Phương pháp tính dùng cho các trường đại học kĩ thuật

T Ạ V Ă N Đ ĨN H


GS. TẠ VĂN Đ ĨN H

PHƯƠNG PHÁP TÍNH
( D ù n g c h o c á c tr ư ờ n g d ạ i h ọ c k ĩ t h u ậ t )

(Tái bản làn thừ mười sáu)

NU A XUẤT BAN (ÌIÁO DỤC VIỆT NAM


Cống ty cổ phần sách Đại học - Dạy nghể - Nhà xuất bản Giáo dụic
Việt Nam giữ quyển công bố tác phẩm.

19 - 2010/CXB/87 - 2244/G D

M ã sô': 7B 2(X )yO - D a I


LÒI GIÓI THIỆU

Cuốn sách phương pháp tính xuất
bản lằn đầu năm 1992 là giáo trình
chuyên đề - 30 tiết - về các phương
pháp tính gần đúng, dùng trong các
trường đại học k ĩ thuật. Trong lằn tái
bản này cuốn sách được sủa chửa và
bổ sung thcm các sơ đô tóm tắt cho
các phương pháp, giúp sinh viên tổng

kết, tóm tắt kiến thức đê lâm bài tập
cũng như cài đật trên máy vi tính.
Cuốn sách có thê dùng làm tài
liệu tra cứu cho các kĩ sư về phương
pháp tính.
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO D ự c

3


LÒI NÓI ĐAU
Giáo trinh Phương pháp tíã h - 30 tiết ~ được dưa vào dạy
ờ các trường dại học kí th .ảt nh ầ m cung cáp cho sinh viên
n hữ n g kiến thức mỏ dầu cc bàn về môn học phư ơ ng ph á p tín h .
N h ư n g cho đến nay giáo trin h này văn chưa có sách giáo khoa
tương ứng, p h ũ hợp vói yêu cầu, nội d u n g và thời g ia n . Sau
nhiêu nỏm g iảng dạy ỏ trường Dại học Bách khoa H à N ộ i,
chúng tôi m ạ n h dạn viết cuốn sách nhỏ này n h à m cung cáp
tài liệu học tập cho sinh viên và trao dổi k in h ng h iệm vói các
bạn dồng nghiệp. Về nội dung, chúng tôi giới hạn vào những
ván dè cơ bản và thông d ụ n g như : khái niệm sai số, cách
tín h g ầ n đ ú n g nghiêm của m ột phương trình, của m ột hệ phương
trin h đ ại sổ tuyến tín h , phép nội suy, phương p h ả p binh phương
bé n h á t thành lập công thức thực nghiệm , tín h gần d ứ n g dạo
h àm và tích p h á n xác đ ịn h , tín h gần d ứ n g nghiệm của bài
toán Côsi dối vói phương trình vi p h ả n thường. Dảy là m ột tài
liệu m ỏ dầu cho môn phương pháp tín h , nên phương châm của
chúng tôi là : nhẹ phần chứng m inh, nặng p h ầ n gợi ý dán giải
rơ phư ơ ng p há p nêu rõ quy trình tính toán, có th í dụ m in h
hoạ, có bài tặp ôn luyện. Học xong giáo trình này sinh viên có

th ể sủ d ụ n g nhữ ng phương ph á p tin h dở trình bày d ề tín h tay
hay lập chương trình thực hiện trẽn máy vi tín h . C hủng tôi có
gàng là m rõ n h ữ n g khải niêm co bản như các loại sai sót các
công thức tín h , các thuật tin h cụ thể của mỗi phương pháp và
sư hội t.u của m ôt phĩtnng p h á p gần dứng nhưng không di tíău
vào p h ầ n lí thuyết tinh vi m à chù yếu là thông qua các giải
thích thông thường và các th í dụ m inh hoạ. Ngoài ra, có một
sỏ vốn dê tinh ui cùa m ôn phương pháp tỉnh, sin h viên nén
biết, n h ư n g không thẻ dưa vào chương trình g iả n g d ạ y, dược
giới th iệu vói bạn dọc thông qua một số phụ lục ngàn.
5


N h ư vậy, m ột
giáo trìn h
30 tiết ỏ hệ c h ín h quy có thể bỏ
qua các p h ụ lục và m ộ t vài chứng m in h , đ các hệ tại chức cỏ
thế bỏ qua các p h ụ lục và các chứng m inh.
Trong lần xu ố t bản đàu, cuốn sách không tránh khỏi thiếu
sót, chúng tôi m ong n h ậ n dược ý kiến n h ậ n xét, p hê bình của
bạn dọc.
C húng tồi xin
cảm ơn Khoa dại học Tại chức và Khoa Toán
- T in ứng d ụ n g Trường đ ạ i học Bách khoa H à N ôi dă khuyến
k h íc h chúng tồi hoàn th à n h euốn sách.
Tháng 7 năm 199 ỉ
T á c g iả

6

Chương 1

SAI SO

§1.1. SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI s ố

TƯONG Đ ố i

1. Sai số tuyệỉ đối
T rong tính gân đúng ta làm việc với các giá trị gán đúng
của các đại lượng. Cho nên vấn đê đầu tiên cần nghiên cứu,
là vấn đé sai sổ. Xét đại lượng đúng A cố giá trị gẩn đúng là
a. Lúc đđ ta nói "a xáp x i A" và viết "a 552 A". Trị tuyệt đối
|a - A | gọi là sai só tuyệt dối của a (xem là giá trị gần đúng
của A). Vì nói chung ta không biết sổ đúng A, n ê n không tính
được sai số tuyệt đổi của a Do đó ta tỉm cách ước lượng sai
số đó bằng sổ dương Aa nào đó lớn hơn hoặc bằng |a - A | :
I a - AI

Aa

( 1. 1)

,SỖ dương Aa này gọi là sai số tuyệt đối giói hạn của a. Rõ
rà n g nếu Aa đã là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi số
ồ ’ > Aa đổu cổ thể xem là sai số tuyệt đối giới h ạn của a. Vì
vậy tro n g nhữ ng điều kiện cụ thể người ta chọn Aa là số dương
bẻ n h ấ t có th ể dưoc thoả m ản ( 1 . 1 ).
Nếu số xấp xỉ a của A có sai số tuyệt đối giới hạn là Aa

thì ta quy ước viết :
A = a ± Aa

( 1 .2 )

với nghĩa của ( 1 . 1 ) tức là :
a -A a « A « a + A a

(1.3)
7


2. Sai số tương đối

Ti sổ

| - Ị^ “ — -—Ị-^Ị—- gọi là sai số tương đối của a (so

với A). Nói chung tỉ số đó không tính được vị 'A nói c h u n g
không biết.
Ta gọi tỉ số :
Aa

ía = 77
a
M
gọi là sai só tương đói giới hạn của a.

Ta suy

(1.4)

ra : Aa = | a | đ a

(1.5)

Các công thức (1.4) và (1.5) cho liên hệ giữa sai số tư d n g
đối và sai số tuyệt đối. Biết Aa thỉ (1.4) cho phép tính ỗ a, biết
á a thì (1.5) cho phép tính Aa.
Do

(1.5) nên (1.2) củng cóth ể viết

:

A = a ( l ± <5a)

(1.6)

Trong thực tế người ta xem Aa là sai số tuyệt đối và lúc đó
<5a cũng gọi là sai số tương đối.
3. Chú thích

Sai số tuyệt đối không nói lên đẩy đủ "chát lượng" của một
số xấp xỉ, "chất lượng" ấy được phản án h qua sai số tương đổi
Láy thí dụ : đo hai chiéu dài A và B được a = lOm với
Aa = 0,05m và b = 2m với Ab = 0,05m. Rõ rà n g phép đo A
thực hiện "chất lượng" hơn phép đo B. Diều đố không phản
ánh q u a sai số tu y ệt đối vỉ chúng bằng nhau, m à qua sai sô
tương đối :

0,05
^
c
0,05
ỗa =
10 = 0ĩ5% < ổb =
2

= 2,5%

§1.2. CÁ CH VIẾT SỐ XẤP XỈ
1. Chữ

SỔ

có nghĩa

Một số viết ở dạng th ậ p phân co th ể gổm nhiéu chữ ổố,
nhưng ta chỉ kể các chữ sổ từ chữ số khác không đầu tiên tính
8


từ trá i
chữ số

sang phài là chữ số có nghía. C hẳng hạn số 2,74 cổ ba
có nghĩa, sổ 0,0207 cùng có ba chữ số có nghỉa.

2. Chữ số đáng tin

Mọi số th ập phân đều có dạng :
a = ± 2 a s10s

trong đó : a s là những sô nguyên từ
65,807 viết :
65,807 = 6.10 1 + 5.10° 4- 8.10

(1.7)

đến

0

1

9

, chảng hạn só

+ 0.10" 2 + 7.10 * 3

tức là cđ dạng (1.7) với :
a x - 6, a Q = 5, a__ ị = 8, a_o = 0, a _3 = 7

.Giả sử a là giá trị xẩp xỉ của A với sai sô tuyệt đối giới
hạn Aa. Ta chú ý chữ sô a s là chữ số đứng ở h àn g thứ s của a.
Nếu Aa ^ 0 ,5 .10s thỉ nói a s là chữ số d á n g tin, nếu Aa > 0,5. 1 0 s
thị nói a s là chù số dáng n g h i.
N hư vậy là ta đã gán khái niệm sai số tuyệt đốĩ với khái
niệm chữ số đ án g tin.

T h í dụ : Cho a = 65,8274 với Aa = 0,0043 thỉ các chữ sổ
6 , 5, 8 , 2 là đáng tin, còn các chữ số 7, 4 là đáng nghi. Nếu
Aa = 0,0067 thỉ các chữ số 6 , 5, 8 là đáng tin còn các chữ số
2, 7, 4 là đ án g nghi.
Rỏ rà n g nếu a s ià đáng tin thì tấ t cá những chữ số cố nghía
đứng ở bên trái nd củng là đáng tin và nếu
a s là đáng nghi
thì tấ t cả n h ữ n g chừ sổ có nghỉa ỏ bên phải nó củng là đáng nghi.
3. Cách vỉềt số xấp xỉ

Cho số a là giá trị xấp xỉ của A với sai sổ tuyệt đối giới
hạn ỉà
Có hai cách viết số xấp xỉ a. Cách th ứ n h ấ t là viết
kèm theo sai số như ở công thức (1.2) hoặc (1.6). Cách thứ hai
là viết theo quy ước : m ọi chữ số có nghía là d án g tin. Một
sỗ viết theo cách thứ hai có nghĩa là nổ cd sai số tuyệt đối
giới hạn kh ô n g lớn hơn m ột nửa dơn vị ò h à n g cuối cùng. Các
bảng số cho sản như bảng lôgarit, v.v... thường in các số xấp
xi theo quy ước này.
9


§1.3. SAI SỐ Q UY T R Ò N
1. Hiện tượng quy tròn số và saỉ số quy tròn

Trong tính toán khi gặp một số cổ quá nhiéu chữ số đáng
nghi người ta bỏ đi một vài chữ số ở cuối cho gọn, việc làm
đó gọi là quy tròn sổ. Mỗi khi quy tròn m ột số người ta tạo
ra một sai số mới gọi là sai só quy tròn nó bằng hiệu giữa sổ
đã quy trò n và số chưa quy tròn. Trị tuyệt đối của hiệu đó gọi

là sai số quy tròn tuyệt đối. Quy tắc quy trò n phài chọn
sao
cho sai số quy tròn tuyệt đổi càng bécàng tốt, ta chọn quy tác
sau đây : quỵ tròn sao cho sai só quỵ tròn tuyệt dối không lớn
hơn m ột nừa dơn vị ỏ hàng dược giữ lại cuối càng, tức là 5
dơn vị ỏ hàng bò d i dầu tiên, cụ th ể là, néu chữ số bỏ di
dầu tiên ^ 5 thì thèm vào chữ sổ giữ lại cuối cũng một đơn
vị, còn nếu chữ só bỏ di đầu tiên < 5 thì d ể nguyên chữ số
giữ lại cuối cùng.
Thí dụ : Số 62,8274 quy tròn đến chữ số lẻ th ậ p phân thứ
ba (tức là giữ lại
các chữ số từ đẩu đến chữ sổ lẻ
th ập phân
thứ ba) sẽ th à n h
số 62,827 ; cũng số đổ quy trò n đến chữ Bố
lẻ thập phân thứ hai sẽ th à n h số
62,83 ; và cũng
sô đó quy
tròn đến ba chữ số có nghĩa (tức là chỉ giữ lại ba chữ số c ó ,
nghĩa) sẽ th ành số 62,8.
2. Sai sổ của sổ đã

quy tròn

Già sử a là số xấp xỉ của số đ ún g A với sai sô tuyệt đối
giới hạn là Aa. Giả sử ta quy tròn a th à n h a ’ thi | a ’ - a | là
sai số quy tròn tuyệt đối. Só lượng 6.ă thỏa mản
|a’ - a| < e3i

(1.8)

gọi là sai só quy tròn tuyệt đói giới hạn, cũng gọi là sai số quy
tròn tuyệt đối cho gọn.
Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn Aa, của a \ Ta cd :
a’ - A = a’ - a + a - A
Do đổ :
| a ’ - A | < | a ’ - a | + |a - A|
10

0a, + Aa


Vậy cổ th ể iáy :
+ ^a>

(1-9)

Rõ ràng Aa, > Aa tức là việc quy tròn só làm tăng sai số
tu 'ệ t đối giới hạn.
3. Ảnh hưởng của sai số quy tròn

Thí dụ : xét đại lượng A = (Ì2 l ) 10.Áp dụng công thức nhị
thíc N iutơn (Nevvton) ta có cOng thức đúng :
(V2 - l ) 10 = 3 3 6 i-2 3 7 8 \f 2
vớ

(1.10)

V2 = 1,41421356...

Bây giờ ta tỉn h hai vế của (1.10) bàng cách thay
số quy trò n (xem bảng 1 . 1 ) :

V2 bởi các

Bảng L I
Vế trái

<2
1,4
1,41
1,414
1,41421
1,414213563

Vế phải

0,0001048576
0,00013422659
0,00014791200
0,00014866399
0,00014867678

33,8
10,02
0,508
0,00862
0,0001472

Sụ khác biệt giữa các giá trị tính ra của hai vế chứng tỏ

H i g sai số quy tròn cđ th ể cổ những tác dụng rấ t đáng ngại
trcng các quá trỉn h tính toán. Ta nói qu á trìn h tín h A bầng
vế trái của (1.10) là quá trìn h tính ổn định, q u á trìn h tính A
bằig vế phải của ( 1 . 1 0 ) là quá trỉn h tín h không ổn định.

§1.4. CÁC Q U Y TẮC T ÍN H SAI s ố
1.

Mở

đổu

Xét hàm số u của hai biến sỗ X và y :
u = f(x, y)

•

( 1 .1 1 )

Cho biết sai số vể X và y, hảy lập công thức tính sai số vẽ u.

11


Để trá n h n h ầm lẫn trước hết ta nhấc lại ý nghĩa cùa CÍU'
ký hiệu :
Ax, Ay, Au chỉ các số gia của X, y, u.
dx, dy, du chi các vi p h â n của X, y, u.
A , Ay, Au lại là các sai sổ tuyệt đối của X, y, u. Theo định
nghỉa ( 1 . 1 ) ta luôn có :

|A x | sỉ Ax ; I Ày I sỉ Ay
Ta phải tỉm Au để ctí |A u |

(1.12)

< Au.

2. Sai số của tổng u = X + y

Ta có : Au = Ax + Ay
Ta suy ra I Au ị < I Ax I + I Ay I
Do đó theo (1.12) ta có :
I Au I « Ax + Ay
Ta chọn :
Ax+y = Ax + A y
để CÓ

(113)

I Au I 5^ Au. Vậy có quy tắc :

Sai số tuyệt đối (giới hạn) của m ột tổng bàng tổng các SQL
số tuyệt dối (giới hạn) của các số hạng.
Chú thích. Xét trư ờng hợp u = X - y với Xvà y
Lúc đó :
A .
u

cùng dẫu.

Ì!L . Ề L l h
M
|x - y |

Cho nên nếu ị X — y I r ấ t bé thì sai số tương đối giới han
rấ t lớn. Do đđ tro n g tính to án người ta tim cách tránh phải
trừ các số gần nhau.
3. Sai SỐ của tích u = xy
Ta cố : Au 55: du = ydx + xdy

|A u |
12

« Iy I I Ax I + ị X 1

* yAx
IAy I

+ xAy
|y |

+ |x I Aj


Ta suy ra : Au = Iy I Ax + IX IAy.
, 0' : Vu .

X

u|

- ỉ ĩ ỉ h l ú h
IxyỊ

„ Í L
|x |

♦

IyI

tức là cố :

<5xy = ỏx +<5y

(1.14)

Vậy có quy tắc : Sai số tương dối (giới hạn) của m ột tích
bàng tổng các sai sổ tương dói (giới hạn) của các sỗ h ạ n g của
tích. Dặc biệt ta có :
= náx ; n nguyên dương.

(1.15)

4. Sai số của thương u = x/y, y * 0

Tương tự như trườ ng hợp tích ta có quy tác :
S ai số tương dối của m ộ t thương bàng tổng các sai só tương
dốL của các số hạng :
ỗ

j ự

y

= <5X4-

ỗ

(1.16)

y

5. Công thức tổng quát
Cho :
u = ÍXxị , x2,

xn)

^
af
ta ctí sai số tuyệt đối : Ay = ^ Ị — I
1= 1
’

(1.17)

và từ đd ta suy ra sai số tương đối ổu theo định nghla (1.4).
T h i dụ : Tính sai số tuyệt đối (giới hạn) và sai số tương
đổi (giới hạn) của th ể tích hình cấu :

V = — Jid3

6
n^u c h o đ iíà n g kính d * 3 ,7 ± 0 ,0 5 cm và n =* 3 ,1 4 .

Giải. Xem 71 và d là đối số của hàm V, theo (1.14) và (1.15)
t a ed :

ỗ y = ốn + 3<5d
ỗn = 0,0016/3,14 = 0,0005
13


ỗd = 0,05/3,7 = 0,0135
Suy ra : <5V = 0,0005 + 3.0,0135 = 0,04
M ặt khác : V = ^ Trd3 = 26,5 cm 3
6

V ậ y cđ :

Ay

=

V =

2 6 ,5 .0 ,0 4
2 6 ,5 ±

=

1 ,0 6 «

l.lc m 3

l,lc m 3

§1.5. SAI S Ố T ÍN H TOÁN
VA SAI S Ố P H Ư O N G P H Á P
1. Mở đẩu

Khi giải gấn đứng m ộ t bài toán phức tạp ta phải th ay bài
toán đă cho bằng m ột bài toán đơn giàn hơn cổ th ể giải được
thông q u a việc thực hiện các phép tính thông thường bằn g tay
hoặc trê n máy tín h điện tử. Phương p h ả p thay bài toán phức
tạp bàng bài toản dơn giả n như th ế gọi là phư ơ ng p h ả p gần
dứng. Sai số do phương pháp gấn đứng tạo ra gọi là sai số
phương pháp. Để giải bài toán đơn giản ta phải thực hiện các
phép tín h thông thường, ta luôn luôn phải quy trò n các kết quả
tru n g gian. Sai số tạo ra bởi tấ t cà các lấn quy trò n như vậy
gọi là 8ữi số tín h toán. Sai só cuổi cùng là tổ n g hợp của hai
loại sai số phương pháp và tính toán nđi trên.
2. Thí dụ

a) Hảỵ tính tổng :

Giải. A là tổ n g của 6 ph ân sổ. Ta cd th ể tín h trự c tiếp A
m à khổng phải th ay nó b à n g một tổng đơn giồn hơn. v ì vậy ở
đây không cđ sai số phương pháp. Dể tín h A ta hày thực hiện
14

cái- phép chia đến ba chừ số lẻ thập phân và đán h giá các sai
sổ quy trò n tương ứng :
1
-3

= Y =

1

1

1

23 =

8

~
33

27

1

1

1 ,0 0 0

=

với ớ) =
ở2 =

0

0

= 0,037 với ớ3 = 1.10 ~ 4

II
1^
ỉ^

64 ”

1

1

125 '

53 “
1
3

1
216

0,005 với ớ6 = 4.10

Vậy A ~ a = 1,000 - 0,125 + 0,037 - 0,016 + 0,008
- 0,005 = 0,899
IA -.I

= 1 (1 -

1

) -

(± -0 ,1 2 5 ) + ( ì

- ( ị - 0,016) + ( Ặ - 0 ,0 0 8 ) |A -- a | «£ I —
- 3 - 11 I +
i Ị3
I
+
4*

“7
ì3
1

3

- 0 ,0 3 7 I
I
_________

0,005 I

-0 ,0 3 7 ) -

( i

-0 ,0 0 5 )

I

\—r - 00,125
,1 2 5 I +
2
I

+-1- - 0 ,0 1 6 I + I — - 0 ,0 0 8 1+
43
I
I 53
I

ỡị + 02 + ớ3 + e4 + ớ5 + e6 = 9.10'4

Do đổ
9

a = 0,899 là giá trị gấn đúng của A với sai số tính toán
10' 4
T a viết

A = 0,899 ± 9.10 ~ 4

(1.18)

15


b) H ây tín h đại lượng
1

B = l 33

1

1

. n-1

12

+ 3 33

-

+ (_ 1 )

1

n3 + -

vối sai số tuyệt đổi không vượt quá 5.10 3.
Giđi. Vế phải của B ]à một chuỗi số đan dấu hội tụ
Do đd việc tính B là hợp lý. N hưng vế phài là m ột "tổng vô
hạn sổ hạng", ta không th ể cộng hết số này đến số khác mãi
được. Do đó để tính B ta phải sử dụng một phương pháp gẩn
đúngr cụ th ể là thay B bàng tổng của n số h ạn g đầu :
B„ = ị

- i

+ ... ♦

Bài toán tính Bn đơn giản hơn bài toán tín h B. Lúc đrí
|B - Bn ị là sai số phương pháp, và số n phài được chọn sao
cho sai sổ phương pháp áy cộng với sai số tính toán vẫn còn
nhỏ hơn 5.10~3. Ta có :
|B - Bn| - I — ± — - — ± ~
+ ...
' ( n + 1)3
(n + 2 )
I
Ctheo lí thuyết vê chuỗi số đan dấu). Với n =
|B - B‘ i •= ị

= 343 •=

6

I <

(n + 1)
ta th ấ/ :

3 -10' 5

Ta chú ý rà n g B 6 = A đã tính ở trê n (xem 1.18) :

B6 = A = 0,899 ± 9.10-4
Vậy có th ể lấy B = 0,899. Để xét sai số ta cd

:

B - 0,899 = B - B6 + A - 0,899
IB - 0 ,8 9 9 1 « I B - B6 1 +
IB - 0 ,8 9 9 1 « 3.10

3

+ 9.10

IA - 0 ,8 9 9 1
4

< 4.10

3

Vậy ta đã tính được B « 0,899 với sai sổ tuyệt đối ktông
vượt q u á 4.10 " 3 :
B = 0,899 ± 4.10 - 3

16


Chú ý rằng : trong sai số tổng hợp cuối cùng có ph ấn của
gai số phương pháp và có phán của sai sổ tính toán, cho nên
ta phải khéo phân bổ sao cho sai số cuói cùng nhỏ hơn sai số
cho phép.

§1.6. PHỤ LỤC 1
s ự Ổ N Đ ỊN H CỦA M Ộ T QUÁ T R ÌN H T ÍN H
1. Mớ đẩu

Xét m ột
tinh ra m ột
nêu sai số
kh ông tá n g

quá trinh tính vô hạn (tức là gốm vô số bước) để
đại lượng nào đó. Ta nơi quá trìn h tính là ổn d in h
tín h toán tức là các sai sỗ quỵ tròn tích luỷ lại
vồ h ạ n .

N ếu sai số dó tỏng vô hạn thì ta nói quá trình tín h là
không ồn định.
Rõ rà n g nếu quá trịnh tính không ổn định thì khó cò hi
vọng tín h được đại lượng cấn tỉnh với sai số nhỏ hơn sai số
cho phép. Cho nên trong tính toán kị n h ấ t là các quá trình
tính không ổn định.
Dể kiểm tr a tính ổn định của một quá trìn h tính thường

người ta giả sử sai sỗ chi xảy ra tại một bước, sau đó các phép
tinh đổu làm đúng không có sai sổ, nếu cuối cùng sai số tính
toán không tâ n g vồ hạn thì xem như quá trình tính là ổn định.
2. Thí dụ

Xét q u á trìn h tính
y»+i = qyp

(1.19)

y ư vồ q c h o trư ớc.

G iả sử tại bước i xác định nào đó khi tính y x ta phạm một
sai số ỗ Ị (đây không phải là kí hiệu của sai số tương đối như
trước đây), nghĩa là thay cho y, ta chi thu được ỹị. Già sử :

|ỳị - yịl = <5, ổ > 0

(1.20)
7


13au đố thay cho yi+ ] ta ctí yj+ỉ với :

(1 2 1 )

ỹi+1 = qỹi
Lấy (1.21) trừ (1.19) v ế với vế ta được :

ỹị+1 -

y,+i = qỹị -

qyi

ỹi+1 -

y,+i = qừi -

yỏ

Tiếp theo ta có :
ỹ <+2 =

qỹ.+i

y.+2 = ^>+1
B àng phép trừ như trê n ta lại có :

ỹi+2 - yi+2 = q(ỹj+i - y.+i)
= q2 ( ỹ, - y.)
Một cách tổn g q u á t ta có :
ỹ |+ n I ỹ ị+ n -

y i+ n =
y ị+ n i

q n( ỹ i =

y .)

ỉ q ỉ " I ỹ i — y»ỉ

Như vậy, nếu ở bước i ta mắc m ột sai sỗ

Iy- y ị l

sau đó mọi phép tính đểu làm đú n g thỉ ở bước
saỉ sổ :
I ỹ ị+ n -

y .+ n l ■=

= ố và

i+ n tâ sậ mác

lq ỉ" ổ

Ta thấy có hai trư ờ ng hợp cẩn phân biệt :
1

) Trường hợp | q |
I ỹ ị+ n -

^ 1 - lúc đđ | q | n ^

y j+ n l

<

1 nên

sai

ÉÓ

ỗ v ớ i m
nghĩa là sai sổ tính to án bị chặn (không tă n g vô hạn). Vệy quá
trìn h tín h ốn định.
18


2) T rư ờ n g hợp I q I > 1 - Lúc đó I q I n tống khi n tă n g và
Ịq I n
00 khi n
00 , nên sai só
! ỹ .+ n -

y ị+ n l

00

khi n

°0

Vậy q u á trìn h tính khống ổn định.
T ro n g th ự c tế, mặc dù quá

cũng chỉ làm một số hữu hạn
quá trỉn h tín h ổn định mới hi
có th ể đ ạ t được mức độ chính

trình
tính là vô hạn, người ta
bước, nhưng vẫn phải đòi hỏi
vọng với một số hữu hạn bước
xác mong muốn.

BÀI TẬP

1. Khi đo một số góc ta được các giá trị sau :
a = 21°37’3” ;

b = 1°10”

Hãy tính sai số tương đối của các sổ xấp xi đố biết ràn g sai
sổ tu y ệ t đối tro n g các pháp đo là r .
. H ãy xác định sai sô tuyệt đổi của các số xáp xỉ sau đây
cho biết sai số tương đối của chúng :
2

a = 13267 ;

đa = 0,1%

b = 2,32 ;

sb =

0 ,7 %

3. Hãy xác định số các chữ số đáng tin tro n g các số a với
sai số tu y ệt đòi như sau :
a) a = 0,3941 ;

Aa = 0,25.10* 2

b) b = 38,2543 ;

Ab = 0,27.10"2

4. H ay Xốc định số nhưng chữ số đáng tin tro n g các số
với sai số tư ơ ng đối như sau :
a) a =

1,8921 ;

ỗa =

b) a =

22,351 ;

ỗa =

0,1.10 '

a

2

0,1
19


5. Hày quy
trò n các sổ dưới đây (xem là đúng) với ba chừ
sổ đáng tin và xác định sai số tuyệt đối A và sai số tương đồi
ỗ của chúng :
a) 2,1514 ;
c) 0,01204 ;

b> 0,16152;
d) -0,0015281.

. Hãy xác
định giá trị của hàm số dưới đây cùng với sai
số tuyệt đối và sai số tương đối ứng với nhừ ng giá trị của các
đối số cho với mọi chữ số cổ nghỉa đêu đáng tin :
6

a) u

= ln(x + y2) ;

X = 0,97 ;

y = 1,132

b) u

= (x + y 2)/z ;

X = 3 ,28 ;

ý = 0,932 ; z

7. Tính tổng s sau đây với

S "
8

n

+ ủ

ba chữ sốlẻ thập phân đáng

+ Ĩ3 + M + ử

+ Ì 6 + Ĩ7

. Tính sổ e :
.

với sai s 6

,

1

1

1

e = 1+ 1 ! + è + • • • + ả +
tuvệt đỗi không quá 1 0 ' 4

Trả lời
1. <5a = 0,13.10-4 ;

ỗb = 0 ,2 8 .1 0 '3

2. Aa = 0,13.102 ;

A b = 0,16.10

3. a) 2 ;

b) 4.

4. a) 3 ;

b) 1.

5. a) 2,15 ;

A = 0.14.10”2 ;

ỗ

*

= 0.65.10"3

b) 0,162 ;

A = 0,48.10“ 3 ; <5 = 0,3.1
c) 0,0120 ;

A = 0 ,4 .10- 4 ;

ỗ

= 0.33.10 '

; A = 0.19.10-5

;ỗ

= 125.10"2

d) -0,00153

2

6. a) u = 0,81 ; Au = 0,27.10-2 ; <5U = 0.33.10-2

b) u = 3,665 ; Au = 0,7.10 ' 2 ; <5U = 0,20.10 ~ 2
7. s = 0,511.
8. e = 2,7183 ± 0,0001.
20

= 1,1 3 2 .

tin

:


Chương 2

TÍNH GẦN ĐÚNG NGHIỆM THựC
CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

§2.1. N G H IỆ M VÀ K H O Ả N G PH Â N LI N G H IỆ M

1 . Nghiệm thực của phương trình một ấn
Xét phương trình một ẩn :
f(x) =

(2 . 1 )

0

trong đổ : f là một hà n số cho trước của đói số X.
Nghiệm thực của phương trinh (2 1) là số thự c a thỏa m ãn
(2 1) tức là khi t h a / a vào X ở v ế trái ta được :

f(a) =

( 2 .2 )

0

2. Ý nghĩa hình học
cúa nghiệm
T a vẽ đổ thị của hàm số :

y = f(x)

(2.3)

trong một hệ tọa độ vuông
góc Oxy (hình 2 -1 ). Giả sừ
đố thị cắt trụ c hoành tại một
M

th ì

đ iếm

M

này

có

tung đô y = 0 và hoành độ

X - a. Thay chúng v à o (2.3)
ta được :
0 = f (a)

(2 4 )

s

\m

>

X

o(

H ình 2 - ỉ

21


Vậy hoành độ a của giao
điểm M chinh là một nghiệm
của (2 . 1 )
Trước khi vẽ đố thị ta cũng
cđ th ể thay phương trìn h (2 . 1 )
bàng phương trình
tương
đương :
g(x) = h(x)

(2.5)

rổi vẽ đổ thị của hai hàm số
(hình 2 - 2 )
y = g(x),

y = h(x)

(2 .6 )

Giả sử hai đổ thị ấy cát nhau tại điểm M cổ hoành độ X = ơ
thì ta cố :
gia) = h (a)
Vậy
là một

(2.7)

hoành độ a của giao điểm Mcủa hai đố thị (2.6)
nghiệm của (2.5), tức là của (2.1).

chính

3. Sự tổn tại nghiệm thực của phương trình (2.1)

Trước khi tim cách tính g ẩn đúng nghiệm thực của phương
trìn h (2 . 1 ) ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay
không. Để trả lời ta cổ th ể dùng phương pháp đổ thị ở mục 2
trên . T a cũng có th ể dùng định lí sau :

Đ ịnh lí 2.1 - Nếu có hai số thực a và b (a < b) sao cho
f ( a ) v à f( b ) t r á i d ấ u t ứ c l à

f(a).f(b)

< 0

(2.8)

dồng thời f(x) liên tục
trên [a, b j thì ỏ trong khoảng [a, b]có
ít nh á t m ột nghiệm thực của phương trình (2.1).
22


Diếu đ(5 có th ể minh họa trên
đõ thị (hình 2-3). Đổ thị của

ly
5

hàm số y = f(x) tại a ^ X ^ b

một đường liên nổi hai ,điểm
A và B, A ở dưới, B ở trên trục
hoành, nên phải cát trục hoành
tại ít n h ấ t một điểm ở trong
khoảng từ a đến b. Vậy phương
trìn h (2 . 1 ) có ít n h ấ t một nghiệm
ở trong khoảng [a, b].

là

H ình 2 - 3

4.
Khoảng phân li nghiệm (còn gọi là khoàng cách li
nghiệm hay khoàng tách nghiệm)
Đ ịnh nghia 2.1 - K hoảng [a, bj nào dó gọi là khoảng p h ă n
li nghiệm của phương trình (2.1)nếu nó chứa m ộ t uà chỉ m ột
n g h iệ m của phương trinh đó.

Dể tỉm khoảng phân li nghiệm ta có định lí :
Đ ịnh li 2.2 - Nếu [a , b] Là m ột khoảng trong dó h àm số
f(x) liên tục và dơn d iệ u , đòng thời f(a) và f(b) trải dáu, tức
là có (2.8) thì [a , b] là m ột khoảng p h ả n h n ghiệm của phương
trìn h (2.1).
Diều ĩìtày có th ể minh họa bằng đổ thị (hỉnh
ĐỔ thị của hàm
cát trụ c hoành tại
một điểm ờ tro n g
[a, b] chứa một
nghiệm của phương

2

- 4 ).

sổ y = f(x)
một và chi
[a, b].

Vậy
và chi
một
trỉnh ( 2 . 1 ).

Nếu f(x) có đạo hàm thì điều
kiện đơn điệu cò th ể thay bằng
điều kiện không dồi dáu của đạo .
hàm

vi đ ạ o h à m

khổng dổi dãu

thì hàm số đơn điệu. Ta có :
Đ ịnh lí 2.3 - Nếu [a, b] là
m ột kh oảng trong dó h àm f(x)
liên tục, dạo hàm f'(x) không đổi

Hình 2-4
23


dău và f(a)t f(b) trái dáu thì [a, b] là m ột khoảng phởn ỈI
nghiệm cùa phương trình (2.1).
Muỗn tìm các khoảng phân li nghiêm cùa phương trình (2.1)
thường người ta nghiên cứu sự biến thiên của hàni số V = ỉ(x)
rổi áp dụng định lí 2.3.
5. Thí dụ
Cho phương trinh

f(x) = X3 - X - 1 = 0
(2.9)
Hãy chứng tỏ phương trin h này có nghiệm thực và tím
khoảng phân li nghiệm.
Giải : Trước hết ta xét sự biến thiên của hàm số f(x). Nó
xác định và liên tục tại mọi X, đổng thời
3x

f(x )

- 1 - 0 tại X -

±

V3

Ta suy ra bảng biến thiên
— 00

1

+

f(x )
f(x)
trong đ<5 : M

1

f(

fs)

-

— m—
_1_

f(l) = l 3 -

1

-

1

<

•T

H ũ
I

0

V

1
1

1

f(2) = 2 3 - 2 - 1 > 0

24

00

y

-1 /6
—
-■
■
■------— ——■"
t

Vậy khoàng [1, 2] chứa
nghiệm của phương trình (2 .9).

-* +

1< 0

3\[3 + \í 3

Vậy đổ thị cốt trục hoành
tại m ột điểm duy n h ấ t (h. 2 “ 5),
do đđ phương trìn h (2.9) có
một nghiệm thực duy nhất, ki

hiệu nó là a.
Ta tính thêm

00

0

. M
—oc —^

+

1AÍ3

- 1/V3
0

X

Hình 2-5

/

/


N hưng vi phương trình này chỉ co' một nghiệm nên chính nghiệm
ấv phân li ở trong [ 1 , 2 ).
ló m lại, phương trình (2.9) có m ót ng h iêm thục du y nhát
a r phân li ở trong khoảng [ 1 , 2 1 .

§2.2. P H Ư Ơ N G PH Á P CHIA Đ Ô I
1. Mô tả phương pháp

Xét phương trinh (2.1) với giấ th iế t nó có nghiệm thực a đã
phân li ở tro n g khoảng [a, b]. Lấy một_x G [a , b] làm giá trị
gắn đủng cho a thỉ sai sổ tuyệt đối \ã - a I < b - a. Đề co
sai số nhò ta tìm cách thu nhỏ dẩn khoảng phân li nghiệm
hằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân li nghiệm đã tìm ra.
Trước hết ta chia đôi khoảng [a, b], điểm chia là c = (a + b)/2.
Rồ ràng khoảng phân li nghiệm mới sẽ là [a, c] hay [c, b].
Ta tính f(e). Nếu f(c) = 0 thỉ c chính là nghiệm đúng a . Thường
thi f(c) * 0. Lúc đó ta so sánh dấu của f(c) với dấu của f(a)
đề suy ra khoảng phân li nghiệm thu nhỏ. N ếu f(c) trá i dấu
f(a) thỉ khoảng phân li nghiệm thu nhỏ là [a, c] . Nếu f(c)
cùng dấu f(a) thì khoảng phân li nghiệm th u nhỏ là [c, b]. Như
vậy sau khi chia đối khoảng [a, b] ta được khoảng phân li
nghiệm thu nhỏ là [a, cị hay [c, b], kí hiệu là [aj, b|], nd nằm
trong [a, b] và chỉ dài bàng nừa khoảng [a, b] tức là :
1

bj - aj = - (b - a).
Tiếp tục chia đỏi khoảng [a1? bị] và làm như trê n ta sẽ được
khoảng phân li nghiệm thu nhỏ mới, kí hiệu là [a2, b2], nó nằm
trong la,, bjl tức là tro n g [a, b] và chỉ dài bàng nửa khoảng
[;ij, b |] :
b2 - u2 -

1
2

1

(b, - a,) = ị 2 (b

a)

Ẩmể

Lặp lại việc làm trén đến ỉần thứ n ta được khoảng phản li
nghiệm thu nhò thứ n, kí hiệu là [an, bnJ, nó nằm trong [a, b]
và chi dài bằng l / 2 n của [a, b] :
25