Bài tập toán cao cấp tập 1, đại số và hình học giải tích

NGUYỄN ĐÌNH TRl (Chủ blén)
TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN H ổ QUỲNH

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP
TẬP MỘT

ĐAI SỐ VÀ HÌNH HOC GlẢl TÍCH
(Tái bắn lẩn thứ mười sáu)

NHÀ XUẤT BÀN GIÁO DỤC VIỆT NAM


TH AY L Ờ I N Ó I ĐẨU
Nãm 1996, Nhà xuít bản Giáo dục đã xuất bản quyển Toán học
cao cấp tập 1. Đại số và Hình học giải tích, từ nay sẽ viết tắt là Thcc/1 Quyến Bài tập Toán học cao c íp tập 1 này, viết tắt là BTThcc/1 là tiếp
nối quyển Thcc/I, nhằm ưình bày phán bài giải và hướng dẫn cách
giải các bài tập đã ra ỏ quyển Thcc/1. Riêng chưcmg IV chỉ là ổn tập
các kiến thức đã học ờ tnĩờng phổ thổng, n£n khổng trình bày ỏ quyến
này, độc giả cổ thể xem các đáp số ở quyển Thcc/1.
Chúng tôi muốn lưu ý độc giả vé cách đánh sổ các tiêu đé ứ i tiện
viêc tra cứu.
ở quyến Thcc/1 chương đánh sđ bằng một stf, thí dụ chương n là
chương thứ hai, tiết đánh số bằng hai số, thí dụ tiết 3.2 ỉà tiết 2 ỏ
chương 3, độc giả tìm nó ở chuơng 3 tiết thứ 2, mục đánh sđ bằng 3 số,
thí dụ mục 3.2.1 là mục I b tiết 2 cùa chương 3, độc giả tìm nó ò
chưong 3 tiết 2 mục 1. Các định nghĩa, định lí, thí dụ và chú ý cũng
đánh số bằng ba số như vậy. Riéng các hình vẽ chỉ có một số.
ở quyển Bnrrhcc/1 cách đánh số làm tương tự. Chương có mỡt số,

tiết có hai số. Riftng bài tập có hai số, số dầu chỉ chương, số thứ hai
chì số thứ tự của bài tập trong chương, chẳng hẹn bài tập 4.3 là bài tập
thứ 3 ở chương rv. dộc giả tìm nó òr chưong 4 bài tập thứ 3. Hình vg
đánh số bằng một số.
Vì tài liệu này viết lần đáu nên khổng tránh khỏi thiếu sót, chúng
tổi mong nhận đưọc các ý kiến của độc giả, chúng tổi rất cảm on.
Hà Nội, tháng 5/1997
Tác giả
TẠ VẢN ĐĨNH


Chương I

TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ
A. ĐỀ BÀI
1.0. MỞ ĐẦU
l . ỉ . Dùng các kí hiệu đã học à tiết 1.0 hãy viết các mênh đé sau ;
Định nghĩa - Tam giác ABC gọi là tam giác cán nếu nó có hai góc
bằng nhau.
Định li - Nếu tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì nó là tam
giác c&n.
Định li - Điéu kiện cẩn và đù để tam giác ABC cân là nó có hai
cạnh bằng nhau.

1.1. TẬP
HỢP
VÀ PHẦN TỬ
•
•

m

ỉ . 2. Tim tập các nghiệm của phương trình hay b ỉt phương trình
dưỗri đây và biểu diỂn chúng trên trục số :
a)

- 4jt + 3 = 0

c) Jr^ - 4x + 3 s 0

e)

+ 1>0

b) JC^ - 4 jt + 3 > 0
d)

f)

+ 1=0

~

^ 0

1.3.
Tim tập các nghiệm của hệ phương trình hay
diiổi đây và biếu d iỉn chúng tr 6n mặt phẳng toạ độ :

phương trình

a)

3j' + 2 y = 8

c) 3-v - y = 0

Ax-y =l

d) 3jr - >>> 0
b)

- 6 .r + 2y = - 4

e ) 3 ^ - ,< 0

1.4. Trong các trường hợp sau hỏi cỏ A = B không ?
a) A là tập các số thực ^ 0, B là tạp mọi số thực > trị tuyệt đối cùa
chính n ó ;
b) A là tập các số thực > 0,
chính n ó ;

ỉà tập mọi số thực ^ trị tuyệt đối cùa

c) A là tạp mọi số nguy 6n khổng &m và < 1 0 0 có tam thừa là
một sổ lẻ khổng chia hết cho 3, B là tập các số nguy£n khổng âm
và ^ 100 có bình phương trừ 1 chia hết cho 24.

1.2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP

1
A, B, c là tập con của E. Chúng minh lằng nếu Ayk A r \ C a A B ùìì c
B.

c

(Z A k j B

Ỉ . 6 . A là tạp con của E. Hãy xác định cᣠtập sau ( i4 ) , /4 n /4,
A u A , 0 , E.
1.7. A , B \ ầ các tập con của E. Chứng minh
a) Nếu A d B ứ i i B (Z A.
b) Nếu /4 và

rời nhau thì mọi phần tử của E sẽ thuộc A hoãc

thuộc B.
c ) A c B o / 4 u f i = f i o A yjB = E
ả) A c B c : > A r \ B = A < ^ A n B = 0
c )A u B = AnB
f) A n B = A kj B
6


1.3. TÍCH ĐỂ CẤC
1.8. C h o >4 = 11 ,2, 3 1 ,5 = { 2 ,3 ,4 ).
Hãy viết ra tất cả các phẩn tử cùa A X B v ầ biếu diỂn chúng thành
các điểm tr£n mặt phẳng toạ độ.
1.9. C h o /4 = 1 1 ,2 ] := | a |

ì

< x ú 2)

B = [ 2 , 3 ] : = { x \ 2 < x -£Ĩ)
Hãy biểu diẻn hình học tập tích A X B trỀn mặt phẳng toạ độ.
1.4. QUAN HỆ TUƠNG ĐUƠNG VÀ QUAN HỆ T H Ứ T ự
I.ỈO . Trong R, quan hệ a H h xác định bởi
3 _ 1 3 _ _ ■ II
a - h =a - h

II

có phải là quan h6 tuơng đương khổng ? Tim lớp tuơng đuong ^ ( a , H).
1.11.
Trong tập các số tự nhiên, các quan hộ sau có phải là quan
hộ tương đương khổng ?
a) a chia h ít cho h ;
b) ơ khổng nguyén tố vói h.
ỉ . 12. a) Trong khổng gian hình học thông thưởng được coi như
tâp các điểm M, M',..., chứng minh rằng quan hệ "Af và Aí' ở tĩtn một
dường thẳng cùng phương với đưỉmg thẳng D cho ưuớc" ỉà một quan
hổ tưong đương. N£u đặc điếm cùa cấc lớp tuong đutmg.
b) Cùng c&u hỏi đó ưong mặt phẳng với quan hệ "M' là ảnh của M
trong một phép quay quanh tâm o cho trước."
1.13.
Trong tạp các đường thẳng trong khổng gian quan hệ D X D '
có phải là quan hệ tương đương khổng ?
2

1 .Ỉ4 . Trong R , hãy chứng minh quan h£
(x, y) <, (y , y ' ) o x ú x ' . y<,y'
là quan hẹ thứ tự. Nó có phải quan hệ thứ tự toàn phẩn khững ? Nếu
khổng, hãy xác định hai cặp (jr, y) và (j:', y') cụ thể không thoả mãn
cả ix, y) ắ (x', y') lản (ar’. y') ú (jr, y).


ỉ. 15. Một kì thi có hai môn thi', điểm cho từ 0 đến 20. Mổi thí
sinh có hai điẨm, X là điểm cùa mổn thi thứ nhất, y là diểm của mổn
thi thứ hai. Trong tập các thí sinh, người ta xét tập các cặp điểm số
{x, y) và xác định quan hệ hai ngổi Tl như sau :
hoặc .Vị

<

%2

hoặc ,\ I = .»2 ''à >1 ^ 3'2
Chứng minh rằng Tí là một quan hẹ thứ tự toàn phẩn trfin tập các
thí sinh.
1.5. ÁNH XẠ
1.16.
Các ánh x Ạ f : A -> B sau là đơn ánh, toàn ánh, song ánh ?
Xác định ánh xạ ngược nếu có :
1)A = R ,B = R ,/[jr) = jf + 7 ;
2) .4 = R, B = R,y(jc) = x^ + 2 x - 3 ;
3) A = [4. 9], B = [21. 96], A x ) = x^ + 2 x - 3 4) A = R. B = R,y(jc) = 3jc - 2
5) /1 = R.

= (0, +00),/(X) = e

X
x+ \

6 ) A = N. B = K A x ) = x{x + 1 ).

1.Ỉ7. Các ánh xạ sau đây là loại ánh xạ gì ? Xác định ánih xạ nguọc
nếu c ó :
1) Đối xứng đối với một điểm

o;

2 ) lỊn h tiến theo vectơ ơ ;

3) Quay quanh tâm o một góc 0 trong mặt phẳng ;
4) Vị tự tâm ơ với tỉ số Ắ: ^ 0.
1.18. a) Cho ánh x ẹ f : R - > R xác định bởi
/■/ A _

/U ) =

2 jt

ì + x^
Nó có là đơn ánh ? là toàn ánh ?
Tìm ảnh/(R ).
8

b) Cho ánh xa ,(f ; R

R, R = R - {0} xác đinh bời .V

—
■V

Tim ảnh fog.
ỉ. 19. Xét hai ánh xạ
/ : R -> R xác định bời f{x) = u
: R+ -> R, R+ : = I AI . r e R, -V > 0 1 xác định bỏi xy-^ >ĩx .
So sánh fog và }ịof.
1.20. Cho 4 tập h ợ p /4, iB, c , D và ba ánh xạ
fA

—> B \ Ịị B —> c \ h c —►D.
ho{gọf) = {hog)of

Chứng minh rằng :

1.21. 1) Cho 2 tập E \ k F và. ánh x ạ / : E -> F.
>4 và
a)

là hai tập con của E. Ch^ỉrng minh
czm ;

c B

h)AA n B) d M ) <^ÂB) ;

c ) M ^ B) =AA) u A B ) .
2) Chứng minh rằng nếu / l à đơn ánh thì
A A n B) = m n m 1.22. Cho 2 tập £ và F và ánh x z f : E

F.

4 và B ỉà 2 tập con cùa F, chứng minh

1.23. C

h

o

/

^

:F G

Chỉhig minh rằ n g :
1) N íu / và g là toàn ánh thì g o /là toàn ánh ;
N ế u /v à g là đơn ánh thì gof\ầ đơn ánh ;
N ế u /v à g là song ánh thì gof\ầ song ánh.
2) Nếu gofìầ song ánh v à / l à toàn ánh t h ì/ v à g là song ánh.


1.24. Với mỗi bộ 4 số nguyén a, h, c, d sao cho uí! -/> « •= 1 ,
ta cho ánh x ạ / :

xác định bởi
/ : (a:, > ) h-» (íLX + h y , t.v + d ý )

và gọi F ià tập các ánh xạ như thế.
a) Chứng minh r ằ n g /là song ánh v à / * e F.
b) Chứng minh rằng n íu f y / k g e F ứiìfog e F.
1.6 . TẬP HŨU HẠN - TẬP ĐẾM ĐUỢC TẬP
♦ KHÔNG ĐỂM ĐUỌC
•
1.25. 1) Chứng minh rằng hợp cùa hai tập hữu hạn là một tập
hữu hạn.
2) Chứng minh rằng hợp của một số đếm được các tạp hữu hạn là
một tập đếm dược.
1.26. Cho tập E, gọi ƠH.E) là tập tất cả các tập con của E.
Chứng minh rằng £P(£) khổng cùng lực lưọng với E.
1.7. ĐẠI
♦ SỐ T ổ HỢP
•
1.27. Cho i4 = {<1 , ft}. Có thể lập được bao nhiêu bảng khác nhau
có dạng
a

h

a

a

p

h

r

s

trong á6 a, p , y , S e A I
1.28. a) Có bao nhi£u số có s chữ số ?
b) Có bao nhiẻu số có s chữ số mà các chữ số đỂu khác nhau ?
1.29. Titn số tất cả các tập con của một tập gổm n phần tử, kể cả
tập rỗng.
1.30. Cho các hoán vị P v k Q của 11 2 3 4 1 :
p = { 3 4 1 2 | , ổ = | 2 4 I 31 mà ta kí hiêu như sau :
10


p =

ri 2 3 4 '

^3 4 1 2 ,

Q=

'12 3 4'
.2 4 13 ,

Tim PoQ, QoP, p * và ộ '.
U l . Cho n điếm khác nhau trong mật phẳng sao cho ba điểm bất kì
khổng thẳng hàng. Xét các đoạn thẳng nối từng cặp hai điếm khác nhau.

a) Tính số các đoạn thẳng đó.
b) Tính số các tam giác được tạo nổn.
c) ứng dụng cho các trường hợp riẽng :
n = ĩ , n = 4, n = 5.
1.32. Q iúng minh
a) I - c ; + c ỉ - ... + (-1 )'’C '’ =

/5=0

=0-

<:)
/= 0

Ỉ.33. Tìm số hạng lớn nhất trong khai triến của nhị thức

(37 + 19)^'

B. BÀI G IẢ I VÀ H Ư Ớ N G DẪN
1.1. Tam giác c&n := tam giác có hai góc bằng nhau.
Tam giác có hai cạnh bằng nhau => tam giác cân.
Tam giác có hai cạnh bằng nhau o tam giác cân.
1.2. Bằng cách giải các phương trình và b ít phưctng trình ta
thu được ; a) |1 , 3 | ; b) ( - 00, 1) u (3, + 00) ; c) [1, 3] ;
d) 0 - ;
e) ( - 00. + 00) ; f) 0 .
11


u . Bẳng cách giải các hệ phương trình và b â phương trình ta suy ra :

a) 1 ( 2 . 1)1 ;
b) { (Ằ,y) I X tuỳ ý, y = 3.V - 2 1 đường thẳng y = 3.V - 2.
c) I (x,y) I A’ tuỳ ý, y = 3a } đường thẳng y = 3ji'.
d) I (x,y) I jrtu ỳ ý ,> < 3 A } .
Các điểm (jr. y) nằm dưới đường thẳng ỵ = 3.r.
e) I U , 3’) I J^tuỳ ý , y > 3 x ì .
Các điểm (jr, y) nằm trên đưòng thẳng y = 3x.
1.4. a) Ta nhận thấy
1 ) j r e i 4 = > j c ^ 0 = > A = UI => X e. B nghĩa là jr e

jr 6

vậy A ( z B .
^ 0 = :> jr6 A, nghĩa là jr e B

2 )jr6 fl= > x ^ U I

G A, vẤy B c i A .

D o ă 6 A = B.
Xét X < 0. Khi đó vì jr < 0 nỀn X i A. Nhưng cũng vì A- < 0 nên

b)

x < U I, do đổ jr e B. Vậy A * B .
G iả sử n e N. Chia n cho 12 ta dược n = Ì2p + r, p € H ,

r 6 s := |0. 1.2. 3. 4, 5. 6, 7, 8, 9, 10, 11).
Do đó
= (12P Ỷ + X ì 2 p ỷ r + 3(ì2p)r'^ +

= Ì2k +

, k e s.

Vì I2k là một số nguyẽn chẵn và chia hết cho 3 nên
n € A o r e A:
Nhưng bằng cách thử trực tiếp với mọi r e 5 ta thấy
r e i4 o r e T := {1, 5, 7, 11 ị .
Vậy c 6 n e i 4 o r e r
Mặt khác / 1^ = ạ i p Ỷ + 2(12/J)r +

= 24/r +

Vì 24h chia hết cho 24 n£n
n e B
12

r e B.

A e N.


Nhưng bằng cách thử trực tiếp với m ọ i; e s ta thấy
r e B o
o ;• 6 T.

Vậy có w e
T óm lại

r eT

G ,4 o

r G7 o

/; e

tức là /J G >4 o

rt 6 5 , nên A = B .

Chú ý. Theo cách giải trỀn thì khổng cẩn hạn chế n ^ 100. Nhưng
nếu hạn chế /I £ 100 thì có thế giải bài toán bằng cách liỀt kê các

phẩn tử cùa hai tập A và B. Tuy nhiỀn cách làm này dài.
1.5. x e C = > x e A < j C < z A < j B = ^ x € A u B
=> jr e ^ hay X e B.
N íu j r 6 y 4 t h ì j f G ; 4 n C c i 4 n B : : ^ j r e B .
Vậy có
jr e c => Jr G B, nghĩa là c c B.
1.6. Dừng biếu đồ Ven (hình 1),
ta th íy ngay
( Ã ) =^A-, A n

A =0 ,

à =E.
Ngoài ra
Hình 1

0 = £. £ = 0 .

1.7. a) jr 6 B => X £ /4 vì nếu X i A tức là X € /4, đo đó theo giả
thiết i4 c £ ta có jr £ B, điéu này trái với giả thiết

X

e B .Vậy đúng

l à j r € B =^x e A , nghĩa là B c 4 .
b) Xét X 6 E. Khi á ó x e A hoác A- 6 i4 (vì
thì jr Ể

(vì A

u i4 = £ ). Nếu X e A

B = 0 ) , tức là JT e B . Vậy :

.r e £ => jr 6 A hoặc X e B khi A r\ B = 0 .
c) Đế giải bài toán này ta chứng minh ba mệnh đé sau :
ii) A cz B => A ^ B = B.
(ii) A k j B = B ^ ~ Ã \ j B = E
13


(iii) A u B = E= >A< zB .
Kết quả (i) rõ ràiig nhờ biếu đổ Ven.
Đế chứng minh kết luận của (ii), trước hết ta chú ý rằng v\ A c. E,

B c i E nỀn
A

BcE

Sau đ ó , x é t jr € £ thì jr e B hoặc X e

B ; nếu X e

B thì

X € B = A kj B nên X Ễ i4. Do đó JT 6 A . Vậy £ c A u B và từ đó
suy ra kết quả (ii).
Đế chúng minh kết luận cùa (iii), ta xét jr E Ấ. Ta có jr € £ = A u B.
Nhưng vì jr e i4 nên X € A . V ậy X e B, nghĩa là : jr e i4 => JC e B.
Do đó >4 e fi.
d) Để giải bài toán này ta chúng minh ba mệnh dé sau :
{i)A czB = > A r\B = A
(ii) A r ^ B = A = > A n B = 0
(iii) A r \ B = 0 = > A = B
K ết quả (i) rỗ ràng nhờ sơ đồ Ven.
ĐẨ chứng minh kết luận của (ii), trưổc hết ta xét X e A . T a có
x e A = A r \ B ^ x e B = > x i %B .

Vậy A c \ B =( S.
Đế chúng minh kết luận cùa (iii) ta xét jr Ẽ /4. Khi đố vì A n B = 0

nên x € B . D o á ó x e B. Vậy : X e A => X e B, nghĩa là Mc 5.
c ) j r e A KJ B => X e A hoặc X e B
Nếu jc e A thì X e A => X t A n B.

Nếu x e B ử ì i x € B => X 0 A n B .
V ậy:
jc e A K j B = > x t Á r \ B ^ x e A r \ B
N guạc lại

Jt€ A r \ B = > x € A n i B .
14


Nếu .V e ^ thì jr í fl =:►.r € B => X B A
Nếu

e

B

ứù X

^ A => X

e

A

=>x G

A

B.

B.

Nếu j r e A v à j r e f i t h Ì A e > 4 v à jre B =>x e A u B .
Vậy : x e A n B ^ X e A ^ B .
Tóm lai :
A f) -ve A n B X e i 4 v à j r e

B

.v e A =>x Ịi A
x e B =^x € B.
Vậy jf« È A u fi. D o đ Ó jre A ^ B ,
A n B (Z A kj B .
Ngược lại
x e A ' ^ B => X € A

B => X ^ A v ầ x ^ B.

X € A => X e A .
X e B => X e B .
Vậy
j r e A<J B => X e A \ à x e B
nghĩa là jr E i 4 n f i . D o đ ó
A u B cz A r\ B
Vậy có kết luận cùa f)1.8. 1(1, 2). (2. 2). (3, 2). (1. 3), (2, 3), (2. 4 ), (3. 2). (3. 3).
(3. 4)1.
Các điểm có toạ dộ như tr£n.

1.9. Hình chữ nhật có 4 đỉnh là (1, 2). (1, 3), (2. 2), (2, 3).
1.10. Theo đầu bài, với a e R, b e R ta có quan hệ
a T l h o a ^ —h^ = a - h

(I-l)
15


Quan hệ này có tính phản xạ í/ TZ u vì ta luôn có

Quan hệ này có tính đối xứng vì ỉ ừ a ĩ l h tức là
3 .3 _
.
a - h =a- h
ta suy ra

}? - (? = h - a tức là

72. ứ.

Quan hệ này có tính bấc cẩu vì từ
a v , h iức ìk

= a - h,

h H c tức là

- t '’ = h - c .

ta suy ra

= a - c tức là a Tỉ c.
Vậy quan hệ (1.1) ỉà quan h£ tưong đương.
Bây giờ xét lớp tương đương 'ể (a, 72.). N 6 gồm những

e R

sao cho h H a, tức là
Í.3
3
h - a =h- a
hay
i h - a ) [ h ^ + ah + a^ - ị ] = 0
Vậy lớp tương đương f (a, 71) ưước hết gồm phẩn t ừ h = a, SIU dó
là các phán tử h sao cho
+ ah +
- l = 0.
Đó là một phương trình bậc hai dối với h.
Do dó quan hé cho ỏ đáu bài là quan hệ tương đương và lớp tircmg
dưcmg ' f (a, Tí) xác định b ỏ i ;
N íu |a| < 2/>/3 và |a|
2

l / > ^ thì

(a, 71) = {a và hai n^itệm

2

của phương trình X + ax + a - 1 = 0 ).
Nếu |ứl = 2 /V 3 thì

(a, Ti) = |a và nghiệm kép cùa phurcmg

trình trè n ).
Nếu lal > 2 / S thì V{a, H ) = \ a ] .
Nếu \a\ = Ì / S thì ^ ( a . U ) = ịa, -2a ].
16


1.11. a) Quan hệ này khống đối xứng vì khi a chia hết cho h thì
nói chung b không chia hết cho a, vây quan h£ này không phải là
quan hộ tương đương.
b) Quan hệ này không bắc cẩu vì khi a không nguyổn tố với h,
h không nguyên tố vổri c thì chưa hẳn là a không nguyên tổ vối c. Thí dụ :
a = 5 , h = 15, f = 3.
Vậy quan hẹ này khổng phải là quan hệ tương đương.
1.12. a) Quan hệ này rõ ràng có tính phản xạ, đối xứng và bắc
cẩu, cho nên nó là một quan hệ tương dương. Mỗi lổp tương đương là
một đường thẳng cùng phương với D. Tập các lớp tương đương gổin
tất cả các đưòng thẳng cùng phương với D.
b) Quan h£ này rõ ràng có tính phản xạ, đối xứng và bắc cẩu, cho
n£n nó là một quan hệ tương đưcmg. Mỗi lóp tưong đương là một
dưỉmg tròn tâm o . Tập các ỉớp tương đương là tất cả các dường tròn

Um o .
1.13. Quan hê này khổng phản xạ vì D khổng ± D, khống bắc cầu
vì D ± D \ D' ± D" thì chưa chắc D ± D". Vậy quan hê này khổng
phải là quan hệ tưomg đương.
1.14. Xét các căp (x, y), (jr', yO. ơ ”. y") của R.
Vì

= jr, y = 3»nên (x, y) = (j:, 3^)

nghĩa là quan hệ có tính phản xạ.
Nếu

(jt, y) < ix', y') tức là Jt ^ x',

y'

ự , y') ú (ar, ỳ) tức là x' <,x,y'<.y
thì x = x ' , y = y' tức là
(x, ý) = ự , y')
nghĩa là quan h£ có tính phản đối xứng.
Nếu

(jr, ỳ) <, {x\ y') tức là jr ^ Jf', >1 ^ y'
(x'. y') s ự \ y") tức là X' ^ jr". y' ^ y"

thì

x< ,x",yíy“

túc lằ
(jr. ỳ) ^ ự \ >")
nghĩa là quan hộ có tính bắc cầu.
>-inccn

17

Vây quan hệ đang xét là một quan hẹ thứ tự.
Nhưng nó khổng phải là quan hệ thứ tự toàn phẩn trên
vì
chẳng hạn hai cặp ( 1 , 2 ) và ( 2 , I) khổng so sánh được : không có
( 1 . 2 ) ^ ( 2 , 1 ) cũng không có ( 2 . 1 ) ^ ( 1 , 2 ).
1.15. Xét ba thí sinh có ba cặp điểm (a ị , ^ ị), (^ 2, >2)* (-‘3 »>’3 )Vì Jrj = X ị , y ị = >>| nên (jí'j, >»|) 72. (.V), y j). Vậy quan hệ 71 có tính
phản xạ.
Bây giờ dé chứng minh tính phản đối xứng ta giả sử :
(X j.y iìT Ĩ (X2, >2) và (X2, >2) ^ (-»^1. >1)•

(Xị, >j) 71 (X2. >2) <=> hoặc -Tị < JT2> hoậc Xị = X2,

>2

Ơ2- yì> ^ (-»^1• ^ l) <=> hoặc X2 <Xị, hoặc X2 = JT|, >2 ^
Như vậy, JTJ ắ X2 và JT2 ^ JTj, do đó

Khi đó lại có

Xị = X2 -

^ >2 và >»2 ^ > 1 . do đó 3^1 = >»2-

Vậy từ (jrj, y j) n (X2 , yi ) và (JT2 . > 2)

)’l).

(Xj, >j) = (jf2. yi)- Đó là tính phản đối xứng cùa TZ.
Bây giờ đến tính bắc cẩu.

Giả sử (j:|,

n (a-2, >»2) và (otị, y2 ) ^ (-<f3. >’3)-

(jCj, y j) Tl (X2 , y-ị) có nghĩa là OTị ^ Xj, và nếu Xị = X2 thì
(jt2 , >2 ) ^

^ >»2

nghĩa là X2 ^ x^, và nếu X2 = A'3 thì y 2 ^ yy

Như vỊy, từ (j:|. > |) n (X2 , >2) và (X2 , ỵ i ) n (xị, y ỷ tạ suy ra
Xị á X2, X2 ^ JT3

Xị ^ jr3

và nếu JTJ = X2 thì JT| = X2= a'3 nên ta vừa có

^ y2vừa có 3>2 ^ y3 *

vậy có (a^ị, yị) n (A3 , >3). Do đó
(jrj, ^ ị) n ự 2 , yi) và (otị, yi) TI (JT3 . >3) => (jrj, >>|) ■;^ (X3 , >3 ).
18

:


Đó là tính bắc cẩu cùa Tĩ,.
Vây 7v là một quan hệ thứ tự trong tãp các thí sinh.
Bây giờ muốn biết nó có phải là một quan hộ thứ tự toàn phẩn hay

không ta xét hai thí sinh bất kì với các cặp điểm (Jf|, Kị) và (X2, V'2 )Trưóc hết ta so sánh X) và X2 .
Nếu

(X2 . Y 2 )

< X2 thì (X,, y ,)

Nếu X, > Xj thì (X2, ^ 2) ^ (^ 1 . Yị)
Nếu Xị = X2 thẰ ta so sánh tiếp Yị với Y2
Nếu y 1 á K2 thì (Xj, Y ị ) T l {X2 , Y2 )
Nếu Yị > Y2 thì (X2 , Y2 ) n {Xị, y j)
Vậy hai thí sinh bất kì bao giờ cũng so sánh được. Do đó quan hộ
thứ tự đang xét là một quaii hẹ thứ tự toàn phần.
1.16. 1) Xét phương trình y(jr) = y e B tức là

X + 1 = y, X e A
Với > 6 cho trưóc nó có khổng quá một nghiẻm, vậy / l à đơn ánh.
Với mọi y e B nó luôn có nghiệm, vậy / l à toàn ánh.
Do đ ó / l à song ánh.
Ánh xạ ngược là jr = / ' Cy) = > - 7.
2) Xét phưong trình/(x) = )> 6

tức là

2

X + 2 a r - 3 = 3>, j t g / 4

Đ&y là một phương trình bậc hai dối với X
+ 2x - ( 3 + y) = 0

Có biệt số
A* = 1 + (3 + )^) = 4 + y.

Nếu 4 + > > 0 tức là nếu y > - 4 thì phương trình cổ hai nghiệm
khác nhau. V ậ y /k h ô n g phải dơn ánh.
Nếu 4 + y < 0 tức là nếu y < - 4 thì phưomg trình khổng có nghiệm
thực. V ậ y /k h ô n g phải toàn ánh.
Do đ ó /k h ổ n g phải song ánh, khổng có ánh xạ ngược.
19


3) Xét hàm số>' =/(-v) = jr -1“ Iv - 3. Nó có bảng biến thiôn
X

y'
y

—00

4

-1
0

9

+O0

96

__^ +00

+

+

+00

Khi X táng từ 4 đến 9 thì y tăng liên tục từ 21 đến 96. Vậy phương trình
A^ + 2 x - 3 = y 6 [ 2 1 ,9 6 ] = fi

có một và chì một nghiệm
jr = -1 +

+ > 6 [4, 9] = A.

Do đó ánh xạ vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh, nên ỉà song ánh và
có ánh xạ ngựợc là
f~ \y ) = -l +ylĩT ỹ
4) Xét hàm số y =fix) = 3jr - 2|jc|. Nó có thể biểu diẻn bỏi
3x-2x =x

khi X ^ 0

3x + 2x = 5x

khi X ^ 0

và có bảng biến thi 6n
X

y

0
0

—00
—00 ^

^

y = 5x
Khi X tăng từ -00 đến +<« thì
phương trình

+00
400

y-x
y

tàng liên tục từ -00 đến + 00. Vậy

f{x) = y e ( - 00, + 00) =
có một và chỉ một nghiêm

X

€ ( - 00, + 00) = A.

Do d ó /v ừ a là toàn ánh, vừa là đorn ánh nfin là song ánh và có áitih
xạ ngưọc
r^iy) =

20

'y,

yầ:Q

1
15^-

y < 0


r.
V
^+1
-V
5) Xét hàm số>' = /(.v
)- e
= e.e .

Nó có bảng biến thiẽn
X

-oo

+00

y

--^+00

Khi X tăng từ -00 đến +tx) thì y tăng lién tục từ 0^ đến + 00. Vậy
phương trình
/(x ) = >- e (0 , +oo) = B

có một và chỉ một nghiộm X e ( - 00, + 00) = A.
Do đ ó /v ừ a là toàn ánh, vừa là đơn ánh, nén là song ánh và có ánh
xạ ngược thu được bằng cách giải phương trình
X

e.e = y
tức là

f^(y) = ìn y -ĩ.

6 ) Phương trình/(jr) = y viết

A'{jr+ l) = y G fi = N.
Xem X là một ẩn số thực thì khi A = 1 + Ay ìí 0 phương trình có
nghiệm thực
~ ỉ ± J ị + 4y

X = ; ----------- 2.--------- ^

2
Khi 1 + 4)1 là một bình phương của một số nguyên lè như khi

y = 6 , 1 2 , v.v... thì chỉ có một giá trị JC = ( - 1 + yJ\ + 4 y ) / 2 là số
nguyỀn ầ. 0. Khi 1 + 4y không phải ỉà bình phương của một số
nguy£n lẻ như khi > = 3 ,5 v.v... thì X khỡng phải ià số nguyftn ầ . 0.
Vậy / l à dơn ánh, khổng phải là toàn ánh, nên khổng phải là song
ánh, khổng có ánh xạ ngược.
i . ỉ 7 . Tất cả đểu là song ánh.
1 ) Ánh xạ ngược trùng với nó.
2 ) Ánh xạ ngược là tịnh tiến theo vectơ - a .

21


3) Ánh xạ ngược là quay quanh tâm o một góc " 0 .
4) Ánh xạ ngược là vị tự tâm o với tỉ số ỳ .
1.18. a) Xét hàm số
7 .X

y = /(-0 =

\ + x‘

có đao hàm
2 (1 - x ^ )

1

y =
và có bảng biến thiên
jr
—00

-1
0

y

+00

+1
+

0

0

—

1
^ ^ 0

Dựa vào bảng biến thiỀn ta th íy phương trình
2x
f{x) = y tức là
=y e R
l +x‘
có tói hai nghiệm khác nhau khi - 1 < y < 1 và khổng có nghiỀm
khi y < -1 hay 3»> 1.
Vậy /k h ổ n g phải đơn ánh, khổng phải toàn ánh, đổng thời
b) Ta có JC € R => ỉ / r e R và
ựog)(x) = f[gix)] = f

2x
l
Vậy

2ỈX
\X J

i + o /x y

= /U )
+x‘

fog = /.

ỉ . 1 9 . N ế u jr E R .f th l

ựog)ự) = /ĩjfW ] = y ( '/ỹ ) = |Vx| = yỉx
( W ) (X) = M x ) ] = M ) = y Ị Ũ \ = > P Ỉ

22


nghĩa là khi -V € R+
ơo.v)(') = (XỌ/)(-')
Nhưng khi .V< 0 thì
(.•íqrtơ) = >/ũ

còn ựoỊỉ) khổng xác định.
Vậy
.foỊị^gof.

1.20. Xét Jr e i4 ta có
[ho{Ịiof)]M = h[{ịỉof)ix)] = /»U[/(jr)l]
Vậy

[hog)oJ)]ự) = ihogMx)] = Aừư(^)]]
ho{gof) = {hog)(^.

1.21. ]) a) Ta phải chứng minh
ì) A f(À) c fiB)
2)A A )aA B )^A ^B .

Chứng minh 1) : 3» e fl_A) thì tổn tại X € /4 để J(x) = y \ X e A
X e B (vì A cz B) ■,vậy tổn tại jr Ẽ để f(x) = y ; do Ổ6 y e fíẸ).
^ & y  A ) c /(5 ).
Chửng minh 2) : Xét X e A thiy(jt) = y e f{A ) ; nhung y(A) (zỊ{B)
nénf{x) = }» e j{B), ta suy ra X 6 fi. Vậy A - B .
b) Giả sử >> e f{A n fi) thì 3ar 6 /4 n fi để/(jr) = y.
Khi đ ó :
vì X e A nên fix)
đổng thòi

= y e fiA)

vì X G B nénýix) = y e f[B).
Do đó
Ax) = y e M ) n m -

Vậy
A A nB )df{A )r^Ẫ B ).

c) Xét y 6 f{A u B) khi đó ì r 6 /4 u B ổéýỤc) = y.
Khi đó, nếu X e A thì/(jr) = y e f{A) ;
nếu JT e B thì Jix) = y e ffJB) ;
23


nghĩa là ta luôn có
Vậy
J{ANgược lại, xét y e f[A) u/(J5). Khi đó
níu y e f[Ạ) thì 3ar e >4 ổ if { x ) = y ;
nếu y e f{B) thí 3jr e

đ ể/(x ) = y ;

nghĩa là ta luôn có
3jc 6 i4 u B để/(jt) = y.
Vậy
Ax ) = y e A A u B ) .
Do đó
M ) Kết quả là
A A u B) = M ) ^ A B ) .
2 ) ở câu 1 . b) ta đs chứng minh

Bây giò giả s ử /là đơn ánh.
X é t y e A A ) n J { B ) . Khi đó
y e fiA) tức là 3 jcị e A đ ể /(jri) = y,
đổng thời
y e f{B) tức là 3X2 e B ăé f{ x 2 ) = yV ì / l à đơn ánh nên ta suy ra Xị = X2 Vậy 3x = X ị = X 2 e A n B đ i f ( x ) = y.

Do đó y € J{A n B), nghĩa là
M )rsẪ B )^A A nB ).
K ít quả là : k h i/d ơ n ánh ta có
A A n B) =AA) n m 24


1.22. a) Xét .V 6 / '(>4). Khi đó X e E và/Ị.v) = y e A, nhưng A do dó /(.v) = y e B => .K e f '(B), vậy c ó / *(A) c / '(fl) và câu a)
được chứng minh.
b) Xét A e / '(>4 n 5) tức là -V e E và/(.r) = y e A n B.
Khi đó
f{x) = y e A = > x e f '(/4),
đổng thời
f{x) = y e B ^ x e f ’(B).
Vậy
x e f \A )r^f\B ),
tứ cià

Ngược lại, xét X e f

{A) n f

{B) nghĩa là

đồng thời
A' e

/

* (B )

=>fỤc) = y €

s .

Vậy
f(x) = y e A n B.
Do đó
x e / " ‘ (AnB).
Vậy
í\A )n f\B )c :f\A n B ).
Kết quả là câu b) dược chúmg minh.
1.23. 1 ) Giả thiết / và ^ là toàn ánh :
AE ) = F, g{F) = G.
Ta suy ra
i M E ) = M E ) ] = g i n = G.
Vậy jjo/là toàn ánh.
Bây giò giả th iế t/ và g là đom ánh. Xét J f J và X2 e E. Ta có
A| G E,f{Xị) = >», 6 f , gO»,) = 2 j e G
X2 e £ . A í 2> = y i ^ F , gịyi) = Z2 e G
25


và

(íf«/K-Vi) = j<(/lífttVi)] = xO'i) = Zi ;
= íỉư(^ 2)l = íỉCVl) = ^2 :
Giả sử

Z| = Z2 -

Vì Ị> là đơn ánh nên )»J = yi- Từ đó, vì / là đcfn ánh nên .rj = X 2 Vậy từ (ífoy)(.rỊ) = (^o/)(.\'2) ta suy ra .V ị = X2 - Do đó ^o /là đơn ánh.
Từ hai kết quả trên ta suy ra :
Nếu / v à là song ánh thì ^o/cũng là song ánh.
2) Chứng minh / l à đon ánh.
Giả sử /k h ổ n g phải đơn ánh ; tức là tổn tại A| và JT2 e £ saocỉio
orj ^ X2 , đồng thòiy(xj) = /(jt 2). Ta suy ra
(«o/)(-fl) = g W \ ) ] =
túc là
(j?o /)(X |) = ig ọf)iX 2 ).

Vì (jỊof) theo giả thiết là đcm ánh n£n từ đẳng thức trên ta thu ổinạc
X] = X2 ; điéu này trái với giả định X] ^ X2 ồ tr£n. Vậy / l à dơn ánh
Theo giả thiết / đã là toàn ánh, v ậ y /là song ánh.
Chứng minh g là toàn ánh.
V ì / l à toàn ánh n è n /(£ ) = F.
Vì gof\k toỉưi ánh nỄn igof){E) = G.
Ta suy ra
G = {gof)iE) = gí/(£)l = g{F),
Ịf{F) = G.

nghĩa ỉà
Vậy g là toàn ánh.
Giứng minh g là đơn ánh.

Giả sử g khổng phải dcm ánh, tức là tổn tại >^1 vk y 2 e F sao cltio
V ì / l à toàn ánh nfin
3;r, e £ đ ể ^ A -,)= > j ;
3ht2 e E di jị x 2 ) = ^ 2 26