SKKN: Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS

Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống
hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc
tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ
cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh
vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ
chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác
muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học
sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích
cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên thành
phố... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10
THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán
bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời
lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không
giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách
đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em
học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai.
Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Bản thân tôi đã mạnh
dạn làm đề tài “ ứng dụng hệ thức Vi-et trong thực hành giải toán cấp THCS” từ
năm học 2014-2015 và đã được hội đồng khoa học ngành Giáo dục & đào tạo
của thành phố công nhận đạt giải C. Trong năm học 2016-2017 tôi tiếp tục vận
dụng đề tài của mình trong quá trình công tác giảng dạy tại đơn vị. Tuy nhiên
đối với mỗi năm học và với mỗi đói tượng học sinh thì tôi cũng điều chỉnh cho
phù hợp với đối tượng học sinh để đạt được hiệu quả cao nhất. Đó là lý do tôi
tiếp tục chọn đề tài này: “Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán

cấp THCS”.
Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng
dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các
bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài
toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất
quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận
dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
1/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phương
pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìm
kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hệ
thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
Điều tra học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao, mở rộng
kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể tiếp thu, nâng
cao kiến thức.
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu học sinh đang học lớp 9 ở trường của trường tôi đang công tác.
Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu
các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét.
Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp

nghiên cứu sau:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành 9
nhóm ứng dụng sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Phân tích tam thức
ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2)
.
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc
hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm của phương trình
bậc hai.
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào
tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai
nghiệm
Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.
Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với bài toán cực trị.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
Phương pháp phỏng vấn, điều tra:
Tôi hỏi điều tra học sinh trong lớp sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi
sau:
2/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Câu 1: Em có muốn củng cố và nâng cao kiến thức không ?
Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không?
Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?

Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình
sau:
a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0
b/ x2 + 7x + 12 = 0
Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x 1 ,
x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức P  x13 x2  x1 x23 theo m.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sau khi sắp xếp thành 9 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên
lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên.

3/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp
học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ
học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học
nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế
theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành
bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt
động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:
1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để
nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm
hai số biết tổng và tích của chúng.
1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều
tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận
dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng
dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
Thực trạng :
Thuận lợi:
Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 nhiều năm, bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển
vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Ứng dụng hệ
thức Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS”.
Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
Đa số học sinh đều mong muốn được củng cố và nâng cao kiến thức.
Khó khăn:
Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9
chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác hết các
ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
Hầu hết số học sinh của trường đều có đầu vào cấp THCS thấp so với mặt bằng
chung của cả quận, bố mẹ là dân lao động thuần túy phổ thông. Do đó các em ít
được chú trọng nâng cao kiến thức.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúp
các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
Thực trạng của giáo viên và học sinh của trường:
Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở trường còn
có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:
Những mặt đã đạt được:
Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học sinh nắm
được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).
4/26

Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm nhưng ít có học sinh
tham gia thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán.Nhà trường có tổ chức dạy phụ
đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ.
Những mặt chưa đạt:
Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6 ; 7 ;
mà mới chỉ dừng ở bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh khối 8; 9
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiến
thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh
ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:
Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắm
được định lý Vi-ét:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
có 2 nghiệm : x1 

b  
b  
; x2 
2a
2a

Suy ra :
x1  x2 
x1 x2

b   b   2b b




2a
2a
2a
a

 b     b     b

4a

2





2
2
  b  b  4ac
4ac c

 2 
2
2
4a
4a
4a
a
2

Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.

Vậy:

S  x1  x2 

P  x1.x2 

b
a

c
a

Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải.
Trong đề tài này tôi trình bày 9 nhóm ứng dụng sau:
Cụ thể như sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Phân tích tam thức
ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2)
.
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc
hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các
biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm của phương trình
bậc hai.
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào
tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai
nghiệm
Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.
Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với bài toán cực trị.

5/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Phân tích
tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2)
Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

c
a

b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

c
a

Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy:
Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = -1 và nghiệm kia
là x2 =

3
2

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = 1 và nghiệm kia
là x2 =

11
3

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0
c/ x2 - 49x - 50 = 0
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0
Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và
chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x 2 –qx +50 = 0, biết phương trình có
hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
4 – 4p + 5 = 0 � p 

1
4

6/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
5

5

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = x  2
1
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:
25+ 25 + q = 0 � q  50
50

50

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = x  5  10
1
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x 1 - x2 =11 và theo hệ
thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
�x1  x2  11 �x1  9
��
�
�x1  x2  7
�x2  2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ
thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:
x 5

�x1  2 x2
�
� 2 x2 2  50 � x2 2  52 � �2
�
x2  5
�x1.x2  50
�
Với x2  5 thì x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15
Với x2  5 thì x1  10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình
bậc hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ:
Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:
�S  x1  x2  5
�P  x1.x2  6

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �

Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – Sx + P = 0 � x2 – 5x + 6 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 - 2
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai
nghiệm của một phương trìnhcho trước

Ví dụ:
Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x2 

1
1
y2  x1 
và
x1
x2

Giải:
7/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
hệ
thức
Vi-ét,
ta

Theo

S  y1  y2  x2 

có:

�1 1 �
1

1
x x
2 9
 x1    x1  x2   �  �  x1  x2   1 2  3  
x1
x2
x1 x2
3 2
�x1 x2 �

� 1 �� 1 �
1
1 9
P  y1. y2  �x2  �
. �x1  � x1.x2  1  1 
 2  11 
x1 x2
2 2
� x1 �� x2 �

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y 2  Sy  P  0 hay y 2 

9
9
y   0 � 2 y2  9 y  9  0
2
2

Bài tập áp dụng:

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
1
1
y2  x2 
và
x2
x1
5
1
(Đáp số: y 2  y   0 � 6 y 2  5 y  3  0 )
6
2
y1  x1 

2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x14 và y2  x2 4
(Đáp số: y 2  727 y  1  0 )
3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 < x2 .
Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : x1  x2  1 và x2  1  x1 
(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai, năm học: 2002009)
4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Hãy lập
phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/ y1  x1  3 và y2  x2  3
b/ y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1
(Đáp số: a/ y 2  4 y  3  m 2  0 ; b/ y 2  2 y  (4m 2  3)  0 )
3/Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2
8/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
b/ S = -3 và P = 6
c/ S = 9 và P = 20
d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b/ a - b = 5
và a.b = 36
2
2
c/ a + b =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ a  b  9 �  a  b   81 � a  2ab  b  81 � ab 

2

2

2



81  a 2  b 2
2

  20

x 4
�
x2  5
�

1
2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x  9 x  20  0 � �

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
x  4
�
x2  9
�

1
2
Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: x  5 x  36  0 � �

Do đó:

Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4
2
2
2
2
Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169
a  b  13
�
2
�  a  b   132 � �
a  b  13
�

- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x  4
�
x 2  13 x  36  0 � �1
x2  9
�

Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

x 4
�
x 2  13x  36  0 � �1
x2  9
�

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
a  b  11
�
a  b  11
�

2
2
2
2
2
Từ a  b  61 �  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  11 � �
2

- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
x  5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6
�

Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
9/26

Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x 5
�
x 2  11x  30  0 � �1
x2  6
�

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của
các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm của
phương trình bậc hai.
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi
biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai
nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức.
1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1:
2
a/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2
3
3
2
2
 x1  x2   3x1x2 �
b/ x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
�
2

 2x 2 x 2
 x1  x2   2 x1x2 �
c/ x14  x2 4   x12    x2 2    x12  x2 2   2 x12 x2 2  �
�
� 1 2
2

1

1

2

2

2

x1  x2

d/ x  x  x x
1
2
1 2
Ví dụ 2: x1  x2  ?
2
2
Ta biến đổi  x1  x2   x12  2 x1 x2  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2   x1  x2   4 x1 x2
� x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2
2

Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/ x12  x2 2  ?
2
2
( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ... )
b/ x13  x23  ?

3
3
2
2
 ...
 x1  x2   x1 x2 �
(HD x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �
�
� )
2

c/ x14  x2 4  ?
4
4
2
2
2
2
( HD x1  x2   x1  x2   x1  x2   ... )
d/ x16  x26  ?
( HD x16  x26   x12    x2 2    x12  x2 2   x14  x12 x2 2  x2 4   ... )

3

3

e/ x16  x26  ?
f/ x17  x27  ?
g/ x15  x25  ?
1

1

h/ x  1  x  1  ?
1
2
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
10/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
a/ x12  x2 2
1

1

b/ x  x
1
2
Giải:

�S  x1  x2  8
�P  x1.x2  15

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �

a/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  82  2.15  34
2

x1  x2

1

1

8

x1

x2

34

1

1

9

1

1

14

b/ x  x  x x  18
1
2
1 2
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
2
a/  x12  x22  (Đáp án: 46)
b/ x  x
(Đáp án:
)
15
2
1
2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ x12  x2 2 (Đáp án: 65)
b/ x  x
(Đáp án: )
8
1
2
2
3/ Cho phương trình: x - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ x12  x2 2 (Đáp án: 138)
b/ x  x
(Đáp án:

)
29
1
2
4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ x12  x2 2 (Đáp án: 1)
x1

x2

b/ x  1  x  1
2
1
1

1

c/ x  x
1
2
1  x1

(Đáp án:

5
)
6

(Đáp án: 3)
1  x2

d/ x  x
(Đáp án: 1)
1
2
5/ Cho phương trình: x2 - 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 . Không giải phương
trình, hãy tính:
Q

6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
5 x1 x23  5 x13 x2





2

2
6. 4 3  2.8
6  x1  x2   2 x1 x2
6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
17
Q




3
3

(HD:
2
2
5 x1 x2  5 x1 x2
�4 3  2.8� 80 )
5 x1 x2 �
�x1  x2   2 x1 x2 �
5.8
�
�
�
�
�





6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1, x2 (x1>
x2 ). Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m.
11/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
3/ Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có
2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2

S = x1 + P = x1 x2
x2
� m
P<0
� �
P>0
+ + S>0
P>0
- S<0
P>0



trái dấu
cùng dấu
cùng dương
cùng âm






Điều kiện chung
�0
�0
�0
�0






�0 ; P< 0
�0 ; P > 0
�0 ; P > 0 ; S > 0
�0 ; P > 0 ; S < 0

Ví dụ :
Xác định tham số m sao cho phương trình: x 2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có 2
nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:





�
   3m  1  4.2. m2  m  6 �0
2
�
   m  7  �0m

�
0
�
�

�
��
��
� 2  m  3
�
m2  m  6
�P  0
�P 
�P   m  3  m  2   0
0
2
�
Vậy với 2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
2

Bài tập áp dụng:
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0 có
2 nghiệm cùng dấu.
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx 2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2
nghiệm âm.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x 2 +2x + m = 0 có ít nhất
một nghiệm không âm.
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc
vào tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 độc lập với tham
số.
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường
là a ≠ 0 và ≥ 0).
Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức

liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ thức
liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ
thuộc vào m.
12/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�
��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�

�
�
�
5
�
2m
2
�
�
S  x1  x2 
S  x1  x2  2 
(1)
�
�
�
�
m 1
m 1
��
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  4
�P  x .x  1  3 (2)
1 2
1 2
m 1
m 1
�
�
2
2

Rút m từ (1), ta có: m  1  x1  x2  2 � m  1  x  x  2 (3)
1
2
3
3
Rút m từ (2), ta có: m  1  1  x1 x2 � m  1  1  x x (4)
1 2

Từ (3) và (4), ta có:
2
3

� 2  1  x1 x2   3  x1  x2  2  � 3  x1  x2   2 x1 x2  8  0
x1  x2  2 1  x1 x2

Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x 2 – 2mx + m - 4 = 0. chứng
minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1
�
m �1
�
m  1 �0
m �1
�
�
�
�

��2
��
�� 4
�
 ' �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�
�
�
�
�
5
�
2m
�
S  x1  x2 
�
�
m 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  4
1 2
�
m 1

Thay vào biểu thức A, ta có:

2m
m4

6m  2m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1
m 1
4
Vậy A = 0 với mọi m �1 và m � .
5

A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = 3.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc
lập đối với m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
13/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2  x1  x2   x1 x2  5  0 độc lập đối với
m.

2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy
tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
không phụ thuộc giá trị của m.
Hướng dẫn:
- Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm
phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2 x1 x2   x1  x2   17  0 không phụ
thuộc giá trị của m.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai
nghiệm
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường
là a ≠ 0 và ≥ 0).
Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn
là tham số).
Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m - 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m để
2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �0
m �0
�
�
m  1 �0
�
�
�
��
��

2
�
 '  9 m 2  2m  1  9m 2  27 �0
 ' �0
'  �
3  m  21 �
�
�
�
� 9  m  3 m �0
�
m �0
m �0
�
�
��
��
 '  9  m  1 �0
m �1
�
�





6(m  1)
�
S  x1  x2 
�

�
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  9(m  3)
1 2
�
m
Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết)
6(m  1) 9(m  3)

� 6( m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  7 ( thỏa mãn)
Nên
m
m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
x1  x2  x1 x2

Ví dụ 2 :
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2
nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
14/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
7
4
�S  x1  x2  2m  1

Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
2
�P  x1.x2  m  2
'  2m 1
 '  �۳

2



4 m2 2



0

m

Vì 3x1 x2  5  x1  x2   7  0 (giả thiết)

m  2(TM )
�
�
Nên 3 m  2  5  2m  1  7  0 � � 4
m  ( KTM )
� 3



2



Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ thức:
3 x1 x2  5  x1  x2   7  0

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1
3/ Cho phương trình: 3x2 - (3m - 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3x1  5 x2  6
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và
VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 và tích
nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy,
do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu
thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự
cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
Bài 1:
16
15

ĐKXĐ: m �0; m �

�
  m  4 m

S  x1  x2 
�
�
m
 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  m  7
1 2
�
m

Theo đề bài ta có:

x1  2 x2  0 � x1  2 x2 � x1  x2  3 x2 � 2  x1  x2   6 x2 � 2  x1  x2   3 x1
�x1  x2  3 x2
2
� 2  x1  x2   9 x1 x2  2 
2  x1  x2   3 x1
�

Suy ra: �

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:
m2 + 127m - 128 = 0 � m1 = 1 ; m2 = -128 .
Bài 2:
ĐKXĐ: 11  96 �m �11  96
15/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS

�S  x1  x2  1  m
 1
�P  x1.x2  5m  6

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: �

�x1  1  3  x1  x2 

�
Theo đề bài ta có: 4 x1  3x2  1 � �

�x2  4  x1  x2   1
� x1 x2  �
1  3  x1  x2  �
.�
4  x1  x2   1�
�
�
�
�
� x1 x2  7  x1  x2   12  x1  x2   1 2 
2

m0
�
(TMĐK).
m 1
�

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0 � � �

Bài 3:
2
2
Vì    3m  2   4.3  3m  1  9 m2  24m  16   3m  4  �0 với mọi số thực m nên
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m  2
�
S

x

x

1
2
�
3
�
 1
Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: �

3
m

1


�P  x .x 
1 2

�
3
�
8 x1  5  x1  x2   6
�
Theo đề bài ta có: 3x1  5 x2  6 � �
8 x2  3  x1  x2   6
�
� 64 x1 x2  �
5  x1  x2   6 �
.�
3  x1  x2   6 �
�
�
�
�
� 64 x1 x2  15  x1  x2   12  x1  x2   36
2

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:

m  45m  96   0

m0
�
�
�
32 (TMĐK).
�
m

15
�

Ứng dụng 6: định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
1. Ví dụ :Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là
nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0
Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Cách giải:
Ta có : a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
b, c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0.
 a b - p
 b  c - q
Theo định lý Vi-ét ta có: 
và 
 a.b1
 b.c2
Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3
(1)
2
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1);
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
16/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn

 4 
  3 ;0 khi

biểu diễn trên trục số:

Cách giải:
Bình phương hai vế của (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1  bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a 2 +
2a + 1
Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình :
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) có nghiệm ta phải có:  = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)  0  a(3a + 4)  0
-

4
a0
3
4
4
 b  0; -  c  0
3
3

Chứng minh tương tự ta được: -

2. Bài tập:
1. Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là
hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2

2. Chứng minh rằng khi viết số x = ()200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền
trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.
1. Ví dụ:
5 x
5 x 
x
 x
 =6
x 1 
 x 1  

Ví dụ 1: Giải phương trình:

Hướng dẫn: ĐKXĐ: {xR  x  - 1}
Đặt:

5 x

 u  x. x  1

5 x
  x 
x 1


 u  ?

 u. ?

Tính: u, v, rồi từ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x  R  x  - 1}
5 x

 u  x. x  1
Đặt: 
5  x (*)
  x 
x 1



5 x
 5 x 
 u   x. x  1    x  x  1 
 u  5

 




 u.  x. 5  x . x  5  x 
 u. 6

x 1 
 x 1  

u, v là nghiệm của phương trình:

x2 - 5x + 6 = 0
 = 25 – 24 = 1
x1 =

5 1
5 1
= 3, x2 =
=2
2
2

u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
 u 3
thì (*) trở thành:
 2

Nếu: 

x2 - 2x + 3 = 0
' = 1 – 3 = - 2 < 0 � Phương trình vô nghiệm
17/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
 u 2
thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0 Suy ra: x1 = 1; x2 = 2


3



Nếu: 

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình:
 x  y 11
 x  y  yx 7
a) 
b)  2 2
 xy 31
 xy  x y 12
Bài giải :
a) x, y là nghiệm của phương trình:
X2 – 11X +31 = 0
=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0 � Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
 S  P 7
Ta có hệ: 
 S.P12
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình : u2 - 4u + 3 = 0
 u = 1 và u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: v2 – 3v + 4 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì  = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
2. Bài tập:

1. Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
2. Giải các hệ phương trình sau:
 x  y 3
 x  y 9
a)  2 2
b)  4 4
 x  y 4
 x  y 17
Ứng dụng 8 : Định lí Vi –ét với bài toán cực trị:
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm
của phương trình. Tìm m để: A = x12  x2 2  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
�S  x1  x2    2m  1
�P  x1.x2   m

Theo hệ thức VI- ÉT,Ta có: �

Theo đề bài ta có:
2
2
2
A = x12  x2 2  6 x1 x2   x1  x2   8 x1 x2   2m  1  8m  4m2 12m  1   2m  3   8 �8
Suy ra: min A  8 � 2m  3  0 � m 

3
2

Ví dụ 2 : Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm của
phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
B

2 x1 x2
x  x2  2  x1 x2  1
2
1

2

18/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Giải:
�S  x1  x2  m
�P  x1.x2  m  1

Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: �

2x x

2x x

1 2
1 2

Theo đề bài ta có: B  x 2  x 2  2  x x  1 
2
x

x


2


1
2
1 2
1
2
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:

B



  1   m  1

m 2  2  m 2  2m  1
m2  2

Vì  m 1�
 0
2

 m  1

2  m  1  3
m 2
2



2m  1
m2  2

2

m2  2

2

0

m2  2
Vậy maxB = 1 � m = 1

B 1

Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
1 2
1
1 2
1
2
m  2m  2  m 2  2
m  4m  4  m 2  2
m  2

1
2

2
2
2
B



2
2
2
m 2
m 2
2 m 2 2



Vì  m 2  � 0
2

 m  2





2

2 m2  2



0

B









1
1
min B   � m  2
.
Vậy
2
2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm
điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m.
2m  1
� Bm 2  2m  2 B  1  0 (với ẩn là m và B là tham số)
2
m 2
2
Ta có:   1  B  2 B  1  1  2 B  B
B

(*)

Để phương trình trên (*) luôn có nghiệm với mọi m thì ≥ 0
2
2
Hay 1  2 B  B �0 � 2 B  B  1 �0 �  2B  1  B  1 �0
�
1
�
�B �
�
�
2 B  1 �0
�
2
�
�
�
�
�
�
1
�B  1 �0
�B �1
��
��
�  �B �1
�
2

2 B  1 �0
1
�
�
�
�
�B �
�
�
2
�
�
�B  1 �0
�
�
�
�B �1
�
1
Vậy: max B  1 � m  1 ; min B   � m  2
2

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .
2
Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x 1 và x2
thỏa mãn điều kiện x12  x22 �10 có giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x 1
và x2 thỏa mãn điều kiện :

a/ A  x1  x2  3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
19/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
b/ B  x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
4/ Cho phương trình: x2 - (m – 1)x - m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m để
biểu thức C  x12  x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
5/ Cho phương trình: x2 +(m + 1)x + m =0 . Xác định m để biểu thức
D  x12  x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
1. Một số kiến thức cần nhớ:
a. Tìm giao điểm các đồ thị:
Xét hàm số y = f(x) có đồ thị ( C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị ( C2)
 y  f ( x)
 y  g ( x)

- Số giao điểm của ( C1) và ( C2) là nghiệm của hệ 

- Tọa độ giao điểm của ( C1) và ( C2) là nghiệm của hệ trên.
b. Cho 2 điểm A( x1; y1) và B(x2; y2)
- Độ dài đoạn thẳng AB= ( x1  x 2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2
- Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ xI =

1
1
( x1 + x2) và yI = ( y1 + y2)
2
2

c. Quỹ tích đại số: Điểm A có tọa độ xA = f(m), yA = g( m) với m là tham số.
Quỹ tích A là đồ thị của hàm số lien hệ giữa y và x A không phụ thuộc vào m, với
giới hạn tập xác định của các hàm số trên.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho parabol y= x 2 ( P) và đường thẳng (d) : y = mx + 2. Tìm m để (d)
cắt (P) tại A, B phân biệt mà đoạn AB ngắn nhất.
Giải: y= x2 ( P) và (d) : y = mx + 2
Xét phương trình: x2 – mx – 2 = 0( 1) luôn có hai nghiệm trái dấuvì a, c trái dấu.
Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (1).
Ta có A( x1; mx1 +2) và B( x2; mx2 +2)
AB2 = ( x1 – x2)2 + ( mx1 – mx2)2 = ( m2 +8)( m2 +1)
-> AB ngắn nhất = 2 2 khi m = 0
Ví dụ 2:Cho parabol ( P): y = x2 và đường thẳng ( d) : y = 2mx – m +1( với m ≠
0). Tìm m sao cho (d) cắt ( P) tại hai điểm A; B phân biệt có hoành độ x 1; x2 mà
x1  x 2 = 2.
Giải: Xét x2 = 2mx – m +1 x2 - 2mx + m - 1 = 0
'= m2 – m + 1> 0 với mọi giá trị của m.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Xét x1  x2 = 2=> (x1+ x2)2 - 4 x1x2 = 4 => m2 – m = 0 => m = 0 ; m= 1
Ví dụ 3: Cho y= x2 (P) và ( d) là đường thẳng đi qua A( 1; 2) có hệ số góc k.
a. Chứng minh với mọi k thì ( d) luôn cắt (P) ở hai điểm phân biệt.
b. Với k = 2, chứng minh ( d) cắt (P) ở hai điểm nhận A là trung điểm.
Giải:
a. Phương trình đường thẳng( d): y = k( x -1) +2 = kx – k+2
Xét x2 - kx + k – 2 = 0 có  = k2 - 4k + 8 = ( k -2) 2 +4 > o vơi mọi k
=> luôn có hai giao điểm phân biệt B và C.
20/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS

b. Khi k = 2 có

1
k
( x1 + x2) = = 1 là hoành độ của A. Mà A; B; C thẳng hang,
2
2

nên A là trung điểm của BC.
3. Bài tập thêm:
Bài 1: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + 1( với m là tham
số)
a. Vẽ đồ thị của ( P) và ( d) khi m = 1
b. Chứng minh ( d ) luôn đi qua một điểm cố định và luôn cát ( P) tại A; B phân
biệt.
c. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 2( Với O là gốc tọa độ)
Bài 2: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m( với m là tham
số)
a. Tìm m để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau? Tìm hoành độ tiếp điểm.
b. Tìm m để 2 đồ thị cát nhau tại hai điểm mà một giao điểm có hoành độ là -1.
Xác định hoành độ giao điểm còn lại.
c. Giả sử giao điểm của hai đồ thị là A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Bài 3: Cho parabol( P): y = x 2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 3( với m là tham
số)
a. Chứng minh rằng: hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt mà hoành độ
là x1; x2.
b. Chứng minh: T = x12 +4mx2 – 3m2 – 2 > 0 với mọi m
Bài tập tổng hợp :
1. Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2 - 2mx + 2m - 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Đặt A = 2( x12  x 22 ) - 9x1x2.
Chứng minh A = 8m2 - 18m + 9.
Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Giải:
a)  ' = (-m)2 - (2m - 1) = m2 - 2m + 1 = (m - 1)2 �0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Áp dụng định lý Viét: x1 + x2 = 2m, x1x2 = 2m - 1
A = 2( x12  x 22 ) - 9x1x2 = 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 9x1x2
= 2[(2m)2 - 2(2m - 1)] - 9(2m - 1)
= 8m2 - 13(2m - 1) = 8m2 - 26m + 13
A = 27 <=> 8m2 - 26m + 13 = 27 <=> 8m2 - 26m - 14 = 0
<=> 4m2 - 13m - 7 = 0
c) Giả sử x1 = 2x2 => 3x2 = 2m
2x22 = 2m - 1

�
13  281
m1 
�
�
8
<=> �
13  281
�
m2 
�
8
�

(1)
(2)
21/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
x2  1
�
�
Lấy (2) trừ đi (1) ta được: 2x2 - 3x2 = -1 <=> 2x - 3x2 + 1 = 0 � � 1
x2 
�
2
3
Với x2 = 1 => x1 = 2 => m =
2
1
3
Với x2 = => x1 = 1 => m =
2
4
2

2
2

2. Cho phương trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1) x - m = 0 có ẩn là x.
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
�

�m  1 �0
Giải: a) Phương trình này có nghiệm kép nếu: �
2
� '   m  1  m  m  1  0
�m �1
�m �1
�
��
�
1
m
 m  1  2m  1  0 �
�
�
� 2
2  m  1
b
1
 1
Vậy m  thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =   
2a
2  m  1
2

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm thì :
m  1 �0
�
�
��
m 1

 '   m  1  2m  1  0
�
�
�
�� 1
m
� ��
m
�x1 x 2  
0
m 1
�
�� 2
�
�
0  m 1
2  m  1
�
�x1  x 2  
0
�
m 1

�0m

1
2

3. Cho phương trình x2 - 4x - (m2 + 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Xác định m để x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn.
y1
y
 2 3
1  y 2 1  y1

y1 + y2 = x1 + x2;
Giải:
2

� 3� 7
a) Xét  ' = 4 + m + 3m = �m  �  0
� 2� 4
2

Phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 với mọi m
b) Ta có: x12 + x22 = 4(x1 + x2) <=> (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(x1 + x2)
Theo định lý Viét: x1 + x2 = 4; x1x2 = -(m2 + 3m)
m0
�

=> 16 + 2(m2 + 3m) = 16 <=> m2 + 3m = 0 => �
m  3
�
c) y1 + y2 = x1 + x2 = 4
22/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS

y1

y2

Từ 1  y  1  y  3 => y1 (1 - y1) + y2 (1 - y2) = 3(1 - y1) (1 - y2)
2
1
<=> y1 + y2 -(y12 + y22) = 3[1 - (y1 + y2) + y1y2] => y1y2 = -3 và y1 + y2 = 4
4. Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a - 1) x + a2 - 4a + 1 = 0
Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức:
x1  x 2
1
1


2
x1 x 2

Giải:
* Điều kiện cần: Tìm a để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:
x1  x 2
1
1


<=> (x1x2 - 2) (x1 + x2) = 0
2
x1 x 2
4(a  1)

Hoặc là: x1 + x2 = 0 <=> 
= 0 <=> a = 1
3
a 2  4a  1
Hoặc là: x1x2 = 3 <=>
= 2 <=> a2 - 4a - 5 = 0 <=>
3

a  1
�
�
a 5
�

* Điều kiện đủ:
Nếu a = 1: Ta có phương trình 3x2 - 2 = 0 (thoả mãn)
Nếu a = 5: Ta có phương trình 3x2 + 16x + 2 = 0 (thoả mãn)
Nếu a = -1: Ta có phương trình 3x2 - 8x + 6 = 0
Phương trình này vô nghiệm (không thoả mãn)
Vậy a = 1 và a = 5
5. Cho f(x) = x2 - 2 (m+2)x + 6m + 1
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để ph ương trình
f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Giải:
a) Xét  ' = [- (m+2)]2 - (6m + 1) = m2 - 2m + 3 = (m - 1)2 + 2 > 0  m.
b) Thay x = t + 2
f(t) = (t + 2)2 - 2(m + 2) (t + 2) + 6m + 1
f(t) = t2 - 2mt + 2m - 3
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi và chỉ khi phương

trình
t2 - 2mt + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương.
�t  t  2m  0
3
� �1 2
�m
2
�t1 t 2  2m  3  0

6. Giả sử phương trình bậc hai: x2 + ax + b 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số.
Giải: Gọi x1, x2 là hai nghiệm => x1 + x2 = - a;
x1x2 = b + 1
2
2
2
2
Ta có: a + b = [-(x1 + x2)] + (x1x2 - 1)
=> a2 + b2 = (x12 + x22 + 2x1x2) + (x12x22 - 2x1x2 + 1)
=> a2 + b2 = x12 + x22 + x12x22 + 1 = (x12 + 1) (x22 + 1) => a2 + b2 là hợp số.
7. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 - 3x + a = 0
23/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phương trình t2 - 12t + b = 0
x1

x2

t1

Cho biết x  t  t . Tính a và b.
2
1
2
Giải: Áp dụng định lý Vi-ét
x1 + x2 = 3;
x1x2 = a
t1 + t2 = 12;
t1t2 = b
x

x

t

1
2
1
Đặt k = x  t  t => x1 = kx2, x2 = kt1, t1 = kt2
2
1
2

Thế vào và rút ra ta được: k2 =

1
4

1
thì a = 2 và b = 32
2
1
* Nếu k = - thì a = -18 và b = -288
2

* Nếu k =

8. Cho phương trình:
ax + bx + c = 0 (a �0)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có 2 nghiệm mà nghiệm
này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Giải:
* Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2 thoả mãn hoặc x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1
=> (x1 - 2x1) (x2 - 2x1) = 0 => x1x2 - 2(x12 + x22) + 4x1x2 = 0
c
b2
=> 5x1x2 - 2[(x1 + x2) - 2x1x2] = 0=> 9x1x2 - 2(x1 + x2) = 0 => 9. - 2 2 = 0
a
a
2

2

=> 9ac = 2b2
* Điều kiện đủ:
Giả sử có 9ac = 2b2
Xét  = b2 - 4ac = b2 -

4b
2b
8b 2 b 2

=> x1 =
và x2 =
=> x1 = 2x2
6a
6a
9
9

PHẦN III: KẾT LUẬN
Kết quả nghiên cứu :
- Học sinh có những tiến bộ quan trọng trong phương pháp giải phương trình
bậc hai. Biết giải các bài tập khó tương tự như các dạng bài tập đã biết để làm.
Có hứng thú rõ rệt trong học toán, có tư duy đổi mới linh hoạt. Có nhu cầu vươn
tới tìm tòi sáng tạo ở các bài tập khó hơn nữa.
- Đối với việc vận dụng định lý Vi-ét vào việc giải phương trình bậc hai một ẩn
chỉ là một trong những chuyên đề để các đồng nghiệp lựa chọn ôn luyện cho học
sinh. Mong rằng đây là một chuyên đề quan trọng giúp cho học sinh vận dụng
một cách khoa học sáng tạo hơn trong việc học Toán. Xây dựng cho các em
niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng
tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung
24/26


Ứng dụng định lí Vi-et trong thực hành giải Toán cấp THCS
thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài

khác nhau.
Nghiên cứu đề tài “Ứng dụng định lý Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp
THCS ” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ
sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. Quá trình nghiên
cứu đề tài đối giúp tôi hiểu một cách sâu sắc hơn về định lí Vi - ét. Tôi được bổ
sung thêm các bài tập về phương trình bậc hai một ẩn số, hàm số, đồ thị, giá trị
tuyệt đối. Điều đó giúp tôi truyền thụ kiến thức đến các em học sinh một cách
chặt chẽ và dễ dàng hơn, đặc biệt trong thời gian ôn thi môn Toán cho học sinh
khối 9 thi vào lớp 10, giúp tôi có thêm nhiều kiến thức chuyên môn cũng như
nhiều kinh nghiệm hơn trong 2 năm học thực hiện đề tài, nhất là sau năm học
2014-2015 cũng đề tài này tôi đã được hội đồng khoa học của ngành cấp thành
phố công nhận, đó cũng là niềm tin và là động lực giúp tôi tiếp tục áp dụng đề
tài trong thực tiễn giảng dạy và phát triển đề tài cho phù hợp với từng đối tượng
học sinh của từng năm học.
Với số lượng bài tập phong phú từ dễ đến khó, các em được rèn luyện thành
thạo kỹ năng giải các loại bài tập. Qua đó tạo ra niềm say mê hứng thú trong học
tập cho các em, các em không còn cảm thấy sợ thấy khó khi học những vấn đề
này.
Kiến nghị và đề xuất:
- Hiện nay các trường phổ thông chú trọng nhiều việc phụ đạo học sinh yếu,
kém và cũng đã quan tâm nhiều đến việc nâng cao kiến thức cho học sinh khá,
giỏi các khối lớp 6; 7; 8. Nên áp dụng dạy chia nhóm đối tượng học sinh vừa đỡ
vất vả cho giáo viên đồng thời học sinh có hứng thú trong học tập vì vừa sức
trong các dạng bài tập. Và hơn nữa nên có chương trình hướng dẫn học sinh
chọn mua sách tham khảo tất cả các môn học.
- Nhà trường và phòng Giáo dục nên duy trì các chuyên đề về dạy học tích
cực theo chủ đề, sau mỗi chuyên đề duy trì rút kinh nghiệm trong tổ nhóm
chuyên môn.
- Tổ chức nhiều hơn nữa các chuyên đề Toán, nhất là các chuyên đề về dạy học
tích cực tích hợp theo chủ đề và tích hợp liên môn , tạo điều kiện để giáo viên

của các trường có ít giáo viên bộ môn được dự giờ các đồng nghiệp của các
trường bạn để học hỏi thêm kinh nghiệm cũng như nâng cao về chuyên môn.
Do trình độ và năng lực còn hạn chế nên tôi không tránh khỏi những thiếu sót.
Vậy tôi rất mong muốn có được nhiều kiến đóng góp và giúp đỡ của hội đồng
khoa học các cấp cùng các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để tôi rút kinh
nghiệm trong quá trình giảng dạy, tôi sẽ bổ sung tiếp ở những năm học sau trong
sự nghiệp dạy học của mình.
Tôi xin cam đoan, bản sáng kiến kinh nghiệm này là do quá trình công tác tôi đã
ghi chép lại và rút kinh nghiệm từ thực tế của bản thân, tôi không sao chép lại
những bản sáng kiến kinh nghiệm hoặc đề tài khoa học của người khác.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
25/26