Bài Giảng Mạch Điện 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HCM
KHOA ĐIỆN
BỘ MÔN. CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN
------------0-----------

BIÊN SOẠN: ThS. LÊ THỊ THANH HOÀNG

BÀI GIẢNG.

MẠCH ĐIỆN II
X(P)

1KΩ

X1 (P)

1kΩ

R1

Y(P)

+
_

R2

C

2 kΩ
2kΩ

TP. HCM Tháng 12 / 2007

CuuDuongThanCong.com

/>

LỜI NÓI ĐẦU
MẠCH ĐIỆN là một môn học cơ sở quan trọng đối với sinh viên khối kỹ thuật
nói chung và sinh viên ngành điện nói riêng. Để có thể tiếp tục nghiên cứu chuyên sâu
về lĩnh vực điện thì sinh viên phải nắm vững những kiến thức trong môn học MẠCH
ĐIỆN.
Ngoài ra môn học này là còn là môn cơ sở để cho sinh viên học tiếp các môn
chuyên ngành khác như môn Điều Khiển Tự Động, Máy Điện, Lý Thuyết Tín Hiệu…
Mạch điện II này bao gồm ba chương :
Chương I: Phân tích mạch trong miền thời gian
Chương II: Phân tích mạch trong miền tần số
Chương III : Mạch không tuyến tính
Chương IV. Đường dây dài
Quyển sách này tác giả trình bày các phương pháp phân tích mạch có kèm theo
các ví dụ cụ thể và các bài tập được soạn theo từng các chương lý thuyết, để giúp
người học có thể giải và ứng dụng vào các môn học có liên quan. .vn
du liệu trong và ngoài
Tác giả đã viết bài giảng này với sự cố gắng sưu tầm các
etài
.
t
pkngoài bộ môn, cùng với
nước, với sự đóng góp tận tình của các đồng nghiệp trong svà
n

ie nhiên đây cũng là lần đầu
kinh nghiệm giảng dạy môn học này trong nhiều năm.uvTuy
h
t
tiên biên soạn bài giảng mạch điện II nên không thểw.tránh
khỏi những thiếu sót. Tôi rất
w
mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp,
của
các
em
sinh viên và các bạn đọc
/w
/
:
quan tâm đến bài giảng này.
ttp

M

H
än Ñ

T
PK

T

C
P.H

- h

Xin chân thành cảm ơn.
TP. HCM tháng 12 năm 2007.

S

ie

v
hö

T

CuuDuongThanCong.com

/>

MỤC LỤC
Trang
CHƯƠNG : PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI GIAN
(QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ) .......................................................................... 1
I.1. KHÁI NIỆM ............................................................................................................. 1
I.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN QUÁ ĐỘ
(PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KINH ĐIỂN) ................................................................ 1
I.2.1. Giải bài toán với điều kiện ban đầu bằng 0 ....................................................... 1
I.2.2. Giải bài toán với điều kiện đầu khác 0 .............................................................. 6
a. Mạch có cuộn dây ......................................................................................... 6
.vn

b. Mạch có tụ ....................................................................................................
8
u
ed
.
t
k TOÁN QUÁ ĐỘ .. 12
I.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE GIẢIspBÀI
n
I.3.1. Một số kiến thức cơ bản để biến đổi Laplace ..................................................
12
vie
u
h
t.
I.3.2. Định luật Kirchhoff dạng toán tử ....................................................................
16
ww
w
/
I.3.3. Sơ đồ toán tử Laplace .....................................................................................
17
p:/
t
t
h
I.3.4. Thuật toán tính quá trình quá độ-bằng phương pháp toán tử ........................... 17
M
Cquá
I.3.5. Một số ví dụ về các bài toán

độ với các điều kiện ban đầu bằng 0 ............ 17
H
.
P
T
I.3.6. Các bài toán quá độ với
T các điều kiện ban đầu khác 0 .................................... 21

PK

S
BÀI TẬP CHƯƠNG I .................................................................................................
27
H
än
vie

Ñ

CHƯƠNG II: PHÂN
TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ ................................. 36
ö

Th

II.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM TRUYỀN ĐẠT .................................................................... 36
II.2. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA HÀM TRUYỀN ......................................................... 40
II.2.1. Đặc tuyến logarit - tần số logarit ................................................................... 40
II.2.2. Đặc tuyến biên độ - tần số logarit .................................................................. 41
II.2.3. Đặc tuyến pha tần số Logarit ......................................................................... 45

BÀI TẬP CHƯƠNG II................................................................................................ 48
CHƯƠNG III: MẠCH PHI TUYẾN .......................................................................... 51
III.1. CÁC PHẦN TỬ KHÔNG TUYẾN TÍNH ............................................................ 51
III.1.1. Điện trở phi tuyến ........................................................................................ 51
III.1.2. Điện cảm phi tuyến (cuộn dây phi tuyến) ..................................................... 51
III.1.3. Điện dung phi tuyến..................................................................................... 52
III.2. CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC PHẦN TỬ PHI TUYẾN ................ 53
III.2.1. Điện trở tĩnh và điện trở động ...................................................................... 53

CuuDuongThanCong.com

/>

III.2.2. Điện cảm tĩnh và điện cảm động .................................................................. 53
III.2.3. Điện dung tĩnh và điện dung động ............................................................... 54
III.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH MẠCH KTT .............................................. 54
III.3.1. Phương pháp đồ thị ...................................................................................... 54
III.3.2. Phương pháp dò ........................................................................................... 55
III.3.3. Phương pháp giải tích .................................................................................. 57
III.4. CÁCH GHÉP NỐI CÁC PHẦN TỬ KTT ............................................................ 61
III.4.1. Mắc nối tiếp các phần tử KTT ..................................................................... 61
III.4.2. Mắc song song ............................................................................................. 62
III.4.3. Cách nối các phần tử KTT với nguồn tác động ............................................ 63
III.4.4. Mạch KTT dòng một chiều .......................................................................... 64
III.5. BÀI TẬP CHƯƠNG III (Mục III.4) ..................................................................... 67
III.6. CHUỖI FOURIER ............................................................................................... 69
.vn
III.6.1. Chuỗi Fourier lượng giác .............................................................................
69
u

d
e
.
t
III.5.2. Chuỗi Fourier dạng phức .............................................................................
70
pk

ns

76
III.7. BÀI TẬP CHƯƠNG III (Mục III.6) ..................................................................
vie
u
h
t.
CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG DÂY DÀI .............................................................................
78
ww
w
/
IV.1. CÁC THÔNG SỐ ĐƠN VỊ CỦA ĐƯỜNG
p:/ DÂY DÀI......................................... 78
t
t
IV.1.1. Định nghĩa .........................................................................................................
78
- h
M
IV.1.2. Phương trình đường dây dài.H

vàCnghiệm ............................................................ 79
P
T
IV.1.3. Nghiệm của phương trình
T đường dây dài với tác động sin ................................. 80
K
SP trên đường dây dài ...................................................... 83
IV.1.4. Các quan hệ năngHlượng
Ñ
n
ä
IV.2. BÀI TẬP CHƯƠNG
IV ....................................................................................... 84
e
i
v
ö
IV.3. QUÁ ĐỘThTRÊN
ĐƯỜNG DÂY DÀI .................................................................. 86
IV.3.1. Phương trình toán tử của ĐDD .......................................................................... 86
IV.3.2. Đóng điện áp vào đường dây hở mạch cuối ....................................................... 86
IV.3.3. Đóng điện áp vào đường dây tải điện trở ........................................................... 88
IV.3.4. Đồ thị Zig – Zac (giản đồ bounce) ..................................................................... 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO

CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I

Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

CHƯƠNG : PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI GIAN
(QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ)
I.1. KHÁI NIỆM
Quá trình quá độ là quá trình biến đổi dòng điện ban đầu thành giá trị xác lập.
Xét mạch điện như hình vẽ (1.1):
R

K
i(t)

L

E

.vn
u
d

t.e

k
sp
n
vie

H ình (1.1)

u

th
w.

Trong đó: K là khóa dùng đóng mở mạch điện. w
//w
Trước khi khóa K đóng i = 0 gọi là giá trị ban
tp:đầu.

t
- h

E
R
.H
P
T
Quá trình biến đổi từ giá trị ban
T đầu đến giá trị xác lập được gọi là quá trình quá độ.
K
SP TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN QUÁ ĐỘ
I.2. ÁP DỤNG PHƯƠNG
H
Ñ PHÂN KINH ĐIỂN)
(PHƯƠNG PHÁP äTÍCH
n
e
i
I.2.1. Giải bàihtoán
ö v với điều kiện ban đầu bằng 0

T
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.2):
Khóa K đóng trong một thời gian dàiCthì
M dòng điện đạt đến giá trị xác lập là i =

K

R

i(t)
L

E

Hình (1.2)

Tại t = 0 đóng khoá K lại. Tìm cường độ dòng điện i(t) chạy trong mạch điện.
Lời giải
Khi khóa K đóng lại:
uR + uL = E (1.1.1)
Mà: uR = iR
1
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

uL  L

di
dt

thay vào pt(1.1) ta được:

di
E
(1.1.2)
dt
Vậy ta phải giải phương trình vi phân để tìm i(t).
Giả sử i là nghiệm của phương trình:
(1.1.3)
i = itự do + ixác lập
 ixác lập: là dòng điện trong mạch sau khi đóng (hoặc mở) khoá K sau
một thời gian dài. Trong mỗi mạch điện cụ thể có một giá trị xác lập.
 itự do: là nghiệm của phương trình vi phân có vế phải bằng không
(phương trình thuần nhất).
 iR  L

(Thành phần tự do của điện áp và dòng điện phụ thuộc vào năng lượng tích lũy trong mạch và các
thông số mạch, nó không phụ thuộc vào hình dạng của nguồn tác động)

Đặt itd = keSt
Trong đó:
k: hằng số
S: số phức
t: thời gian
iR + L

di
=0
dt

.vn
u
d

t.e

k
sp
n
vie

u

th
w.

w

(1.1.4)

/w
p:/

Thay vào:

d(ke st ) PKT

 ke R + L
S= 0
dtH

T

M

C
P.H

tt
- h

St

Ñ
n
ä
e
 ke (R viLS)  0
ö
St
Th
St

Để nghiệm itd  0 ( ke  0 )
 R + LS = 0
R
S

L

 i td  ke
Mà:

ixác lập =



Rt
L

E
R
R

Vậy: i(t) 

 t
E
 ke L
R

2
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán i(0+)= 0
i(0+)

i(0-)
t0-

t0+
t

Chưa đóng

Đóng
Đóng K

Tại t = 0:

i(0) 

E
 ke o  0
R

k= 

E
R

R
R

 t 
E E  L t E 
i(t)   e
 1  e L  (A)
R R
R


t.e

Vậy:
 Tại t = 0  i = 0
 Tại t =   i =

k
sp
n
vie

u

E
R

th
w.

w

/w

p:/

i

M

E
R

H
än Ñ

.vn
u
d

T
PK

T

C
P.H

tt
- h

S

ie

v
hö

T
Đặt τ 

t
0

L
: hằng số thời gian
R

t
 
E 
τ 
1 e
i(t) =

R 


Khi t = 3τ thì i  ixác lập (96%)
Thời gian quá độ là thời gian để dòng điện đi từ giá trị ban đầu đến giá trị xác lập.

3
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ (1.3):
R

K

i(t)
E

uc(t)

C

Hình (1.3)

Yêu cầu:
Tại t = 0 đóng khóa K, tìm uc(t).
Lời giải
Khi đóng khóa K: uR + uc = E (1.2.1)
Mà:
uR = iR
thay vào(1.2.1)
du
iC C
du
uc + RC C dt= 0

dt

.vn
u
d

t.e

k
sp
n
vie

u

th
w.

w

/w
p:/

tt
- h

(1.2.2)

Đây là phương trình vi phân. Giải phương
CM trình vi phân trên để tìm uc(t).

H
.
Đặt: uc = uc tự do + uc xác lập (1.2.3)
TP
T
K
 uc xác lập: là điện Páp
S xác lập trên tụ một thời gian dài sau khi đóng (hoặc
mở) khóa K.
ÑH
n
ä
uc xác
vielập = E (khi tụ đã được nạp đầy)
ö
 uc tựThdo: là nghiệm của phương trình vi phân có vế phải bằng không.
uc + RC

du C
=0
dt

(1.2.4)

Đặt: uc tự do = keSt
Vậy:

RCd(ke St )
0
dt

Trong đó:
k: hằng số
S: số phức
t: thời gian
ke St 

 keSt + RCS.keSt = 0
 keSt(1 + RCS) = 0
Do keSt  0 nên:
(1 + RCS) = 0  S = 

1
RC
4

CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Phương trình trên là phương trình đặc trưng
uc tự do = k e



t
RC


t
RC

u(t) = E + k e
Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán:
uc(0) = 0
Tại t = 0:
uc(0) = E + ke0 = 0
 k=–E
t



RC

 u c (t)  E1  e




Đặt τ = RC: hằng số thời gian của mạch (đơn vị s)



t.e

t
τ

k
sp
n
vie

Vậy: uc(t) = E(1 – e )


khi t = 0  uc(t) = 0

uc



khi t =   uc(t) = E

E

u

T
PK

T

C
P.H

th
w.

w

/w
p:/

M

H
än Ñ

.vn
u
d

tt
- h

t

0

S

Theo đề bài ta tìmiei(t)

öv

Th

d(E  E.e
du
i=C C = C
dt
dt



t
RC

)

t

t

CE  RC
E 
=
= e RC
e
R
RC

t

E 
i(t) = e τ với  = RC
R

E
 Tại t = 0  i =
R
 Tại t =   i = 0

i
E
R

t

0

5
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

I.2.2. Giải bài toán với điều kiện đầu khác 0
a. Mạch có cuộn dây
Cho mạch điện như hình vẽ (1.4)
L1

R
i(t)
E

L2

K

Hình (1.4)

n

Tại t = 0, mở khóa K. Xác định i(0+).
u.v
d
t.e
Điều kiện bảo toàn từ thông: Tổng từ thông móc vòng strong
pk một vòng kín liên
n
tục tại thời điểm đóng mở:
vie
u
th
(1.1)
 (0–) = (0+)
w.

w

/w
p:/

 Tại t0–  (0–)
+

 Tại t0+  (0 )

Từ thông  = L.i

M

T

L.i(0–) = L.i(0+) (1.2)
KT
P
S
 Tại t0-:
H

C
P.H

tt
- h

Ñ

(0ie–än) = L1.i(0–)

öv

Tih

E
R
iL2(0-) = 0
 Tại t0+:
L1(0-)

=

(0+) = L1.i(0+) + L2.i(0+) = (L1 + L2).i(0+)
Mà:

(0–) = (0+)

 L1.i(0–) = (L1 + L2).i(0+)
E
R
Vậy  i(0  ) 
L1  L 2
L1

(1.3)

6
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Ví dụ áp dụng:
Cho mạch điện như hình vẽ (1.5)
4Ω

L1 = 1H

i(t)
E = 12V

L2 = 3H

K

Hình (1.5)

Tại t = 0 mở K, tìm i(t).
Lời giải
Trước khi mở K:
E 12
i(0  )    3A
R 4
Tại t0+:

i(0  ) 

L1i(0  ) 3
 A
L1  L 2 4

Khi mở K:

ÑH
än di

iR + (L1 + Lie2)

v
hö

dt

T
PK

.vn
u
d

t.e

k
sp
n
vie

u

th
w.

w

/w
p:/

M

T

C
P.H

tt
- h

S

=E

: phương trình vi phân

Giải phương Ttrình vi phân
Đặt i = itd + ixl
ixl =

E
 3 (A)
R

itd là nghiệm của phương trình vi phân có vế phải bằng 0

iR + (L1 + L2)

di
=0
dt

Đặt itd = keSt

d(ke St )
 ke R + (L1 + L2)
=0
dt
St

 keSt[R + (L1 + L2)S] = 0
Do keSt  0 nên  R + (L1 + L2)S = 0  S = 


 itd = ke

R
L1  L 2

R
t
L1  L 2

7
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian



i(t) = 3 + ke
Xác định k:

R
t
L1  L 2

i (0+) = 3 + keo =
k= 

3
4

9
4
t

9 
L  L2
Vậy i(t) = 3  e τ với  = 1
R
4
tquá độ = 3s dòng điện đạt giá trị ổn định.

Khi mở khóa K dòng điện tăng lên 3A (giá trị ixl)
i

.vn
u
d

t.e

3

k
sp
n
vie

u

th
w.

w

3
4

H

Ñ
n

ä
e
i

KT
P
S

/w
p:/

M

C
P.H

T0

tt
- h

t

Lúc mở K

öv

b. Mạch có
Th tụ
Cho mạch điện như hình vẽ (1.6)

K

R

a

C1

E

C2

uc(t)

Hình (1.6)

Tại t = 0 đóng khóa K. Tìm uc(t).
Lời giải
Trước khi đóng K:
uc1(0–) = E
uc2(0–) = 0
Tại t(0+):
8
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

uc1(0+) = uc2(0+) = uc(0+)
Điều kiện bảo toàn điện tích: Điện tích tại 1 đỉnh (nút) liên tục tại thời điểm đóng
mở:
q(0+) = q(0–)
(1.4)
–
Điện tích tại a ở t(0 )
Ở t(0–): q(0–) = C1.uc1(0–) = C1.E
t(0+): q(0+) = C1.uc1(0+) + C2.uc2(0+) = (C1 + C2).Uc(0+)
q(0+) = q(0–)
 (C1 + C2).Uc(0+) = C1.E
 uc(0+) =

C1E
C1  C 2

Ví dụ áp dụng:
Cho mạch điện như hình vẽ (1.7):

t.e

k
sp
n
vie

K

2

.vn
u
d

u

th
w.

C1

E

CM

KT
P
S

-

1 /ww
pF:/ C2
t
t
2
h

1
F

4

.H
TPHình (1.7)

Tại t = 0 đóng K, tìm Ñ
ucH(t).
n
ä
vie
Lời giải
ö
Th ban đầu:
+ Tìm điều kiện

1
.10
C
E
20
1
 uc(0+) =
= 2
(V)

C1  C 2 1 1
3

2 4

+ Khi đóng K lại ta có:
uR + uc = E
Với C = C1 + C2
RC

; uR = iR = RC

du c
dt

du c
+ uc = E : phương trình vi phân
dt

Giải phương trình vi phân tìm uc
Ta đặt: uc(t) = uctd + ucxl
Với ucxl = E (điện áp sau khi đóng khóa K thời gian dài)
Tìm uctd bằng cách cho vế phải của phương trình vi phân bằng 0

9
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

RC

du c

+ uc = 0
dt

Đặt uctd = keSt thay vào phương trình ta được:

RCd(ke St )
0
dt
Trong đó:
k: hằng số
S: số phức
t: thời gian

ke St 

 keSt + RCS.keSt = 0
 keSt(1 +RCS) = 0
Do keSt  0 nên:
(1 +RCS) = 0  S = 

1
RC

t.e

k
sp
n
vie

Phương trình trên là phương trình đặc trưng.

u

t

Ta được uc(t) = E + k e RC
.th
w
ww
Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài://toán.
p
htt
uc2(0–) = 0
uc1(0–) = E ;


uc(t) = E + k e

t

RC

T

.H

TP

CM

-

0K
0
Tại t = 0  uc(0+) = E + ke
SP = 10 + ke =

10 än
 k = – vie
hö 3

.vn
u
d

ÑH

20
3

T

 = RC: hằng số thời gian của mạch (đơn vị s)

1 1 3
 = RC = 2    =
2 4 2
2t

10  3
e (V)
Vậy uc(t) = 10 –
3
uc
10V

20
3

0

t
Lúc đóng K

10
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Ví dụ: Cho mạch điện như hình vẽ (1.8)
1

10

K

2
5V

1H

e(t)

Hình (1.8)

Cho e(t) = 10cos(10t + 450). Khi K đang đóng ở vị trí 1, tại t = 0 đóng K sang
vị trí 2. Tìm i(t).
Lời giải
Trước khi đóng K sang (2) ta có:
vn

u.

ed
kt.

E 1
i(0 ) =  (A)
R 2
–

u

th
w.

Khi vừa đóng sang (2)  i(0+)
i(0+) =

p
ns
e
i
v

1
w
w
gây đột biến vì chỉ có 1 cuộn dây)
(A) (do L.i(0–) = L.i(0+), không
/
/
2
tt p:

Khi đóng K sang (2)

CM

- h

di
P+.H450)
iR + L = e = 10cos(10t
T
dt

T

PK

S
Đặt i = itd + ixl
H
Ñ
ixl: dòng điện
ieänxác lập là dòng điện khi đóng điện một thời gian dài.
v
ö
Ta có sơ đồ tương
Th đương:
10
I xl

E  10450

j10

Tổng trở phức toàn mạch:
Z  10  j10  10 245 0
0

I XL  E  1045  1
Z 10 245 0
2

 ixl =

1
2

cos10t

Xác định itd ta giải phương trình vi phân:
11
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian
R

 t
di
iR + L = 0  itd = k e L = ke–10t
dt

1

i(t) = ke–10t +

cos10t

2

Xác định k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán

i(0+) = ke0 +

1
2

cos0 =

1
2

 k = – 0,207
1

Vậy i(t) = – 0,207e–10t +

cos10t

2

I.3. ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE GIẢI BÀI TOÁN
QUÁ ĐỘ
Phương pháp tích phân kinh điển nghiên cứu ở mục trên có ưu điểm
là cho thấy
.vn
u
rõ hiện tượng vật lý của dòng điện và điện áp quá độ nhưng không
tiện dùng cho
d
t.e sẽ khó khăn, khi
k

các mạch phức tạp vì vậy việc giải trực tiếp phương trình vi
phân
p
ns
e
bậc của phương trình vi phân cao.
i
uv
h
t
Phương pháp toán tử có ưu điểm là ở chỗ, nó cho
w. phép đại số hóa phương trình
w
vi tích phân, với các điều kiện đầu được tự động
đưa vào phương trình đại số, do đó
://w
p
t
kết quả nhận được sẽ nhanh hơn trong trường
hợp
giải trực tiếp.
ht
I.3.1. Một số kiến thức cơ bản để biến
M đổi Laplace
C
.H
Gọi f(t) là hàm gốc, biến thiên
TP theo thời gian t và ta biến đổi thành hàm F(p).
T phức. Biểu thức (1.5) dùng để xác định ảnh của một
F(p) được gọi là hàm ảnh; p:Ksố

P
S
hàm f(t).
H

Ñ
n
ä
e
L [f(t)]= Fvi( p )   f (t )e  pt dt
ö
0
Th

(1.5)

Trong đó P là số phức:
p =  + j
Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace là:
Ảnh của đạo hàm gốc:


L [f’(t)] = F(p) =

d

 dt f (t )e

 pt

dt

(1.6)

0

Dùng công thức tích phân phân đoạn ta có:


 f (t)e

 pt

dt = f(t) e

 Pt 

0

0



+ p  f (t )e  pt dt = p.F(P) – f(0)

(1.7)

0

Ảnh của đạo hàm gốc bằng hàm ảnh nhân với p.

 F(P )

L   f (t )dt  
P
0


(1.8)
Ảnh của tích phân hàm gốc bằng hàm ảnh chia cho p.
12
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Nhờ hai tính chất quan trọng của biến đổi Laplace ta chuyển phương trình vi tích
phân theo hàm gốc thành phương trình đại số với ảnh là F(p).

BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE
Hàm gốc f(t)

Hàm ảnh F(p)

1

1
p

e  t

1
p 

1

1
p p  

1  e 

 t

1

kt.
p
ns P
vie 2

cost

t

ÑH

ww

://w

sint

tn

.vn

 p  edu

t.e  t

KT
P
S

.H

TP

CM

-

p
htt

u
.th

2

P 2


2

P 2

1
p2
n!
P n 1

1 ieän 1t  2t
v (e  e )
h2 ö 1

1
( p  1 )( p   2 )

1
(1e1t   2e  2t )
1   2

p
( p  1 )( p   2 )

t n e  t

n!

; n  0,1, 2...
( p   )n 1

1  (1   t )e  t 
 

1
p( p   ) 2

T

1

2

1



2

(e  t   t  1)

1
p ( p )
2

(1   t )e  t

p

( p   )2

e  t sin  t


( p   )2   2

e  t cos  t

p 
( p   )2   2

13
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

1



2

(1  cos  t )

1
p( p   2 )

t sin  t

2 p
( p   2 )2

t cos  t

p2   2
( p2   2 )2

2

2

1 sin  2 t   2 sin 1t
12   22

( p  1 )( p 2   2 )

1 sin 1t   2 sin  2 t
12   22

p2
2
2
( p 2  1 )( p 2   2 )

cos  2 t  cos 1t
12   2 2

p
2
( p   )( p 2   2 )

2

1 2
2

2

2

sin  t
t

ww

://w

Ngược lại nếu biết hàm ảnh F(P) =
P1 (p K ) pKt KT
e SP
K 1 P' 2 (p K ) H
n

f(t)  

Trong đó



än Ñ

ie đạo
P2' (PKö) vlà

.H
TP

2

2
1

.vn
u
p t.ed
2pk 2
2
s1 )( p   2 2 )
( p 
n
vie
u
h

.t
arctg
3

1 cos 1t   2 cos  2t
12   22

thức sau:

2

p

P1 (p)http
- ta có thể tìm được hàm gốc theo công
PM
2 (p)

C

hàm của đa thức P2(p) tại điểm P = PK

h
Sau đây làT một số ví dụ cách tìm hàm gốc:

Ví dụ 1: Cho hàm ảnh
F(p) =

4

 p  1 p  2

Hãy tìm hàm gốc f(t).

Lời giải
Khi gặp hàm phức tạp ta dùng phương pháp phân tích:
Bước 1: Phân tích
4

 p  1 p  2 



A
B

P 1 P  2

Tìm A: nhân 2 vế cho (P+1)
B  P  1
4
 A
p2
P2

Cho P = –1  A = 4
Tìm B: nhân 2 vế cho (P + 2)
14
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

 P  2
4
A
B
p 1
P 1
Cho P = – 2  B = – 4
Bước 2: Tra bảng
 f (t )  4.e  t  4e 2t

Cách 2: Ta có thể tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
A = lim (P  1).F(P)  lim

P  1

P  1

4
4
P2

4
 4
P  2 P  1

B = lim (P  2).F(P )  lim
P  2

Ví dụ 2:

8
P  P  2

F ( P) 

t.e

Hãy tìm hàm gốc f(t).
Lời giải
Bước 1: Phân tích

k
sp
n
vie

u

th
w.

w

/w
p:/

8
A
B
 

P  P  2 P P  2

M

Tìm A: Nhân 2 vế cho p


.vn
u
d

8
B.P
T
 A
T
K
P2
P  2SP

C
P.H

tt
- h

Cho p = 0  A = 4 än ÑH
e
Tìm B: Nhân 2 övếvicho p + 2

Th

 P  2
8
 A
B
p
P
Cho p = – 2  B = – 4
Bước 2: Tra bảng
f(t) = 4 – 4e–4t
Cách 2: ta có thể tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
A = lim P.F(P ) = lim
P 0

P 0

8
4
P2

B = lim (P  2).F(P )  lim
P  2

P  2

8
 4
P

Ví dụ 3:
F ( P) 

4

 P  1 P  2 

2

Hãy tìm hàm gốc f(t).
Lời giải
15
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Bước 1: Phân tích
4

 P  1 P  2 



2

A
B

C


P  1 P  2  P  2 2

Tìm A: nhân 2 vế cho (P+1)
4

 P  2

 A

2

B  P  1 C  P  1

2
P2
 P  2

Cho P = – 1  A = 4
Tìm C: nhân 2 vế cho (P + 2)2

 4  A(P  2) 2  B(P  1)(P  2) 2  C(P  1)
Cho P = – 2  4 = C (– 2 + 1)
C=–4
Tìm B: nhân 2 vế cho (P + 2)2

t.e

2

A  P  2
4


 B  P  2  C
P 1
 p  1

–

 p  1

2



A  P  2  ....

 P  1

2

k
sp
n
vie

u

Đạo hàm P theo 2 vế:
4

.vn
u
d

th
w.

w

/w
p:/

B

M

tt
- h

Giá trị (…) không cần quan tâm .HC
TP
Cho p = – 2  B = – 4
T
K
SP
Bước 2: Tra bảng

H
än Ñ–2t – 4t.e–2t
f(t) = 4.e–t –ie4.e
v
Cách 2: ta cóTthể
hö tìm A, B, và C bằng cách lấy giới hạn
A = lim (P  1).F(P )  lim
P  1

P  1

4
4
( P  2) 2

4
 4
P  2 P  1

C = lim (P  2) 2 .F(P ) = lim
P  2

Tìm B bằng cách nhân 2 vế của phương trình cho (p + 2)2, sau đó lấy đạo hàm 2 vế
của phương trình và cho p = – 2, ta được: B = – 4.
I.3.2. Định luật Kirchhoff dạng toán tử
Định luật Kirchhoff 1
Từ biểu thức

i  0



 I(P)  0

(1.9)

Định luật Kirchhoff 2
Cho mạch vòng kín gồm R - L - C nối tiếp đặt vào điện áp u ta có:
t

di 1
u  Ri  L   idt  u c (0)
dt C 0

Chuyển sang biến đổi Laplace ta được:

16
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

1  u c (0)
U(p)  I(p)R  PL 

 L.i(0)
pC 
p



(1.10)

Từ đó ta suy ra:
u c ( 0)
 Li(0)
P
1
R  PL 
PC

U(P ) 

I(P) =

Công thức trên tương ứng với sơ đồ toán tử của hình (1.9) dưới đây:
U(p)

R
I(p)
pL

L.i(0)



e
1
kt.

p
PC ens
i
v

U C ( 0)
P

.H

TP

Trong đó: L.i(0) và 

ö

ww

://w

Hình (1.9) http

Th

.vn
u
d

än
vie

CM

u
.th

-

U C (0)KT
SP đặc trưng cho điều kiện đầu của bài toán.
HP

Ñ

I.3.3. Sơ đồ toán tử Laplace
i(t)

R

Đại số hóa

I(p)

R

i(t)

L

Đại số hóa

I(p)

Lp

I(p)

1
CP

i(t)

C

Đại số hóa

I.3.4. Thuật toán tính quá trình quá độ bằng phương pháp toán tử
Bước 1: Xác định các điều kiện ban đầu
Bước 2: Lập sơ đồ toán tử, giải sơ đồ toán tử theo các phương pháp đã biết tìm I(p).
Bước 3: Dùng biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc i(t).
I.3.5. Một số ví dụ về các bài toán quá độ với các điều kiện ban đầu bằng 0
Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.10)
17
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

2Ω

K
i(t)

1
H
4

10V

Hình (1.10)

Tại t = 0 đóng khoá K, tìm i(t).
Lời giải
Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu
Theo đề bài tại t = 0 đóng khóa K để tìm i(t). Trước khi khóa K đóng thì mạch
điện hở. Vì thế các điều kiện ban đầu đều bằng không.
Bước 2: Biến đổi các thông số
.vn
u
Trước khi muốn giải một bài toán quá trình quá độ ta phải biến
đổi các thông số
.ed
tđiện
k
về dạng Laplace và đại số hóa mạch điện (tức là đưa mạch
về sơ đồ tương
sp
n

đương dưới dạng Laplace).
vie
u
h
t
Sơ đồ tương đương Laplace:
w.
w
2Ω
/w

:/

I(P)
10
P

H

Ñ
n
ä
e
i

KT
P
S

.H

TP

CM

-

p
htt

P
4

v

ö
Bước 3: Tính toán
Th các giá trị theo biến đổi Laplace
Ta có: Tổng trở của mạch điện là như sau:
Z ( P)  2 

P 8 P

4
4

Cường độ dòng điện chạy qua mạch:
10
U ( P)
40
 P 

I ( P) 
Z ( P) 8  P P( P  8)
4

Bước 4: Phân tích
40
A
B
 
= F(P)
P( P  8) P P  8

Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
40
5
P 0 P  8

A = lim P.F(P ) = lim
P 0

40
 5
P  8 P

B = lim (P  8).F(P)  lim
P  8

18
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Vậy:

40
5
5
 
 I ( P)
P( P  8) P P  8

i(t)

 i (t )  5  5e 8t  5(1  e 8 t ) (A)

5

Thời gian quá độ là:

t
Bài 2: Cho mạch điện như hình vẽ (1.11)
K
4Ω

.vn
u
d

i(t)

e
kt.
p
ns uc(t)
vie

1
F
2 hu

12V

w
ww

.t

//

p:
htt

Hình (1.11)
CM

Yêu cầu:
.H

TP
Tại t = 0 đóng khóa K, tìm i(t)
KTqua R và uc(t) đặt trên hai đầu tụ điện.
P
S
Lời giải
H
Ñ
eän kiện ban đầu
Bước 1: Xác địnhviđiều
ö
Tại t = 0 đóng
Thkhóa K. Do đó trước khi khóa K đóng thì mạch điện trên hở. Vì vậy
các điều kiện ban đầu bằng 0.
Bước 2: Đại số hóa mạch điện (tức là đưa mạch điện về sơ đồ tương đương dưới
dạng Laplace)
u c (t )  12 V  U(P ) 

C=

12
P

1
2
F  C(p) =
2
P

Sơ đồ tương đương:

4Ω
I(p)

12
p

2
p

Uc(p)

Bước 3: Tính toán các giá trị theo biến đổi Laplace
Ta có: Tổng trở của mạch
19
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

Z (P)  4 

2 4 P  2 2(2 P  1)


P
P
P

Cường độ dòng điện chạy trong mạch:
U(p)
Z(p)
12
p
12
3
I(p) 


2(2p  1) 4p  2
1
p
p
2
I(P) 

Vậy i (t )  3e

1
 t
2

A

Thời gian quá độ:
t = 3 = 6s

.vn

u
d

3

t.e

k
sp
n
vie

u

h
tw.t
ww

//

0
Tìm uc(t):
M
Ta có: Điện áp đặt trên hai đầu tụ điện
C

p:
htt

H

2
12 T2P.

T
P 4 PPK
2 P
S
24ÑH
6


n
ä
(4viPe  2) P ( P  1 )  P
ö
2
Th

Uc( P )  I ( P ) 

Bước 4: Phân tích
6
A
B
 = F(p)
=
1
1 P
(P  )  P P 

2
2

Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
1
2

A = lim1(P  ).F(P )  lim1
P

2

P

B = lim P.F(P )  lim
P 0

P 0

6
1
P
2

2

6
 12
P

uc

 12

12

Vậy A = –12; B = 12
Uc(t ) 

12
12

P P 1
2

 Uc (t )  12  12e

1
 t
2

 12(1  e

1
 t
2

) (V)

t

0

20
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuong I
Chương I. Phân tích mạch trong miền thời gian

I.3.6. Các bài toán quá độ với các điều kiện ban đầu khác 0


f(t)

 F(p)



df(t)
 p.F(p)  f(0  )
dt



i(t)



di(t)
 p.I(p)  i(0  )
dt



I(p)

di L

 Lp.I(p) – L.iL(0–)
dt
a. Cuộn dây


L

iL(0-)

L

LiL(0-)

Lp

L

di L
uL = L 
 UL(P) = Lp.I(p) – L.iL(0–)

dt

.vn
u
d

t.e

k
sp
n
vie

u

b. Đối với tụ điện
Điện áp ban đầu trên tụ:

w

/w
p:/

M

+
C _

ö
Th

th
w.

KT
P
S

T

ÑuHc (0- )
n
ä
ie

v

C
P.H

tt
- h
C

L

1
Cp

uc (0-)

p

uc (0- )

Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ (1.12)
5Ω

1
H
2

i(t)
E = 60V

K

7Ω

Hình (1.12)

Yêu cầu:
Tại t = 0 mở khóa K, tìm cường độ dòng điện i(t) chạy trong mạch điện.
21
CuuDuongThanCong.com

/>