Nghiệm xấp xỉ của bài toán đối ngầu tựa cân bằng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ THÚY NGA

NGHIỆM XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN
ĐỐI NGẪU TỰA CÂN BẰNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội - 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ THÚY NGA

NGHIỆM XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN
ĐỐI NGẪU TỰA CÂN BẰNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn: PGS. TS. Khuất Văn Ninh

ThS. Nguyễn Quốc Tuấn

Hà Nội - 2019

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Khuất Văn Ninh và thầy Th.S Nguyễn
Quốc Tuấn, đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong quá trình
nghiên cứu để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các Thầy, Cô
trong khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt những
tri thức, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt việc học tập và thực
hiện khóa luận.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Do thời gian và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên bài khóa
luận không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong nhận được những
lời góp ý quý báu của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Lê Thị Thúy Nga


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh và ThS. Nguyễn Quốc
Tuấn. Trong khi nghiên cứu và hoàn thành bản khóa luận này, em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Ngiệm xấp xỉ của bài toán
đối ngẫu tựa cân bằng" là kết quả của việc nghiên cứu và nỗ lực của
bản thân em không trùng lặp với kết quả của các khóa luận khác. Nếu sai

em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Lê Thị Thúy Nga


Bảng kí hiệu và viết tắt
N

Tập các số tự nhiên

Q

Tập hợp các số hữu tỷ

R

Tập các số thực

R+

Tập hợp các số thực không âm

R−

Tập các số thực không dương

Rn

Không gian vector Euclid n-chiều

X∗

Không gian đối ngẫu topo của không gian topo tuyến tính X

L(X, Y )

Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

2X

Tập các tập con của tập hợp X

T, K

Tập hợp các giá trị ξ ∈ T ⊆ L(X, Y ) tại x ∈ K ⊆ X

∅

Tập rỗng

F : X → 2Y

Ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y

dom F

Miền định nghĩa của ánh xạ F

A⊆B

A là tập con của B

A

A không là tập con của B

B

A∪B

Hợp của hai tập hợp A và B

A∩B

Giao của hai tập hợp A và B

A\B

Hiệu của hai tập A và B

A×B

Tích Descartes của hai tập hợp A và B

conv(A)

Bao lồi của tập A

cl A

Bao đóng topo của tập A

int A

Phần trong topo của tập A

cone A

Bao nón của A (nón được sinh ra từ tập A)


Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1.Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.Không gian vector topo lồi địa phương Hausdorff . . . . . .

6

1.1.1. Không gian topo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Không gian vector topo, không gian lồi địa phương Hausdorff . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.Khái niệm ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Nón-dưới vi phân -yếu, Nón-dưới vi phân Bensen -chính thường . . . . . . . .

10

1.2.2. Ánh xạ đa trị ic-nón-giống lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2.Bài toán tựa cân bằng vector và đối ngẫu của nó . .

15

2.1.Giới thiệu bài toán cân bằng vector . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.1. Bài toán cân bằng vector tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2. Đối ngẫu của bài toán cân bằng vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.Bài toán tựa cân bằng vector và -đối ngẫu của nó . . . .

19

2.2.1. Bài toán tựa cân bằng vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2. Bài toán -đối ngẫu của bài toán tựa cân bằng vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 3.Tính chất đối ngẫu xấp xỉ trong các bài toán tựa cân
bằng vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1.Điều kiện đủ cho nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.2.Điều kiện cần cho nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

3.3.Mối quan hệ giữa nghiệm xấp xỉ của bài toán -đối ngẫu với
bài toán tựa cân bằng vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

LỜI MỞ ĐẦU
Bài toán tựa cân bằng đã được giới thiệu như là một phương pháp tiếp
cận thống nhất cho các vấn đề khác nhau xuất hiện trong các lĩnh vực lý
thuyết tối ưu, bất đẳng thức bất biến, các bài toán bù, điểm yên ngựa, các
định lý điểm cố định. . . Bài toán cân bằng được mở rộng và phát triển
mạnh. Cho tới hiện nay nghiên cứu các bài toán cân bằng chủ yếu được
tập trung vào sự tồn tại nghiệm và độ nhạy nghiệm. Về đối ngẫu của bài
toán cân bằng cũng đã có một số kết quả ban đầu. Ở đó, sơ đồ cho bài
toán đối ngẫu đã được xây dựng như là mở rộng của lý thuyết đối ngẫu
cổ điển cho các bài toán bất đẳng thức biến phân và mối quan hệ giữa bài
toán gốc và bài toán đói ngẫu đã được thiết lập nhờ khái niệm đơn điệu
suy rộng. Bài toán đối ngẫu cho bài toán cân bằng và sự mở rộng đã được
xây dựng với sự tham gia của phép biến đổi liên hợp. Tuy nhiên chúng ta
mới biết đến đối ngẫu trong bài toán cân bằng vô hướng và nghiệm được

hiểu là nghiệm chính xác mà chưa hiểu rõ bài toán cân bằng vectơ với ánh
xạ đa trị và mối quan hệ giữa nghiệm xấp xỉ của bài toán đối ngẫu với
nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu.
Khóa luận tập trung làm rõ một số vấn đề sau: Giới thiệu bài toán cân
bằng vector tổng quát và đối ngẫu của bài toán cân bằng vector, cũng
như bài toán tựa cân bằng vecto và -đối ngẫu của bài toán tựa cân bằng
vector, các điều kiện cho nghệm xấp xỉ của bài toán và quan trọng nhất
là mối quan hệ giữa xấp xỉ của bài toán đối ngẫu với nghiệm xấp xỉ của
bài toán ban đầu.
Bố cục của khóa luận bao gồm ba chương:
Chương 1 của khóa luận trình bày lại một số kiến thức về không gian
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

topo lồi đia phương Hausdorff, khái niệm ánh xạ đa trị, nón và một số
tính chất về nón.
Chương 2 giới thiệu về bài toán cân bằng vector tổng quát và đối ngẫu
của cân bằng vector và đặc biệt xét đến bài toán tựa cân bằng vector sau
đây:
Bài toán (P): Tìm x0 ∈ X sao cho x0 ∈ A(x0 ) và

∀x ∈ A(x0 ), F (x, x0 ) ⊂ Y \ − int D.
Ở đây X và Y là các không gian vector topo lồi địa phương, D ⊂ Y là
một nón lồi có phần trong khác rỗng, A : X → 2X giả sử được cho bởi

A(x) := {x ∈ A : G(x , x) ∩ −E = ∅} .

Ở đó, ∅ kí hiệu là tập rỗng, A ⊂ X là một tập con khác rỗng của X và

F : X × X → 2Y là các ánh xạ đa trị. Bài toán (P) là một trường hợp
riêng của các mô hình tổng quát trong lý thuyết các điểm cân bằng.

∈ D, ta nói x0 ∈ X là một -nghiệm của bài toán (P)

Với mỗi điểm
nếu x0 ∈ A(x0 ) và

∀x ∈ A(x0 ), F (x, x0 ) + ⊂ Y \ − int D.
Cho q0 = (ξ0 , u0 ) ∈ A × Y . Xét tập hợp sau:

C(q0 ) = C (ξ0 , u0 ) := {q = (ξ, u) ∈ A × Y : u − u0 ∈ Fξ0 (ξ) ,
và tồn tại (v, T ) ∈ Z × L(Z, Y ) sao cho

v ∈ Gξ0 (ξ),
0 ∈ ∂ D (Fξ0 + T Gξ0 )(ξ, [u − u0 ] + T v),
T ∈ L+ (v + E, D − )}.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Ở đây ∂ D f (x, y) là D-dưới vi phân -yếu của f : X → 2Y tại điểm (x, y)
thuộc đồ thị của f và

L+ (v + E, D − ) = {T ∈ L(Z, Y ) : T (v + E) ⊂ D − } .

Với mỗi q0 = (ξ0 , u0 ) ∈ A × Y và mỗi q = (ξ, u) ∈ A × Y , khi đó ta đặt

F(q0 , q) := F((ξ0 , u0 ), (ξ, u)) := u0 − u.
Bài toán -đối ngẫu của (P) được hiểu là bài toán D sau đây.
Bài toán (D): Tìm q0 = (x0 , u0 ) ∈ C (q0 ) sao cho

∀q = (ξ, u) ∈ C (q0 ), F(q0 , q) ∈ Y \ − int D.
Nếu biểu thức trên được thay bằng

∀q = (ξ, u) ∈ C (q0 ), F(q0 , q) + ∈ Y \ − int D
thì q0 = (x0 , u0 ) được gọi là -nghiệm của bài toán (D).
Trong chương 3, chúng tôi đưa ra điều kiện đủ để x0 là 2 -nghiệm của
bài toán (P) và q0 là 2 -nghiệm của bài toán (D), cụ thể:
"Cho D là một nón lồi có phần trong khác rỗng, ∈ D và x0 thỏa mãn
điều kiện 0 ∈ Fx0 (x0 ). Nếu x0 là một điểm bất động của ánh xạ đa trị A
và q0 = (x0 , u0 ), là một điểm bất động của ánh xạ đa trị C thì

(a) 0Y ∈ F (x0 , x0 ),
(b) x0 là 2 − nghiệm của bài toán (P),
(c) q0 là 2 − nghiệm của bài toán (D)."
Để xây dựng điều kiện cần chúng ta phải sử dụng điều kiện ràng buộc
chính quy (CQ). Ta nói rằng điều kiện (CQ) được thỏa mãn nếu

Z = cl cone[Gx0 (A ) + E],
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

và sử dụng kí hiệu D+ là nón đối ngẫu không âm của nón D:

D+ := {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , d ≥ 0, ∀d ∈ D} .
Khi đó:
"Cho D ⊂ Y là một nón lồi của Y với phần trong khác rỗng và cho

∈ {0} ∪ int D. Giả sử x0 là một điểm thỏa mãn điều kiện
x0 ∈ dom Gx0 ⊂ dom Fx0 ⊂ A , 0Y ∈ Fx0 (x0 )
và (Fx0 + ) × Gx0 là ánh xạ ic-D × E -giống lồi và thỏa mãn điều kiện

(CQ). Nếu x0 là một -nghiệm của bài toán (P), thì
(i) Tồn tại (y0∗ , z0∗ ) ∈ D+ × Z ∗ , y ∗ = 0, sao cho với mọi z0 ∈ G(x0 , x0 ) ∩
−E các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
∀(y, z) ∈ im(Fx0 × Gx0 ), y0∗ , y +

+ z0∗ , z − z0 ≥ 0,

∀z ∈ E, z0∗ , z + z0 + y0∗ ,

≥ 0.

(ii) Tồn tại T0 ∈ L(Z, Y ) sao cho với mọi
z0 ∈ G(x0 , x0 ) ∩ −E, T0 ∈ L+ (Z0 + E, D − )
và

0 ∈ ∂ (Fx0 + T0 Gx0 )(x0 , 0Y + T0 z0 ).”
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế
nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Em
mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và

bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Lê Thị Thúy Nga

5


Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
Chương này, nhắc lại những kiến thức cơ bản cần dùng trong những
chương tiếp theo của khóa luận như: không gian topo tuyến tính lồi địa
phương Hausdorff; ánh xạ đa trị; các khái niệm về nón trong giải tích lồi...

1.1.

Không gian vector topo lồi địa phương Hausdorff

Trong mục này, tôi trình bày một số khái niệm như: không gian topo,
không gian topo lồi địa phương Hausdorff. Phần lớn các kiến thức trong
mục này được tham khảo từ [1].

1.1.1.

Không gian topo

Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp.

1) Một họ τ những tập con của X được gọi là một tập topo trên X nếu:
i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ τ ;
ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn
tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ ;
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

iii) τ kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là hợp của một số hữu hạn hay
vô hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ .

2) Tập X cùng với topo τ trên X được gọi là không gian topo (X, τ ),
hay không gian topo X .

3) Các tập thuộc họ τ được gọi là tập mở.
4) Khi có hai tập topo τ, τ trên X , nếu τ ⊆ τ , ta nói topo τ yếu hơn
(thô hơn) topo τ hay topo τ mạnh hơn (mịn hơn) topo τ . Trường
hợp không có quan hệ đó,ta nói hai topo không so sánh được.
Trong không gian metric (X, d) họ τ các tập mở trong X cũng là một
topo trên X , ta gọi nó là một topo metric d, điều đó có nghĩa là mọi không
gian metric (bao gồm cả không gian định chuẩn và không gian Hilbert),

đều là không gian topo.
Trong một không gian topo đã định nghĩa các tập mở, ta có thể định
nghĩa được khái niệm lân cận, giới hạn, phần trong, bao đóng,... một cách
khái quát hơn các khái niệm đã định nghĩa trong không gian metric.
Định nghĩa 1.2. Cho không gian topo (X, τ ), A ⊆ X .

1) Tập con V của không gian X được gọi là lân cận của A nếu V bao
hàm một tập mở chứa A;

2) Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con {x}. Họ tất cả
các lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó.
Định nghĩa 1.3. Cho X, Y là hai không gian topo.

1) Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với
mỗi lân cận U của f (x) trong Y , đều tồn tại lân cận V của x trong

X thỏa mãn f (V ) ⊆ U .
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

2) Ánh xạ f được gọi là liên tục trên không gian topo X nếu f liên tục
tại mọi điểm thuộc X .
Tương tự khái niệm ánh xạ đồng phôi, ánh xạ mở, đóng,...được mở rộng
một cách tự nhiên trong không gian topo. Một topo có thể được xác định
từ một họ con của nó, được gọi là cơ sở của topo đó.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian topo (X, τ ).

1) Cho x ∈ X , họ Vx nào đó gồm các lân cận của điểm x được gọi là
một cơ sở địa phương của topo τ tại điểm x (hay cơ sở lân cận tại x),
nếu với bất kì lân cận V của điểm x luôn tồn tại tập U ∈ Vx sao cho

x∈U ⊆V.
2) Họ con V các phần tử của τ được gọi là một cơ sở của topo τ trên X
nếu mọi phần tử của τ đều là hợp của một số phần tử thuộc V .
Định nghĩa 1.5. Không gian topo (X, τ ) được gọi là không gian Hausdorff
nếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân cận V
của x, U của y sao cho V ∩ U = ∅.

1.1.2.

Không gian vector topo, không gian lồi địa phương
Hausdorff

Định nghĩa 1.6. Cho X là một không gian vector trên trường K.

1) Một topo τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X
nếu các ánh xạ

(+) : X × X → X,
(x, y)

→

và (.) : K × X → X,

x + y;

8

(λ, y) → λy;


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

đều là các ánh xạ liên tục.

2) Một không gian topo tuyến tính hay không gian vector topo trên trường
K là một cặp (X, τ ), trong đó X là một không gian vector trên trường
K, còn τ là một topo tương thích với cấu trúc đại số của X .
Trong số các không gian vector topo, lớp không gian đặc biệt quan
trọng là không gian vector topo lồi địa phương.
Định nghĩa 1.7. Cho tập A là con của không gian vector topo X . Ta nói
tập A là tập lồi nếu

αA + (1 − αA) ⊂ A, ∀α ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.8. Một không gian vector topo X được gọi là không gian
vector topo lồi địa phương (với topo của nó là topo lồi địa phương), nếu
trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi. Hơn nữa, nếu
không gian vector topo lồi địa phương X đồng thời là không gian Hausdorff
thì X được gọi là không gian vector topo lồi địa phương Hausdorff.

1.2.

Khái niệm ánh xạ đa trị

Trong mục này, tôi giới thiệu khái quát một số khái niệm về ánh xạ đa
trị có liên quan trong khóa luận và tập chung giới thiệu một số khái niệm
về nón. Phần này được hoàn thành chủ yếu dựa trên tài liệu [2].
Định nghĩa 1.9. Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Ánh xạ f từ X vào 2Y (2Y
là họ các tập con của Y ) ứng với mỗi một phần tử của X với một tập con
của tập Y . Khi đó, ánh xạ f được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Kí
hiệu

f : X → 2Y hay X ⇒ Y.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Định nghĩa 1.10. Miền hữu hạn của ánh xạ đa trị f là tập hợp tất cả
các x ∈ X sao cho f (x) = ∅. Kí hiệu dom f

dom f := {x ∈ X : f (x) = ∅} .
Định nghĩa 1.11. Miền ảnh của ánh xạ đa trị f là tập hợp tất cả các tập
hợp f (x) ⊂ Y với mọi x ∈ X . Kí hiệu im f

im f :=

{f (x) : x ∈ X} .

Định nghĩa 1.12. Đồ thị của ánh xạ đa trị f là tập hợp tất cả các (x, y) ∈

X × Y sao cho y ∈ f (x). Kí hiệu gr f

gr f := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ f (x)} .
1.2.1.

Nón-dưới vi phân -yếu, Nón-dưới vi phân Bensen chính thường

Kí hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X
vào Y . Cho Q là một tập con của Y . Kí hiệu cl Q là bao đóng của tập Q và

int Q là phần trong của tập Q. Tập D ⊂ Q được gọi là nón nếu λD ⊂ D
với mọi λ ∈ R+ . Một nón lồi D được gọi là nhọn nếu D ∩ −D = {0Y }. Ta
kí hiệu cone Q = {λq : λ > 0, q ∈ Q} là nón sinh ra bởi tập Q. Cho

là

một điểm nào đó thuộc nón lồi D. Các định nghĩa sau đây là sự mở rộng
của khái niệm -dưới vi phân của ánh xạ đơn trị trong giải tích lồi.
Định nghĩa 1.13. Cho D ⊂ Y là một nón lồi trong Y với phần trong
khác rỗng. Một ánh xạ T ∈ L(X, Y ) được goi là D-dưới gradient -yếu của

f tại (x, y) ∈ gr f nếu
y − T (x) ∈ WMin [im(f − T ), D].
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Nhắc lại

WMin [Q, D] = {q ∈ Q : (Q − q + ) ∩ − int D = ∅}, Q ⊂ Y.
Định nghĩa 1.14. Tập tất cả các D-dưới gradient -yếu của f tại (x, y) ∈

gr f được gọi là D-dưới vi phân -yếu của f tại (x, y) ∈ gr f và kí hiệu là
∂ D f (x, y).
Nếu không có sự nhầm lẫn thì ta viết ∂ f (x, y) thay cho ∂ D f (x, y). Nếu

= 0Y thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa thông thường.
Định nghĩa 1.15. Cho D ⊂ Y là một nón lồi trong Y với phần trong
khác rỗng. Một ánh xạ T ∈ L(X, Y ) được gọi là Benson D-gradient -chính
thường của f tại (x, y) ∈ gr f nếu

y − T (x) ∈ BMin [im(f − T ), D].
Nhắc lại

BMin [Q, D] = {q ∈ Q : (Q − q + ) + D ∩ −D = {0y }} , Q ⊂ Y.
Định nghĩa 1.16. Tập hợp tất cả các D-gradient -chính thường Benson
của f tại (x, y) ∈ gr f được gọi là D-dưới vi phân -chính thường Benson
của f tại (x, y) ∈ gr f và kí hiệu là ∂ B f (x, y).
Nếu

1.2.2.

= 0Y thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa thông thường.
Ánh xạ đa trị ic-nón-giống lồi

Phần này đưa ra một số khái niệm về ánh xạ đa trị ic-nón-giống lồi.
Đầu tiên là các khái niệm về tập lồi suy rộng. Cho Y là không gian lồi địa
phương và A ⊂ Y là một tập con khác rỗng.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Định nghĩa 1.17. Tập A được gọi là gần lồi nếu αA + (1 − αA) ⊂ A,
với α ∈ (0, 1) nào đó.
Định nghĩa 1.18. Tập A được gọi là đóng lồi nếu cl A là tập lồi.
Định nghĩa 1.19. Tập A được gọi là int-lồi (hay i-lồi) nếu int A là tập
lồi và nếu A ⊂ cl(int A).
Ta thấy tập A là i-lồi thì int A = ∅. Định lý sau đây cho ta khái niệm
lồi suy rộng.
Định lý 1.1. Cho int Q = ∅ khi đó (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇔ (d) ⇔ (e) trong
đó:
(a) Q là tập lồi, nghĩa là αQ + (1 − α)Q ⊂ Q với mọi α ∈ (0, 1);
(b) Q là tập gần lồi, nghĩa là αQ + (1 − α)Q ⊂ Q với α nào đó trong
khoảng (0, 1);
(c) Q là tập đóng-lồi (nghĩa là cl Q là tập lồi) và int cl Q = int Q;
(d) α int Q + (1 − αQ) ⊂ int Q, ∀α ∈ (0, 1);
(e) Q là tập i-lồi.
Bổ đề 1.1. Cho A và B là hai tập con khác rỗng của Y và int A = ∅.
Nếu int A + B là lồi và nếu A + B ⊂ cl(int A + B) thì

int A + B = int(A + B) = int cl(A + B),
cone int(A + B) = int cone(A + B).
Định nghĩa 1.20. Tập A được gọi là int cone-lồi (hay ic-lồi) nếu cone A
là tập i-lồi.
Cho D ⊂ Y là một tập khác rỗng.

Định nghĩa 1.21. Tập A được gọi là ic-D -lồi nếu A + D là tập ic-lồi.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Ta cũng có định lý tương tự Định lý 1.1.
Định lý 1.2. Cho int cone(A + D ) = ∅. Khi đó (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇔

(d) ⇔ (e) trong đó:
(a) cone(A + D ) là tập lồi;
(b) cone(A + D ) là tập gần lồi;
(c) cone(A+D ) là tập đóng-lồi và int cl cone(A+D )Q = int cone(A+

D );
(d) α int cone(A+D )+(1 − α) cone(A+D ) ⊂ int cone(A+D ), ∀α ∈

(0, 1);
(e) A là tập ic-D -lồi.
Định nghĩa 1.22. Cho D ⊂ Y là một tập con khác rỗng của Y . Ánh xạ
đa trị f : X → 2Y được gọi là ic −D − giống lồi nếu im f là ic-D -lồi.
Áp dụng Định lý 1.2 với A = im f ta sẽ tìm được các điều kiện đủ để

f là ic-D -lồi.
Chú ý rằng trong định nghĩa trên ta thấy cả hai tập D và dom f không
nhất thiết là tập lồi, D có thể không là nón. Đặc biết f là ic-D -giống lồi
nếu D là một nón lồi có phần trong khác rỗng và nếu im f là tập lồi.
Những khái niệm trên cùng với Định lý 1.3 tách tập lồi được sử dụng

như một công cụ chính để thiết lập các điều kiện tối ưu cho bài toán tối
ưu vector với ánh xạ đa trị.
Định lý 1.3. Giả sử A, B là hai tập hợp lồi khác rỗng trong không gian
vector topo lồi địa phương X , A ∩ B = ∅, int A = ∅. Khi đó, tồn tại

x∗ ∈ X ∗ , x∗ = 0X ∗ , tách A và B tức là: x∗ , a ≤ x∗ , b , ∀a ∈ A, b ∈ B .

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Định lý 1.4. Cho D và K là hai nón của Y sao cho K ∩ D = {0Y }. Nếu

D có một cơ sở compact và K là tập đóng, thì tồn tại một nón lồi nhọn
ˆ ⊂ Y sao cho D \ {0Y } ⊂ int D
ˆ và K ∩ D
ˆ = {0Y }.
D

14


Chương 2
Bài toán tựa cân bằng vector và đối
ngẫu của nó
2.1.

Giới thiệu bài toán cân bằng vector

Cho K là một tập con khác rỗng của không gian vector topo X và Y là
một không gian vector topo sắp thứ tự theo nón C (int C = ∅), nghĩa là,
với hai vector x, y ∈ Y ta viết x ≥ y nếu x − y ∈ C . Cho F : K × K → 2Y
là một ánh xạ đa trị giá trị khác rỗng. Khi đó, chúng ta có hai dạng bài
toán cân bằng vector yếu tổng quát, kí hiệu GWVEPs, là bài toán: tìm

x¯ ∈ K sao cho
F (¯
x, y)

(− int C), ∀y ∈ K

(2.1.1)

và tìm x
¯ ∈ K sao cho

F (¯
x, y) ∩ (− int C) = ∅, ∀y ∈ K
hoặc

F (¯
x, y) ⊆ Y \ (− int C), ∀y ∈ K.

15

(2.1.2)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Tập nghiệm của bài toán (2.1.1) và (2.1.2) được kí hiệu lần lượt là Sol(GWVEPs)
và Sol(GWEPs)*. Rõ ràng Sol(GWVEPs)* là tập con của Sol(GWVEPs).
Bài toán cân bằng vector tổng quát, kí hiệu là GVEP, là bài toán: tìm

x¯ ∈ K sao cho
F (¯
x, y)

−C \ {0}, ∀y ∈ K.

(2.1.3)

Tập nghiệm của bài toán (2.1.3) được kí hiệu là Sol(GVEP).
Ngoài ra, chúng ta cũng có hai dạng bài toán cân bằng vector mạnh
tổng quát, kí hiệu GSVEPs, là bài toán: tìm x
¯ ∈ K sao cho

F (¯
x, y) ⊆ C, ∀y ∈ K

(2.1.4)

F (¯
x, y) ∩ C = ∅, ∀y ∈ K.

(2.1.5)

và tìm x
¯ ∈ K sao cho

Tập nghiệm của bài toán (2.1.4) và (2.1.5) được kí hiệu lần lượt là Sol(GSVEPs)
và Sol(GSEPs)*. Rõ ràng Sol(GSVEP) là tập con của Sol(GSVEPs)*. Ví
dụ của VEPs là các bài toán tối ưu hóa vector, các bài toán bất đẳng thức
biến phân vector, bài toán điểm yên ngựa,...
Ví dụ 2.1 (Bài toán tối ưu hóa vector). Cho f : K → Y là một hàm giá
trị vector. Tập

f (x, y) = ϕ(x) − ϕ(y), ∀x, y ∈ K.
Khi đó, các bài toán cân bằng vector được đề cập ở trên quy về các bài
toán tối ưu hóa vector và nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu mạnh của bài
toán tối ưu hóa vector.
Ví dụ 2.2 (Bài toán bất đẳng thức biến phân vector). Cho T : K →

L(X, Y ) là một toán tử phi tuyến. Tập
f (x, y) = T (x), y − x , ∀x, y ∈ K.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Thúy Nga

Khi đó, các bài toán cân bằng vector tương đương với các bài toán bất
đẳng thức biến phân tương ứng.
Ví dụ 2.3 (Bài toán điểm yên ngựa vector). Cho K1 và K2 là các tập

con khác rỗng của X và G : K1 × K2 → Y là một hàm giá trị vector. Bài
toán điểm yên ngựa chính quy yếu là đi tìm x
¯ = (x¯1 , x¯2 ) ∈ K1 × K2 sao
cho

G(x¯1 , y2 ) ≯ G(y1 , x¯2 ), ∀(y1 , y2 ) ∈ K1 × K2 .
Nếu ta thay ≯ bằng

(2.1.6)

(tương ứng bằng ≤), Khi đó, bài toán trên được

gọi là bài toán điểm yên ngựa chính quy (tương ứng, bài toán điểm yên
ngựa chính quy mạnh).
Bài toán điểm yên ngựa vector yếu là: tìm x
¯ = (x¯1 , x¯2 ) ∈ K1 × K2 sao
cho

G(x1¯, y2 ) ≯ G(x¯1 , x¯2 ) ≯ G(y1 , x¯2 ), ∀(y1 , y2 ) ∈ K1 × K2 .
Nếu ta thay ≯ bằng

(2.1.7)

(tương ứng, bằng ≤), Khi đó, bài toán điểm yên

ngựa vector yếu được goi là bài toán điểm yên ngựa vector (tương ứng, bài
toán điểm yên ngựa vector mạnh).
Rõ ràng, mỗi nghiệm của bài toán điểm yên ngựa chính quy (tương ứng,
bài toán điểm yên ngựa chính quy yếu) là một nghiệm của bài toán điểm
yên ngựa (tương ứng, bài toán điểm yên ngựa yếu), nhưng điều ngược lại

không đúng vì ≯ không có tính chất bắc cầu. Tập hợp K = K1 × K2 và

f : K × K → Y xác định bởi
f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = G(y1 , x2 ) − G(x1 , y2 ),
với mọi (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) × K1 × K2 . Khi đó, các bài toán cân bằng vector
tương đương với các bài toán điểm yên ngựa chính quy tương ứng.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.1.

Lê Thị Thúy Nga

Bài toán cân bằng vector tổng quát

Cho X là không gian vector topo lồi địa phương Hausdorff, Y và Z là
các không gian vector topo, A ⊆ X là một tập compact lồi khác rỗng,

B ⊆ Z là một tập lồi khác rỗng, P ⊆ Y . Cho F : A × B → 2Y là một ánh
xạ đa trị có tập giá trị khác rỗng. Chúng ta xét bài toán cân bằng vector
tổng quát, kí hiệu là (GAVEPs): tìm x
¯ ∈ A sao cho

F (¯
x, y) ∩ P = ∅, ∀y ∈ B.

(2.1.8)

F (¯
x, y) ⊆ P, ∀y ∈ B.

(2.1.9)

và tìm x
¯ ∈ A sao cho

Với P := Y \ (− int C) thì (2.1.8) chứa (2.1.1) là hiển nhiên và với P := C
thì (2.1.9) chứa (2.1.4) là hiển nhiên.

2.1.2.

Đối ngẫu của bài toán cân bằng vector

Giả sử X và Y là hai không gian vector topo và K là tập con lồi
khác rỗng của X . Chúng ta kí hiệu F(K, Y ) là họ các ánh xạ đa trị từ

K × K → 2Y . Cho C là một nón lồi đóng chính thường có phần trong
khác rỗng. Giả sử F ∈ F(K, Y ), Khi đó, chúng ta định nghĩa bài toán đối
ngẫu với bài toán (GWVEPs) (2.1.1) như sau:
Tìm x
¯ ∈ K sao cho F (y, x¯)

int C, ∀y ∈ K.

(2.1.10)

Bài toán (2.1.10) được gọi là bài toán cân bằng vector yếu tổng quát đối
ngẫu, hay bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng vector yếu tổng quát , kí

hiệu là (DGWVEP). Nghiệm của (2.1.10) được kí hiệu là Sol(DGWVEP).
Rõ ràng đối ngẫu của (DGWVEP) chính là (GWVEPs).
18