Giáo trình phương pháp tính

\
DƯƠNG THUỶ VỸ

GIÁO TRÌNH


IR Ư Ò N íi f) Ạ l IK K

lỉẢ C I I K H O A ị l Ả NỘI

Pgs. Ts. DUƠNCi H I U Ỷ V Ỹ

(ilÁO TRÌNII

PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Dùnsĩ c h o sin h viêỉì ín rở n ịỊ D ạ i h ọ c B ácli kh o d //<) n ộ i
vù cá i' ĩrườnsị d ụ i h ọ c khác

( ỉ ' á i h à ỉỉ lầ n íh ứ Ịiỉìấ í, có hô Sỉiỉì^ vù sửa í ỉiữa)

c£5
N H Ả X U Ấ r iỉẢ N K IIO A IK.X V À K Ỹ IIIU Ậ r

IIÀ N Ỏ I -2(K)I


Chịu trách nhiệm xuất bản
Biên tập

Pgs. Rs. Tô Đăng Hải
Nguyễn Thị Ngọc Khuê

Nguyễn Mạnh Hùng

Sủa bản in thử

Mạnh Hùng

Vẽ bìa

ỉn 1 000 cuốn, khổ 14,5

Hương Lan

20,5 cm Toi N h à In Đ ạ i học Q u ổ c g ia H à N õ i
Giấy phép xuát bản sỗ 451 - 6- 7/12/2000
In xong vò nỗp tưu chiểu tháng 3 nõm 2001
X


LỜI NÓI ĐẦU
P hi(ơn\ị p h á p íiỉih là tỉìột m ân học d ã có tử lú ii, ỉìliiO ỉ^ tử k h i m ây
í i ỉ il ì d iệ n từ r a d ờ i, iììôn học này p lìú t trìể ỉì r ấ t nhanh, ììhằm xâ y (haìỉị
ỉiliữ n iị ílỉiụ ìí ĩo ú ỉi d ơ ỉĩ

\ịi(ììì, c ó

h iệ u

ỉự i\ ỉỉiíĩi dến

k ế í íỊitc ỉ h á ỉìị* s ổ

ỉihữỉỉỉ^ h ủ i to á n củ a kh o a học kx ỉlìiK Íí Ịrê n m á y ííĩìlì. V ỉ vợv, ỉìỉ^ày

với việc sử d iiỉiỉ* rộỉì\ị râ i fììây vi tínlì íro ỉi^ ('ác cơ CỊỈHUÌ, x í n^hỉệp, cúc
k i ế n ỉ / i ữ r c ủ a ỉ ỉ ỉ â n ỈỊỌC ” P ! ì ư ơ ì ì \ ị p l ì ủ p ỉ í ĩ ì l i ” c ủ í ì í ^ t r à n ê ỉ i l ì ê ì s ứ c c ầ t r

th iê í d ổ i với s in ỉỉ viêtì Irư ờ ỉì^ D ạ i học B ú r /i kh o a H à nội.

” G iáo tr ìn h Phương pháp tín h ’\'UỊìỵ cấp c liơ si/ìlì viên
ỉliiiậ í

io ú ỉi

c ơ

h á ỉì p h ụ c

ílu iy ế t

và

vào

ỉliu y ê ì m ù

lỷ

h à i tậ p

k ììo ủ iìs ị

V Ỉ Ị 1' l ĩ o

ỈỈÌỈU ' d í c h

-r 4 5

tiế t.

c h ỉ c h ít tr ọ ì ìs ị x â y

trê ỉi,
f/ìíK

V íín í ổ ỉ ì ỵ
ch ú n ^

m ộ t

s ố g iờ

í'ủ

số

/v

t ô i k lìỏ iìs ị đ i s â u

d ỉO ìs ị ĩ l i ỉ i ậ ĩ í o ú n , đ i ể u

k iệ n

h ộ i tiu

Ịĩhạtìì vi ÚỊ7 ciiỉĩii*, l á d ì ước lưỢỉìỊ^ sai sô của ỉìỊịhiệtn ịỊầĩì dúnỵ. Sau ỉtìổi
í ỉ ì i ỉ ậ í Í O Ú I Ì , c h ú n ^ í â i n ê ỉ t ì ì ì ộ ĩ s â ĩ h í í i i Ị n r ơ / ì i ỉ d ổ i d iể n
lìlìà n ì ĩììi/ìlì h o ụ
i íH ' h à i í ặ p c h o

v iệ c ú p ( iitỉìỉi íììitậ Ị ío ủ n

vù

^ợ i

V,

h ìn h

vù

đ ủ

lìư Ớ Ịì^ (U h ì v iệ c

lo ạ i,
g iâ i

à c u ố i m ỏ i chương.

K h i hiên soan \ịỉáo írÌỊìli fỊà \\ c ììú ỉiỉỉ tô i d ã cỏ ^ắ ĩìỉỉ vận cìịiììịĩ k iĩìli
ì ì i ị ì i i ệ n ì i ỉ ị à ĩ ì i ' ( ỉ ậ y ĩ r o i ì \ ị ĩ ì l Ị ữ i ì \ ị n ủ ỉ ì ì c Ịtiơ , d ổ Ị ì ị * Ị Ỉ ỉ ở ỉ í l u ỉ ỉ ĩ ỉ k l ì ả o m ộ t s ố

ĩà i liệti ĩrú ỉỉiỊ V() Ịìỉ>oùi Ịìưỏv. 7 //V vậy klỉâniỉ th ể ĩr á ỉìh khỏi ílỉiếỉi SÓL
C ỉn h íiỉ íô i r ấ ĩ tììOììi^ ỉìh ậ ỉi dược ỉỉììữiìịị ỷ kiếiì cióỉỊỵ ỉ^óp của hạ/ỉ c iọ i.
ỉ h i ỉ fữ \ịổp V x in ỉ^ửi về N lìí) xtuĩí h ả ỉi K h o a híH' vù K x ỉlỉ ii ậ ỉ 70 l rầ it
lỉir m ^ D ạ o H ủ nội.
H ù nội, Ịìi^ủy / 5 Ỉ lì ( h ỉiĩ4 nủĩìì Ì9 V 9
í úc i>i(i


C h ư m Ịĩ í

số XẤP xỉ VÀ

SAI

số

§11. s ố XẤP xỉ, SAI SỐ TUYỆT Đốl VÀ TƯƠNG Đốl
1.1 SÔ xấp xỉ
Nói chiiniỉ, uicl Irị của các đại lUíTng dCinu lri>nu lính íoán không
đ iiítc bici m ộl cach chính xác. Chdnii hạn: íiiá Irị cúa các đại lưcmg
nỉnận úiUỊc bang phép đo, hằnu Ihí nuhiệm ; uiá irị của các srt hCai lỷ
l/'3 , 1/7, 2 0 / 3 , ^iá irị của cắc số vô lỷ c, 7t, ->/2 ,... V ì vậy trong lính
íotán, clìúnu la lùm việc chú yếu với giií
Irị xấp
xì (còn eọi là eiíí Irịuần
dtánii) cùa các đại lưímu.

Đ ịn h n ịỊh ĩa Ỉ J a lĩọi là số XiÍỊì \ ỉ cùa s ố clúnp A , ký hiệu a ^ A,
ncii a khác A k hõnu đánii kô và điạic clìiniĩ ihay c h o A ironu lính Uyán.

Nếii ti < A ihì a uọi ỉà xáp xỉ ihicu ciia A. Nốu a > A thì a uoi là
xâỉỊì xi ihừa của A.
l Ỉ!Ì (lụ l . l Đõì vứi sỏ 7t thì 3» 14 là

xấp xi

íhiẽii cũa 7Ĩ, còn 3,15 là

\ . i í p \ i i h ừ a c ú í í 7T, v ì d ễ ( h ấ y r ủ n e :

3,14 < 7 T < 3,13

1.2 S ai số tuyệt đòi
£ > //í// i ì Ị Ị h ĩ a

L 2

H i ọ t i Aiằ — A

CHUI s o \ a p x i 'i\. T r ị l i i y ộ l t ỉ ó i :

- a (h i> ậ c A a =

a - A )

uoi

là s a i s u


A = Aa = A - a

(1.1)

gọi là sai số luyộl đối của số xấp x ỉ a.
Tliỏng Ihirìtng, không biếl số đúng A , do đỏ không xác định được
sai số tuyCM đối của số xấp x ỉ a. V ì vậy, cùng V("TÌ khái niệm sai số luyệt
đối ngưừi ta đưa thỏm vào khái niỌm sai số lưyệl đối giới hạn.
Đ ịn h nghĩa L 3 Sai sô' luyệl đối giới hạn của số xấp xỉ a là sò'
ỉchông nhỏ hơn sai số tuyệt đổi của số xấp x ỉ a.
Di^ đỏ, nếu gọi

là sai sỏ' tuyệl đối giới hạn cùa số xấp x ỉ a thì:

A = Aa = A - a


( 1.2 )

Từ đó, suy ra:
a - A-. < A < a +

(1.3)

V ậ y a - Ay là xấp x ỉ thiếu của A , còn a + A 3 là xấp x ỉ thừa cùa A
Để đơn giản, thưcmg quy ước viết (1.3) dưới dạng:

A = a ± A,.

(1.4)

1'ỉìi dụ 1 2 Xác định sai srt tuyệt đối uicTÌ hạn của sổ' xấp xi a =
3,14 thay cho SỐ7C.
Giài. V ì: 3,14 < 71< 3,15 nên:
a - 7C

< 0,01

và có Ihc chọn Ạ, = 0,01.
Ncu chú ý rằng: 3 ,Ỉ4 < 71 < 3,142 thì:
a - 7t < (ựx )2

và do đổ nhận được giá !rị tốí him A, = (),(K)2; ...
Qua Ihí dụ Irèn, Ihấy ràng định nghĩa sai số tuyệl đôì ịiir t hạn
khónu iUm !rị: sai sỏ iLiyỌt đổì gitíri hạn của sỏ xấp \ ỉ a là sỏ bâì kỳ
trong tập vô hạn các sô không âm Ạ, ihoả màn (1.2). V ì vậy, irtìng


Ihực hành, người ta ihưìtĩìíỉ chọn A , là số nhô nhđì cổ thê được, Ihoả
mãn (1.2).

1.3 Sai sò' tương đối
Sai srt luyệt đối hoầc sai sỏ' lu y ệ l đối ũ\ới hạn không thc hiện môl
cách đầy đĩi mức clộ chính xác của phép đo hoặc tính toán. Cháng hạn,
đo chiều dài của hai cái trục, nhàn ớược những kếl quả sau:
1, = 112,5 (*/;/ ± (),! cm
ụ = 7,3

C f}ì ±

0,1

i íìỉ

T u y sai số luyệl đối uicírt hạn cLia hai phép đo trên bằne nhau
nhưne rỏ ràng phcp đt> 1| chính xác hctn phcp đo 1.. Đê Ihc hiện ứitợc
đicu đổ, ngưìTi la đưa vào những khái niệm sau:
Đ ịn h ng h ĩa 1.4 Sai số lưiíng đối của số xấp x ỉ a, ký hiệu s, là:

s =

A

A - a

A

A

(1.5)

\'ới gia thiếl A ^ 0. Từ đó: A = A . ỏ.
Đ ịn h ng h ĩa /.5 Sai số Íưítne đỏì giứi hạn của số xấp x i a, ký hiệu
là sử khỏne nhò h(tn sai sỏ iưíTng đối cùa số xấp x ỉ a. Do đỏ:
ô<ỗ,
nghĩa là:

A

( 1.6 )

<ỏ

A
Từ đỏ: A < A . 5, vù có íhc chon:
ủ . = A 5.

(1.7)

V ì Ihô n u thưrtnu k h ô n ií hiót s ố đ ú n i! A VÌI vì a ^ A cho nón troni!

Ihiữc hành, (hay cho ( ỉ .7), nnaìii la Ihif('tniỉ dùnu côntĩ Ihức:


A .=

a ỏ,

(I.H)

Chú ý rủniĩ sai số Uiyệl đối và sai só' tiiyộ! đối Miới hạn cỏ CÙIII’
thứ n g u y ê n vtri số xáp xỉ, còn sai sô Iưtme dổi và sai số urtmu đối eiới
hạn khỏnu có ihứ nuuycMi.
T h a y ( ! . 8 ) vào (1 .4 ) , ia có:
A = a(l ±5.)

(1.9)

Trơ lại k í l quá phép đo chicu dài của hai cái Irục nõii (rên, clẻ Ihấy
rằnu sai sổ linm g đối uiứi hạn của phép iio li nhó hiin sai số tơtrĩiu đối
giớ i hạn của phép đi> I..

§2. CÁCH VIẾT SÒ XẤP XỈ
2.1 Chữ số có nghĩa
M ộ i số v iế l ỏ dạng Ih ập Ịíhãn có thổ ịĩổ m nhicu chữ so. C h á n ii h ạ n
2 0 ,2 5 co 4 chữ số; (ụ )3 í)4 7 co 6 chừ số.

Đ ịn h nghía L ổ Nhữtig chiì su cỏ nuhla ciia mộí sỏ là nhũmu chữ
số cùa số đ ố kc lừ chừ số kliá c không dấu liên lín h lừ irái sanu phai.
77// du I J

Số 2 0 ,2 5 có 4 chữ sô cổ ntihĩii. Sí*) (),0 3 ()4 7 cũnu có 4

chữ sổ cỏ n u h ĩa .

2.2 Chữ sô'đáng tin
B ic í la iìí’ m o ị số ihực a có llió bicii d iễn dưới dạiiu !hậỊ) phân hữii
hạn hoiỊc vô hạn:
a = ± la ,J (V " + ơ ,„.,!()'" ‘ + a „ : 1 0 ’“ ' + ... +

Iro n ii đ ỏ ni là số ĩìiiuyó n. 0 < a , s 9 { i = Iiì - 1, m - 2 , . . . ) , <^< a,,, s 9
C h a n ịỉ hạn:

8


324,59 = 3.10' + 2.10' + 4.10" + 5.10 ' + 9.10 Bây giờ, giá sử số a bicu clicn (lưin ciạng (1.10) là số xấp Xi cùa số

đúnti A với sai số tuyệl đối gicíri hạn là A,.
D Ịn h nghĩa ĩ . 7 Trong (1.10), chĩr số a,„„^| ịiọ i là chữ số đáng tin
nốii:
1

Ạ , < - . 1 0 '" " * '
2

(1.11)

và g ọ i là chữ sô nchi ngừ nếu:
A ,> - .i( r " - " ‘
2

(1.12)

T h í ílụ 1.4 Số xấp xỉ a = 3,7284 V(1fi A., = 0,(X)47 có 3 chữ số đáng
lin l à 3 , 7, 2 và 2 chữ s ố nghi neừ là 8, 4.
Rò ràng nêu

là chữ số đánu lin thì những chữ số ỏ bòn irái

nỏ iC Ũ n u là những chữ số đánii lin , nếu
là chữ số niĩhi ngờ thì
nhũme chữ số ở bèn phải nỏ cũng là những chữ số nghi ngờ.

2.3 Cách viết sô' xấp xỉ
Cho số xấp x i a cua sỏ đúnu A Víti sai số tuyệt đối giới hạn là Ạ..
C ỏ hai cách viốí số xãp xỉ:
C ú d ỉ ih ứ Ịiliấí là viéì sỏ xấp x ỉ a kèm íhco sai s ố tuyẹl đỏl gitíi

hạni: a ± A „ chẳne hạn 17,358 ± (),(K)3. Cách này ihưctng âưiic dùne đổ
bicìu dicn các kốl quá tính !oán hođc phép đo.
c á c h thử hai là viết số xấp xi a Ihco quy ước: m ọi chữ số có nghĩa
dổinii thìti là những chữ sô' đánịi ùn. Điều đỏ cỏ nghĩa là sai số luyệt
đốiỉ giói hạn Ạ, khỏnu \ớn h(Tn mộl nửa ứiitì vị cùa chữ số ở hang cuối
c ù n u bỏn phài. Chảnií hiin íằ = 23,54 Ihì Ạ, < (1 /2 ) .1 ( ) T r o n g các haníi
sô' ihirítni! dìmu nhơ hánu lỏgarit, bàng các hàm sỏ' huỊng giác,
nuartti la vicì các sô'xấp \ i (hcocách thứ hai.

9


§3. Sự QUY TRÒN

số VÀ SAI s ố

QUY TRÒN

Khi licn hành lính iDctn, nốii sõ' a cỏ quá nhicu chữ số, không liện
cho việc tính \oún hoiỊc khỏnu ghi hci được vìu) máy lính, ngưìti !a phái
bí'ì đ i m ỏl vài chữsồ' ở cuối và nhận đư(j»c sỏ' lÌỊ. V iệc làm đó cọi Ịà sự
quy tròn so. Trị luyệl đối cùa hiệu U i - a gọi là sai số quy tròn luyệi
đối, ký hiệu là 0 ^1:

e

a

a

Quy lác quy tròn số ihưìínii dùng nhằm đáni hikì ctn) sai sô quy
Iròn Uiyộl dối khỏnu \ớr\ hitn m ộl nửa đtm vị cúa chừ số ở hàriíi eiữ lại
cuối cùng bôn phãi. Đicư đỏ cỏ nghĩa là: nếu chữ số bi) đi đầu liên > 5
Ihì thêm vào chữ sỏ giữ lại cuối cùnii bôn phiii m ộ l điiĩx vị; nếu chữ sô
biì đ i đầu !icn < 5 Ihì clc niiuyén chữ số uiữ lại cuối cùnii bẽn phải.
'ílìí (lụ 1.5 Quy iròn sỏ' 71 = 3,1415926535... đốn chữ số cỏ nuhĩíi
!hứ 5, íhứ 4 và Ihứ 3, nhận ctưiic các sỏ xấp xỉ ? J 4 1 6 ; 3,142 vù ?,14
vríi sai số quy liòn tuyệt đối không ịởn

h(tn “

.10^, -ỉ- .10^ và — A() -.

Bây uiờ gia sử a là số xâp x i cúa sỏ' dúng A VIJÌ sai số tuyệl đõl
QÌỚi hạn A^. Ta quy tròn số a thành sô íỉị. Khi đó, ía cỏ:
<

A - a
<

+ a, - a

Vây cổ ihê chon sai sỏ tuyêl đỏi gicti han

củu sô đã quy Iròn

a, là:

LX) đổ:

> 4 , và cỏ !hc Xiiy ra írưttnu http m ộí chữ số ở mội

hàng nììo đỏ vốn là đấng tin , sau khi quy í ròn lại trở ncn nuhi ngìt.
77// (lụ / / ) Cho a = 0.35, Ạ, = ().(K)3. Khi đó ĩ và 5 là nhữrìii chữ
suđánu tin, Sau khi quy iròn Ihành :i| = 0 ,4 , 1;i cố:
10


A

‘M

= A , + 0 , = 0 .(H )3 + 0,05 = 0 ,0 5 3 > - . 1 0 '
•*
*M
Ị

Vậy chữ số 4 ironu ÍỈI là chữ sò' nghi ngờ. Tnm ũ Irưìmc htíịì này
hoục nuười la khõnu quy Iròn nữa hoiỊc quy íròn nhime viếl sỏ'đà quy
Iròn iỉi clư(íi dạnu sau:
Uj = 0 , 4 ± 0 , 0 5 3

(nehĩa là số xã'p x i ÍỈỊ đưiK: vicl Ihco cách ihứ nhất).

§4. XÁC ĐỊNH SAI s ố CỦA HÀM s ố BIẾT SAI s ò CỦA
CÁC ĐÒI SỐ
4.1 Còng thức tổng quát của sai sô'
Cho hàm sô' kha vi:
II =

Viì íiìà sử biẽt

Síỉi

Í(X|, X ị,

X,,}

số luyệí đối eiởi hạn

A.

(i = ỉ, n ) của

các

đối số X,

(i =: 1»n ). hílỵ xấc đ ịn h sai số luyệt đôl girti hạn A,, và sai số Itaíĩìg dôì
iiịới hạn ô„ cũa hàm sô u.

xỉ

Gọi

u l à i 2Ì á ỉ r ị đ i ì r ì i ’ c ù a s o x á p x i I I , X , l à g i á ! r ị đ ú n g c ù a s ố X i í p

(i =

ỉ,n

), ỉ a c ó :

u - u

Au

tliil

.

Ẻ í'
(\
ế

I
i

V L ^ ' iịA v.l s
ịĩx

11


t1
I

Pí

A

I

Vậy có Ihc lấy
II

«1

(\ {

A
,

I

*

,

(1.14)

t

Chia hai vế của (1.13) cho u nhận đ ư i^ dánh uiá sau đối vói sai
số iưưne đối cùa hàm số Ii:
ri'
n
-< V
u

1 1 u

n

Aii
ô=

Di) đó:

I

'Ị'hi
hạn của

(

^

,

J n í ( x |, x , , . . , x J

1ỉ

Inu A

(\

1

(lụ /.7 Tính saisỏ' íiiyệỉ đối ũ\ơì hạn

và sai số lif(Tngđối gi(Ti

ihc lích hình cầu V = ( Ị/6 )7 td\ biếíđưìtng kính d =3,70 cni

0,05 n ỉỉ và 71 ^ 3,14.
Ctịíiị. Xem n và d la những đối số của hàm số V , ta có:
ÍV
—
f7 t

I
Ị
= - d ' = - ị ĩ J i ) Ý = s,4422
6

6

= -!-7td-' = -3 ,1 4 .(3 ,7 0 )-' = 21.4933
( \\

2

2

D ìiiiị: cỏnị! Ihức (1-14). nhặn dưi.íc:
rv
(~n

An +

= 1,0882

rV

-----

<\\

Ạ, = S.4422 . (),(K)16 + 21,4933 . 0,05

±


Dí) đó:

V = -ỉ- 7cd' = 26,5084 cnt’ i ỉ ,0cSK2 i ỉn' và;
6

26,5084

4.2 Saỉ sỏ' của tổng đại sô'
Xcl hàm sỏ:
u = ± X| ± X. ± ... ± x„

Ấ p dụng cônu ihức (1.14), nhận đưiỊc:

( 1. 1 6 )
Từ đó:

s.. = ^

=

(1.17)

11
C lìú

V Ví '

ti

sai s ố i ii(ỉ Ịìiệii. XÓI hàm sô;

u = Xị \ờ'\ Xj > 0, X: > 0 ịí\ hai số \à p xi. K hi đó, Ihco (1.16) VÌI (1.17), có:

( I .I S )

và:
\

Vì váy cẩn đãc biệl hni ý hiện Iưtmi* lìiàì chính \:'k’ khi Irừ hai so:
nẽii hiii sô xàp xi \ j và
U i > 0, \> > 0) có uiá ÍIỊ iiĩm bãiiiỉ nhau Ihì
sẽ nh('u ỉfr (1.1 Mì tlc
hiệu có Ihc ràì Um. Ironu khi
s o b i Irừ \ ỉ m Iìli('».

i\ú ỳ

l i u i u Si i i

sô Iianiu đoi tiiiVi h;in cú;i

võ natni 2 đối Iiiiti han t‘u;i sõ Irừ v;i cùa

!3


Ị hí (ỉụ I-S Hày lính hiộu cùa hai số xấp xỉ vicì Ihct) cách ihứ hai;
X| = 47,132 và
= 47,1 I ỉ và xấc định sai só' iưtTriii đối íiitri hạn cũa
X|, cùa X. và cùa hiện.

(7/í/V. Ta có:
U = :X ;-X : =

4 7 J 3 2 - 4 7 J I I =0,021

J]^co ( ỉ . ỉ K), sai số tiiyộí đối liiởi hạn A,, điRíc xác dịnli bi’íi:
A.
Do đổ hiộu II = 0,021 chỉ cổ 2 là chữ số đánii lin, còn 1 là chữ số
nuhi niíờ.
Dùng (1 .S) và (1.19) la có:
5

(),(KK)5
= -4 —

í: (MKKX)I
‘
47,132
C,(MK)5

^
-

^ (MKKK)l

47,1 I I

ô =

^ 0,05

0,021
Như vậv, sai số tintniỉ đối iỉi(Vi hiin của hiện lim lum sai sô iư(Tní:
đôì eitVi hạn của số bị trừ và của sỏ trừ khtuing 5(K)() lán. Vì vậy, khi
lính toíín, người ỉa ihưttiiu cô
Iránh phép trừ hai số ciưtTnu có uiíì
trị iiần hăne nhau hanu cách hiốn đổi hiêu Ihức L'úa hiệu (trurm Irưìnie
hitịi có thô đưtíc ).
r i ú i i ỉ i / 9 T ín h h iộ ii:

u = V ? J)Ĩ - 42
với ha chữ sốđiinu ũn.
r ; / í / V V i

14

y [ ĩ[ ( ) \

=

1 . 4 1 7 7

4 4 ( 19 ...;

/2

=

1 . 4 1 4 2 1 3 5 ( 1 . . .


ỉiõn la có Ihõ xcni:
y ỊĨẬ Ũ % 1 , 4 1 7 7 4 ; ^/2 = 1 , 4 ! 4 2 1 và;

11 = 1 ,4 1 7 7 4 - 1,41421 = ( ) , ( K a ‘í3
CY> ihó ihu đirtV kcì tỊiiâ trẽn mà chi cấn lấy:
V ĩõ ĩ

^ 1 , 4 2 ; yÍ2 ^ 1 , 4 1

nếu vici hiệu u ảướ\ dạng:
-

u=

(yỉ ĩ Ị ỹ i - y Ỉ 2 ) Ụ 2 Ĩ Ũ + y í ỉ ) _

+ V 2)
_
~

0.01

_

.ịĩm + y ỉĩ

2,0 1 - 2

yíĨẬŨ + y ỉ ĩ
0,01

~ 1,4 2 + 1,41

0,01

= (),(X)353

2,83

Từ thí dụ Ircn, nìt ra quy lác thực hành sau: néu bál biuK' phài lính
hiệu cùa hai sỏ' dưtme có eiá trị cán bằníỉ nhau, cần lấy số hị trừ và số
irừ có nhicu cliữ số đánu lin đc dự trữ (nốii điêu dó có thê làm đưcíc).
Chánu hạn, nôii biòì rằĩìe khi trừ hai sổ" tiinrníi Xj vàX:, ni chữ số cổ
neliĩa đầu licn hị mà'l và kốt quá cẩn c ó n chữ sô' đ áne tin thì cẩn lấy Xj

và X. cỏ m + n chữ số đáng íin.

4.3 Sai sô của tich
Xól h à m số:
u = X,. x > ... X.
Ảp clụnu CỎMÍ2 Ihức ( 1.15), nhận đưiK':

( 1.20 )
ĩ ì r đó:

u ô,
ĐiỊc hioi, nòii II =

( 1.2 1 )

(ni nmiyèn clưttng) ihì:

15


ỗ„ = m ỏ,

(1-22)

4.4 Sai số của thương
X,
Xói hàm sỏ u = —

( \ : -t 0).

Á p chinu cỏniĩ ihức (1.15), la cổ:
(1.23)
Từ đó:
A ..=

II ỗ ,

(1 .2 4 )

BÀI TẬP
1. K hi xác định hàng số khí cũa khỏnu khí, nhận đưỊẰ: R = 29,25.
Hãy xác định các ụịới hạn của R biếí sai sổ' tưcmu đổi eicTfi hạn của uiá
tr ịR là l^ ^ .
2. Đc) Irọnu liíỊtng cúa 1 (lỉìi^ nư(1(c a i f c nhận iiược:
p = 9 9 9 ,8 4 7 ^1ͱ(),(K)I
Hãy xác định sai số iưcíng đối gitlỉi hạn của phép đo ưén.
3. Cho:

=0,45.10

•4

a)

a i= 1,3241;

b)

a, = 0,5364;

A .,

c)

a, = 0,1189;

A ,J3 = 0.78. iO '

= 0 ,5 .1 0 ’

Hãy xác định số các chữ sõ đánii tin trong a,, a, và a,.
4. Cho

16

a)

a, = 23,8541; ô,,|

=(),?. 1 0 ’

b)

a, = 5.3442;

5 ,,

= 0 ,1 .1 0 '

c)

a, = 0,4795;

5,^= (),(X K )5


Híìy xác định sô các c h ữ SŨ dãnii lin Ironu Uị,

và ;iv

5. Cho sô c = 2,7 ỉ S2S IS2S459045... Hãy quy ỉròn sú c đen L’hử số
ct'> niíhĩa Ihứ 13, thứ Ị 2 và Ihứ I 1 và xác định sai số quy tròn luyệl đối.
6. Lây a = 2,71 s thay cho sô c. Hày xác dịnh

Scii

số lưtTĩiu đôì ịiiứi

hạn 5,7. Criii lính
\

ihỊì

với bao nhiêu chữ so ihập phàn đế sai sô' khỏnu

C|uá () ,( )(X )2 ? .

s. Cho số xap xi a = 68,32 \ớ i sai số
Hãy xác định sô cliữ số đánu (in của số a.

đôl íiiới hạn lù 0,1%.

9. Đc xác định mrHÍun dàn hổi (nKxtun lánu) E lhct> độ vũriiỉ cùa
ihanh cố mặl cál nuane hình chữnhãl, neưrt ta cỉìiní! cỏTii! ihức:

4 a 'h s
Irone đ ó 1 - chiồu dài cũa Ihanh; ii và b - chicu rông và chicu clài cùa
niai cát nuantỉ của Ihaiih; s - đô vònu; p - lái
Hày lính sai sỏ

uame đối piơi hạn khi xác định mcíctiin đàn hổi E, biốt: p = 20 kiỉ, ôp =
( í, 1 ; a = 3 ỉỉtỉìi, ỗ , = Ị Ví; h = 44 nìNỉ; ỗị, = Ị %; 1 = 50 <7//, ôj = W f ; s 2,5
= \ Oi ,
10. Chtì ỉiàm sô II = ln(x, -í- \ '). Hãy xấc định giá trị của hàm số u
t;ii \ j = 0,97,
= 1,132 , S i ì i so tuvột đối uiứi hạn
và sai số lư(tĩie
ctối tíiiVi hun ỗ.,, biẽì; m ọ i c h ữ s ố c ỏ rìíihĩa của X ị và
V.

•

*

.

là nhữnu chữ sỏ'

I

ciání! lin.
I 1. Hà\ Iin ỉi lìiộu cua hai su xap xì NÌCÍ ihct) cách Ihứ hai: Xj =
5 ,1 2 5 ; \ ; = 5,1 3 5 vù xác định sai số m m n đối uiới hạn c ù a Xị, X; và
cu:i hiệu.
Ị 2. HTiv tính tích u cua hai số xấp xi viò! ihco ciich Ih ứ h a i: Xj =
12,2; \ . = 73.56 VÌI xúc đ iiìlì sô chữ sn đaníi lin cúa lũ h u.
I y. [ ITiv ííiih ihưtnii: u
h a i:

\ị

= 5 ,7 3 5 ;

=

x ,/\ cua

hni

số xâịì \ i s icl ỉhco cách Ihứ

1 ,2 3 vỉỉ x á c đ i n ỉ i sai so

Mkmn

clỏi

iiun

han

Siỉi

no luyộl đói lỉiở i hạiì i\,.

17


14. Hãy xác định sai sổ iưtmg đối giiM hạn ô „ sai sổ íuyệt đối niới
hạn
và số chữ sô dáng tin của cạnh a của hình vuông, biêì diện lích
hình vuông s = 16,45 a i r V(ti A, = 0,01.
Đáp sỏ
1.

A ,, ^ 0 , 0 3 ; 2 9 , 2 2 < R < 2 9 , 2 8

2.

ô p ^ l()"*%

3.

a )5 ;b )? ;c )2

4.

a )3 ;b )2 ;c )3

5.

2,718281828459; < - . 1 0 ' 2
2,71828182846; < - . 1 0 "
2
2,7182818285; < - . 1 0 " ’
2

6.

5, = 0,018%.

7.

íl nhâì vcíi 5 chữ sô' thập phân.

8.

a có 2 chữ số đáníí lin.

9.

ô„ = 0.081 = 8,1%

10. u = 0,81; A,, = 0 , 2 7 . 1 0 = (),??. 10 1 I . u = (),() 1; 5 ,

» (),() 1‘Xr; 5 0 , 0 1%; 5„ = I ( M

12. 11 = 897,432; ô„ í 0,(K)42; A„ ^ 3,8; 11 = 897
sổ' đáng lin )

± 4 (u có hai chữ

13. u = 4,66; ô„ í 0,(X)42; A,, * 0,02
14. I ì = yfs = 4,05fì (7»; ô, 5 (MKKB; Ạ, =t (MK)12; a có ba chữ số
đáng lin.

18


Chương 2

TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM THỤC
CỦA PHUƠNG TRÌNH ĐẠI số
VÀ SIÊU VIỆT
§1. ĐẶT VẤN ĐỂ
T im nghiệm của phưtmg trình:
/(X )

( 2 . 1)

= 0

Irong đó / là m ộl hàm số đại số hoặc sicii việl bâì kỳ là một bài toán
thường câp trong kỹ ihuậl. Như đà biết, nếu ( 2 .ỉ) là phưt:mu Irình đại
số bậc n:
+ a„.,x -H ạ, = 0

(a,,

0)

(2.2)

vcM n = 1 hoặc n - 2, ta có công Ihức tính nuhiẹm cùa chúng một cách
đ(?n giản. NgưìTi ta cũng lìm ra nhĩmg cônc Ihức tính nghiệm của (2.2)
khi n = 3 và n = 4, nhiừìg việc sử dụnc chúng khá phức íạp. Còn đối
vcli những phưiíng trình đại số từ bậc nãm trở lén ihì không có công
ihức lính nghiệm. Hctn nữa, đỏl vứì phuimg irình siêu việt dạng (2.1)
như: cosx + ỉ - 5x = 0 Ihì khỏnu cỏ cóníi ihức lính nuhiệm. Ngoài ra ta
thưìtng gạp Irưítne h(Ịp phiRtnu trình (2.1) chứa các hệ số chỉ biết một
cách gấn dúnu, khi đỏ việc xác định chính xác nuhiệm của (2.1) không
cỏ ý nehĩa. Vì vậy, viộc lìiiì nhữne phưctni* pháp eiải gấn điínịĩ phưtTnịỉ
irình đại số và siêu việt cũne như viộc đầnh uiá mức độ chính xác cùa
nuhièm íỉán điìng íìni đưiK' có inỏl vai Irò quaii Irọiie.

9


Tronu chư(tĩiu này, la xél việc' lính gấn đÚHí’ nt:hiệni Ihực cú;i
phưitne ĩrình (2.1) với ịziii Ihiéi hànì số / ( \ ) Xiíc định và iicn lục lrv>nii
m ội khtninu hữii hiin h(K)c võ hạn. M ỗi số ihực ặ ihoá mãn: f ( ị ) = 0
noi là nehiộm ihựL' cúa phưttne lỉìn h (2.1) hoặc khônu địổm ciìíỉ hàm
số / ( \ ) . Ta cũne íiiâ thici ihẽm ránu phư(Tne irình (2.1) chi có nuhiệin
íhục cô lạp, nghĩa là với m ỗị riiihìệni Ihực cùa phưiTnu Irình (2.1) tổn
liỉi mộl micn lãn cận không chứa nhCmii nuhiộm thực khấc cúa i^hircTniỉ
(rình.
Việc tính liần điìnịi nghiệm ihực cúa phưtmỉi Irìnlì (2.1) dưiíc liốn
hành ihct) hai biak'.
Htrới I. Tim khíìảrm củch ly niihiệm , nghĩa là tìm kht)ảne (a, h)
chứa một và chỉ môt nghiệm Ihực của phưimíĩ írình (2.1).

Hước 2. Xuâì phái íừ khoânii cách ly nuhiệm ớ binx: I, lính giin
đúnu nehiệm Ihực cùa phưtínu (rình (2.1) đạt độ chính \ í 1 c yêu cầu
bàng mô! phưtniiỉ pháp giai eĩìn đúnu.

§2. KHOẢNG CÁCH LY NGHIỆM
Định lý 2.1 cỉư(Ti đây (đã biôì ironi! ịĩiáí) Irinh Tt)án h(,>c cao cấp)
cho la cách lìm khoániỉ cách Iv nuhiệm của phintĩiịĩ Irình (2.1).
Đ Ịn tĩ lý 2.Ễ Nêu hàm số /'(x) liên !ục Irone (a, b), /( a ) ./( h ) < 0,
f ( \ ) tồn tại và íiiừ dấu không đ(Si tíxme (a, b) thì ironu (a, b) chỉ có
n iộ l nghiệm Ihực ị duy nhâì cùa phuum írình ( 2 .1).
Y niỉhĩa hình h(>c của định lý 2.1 nhir sau: mỏí đưÌTtìu conu licn
nói y = /( x ) , chỉ íãng Ikk Ị c c lil giám , nối liền hai đicm A(a, /(a )) vù
B(h, /(b )) nám ớ hai phía khấc nhau cùa írục ( ) \ , cál Irục ()x iại n iộ i
đicm diiv nhiĩt \

^ (hình 2 .1).

Từ định lý 2.1 suv l a lanư (a, hì ỉà khoànu cíích ly riehiệni cua
phimriìg Irìnli (2 .1) ncu /(a ).j'(b ) < íì, T(>^) t<’>n
uiữ Í.ỈÌÌU khónu đui
trong (a, h). Đô úm nhCnie khoãne cách 1\ nuhiệiìì cùa Ị')hươnii Irìrih
( 2 . 1 ) có híii phưtniiỉ phúp: e iái liVh \ Ì 1 hiiìh ht>c.

!()


/. P h ư m g pháp g iả i tích. Xác định clau cùa hàm sỏ / ( x ) tại các
dicni mứl cùa m icn xác định cua hí\m s ố /'(x) và lại các đ icm Irunu
iiian X = a j , X = a , , X = a,j. Nhrrni 2 điòm nàv thirìtnu đưix: lựa chọn
căn cứ vào đặc địêm cùa hàm sô f { \ ) . M ỗ i khoiíne, ơ đổ hai đicu kiện

irên đưtk: thoa mãn là mội khtninii cách ly nuhiệni của phưíTng trình
(2.1). Tliônt! Ihưítnu đõ liỌn, neười ía ihưCĩnii dùnu quá irình chia đỏi,
chia khi)ânii xác định của hàm số /(x ) Ihành hai, bốn, íám, ... phần
bang nhau và xác định cláii cua hàm sỏ / ( x ) lại hai m úl của khoiìnịĩ xác
định và lại các đicm chia.
Chú ý ràni! phiRmi! trình đại số bậc n (2.2) có khỏniì nhicu h(tn n
nehiệm ihực, do đỏ nếu la đã lìiiì đưiK' n + I điõm ở cló: ạ,x'‘ +
‘ +
... -f- ii,, lán hun thay đổi dâu llVt ttiồu đó có nghỉa là phiKine írình (2.2)
cố n ntĩhìệm thực và từ n + I đ iciiì trẽn, la dỗ tlàim xác định đưiK' n
khDâni! cách ly nuhiọm.
T h í (lụ 2.1 T im nhrmu khí>árìí2 cách ly n e h iệ m cùa phưiTnu irìn h :
/( \) s X’ -

(\\

+-2 = 0

CiKỉt. Thành lập bâne dâu ciìa ham sô / { \ ) :


-oc

X

-3

-2

0

dấu của /( x )

-

2

3

-

+

+

Từ biing Irên la lìm đưctc bốn dicm -3, -2, 1 và 3, ở đỏ x ’ - 6x + 2
lần ỉư ợ thay đổi dấu. Kêì hợp VCTTÌ điồu kiện / ’(x) íổn lại và eiữ dấu
không đổi la suy ra (-3, -2); (0, 1) và (2, 3) là ba khoảng ccích ly
nehiệm của phinyng trình đà cho.
Trong tnrìmg h(tp /'( x ) là mộ( hàm sớ liên lục và phưttng Irình
f ’(x) = 0 dỏ lìm nuhiệm, đc lìm nhĩmg khoảnc cấch ly nghiệm của
phưctnu trình (2.1) ía chỉ cán xác định dấu của hàm số / ( x ) lại hai mút
của khoáng xác định và lại các không điểm của đạo hàm / ’(x) hoạc tại
các đicm gần các không điổm của đạo hàm .r(x)1 lìi /(x ) = 2 ^ - 5 x - 3 = 0
Giúi. Ta cỏ: / ’(x) = 2Mn2 - 5. Lk) đỏ / ’(x) = 0 khi:
2 M n 2 -5 = ();

2^^ = 5/ln2

xlu2 = liỉ5 - le lri2
_ I g 5 - l g ỉ n 2 _ 0,6990 + 0,1592 ^ 0,8582
\ =
Ig2
”
0 30 1 0
~ 0,?()Ỉ0 '
Thành lập hang dấu cúa hàm số / ( x ) lại hai mút của khoảng xác
định và lại hai đicm 2 và 3 gần khổng điểm cùa đạo hàm .f(x ):
X

-X

dấu của / ( x )

2

3

4-.Ò

-

-

+

Từ bàníi trôn la suy ra phưcme !rình đà cho cổ hai niỉhiộm Ihực.
tìc tìm được hai khtỉang họp hitn chứa hai nahiệm thực, la XÓI banu
dấu sau:

X

-1

0

1

3

4

5

clấu của f { \ )

-í-

«

-

-

-

+

'>7

Vậy cắc khoảng cách ly nchiệm cùa phưttng Irình đã cho là (-1,
0) v à ( 4 ^ u
2. P h ư m g pháp h iiĩh học Trong trưìtng hợp đổ thị của hàm sỏ' y
= f'{\) dc vc, đc tìm những khoíing cách ly nghiệm cùa phưctng ỉrình
( 2 .1), la vè đổ thị cùa hàm số y = / ( x ) Irên giấy kc ỏ vuông. Hoành độ
CÁC g ia o điểm của đ ồ ihị \ ớ i trục hoành O x c h o la các giá trị ihô của
cấc nghiộm thực của p h in ^ g trình (2.1). Từ đổ thị, ta dc dàng lìm (ÌiTiỊc
các khoảnc cách ly nghiệm cùa phưtíTìg Irình (2.1).
Nếu dồ ihị của hàm số y = / ( x ) khỏ vẽ, ta đưa phưtmg trình ( 2 .1)
vc phircTnc trình lương đương:
g(x) = h(x)
sao chi) đổ thị của hai hàm sổ y = e(x) và y = h(x) dc vẻ. Ta vẽ hai đổ
thị đó trên giấy kỏ ỏ vuông và trên cùng một hộ trục toạ độ. Hoành độ
các giao điếm của hai đổ thị cho ta các ciá !rị Ihỏ của các nghiộm thực
CẰÌa phưimg In n h (2.1). Từ đồ Ihị, ta cũng dè dàng tìnv đirctc các
khiìảng cách ly nghiệm của phương trình (2.1).
T lií (hỷ 2.3 Dùng phương f^á p đổ thị, lìm những khoảng cách ly
nghiệm của phưctng trình:
/(X) ^ x" - 3x - I = 0
G ià ị

c í/í7/ I Vc đồ ihỊ của hàm số y =
- 3x - 1 trỏn giấy ke ổ vuông
(hình 2.2). Ta thấy rằng đổ thị cát trục hoành Ox lại ba đicm , do đỏ
phưctng (rình đã cho có ba nghiệm ihực.
Từ đổ thị, ta Ilni âihỊc ba khoànu cách ly nehiệm: (-2, -1); (-1, (ì)
và ( 1 , 2 ) .
r úrh 2. Đưa phưitnii trình đà cho về clạne tưtmg đinmg sau;
x ' = 3x + 1

Vè ú6 íhị của haị hàm số y = x ' và y = 3x + I Irén giấy kò ô
viiông và tròn cìmíi m ội hộ Irục Ittạ độ (hình 2.3'). Ta Ihĩíy ràniz: hai đố
thị cal nhau liii ba đicm dt) (In phưítnu liình đĩl ch o c ó ba nuhiộni Ihực,
T ừ đồ Ihi, la CŨIÌÍÌ lìm iĩươc ha khotini! cách ly níĩhiôni nhir ớ cách I.
23


§3. PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỎI
3.1 N ội dung phuơng pháp
G iii sứ (a, b) là khoáng cách ly nuhiẹm của phirtTng irình (2.1).
Nội clune cùa phưitng pháp chia đôi như sau; la chia đỏi khoáng (a, b).
a -i- h

N cii /

(2.1). Nếu /

(

lỉ + b

^a + b

là nehiệm đímu cũa phưiTng trình

^
_ I ■I u
^ \
t- 0, ta chọn mọi troniỉ hai khoang (a, -------) và

, b) mà lại hai mút cửa khoãnu hìini số / ( \ ) cổ dấu khác nhau.

làiiì khoânii cấch Iv nuhiỏni m<>i. Ta 1!ỌÌ khtìárvi này là (a,, h|), nó cố
đọ dài báni! nửa khí>áni! ía, b):

24


b, - a, = -~(a - h)

Ta lại chia đỏi khoảng (aj, hj) và tiếp lục làm n h irirc n ...

3.2 Sự hội tụ của phương pháp
Nếu ta thực hiện vô hạn lán phưtmíi phá|> chia đôi đỏì vói
(a, b) ihì hoậc tại m ộ l lán nào đỏ, diêm giữa ciia khoảne là
đúnu của phưttng trình (2.1) (irirCtng hctp này ít xảy ra) hoặc
được m ội dày vổ hạn các klTiKing chổng lên nhau và ihu nhó
b,), (a>, b , ) , ( a , „ b „ ) , ... sao cho:
/( a ,,) /( b j< ( )
và:

khDiine
nehiệm
la nhận
dần (Ui,
(2.3)

b„ - a„ = — (b - a)
2“

(n = 1, 2 ,...)

(2.4)

V ì các m úl Irái aj, a.,
ạ,, ... tạo nôn clãy đơn điệu khỏnu giảm
và bị chận trên IxVi sô' b, còn các mút phái bị, h,,
b,„ ... lạo nên dãy
đítn điệu khổnu làng và bị chạn duới bởi số a, nên khi n —> + x^, từ
đìine íhức (2.4), la nhận đư(X::
lim a„ = lim
u ►
II ->■*

ị

Cho n —> + oc trong bâì đáng Ihức (2.3), do sự liên lục của hàm sỏ
/ ( x ) , ta có:

f( ị) =

và ậ là nuhiệm của phưitng trình ( 2 .1).

3.3 Đánh giá sai số của nghiệm gắn đúng
Trong íhực hành, la klióng thc thực hiện phưctng phấp chia dổi vỏ
hạn lấn đc nhiỊn điRK nghiộni đúng của phưtmg trình (2.1) mà chỉ cố
Ihc áp dụng n lần phưctnii pháp chia đỏi, vúì n là lĩỉô i sô' riEuyên,
tlưíTng, hữii hạn. Dímg lại ờ lần Ihứ n, ta có:

25