Tài liệu ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 8 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Yên Lâm

Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2018 - 2019
Môn: Toán – Lớp 8
ĐỀ BÀI:
A. ĐẠI SỐ:
Câu 1:
a/ Phân tích đa thức: ( x 2  y 2  5) 2  4 x 2 y 2  16 xy  16 thành nhân tử.
b/ Cho P=1+x+x2+…+x2004+x2005
Chứng minh rằng: x.P - P=x2006 - 1
Câu 2:
a/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị là số
nguyên:

x3  x 2  2
x 1

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  9 x 2  6 x  5
Câu 3:
a/ So sánh hai số:

A  332  1
B  (3  1)(32  1)(34  1)(38  1)(316  1)

b/ Chứng minh rằng: n 3  6n 2  8n chia hết cho 48 với mọi số chẵn n.
Câu 4:
a/ Cho a  b  c  0 . Rút gọn biểu thức: M  a 3  b 3  c(a 2  b 2 )  abc
b/ Chứng minh rằng: ( x  3)( x  11)  2003 luôn luôn dương với mọi giá
trị của x.
Câu 5:
a/ Thực hiện phép tính: (2710  5.814.312  4.98.38 ) : 41.324

b/ Tìm số tự nhiên n để (5x n2 y 7  8x n2 y 8 ) chia hết cho 5x 3 y n1
Câu 6: Thực hiện phép tính:
1
1
1
1



x( x  y ) y ( x  y ) x( x  y ) y ( y  x)
1
1
1


b/
(a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)

a/

Câu 7:
Cho a  b  c  0 và a, b, c khác 0. Rút gọn biểu thức:
M

ab
bc
ac
 2
 2
2

2
2
2
a b c
b c a
c  a2  b2
2

Câu 8:
a/ Cho 12  2 2  32  ...  10 2  385 . Tính 2 2  4 2  6 2  ...  20 2
b/ Tính nhanh:

1 1
1
1


 ... 
2 2.3 3.4
2003.2004

Câu 9:
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
a/ Tìm a sao cho đa thức: x 3  ax 2  5x  3 chia hết cho đa thức
x 2  2x  3

b/ Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình

phương của hai biểu thức: x 2  2( x  1) 2  3( x  2) 2  4( x  3) 2
Câu 10:
a/ Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá
trị của biến
5(3x n1  y n1 )  3( x n1  5 y n1 )  5(3x n1  2 y n1 )  (3x n1  10)

b/ Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng:

a b c
3

3

3

 3abc

1 1 1
   0 . Tính giá trị của biểu thức:
a b c
bc ca ab
M


a
b
c

Câu 11: Cho

Câu 12: Rút gọn các biểu thức ( n là số nguyên dương)
1
1
1
1


 ... 
1.3 3.5 5.7
(2n  1)(2n  1)
1
1
1
1


 ... 
b/ B 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n  1)n  2

a/ A 

Câu 13:
a/ Tìm các số a và b sao cho phân thức

x2  5
viết được thành
x3  3x  2

a
b

x  2 ( x  1) 2

b/ Rút gọn phân thức sau: M 

x 40  x 30  x 20  x10  1
x 45  x 40  x 35  ...  x 5  1

Câu 14: Thực hiện phép tính:
a/

1
1
1
4
8
16





2
4
8
1 x 1 x 1 x
1 x
1  x 1  x16

b/ Chứng minh rằng:
Nếu

1 1 1
1
1
1
   2 và x+y+z=xyz thì 2  2  2  2
x y z
x y z

Câu 15: Cho phân thức: M 

x 5  2 x 4  2 x 3  4 x 2  3x  6
x 2  2x  8

a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định
b/ Rút gọn phân thức
c/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 0.

Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
B. HÌNH HỌC:

Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 60 0 , các đường phân giác BD và CE
cắt nhau tại I. Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F. Chứng
minh rằng:

a/ E và F đối xứng với nhau qua BD


b/ IF là tia phân giác của BIC
c/ D và F đối xứng với nhau qua IC.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T lần
lượt là trung
điểm của các đoạn OA, OB, OC.
a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh rằng ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc của
hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề
mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên
tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P,
trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM= CN = DP = AQ.
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Chứng minh rằng hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD
có chung tâm đối xứng.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông
góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF  CE, MF
cắt BC ớ N.
a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?




c/ Chứng minh rằng BAD  2 AEM

Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
ĐÁP ÁN:
Câu 1:
a/ ( x 2  y 2  5) 2  4 x 2 y 2  16 xy  16 = ( x 2  y 2  5) 2  4( x 2 y 2  4 xy  4)
= ( x 2  y 2  5) 2  4( xy  2) 2  ( x 2  y 2  5) 2  [2( xy  2)]2
= ( x 2  2 xy  y 2 )  1[( x 2  2 xy  y 2 )  9]  [( x  y) 2  1][( x  y) 2  9]
= ( x  y  1)( x  y  1)( x  y  3)( x  y  3)
b/ Ta có: P=1+x+x2+…+x2004+x2005
2
3
2005
+x2006
 x.P= x+x +x +…+x
2
3
2005
+x2006) - ( 1+x+x2+…+x2004+x2005)
 x.P – P = (x+x +x +…+x
= x+x2+x3+…+x2005+x2005-1-x-x2-…-x2004-x2005)
2006
=x
-1
Câu 2:

a/ Chia tử thức cho mẫu thức ta được thương là x2 và dư là 2
x3  x 2  2
2
= x2+
x 1
x 1
2
Để P(x) có giá trị nguyên thì
phải là số nguyên (Vì x2 luôn nguyên, x ).
x 1
 x-1 phải là ước của 2 (hay 2 phải chia hết cho x-1)
 x-1  1;1;2;2
 x  2;0;3;1
Vậy với x= 2; 0; 3; -1 thì biểu thức P(x) có giá trị nguyên.

Do đó: P(x)=

b/ A  9 x2  6 x  5  9 x2  6 x  1  4  (3x)2  2.3x.1  12  4  (3x  1)2  4
Vì 3x  12  0 với mọi x nên 3x  12  4  4
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 3x  1  0  x 

1
3

Câu 3:
a/ Ta có: A  332  1  (316  1)(316  1)  (316  1)(38  1)(38  1)
= (316  1)(38  1)(34  1)(34  1)  (316  1)(38  1)(34  1)(32  1)(32  1)
= (316  1)(38  1)(34  1)(32  1)(3  1)(3  1)
= 2(3  1)(32  1)(34  1)(38  1)(316  1)
Vậy A = 2.B

b/ n 3  6n 2  8n  48 với mọi số chẵn n
Ta có: n 3  6n 2  8n = n(n 2  6n  8)  n(n 2  4n  2n  8)
= n[n(n  4)  2(n  4)]  n(n  2)(n  4)
Đặt n  2k ( vì n chẵn)
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
Do đó: n(n  2)(n  4)  2k (2k  2)(2k  4)  2.2.2.k.(k  1)(k  2)
= 8(k  2)(k  1)k  48 ( vì k  2(k  1)k là tích ba số
nguyên liên tiếp nên 6k  )
3
Vậy n  6n 2  8n  48 với mọi số chẵn n
Câu 4:
a/ M  a 3  b 3  c(a 2  b 2 )  abc  a 3  b 3  a 2 c  b 2 c  abc
= (a 3  a 2 c)  (b 3  b 2 c)  abc  a 2 (a  c)  b 2 (b  c)  abc
= a 2 (b)  b 2 (a)  abc ( Vì a  b  c  0  a  c  b, b  c  a)
=  ab(a  b  c)  0
b/ ( x  3)( x  11)  2003  x 2  8x  33  2003  x 2  8x  1970
= ( x 2  8x  16)  1954  ( x  4) 2  1954
Vì x  42  0x  x  42  1954  0x
Vậy ( x  3)( x  11)  2003 > 0 với mọi x.
Câu 5:
a/ (2710  5.814.312  4.98.38 ) : 41.324 = (330  5.316.312  4.316.38 ) : 41.324
= (330  5.328  4.324 ) : 41.324  324 (36  5.34  4) : 41.324
= 328 : 41 = 8
b/ Để (5x n2 y 7  8x n2 y 8 ) chia hết cho 5x 3 y n1 thì:
n  2  3
n  5
n  2  3

n  1
n  5






n  6
n  1  7
n  6
n  1  8
n  7

Vậy n =5, n=6
Câu 6:
1
1
1
1



x( x  y ) y ( x  y ) x( x  y ) y ( y  x)
yx
yx
1
1




0
=
xy ( x  y) xy ( x  y ) xy xy
1
1
1


b/
(a  b)(a  c) (b  a)(b  c) (c  a)(c  b)
(b  c)  (a  c)  (a  b) b  c  a  c  a  b

0
=
(a  b)(a  c)(b  c)
(a  b)(a  c)(b  c)

a/

Câu 7:
a/ Vì a  b  c  0  a  b  c
Bình phương hai vế ta được: a 2  2ab  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab
Tương tự: b 2  c 2  a 2  2bc
c 2  a 2  b 2  2ac

Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa

Do đó: A 

ab
bc
ac
1 1 1
3



  
 2ab  2bc  2ac
2 2 2
2

Câu 8:
a/ Ta có: 2 2  4 2  6 2  ...  20 2 = 2 2 ( 12  2 2  32  ...  10 2 )  4.385  1540
1 1
1
1


 ... 
2 2.3 3.4
2003.2004
1 1 1 1 1
1
1
1
2003

= 1       ... 

 1

2 2 3 3 4
2003 2004
2004 2004

b/

Câu 9:
a/
-

x 2  2x  3

x 3  ax 2  5 x  3
x 3  2 x 2  3x

a  2x

xa2

2

 2x  3

(a  2) x 2  (2a  4) x  3a  6

6  2ax  9  3a

Để đa thức x 3  ax 2  5x  3 chia hết cho đa thức x 2  2 x  3 thì đa thức
6  2a  0
a3
9  3a  0

dư bằng 0 với mọi giá trị của x, do đó: 

Vậy với a=3 thì đa thức x 3  ax 2  5x  3 chia hết cho đa thức x 2  2 x  3
b/ Ta có x 2  2( x  1) 2  3( x  2) 2  4( x  3) 2
= x 2  2( x 2  2 x  1)  3( x 2  4 x  4)  4( x 2  6 x  9)
= x 2  2x 2  4x  2  3x 2  12x  12  4x 2  24x  36
= 10 x 2  40 x  50  ( x 2  10 x  25)  (9 x 2  30 x  25)
= x  52  3x  52
Câu 10:
a/ 5(3x n1  y n1 )  3( x n1  5 y n1 )  5(3x n1  2 y n1 )  (3x n1  10)
= 15x n1  5 y n1  3x n1  15 y n1  15x n1  10 y n1  3x n1  10
= 10
Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến x,
y.
b/ Ta có:
a+b+c = 0  a+b = -c  (a  b)3  (c)3
 a3  b3  3a 2b  3ab2  c3
 a3  b3 +3ab(a+b) =  c 3  a3  b3 +3ab(-c)=  c 3 hay a3  b3 - 3abc=  c 3
 a 3  b3  c3  3abc (đpcm)

Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
bc ca ab bc  ca  ab 

 1  
 1  
 1  3
=


a
b
c
 a
  b
  c

abc abc abc
 1 1 1


 3  a  b  c      3
=
a
b
c
a b c
1 1 1
Vì    0 nên M = -3
a b c

Câu 11: M 

Câu 12:

1
1
1
1


 ... 
1.3 3.5 5.7
(2n  1)(2n  1)
1 1 1 1 1 1 1
1
1
= (       ... 

)
2 1 3 3 5 5 7
2n  1 2 n  1
1
1  1 2n
n

= 1 
 .
2  2n  1  2 2 n  1 2 n  1
1
1
1
1



 ... 
b/ B 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n  1)n  2

1 1
1
1
1
1
1
=  



 ...

2  1.2 2.3 2.3 3.4
nn  1 n  1n  2 

a/ A 

 1
11
1
n 2  3n
nn  3
=  
  .


2  2 n  1n  2  2 2n  1n  2 4n  1n  2

Câu 13:
a/ (Dùng phương pháp hệ số bất định )
Ta có:

a
b
a( x  1) 2  b( x  2) ax 2  (2a  b) x  (a  2b)



x  2 ( x  1) 2
( x  2)( x  1) 2
x3  3x  2

x2  5
Đồng nhất các hệ số với phân thức 3
ta có:
x  3x  2
a 1
a 1
2a  b  0

b  2
a  2b  5

Vậy

1

2
x2  5

=
3
x  3x  2 x  2 ( x  1) 2

x 40  x 30  x 20  x10  1
x 45  x 40  x 35  ...  x 5  1
x 40  x 30  x 20  x10  1
= 5 40 30 20 10
x x  x  x  x  1  x 40  x 30  x 20  x10  1

b/ M 

=

x 40  x 30  x 20  x10  1
1
 5
40
30
20
10
5
x  x  x  x 1  x 1 x 1



 



Câu 14:
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
1
1
1
4
8
16





2
4
8
1 x 1 x 1 x
1 x
1  x 1  x16
2
2
4
8
16

=




2
2
4
8
1 x
1 x
1 x
1  x 1  x16
4
4
8
16
8
8
16
=






4
4
8

16
8
8
1 x
1 x
1 x 1 x
1  x 1  x 1  x16
16
16
32
=


16
16
1 x
1 x
1  x 32
1 1 1
1 1 1
b/ Ta có:    2  (   )2  4
x y z
x y z
1
1
1
1
1
1
 )4

 2  2  2  2( 
x
y
z
xy yz zx

a/

1
x2
1
 2
x
1
 2
x
1
 2
x


1
y2
1
 2
y
1
 2
y
1

 2
y

1
z2
1
 2
z
1
 2
z
1
 2
z





2( x  y  z )
4
xyz
2 xyz

 4 ( Vì x+y=z=xyz )
xyz
2 xyz
 4
xyz


 42 2

x 5  2 x 4  2 x 3  4 x 2  3x  6
Câu 15: M 
x 2  2x  8

a/ Giá trị của phân thức M được xác định khi:





x 2  2 x  8  0  x 2  2 x  1  9  0  x  1  9  0
2

 x  2x  4  0  x  2  0 và x  4  0  x  2 và x  4
Vậy với điều kiện x  2 và x  4 thì giá trị của phân thức M xác định.
b/ Ta có: x 5  2 x 4  2 x 3  4x 2  3x  6
= x 4 x  2  2 x 2 x  2  3x  2  x  2x 4  2 x 2  3





= x  2 x 2  1  4  x  2x 2  3x  1x  1

Vậy M 

2

x  2x  3x  1x  1  x 2  3x  1x  1
x  2x  4
x4
2

c/ Giá trị của phân thức M bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0
Do đó: x 2  3x  1x  1  0
 x  1  0 hoặc x  1  0 (vì x 2  3  0x)
 x  1 hoặc x  1( thỏa điều kiện)
Vậy với x  1, x  1 thì M = 0
HÌNH HỌC
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa


Bài 1: Cho tam giác ABC có A = 60 0 , các đường phân giác BD và CE
cắt nhau
tại I. Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F.
Chứng minh rằng:
a/ E và F đối xứng với nhau qua BD


b/ IF là tia phân giác của BIC
c/ D và F đối xứng với nhau qua IC.
Chứng

minh:

A



60 D
E I
O12 4
3
1
F

B

C

Gt


ABC , A = 60 0 , BD và CE là các đường phân

Kl

giác
BD  CE = I, EF  BD( F  BC )
a/ E và F đối xứng với nhau qua BD


b/ IF là tia phân giác của BIC
c/ D và F đối xứng với nhau qua IC.

a/  v EOB   v FOB (cạnh gv- gn)
 EBF cân tại B


Do BD là tia phân giác của B nên BD là đường trung trực
của EF.
Vậy E và F đối xứng với nhau qua BD.






b/ Do A = 60 0  B1 + C 2 = 60 0


 BIC = 120 0






 I 1 = 60 0  I 2 = 60 0  I 3 = 60 0


Vậy IF là tia phân giác của BIC
c/ IDC  IFC (g-c-g)
 IF = ID, CF = CD
Do đó CI là đường trung trực của DF

Vậy D và F đối xứng với nhau qua CI.
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T lần
lượt là trung
điểm của các đoạn OA, OB, OC.
a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh rằng ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Chứng minh:
A

M

S

R

T

O

B

P

N

C

GT ABC , O là trực tâm của tam giác
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC,
AC
R, S, T lần lượt là trung điểm của OA, OB,
OC.
KL a/ Tứ giác MPTS là hình chữ nhật
b/ Ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường.
a/ Trong  ABC có MP là đường trung bình
 MP // BC và MP 

1
BC (1)
2

 BOC có ST là đường trung bình
1
(2)
 ST // BC và ST  BC
2
Từ (1) và (2)  MP // ST và MP = ST

Do đó tứ giác MPTS là hình bình hành
Do MP // BC và MS // AO


Mà AO  BC (gt) Nên MP  MS hay SMP  90 0

Vậy hình bình hành MPTS có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh tương tự, tứ giác MRTN là hình chữ nhật.
Hai hình chữ nhật MPTS và MRTN có chung đường chéo MT
Nên ba đoạn MT, SP, RN bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường.

Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc của
hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề
mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD.
Chứng minh:
M

B

C

F
E
1

A

G
H

1
D

N


GT ABCD là hình bình hành.
Các tia phân giác của các góc của hình bình
hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
KL a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề
mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD.
a/ Trong  AFD ta có:




A1  D1 

1  
1
( A D)  .180 0  90 0
2
2



Nên AFD = 90 0




Tương tự BHC = 90 0 , AEB  90 0


Do đó: HEF  90 0
Vậy tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
b/ Do EFGH là hình chữ nhật nên:
EG = FH
EF // HG
 AM // NC, MC // AN (gt)
 Tứ giác ANNC là hình bình hành.
 ABM có BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên 
ABM cân ở B.
Do đó E là trung điểm của AM (1)
Tương tự G là trung điểm của CN (2)
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
Từ (1) và (2)  EG là đường trung bình của hình bình hành
AMCN
Nên EG =

1
( MC  AN )  MC
2

Do ABM cân ở B nên BM = BA Vì thế CM = CB – BM = CB

– BA
Vậy EG = FH = CB – BA
Bài 4: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên
tia đối của tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P,
trên tia đối của tia AD lấy điểm Q sao cho BM= CN = DP = AQ.
a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Chứng minh rằng hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD
có chung tâm đối xứng.
Chứng minh:

Q
A
P

O

B
M

C

D
N

ABCD là hình thoi, M  tia đối của tia BA
GT N  tia đối của tia CB, P  tia đối của tia DC,
Q  tia đối của tia AD sao cho BM = CN =
DP = AQ
KL a/ Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Hình bình hành MNPQ là hình thoi.

ABCD có chung tâm đối xứng.
a/  BMN =  DPQ (c.g.c)
 MN = PQ
 AMQ =  CPN (c.g.c)
 QM = NP
Tứ giác MNPQ có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình
hành.
b/ Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại
trung điểm O của mỗi đường (1)
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
Tứ giác AQCN là hình hành (AQ // NC và AQ = NC)
Nên hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm O
của mỗi đường (2)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo MP
và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (3)
Từ (1), (2) và (3)  O là giao điểm hai đường chéo của
hình thoi ABCD và O cũng là giao điểm hai đường chéo của
hình hành MNPQ nên O là tâm đối xứng chung của hai hình đó.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông
góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MF  CE, MF
cắt BC ớ N.
a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?




c/ Chứng minh rằng BAD  2 AEM
Chứng minh:
E
F

1
B

C
N


A

3 2
1
M

D

ABCD là hình bình hành, AD = 2AB,
GT CE  AB, M là trung điểm AD, nối EM,
MF  CE, MF cắt BC ớ N.
KL a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao?




c/ Chứng minh rằng BAD  2 AEM

a/ Ta có AB // CD
AE  EC (gt)
MF  CE
 AE // MF
Nên AE // MF // DC, do AD = 2AB
 MN = MD = DC = NC
Nên Tứ giác MNCD là hình thoi
b/  MEC cân tai M vì có MF là đường cao.
Đề thi môn Toán 8


Tổ Toán - Trường THCS Yên Lâm –Yên Định - Thanh Hóa
Có EF = FC nên là đường trung tuyến.
c/ MC là đường chéo của hình thoi MNCD


Nên MC là đường phân giác của NMD




Ta có M 2 = M 3








M 3 = E1 ( so le trong)










Do đó A = NMD = M 1 + M 2 = M 3 + M 2 = 2 E1




Vậy BAD  2 AEM (đpcm).
---Hết--Yên Lâm, ngày 02/12/2018
GV biên soạn: Nguyễn Việt Toàn và Trịnh Ngọc Qúy

Đề thi môn Toán 8