Lời giải tiếng việt IMO 57 hong kong 2016

IMO 2016 Hong Kong

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐINH TIÊN HOÀNG
TỔ TOÁN – LÝ TIN

IMO 2016 HONG KONG
(IMO lần thứ 57)

Tổ
: Toán – Lí – Tin
Giáo viên : Lê Văn Tho

Sơn Tây, tháng 06 năm 2017
IMO 57 Hong Kong 2016
Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

1


IMO 2016 Hong Kong

Ngày đầu, thứ 2 ngày 11 tháng 7 năm 2016 (Thời gian làm bài 4 giờ 30 phút)
Bài 1. Cho tam giác vuông tại Gọi là điểm nằm trên đường thẳng sao cho và nằm giữa
và . Lấy điểm sao cho và là phân giác của . Lấy điểm sao cho và là phân giác của .
Gọi là trung điểm của . Gọi là điểm sao cho là hình bình hành Chứng minh rằng đường
thẳng và đồng qui.
Giải.
Dễ thấy . Suy ra nên thẳng hàng và .
Do đó mà nên nằm trên đường tròn
tâm bán kính . Suy ra . Nhận thấy nên
suy ra . Hơn nữa nên . Như vậy . Do

đó

Xét đường tròn tâm bán kính (ta gọi là đường tròn ) thì có
Trong tứ giác có nên tứ giác này
nội tiếp. Từ đó suy ra . Từ và dẫn
đến thẳng hàng. Lại có trong tam
giác thì nên . Do đó hay 5 điểm
cùng nằm trên một đường tròn, ta
gọi đường tròn . Dễ nhận thấy là
trục đẳng phương của hai đường
tròn và .
Bây giờ, trong có

mà nên bù với góc . Như vậy tứ giác nội tiếp trong đườn tròn, gọi là . Gọi giao điểm
của hai dây cung và của đường tròn này là thì hay . Từ và suy ra hay ba đường đồng
qui đồng qui tại như yêu cầu đề bài.
Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

2


IMO 2016 Hong Kong

Bài 2. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương để có thể điền vào mỗi ô vuông con của bảng
ô vuông một chữ cái hoặc sao cho:
+ Ở mỗi hàng và ở mỗi cột, có đúng một phần số ô được điền chữ , đúng một phần ba số ô
được điền chữ và đúng một phần ba số ô được điền chữ ; đồng thời
+ Ở mỗi đường chéo mà số ô vuông con nằm trên đường chéo đó là một bội của 3, có
đúng một phần số ô được điền chữ , đúng một phần ba số ô được điền chữ và đúng một
phần ba số ô được điền chữ .

Chú ý: Giả sử tất cả các hàng, cũng như tất cả các cột, của bảng ô vuông được đánh số
thứ tự lần lượt bởi các số nguyên từ đến . Khi đó, mỗi ô vuông con của bảng tương ứng
với một cặp số nguyên dương , trong đó . Với , bảng có đường chéo, được chia làm hai
loại. Mỗi đường chéo loại 1 là một đường gồm tất cả các ô mà là hằng số; mỗi đường
chéo loại 2 là một đường gồm tất cả các ô mà là hằng số.
Giải. Vì mỗi hàng ngang, cộ dọc, đường chéo đều chia đều các ô cho 3 chữ nên phải
chia hết cho 3 hay nguyên dương. Do đó có thể chia hình vuông ban đầu thành hình
vuông . Nhận thấy rằng các chữ cũng phải chia đều ở các tâm của những hình vuông .
Suy ra chia hết cho 3 và cũng vậy. Lúc này nguyên dương nào đó.
+ Với ta có bảng
M I
M I
O
I
I
I
O
M
O
I
O
I
M
I
O
O
M I
O
M M O
O

I
M O
M I
M O
I
M O
O
O
M I
I
M M I
O
M
+ Với ta lấy bảng trên ghép lại thành bảng

O
M
O
I
M
I
M
I
O

M
O
M
M
I

O
I
O
I

O
O
M
O
I
M
I
M
I

I
M
I
M
I
O
O
M
M

Bài 3. Cho là một đa giác lồi trong mặt phẳng tọa độ. Tất cả các điểm đều có tọa độ
nguyên và cùng nằm trên một đường tròn. Kí hiệu là diện tích của . Cho là một số
nguyên dương lẻ mà bình phương độ dài mỗi cạnh của là một số nguyên chia hết cho .
Chứng minh là một số nguyên chia hết cho .
Giải. Đầu tiên ta chứng minh với đa giác thỏa mãn tính chất của đề thì phải có một

đường chéo mà bình phương độ dài là số nguyên chia hết cho .

Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

3


IMO 2016 Hong Kong

Ta chứng minh phản chứng, giả sử mọi đường chéo đều có bình phương độ dài là số
nguyên không chia hết cho với là một số nguyên tố.
Vì nên ta có thể chọn được tứ giác với . Theo đề và chia hết cho . Gọi là số thỏa và
chia hết cho . Nhận xét và chia hết cho . Do đó tồn tại các số nguyên dương sao cho

Vì nội tiếp đường tròn nên theo định lí Ptolemy ta có

.
Vì các tọa độ nguyên nên hay. Như vậy có bậc theo là mà bậc của (theo ) không vượt
quá . Do đó bậc của (theo ) phải không nhỏ hơn .
Như vậy, bình phương độ dài các cạnh và đường chéo đều chia hết cho . Tiếp tục quá
trình ta sẽ chứng minh có đường chéo mà bình phương độ dài chia hết cho .
Bây giờ ta chứng minh qui nạp theo số cạnh bài toán ban đầu với , là một số nguyên tố
lẻ.
Với xét với Khi đó theo công thức Hê-ron

Vì nên lại vì nguyên tố lẻ nên .
Giả sử đúng với đa giác cạnh ta chứng minh nó cũng đúng với đa giác cạnh. Thật vậy,
đa giác cạnh này sẽ có một đường chéo mà bình phương độ dài chia hết cho . Dùng
đường chéo này chia đa giác cạnh thành hai đa giác có số cạnh nhỏ hơn và thỏa mãn các
điều kiện của đề. Theo giả thiết qui nạp hai lần diện tích của hai đa giác đều chia hết cho

nên tổng của chúng, tức là hai lần diện tích đa giác cạnh, cũng vậy. Theo nguyên lí qui
nạp ta có điều phải chứng minh.
Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

4


IMO 2016 Hong Kong

Cuối cùng, ta xét trường hợp tổng quát của Khi đó có phân tích cơ bản thành thừa số
nguyên tố như sau

với là các số nguyên tố khác nhau và là các số nguyên dương. Theo chứng minh qui nạp

mà nên tức là .
Ngày sau, thứ 3 ngày 12 tháng 7 năm 2016 (Thời gian làm bài 4 giờ 30 phút)
Câu 4. Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập đó có ít nhất hai
phần tử và mỗi phần tử của nó có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử
còn lại. Đặt . Hãy tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên không âm để
tập hợp

là tập hương.
Giải. Ta có

Từ đó xét các bảng sau
0
1
0
1

1
1
1
0

Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

2
1

5


IMO 2016 Hong Kong

0
1

1
3

2
2

3
3

4
1

0
1

1
3

2
0

3
6

4
0

5
3

6
1

Như vậy các không chia hết cho 2 và 5. Nhận xét

nên nếu có ước nguyên tố lớn hơn 7 thì hoặc dẫn đến hoặc cũng dẫn đến Bây giờ ta thử
xét các trường hợp thì các ước nguyên tố chung chỉ có là 3 hoặc 7 hoặc cả hai. Theo bảng
và ta có
* Với , không có hai số nào mà cùng chia hết cho 3 hoặc 7 nên trường hợp này không
thỏa mãn.
* Với , ba số không thể cùng chia hết cho 3 hoặc 7 mà chỉ có có thể và cùng chia hết
cho 7, nhưng khi đó thì không chia hết cho 3 hay 7 nên trường hợp này cũng không thể

xảy ra.
* Với , bốn số không cùng chia hết cho 7 nên phải ít nhất một cặp trong chúng chia hết
cho 3 và đó chỉ có thể là và nhưng hai số còn lại không thể cùng chia hết cho 7 nên
trường hợp này cũng không thể xảy ra.
* Với tương tự trường hợp nếu và cùng chia hết cho 3 thì và không chia hết cho cả 3
và 7, nếu và cùng chia hết cho 3 thì và lại không chia hết cho cả 3 và 7 nên trường hợp
này cũng không thể xảy ra.
Bây giờ xét trường hợp ta thử tìm xem có tìm được để tập đề ra là một tập hương hay
không. Xét bảng sau
3
7

0
1

1
3

1
0

0
6

1
0

1
1

Ta tìm thử và có thể có ước chung nguyên tố là bao nhiêu. Vì các đều không chia hết
cho 2 nên

Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

6


IMO 2016 Hong Kong

Vậy ta sẽ để thì tập đề cho là tập hương. Theo nhận xét trên thì

Thử lại

Vậy là số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 5. Người ta viết lên bảng phương trình

với hai 2016 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất để có thể
xóa đi đúng nhân tử trong số nhân tử bậc nhất nêu trên sao cho ở mỗi vế còn ít nhất một
nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.
Giải. Với thì số nhân tử bậc nhất còn lại sẽ lớn hơn 2016. Vì chỉ có 2016 loại nhân tử bậc
nhất và ở mỗi vế còn ít nhất một nhân tử nên sẽ có nhân tử xuất hiện ở cả hai vế và do đó
phương trình còn lại sẽ có nghiệm thực. Như vậy
Ta xét trường hợp với cách bỏ hai 2016 nhân tử để có phương trình

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh không có nghiệm thực. Thật vậy, có các trường hợp
sau
* Nếu thì

Hay vô nghiệm.

Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

7


IMO 2016 Hong Kong

* Nếu hoặc hoặc thì

với Do đó hay vô nghiệm.
* Nếu hoặc thì hay vô nghiệm.
* Nếu . Ta viết lại như sau

Đánh giá

Suy ra hay , tức là vô nghiệm.
Như vậy tất cả các trường hợp đều vô nghiệm và là giá trị nhỏ nhất cần tìm.
Bài 6. Trong mặt phẳng, cho đoạn thẳng sao cho hai đoạn thẳng bất kì cắt nhau tại một
điểm nằm trong mỗi đoạn và không có ba đoạn thẳng nào đồng qui. Với mỗi đoạn thẳng,
thầy Minh chọn một đầu mút của nó rồi đặt lên nó một con ếch, sao cho mặt ếch hướng về
đầu mút còn lại. Sau đó thầy vỗ tay lần. Mỗi lần vỗ tay, mỗi con ếch ngay lập tức nhảy
đến giao điểm gần nhất trên đoạn thẳng của nó. Tất cả các con ếch đều không thay đổi
hướng nhảy của mình trong toàn bộ quá trình nhảy. Thầy Minh muốn đặt các con ếch sao
cho sau mỗi lần vỗ tay, không có hai con nào nhảy đến cùng một giao điểm.
(a) Chứng minh rằng thầy Minh luôn thực hiện được ý định của mình nếu lẻ.
(b) Chứng minh rằng thầy Minh không thực hiện được ý định của mình nếu chẵn.

Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

8

IMO 2016 Hong Kong

Giải. Trước tiên ta
nhận xét thế này. Theo
hình bên, một đường
thẳng cắt đường AB ở
bên ngoài đoạn AB thì
hoặc sẽ không cắt cả
hai đoạn AC và BC
hoặt cắt cả hai đoạn
này; một đường thẳng
cắt đường AB ở bên
trong đoạn AB thì cắt
đúng một trong hai
đoạn AC, BC (*).

(a) Với mỗi đoạn thẳng, ta
chọn một đầu mút để đặt con
ếch rồi từ đó đánh các chỉ số 0
và 1 liên tiếp nhau như hình
vẽ. Chú ý rằng với mỗi cách
đánh chỉ số ứng với một đầu
mút duy nhất để đặt con ếch
(**). Với cách đặt chỉ số như
trên thì sau lẻ tiến vỗ tay các chú ếch sẽ ở vị trí đánh số 1 và sau chẵn tiếng vỗ tay các chú
ếch sẽ ở vị trí đánh số 0. Do đó, nếu tại tất cả các giao điểm mà được đánh chỉ số khác
nhau trên hai đoạn thẳng tạo nên giao điểm đó thì tất cả các chú ếch sẽ không bao giờ gặp
nhau trong toàn bộ quá trình (***).

Bây giờ, ta nêu ra đây một
cách đặt các chú ếch như sau.
Chọn một đoạn bất kì và đặt
một chú ếch ở một đầu mút rồi
đánh các chỉ số. Tất cả các
đoạn thẳng còn lại đều phải cắt
đoạn thẳng này. Tại giao điểm
với đoạn thẳng ban đầu được
đánh số 1 (tương ứng số 0) thì
ta đánh số 0 (tương ứng số 1)
trên đoạn thẳng còn lại (****).
Như vậy tất cả các đoạn thẳng
còn lại đều có một giao điểm
đã được đánh chỉ số. Theo (**)
thì ta xác định được đầu mút
Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

9


IMO 2016 Hong Kong

để đặt chú ếch ở tất cả các
đoạn thẳng còn lại.
Việc cuối cùng là ta đi chứng minh tất cả các giao điểm đều được đánh chỉ số khác nhau
trên hai đoạn thẳng theo (***). Thật vậy, các giao điểm nằm trên đoạn thẳng ban đầu thì
được đặt các chỉ số khác nhau theo (****).
Các giao điểm C còn lại phải
là giao điểm của hai đường AB
và AC nào đó với A, B là hai

giao điểm trên đoạn ban đầu.
Ta sẽ xét xem giữa A và C và
A và B có bao nhiêu giao
điểm. Theo (*), những đoạn
thẳng cắt đường AB ở bên
ngoài đoạn AB sẽ tạo ra cùng
số giao điểm trên đoạn AC và
BC. Nếu A và B được đánh
cùng chỉ số trên đường AB thì
giữa A và B có lẻ giao điểm,
qua lẻ giao điểm này sẽ có lẻ
đường thẳng,
số lẻ đường thẳng này theo (*) sẽ tạo ra trên AC và AB số giao điểm lẻ chẵn khác nhau
( ví dụ trên AC chẵn thì trên BC lẻ và ngược lại). Vì A và B đánh chỉ số giống nhau nên C
sẽ đánh chỉ số khác nhau trên mỗi đoạn thẳng. Trường hợp A, B đánh chỉ số khác nhau
trên đường AB cũng có kết quả tương tự cho giao điểm C. Ta hoàn thành chứng minh.
(b) Không mất tính tổng quát ta
có thể giả sử tất cả các đầu mút
của các đoạn thẳng đều nằm trên
một đường tròn. Chọn một đầu
mút đặt tên , rồi ngược chiều kim
đồng hồ ta đặt các đầu mút liên
tiếp là Nhận xét, là hai đầu mút
của cùng một đoạn với (*). Gọi
C là giao điểm của hai đoạn và ,
một đoạn thẳng khác hoặc sẽ cắt
cả hai đoạn và hoặc không cắt
đoạn nào cả. Do đó, số giao điểm

giữa đoạn và là bằng nhau. Cũng vì vậy nếu đặt hai chú ếch ở và thì sau một số lần vỗ

tay chúng sẽ gặp nhau tại C. Kết quả này cũng đúng cho trường hợp hai mút liền kề nhau
Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

10


IMO 2016 Hong Kong

trên đường tròn (**). Nếu đặt ở một chú ếch thì ở không được đặt, ở vị trí phải đặt một
chú ếch nếu không thì ở hai vị trí liên tiếp là và phải đặt hai chú ếch (không được theo
**). Như vậy ở mỗi vị trí lẻ sẽ đặt một chú ếnh, và do chẵn nên được đặt một chú ếch.
Nhưng theo (*) thì đã được đặt mỗi chú ếch ở mỗi đầu, trái với yêu cầu đề bài. Do đó,
trong trường hợp chẵn thầy Minh không thể hoàn thành mong muốn của mình.

Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434

11