈ A có tọa độ tương ứng với mỗi mục tiêu lần lượt
là (xi , xj ). Ta đi tìm mối liên hệ giữa các tọa độ này.
Giả sử đã biết

n

ej =

Cij ei
i=1
n

−−→
OO =

bi e i
i=1

−−→ −−→ −−→
Khi đó từ đẳng thức OM = OO + O M ta có:
n

n

xi e i =

i=1

n

bi ei +
i=1

n

xj ej =

n

bi ei +

j=1

i=1
n

=

6

xj
j=1
n

bi e i +
i=1

n

Cij ei
i=1

n

(
i=1 j=1

Cij xj + ai )ei .


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Từ đó suy ra:

Trần Thị Minh Hồng

n

xi =

Cij xj , i = 1, 2, ..., n.

(1.1)

j=1

(1.1) còn được viết dưới dạng ma trận như sau:
[x] = C x + [b] .

(1.2)

Với C = (Cij ) là ma trận chuyển từ cơ sở {ei } sang cơ sở ei , do đó
C không suy biến (detC = 0).
Công thức (1.1) và (1.2) là các công thức đổi tọa độ (hay đổi mục tiêu)
trong đó C là ma trận đổi tọa độ từ mục tiêu từ {O, e} và {O , e },
(xem [1, tr.8]).

1.3
1.3.1.

Phẳng afin
Định nghĩa

Cho (A, ϕ, A) là một không gian afin, P là một điểm An và α là một
không gian vectơ con của An . Khi đó tập hợp
−−→
α = M ∈ A | PM ∈ α
được gọi là phẳng đi qua P có phương α, (xem [1-tr.9]).
Nếu dimα = m , ta nói α là một phẳng m chiều hay một m - phẳng,
(xem [1, tr.9]).
Quy ước: 0 - phẳng là một điểm, 1 - phẳng là đường thẳng, 2 - phẳng
là mặt phẳng. Đặc biệt, nếu dimA = n thì (n - 1) - phẳng được gọi là
siêu phẳng, (xem [1, tr.9]).
7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2.

Trần Thị Minh Hồng

Phương trình của m - phẳng

Phương trình tham số: (xem [1, tr.11]) Cho An là một không gian
afin n chiều với mục tiêu afin {O, e}, α là một m - phẳng đi qua điểm
I ∈ An có phương là α (0 < m < n). Giả sử:
n

−→
OI =

bi e1
i=1

và trong α chọn m vectơ độc lập tuyến tính a1 , a2 , ..., am ta có được:
n

aj =

aij ei

(j = 1, 2, ..., m)

i=1

−→
Khi đó điểm X có tọa độ (x1 , x2 , ..., xn ) thuộc α khi và chỉ khi IX ∈ α,
tức là:

m

−→
IX =

tj aj

(tj ∈ K)

j=1

Mặt khác
−→
IX =

n

(xi − bi )ei
i=1

Từ đó có được:
m

xi =

aij tj + bi ,

i = 1, 2, ..., n

(1.3)

j=1

Hệ (1.3) được gọi là phương trình tham số của m - phẳng α với m tham
số t1 , t2 , ..., tm .

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

Nếu m = 1, (1.3) trở thành phương trình đường thẳng:
xi = ai t + bi ,

i = 1, 2, ..., n

đi qua điểm I(b1 , b2 , ..., bn ) và có phương là không gian vectơ một chiều
sinh bởi vectơ a = (a1 , a2 , ..., an ), (xem [1, tr.11]).
Nếu x, t, b là các ma trận cột,


 



 x1 
 
x 
 2
x =  ,
 ... 
 
 
xn

 t1 
 
t 
 2
t =  ,
...
 
 
tn

 
 b1 
 
b 
 2
b= 
...
 
 

bn

và A = (aij ) là ma trận n dòng m cột thì công thức (1.3) có thể viết
dưới dạng ma trận
x = At + b

rankA = m.

(1.4)

Trong đó kí hiệu rankA là hạng của ma trận A, (xem [1-tr.11]).
Phương trình tổng quát: (xem [1, tr.12]) không gian afin n chiều An
cho mục tiêu afin {O, e}. Giả sử α là m - phẳng đi qua điểm I có phương
α. Ta chọn trong α m vectơ độc lập tuyến tính: e n−m+1 , e n−m+2 , ..., e n
và bổ sung vào đó n − m vectơ e1 , e2 , ..., e n−m để được một cơ sở e =
e1 , e2 , ..., en

của A. Lúc này, ta nhận được một mục tiêu afin mới là

{I, e }.
Gọi điểm X bất kì thuộc An có tọa độ (x1 , x2 , ..., xn ) đối với mục tiêu
{O, e} và có tọa độ (x1 , x2 , ..., xn ) đối với mục tiêu {I, e }.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

Công thức đổi mục tiêu:
n

i = 1, 2, ..., n − m.

aij xj + bi = 0,
j=1

Để cho điểm X = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ α thì điều kiện cần và đủ là
x1 = x2 = ... = xn = 0
Từ đó suy ra được
n

i = 1, 2, ..., n − m

aij xj + bi = 0

(1.5)

j=1

Hệ (1.5) gồm n − m phương trình tuyến tính n biến xi được gọi là
phương trình tổng quát của m - phẳng α.
Chú ý rằng, ma trận A = (aij ) của hệ phương trình trên có hạng bằng
n − m.
Đặc biệt, phương trình mỗi siêu phẳng trong không gian afin An có dạng:
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + b = 0,
trong đó hạng của ma trận (a1 a2 ...an ) bằng 1, (xem [1, tr.12]).
1.3.3.

Vị trí tương đối của các phẳng

Định nghĩa: (xem [1, tr.14]) Trong không gian afin An cho m - phẳng
α và n - phẳng β, (m ≤ n) lần lượt có phương là α và β.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

a) Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.
b) Phẳng α gọi là song song với β nếu α là không gian con của β.
c) Các phẳng α, β gọi là cắt nhau nếu chúng không cắt nhau và không
song song nhau.
d) Giao α ∩ β gọi là giao của hai cái phẳng α, β và được hiểu theo
nghĩa thông thường của tập hợp.
e) Tổng α + β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β, gọi là tổng
của hai cái phẳng α, β.
Định lý 1: (xem [1, tr.14]) Giao của hai cái phẳng α và β hoặc là
tập rỗng hoặc là một cái phẳng có phương α ∩ β.
Hệ quả 1: Nếu phẳng α song song với phẳng β thì hoặc chúng không có
điểm chung hoặc α nằm trong β, (xem [1, tr.14]).
Hệ quả 2: Qua một điểm I đã cho có một m - phẳng duy nhất song song
với m - phẳng đã cho α, (xem [1, tr.14]).

Định lý 2 : Hai phẳng α và β cắt nhau khi và chỉ khi với ∀M ∈ α,
−−→
∀N ∈ β ta có M N ∈ α + β, (xem [1, tr.15]).

Về số chiều của giao và tổng của hai cái phẳng, ta có định lý sau:
Định lý 3: (xem [1, tr.15]) Cho không gian afin An , hai cái phẳng α
và β có phương lần lượt là α và β.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

Nếu α ∩ β = ∅ thì
dim(α + β) = dimα + dimβ − dim(α ∩ β).
Nếu α ∩ β = ∅ thì
dim(α + β) = dimα + dimβ − dim(α ∩ β) + 1.
Chứng minh:
Nếu α ∩ β = ∅, khi đó giao α ∩ β là cái phẳng có phương α ∩ β.
Lấy một điểm I ∈ α ∩ β, gọi γ là cái phẳng qua I có phương γ được xác
định bởi γ = α + β. Suy ra γ chứa α và β.
Ngược lại giả sử một phẳng γ chứa α và β. Khi đó phẳng γ chứa I và
có phương α + β. Tức là γ chứa γ.
Từ hai lập luận trên chứng tỏ γ = α + β, ta có:
dim(α + β) = dim(α + β) = dimα + dimβ − dim(α ∩ β)
= dimα + dimβ − dim(α ∩ β)
Nếu α ∩ β = ∅ thì theo định lý 2, tồn tại một điểm I ∈ α và một
−
→
điểm J ∈ β sao cho IJ ∈
/ α + β.

−
→
Gọi δ là không gian vectơ một chiều sinh ra bởi vectơ IJ. Lấy một điểm
E bất kì ∈ α và gọi γ là cái phẳng qua điểm E có phương γ = (α+ β)⊕ δ.
Phẳng γ dĩ nhiên chứa α, β và chứa đường thẳng đi qua hai điểm I, J.
Giả sử γ là phẳng khác chứa α, β thì γ qua E và phương của nó phải

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

chứa α, β và δ. Từ đó suy ra γ chứa γ và do đó γ = α + β. Vậy:
dim (α + β) = dim

α+β ⊕δ

= dim α + β + dim δ

→
−
→
−
−
−
= dim →
α + dim β − dim →
α ∩ β +1

= dim α + dim β − dim (α ∩ β) + 1
Như vậy, định lý đã được chứng minh.

✷

Định lý 4: (xem [1, tr.16]) Một siêu phẳng α và m - phẳng β trong
không gian afin An thì hoặc β song song với α hoặc cắt α theo một
(m - 1) - phẳng với 1 ≤ m ≤ n − 1.

Trong chương này, chúng ta đã trình bày sơ lược một số kiến thức sẽ
dùng trong chương sau.

13


Chương 2
HÌNH LỒI
Trong chương này trình bày các định nghĩa, định lý về tập lồi trong
hai không gian afin và không gian Ơclit. Kiến thức lưu ý trong chương
này là định lý Helly về tính giao khác rỗng của tập lồi. Những kết quả
được rút ra sẽ là công cụ hữu hiệu giúp giải các bài toán hình học tổ
hợp.

2.1

Hình lồi trong không gian afin

Định nghĩa: (xem [1, tr.20]) Trong không gian afin thực An , cho hai
điểm M, N . Một điểm P bất kì thuộc đường thẳng d đi qua M và N khi
và chỉ khi với điểm O tùy ý thì

−→
−−→
−−→
OP = λOM + (1 − λ)ON ,

0 ≤ λ ≤ 1, λ ∈ R

Tập hợp các điểm P thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là đoạn thẳng MN,
kí hiệu: [M N ] .
Hai điểm M, N gọi là hai mút của đoạn thẳng M N , những điểm khác
của đoạn M N được gọi là ở giữa M và N .
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

Tập hợp (M N ) = [M N ] \ {M, N } gọi là "khoảng" với các mút M, N .
Hợp của một khoảng và một trong hai mút gọi là một "nửa khoảng".
Chú ý:
Khi M ≡ N , đoạn thẳng MN gồm một điểm M (hoặc N ), [1-tr.20].
Khi M = N , đoạn thẳng M N gồm điểm M (khi λ = 1), điểm N
(khi λ = 1) và những điểm ứng với λ(0 < λ < 1), [1, tr.20].
2.1.1.

Tập lồi

Định nghĩa: (xem [1, tr.21]) Một tập X trong không gian afin thực
An gọi là tập lồi nếu với mọi hai điểm M, N thuộc X thì đoạn thẳng

M N nằm hoàn toàn trong X.
Ví dụ: Đoạn thẳng, khoảng, nửa khoảng trong không gian afin là
những tập lồi. Trong mặt phẳng, các hình tam giác, hình tròn là các tập
lồi. Trong không gian afin thực, m - phẳng là tập lồi.

A

B

Hình 1

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

Hình 2
Hình 1 biểu diễn về tập lồi, khi ta lấy bất kì hai điểm trong một tập thì
đoạn thẳng tạo bởi hai điểm này nằm hoàn toàn trong tập đó. Hình 2
biểu diễn về tập không lồi.
2.1.2.

Bao lồi

Cho tập con bất kì G trong không gian afin thực An . Tập lồi nhỏ nhất
chứa G gọi là bao lồi của G và kí hiệu là G , (xem [2, tr.50]).
Ta thấy bao lồi của G là tồn tại và duy nhất vì đó là giao của tất cả các
tập lồi chứa G, (xem [2, tr.50]).

2.1.3.

Đơn hình

Trong không gian afin thực n chiều An , cho m + 1 điểm độc lập
P0 , P1 , ..., Pm . Ta biết rằng m - phẳng α đi qua m + 1 điểm đó gồm
những điểm M sao cho với điểm O bất kì thì:
−−→
OM =

m

m

−−→
λi OPi

λi = 1

với

i=0

i=0

Bây giờ ta đi xét tập hợp những điểm M sao cho:

16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học
m

−−→
OM =

Trần Thị Minh Hồng
m

−−→
λi OPi

λi = 1 và λi ≥ 0, i = 1, 2, ..., m

với

i=0

i=0

Tập hợp đó được gọi là m - đơn hình với các đỉnh: P0 , P1 , ..., Pm và kí
hiệu là S(P0 , P1 , ..., Pm ), (xem [1, tr.23]).
2.1.4.

Hộp

Cho m + 1 điểm độc lập P0 , P1 , ..., Pm . Tập những điểm M sao cho
−−→
P0 M =

m

−−→
λi P0 Pi với

0 ≤ λi ≤ 1

i=1

−−→
−−−→
được gọi là m - hộp đóng xác định bởi mục tiêu P0 ; P0 P1 , ..., P0 Pm .
Kí hiệu H(P0 , P1 , ..., Pm ) =

−−→
M ∈ An | P0 M =

m

−−→
λi P0 Pi , 0 ≤ λi ≤ 1 .

i=1
o

Khi đó m - hộp mở được định nghĩa là tập H thỏa mãn:
o

H(P0 , P1 , ..., Pm ) =

−−→
M ∈ A | P0 M =

m

−−→
λi P0 Pi , 0 < λi < 1 .

i=1

Các điểm M ứng với các {λ1 , ..., λm } mà ∀λi ∈ {0; 1} được gọi là đỉnh
của m - hộp đóng hay mở nói trên, (xem [2, tr.51]).

Ta có các nhận xét sau: (xem [2, tr.51])
o

H(P0 , P1 , ..., Pm ) được gọi là phần trong của H(P0 , P1 , ..., Pm ).
Một 2 - hộp đóng (mở) gọi là một hình bình hành đóng (mở).
Một 1 - hộp đóng gọi là một đoạn thẳng.
Một 1 - hộp mở gọi là một khoảng.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Minh Hồng

Mỗi m - hộp là một tập lồi, (xem [1, tr.26]).
Thật vậy, nếu M và N là hai điểm tùy ý thuộc m - hộp, tức là

−−→
P0 M =
−−→
P0 N =

m

i=1
m

−−→
λi P0 Pi ,

0 ≤ λi ≤ 1

−−→
µ i P0 Pi ,

0 ≤ µi ≤ 1

i=1

Thì điểm X thuộc đoạn thẳng M N khi và chỉ khi
−−→
−−→
−−→
P0 X = tP0 M + (1 − t)P0 N
hay
−−→
P0 X =

m

−−→
(tλi + (1 − t)µi )P0 Pi

i=0

Do 0 ≤ t, λi ≤ 1 nên 0 ≤ tλi ≤ 1, 0 ≤ 1 − t, µi ≤ 1 nên
0 ≤ (1 − t)µi ≤ 1 − t. Vậy 0 ≤ tλi + (1 − t)µi ≤ t + 1 − t = 1.
Điều này chứng tỏ X thuộc m - hộp và vì vậy, m - hộp là tập lồi.

2.2

Tính chất cơ bản

a) Giao của những tập lồi là tập lồi. Hợp của các tập lồi chưa chắc là
một tập lồi, (xem [2, tr.50]).
b) Mỗi m - phẳng trong không gian afin thực An là tập lồi,
(xem [1, tr.21]).
c) Gọi α là một siêu phẳng trong An . Ta chia tập A\α thành hai tập,
mỗi tập gọi là một nửa không gian mở bằng cách sau đây:

Lấy một điểm O ∈ A\α và đặt:
18