Về phương pháp lồi lôgarit và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM LỆ QUYÊN

VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

PHẠM LỆ QUYÊN

VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT
VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng
Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Bùi Việt Hƣơng

THÁI NGUYÊN - 2019

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✶

✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚

✸

✶✳✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐✳ ❍➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✶✳✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
✶✳✶✳✷✳ ❍➔♠ ❧ç✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✷✳✶✳ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✷✳✷✳ ▼➦t ✤➦❝ tr÷♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ✈î✐ ❞ú ❦✐➺♥ ❝❤♦ tr➯♥ ♠➦t ✤➦❝
tr÷♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✷✳✸✳ ❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧ç✐ ❧æ❣❛r✐t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

✷ ▼❐❚ ❱⑨■ Ù◆● ❉Ö◆● ❈Õ❆ P❍×❒◆● P❍⑩P ▲➬■ ▲➷●❆❘■❚

✷✳✶✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥❣÷ñ❝ t❤í✐
❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥❣÷ñ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✷✳ ✣→♥❤ ❣✐→ ê♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷✳ ✣→♥❤ ❣✐→ ê♥ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✷✵

✷✵
✷✵
✷✹
✷✽
✷✽
✷✾
✹✵


é
t t ổ t tr ỹ ự ử t
õ q t ỵ t ỵ s t ỹ s
ồ r ởt ờ t ừ r t t
ữủ ợ t ữ ởt ử t t ổ
ờ t ừ t ởt t ờ ọ tr ỳ ụ õ t
ởt s ợ ừ t r r
t t ổ ổ õ ỵ t ự
t t ổ t r ờ ữỡ
õ ởt q trồ
Pữỡ ỗ ổrt ởt tr ỳ ữỡ ũ ờ õ
t t ổ tr ữỡ tr r Pữỡ
ữủ ự P rt
P ự
tt ỹ tr t tự ữ r ợ
tr ợ ữợ ởt ỗ ổrt ởt ừ

õ ữủ ũ tt t t ừ t
t õ t ự ữủ sỹ ử tở tử ừ ỳ
t ởt õ
tr ữỡ ỗ ổrt ởt số ự ử ừ
ữỡ ờ õ t t ổ tr ữỡ tr
r ử t ỗ ữỡ ữỡ t tr
ỗ ởt tự ỡ ừ ữỡ tr r ữỡ
ỗ ổrt ữỡ t tr t ồ ữỡ




õ t ữỡ tr r ữủ tớ
t ữỡ tr t t ổ
t sỷ ử ữỡ ỗ ổrt ữ r ờ
ừ t ợ ữủ ờ s P ố ữỡ
t õ tr t ởt t õ t ữ rở ừ t
ữỡ tr
ữủ t ữợ sỹ ữợ ừ ũ t ữỡ ổ
t t ữợ tr sốt q tr ồ t ự
tọ ỏ t ỡ s s tợ ổ
ụ tọ ỏ t ỡ tr t tợ ổ
trữớ ồ ồ ồ t t
t ồ t ủ tr q tr ồ t ự t trữớ
tr t ỡ t rữỡ
sỹ q t õ ỳ ớ ở tớ ố t

ố ũ ỡ ỗ ổ ở
t tr sốt q tr ồ t tỹ

❈❤÷ì♥❣ ✶

❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❍❯❽◆ ❇➚
✶✳✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐✳ ❍➔♠ ❧ç✐
▼ö❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ❝➛♥ t❤✐➳t ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✤➳♥ ❤➔♠ ❧ç✐ ✈➔ t➟♣ ❧ç✐✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ♠ö❝ ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø ❬✷❪✳

✶✳✶✳✶✳ ❚➟♣ ❧ç✐
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶ ❈❤♦ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b ∈ Rn✳
✐✮ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a ✈➔ b ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R}.
✐✐✮ ✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a ✈➔ b ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣

{x ∈ Rn |x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷ ❚➟♣ C ⊂ Rn ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ♥➳✉ C ❝❤ù❛ ♠å✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ❦ý ❝õ❛ ♥â✱ tù❝ ❧➔

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], t❛ ❝â λx + (1 − λ)y ∈ C.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸ ✐✮ ❚❛ ♥â✐ x ❧➔ tê ❤ñ♣ ❧ç✐ ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ ✭✈❡❝tì✮ x1, x2, · · · , xk
♥➳✉

k

k

λj x ✈î✐ λj > 0, ∀j = 1, 2, · · · , k ✈➔
j

x=
j=1

λj = 1.
j=1

✸


õ x tờ ủ ừ tỡ x1 , x2 , ã ã ã , xk
k

k

j x ợ
j

x=
j=1

j = 1.
j=1

ủ C ỗ õ ự ồ tờ ủ ỗ ừ
ừ õ tự ợ ồ k N ợ ồ 1 , 2 , ã ã ã , k > 0 s

k

j = 1
j=1

ợ ồ x1 , x2 , ã ã ã , xk C t õ
k

j xj C.
j=1

ởt t C ữủ ồ õ ợ ồ > 0 ợ ồ x C
t õ x C
ởt õ ữủ ồ õ ỗ õ t ỗ
ởt õ ỗ ữủ ồ õ ồ õ ổ ự ữớ t õ
t õ 0 ừ õ õ ởt t ỗ t t õ õ
õ ỗ

C Rn ởt t ỗ x C


NC (x) = {w : w, y x 0, y C},
ữủ ồ õ t ừ C t x


NC (x) = {w : w, y x 0, y C},
ữủ ồ õ t tr ừ C t x

ỵ ỵ t t t ỗ ồ t ỗ õ
rộ ổ trũ ợ t ở ổ ừ tt ỷ ổ

tỹ ừ õ




✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✻ ❈❤♦ ❤❛✐ t➟♣ C ✈➔ D ❦❤→❝ ré♥❣✱ t❛ ♥â✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ aT x = α
t→❝❤ C ✈➔ D ♥➳✉

aT x ≤ α ≤ aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D.
❚❛ ♥â✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ aT x = α t→❝❤ ❝❤➦t C ✈➔ D ♥➳✉

aT x < α < aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D.
❚❛ ♥â✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ aT x = α t→❝❤ ♠↕♥❤ C ✈➔ D ♥➳✉

sup aT x < α < inf aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D.
x∈C

y∈D

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷ ✭✣à♥❤ ❧þ t→❝❤ ✶✮ ❈❤♦ C ✈➔ D ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❧ç✐✱ ❦❤→❝ ré♥❣ tr♦♥❣ Rn
s❛♦ ❝❤♦ C ∩ D = ∅✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ t→❝❤ C ✈➔ D✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✸ ✭✣à♥❤ ❧þ t→❝❤ ✷✮ ❈❤♦ C

✈➔ D ❧➔ ❤❛✐ t➟♣ ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ❦❤→❝ ré♥❣

tr♦♥❣ Rn s❛♦ ❝❤♦ C ∩ D = ∅✳ ●✐↔ sû ➼t ♥❤➜t ♠ët tr♦♥❣ ❤❛✐ t➟♣ ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t✳
❑❤✐ ✤â✱ ❤❛✐ t➟♣ ♥➔② ❝â t❤➸ t→❝❤ ♠↕♥❤ ✤÷ñ❝ ❜ð✐ ♠ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣✳

✶✳✶✳✷✳ ❍➔♠ ❧ç✐

❈❤♦ C ⊂ Rn ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✈➔ f : C → R✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉
❞♦♠f = {x ∈ C : f (x) < +∞},
❡♣✐f = {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α}.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼ ❚➟♣ ❞♦♠f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ f ✳ ❚➟♣ ❡♣✐f ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ tr➯♥ ✤ç t❤à ❝õ❛ f ✳
❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t f (x) = +∞ ♥➳✉ x ∈
/ C ✱ t❛ ❝â t❤➸ ❝♦✐ f ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t♦➔♥
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â
❞♦♠f = {x ∈ Rn : f (x) ≤ +∞},
❡♣✐f = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α}.

✺


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽ ❈❤♦ C ⊂ Rn✱ C = ∅ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ✈➔ f : C → [−∞, +∞]✳ ❚❛ ♥â✐
f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ C ♥➳✉ ❡♣✐f ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣ Rn+1 ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐✿ ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) t❛ ❝â

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶ ❱➲ ♠➦t ❤➻♥❤ ❤å❝✱ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐ ♣❤↔✐ t❤ä❛
♠➣♥ ❤❛✐ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉
✐✮ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ tr➯♥ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❜➜t ❦ý ❤❛✐ ✤✐➸♠ ♥➔♦ t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣✳
✐✐✮ ❦❤æ♥❣ ♥➡♠ ❞÷î✐ t✐➳♣ t✉②➳♥ t↕✐ ❜➜t ❦ý ✤✐➸♠ ♥➔♦ t❤✉ë❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣✳

❱➲ ♠➦t ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ♥❤➟♥ ①➨t tr➯♥ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

f (a) + f (a)(x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) +

f (b) − f (a)
(x − a).
b−a

✭✶✳✶✮

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✾ ❈❤♦ C ⊂ Rn✱ C = ∅ ❧➔ t➟♣ ❧ç✐✳
✐✮ ❍➔♠ f : Rn → [−∞, +∞] ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ❝❤➦t tr➯♥ C ♥➳✉

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y),

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

✐✐✮ ❍➔♠ f : Rn → [−∞, +∞] ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧ç✐ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈î✐ ❤➺ sè η > 0 ♥➳✉
✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C, ✈î✐ ♠å✐ λ ∈ (0, 1)

1
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ) x − y 2 .
2

✻


✐✐✐✮ ❍➔♠ f : Rn → [−∞, +∞] ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ã♠ tr➯♥ C ♥➳✉ −f ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐
tr➯♥ C ✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷ ▼ët ❤➔♠ f : C → R ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ C ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ ♠å✐
x, y ∈ C ✱ ✈î✐ ♠å✐ α, β t❤ä❛ ♠➣♥ f (x) < α, f (y) < β ✱ ✈î✐ ♠å✐ sè λ ∈ [0, 1] t❛ ❝â
f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β.

❱➼ ❞ö ✶✳✶ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ❤➔♠ ❧ç✐
✐✮ ❈❤✉➞♥ ❊✉❝❧✐❞❡ ||x|| ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥ Rn ✱ tr♦♥❣ ✤â x ∈ Rn ✳
✐✐✮ ❈❤♦ C ⊂ Rn ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❤➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ C ✱ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛


0
♥➳✉ x ∈ C
δC (x) :=

+∞ ♥➳✉ x ∈
/C
❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳
✐✐✐✮ ❈❤♦ C ⊂ Rn ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❤➔♠ tü❛ ❝õ❛ C ✱ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

SC (x) := sup y, x
y∈C

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳
✐✈✮ ❈❤♦ C ⊂ Rn ❧➔ t➟♣ ❧ç✐ ❦❤→❝ ré♥❣✱ ❤➔♠ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤➳♥ t➟♣ C ✱ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛

dC (x) := min x − y
y∈C

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✵ ❍➔♠ f

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ ♥➳✉ ❞♦♠f = ∅ ✈➔

f (x) > −∞ ✈î✐ ♠å✐ x✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✶ ❍➔♠ f

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ✤â♥❣ ♥➳✉ ❡♣✐f ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ tr♦♥❣

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn+1 ✳

✼


t f ởt ỗ t f t ỗ
f ữủ ồ t t ữỡ tr Rn
f (x) = f (x), x Rn , > 0.

f

t t ữỡ tr Rn õ f ỗ



f (x + y) f (x) + f (y), x, y Rn .

f1, f2 ỗ tữớ t f1 + f2 ụ
ỗ

q ờ qt f1, f2, ã ã ã , fm ỗ tữớ
1 , 2 , ã ã ã , m số ữỡ t 1 f1 + 2 f2 + ã ã ã + m fm ỗ

ởt số tự ỡ s ữỡ tr

r
r ử ú tổ ởt ỡ ữỡ tr
r tự ữủ t tứ
ởt ữỡ tr ỳ u(x1 , x2 , . . . , xn ) ở

x1 , x2 , . . . , xn r ừ õ ữủ ồ ữỡ tr
r õ õ

F x1 , x2 , . . . , xn , u,

u
u
ku
,...,
, . . . , k1
,...
x1
xn
x1 ...xknn

= 0,

tr õ F ởt õ ừ ố số ừ õ k = (k1 , k2 , . . . , kn ) ởt
ở ỗ số ổ tọ |k| = k1 + k2 + . . . + kn ữủ ồ
ởt số
t ừ r ừ u õ t tr ữỡ tr ữủ
ồ ừ ữỡ tr ữỡ tr r ừ

❤➔♠ ❤❛✐ ❜✐➳♥ ❝â ❞↕♥❣

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
F x, y, , , 2 ,
,
= 0.
∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤ ♥➳✉ ♥❤÷ ♥â t✉②➳♥ t➼♥❤
✤è✐ ✈î✐ ➞♥ ❤➔♠ ✈➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ♥â✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝â ❞↕♥❣

∂ 2u
∂ 2u
∂ 2u
∂u
∂u
+ c(x, y) 2 + d(x, y)
+ e(x, y)
+ f (x, y)u
a(x, y) 2 + b(x, y)
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
= g(x, y).
❚r♦♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ t❛ ❝❤➾ ①➨t ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥
t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐✳ ❱➔ ✤➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ ✈✐➳t ux , uy , uxx , uxy , uyy t❤❛② ❝❤♦ ❝→❝ ❦þ ❤✐➺✉

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
, ,
,
,
.
∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y 2
◆❤÷ t❛ ✤➣ ❜✐➳t✱ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣
❧➔
✐✮ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ ✭■✳❱✳P✮
✐✐✮ ❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜✐➯♥ ✭❇✳❱✳P✮
❇➔✐ t♦→♥ ❣✐→ trà ❜❛♥ ✤➛✉ t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤②✳ ❱î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐→
trà ❜✐➯♥✿ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❝â ❞↕♥❣ B(u) = u tr➯♥ ∂Ω t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t❀ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ❝â ❞↕♥❣ B(u) = ∇u · n ✈î✐ n ❧➔
✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ ✤ì♥ ✈à ♥❣♦➔✐ tr➯♥ ∂Ω t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥
◆❡✉♠❛♥♥❀ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝â ❞↕♥❣ B(u) = λu + µ∇ · n ✈î✐ λ, µ ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè t❤➻
❜➔✐ t♦→♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❘♦❜✐♥ ❤❛② ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❤é♥ ❤ñ♣✳

✶✳✷✳✶✳ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐
n

aij (x1 , x2 , . . . , xn )uxi xj + F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = 0,
i,j=1

✾

✭✶✳✷✮


tr♦♥❣ ✤â aij = aij ✈➔ ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝õ❛ ❜✐➳♥ x1 , x2 , . . . , xn ✳

●✐↔ sû x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn ✳ ❳➨t ♠❛ tr➟♥

A(x) = aij (x) .
❚❛ ❝â t❤➸ ❝♦✐ A(x) ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ❚❛ ❝è ✤à♥❤ ✤✐➸♠ x0 = (x01 , x02 , . . . , x0n )
♥➔♦ ✤â✳ ❑❤✐ ✤â✱ A(x) ❧➔ ♠ët ♠❛ tr➟♥ ❤➡♥❣ A(x0 )✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❞❡t (A(x0 ) − λE) = 0,

✭✶✳✸✮

tr♦♥❣ ✤â E ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à✱ λ ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝✱ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝
tr÷♥❣ ❝õ❛ ✭✶✳✷✮ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 ✳ ❱➔ t❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✸

✐✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ❡❧✐♣t✐❝ t↕✐

✤✐➸♠ x0 ♥➳✉ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✭✶✳✸✮ ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ❦❤→❝

0 ✈➔ ❝ò♥❣ ♠ët ❞➜✉✳ ✭❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✱ ❞↕♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ t÷ì♥❣ ù♥❣
✈î✐ ♥â

n

aij (x0 )ti tj
i,j=1

❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣ ❤♦➦❝ ①→❝ ✤à♥❤ ➙♠✳✮
✐✐✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ❤②♣❡❝❜♦❧✐❝ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 ♥➳✉ t↕✐
✤✐➸♠ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✭✶✳✸✮ ❝â n ♥❣❤✐➺♠ ❦❤→❝ 0 ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❝â

(n − 1) ♥❣❤✐➺♠ ❝ò♥❣ ❞➜✉✱ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝á♥ ❧↕✐ ❦❤→❝ ❞➜✉✳
✐✐✐✮ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ t↕✐ ✤✐➸♠ x0 ♥➳✉ t↕✐ ✤✐➸♠
✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝ tr÷♥❣ ✭✶✳✸✮ ❝â n ♥❣❤✐➺♠✱ tr♦♥❣ ✤â ❝â ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❜➡♥❣

0 ✈➔ (n − 1) ♥❣❤✐➺♠ ❝á♥ ❧↕✐ ❦❤→❝ 0 ✈➔ ❝ò♥❣ ❞➜✉✳
◆➳✉ ♥❤÷ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ Ω ⊂ Rn ✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ t❤✉ë❝ ❝ò♥❣
♠ët ❧♦↕✐ t❤➻ t❛ ♥â✐ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✷✮ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ✤â tr♦♥❣ Ω✳
❑❤✐ n = 2✱ t❛ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ s❛✉

a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0.

✶✵

✭✶✳✹✮


❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥➔②✱ ♠❛ tr➟♥ A ❝â ❞↕♥❣


a(x, y) b(x, y)
.
A(x, y) = 
b(x, y) c(x, y)
❳➨t ✤✐➸♠ (x0 , y0 ) ∈ R2 ❝è ✤à♥❤✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝â ❞↕♥❣
❞❡t (A − λE) = (a − λ)(c − λ) − b2 = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0.
❉♦ ✤â✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✹✮ t↕✐ ✤✐➸♠ (x0 , y0 ) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
✐✮ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥➳✉ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â

b2 − ac < 0,
✐✐✮ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ❤②♣❡❝❜♦❧✐❝ ♥➳✉ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â

b2 − ac > 0,
✐✐✐✮ t❤✉ë❝ ❧♦↕✐ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥➳✉ t↕✐ ✤✐➸♠ ✤â

b2 − ac = 0.
❈❤ó þ r➡♥❣✱ ❜➡♥❣ ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) t❛ ❝â t❤➸ ✤÷❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ t❤✉ë❝ tø♥❣ ❧♦↕✐ ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥➔♦ ✤â ♠➔ t❛ ❣å✐ ❧➔
❝→❝ ❞↕♥❣ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳

✶✳✷✳✷✳ ▼➦t ✤➦❝ tr÷♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ✈î✐ ❞ú ❦✐➺♥ ❝❤♦ tr➯♥ ♠➦t ✤➦❝
tr÷♥❣
❳➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐
n

aij (x)uxi xj + F (x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , ux2 , . . . , uxn ) = 0.

✭✶✳✺✮

i,j=1

❚÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ♥â t❛ t❤✐➳t ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
n

aij (x)ωxi ωxj = 0.
i,j=1

✶✶

✭✶✳✻✮

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✻✮ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ♠➦t ✤➦❝ tr÷♥❣ ✭❤❛② ♣❤÷ì♥❣

tr➻♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❦❤✐ n = 2✮✳
▼➦t S ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠➦t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮ ♥➳✉ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝õ❛ ♥â ❝â t❤➸ ✈✐➳t ✤÷ñ❝ ❞÷î✐ ❞↕♥❣

ω(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0,

✭✶✳✼✮

tr♦♥❣ ✤â ❤➔♠ ω(x1 , x2 , . . . , xn ) tr➯♥ ♠➦t S t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✻✮ ✈➔
n
2
i=1 ωxi

= 0✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✹ ❈→❝ ♠➦t ✤➦❝ tr÷♥❣ ❜➜t ❜✐➳♥ q✉❛ ❝→❝ ♣❤➨♣ ✤ê✐ ❜✐➳♥ sè✳
✣➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ✈î✐ ❞ú ❦✐➺♥ ❝❤♦ tr➯♥ ♠➦t ✤➦❝ tr÷♥❣✱ t❛ ①➨t

S ❧➔ ♠ët ♠➦t trì♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ✳ ❚↕✐ ♠é✐ ✤✐➸♠ x ∈ S ✱ ①➨t ♠ët ❤÷î♥❣
λ ♥➔♦ ✤➜②✱ ❦❤æ♥❣ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ♠➦t S ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮
❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉✿ ❚r♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠➦t S ✱ t➻♠ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✶✳✺✮
t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥

u

S

∂u
∂λ

S

= ϕ(x)

✭✶✳✽✮

= ψ(x),

✭✶✳✾✮

tr♦♥❣ ✤â ϕ(x), ψ(x) ❧➔ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤♦ tr÷î❝ tr➯♥ ♠➦t S t❤ä❛ ♠➣♥ ❣✐↔ t❤✐➳t✿ ϕ(x) ❧➔
♠ët ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❧✐➯♥ tö❝✱ ψ(x) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ S ✳ ❈→❝ ❤➔♠ ϕ(x), ψ(x)
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❈❛✉❝❤②✱ ♠➦t S ❣å✐ ❧➔ ♠➦t ♠❛♥❣ ❞ú ❦✐➺♥ ❈❛✉❝❤② ❤❛② ❣å✐
t➢t ❧➔ ♠➦t ❈❛✉❝❤②✳
❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✭①❡♠ ❬✶❪✮
✶✳ ❇✐➳t ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❈❛✉❝❤②✱ ❝â t❤➸ t➻♠ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ♠ët ❝õ❛
♥❣❤✐➺♠ ð tr➯♥ ♠➦t ❈❛✉❝❤②✳
✷✳ ❚r➯♥ ♠➦t ✤➦❝ tr÷♥❣✱ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❈❛✉❝❤② ♣❤ö t❤✉ë❝ ❧➝♥ ♥❤❛✉✱ tù❝ ❧➔ ✤è✐
✈î✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ tr➯♥ ♠➦t ✤➦❝ tr÷♥❣✱ ❝→❝ ❞ú ❦✐➺♥ ❈❛✉❝❤② ❦❤æ♥❣
t❤➸ ❝❤♦ ♠ët ❝→❝❤ tò② þ✳

✶✷


t trữ t tr ừ
ừ

ỹ ử tở tử
r tỹ t t t t ỵ tữớ s số
s số t s tứ ỳ trữợ ữ
ỹ t ở t ỵ õ t s số tr q tr
t t ọ ữủ t r s số õ ữ ữ t
ừ t sỹ q t sỹ ử tở tử tờ
qt ỡ sỹ ờ ừ ợ t t ổ ú t
tữớ q t sỹ ử tở tử t oăr ỳ
ữủ ữ r
t t õ t U t ỳ F A tứ F
U sỷ ừ t ữủ tr t R U
ỳ tr t G F tọ G, R ổ t
t ợ

ã

G

ã

R

tữỡ ự tr ổ G

R ợ ộ t S ừ R ợ

ã

S

u1 , u2 U f1 , f2 F tọ

u1 = Af1 u2 = Af2 t õ A tử oăr t f1


sup u1 u2

S

< M ,

u2 S

f1 f2

G

< ,

tr õ M, số ữỡ ử tở U S
ợ t t ỵ ú t t

R = {u(t) U t [0, T )},
ợ [0, T ) tớ

S = {u(t) U t [0, T1 )},

T1 T

G = {f F u U tọ u(0) = f }.




u1 (ã, t) ữủ ồ ờ oăr tr t [0, T )
ợ > 0 trữợ ợ ồ u(ã, 0) F tọ u1 (ã, 0) u2 (ã, 0)

0

<

t

u1 (ã, t) u2 (ã, t)

sup

t

< C ,

0tT1
ợ (0, 1]

ã

t

ã

0

tữỡ ự ừ u(ã, t) t

tớ t tớ t = 0 C số ữỡ ổ ử tở
õ t õ t õ ừ t ử tở tử oăr t

ợ t [0, T ) ú ỵ r tr tr sỹ ờ
oăr ữủ tr t ừ tớ ỳ

Pữỡ ỗ ổrt
r ử ú tổ tr ỗ ổrt ữỡ tỹ
ữ ỗ t tổ tữớ ỗ ổrt tọ t
tự ỹ tr t tự õ ú tổ ữ r ợ
tr ữợ ỗ ổrt rữợ t ú tổ ợ
t ỗ ổrt

ởt ữủ ồ ỗ ổrt õ ổ
ổrt ừ õ ởt ỗ
sỷ F (x) ỗ ổrt tự F (x) > 0 ợ ồ x [x1 , x2 ]
tọ


f (x) = ln F (x)
ỗ

f (x) ỗ t õ f (x) 0 ợ ồ x [x1 , x2 ] õ t õ

d2 [ln F (x)]
dx2

0,

x [x1 , x2 ].

t õ

d2 [ln F (x)]
dx2

F (x)F (x) [F (x)[2
=

F 2 (x)



0.


r

F (x)F (x) [F (x)]2 0,

x [x1 , x2 ].

t f (x) = ln F (x) ỗ t t tự t õ

ln F (x) ln F (x1 ) + [ln F (x)] (x1 )(x x1 )
= ln F (x1 ) +

F (x1 )
(x x1 )
F (x1 )

= ln F (x1 ) ã exp

F (x1 )
F (x1 )

(x x1 )

.

t õ

F (x) F (x1 ) ã exp

F (x1 )
F (x1 )

(x x1 ) ,

x [x1 , x2 ].

t ụ õ

ln F (x) ln F (x1 ) +
1
=

x2 x1
1

=

x2 x1

ln F (x2 ) ln F (x1 )
(x x1 )
x2 x2

[ln F (x1 )(x2 x1 ) + ln F (x2 )(x x1 ) ln F (x1 )(x x1 )]
[(x2 x) ln F (x1 ) + (x x1 ) ln F (x2 )]
x2 x

xx1

= ln F (x1 ) x2 x1 ã F (x2 ) x2 x1 .
õ
x2 x

xx1

F (x) F (x1 ) x2 x1 ã F (x2 ) x2 x1 ,

x [x1 , x2 ].



ứ ợ ồ x [x1 , x2 ] t ữủ

F (x1 ). exp

F (x1 )
x2 x
xx1
(x x1 ) F (x) F (x1 ) x2 x1 ã F (x2 ) x2 x1 .
F (x1 )



ổ tự t ợ tr ợ ữợ ừ ởt ỗ ổ
rt ổ tự q trồ ữủ sỷ ử rt tr
ữỡ




❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
✭✶✳✶✶✮✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ F (x) > 0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ [x1 , x2 ] ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

F (x)F (x) − [F (x)]2 ≥ −a1 F (x)F (x) − a2 F 2 (x)

✭✶✳✶✺✮

✈î✐ a1 , a2 ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè✳
❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ [x1 , x2 ] t❛ ❝â

F (x)F (x) − [F (x)]2 + a1 F (x) · F (x) + a2 F 2 (x)
F 2 (x)

≥ 0.

❍❛②

F (x)F (x) − [F (x)]2

F (x)
+ a1

F 2 (x)

F (x)

+ a2 ≥ 0.

❙✉② r❛
✭✶✳✶✻✮

[ln F (x)] + a1 [ln F (x)] + a2 ≥ 0.
●✐↔ sû a1 = 0✱ t❛ ✤➦t

σ = e−a1 x ,

∀x ∈ [x1 , x2 ].

❳➨t ❤➔♠
2

ln F (σ)σ −a2 /a1 = ln F (σ) −

a2
a21

ln σ.

❚❛ ❝â
2

d ln F (σ)σ −a2 /a1
dσ

= ln F (σ) ·

−1
a1 σ

−

a2
a21 σ

.

❙✉② r❛
2

d2 F (σ)σ −a2 /a1
dσ 2

= ln F (σ)

·

1
a2
1
+
ln
F
(σ)
·
+
a21 σ 2
a1 σ 2 a21 σ 2

1
=

a21 σ 2

ln F (σ)

+ a1 ln F (σ) + a2 .

❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✻✮ t❛ ❝â

ln F (σ)

+ a1 ln F (σ) + a2 ≥ 0,

✶✻

∀σ ∈ [σ1 , σ2 ],


tr♦♥❣ ✤â✱ σ1 = e−a1 x1 , σ2 = e−a1 x2 ✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
2

d2 ln F (σ) · σ −a2 /a1
≥ 0,

dσ 2

✭✶✳✶✼✮

∀σ ∈ [σ1 , σ2 ].

❚❤❡♦ ✤→♥❤ ❣✐→ tr➯♥ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✹✮ t❛ ❝â

F (σ)σ

−a2 /a21

≤ F (σ1 )σ1

σ2 −σ
σ2 −σ1

σ−σ1
σ2 −σ1

−a /a2
F (σ2 )σ2 2 1

·

.

❚❛ ✤➦t

δ :=

σ2 − σ
σ2 − σ1

e−a1 x2 − e−a1 x
=

e−a1 x2 − e−a1 x1

.

❑❤✐ ✤â✱ t❛ ✤÷ñ❝

σ − σ1
σ2 − σ1

e−a1 x − e−a1 x1
=

e−a1 x2 − e−a1 x1

= 1 − δ.

❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â
2

F (σ)σ −a2 /a1 ≤ F (σ1 )σ1

δ

−a2 /a21

1−δ

· F (σ2 )σ2

.

❱➻ σ = e−a1 x ♥➯♥ t❛ ❝â

F (e−a1 x )ea2 x/a1 ≤ F (e−a1 x1 )ea2 x1 /a1

δ

· F (e−a1 x2 )ea2 x2 /a1

1−δ

.

❙✉② r❛

F (x)ea2 x/a1 ≤ F (x1 )ea2 x1 /a1

δ

· F (x2 )ea2 x2 /a1

1−δ

.

❱➟②✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

F (x) ≤ e−a2 x/a1 · F (x1 )ea2 x1 /a1

δ

· F (x2 )ea2 x2 /a1

1−δ

,

∀x ∈ [x1 , x2 ]. ✭✶✳✶✽✮

▼➦t ❦❤→❝✱ t❤❡♦ ✤→♥❤ ❣✐→ ❞÷î✐ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✹✮✱ t❛ ❝â




−a2 /a21


F (σ)σ
(σ1 )
−a2 /a21
−a2 /a21
(σ − σ1 ) .
F (σ)σ
≥ F (σ1 )σ1
· exp
2



 F (σ1 )σ1−a2 /a1

✶✼

❱➻
2

F (σ)σ −a2 /a1 (σ1 )
−a /a2
F (σ1 )σ1 2 1

(σ − σ1 ) =
−1
F (σ1 )

−a2 /a21

· σ1

a1 σ1

=

−

a2

−a2 /a21 −1

· F (σ1 )σ1
a21

(σ − σ1 )

−a2 /a! 12

F (σ1 )σ1
F (σ1 ) ·
=

=

1
+

a2

a1 σ1 a21 σ1
F (σ1 )

· F (σ1 )

F (σ1 ) + a2 /a1 · F (σ1 )
a1 F (σ1 )

(σ1 − σ)
1−

σ
σ1

.

◆➯♥
−a2 /a21

2

F (σ)σ −a2 /a1 ≥ F (σ1 )σ1

F (σ1 ) + a2 /a1 · F (σ1 )

· exp

a1 F (σ1 )

1−

σ
σ1

.

❙✉② r❛✱ t❛ ❝â

F (σ) ≥ F (σ1 ) · exp

F (σ1 ) + a2 /a1 · F (σ1 )
a1 F (σ1 )

1−

σ
σ1

−a2 /a21

· σ1

2

· σ a2 /a1 .

❚❤❛② ❜✐➳♥ σ = e−a1 x t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
a2

−a2

F (e−a1 x ) ≥ F (e−a1 x1 )e a1 x1 e a1 x ×


F (e−a1 x1 ) + (a2 /a1 )F (e−a1 x1 )
e−a1 x
× exp 
1 − −a1 x1 
a1 F (e−a1 x1 )
e


F (e−a1 x1 ) + (a2 /a1 )F (e−a1 x1 )
a2
= F (e−a1 x1 ) · exp 

1 − ea1 (x−x1 ) −
(x − x1 ) .
−a
x
1
1
a1 F (e
)
a1
❱➟②✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ [x1 , x2 ] t❛ ❝â


F (x) ≥ F (x1 ) · exp 

F (x1 ) + (a2 /a1 )F (x1 )
a1 F (x1 )

1 − ea1 (x−x1 ) −

a2
a1


(x − x1 ) .
✭✶✳✶✾✮

✶✽


●✐è♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✹✮✱ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✾✮ ✈➔ ✭✶✳✶✽✮ ❧➔ ❝æ♥❣ ❝ö q✉❛♥ trå♥❣ ✤➸ ✤÷❛

r❛ ❝→❝ ✤→♥❤ ❣✐→ ð ❈❤÷ì♥❣ ✷✳
❚r♦♥❣ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤→❝✱ ♥➳✉ a1 = 0 t❤➻ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✶✺✮ trð t❤➔♥❤

F (x)F (x) − [F (x)]2 ≥ −a2 F 2 (x),

∀x ∈ [x1 , x2 ],

✭✶✳✷✵✮

✈î✐ a2 ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳
❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

F (x)F (x) − [F (x)]2 + a2 F 2 (x)
F 2 (x)

≥ 0.

❙✉② r❛

+ a2 ≥ 0.

ln F (x)
❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â

d2 ln F (x) · ea2 x

2

/2+αx+β

≥ 0,

dx2

∀x ∈ [x1 , x2 ],

✭✶✳✷✶✮

tr♦♥❣ ✤â✱ α, β ❧➔ ❝→❝ ❤➡♥❣ sè tò② þ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝ô♥❣ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ ✤è✐ ✈î✐ ❝➟♥ tr➯♥
✈➔ ❝➟♥ ❞÷î✐ ❝õ❛ ❤➔♠ F (x)✳

✶✾


❈❤÷ì♥❣ ✷

▼❐❚ ❱⑨■ Ù◆● ❉Ö◆● ❈Õ❆ P❍×❒◆● P❍⑩P
▲➬■ ▲➷●❆❘■❚
✷✳✶✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❈❛✉❝❤② ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥❣÷ñ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥

✷✳✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥❣÷ñ❝ t❤í✐ ❣✐❛♥
❈❤♦ Ω = [0, 1], T > 0✳ ❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♠ët ❝❤✐➲✉

ut = uxx , 0 ≤ x ≤ 1, 0 < t ≤ T,

✭✷✳✶✮

u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t ≤ T,

✭✷✳✷✮

u(x, 0) = u0 (x), 0 ≤ x ≤ 1.

✭✷✳✸✮

●✐↔ sû u0 (x) ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tø♥❣ ❦❤ó❝ ✈➔ tr✐➺t t✐➯✉ t↕✐ x = 0, x = 1✱ tù❝ ❧➔

u0 (0) = u0 (1) = 0.
❙û ❞ö♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t→❝❤ ❜✐➳♥✱ t❛ t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❦❤æ♥❣ t➛♠ t❤÷í♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
❞÷î✐ ❞↕♥❣

u(x, t) = X(x) · T (t).
❚❤❛② ✈➔♦ ✭✷✳✶✮ t❛ ❝â

X(x) · T (t) = X (x) · T (t),
❤❛②

X (x)
T (t)
=
= −λ,
T (t)
X(x)

✷✵


tr♦♥❣ ✤â✱ λ ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳ ❙✉② r❛✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✶✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t❤÷í♥❣

T (t) + λT (t) = 0,

✭✷✳✹✮

X (x) + λX(x) = 0.

✭✷✳✺✮

❙û ❞ö♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ ✭✷✳✷✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
✭✷✳✻✮

X(0) = X(1) = 0.

❚r÷î❝ t✐➯♥✱ t❛ ①➨t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈✐ ♣❤➙♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ✭✷✳✺✮ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❜❛♥ ✤➛✉ ✭✷✳✻✮



X (x) + λX(x) = 0,

X(0) = X(1) = 0.
❚❛ ①➨t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ s❛✉ ❝õ❛ t❤❛♠ sè λ

✰ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✶✿ ◆➳✉ λ < 0 t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✺✮ ❝â
❞↕♥❣

X(x) = C1 e

√

−λx

√
−λx

+ C2 e−

, ✈î✐ C1 , C2 ❧➔ ❤➡♥❣ sè.

❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✭✷✳✻✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

X(0) = C1 + c2 = 0,
√
−λ

X(1) = C1 e

+ C2 e−

√
−λ

= 0.

❉♦ ✤â✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ C1 = C2 = 0 ❤❛② X(x) ≡ 0✳ ❱➟②✱ ✈î✐ λ < 0✱ t❤➻ u(x, t) ≡ 0.

✰ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✷✿ ◆➳✉ λ = 0 t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✺✮ ❝â
❞↕♥❣

X(x) = ax + b, ✈î✐ a, b ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳

❚ø ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜❛♥ ✤➛✉ t❛ ❝ô♥❣ s✉② r❛ ✤÷ñ❝ a = b = 0 ❤❛② X(x) ≡ 0✳ ❱➟②✱ ✈î✐

λ = 0 t❤➻ t❛ ❝ô♥❣ ❝â u(x, t) ≡ 0.
✰ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✸✿ ◆➳✉ λ > 0 t❤➻ ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✺✮ ❝â
❞↕♥❣

√
√
X(x) = C1 cos( λx) + C2 sin( λx), ✈î✐ C1 , C2 ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳

✷✶


t õ


X(0) = C1 cos( x) = 0.

r C1 = 0 X(1) = 0 C1 = 0 t õ C2 sin( ) = 0

u(x, t) = 0 t t õ C2 = 0 õ = k
= k22,



k Z.

õ t õ X(x) = C2 sin(kx)
X(x) ử tở k t ỵ

Xk (x) = Ak sin(kx).
= k 2 2 t ữỡ tr

T (t) + k 2 T (t) = 0,
õ

Tk (t) = Bk etk

2 2





.

ứ t õ r ừ t õ

uk (x, t) = Ck etk

2 2



sin(kx),



ợ Ck = Ak ã Bk số tũ ỵ t ổ tự tọ

ỹ ởt tự ộ


u(x, t) =



Ck etk

uk (x, t) =
k=1

2 2



sin(kx),



k=1

ợ số Ck s ộ tọ ữỡ tr
tự


u(x, 0) =

Ck sin(kx) = u0 (x).
k=1