Toán học cao cấp giáo trình dùng cho các trường đại học kĩ thuật tập 1, đại số và hình học giải tích

NGUYỄN ĐÌNH TR [ (chủ biên)
TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN H ổ QUỲNH

TẬP MỘT

ĐẠI SỐ
VA
^
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
■

.sì

Đ Ạ I H Ọ C Q U Ồ C G IA HN

TRUNG TÀM
THỎNG TIN - THƯ VIẸN

510/80
ẳiL

CD

NHÀ XUẤT B À N GIÁO DỤC


N G U Y ỄN ĐÌNH TRÍ (Chủ biên)
TẠ VÃN ĐỈNH - NGUYỄN H ồ QUỲNH

TOÁN HỌC CAO CẤP
■

TẬP MỘT

ĐẠI SỐ
v à -

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
GIÁO TRÌNH DỪNG CHO CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KĨ THUẬT
(Túi bán lần thứ chín có chinh lí)

N H À X U Ấ T BẢN G IÁ O DỤC


%

517

- ỉ 750/116 03

Ma Mì . 7K1T?


LỜI NÓI ĐẦU
Chương trình môn toán ở trường phổ thông đã có nhiều thay đổi từ
khi Bộ Ciiáo dục và Đào tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Bộ
giáo trình Toán học cao cấp dùng cho các trường đại học kĩ thuật này
được viết vừa nhằm thích ứng vơi sự thay đổi đó ở trường phổ thông, vừa
nhàm nâng cao chất lượng giảng dạy toán ở trường đại học.
Toán học cao cấp là một mồn học khó mà sinh viên các trường đại
học kĩ thuật phải học trong ba học kì đầu, bao gồm những vấn đề cơ

bản của đại số và giải tích toán học, đóng vai trò then chốt trong việc
rèn luyện tư duy khoa học, cung cấp công cụ toán học để sinh viên
học các môn học khác ở bậc đại học và xây dựng tiềm lực để tiếp tục
tự học sau này.
Khi viết bộ sách này chúng tồi rất chú ý đến mối quan hệ giữa
lí thuyết và bài tập. Đối với người học toán, hiểu sâu sắc lí thuyết
phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả
cơ hản của lí thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình
làm bài tập người học hiểu lí thuyết sâu sắc hơn. Các khái niệm cơ
bản của đại số và giải tích toán học được trình bày một cách chính
xác với nhiều ví dụ minh hoạ. Phần lớn các định lí được chứng minh
đầy đù. Cán bộ giảng dạy, tuỳ theo quỹ thời gian của mình, có thể
hướng dẫn cho sinh viên tự đọc một số phần, một số chứng minh.
Cuối mỗi chương đều có phán tóm tắt với các định nghĩa chính, các
định lí và các công thức chủ yếu và phần bài tập đã đươc chọn lọc kĩ,
kèm theo đáp số và gợi ý.
Bộ sách được viết thành 3 tập :
- Tập 1 : Đại số và hình học giải tích.
- Tập 2 : Phép tính giải tích một biến số.
- Tập 3 : Phép tính giải tích nhiều biến sô.
3


Bộ sách là công trình tập thể của nhóm tác giả gồm ba người :
Nguyẻn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh và Nguyễn Hổ Quỳnh. Ồng
Tạ Văn Đĩnh phụ trách viết tập 1. Ong Nguyẻn Hồ Quỳnh phụ trách
viết 7 chương đầu của tập 2. Ong Nguyễn Đình Trí phụ trách viết
chương 8 của tập 2 và toàn bộ tập 3. Cùng với bộ giáo trình này chúng
tôi cũng viết 3 tập Bài tập Toán cao cấp nhằm hỗ trợ các bạn đọc cần
lời giải chi tiết của những bài tập đã ra trong bộ giáo trình này.

Viết bộ giáo trình này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của
nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán học cao cấp nhiều nãĩĩì ở
nhiều trường đại học. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các nhà giáo,
các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến xác đáng.
Chúng tồi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Nhà xuất bản
Giáo dục về việc xuất bản bộ giáo trình này, cảm ơn các biên tập viên
Nguyễn Trọng Bá, Phạm Bảo Khuê, Phạm Phu, Nguyễn Văn Thường
của Nhà xuất bản Giáo dục đã làm việc tận tình và khẩn.trương.
Chúng tỏi rất mong nhận được những ý kiến nhận xét của bạn đọc
đối với bộ giáo trình này.
Các ỉác gỉả

4


Chương I

TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ
■

•

•

*

1.0. MỞ ĐẦU
1.0.1. K hái niẹm vé m ệnh dể toán học
Ta hiểu mệnh đề toán học như là một khẳng định toán học ch ỉ có
th ể đúng hoặc sai, khône thể nhập nhằng, nghĩa ià không thể vừa

đúng vừa sai, cũng không thể vừa không đúng vừa không sai.
T h í dụ 1.0.1.
2 < 3 ỉà một mệnh đề toán học đúng
3 > 4 là một mệnh đề toán học sai
1.0.2. Kí hiệu =>
Khi với giả thiết mệnh đề A đúng ta chứng minh được mệnh đề B cũng
đúng thì ta nói từ mệnh đẻ A suy ra mệnh đề B, hay mệnh đề A kéo theo
mệnh đề B. Để diễn đạt ý đó ta viết gọn là
A=>B
Đôi khi ta còn viết
Thí dụ 1.0.2.

B <= A

(a < b) => (a + c < b + c)

1.0.3. Kí hiệu
Khi A => B đổng thời B => A y thì ta nói mệnh đề A tương đương
mệnh đẻ B. Để diẻn đạt ý đó ta viết gọn là
Thí dụ 1 .0 3 .

A
B
(a < b) <=> (h > a)
(\a\ < b) ,<5 ( - b < a < h)
5


1.0.4. Điều kiện đủ, điều kiện cần , điều kiện cần và đủ
Khi A => B ta nói A là điều kiện đủ để có B

B là điều kiện cần để có A
Khi A
B tức A => B và B => A, ta nói A là điều kiện cần và đủ để có R.
Lúc đó B cũng lá điều kiện cần và đủ để có A.
Thí dụ 1.0.4. Rõ ràng
(\a\ < b) => (b > 0), nhưng từ b > 0 không suy ra được lớI < h.
Vậy

\a\ < b ì ầ điều kiện đủ để có b > 0,
h > 0 là điều kiện cần để có lal < b,
\a\ < b không phải là điều kiện cần và đủ để có h > 0.

1.0.5. K í hiệu :=
Kí hiệu này dùng để đưa vào một định nghía, nó thay cho cụm từ
“định nghĩa bởi”.
Thí dụ ] .0.5. Đường tròn := Quỹ tích của các điểm trong inặt
phẳng cách đéu một điểm xác định.
1.0.6. Kí hiệu V
Kí hiệu này thay cho cụm từ “với mọi'’ hay “với bát kì".
Thí dụ ỉ.0.6. Va' thực ta có X2 - X■+ 1 > 0 .
1.0.7. K í hiệu 3
Kí hiệu này thay cho cụm từ “tồn tại" hay ỉà “có”.
T hí dụ 1.0.7. 3 x để X2 - 3.V + 2 = 0, đó là X = 1 và X = 2.
BÀI TẬP : 1.1.

1.1. T Ậ P H Ọ P VÀ PHẢN TƯ
1.1.1. Khái niệm về tậ p hợp và p h ầ n tử
Khái niệm tập hợp và phần tử không thể định nghĩa bằng những
khái niệm đâ biết. Ta coi tập hợp là khái niệm nguyên sơ, không định
nghía. Tuy nhiên ta có thể nói như sau :

Tất cả những đôi tượng xác định nào đó hợp lại tạo thành một
tập hợp, mỗi đối tượng cấu thành tập hợp là một phẩn tử của tập hợp.
Tlií dụ 1.1.1. Tất cả những người Việt Nam trên thế giới tạo thành
tập hợp người Việt Nam. Mỗi người Việt Nam là một phần tử của
tập hợp đó.
Thí dụ 1.1.2. Tất cả các điểm trong không gian tạo thành tập hợp
điểm trong không gian. Mồi điểm là một phần tử của tập hợp đó.
T hí dụ 1.1.3. Tất cả các đường thẳng trong không gian tạo thành
tập hợp các đường thẳng trong không gian. Mỗi đường thảng là một
phán tử của tập hợp đó.
1.1.2. Khái niệm thuộc và kí hiệu e
Nếu a là phần tử của tập hợp E ta nói “ơ thuộc £ ” và viết
a € E
Nếu a không là phần tử của E ta nói “ứ không thuộc £ ” và viết
a ị E hay a <Ẽ E.
T h í dụ I .].4.

4 G tập hợp các số chẵn,
3 Ệ tập hợp các sô chẵn.

1.1.3. Cách mỏ tà một tậ p hợp
Muôn mô tả một tập hợp ta phải làm đù rõ để khi cho một phần tử ta
biết được nó có thuộc tập hợp cùa ta hay không. Thường có hai cách
:
1) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp.
Th í dụ L I . 5.

A := |.Y ,)\Z ,/}

T ậ p hợp này chí có 4 phần tử là X, y, 2 , /.
V ậy
nhirng

X G A, V £ Á , 1 £ A , / € A ,

u ị A, V ị A.
7


2) Nêu ra tính chất đậc trưng của các phần tử tạo thành tập hợp.
Thí dụ 1.1.6. p := (các sô' chẩn}.
Như vậy ta có ngay 4 e p nhung 3 ẽ p.
1.1.4. Kí hiệu I
Tập hợp các số chẩn còn có thể mô tả như sau :
p := ị m I m = 2 /1 , n nguyên}
Cách viết này đọc là : p ià tập hợp các phần tử m trong đó (hay
sao cho) m = 2n với n là sô' nguyên. Rõ ràng đó chỉ là cách diễn đạt
khác của tập các số chẵn.
Kí hiệu I đặt trước phần giải thích tính chất đặc trưng của phần tử m.
Chú ý 1.1.1. Sau này để cho gọn, đôi khi ta chỉ dùng từ "tập" thay
cho cụm từ "tập hợp".
1.1.5. Một số tập hợp số thường gặp
Tập các sô' tự nhiên
N : = { 0 , 1,2, ...}
N*:={1,2, . . . } = N - { 0 ) .
Tập các số nguyên
z := {0 , + 1 , - 1 , + 2 , - 2 ,
Tập các sô' hữu tỉ

Q :=

—ị q ^ O , p e Z , q e Z
<ỉ

Tập các sô' thực
R := {các số th ự c }.
1.1.6. Tập rỗng
Theo cách nói ờ mục 1.1.1 thì một tập hợp phải có ít nhất một
phần tử mới có nghĩa. Tuy nhiên để cho tiện về sau, ta đưa thêm vào
khái niệm tập rỗng theo quy ước :
8


t í n h nghĩa ỉ . 1.1. Tập rỗng lủ tập hợp khống có phấn tử nào.
Kí hiệu của tập rỗng là 0 (chữ o với một gạch chéo).
Tìí dụ 1.1.7. Tập nghiệm thực của phương trình
-

3.V + 2 = 0 là {1,2}, nhưng tập nghiệm thực của phương trình

X2 - X + 1 = 0 là 0 vì phương trình này không có nghiệm thực.
1 .1/. Sự b à n g n h a u của hai tập
t ị n h nghĩa 1.1.2. Ta nói Ịập A bằng tập B nếu A và B trùng nhau,
nghìi là mọi phđn tử của A cũng là phần tử của B và ngược lại mọi
pháĩ từ của B cũng là phần tử của A.
Khi A bàng B ta viết A = B.
Thí dụ 1.1.8. Cho
4 : = u , 1 ,Ũ A } ,
thì ó

B := { 1 , Q

a-,A}

A = B.

1.1.1. Sự b ao h à m - T ậ p con
t ị n h nghĩa 1.1.3. Nếu mọi phần tử của A cũng là phần tử của B
thì ti nói
A bao hàm trong B
B bao hàm A
A là tập con cùa B.
ỉ é diễn đạt ý đó ta viết
A c B hay B D A.
(hú ỷ 1.1.2. Người ta cui lập 0 là tập con của mọi tập A.

7hi dụ 1.1.9. N c z c Q c. R.
(h ú ý Ị. 1.3. Rõ ràng có
( A = B ) & ( A c B \ ầ B C A).
9


1.1.9. Biếu diẻn hình học - Biểu đồ Ven
Để dẽ hình dune một sỏ quan
hệ giữa các tập hợp người ta dùng
cách biểu diễn hình học gọi là
biểu đồ Ven : xem mỗi tập hợp là
tâp điểm trong một vòng phảng,
mồi điểm trong vòng là một phán

tử của tập hợp (hình 1). Khi đó
quan hệ A c B biểu diễn trên
Hình 1

Hình 2

hình 2 bằng cách vẽ vòne A nằm
trong vòng B.

BÀI TẬP : 1.2, 1.3, 1.4.

1.2. C Á C P H É P T O Á N VỂ T Ậ P H Ợ P
1.2.1. P h é p hợp
Đ ịn h nghĩa 1.2.1. Hợp của hai tập A và B là tập hợp tạo bới tất
cả các phẩn tử thuộc A hoặc thuộc B.
Kí hiệu hợp ă ó ỉ ầ A u B ta có
(x € A u B)

(x € A hoặc X 6 B)

Hợp A u tì biểu diễn bằng biểu đồ Ven ở hình 3.

A

A
Hình 3

10

Hình 4

1.2.2. P h é p giao
Đ ịn h n g hĩa 1.2.2. Giao của hơi tập A và B là tập hợp tạo bởi tất
cả cúc p h ẩ n tử vừa thuộc A vừa thuộc B.
Kí hiệu giao đó là A n tì ta có
(.V

e A n B)

(X e A và X e B)

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3. Khi A n B = 0 ta nói A và tì rời nhau.
1.2.3. T í n h ch ất
Các tính chất sau suy từ định nghĩa :
A u B = B u /\,

A n B = B n A,
A u A = /A,
AC\A-A,

(Au B) u c = ,4 u (B u C),
(A n B ) D C = A n ( B n C ) ,

A u (J5 n C) = (i4 u fi) n 04 u C),
/4 n

u C) = 04 n z?) u 04 n C).

Ta chứng minh tính chất đáu tiên. Ta có

X € A u B =$> (X £ /4 ho ặc X € B ) => (-V E B ho ặc .V 6 /4 ) => -V G /? u

.V € H u A

(.V £ z? hoặc A € A ) => (x £ /4 hoặc .V6 /i) => X e A u B.

Vậy
/4 U B = B u A
1.2.4. Hiệu củ a hai tập
Đ in h nghĩa 1.2.4. Hiệu của tập A và tập B là tập tạo hởi tất cả
càc phàn tử thuộc A mù khôntỊ thuộc B.


Kí hiệu hiệu dó là A - B hay A \ B r a có
u € A - B) (hay A \ B) <=> (x € A và
JC Ệ B). Hiệu của hai tập biểu diễn Ibảng
biểu đồ Ven ờ hình 5.
1.2.5. T ậ p bù (còn gọi là tậ p bổ s u n g )
Đ ịn h n g hĩa 1.2.5. Xét tập E và A là tập
con cùa E, nghĩa là A c E. Lúc đó E - A gọi là tập bù của A troiug E.
Kí hiệu tập bù đó là A ta có
à := E - A
Tập bù A biểu diển bằng biểu đồ
Ven ờ hình 6.
Rõ ràng
_

__

_

Hình

6

A c E , A := E — A = A.
1.2.6. Đ ịn h lu ậ t De M o r g a n
Với mọi A c E, B c E ta có
AU B=AD B,AD B=AU B
Ta chứng minh dẳng thức dầu. Xét X£ E. Ta có

.r€ i4 U fi =» X ị A u B => ( x ệ A và X ị B) => { x € A va

JTt€ B)

=> x € j 4 n f i ;
X 6 A n B =» ( x € A và X € B) => (jt Ệ A và X ị B) =r- X ị A u li

=> x e A U B
Vậy à U f i = à n f í
Tlii dụ 1.2.1. Gọi A là tập nghiệm cùa phương trình X2 — 3.V+ 2 = 0.
B là tập nghiêm cùa phương trình Jf2 —4or + 3 = 0. Ta có
12


A = {1,2},

B = {1.3}

AU B= ị\,2,3\

ACị B = {1Ị
A - B = {2 Ị .
Tập nghiệm của phương trình
(,1 2 - 3.V + 2)(x2 - 4jr + 3) = 0
là A U B = { 1 ,2 , 3 } .
Tập nghiệm cùa hệ phương trinh
X2 - 3* + 2 = 0
X2 —4 x + 3 = 0

l à /4 n B= {1}.
1.2.7. Suy r ộ n g
Già sừ / là một tập con của N, / c N và (Aj)ị£j là một họ những
tập con của tập E.
Ta định nghĩa hợp
A = u Aị bởi U € u Aj <=> 3ỉ' € I : X € Aị Ị

/€/

ie/

và igiao
B = D Ạ bởi {.V€ n Aj «=> V/ € / : X € A j}

/e/

iel

Định luật De Morgan suy rộng cho họ những tập con của E sẽ có dạng
( l m ”) = n Ãị
i€/

iel
( n A ,) = u Ăị
i€l
iel
13


1.2.8. K hái niệm p h ủ và ph án hoạch
Giả sử / c N và s = {(j4/ )/6/ } là một họ những tập con của tập E.
Nếu u Aị = E thì ta nói s là một phủ của E.
iel

Nếu ngoài ra, V/ G /, >4/ ^ 0

và Aị n Aj — 0 , I ^ jy thì nói họ s là

một phân hoạch của £.
Thí dụ ì 2 2 . Xét E là mặt phảng Oxy thì tập tất cả các đường
thẳng vuông góc với Ox, x = x ịy Xị e R tạo thành một phân hoạch
của E.
BÀI TẬP : 1.5, 1.6, 1.7.

1.3. T Í C H Đ Ể CÁ C
1.3.1. Tích đề các của hai tập
Đ ịnh nghĩa 1.3.1. Tích d ề các của hai tập A và B lủ tập tất cả các
cặp (a, b), a trước b sau, được tạo nén do lấy ơ € A, b € B m ột cách
bất kì.
Kí hiệu tích đó là A X B, ta có
A X B := ((ứ, b) I a € A, b e BỊ
T hí dụ 1.3.1. Cho

{ i , 3 } , B = {2, *}
thì
A x B : = {(1, 2), (1, x), (3, 2),w (3, x ) }.
và
4 x A = ị ( ỉ y 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , l ) , ( 3 f 3)}.

Chú ỷ 13.1. OìM ý rằng (1,3) và (3, 1) là hai cặp khác nhau.


1.3.2. Tích đ é các của ba lập
Đ ịnh nghĩa 1.3.2. Tích đê các của ba tập A, B,

c

là tập tất cá cúc

bộ ba (a, b, c) theo thứ tự a rồi I) rồi c, được tạo thành do lấy a £ A,
rối b € B, rồi c € c một cách bất kì.
Kí hiệu tích đó là A X B X c ta có
A X B X c := {(a , b, c) I a € A, b € B, c E C}
77//í/ạ /.5.2. Nếu /t = I 1, 3 ị, /? = {2, A'}, c = {A| thì
A X B X c = 1(1,2, A U Ỉ ,.V , A), (3 ,2 , A), (3,.v, A)}
và

X

X /4 = Ị (1, 1, 1), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (1, 3, 3),

(3, 1, 1),(3, 1,3), (3, 3, 1), (3, 3,3)1.
1.3.3. Tích đ é các của n tập

Đ ịn h nghĩa 1.3.3. Tích đ ề các của n tập A\, Ao,
cả các bộ n p hần tử (íVị, Ci2 ,

An là tập tất

an ) theo thử tự CI\X rồi Ớ2 ,

an được tạo thành do lấy ơ\ € Aị, rồi Ui 6

rồi

, ..•» rồi an €

một cách bất kì.
Kí hiệu tích đó là A ị X A i X ... X A,,, ta có :
A|

x

A2 x . . . x A n := {(aị ì a2 , . . . , a n ) \ a i e A i J = ìì n)

Tích đề các A X A X ... X A (n lần) viết gọn là A n :
A n :={( a] ì a2......an ) I dị e A J = Un)
BÀI TẬP : 1.8, 1.9.

1.4. Q U A N H Ê T Ư Ơ N G Đ Ư Ơ N G VÀ QUAN H Ệ T H Ử T ự
1.4.1. Khái niệm về q u a n hệ hai ngói
f)ịn h nghĩa 1.4.1. Cho tập E và tính chất ^ liên quan đến hai phàn tử
cùa E. Nếu ạ và b là hai phần tử của E thoả mãn tính chất 'J/ì thì ta nói a cỏ
quan hệ-'/ỉ vái b và viết a 'J/ỉ h.

15


Quan hệ này gọi là quan hệ hai ngôi (rên E.
Xét một sô thí dụ :
Thí dụ l .4.1. Trên tập các đường thảng trong không gian, ' đường
thẳng D vuông góc với đường thẳng D' " là một quan hệ hai ngôi.
*
Thí dụ ì .4.2. Trên tập các sớ tự nhiên N , "a nguyên tố với b" là
một quan hệ hai ngôi.
Thí dụ 1.4.3. Trên tập số thực R, "a = b" là một quan hệ hai ngôi ;
"a < b" cũng ỉà một quan hệ hai ngôi.
1.4.2. Đồ thị của quan hệ hai ngôi
Khi a $ b ta cũng nói cạp (ơ, b ) thoả màn quan hệ

Cặp (ơ, b) là

phần tử của tích E X E. Ta chú ý đến tập G tất cả các cặp (a, b) G E X E
thoả mãn 'JÃ . Ta gọi G là đồ thị của quan hệ 'ũ. Vậy có
Đ ịnh nghĩa 1.4.2. Đổ thị của quan hệ 'J/ì là tập tất cả các cặp
(a, b ) của E X E íhoả mãn quan hệ
Thí dụ 1.4.4. Đồ thị của quan hệ "ứ = h" trên R là đường phân giác
của các góc vuông I và III trong mặt phảng toạ độ Oab (hình 7).
Thí dụ 1.4.5. Đồ thị của quan hệ ”fl < b" trên R là nửa mật phẳng ở
trên đường phân giác của các góc vuông I và III (hình 8).

Hình 7

Hình 8

ỉ . 4.3. Một số tính chát của quan hệ hai ngôi
Tuỳ theo định nghĩa, một quan hệ hai ngôi '4Ì trên E có thể có một
số tính chất sau đảy :
16


1) Tính phởn xạ : Quan hệ tì có tính phản xạ nếu
a //ỉa , Va G E
Thí dụ J .4.6. Quan hệ "a = b" trên R có tính phản xạ vì a = ứ,
nhưng quan hệ "a < b" không có tính phản xạ vì không có a < a.
2) Tính đối xứng : Quan hệ '1\ có tính đối xứng nếu
a .J)ì b => b rJ/ì a
Thí dụ 1.4.7. Quan hộ "ơ = b" trên R có tính đối xứng vì a = b =>
b = a.
Quan hệ "a < b" trên R không cổ tính đối xứng vì từ a < b khồng
suy ra b < a.
3) Tính bắc cầu : Quan hệ

có tính bắc cầu nếu

(a 'iì b và h
Thí dụ
b = c)

c) => a 'J/ì c.

] .4.8. Quan hệ "a - b" trên R có tính bắc cầu vì (a = b và
a = c.

Quan hệ "a < b" cũng có tính bắc cầu vì (a < b \ a b

4) Tính phản đối xứng : Quan hệ
(a

có tính phản đối xứng nếu

b và b 'J/ỉ a)

a = b.

(a < b và b < a) => a = b.
1.4.4. Q u a n hệ tương dương
Đ ịn h nghĩa 1.4.3. Quan hệ hai ngôi

trẽn tập E gọi là một quan

hé ỉ trơn 8 dư ơ ng nếu nỏ cỏ ha tín h c h ấ t p h á n xạ, rí n i xứng và h ắ c cấu

Khi .y? là một quan hệ tương đương và a fJ/ỉ b ta viết
a ~ b ụ/ì)
và đọc : "a tương đương b theo quan hệ
tiạii đọc có thể kiểm tra lại các khảng định trong các thí dụ sau.


Thí dụ 1.4.10. Trong N, z , Q, R quan hệ "a = b" là một quan hệ
tương đương (xem các thí dụ 1.4.6, 1.4.7, 1.4.8).
Thí dụ 1.4.11, Trong z quan hệ "a - b là bội của một sô nguyê n p
khác 0 cho trước" là một quan hệ tương đương. Lúc đó ta viết
a = b (p) hay a = b (mod p)
và đọc : "a đồng dư b môđulố p " .
T hí dụ ì .4.12. Trong tập các đường thẳng trong không gian q uan

hệ "đường thẳng D đồng phương với đường thẳng D' " là một quani hệ
tương đương.
Thí dụ 1.4.13. Trong tập các vectơ tự do trong không gian quam hệ
"vectơ ũ bằng vectơ V" là một quan hệ tương đương.
1.4.5. Lớp tương dương
Xét tập E trong đó có một quan hệ tương đương -'/ỉ; gọi u là m ộ t
phần tử xác định của E. Khi đó tất cả các phần từ b € E tương dưiơng
với a lập thành một tập gọi là lớp tương đương của a theo quan hệ -‘/ì.
Kí hiệu lớp đó là '#{a,
W(a,

ta có
:= (b I b € E, b ~ a ụ/ỉ) Ị

Có thể xem a là phần tử đại diện cho lớp rtf(a,
T h í dụ 1.4.14. Trong tập các đường thẳng trong không gian, tâìt cả
các đường thẳng đồng phương với một đường thẳng A cho trước tạo
thành lớp tương đương của A theo quan hệ "dồng phương" mà phầm tử
đại diện là A. Có thể nói mỗi lớp tương đương đó xác định imột
phương trong không gian.
;
Thí dụ 1.4.15. Trong tập tất cả các vectơ tự do trong không gian., tất
cả các vectơ bằng một vectơ ÕÀ gốc o cho trước tạo thành một lớp
tuơng dương theo quan hẹ "bàng nhau" ma phần từ đại diện lá OẢ ■
Thí dụ 1.4.16. Trong R lớp tương đương của một số xác địmh a
theo quan hệ "a = b" chi có một phần tử là a.
Chú ỷ 1.4.1 : Tập tất cả các lớp tương đương W(a, .W) tạo thiành
một phân hoạch trên E.
18

1.4.6. Quan hệ thứ tự
Đ ịnh nghĩa l .4.4. Quan hệ hai ngôi ỹR- trên tập E gọi là một quan
hệ thứ tự nếu nó có ba tính chất : phản xạ, phản đối xứng và bắc câu.
Bạn đọc có thể kiểm tra lại các khẳng định trong các thí dụ sau :
Thí dụ 1.4.17. Trong N, z , Q, R quan hệ "a < b" là một quan hệ thứ tự.
Thí dụ 1.4.18. Trong N quan hệ "a chia hết cho b" là một quan hệ
thứ tự.
Thí dụ ].4.19. Trong tập các tập con của một tập E cho trước,
quan hệ A c B là một quan hệ thứ tự.
1.4.7. Q u a n hệ th ứ tự toàn p h ầ n
Đ ịn h nghĩa 1.4.5, M ột quan hệ thứ t ự t â trên tập E gọi là quan hệ
thử tự toàn p h á n nếu Ví/, b € £, ía đều có hoặc a ýR b hoặc b ỹ ĩ a.
Thí dụ 1.4.20. Trên N, z , Q, R, quan hệ "ạ < b" là một quan hệ thứ
tự toàn phần vì \/a, b e N hay z hay Q hay R ta đều có hoặc a < b
hoặc b < ơ.
Thí dụ 1.4 21. Trên tập các tập con cùa một tạp cho trước £ , quan
hệ " c " là một quan hệ thứ tự không toàn phần vì nếu A và B rời nhau
chảng hạn thì không có A c B cũng không có B c A.
1.4.8. T ậ p có t h ứ tự
Định nghĩa 1.4.6. Xét tập E trong đó có một quan hệ thứ tự đi. Cho
hai phần tử bất kì a và b của E. Nếu a 'Jtì b ta nói a có th ể so sánh được
vơi b. Các phán tử so sánh được với nhau sảp xép theo một thứ tự xác
định theo quan hệ iH.
Đ ịnh nghia 1.4.7. Nếu

là một quan hệ thứ tự toàn phần thì tất

cả các phần tử của E đều được sắp thứ tự theo quan hệ M. Ta nói E
được sắp thứ tự toàn phần bởi quan hệ M.

19


Nếu i¥ỉ là một quan liệ thứ tự không toàn phần thì chi có một sô
phần tử cùa E được sắp xếp theo quan hệ -'/ì. Ta nói E là tập có thứ lự
bộ phận hay E được sấp thứ tự bộ phận.
Thí dụ 1.4.22. Các tập N, z . Q, R là những tập có thứ tự toàn phẩn
theo quan hệ thứ tự "ứ < b".
Thí dụ 1.4.23. Tập các tập con của một tập £ cho trước là một tập
có thứ tự bộ phận theo quan hệ " c " .
BÀI TẬP : 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1 14, 1.15.

1.5. ÁNH XẠ
1.5.1. M ở đ ầu
Cho hai tập E và F và một quy luật / liên hệ các phần tử của £
với một số phần tử của F.
T h í dụ 1.5.1. E = F = R
X Ẽ R liên hệ với y € R bởi y = X3.
Thí dụ 1.5.2.

E =F =R

X € R liên hệ với y € R bời quy luật y = X1.
T hí dụ 1.5.3.
X€

£ = R, F = z
R liên hệ với y € z bởi quy luật y = [jr],
[x] kí hiệu phần n g u y ê n của

X.

T h í dụ 1.5.4. E = {JCIX e R, -1 < X < 1 Ị
F =R
X e E liên hệ với y e R bởi quy luật
y = cung có sin là X.

20


Thí dụ !.5.5. E là tập các điểm
trong không gian kí hiệu là 'Á', F là
tập các điểm trong một mặt phảng
xác định 71.
Điểm M € •K liên hệ với điểm
p € n bởi quy luật : "P là hình
chiếu vuông góc của điểm M lên
mặt phảng 7i".

Hình 9

Nếu quy l u ậ t / c ó đặc điểm sao cho nó tạo ra từ mỗi phần tử của E
mộl và chỉ một phần tử của F (hình 9) thì ta nói / l à một ánh xạ từ E
tới F. Vậy có dịnh nghĩa ánh xạ như sau :
1.5.2. Đ ịn h nghĩa á n h xạ
Định nghĩa 1.5.1. Ánh xạ từ tập E tới tập F là một quỵ luật f liên hệ
giữa E và F sao cho khi nó tác động vào một phần tử X bất kì của E s ẽ
tạo ra một và chỉ một phần tử V của F.

Thí dụ 1.5.6. Xét các quy luật đã nêu ở các thí dụ 1.5.1 - 1.5.5 :

1) Quy luật

ở thí dụ .1.5.1 là một ánh xạ từ R tới R vì mỗi X 6 R

tạo ra một và chỉ một y

€ R xác định bởi y = jr3.

2) Quy luật ở thí dụ 1.5.2 là một ánh xạ từ R tới R vì mỗi X G R
tạo ra một và chỉ một ỵ e R xác định bởi y = X2 .
3) Quy luật ở thí du 1.5.3 là một ánh xạ từ R tới z vì mỏi X € R
tạo ra một và chỉ một Ve z xác định bởi ỵ = [jc].
4) Q u y luật

ở thí dụ 1.5.4 kh ô ng phải là m ột ánh xạ từ E tới R vì

mỗi X € E tạo

ra vô số y € R xác định bởi y bằng cung có sin là Jt,
1

71

5n

chảng han với X —— 6 E thì các cung —+ 2 kn và — + 2 k n , k € z ,
2
6
6
1

đểu có sin là —.

2

21


5) Quy luật ờ thí dụ 1.5.5 là một ánh xạ từ .tf tới n vì mồi điểm
M € 'H chiếu vuông góc lên mặt phảng 71 cho một và chi một điểm
p en.
1.5.3. Kí hiệu ánh xạ
Để diễn tả / l à ánh xạ từ tập E tới tập F ta viết
f : E - * F hay E — — »F
và gọi E là tập nguồn, F là tập đích.
Phần tử ỵ € F được tạo ra từ phần tử jr € E bới quy luật / goi là
ảnh của X và X gọi là nglìịcli ảnh (hay tạo ảnh) cùa V. Ta viết
y=f(x)

hay

x<~*y=f ( x)

hay

X I-* y

f( x ) đọc là " / c ù a x" hay " f tại x " .
Chú ý 1.5.1. Chú ý rằng mỗi phần tử cùa E có một và chỉ một ình,
nhưng mỗi y e F chưa chắc đã có nghịch ảnh.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5.2. Tập tạo bời các ảnh của

tất cả các phá i tử

X 6 E gọi là ảnh cùa E (qua f) , viết là f ( E) :
f ( E) := {>• I y = f ( x ) , x e E )
hay
/ ( £ ) : = [y I 3 x è E , y = f ( x ) }
Ta luôn có

f(E) c F
Đ ịnh nghĩa 1.5.3. Nếu A là một tập con của E : A c E, thì tập
f( A ) := {>» |. y = f ( x ) , x € A }
gọi là ảnh của A ( quaf ) .

22


Nếu B c h' thì tập / '*(£) := \ x I .V e £ , / M = y ẽ f i | gọi là
nghịch ảnh của tì trong ánh xạ /.
1.5.4. Đơn ánh
X é t / : E ->
Nói chung mỗi phần tử V thuộc rập đích F có thể là ảnh của một
hay Iihiéu phần tử khác nhau ỏ tập nguồn E. Nếu nó chỉ có thể là ảnh của
một phán tử thì ta nói / l à đơn ánh. Vậy có
Đ ịnh n g h ĩa 1.5.4, Ánh xạ f : E —> F gọi là một đơn ánh nếu
/ U l ) = / U 2 )=*•*! = *2

(111)

Muốn chứng minh ánh xạ / : E —> F là một dơn ánh ta phải kiểm

tra lại điều kiện (1.1.1).
Ta cũng có thê xét "phương trình"
f (x) = y t y £ F
Nếu "phương trình" với ẩn X này không thể có quá một nghiêm với
mọi y của F t h ì / l à đơn ánh.
Thi dụ J .5.7. Ta duyệt lại các ánh xạ ở mục 1.5.1 và 1.5.2
1) Xét ánh xạ ở thí dụ 1.5.1 : Phương trình
= y ,y £ R
có nghiệm duy nhất X = ịf ỹ G R. Vậy ánh xạ này là đơn ánh.
2) Xét ánh xạ ở thí dụ 1.5.2 : phương trình
X2 = y , y € R
CỔ hai nghiệm khác nhau nếu y > 0. Vậy ánh xạ này khồng phải là
dơn ánh.
3) Xét ánh xạ ở thí dụ 1.5.3 : phương trình
[x] = y, y € N
co vô số nghiêm, chảng hạn với V= 1 thì JC= 1,1 hay 1,3... đều có phần
nguyên là 1. Vậy ánh xạ này không là đơn ánh.
23


4) Quy luật ờ thí dụ 1.5.4 không phải là một ánh xạ, nên dương
nhiên nó không phải là đơn ánh.
5) Xét ánh xạ ở thí dụ 1.5.5 ta kiểm tra điểu kiện ( ỉ . 1.1). Một
điểm p € n có vô số điểm M € . X chiếu vuông góc lên n thành p. đó
là tất cả các điểm M nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phảng
n tại p. Vậy ánh xạ này không phải là đơn ánh.
1.5.5. Toàn ánh
Xét ánh x ạ / : E —* F.
Nói chung f ( E) là một tập con của F : f ( E) c F. Nế u có f ( E) - F
thì f được gọi là một toàn ánh : Vậy có

Đ ịnh nghĩa 1.5.5. Ánh xạ f : E —>F gọi là m ột toàn ánh nếu
f ( E) = F.

(1.1.2)

K h i / l à một toàn ánh ta cũng n ó i / l à ánh xạ từ E lên F.
Mệnh đề (1.1.2) có nghĩa là mỗi y £ F đều là ảnh của ít nhâì một
X € E. Muốn chứng minh ánh x ạ / . - E —* F là một toàn ánh la phải
kiểm tra lại điều kiện (1.1.2).
Ta cũng có thể xét "phương trình"
f(x) = y , y e F
Nếu "phương trình" này có nghiệm với mọi V € F thì/ là một toàn ánh.
T hí dụ 1.5.8. Ta duyệt lại các thí dụ ừ mục 1.5.1 và 1.5.2.
1) Xét ánh xạ ơ thí dụ 1.5.1 : phương trình
x3= y , y e R
luôn có nghiêm \/ỵ G R. Vậy ánh xạ này là một toàn ánh.
2) Xét ánh xạ ở thí dụ 1.5.2 : Phương trình
x2 = y , y € K
chỉ có nghiệm khi y > 0. Vậy ánh xạ này khổng là toàn ánh.