Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆➷◆● ❚❍➚ ▼❹❨

❑❍❯◆● ❑➌❚ ❍ÑP ✣➮■ ◆●❼❯

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆➷◆● ❚❍➚ ▼❹❨

❑❍❯◆● ❑➌❚ ❍ÑP ✣➮■ ◆●❼❯
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ●✐↔✐ ❚➼❝❤
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ◗❯Ý◆❍ ◆●❆

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾


ớ
ổ

t ủ ố

ổ

tr ự ồ ở ừ r tổ ữợ sỹ ữợ
ồ ừ

ý

ở ự t q

tr tr tỹ ữ tứ ổ ố ữợ t ý
tự trữợ
r tr tổ ỏ sỷ ử ởt số t q t
ừ t õ tr ú t ỗ ố
t t ý sỹ tổ t tr
ở ừ

t


ổ

ừ ổ


ừ ữớ ữợ

ý



ớ ỡ
t t t tú õ ồ ợ t
t tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ trữớ ồ ữ
t tổ õ ổ trữớ ồ t tốt tr sốt
tớ tổ ồ t ự t trữớ
ổ ỷ ớ ỡ tợ

ý

ú ù tổ

tr sốt q tr ự trỹ t ữợ tổ t
tốt ỗ tớ tổ tọ ỏ ỡ tợ t ổ tr
ú ù t tổ tr sốt q tr
ồ t t tốt
ổ t ỡ

t


ổ

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✐
✐✐
✐✐✐
✶
✸

✶✳✶

❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✷

❑❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✸

❑❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✷ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉

✶✸

✷✳✶

❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✷✳✷

❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✷✳✷✳✶

❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷ñ❝ tø ❝→❝ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦
tr→✐ ❝õ❛ t♦→♥ tû ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✷✳✷

✷✵

❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷ñ❝ tø ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐
♥❣➝✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

❑➳t ❧✉➟♥

✷✼

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✽
✐✐✐


▲í✐ ♠ð ✤➛✉
❚r♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì✱ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì sð✱ ♥❤í ✤â ♠é✐ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â
t❤➸ ✈✐➳t ♥❤÷ tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❝ì sð✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✤➸ trð t❤➔♥❤ ❝ì sð ❦❤→ ❝❤➦t ❝❤➩✱ ❦❤æ♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ sü ♣❤ö t❤✉ë❝ t✉②➳♥
t➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❝ì sð✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❧➔♠ ❝❤♦ ❦❤â t➻♠ ❤♦➦❝ t❤➟♠
tr➼ ❦❤æ♥❣ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝ì sð t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜ê s✉♥❣✳ ✣➙② ❧➔
❧þ ❞♦ ✤➸ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤✐ t➻♠ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö ❦❤→❝ ❧✐♥❤ ❤♦↕t ❤ì♥ ✈➔ ❦❤✉♥❣ ❝❤➼♥❤
❧➔ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö ♥❤÷ ✈➟②✳ ❑❤✉♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû

tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥❤÷ ♠ët tê ❤ñ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✈æ ❤↕♥✮ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣
❦❤✉♥❣ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ✤á✐ ❤ä✐ t➼♥❤ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤✉♥❣✳
❑❤✉♥❣ ✤÷ñ❝ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✺✷ ❜ð✐ ❘✳ ❏✳ ❉✉❢❢✐♥ ✈➔ ❆✳ ❈✳ ❙❝❤❛❡❢❢❡r
tr♦♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤✉é✐ ❋♦✉r✐❡r ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❤á❛✳ ❱➔♦ ♥➠♠ ✶✾✽✵ ❘✳ ❨♦✉♥❣
✤➣ ✈✐➳t ❝✉è♥ s→❝❤ ❝â ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤✉♥❣✱ ❧↕✐ tr♦♥❣ ♥❣ú ❝↔♥❤
❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❋♦✉r✐❡r ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❤á❛✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ♣❤↔✐ ✤➳♥ ♥➠♠ ✶✾✽✻✱ s❛✉ ❜➔✐
❜→♦ ❝õ❛ ■✳ ❉❛✉❜❡❝❤✐❡s✱ ❆✳ ●r♦ss♠❛♥♠ ✈➔ ❨✳ ▼❡②❡r t❤➻ ❧þ t❤✉②➳t ❦❤✉♥❣ ♠î✐
✤÷ñ❝ ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠ rë♥❣ r➣✐✳ ❑❤✉♥❣ ❝â ♥❤✐➲✉ ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣
①û ❧þ t➼♥ ❤✐➺✉✱ ❧þ t❤✉②➳t ♠➟t ♠➣✱ ❧þ t❤✉②➳t ❧÷ñ♥❣ tû✱ ♥➨♥ ❞ú ❧✐➺✉✱✳ ✳ ✳
❑❤✐ ❝➛♥ ①û ❧þ ♠ët ❦❤è✐ ❧÷ñ♥❣ ❧î♥ ❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉✱ t❛ t❤÷í♥❣ ❝➛♥ ❝❤✐❛ ♥❤ä
❤➺ ❦❤✉♥❣ r❛ t❤➔♥❤ ♥❤ú♥❣ ❤➺ ❝♦♥ ♥❤ä ❤ì♥ ✈➔ tê ❤ñ♣ ❧↕✐ ❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉ ♠ët
❝→❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❱➻ t❤➳ P✳ ❈❛s❛③③❛ ✈➔ ●✳ ❑✉t②♥✐♦❦ ❬✷❪ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠
❦❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✭❋r❛♠❡ ♦❢ s✉❜s♣❛❝❡s✮✳ ▼ët t➯♥ ❣å✐ ❦❤→❝ ❝õ❛
❦❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✭❋✉s✐♦♥ ❢r❛♠❡✮✳ ❑❤✉♥❣ ❦➳t

✶


❤ñ♣ ❝â t❤➸ ①❡♠ ♥❤÷ ❧➔ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣✳ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❧➔ ♠ët
❝æ♥❣ ❝ö t♦→♥ ❤å❝ ✤➸ ①û ❧þ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ①û ❧þ t➼♥ ❤✐➺✉ ♣❤➙♥ t→♥ ✈➔ tê♥❣
❤ñ♣ ❞ú ❧✐➺✉✳ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t➼♥ ❤✐➺✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣
❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tr➯♥ ♠ët ❤å ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝❤ç♥❣ ❧➯♥ ♥❤❛✉✳ ❱î✐ ♠♦♥❣
♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐
♥❣➝✉✱ ❞♦ ✤â tæ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✏ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉✑ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥
❝❛♦ ❤å❝✳

✷


ữỡ

tự
r ữỡ ú tổ s ởt t q ỡ s
ũ tr ữỡ s ở ừ ữỡ ữủ tr ỹ tr
t t

tỷ t t tr ổ rt
tỷ t t tứ ổ rt

K

H

ổ rt

tử õ tỗ t số

C>0

s



T x C x , x H.


B(H, K)

K

H=K

t ủ tt t tỷ t t tứ

t

ừ



B(H, K)

ữủ ỡ

H



B(H)

T B(H, K) ữủ số ọ t tọ

õ ởt tữỡ ữỡ

T = sup{ T x : x H, x 1}
= sup{ T x : x H, x = 1}.

sỷ H, K, L ổ rt T



B(H, K) t tỗ t t ởt tỷ T B(K, H) s
(T x, y) = (x, T y), x K, y H.
ỡ ỳ
(aS + bT ) = aS + bT
(RS) = S T
(T ) = T
I = I tr õ I B(H) t tỷ ỗ t
t T ụ (T 1 ) = (T )1 tr
õ S, T B(H, K), R B(K, L) a, b C

sỷ T B(H, K) S B(K, L) õ
T x T

x , x H

ST S

T

T = T
T T = T


2

T B(H)

ữủ ồ t tỷ tỹ ủ

ữủ ồ ữỡ

T, K B(H), T K



(T T x, x) = (T x, T x) 0

T 0

T K 0
ợ ồ



(T x, x) 0

ợ ồ

ú ỵ r ợ ộ

x H

õ

T T

T = T
x H

T B(H)

t

ữỡ

T : H H t tỷ t t sỷ
T x, x = 0 ợ ồ x H õ

H ổ rt ự t T = 0
H ổ rt tỹ tỹ ủ t T = 0



ớ t s ởt t tỷ t t t õ
trỹ tr ởt ổ õ ừ ổ rt

H
ổ õ ừ
t ữợ

M (y + z) = y
M (y+z)
ợ ồ

2

x=y+z

H ộ tỷ x H õ t
ợ

y M, z M

ởt t tỷ t t

2

= y

y 2+ z

2

= y+z

2

Pữỡ tr

M : H M

ứ õ

ỡ ỳ

M (y+z) y+z

y M, z M

õ

M = 1

M



trứ trữớ ủ

M 1

M = {0}





M (y) = y

P = 0

ợ ồ

ú ỵ r

yM



2
M
= M




M = M


t t
ở ừ ử ữủ tr ỹ tr t t
ứ tr s ú tổ ỵ

H

ổ rt

ởt t số ỳ ữủ


ừ

H

ởt

tỗ t số

f

2

{fi }iI

ừ tỷ tr

0<<

H ởt

s

| f, fi |2 f 2 , f H





iI
t õ t tự r t t ồ
ừ

{fi }iI

ss

H
số

,

ữủ ồ ừ

ồ ss tr trữớ ủ

{fi }iI

{fi }iI





ữủ

ss ú ổ

t tr tố ữ ữợ ú ừ tt tr
ừ ữợ tố ữ tr ú ừ tt
ữợ ừ ú ỵ r tố ữ tỹ sỹ ừ

ởt ữủ ồ t t õ t ồ

ừ ữủ ồ Prs

=

= = 1

t õ ừ t t ố õ tr



ũ ú tr ữợ ừ ú ỵ r ỡ
ợ tt ỳ ừ tờ qt õ ử ởt tr
ởt số õ ss ữủ tọ
r trữớ ủ ổ


H ỳ t {fi }m
i=1

span{fi }m
i=1 = H
H

ừ ổ ỳ

g

ổ tở

H

, > 0

t tự tr ừ

2

g

0

õ



f =g

span{fi }m
i=1 = H

ởt

t tỗ t

ỳ tọ ứ

g, fi = 0, i = 1, 2, .., m



t

s r t

0

t tự r

m

m
2

| f, fi |
i=1

m

f

2

fi

2

m

=

fi

2

i=1
2



i=1

:HR

fi 2 ) f

=(

i=1

õ t õ t ồ
t

{fi }m
i=1

span{fi }m
i=1 = H õ t tt ổ t ở

ớ sỷ

fi

g = 0



g, fi = 0, i = 1, 2, .., m

s

ừ t tỗ t số

õ

t sỷ

ởt

m



(f ) =

| f, fi |2

i=1
t



tử

H t t õ t t g H ợ g = 1

ỡ tr
s

m

m
2

i=1
ó r

| f, fi |2 : f H, f = 1 .

| g, fi | = inf

:=
> 0

i=1

ợ ộ

f

ổ tr

m

m
2

| f, fi | =
i=1

i=1

f
, fi
f


H

t õ

2

. f

2

f

2


❱➻ ✈➟②

{fi }m
i=1

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
♥➳✉

{fi }∞
i=1

✭✐✮

{ek }∞
k=1

H

❧➔ ✈æ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉ t❤➻ t❛ ❝❤➾ ❝â ♠ët ❝❤✐➲✉✳ ❈ö t❤➸

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✸✳

H✳

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝❤♦

●✐↔ sû

{ek }∞
k=1

H

t❤➻

span{fi }∞
i=1 = H✳

❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛

H✳

❑❤✐ ✤â

❧➔ ❦❤✉♥❣ P❛rs❡✈❛❧✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ✤÷ñ❝ tø ✤➥♥❣ t❤ù❝ P❛rs❡✈❛❧✳

✭✐✐✮ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➦♣ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❞➣②

{ek }∞
k=1

❤❛✐ ❧➛♥ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ...}
t❤➻

{fk }∞
k=1

❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣

α = 2✳

◆➳✉ ❝❤➾

e1

✤÷ñ❝ ❧➦♣ ❧↕✐ t❛

t❤✉ ✤÷ñ❝

{fk }∞
k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ...}
t❤➻

{fk }∞
k=1

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ ❝➟♥

α = 1, β = 2✳

∞
√1
√1
√1
√1
√1
{fk }∞
k=1 := {e1 , 2 e2 , 2 e2 , 3 e3 , 3 e3 , 3 e3 , ...}✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ {fk }k=1
1
❧➔ ♠ët ❞➣② ♠➔ ♠é✐ ✈❡❝tì √ ek ✤÷ñ❝ ❧➦♣ ❧↕✐ k ❧➛♥✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠é✐ f ∈ H ❝â
k

✭✐✐✐✮ ●✐↔ sû

∞

∞
2

| f, fk | =
k=1
❱➻ t❤➳

{fk }∞
k=1

1
f, √ ek

k

k
k=1

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ❝õ❛

❚❛ ❦þ ❤✐➺✉

H

2

= f 2.

✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣

l2 (I) = {{ck }k∈I ⊂ C :

α = 1✳

|ck |2 < ∞}✳
k∈I

✣à♥❤ ❧þ s❛✉ ❝❤♦ t❛ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✹✳ ❉➣② {fk }k∈I tr♦♥❣ H ❧➔ ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ ❇ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
T : {ck }k∈I →

ck fk

k∈I

❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ tø l2 (I) ✈➔♦ H ✈➔ T ≤

✼

√

B✳




{fk }kI

ss t ỵ t tỷ

T : l2 (I) H, T {ck }kI =

ck fk



kI
t tỷ ữủ ồ t tỷ tờ ủ
ồ

T : H l2 (I)

ừ t ừ

t tỷ ủ ừ

l2 (I)

{ei }iI

ỡ s trỹ

ei

tự ỗ tỡ



tr tự tt tr ỏ ứ t s r
ợ ồ

i I

ừ t tỷ ủ ợ ồ

T (ei ) = fi

iI

t õ

T f, ei = f, T (ei ) = f, fi
ứ õ

ủ

T

T f = { f, fi }iI T


T

ữủ ồ t tỷ t

t t ữủ t tỷ

S : H H, Sf = T T f =

f, fk fk



kI
t ởt t t q trồ ừ

ờ sỷ {fi}iI ởt ợ t tỷ
, õ t õ s
tỹ ủ t tỷ ữỡ
{S 1 fi }iI ởt ợ 1 , 1 , tố
ữ ừ {fi }iI t 1 , 1 tố ữ ừ {S 1 fi }iI
tỷ ừ {S 1 fi }iI S 1

{S 1 fi }iI

ữủ ồ ố t ừ

{fi }iI

ỹ tr ữủ t ữợ t q q trồ
t õ r r
tỷ tr

H

{fi }
i=1

ởt ừ

H

t ộ

õ t ữ ởt tờ ủ t t ổ ừ

tỷ rt tỹ ởt ữ ởt
ỡ s tờ qt




✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✻✳ ●✐↔ sû {fi}∞i=1 ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ✈î✐ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ ❙✳ ❑❤✐ ✤â

∞

f, S −1 fi fi , ∀f ∈ H.

f=

✭✶✳✺✮

i=1

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼✳ ❈❤♦ {fk }k∈I ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ H ✈➔ f
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ f =

∈ H✳ ◆➳✉ f ❝â

ck fk ✈î✐ ❝→❝ ❤➺ sè {ck }k∈I ♥➔♦ ✤â t❤➻
k∈I

| f, S −1 fk |2 +

|ck |2 =
k∈I

k∈I

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✽✳
sè

{ f, S −1 fk }k∈I

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✾✳
αIH ✳

k∈I

❚ø ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✻ ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✼ t❛ s✉② r❛ ❞➣② ❝→❝ ❤➺
❝â ❝❤✉➞♥

◆➳✉

l2

{fi }i∈I

♥❤ä ♥❤➜t tr♦♥❣ sè ❝→❝ ❞➣② ❜✐➸✉ ❞✐➵♥

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣

❚❤➟t ✈➟② t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

| f, fi |2 = α f

♥➳✉

|ck − f, S −1 fk |2 .

2

{fi }i∈I

t❤➻

S=

❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝❤➦t ✈î✐ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣

f ∈ H✳

✱ ✈î✐ ♠å✐

α

f✳

α

✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

i∈I

Sf, f = α f, f

✈î✐ ♠å✐

f ✳ ❚❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✸ ✤✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐

S = αIH ✳
✣à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ♠ët ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ t❤æ♥❣ q✉❛ t♦→♥ tû
tê♥❣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♥â✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✶✵✳ ▼ët ❞➣② {fk }k∈I tr♦♥❣ H ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
T : {ck }k∈I →

ck fk
k∈I

❧➔ t♦→♥ tû ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tø l2 (I) ❧➯♥ H✳

✶✳✸ ❑❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳
❚✳ ▼ët ❦❤✉♥❣

❈❤♦

{gk }k∈I

{fk }k∈I

❝õ❛

H

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛

H

✈î✐ t♦→♥ tû tê♥❣ ❤ñ♣

✈î✐ t♦→♥ tû tê♥❣ ❤ñ♣

U

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤è✐ ♥❣➝✉

✾


❝õ❛ ❦❤✉♥❣

{fk }k∈I

♥➳✉ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤æ✐ ♣❤ö❝ s❛✉

f = U T ∗f =

f, fk gk

✈î✐ ♠å✐

f ∈ H.

✭✶✳✻✮

k∈I
✣➦❝ ❜✐➺t✱ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✻ t❤➻ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝
❝ô♥❣ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛

{fk }k∈I

{S −1 fk }k∈I

t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ tr➯♥✳

❇➙② ❣✐í t❛ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ♠ët ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠å✐ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉

{gk }k∈I

❧✐➯♥ ❦➳t ✈î✐ ❦❤✉♥❣

{f}k∈I

✤➣ ❝❤♦✳ ❚❛ q✉❛♥ s→t ✭✶✳✻✮ ♥❣❤➽❛ ❧➔

U T ∗ = IH .
❚❛ ❜➢t ✤➛✉ ✈î✐ ♠ët ❜ê ✤➲✱ ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ ✈❛✐ trá ❝õ❛

✭✶✳✼✮

{fi }∞
i=1

✈➔

{gi }∞
i=1

❝â

t❤➸ t❤❛② t❤➳ ♥❤❛✉ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦❤✉♥❣ ❞÷î✐ tü ✤ë♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈î✐ ❝→❝ ❞➣②

❇❡ss❡❧

{fk }k∈I , {gk }k∈I

♥➳✉ ✭✶✳✻✮ ✤ó♥❣✳

❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✷✳ ●✐↔ t❤✐➳t {fk }k∈I ✈➔ {gk }k∈I ❧➔ ❝→❝ ❞➣② ❇❡ss❡❧ tr♦♥❣ H✳ ❑❤✐
✤â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
∞

✭✐✮ f =

f, gi fi , ∀f ∈ H✳

i=1
∞

✭✐✐✮ f =

f, fi gi , ∀f ∈ H✳

i=1

✭✐✐✐✮ f, g =

∞

f, fi gi , g , ∀f, g ∈ H
i=1

❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥✱ {fk }k∈I ✈➔

{gk }k∈I ❧➔ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ H✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû t❛ ❝â ✭✐✮ ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔

❝↔ ❤❛✐ ✈➳ t❛ s✉② r❛

∗
(T U ∗ )∗ = IH

T U ∗ = IH ✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➜② ❧✐➯♥ ❤ñ♣

❤❛②

U T ∗ = IH
tù❝ ❧➔ t❛ ❝â ✭✐✐✮✳ ❚÷ì♥❣ tü ♥➳✉ t❛ ❝â ✭✐✐✮ t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ❝â ✭✐✮✳ ❘ã r➔♥❣ r➡♥❣ ✭✐✐✮
❦➨♦ t❤❡♦ ✭✐✐✐✮ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❧➜② t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ✈î✐

✶✵

g✳

✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤


t t ố

f H

f, fk gk

ợ r

ữủ

kI
t ữ ởt tỷ tr
ss tr

H

H



{fk }kI



{gk }kI



ứ s r r

f

f, fk gk , g

= 0, g H

kI
ứ õ s r
r trữớ ủ tữỡ ữỡ tọ t õ t t

f

2

f, fk

= f, f =

gk , g , f H

kI
ỷ ử t tự r ởt tr ồ

{gi }
i=1

{fi }
i=1



ởt ss t t ữủ ồ tọ

ữợ
tọ t õ tr ừ

T

ờ sỷ {fk }kI ởt ừ H ợ t tỷ tờ ủ
{k }kI ỡ s trỹ t l2 (I) ố ừ {fk }kI
ồ {gk }kI = {V k }kI V : l2 (I) H tr
ừ T

ờ sỷ {fk }kI ợ t tỷ tờ ủ t tỷ
t tỷ tr ừ T t
tỷ õ S 1 T + W (Il2 (I) T S 1 T ) tr õ W : l2 (I) H ởt
t tỷ Il2 (I) t tỷ ỗ t tr l2 (I)
ự

õ

(S 1 T + W (Il2 (I) T S 1 T ))T =S 1 T T + W (T T S 1 T T )
=IH + W (T T IH )
=IH .



❚ø ✤â

S −1 T + W (Il2 (I) − T ∗ S −1 T ) ❧➔ ♠ët ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❝õ❛ T ∗ ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱

♥➳✉ ❯ ❧➔ ♠ët ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❝õ❛

T ∗✱

t❤➻ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤♦

W = U✱

t❛ ❝â

S −1 T + W (I − T ∗ S −1 T ) = S −1 T + U − U T ∗ S −1 T = U.

❇➙② ❣✐í t❛ s➤♥ s➔♥❣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥
❦➳t ✈î✐ ❦❤✉♥❣ ✤➣ ❝❤♦✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸✳✺✳ ●✐↔ sû {fk }k∈I ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ H✳ ❈→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉
❝õ❛ {fk }k∈I ❝❤➼♥❤ ①→❝ ❧➔ ❤å

{gk }k∈I = {S −1 fk + hk −

S −1 fk , fj hj }k∈I

✭✶✳✽✮

j∈I

tr♦♥❣ ✤â {hj }j∈I ❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧ tr♦♥❣ H✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✸ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✹ t❛ ❝â t❤➸ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝→❝ ❦❤✉♥❣

✤è✐ ♥❣➝✉ ♥❤÷ ❝→❝ ❤å ❝â ❞↕♥❣

{gk }k∈I = {S −1 T δk + W (I − T ∗ S −1 T )δk }k∈I
tr♦♥❣ ✤â
❝â ❞↕♥❣

W : l2 (I) → H

W {cj }j∈I =

✭✶✳✾✮

❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥✱ ❤♦➦❝ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♠ët t♦→♥ tû

cj hj

♠➔

{hj }j∈I

❧➔ ♠ët ❞➣② ❇❡ss❡❧✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛②

j∈I
❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥➔② ✈➔♦ ❲ tr♦♥❣ ✭✶✳✾✮ t❛ ❝â

{gk }k∈I ={S −1 fk + W δk − W T ∗ S −1 T δk }k∈I
={S −1 fk + hk −

S −1 fk , fj hj }k∈I .
j∈I

✶✷


❈❤÷ì♥❣ ✷
❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ✶ ❝❤ó♥❣ t❛ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❦❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✳
▼ët ✈➜♥ ✤➲ ✤÷ñ❝ ✤➦t r❛ ❧➔ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ù♥❣ ❞ö♥❣
✤➦❝ ❜✐➺t ♥➔♦ ✤â✳ ▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝→❝❤ ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ❧➔ tr÷î❝ t✐➯♥
①➙② ❞ü♥❣ ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ s❛✉ ✤â s➩ ①➙② ❞ü♥❣ ❦❤✉♥❣ t♦➔♥ ❝ö❝
tø ♥❤ú♥❣ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ♥➔②✳ ×✉ ✤✐➸♠ ❝õ❛ þ t÷ð♥❣ ♥➔② ❧➔ ❣✐ó♣ ❝❤♦ ✈✐➺❝ ①➙②
❞ü♥❣ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ❝â ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ö♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❞➵ ❞➔♥❣ ❤ì♥✳ ❚ø ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❦❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♥â✱ ❈❛s❛③③❛
✈➔ ❑✉t②♥✐♦❦ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✭❤❛② ❝ô♥❣
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣✮✳
❚r÷î❝ t✐➯♥ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✈➔ ♠ët sè
❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ◆❤÷ ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ t❤➜② ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❝â ♥❤✐➲✉ t➼♥❤
❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ✈➔ ❞♦ ✤â ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët sü tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝õ❛
❦❤✉♥❣✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠
❦❤↔♦ ❬✶❪✲ ❬✸❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✳

✷✳✶ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣
❈❤♦
✈➔ ❝❤♦

{Wi }i∈I

{wi }i∈I

❧➔ ♠ët ❤å ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❧➔ ♠ët ❤å ❝õ❛ ❝→❝ trå♥❣✱ tù❝ ❧➔

✶✸

wi > 0

✈î✐ ♠å✐

i ∈ I✳

H

❈❤ó♥❣


t❛ s➩ ❜✐➸✉ t❤à

{Wi }i∈I

T ∈ B(H, K)

❜ð✐

W ✱ {wi }i∈I

❜ð✐

(T W, w)

❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ✈✐➳t

w ✈➔ {Wi , wi }i∈I

❝❤♦

❜ð✐

(W, w)✳ ◆➳✉

{(T Wi , wi )}i∈I ✳

❈❤ó♥❣ t❛ ①➨t ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

Wi = {{fi }i∈I : fi ∈ Wi

KW :=

{ fi }i∈I ∈ l2 (I)}

✈➔

i∈I

{fi }i∈I , {gi }i∈I =

✈î✐ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣

fi

i∈I

fi , gi

{fi }i∈I

✈➔ ❝❤✉➞♥

=

2✳

i∈I

H, πV

❧➔ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦

(W, w)

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣

❈❤♦ ❱ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛
❧➯♥ ❱✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳
H

❈❤ó♥❣ t❛ ♥â✐ r➡♥❣

0<α≤β<∞

♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè

α f

2

wi2 πWi (f )

≤

2

s❛♦ ❝❤♦

≤β f

2

✈î✐ ♠å✐

f ∈ H.

✭✷✳✶✮

(W, w)

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

i∈I

❈❤ó♥❣ t❛ ❣å✐
♠ët

α, β

❧➔ ❝→❝ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣✳ ❍å

α✲❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❝❤➦t ♥➳✉ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✮ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè α.β

s❛♦ ❝❤♦

α=β

✈➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ P❛rs❡✈❛❧ ♥➳✉

❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❝❤å♥

α = β = 1✳

◆➳✉

(W, w)

❝❤➾ ❝â ❝➟♥ tr➯♥ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝â ❝➟♥ ❞÷î✐ t❤➻ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣å✐ ♥â ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦➳t
❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ ❇❡ss❡❧

β ✳ ◆➳✉ wi = c ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I ✱ t➟♣ (W, w) ✤÷ñ❝ ❣å✐

❧➔ ❝✲ ✤➲✉✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤â ❝❤ó♥❣ t❛ ✈✐➳t
❦➳t ❤ñ♣

❈❤ó♥❣ t❛ ♥â✐ ❦❤✉♥❣

(W, 1) ❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❦➳t ❤ñ♣ ♥➳✉ H ❧➔ tê♥❣ trü❝ ❣✐❛♦ ❝õ❛

❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✷✳

Wi ✳

❚❛ ❝â t❤➸ ①❡♠ ❦❤✉♥❣ ♥❤÷ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛

❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉✳ ❈❤♦
❝→❝ ❝➟♥ ❦❤✉♥❣ ❆ ✈➔ ❇✳ ●å✐

fi = 0

(W, c)✳

✈➔

❝♦♥ ✤â♥❣

Wi = {0}
{Wi }i∈I ✳

♥➳✉

❉♦

A f

Wi

2

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ tr♦♥❣

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ♠ët ❝❤✐➲✉ s✐♥❤ ❜ð✐

fi = 0✳

{fi }i∈I

{fi }i∈I

fi

✈î✐
♥➳✉

❑❤✐ ✤â t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ ♠ët ❤å ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ♥➯♥

| f, fi |2 ≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

≤

H

i∈I

✶✹


❤❛②

2

A f

≤

fi

2

fi
f,
fi

2

i∈I

≤ B f 2 , ∀f ∈ H

❤❛②

A f

2

≤

fi

2

πWi (f )

2

≤ B f 2 , ∀f ∈ H.

i∈I

{(Wi , fi )}∞
i=1

✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐
❝õ❛

H✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✸✳
H

❧➔ ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

❈❤♦

{ei }i∈Z

❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

♥➔♦ ✤â ✈➔ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥

W1 = span{ei }

✈➔

W1

W2

♥❤÷ s❛✉✿

W2 = span{ei }

i≥0
❈❤å♥

✈➔

i≤0

v1 = v2 = v > 0✳ ❑❤✐ ✤â {(Wi , vi )}2i=1

❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✈î✐ ❝➟♥

❦❤✉♥❣ ❧➔ ✶ ✈➔ ✷✳ ❚❤➟t ✈➟②✱

v12 πW1 (f )

2

+ v22 πW2 (f )

2

v 2 | f, ei |2 + v 2 | f, e0 |2

=
i∈Z

=v 2 f
✈➔

v2 f

2

≤ v2 f

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✹✳

❈❤♦

❱î✐ ✐ ❝❤➤♥✱ ✤➦t
❱î✐ ✐ ❧➫✱ ✤➦t
❑❤✐ ✤â

2

2

+ v 2 | f, e0 |2 ≤ 2v 2 f

H

+ v 2 | f, e0 |2

2

✳

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈î✐ ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥

Wi = span{ei }, vi =

{ei }∞
i=1 ✳

1
i✳

Wi = span{ei }, vi = 1✳

{(Wi , vi )}∞
i=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ ❇❡ss❡❧ ✶ ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣

❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤✐➲✉ ♥➔② t❛ ✤→♥❤ ❣✐→

∞

∞

vi2

πWi (f )

2

| f, e2i

=

i=1

i=1
∞

1
|
+
(2i)2

| f, e2i+1 |2
i=0

∞

| f, e2i |2 +

≤

∞

2

i=1

| f, e2i+1 |2
i=0

= f 2.
✶✺


❉♦ ✤â

∞
{(Wi , vi )}∞
i=1 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ ✈î✐ ❝➟♥ ✶✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ {(Wi , vi )}i=1

❦❤æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❞♦ ❝❤å♥

∞

vi2 πWi (f )

2

=

i=1

f = e2l

t❤➻

1
→0
(2l)2

❦❤✐

l → ∞.

❚÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ✤è✐ ✈î✐ ❞➣② ❇❡ss❡❧✱ ✤è✐ ✈î✐ ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧

(W, w)

t❛ ❝ô♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ s❛✉

TW,w : KW → H, TW,w {fi }i∈I =

wi f i ,
i∈I

✈➔ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû tê♥❣ ❤ñ♣✳ ❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣

∗
∗
TW,w
: H → KW , TW,w
f = {wi πWi (f )}i∈I ,
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ♣❤➙♥ t➼❝❤✳
◆➳✉

(W, w) ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣

∗
SW,w (f ) = TW,w TW,w
(f ) =

wi2 πWi (f )

✈î✐ ♠å✐

f ∈ H.

i∈I
♥â ❧➔ ❞÷ì♥❣ ✈➔ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✳ ◆➳✉

(W, w)

α−

❧➔ ♠ët

❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❝❤➦t t❤➻

SW,w = αIH ✳
❈ô♥❣ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ✤è✐ ✈î✐ ❦❤✉♥❣✱
tr♦♥❣

H

❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

TW,w

TW,w

(W, w)

❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣

H

❦❤✐

❧➔ t♦➔♥ →♥❤✳

∞

❚❛ ❦þ ❤✐➺✉ l+

◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✶✳✺✳

(I) = {{ck } ⊂ R+ |∃m > 0 : ck ≤ m

❑❤✐

wi2 πWi (f )
i∈I

H✳

k ∈ I}✳

2

❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â

wi2 f

≤
i∈I

wi2 ✳

B=

✈î✐ ♠å✐

w ∈ l2 (I)✱ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ (W, w) ❧➔ ♠ët

❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ tr♦♥❣

tr♦♥❣ ✤â

❧➔ ♠ët ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧

❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤

❜à ❝❤➦♥✳ ▼ët ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧
✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

(W, w)

i∈I

✶✻

2

=B f

2

✈î✐ ♠å✐

f ∈H

sỷ



TW,w


w l+
(I)

t

ữ s

t

TW,w

t ự

fi = 0, i = k, fk = 1

ợ

wk c

t ồ

TW,w = c <
{fi }iI KW

õ

wi fi = TW,w ({fi }iI ) c {fi }iI = c.

wk =
iI
õ

wk c

ợ ồ

kI




w l+
(I)


õ t t ú tổ sỷ ộ ồ trồ tở l+

(I)

t ủ ố
r ử t ỵ
tr ừ sỷ
ủ

1
(SW,w
W, w)

(W, w)

D(T )



R(T )

t t

t ủ tr

H

r t

ữủ ồ t ủ ố ừ

(W, w)

ồ

tữỡ tỹ ữ ố t tr ỵ tt ờ

1

f = SW,w
SW,w f =

1
wj2 SW,w
Wj (f )

ợ ồ

f H.



jI
ú t ố ữợ t tỷ ữ tr
ú t s ú t õ

1

1
iI SW,w
Wi TSW,w
W,w TW,w


) KW
R(TW,w

1
D(TSW,w
W,w ) =

tữớ ổ ữủ õ

s ổ ỏ t ũ s ừ t ủ ố


tỗ t

sỷ

(W, w) (V, v) t ủ tr H

Q B(KW , KV )

s


TV,v QTW,w
= IH ,
t

(V, v)

ữủ ồ ởt t ủ ố ừ

(W, w)

ổ ú t s t t ủ ố tr trữớ ủ
ú t t tỷ ró r




❇ê ✤➲ s❛✉ ✤➙② t❤➸ ❤✐➺♥ ♠ët sè t❤✉ë❝ t➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉
t÷ì♥❣ tü ✈î✐ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✳

❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ❈❤♦ (W, w) ✈➔ (V, v) ❧➔ ❝→❝ ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ tr♦♥❣ H ✈➔
Q ∈ B(KW , KV )✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
∗
✶✳ TV,v QTW,w
= IH ✳
∗
✷✳ TW,w Q∗ TV,v
= IH ✳
∗
∗
∗
✸✳ TW,w
❧➔ ✤ì♥ →♥❤ , TV,v Q ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ✈➔ (TW,w
TV,v Q)2 = TW,w
TV,v Q✳
∗
∗
∗
✹✳ TV,v

❧➔ ✤ì♥ →♥❤ , TW,w Q ❧➔ t♦➔♥ →♥❤ ✈➔ (TV,v
TW,w Q∗ )2 = TV,v
TW,w Q∗ ✳
∗
∗
∗
∗
✺✳ f, g = QTW,w
f, TV,v
g = Q∗ TV,v
f, TW,w
g

✈î✐ ♠å✐ f, g ∈ H✳

❑❤✐ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✱ (W, w) ✈➔

(V, v) ❧➔ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣ H✱ (V, v) ❧➔ ◗✲❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛
(W, w) ✈➔ (W, w) ❧➔ ♠ët Q∗ ✲❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ (V, v)✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ 1 ⇔ 2✳

❚❛ ❝â

∗
∗
∗
⇔
)∗ = IH
= IH ⇔ (TV,v QTW,w
TV,v QTW,w

∗
∗
∗∗
= IH .
= IH ⇔ TW,w Q∗ TV,v
Q∗ TV,v
TW,w

1 ⇔ 5✳

●✐↔ sû ❝â

1✳

❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐

f, g ∈ H

t❛ ❝â

∗
∗
∗
f, g = TV,v QTW,w
(f ), g = QTW,w
(f ), TV,v
g .
▼➦t ❦❤→❝ ❞♦

1⇔2

♥➯♥

∗
TW,w Q∗ TV,v
= IH ✳

❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐

f, g ∈ H

∗
∗
∗
f, g = TW,w Q∗ TV,v
f, g = Q∗ TV,v
f, TW,w
g .
●✐↔ sû ❝â

5✳

❉♦

∗
∗
f, g = QTW,w
f, TV,v
g

∗
= TV,v QTW,w
(f ), g

✶✽

✈î✐ ♠å✐

f, g ∈ H.

t❛ ❝â


õ õ


f = TV,v QTW,w
(f )

ợ ồ

f H




TV,v QTW,w
= IH .

2 4

sỷ t õ


TW,w Q TV,v
g = g
sỷ

2

õ

gH





TV,v
f = TV,v
g

TV , v

ứ õ

f = TW,w Q TV,v f =

ỡ

TW,w Q

t

TV,v Q t tỗ t g H

s

t ý õ



TW,w
Q (TV,v
g) = g

ứ






(TV,v
TW,w Q )2 =TV,v
TW,w Q TV,v
TW,w Q

=TV,v
TW,w Q .

1 3

ự tữỡ tỹ ữ

3 1 f H
TV,v Qg = f

t ý

2 4






TW,w
TV,v QTW,w
TV,v Qg = TW,w
TV,v Qg



TW,w

ỡ


TV,v QTW,w

TV,v Qg = TV,v Qg.
ứ õ


TV,v QTW,w
f = f

4 2




= IH
TV,v QTW,w

ự tữỡ tỹ ữ

3 1

ởt tr tữỡ ữỡ tọ t tt
ụ tọ ứ
ứ õ t ủ ss
õ

(W, w)


TV,v QTW,w
= IH

(V, v)

t s r

TV,v

t

t ủ ữỡ tỹ t ụ

t ủ

ú ỵ r sỹ tữỡ ữỡ ừ t
trỏ ừ

(W, w)



(V, v)

õ t ữủ ờ tr

ừ t ủ ố




t ủ ố t ữủ tứ tr
ừ t tỷ t

r ỵ tt ờ ố õ q
tr ừ t tỷ t ởt t q tữỡ tỹ ú
t ừ t ủ ố s



pi : KW KW , pi {fj }jI = {i,j fj }jI





Q

tr tọ

Qpi KW = pi KV ,
t ú t õ r t t
ủ ố t t ừ

(V, v)

ởt t

(W, w)

ờ (W, w) t ủ tr H ợ t tỷ tờ ủ
TW,w õ TW,w pi KW = Wi ợ ồ i I
ự
tở

f



Wk

1
fi
wi

fi Wi t ý ồ f KW

sỷ
ừ

f

õ

ớ sỷ

ợ

k=i

pi (f ) = f

ỏ t tở

TW,w (f ) = fi

f = {fj }jI KW

wk ik fk = wi fi Wi

TW,w pi (f ) =

0

s tt t



õ

õ

Wi

ừ

Wi TW,w pi KW

pi (f ) = {ij fj }jI

Wi TW,w pi KW



t

kI

TW,w pi KW = Wi

ợ ồ

i I

ụ ữ ữỡ ú tổ ỵ t ủ tr
ừ

T




LTW,w


ờ t t t t ủ ố t
t ừ


TW,w

(W, w)

ợ tr ừ t tỷ t

ú tữỡ tỹ ợ ởt t q tữỡ ự ố