Giải tích toán học tập 2

PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH
NGUYỄN XUÂN HUY

gI¶I TÝCH TO¸N HäC
TËP 2

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


▼ô❝ ❧ô❝
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

❈❤➢➡♥❣ ✶

✶✳✶

✶✳✸

✶✳✹

✾

❈❤✉ç✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶

✶✳✷

▲ý t❤✉②Õt ❝❤✉ç✐

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝❤✉ç✐ sè

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✶✳✷

P❤➬♥ ❞➢ ❝ñ❛ ♠ét ❝❤✉ç✐ sè

✶✳✶✳✸

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝❤✉ç✐ ❤é✐ tô

✶✳✶✳✹

❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ✈➭ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ❤é✐ tô ❝ñ❛ ❝❤✉ç✐ sè

✶✳✶✳✺

❈❤✉ç✐ ❞➢➡♥❣✱ ❝➳❝ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ❤é✐ tô

✶✳✶✳✻

❈❤✉ç✐ ❤é✐ tô t✉②Öt ➤è✐

✶✳✶✳✼

❈❤✉ç✐ ➤❛♥ ❞✃✉✱ ❞✃✉ ❤✐Ö✉ ▲❡✐❜♥✐t③

✶✳✶✳✽

▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝❤✉ç✐ ❤é✐ tô t✉②Öt ➤è✐

❉➲② ❤➭♠

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾
✾
✶✵
✶✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✶✳✷✳✶

❙ù ❤é✐ tô ➤✐Ó♠ ✈➭ sù ❤é✐ tô ➤Ò✉ ❝ñ❛ ❞➲② ❤➭♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✶✳✷✳✷

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❤é✐ tô ➤Ò✉ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✶✳✷✳✸

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② ❤➭♠ ❤é✐ tô ➤Ò✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✸✳✶

▼✐Ò♥ ❤é✐ tô ❝ñ❛ ❝❤✉ç✐ ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✸✳✷

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❤é✐ tô ➤Ò✉ ❝ñ❛ ♠ét ❝❤✉ç✐ ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✶✳✸✳✸

❚Ý♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝❤✉ç✐ ❤➭♠ ❤é✐ tô ➤Ò✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✶✳✹✳✶

❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝❤✉ç✐ ❧ò② t❤õ❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✶✳✹✳✷

❇➳♥ ❦Ý♥❤ ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♠ét ❝❤✉ç✐ ❧ò② t❤õ❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✶✳✹✳✸

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝❤✉ç✐ ❧ò② t❤õ❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

❈❤✉ç✐ ❤➭♠

❈❤✉ç✐ ❧ò② t❤õ❛

✸


✹

▼Ô❈ ▲Ô❈

✶✳✹✳✹

✶✳✺

✶✳✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

❈❤✉ç✐ ❋♦✉r✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✶✳✺✳✶

❈❤✉ç✐ ❧➢î♥❣ ❣✐➳❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✶✳✺✳✷

❈❤✉ç✐ ❋♦✉r✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✶✳✺✳✸

❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❤➭♠ sè t❤➭♥❤ ❝❤✉ç✐ ❋♦✉r✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✹

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✽

❈❤➢➡♥❣ ✷

✷✳✶

✷✳✸

✸✳✷

✹✶

▼ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥

✹✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

✷✳✶✳✷

●✐í✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✸

✷✳✶✳✸

❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✼

➜➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❤➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè
✷✳✷✳✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤➵♦ ❤➭♠ ✈➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥

✷✳✷✳✷

➜➵♦ ❤➭♠ t❤❡♦ ❤➢í♥❣

✷✳✷✳✸

➜➵♦ ❤➭♠ ❤➭♠ ❤î♣

✷✳✷✳✹

➜➵♦ ❤➭♠ ✈➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ❝❛♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✸

✷✳✷✳✺

❈ù❝ trÞ ❝ñ❛ ❤➭♠ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✻

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✶

❈❤➢➡♥❣ ✸

✸✳✶

❍➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè

❍➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✶

✷✳✷

❑❤❛✐ tr✐Ó♥ ❤➭♠ sè t❤➭♥❤ ❝❤✉ç✐ ❧ò② t❤õ❛

✳ ✳

✹✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✶

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❜é✐

✻✺

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✺

✸✳✶✳✶

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ tr➟♥ ❤×♥❤ ❝❤÷ ♥❤❐t ➤ã♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✺

✸✳✶✳✷

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❜Þ ❝❤➷♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

✸✳✶✳✸

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

✸✳✶✳✹

❈➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✾

✸✳✶✳✺

➜æ✐ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✺

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✼

✸✳✷✳✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✼

✸✳✷✳✷

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✽

✸✳✷✳✸

❈➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣

✼✾

✸✳✷✳✹

➜æ✐ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✵


✺

▼ô❝ ❧ô❝

✸✳✸

✸✳✹

❈➳❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜é✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✹

✸✳✸✳✶

❚Ý♥❤ t❤Ó tÝ❝❤ ✈❐t t❤Ó

✽✹

✸✳✸✳✷

❚Ý♥❤ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ ❤×♥❤ ♣❤➻♥❣

✸✳✸✳✸

❚Ý♥❤ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ ♠➷t ❝♦♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✻

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽✽

❈❤➢➡♥❣ ✹

✹✳✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣

✾✶

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

C1

✾✶

✹✳✶✳✶

➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❧í♣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✶

✹✳✶✳✷

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✷

✹✳✶✳✸

❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✷

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✹

✹✳✷✳✶

❍➢í♥❣ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✷

✾✹

✹✳✷✳✷

❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✺

✹✳✸

❈➠♥❣ t❤ø❝ ●r❡❡♥✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹ ♠Ö♥❤ ➤Ò t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾✼

✹✳✹

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✺

✹✳✷

❈❤➢➡♥❣ ✺

✺✳✶

✺✳✷

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t

✶✵✾

❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾
✺✳✶✳✶

▼➷t ❝♦♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾

✺✳✶✳✷

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t ❧♦➵✐ ✶

✺✳✶✳✸

❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t ❧♦➵✐ ✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵

✺✳✶✳✹

❈➠♥❣ t❤ø❝ ❙t♦❦❡s ✈➭ ❖str♦❣r❛❞s❦② ✲ ●❛✉ss

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵

❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✼


✻

●✐➯✐ tÝ❝❤ t♦➳♥ ❤ä❝


ờ ó
ộ trì tí ọ ồ t ợ s ở t
tể t P rì s ễ s ễ
ọ ự t trì tí ọ ợ ộ
ồ ộ ủ ộ ụ t t ị ù trờ
ọ ứ t ợ ệ q t s
trờ ệ ĩ tt ọ
ộ trì ợ s t ị ớ ọ ọ
ù ợ ớ tờ t ứ ọ ù ợ ớ ố
tợ s ệ ĩ tt t ột rõ ét ệ
ụ ết q ý tết ồ tờ ột tốt t tí
ọ ủ ệ tố ế tứ tr trì
ủ ộ trì ệ tố ế tứ ủ é tí
é tí tí ủ số ột ế số ợ ớ tệ tr

ý tết ỗ
số ề ế
í ộ
í ờ
í t
t rt ố ợ sự ó ý qý ủ ồ
ệ ọ ể ộ s ợ tệ t
ớ tệ ộ s tớ ọ


✽

●✐➯✐ tÝ❝❤ ❚♦➳♥ ❤ä❝



ý tết ỗ


ỗ số



ệ ỗ số

ị ĩ số tự

{un }
n=1 ể tứ tổ

un = u1 + u2 + ã ã ã + un + ã ã ã



n=1
ợ ọ ột ỗ số

un

số tổ qt tứ

n ủ ỗ

ổ

n

uk = u1 + u2 + ã ã ã + un .

Sn =



k=1

n ủ ỗ số
tổ r {Sn }
n=1

ọ tổ r tứ

ế

n

ộ tụ ó ớ

tì ỗ số ợ ọ ỗ ộ tụ

S

S



ọ tổ

ủ ỗ tr trờ ợ t ết


un = u1 + u2 + ã ã ã + un + ã ã ã

S=
n=1

ợ ế

{Sn }

n=1



ộ tụ tì ỗ số

un
n=0

ọ ỗ ỳ

ợ




ý tết ỗ

í ụ ét ỗ số



aq n ,
n=1

tr ó

a

số ó

aq(1 q n )
,
Sn =
1q
ế

|q| < 1

lim q n = 0

tì

n

ó tổ

S=
ế

|q| > 1

tì





q = 1.

lim Sn =

n

aq

1q

ỗ ộ tụ

aq
.
1q

lim q n =

n



lim Sn =

n

ỗ

ỳ
ễ t ớ

q = 1

tì ỗ tr ỳ

ỗ ộ tụ ỉ




aq n =
n=1



q < 1

ó tổ ủ ó

aq
.
1q

P ủ ột ỗ số

sử ỗ

{un }
n=1

ộ tụ ị ĩ tứ

ỗ ó s

n

ủ



Rn = S Sn =

uk .
k=n+1

ể ớ ỗ ộ tụ



lim Rn = 0.

n

tí t ủ ỗ ộ tụ



ế ỗ
n=1

ó tổ

un
S

ó tổ

S

tì ỗ

un
n=1

ũ ộ tụ






ỗ số



ế ỗ



un

n=1


S1 , S2

tì ỗ

vn

ù ộ tụ ó tổ t ứ

n=1

(un + vn )

ũ ộ tụ ó tổ

S1 + S2

n=1

í t ộ tụ ỳ ủ ột ỗ t ổ
t ớt ột số ữ số t ủ ỗ ó



ệ ộ tụ ủ ỗ số

un

ị í ế ỗ

ộ tụ tì

n=1

lim un = 0

n


ứ

un = Sn Sn1

ễ t

tết

un

ộ tụ

n=1

tồ t

S = lim Sn
n

ó

lim un = 0

n

ị ý ợ ứ


ú ý ề ợ ủ ị ý tr ú í ụ


í ụ ét ỗ

un

ớ

un =

n=1

õ r

lim un = 0

n

1

n

sử ỗ ộ tụ ó

lim (S2n Sn ) = 0.

n

t

1
1
1
+
+ ããã +
n+1 n+2
2n
1
1
1
>
+
+ ããã +
2n 2n
2n

1
=
= 0.
2

S2n Sn =



t ứ tỏ ỗ

un

ỳ

n=1


un ộ

ị í ề ệ ủ ể ỗ

n=1
tụ ớ

> 0 tồ t số N0 N s p > q N0
p

|Sp Sq | = |

un | < .
n=q+1

tì




ý tết ỗ



un ộ tụ ỉ {Sn }
n=1
n=1

ộ tụ ừ t ố ớ số {Sn }n=1 ộ tụ ỉ
ị ĩ ỗ

ứ

ớ

> 0 tồ t số N0 N s p > q N0

tì

p

un | < .

|Sp Sq | = |
n=q+1
ị ý ợ ứ



ỗ ệ ộ tụ



un

ị ĩ ỗ

n=1
ét

ợ ọ ỗ ế

un 0, n.



ỗ

un

ó ễ t tổ r

n=1

{Sn }
n=1

ó

ế

{Sn }
n=1

ị tr tì



{Sn }
n=1

ộ tụ ỗ

un
n=1

ộ tụ
ế


ỗ

{Sn }
n=1

un

ị tr tì

{Sn }
n=1

ỳ

ỳ

n=1




n=1

vn , n ó



vn

ỳ tì ỗ

n=1

ũ ỳ

n=1


vn

ế ỗ

n=1



un

ế ỗ

vn , un

un

ị í ị ý s s ỗ

un

ộ tụ tì ỗ

n=1

ũ ộ tụ

n=1



sử {Sn }n=1 , {Tn }n=1 ợt tổ r ủ

ỗ
un
vn , ó ễ t
n=1
n=1
ứ



Sn Tn , n.


un

sử ỗ

ỳ ó

{Sn }
n=1

ị tr

n=1
t tứ tr

{Tn }
n=1



vn

ũ ị tr ừ ó ỗ

n=1






ỗ số

ỳ



vn

ế ỗ

{Tn }
n=1

ộ tụ tì

n=1

{Sn }
n=1

ị tr ừ ó s r



un

ũ ị tr ỗ

ộ tụ

n=1




un

ị í ỗ

vn ế ớ ữ



n=1

n=1

un
=k>0
n vn
lim





un

tì ỗ

vn



n=1

ù ộ tụ ù ỳ

n=1

k
3k
< k <

2
2
un
lim
= k > 0 tồ t N0 ủ ớ ể ớ ọ n N0
n vn
ứ



k (0, +)



tết

3k
k
un
<
<

2
vn
2

un > k vn
2
3k

un <
vn
2
ừ t tứ tr ết q ủ ị ý s r ề ứ




í ụ ét tí ộ tụ ủ ỗ
n=1



ét ỗ

1
vn , vn =
n
n=1

un , un = ln(1 +

1
)

n



ỉ r

vn

ỳ t

n=1

lim

n

un
= 1.
vn



ị ý ỗ

un

ỳ

n=1

ị í t rt

un+1
= l, t ó
n un
lim

un

ỗ số

n=1

sử




ý tết ỗ




l < 1 tì ỗ

un

ộ tụ

un

ỳ

n=1



l > 1 tì ỗ
n=1

ớ

l = 1 ó ết trờ ợ tổ qt

rờ ợ l < 1 sử q (l, 1)
un+1
lim
= l, tồ t số N > 1 s
n un
ứ

tết

un+1
< q, n N
un
ó ớ

n N

t ó

un < qun1 < ã ã ã < q nN uN
ó

N 1



uk + uN (1 + q + q 2 + ã ã ã )

un <
n=1

k=1

q < 1 rõ r ỗ tr ộ tụ
r trờ ợ l > 1 t t tự ọ số q (1, l)
tết tồ t số N > 1 s



un+1
> q, n N.
un
ừ ó ớ

n N

t ó

un > qun1 > ã ã ã > q nN uN
ó



N 1

uk + uN (1 + q + q 2 + ã ã ã )

un >
n=1

k=1

q > 1 ỗ ỳ ị ý ợ ứ

2n
í ụ ét ỗ
un , un = . ễ t
n!
n=1


un+1
2
= lim
=0<1
n un
n n + 1

lim






ỗ số

ỗ ộ tụ


ét ỗ

un , un =
n=1

(n!)
, (
nn

số tự t ỳ) ó

1
un+1
= (n + 1)1 (1 + )n (n + 1)1 e1 .
un
n
ừ ó

un+1
= e1 < 1 ỗ ộ tụ
n un
un+1
= + > 1 ỗ ỳ
ế > 1 lim
n un
un+1
ế < 1 lim
= 0 < 1 ỗ ộ tụ
n un
ế

= 1 lim



ỗ

un

ộ tụ

1

ỳ

> 1

n=1

ị í



t





ỗ

số


lim n un = l, t ó

n



un





sử

n=1


l < 1 tì ỗ

un

ộ tụ

un

ỳ

n=1



l > 1 tì ỗ
n=1

ớ

l = 1 ó ết trờ ợ tổ qt

ứ



ế

l < 1

ọ số


n
un < q, n N.

lim

un < q n , n N. ó


N 1

uk + q N (1 + q + q 2 + ã ã ã )

un =
n=1


tết tồ t số

N > 1 s
n

ừ ó

q (l, 1)

k=1

q < 1 ỗ tr ộ tụ

ị í t s s ớ tí sử
tụ tr

+



lim f (x) = 0

x

số

ó tí s rộ



f (x)dx
1

[1, +)

f (x)

un , (un = f (n)) ù ộ tụ ù ỳ
n=1

ý tết ỗ



ứ

f (x) 0 tr [1, +) số
y

F (y) =

f (x)dx
1

t tr

[1, +)

ó tồ t ớ

k

ó ột số

+

ữ
t ớ

lim F (y)

y+

tì số

f

tr

[k, k + 1]

ó tr t ó

f (k + 1) f (x) f (k),
tí tr



uk+1 f (x) uk

[k, k + 1]

k+1

k+1

uk+1 dx
k

k+1

f (x)dx
k

ừ ó

uk dx
k

k+1

uk+1

f (x)dx uk
k

ộ t tứ tr ớ

k = 1, 2, ã ã ã , n 1 t ó
n

n1

uk+1
k=1

n1

f (x)dx

uk
k=1

1


ó

yinf ty 1
+

ộ tụ tì từ t tứ tứ s r

n=1

y

lim

un

ế ỗ

f (x)dx

f (x)dx

ột số ữ

ợ ế tí s rộ



+

í ụ r tí s rộ t ỉ r
1

>1

ỗ



ỳ

1

n=1 n

ộ tụ

ộ

n=1

1
tụ ị ý ợ ứ



un

ộ tụ tì từ t tứ tứ t s r ỗ số

1

>1

1
dx
x

ộ tụ

từ ị ý tr ễ s r

ỳ

1

ỗ số



ỗ ộ tụ tệt ố



un

ị ĩ sử ỗ

ó t ỳ ỗ tr ợ ọ

n=1



|un | ộ tụ

ộ tụ tệt ố ế

n=1


un

ị í ế ỗ

ộ tụ tệt ố tì ó ộ tụ

n=1

ứ



un ộ tụ tệt ố ó t t
n=1
s p > q > N0 t ó

sử ỗ

> 0, N0 > 0

|uq+1 | + |uq+2 | + ã ã ã + |up | <
ừ ó s r |uq+1 + uq+2

r ỗ
un ộ tụ
n=1

+ ã ã ã + up | <


í ụ ét tí ộ tụ ủ ỗ

un , un =
n=1

|un |

ét ỗ

ũ t ệ s

cos n
.
n2

t ó

n=1


1
| cos n|


2
2
n
n
1


ộ tụ
2

n=1 n
ệ s s ỗ ộ tụ tệt ố ó ộ
tụ
ú ý ề ợ ủ ị ý tr ú




un

ị ĩ ế ỗ

n=1



un

|un | ộ tụ tì

ộ tụ

n=1

ợ ọ ộ tụ

n=1

ỗ ệ t

ị ĩ ỗ ỗ ó

(u1 u2 + u3 u4 + ã ã ã )




ý tết ỗ

tr ó

un 0, n

ể t ỉ ét ỗ
ó

u1 u2 + u3 u4 + ã ã ã

tr

un 0, n

u1 , u2 , u3 , ã ã ã tớ tì
ỗ u1 u2 + u3 u4 + ã ã ã ộ tụ ó tổ ợt q u1

ị í t ế số

ứ

ét tổ r

{Sn }
n=1

ỗ ộ tụ ỉ

tổ r ộ tụ
ế

n n = 2m
Sn = S2m = (u1 u2 ) + (u3 u4 ) + ã ã ã + (u2m1 u2m ).

ế

n n = 2m + 1

Sn = S2m+1 = (u1 u2 ) + (u3 u4 ) + ã ã ã + (u2m1 u2m ) + u2m+1 .
{S2m }m , {S2m+1 }m ủ {Sn }
n=1
ét {S2m }m ễ t tr t t

õ r

S2m = u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) ã ã ã u2m u1 .
ó tồ t
ét

lim S2m = S u1

m+

{S2m+1 }m

t ó

S2m+1 = S2m + u2m+1

ể q ớ t

ợ

lim S2m+1 = lim S2m = S.

m+


m+

lim Sn = S u1 ị ý ợ ứ

n



ột số tí t ủ ỗ ộ tụ tệt ố

un ộ tụ tệt ố ó tổ S tì ỗ s từ ó
n=1
t ổ tứ tự số ó tù ý ột số số
ế ỗ

ũ ộ tụ tệt ố ó tổ S

ế ỗ
un ộ tụ tì ó tể t ổ tứ tự số ủ
n=1
ó ể ỗ ợ ỗ số ộ tụ ó tổ ột số t ỳ ỗ






ợ ỗ số ỳ

ú ý t ổ tứ tự ó số ủ ột
ỗ t ỳ




un

ị ĩ ỗ ộ tụ

n=0

wn

ú ột ỗ số

vn



ó tí ủ

n=0

ị s

n=0
n

wn =

uk vnk .
k=0





ế ỗ

un



n=0

ợt
tổ

S, S tì
SS





vn

ộ tụ tệt ố ó tổ

n=0

tí ủ ú ũ ỗ ộ tụ tệt ố ó



ự ộ tụ ể sự ộ tụ ề ủ

f1 , f2 , ã ã ã , fn , ã ã ã ị tr t X

R ể x0 X ọ ể ộ tụ ủ tr ế số {fn (x0 )}n

ị ĩ số

ộ tụ

tt ể ộ tụ ủ

{fn }n

ọ t ợ ộ tụ

ủ ó ề ộ tụ

{fn }n ợ ọ ộ tụ ế f tr t X
ế ớ x X, > 0, tồ t N0 = N0 (x, ) > 0 s ớ ọ n > N0
ị ĩ

tì

|fn (x) f (x)| < .
ý ệ

fn f ( lim fn = f ).
n


✷✵

▲ý t❤✉②Õt ❝❤✉ç✐

{fn }n ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤é✐ tô ➤Ò✉ ➤Õ♥ ❤➭♠ f tr➟♥ t❐♣
X ♥Õ✉ ✈í✐ ∀ε > 0, tå♥ t➵✐ N0 = N0 (ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ n > N0 t❤×
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✸✳ ❉➲② ❤➭♠

|fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ X,

(sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε).
x∈X

❑ý ❤✐Ö✉

fn ⇒ f ✳

❈❤ó ý✳ ❉➲② ❤➭♠

X✳

{fn }n

❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥

❱Ý ❞ô✳ ❳Ðt ❞➲② ❤➭♠ sè

|x| > 1 t❤× xn → ∞✳
x = 1 t❤× xn → 1✳
x = −1✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❣✐í✐
|x| < 1 t❤× xn → 0✳

{fn }n ✱

X t❤× ♥ã
fn : R −→ R
x −→ xn ✳

❤➵♥✳

❱❐② ♠✐Ò♥ ❤é✐ tô ❝ñ❛ ❞➲② ❤➭♠ ➤➲ ❝❤♦ ❧➭
❳Ðt tr➟♥ ♥ö❛ ➤♦➵♥

❤é✐ tô ➤✐Ó♠ tr➟♥

[0, 1), fn → 0

(−1, 1]✳

♥❤➢♥❣ sù ❤é✐ tô ♥➭② ❧➭ ❦❤➠♥❣

➤Ò✉ tr➟♥ ➤♦➵♥ ➤ã✳ ❚❤❐t ✈❐②✱

|fn (x) − 0| = |xn |.
▲✃②

ε = 1/2✱

①Ðt

n0

❜✃t ❦ú ✈➭ ❧✃②

x ∈ ( n0

1
, 1)
2

t❛ ❝ã

|fn (x) − 0| > ε.
❉♦ ➤ã ❞➲② ❤➭♠ ➤➲ ❝❤♦ ❤é✐ tô ➤✐Ó♠ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥

[0, 1).
❱í✐ sè

a ∈ (0, 1)

❜✃t ❦ú✱ ❞➲②

{fn }n

❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥

[0, a]✳

❚❤❐t

✈❐②✱

sup |fn (x) − 0| = sup |xn | ≤ an → 0, (n → ∞).

x∈[0,a]

✶✳✷✳✷

x∈[0,a]

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❤é✐ tô ➤Ò✉ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② ❤➭♠

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳✹✳ ✭❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❈❛✉❝❤② ✈Ò sù ❤é✐ tô ➤Ò✉ ❝ñ❛ ❞➲② ❤➭♠✮✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥
❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ➤Ó ❞➲② ❤➭♠
✈í✐

{fn }n

①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ t❐♣ ❤î♣

∀ε > 0, ∃N0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ∀m, n ≥ N0

X

t❛ ❝ã

|fm (x) − fn (x)| < ε, ∀x ∈ X.

❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥

X

❧➭

✷✶

✶✳✷ ❉➲② ❤➭♠

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❛✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥✳

❱í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt

fn ⇒ f ✱ ✈í✐ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ∀n ≥ N0

t❤×

|fn (x) − f (x)| < ε/2, ∀x ∈ X.
▲✃②

m, n ≥ N0

t❛ ❝ã


|f (x) − f (x)| < ε/2, ∀x ∈ X
n
|fm (x) − f (x)| < ε/2, ∀x ∈ X
❚õ ➤ã

|fm (x) − fn (x)| ≤ |fn (x) − f (x)| + |fm (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ X.
❜✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✳

{fn (x0 )}n ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳
❚❤❡♦ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❈❛✉❝❤② ➤è✐ ✈í✐ ❞➲② sè t❤× {fn (x0 )}n ❤é✐ tô✳
➜➷t f (x0 ) = lim fn (x0 )✳ ❑❤✐ ➤ã ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét ❤➭♠ f : X −→ R✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣
n→∞
♠✐♥❤ fn ⇒ f ✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ∀m, n ≥ N0
❱í✐ ♠ç✐

x0 ∈ X

❝è ➤Þ♥❤✱ t❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ❞➲② sè

t❛ ❝ã

|fm (x) − fn (x)| < ε, ∀x ∈ X.
❈❤♦

m → ∞ t❛ ❝ã |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ X, tõ ➤ã s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤✳

✶✳✷✳✸

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② ❤➭♠ ❤é✐ tô ➤Ò✉

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳✺✳ ❈❤♦ ❞➲②
tô❝ tr➟♥

{fn }n

❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣

I ✳ ◆Õ✉ fn ⇒ f

t❤×

f

❧✐➟♥

I✳
x0 ∈ I ✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f

x0 .
❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❧✐➟♥ tô❝ t❛ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ✈í✐ ∀x t❤á❛ ♠➲♥
|x − x0 | < δ t❤×
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

▲✃②

❧✐➟♥ tô❝ t➵✐

|f (x) − f (x0 )| < ε.


✷✷

▲ý t❤✉②Õt ❝❤✉ç✐

I ♥➟♥ fn

t❤á❛ ♠➲♥ |x − x0 | < δ t❤×
✰

fn

❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

❧✐➟♥ tô❝ t➵✐

x0 .

❉♦ ➤ã✱ tå♥ t➵✐

δ > 0,

✈í✐

∀x

|fn (x) − fn (x0 )| < ε/3, ∀n.
✰ fn

⇒f

♥➟♥ tå♥ t➵✐

N0 > 0 ➤Ó ✈í✐ ♠ä✐ n > N0

t❤×

|fn (x) − f (x)| < ε/3, ∀x ∈ I.
❉♦ ➤ã

|f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fn (x) + fn (x) − fn (x0 ) + fn (x0 ) − f (x0 )|
≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )|
≤ ε (∀n > N, ∀|x − x0 | < δ).
❉♦ ➤ã

f

❧✐➟♥ tô❝ t➵✐

x0 ✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳✻✳ ❈❤♦ ❞➲②

{fn }n ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ [a, b]✳ ◆Õ✉ fn ⇒ f

x


 fn (t)dt ⇒
x0

n→∞ a

f (t)dt
x0
b

b

fn (t)dt = [ lim fn (t)]dt =
a n→∞

ε > 0✳ ❳Ðt x, x0
tå♥ t➵✐ N > 0 s❛♦ ❝❤♦ ∀n > N t❤×
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

∀x0 ∈ [a, b]✱

x

b



 lim

t❤×

▲✃②

f (t)dt.
a

❜✃t ❦ú t❤✉é❝ ➤♦➵♥

[a, b]✳

|fn (t) − f (t)| <

ε
, ∀t ∈ [a, b]
x − x0

|fn (t) − f (t)| <

ε
, ∀t ∈ [x0 , x]
x − x0

❤❛②

❉♦ ➤ã

M = max |fn (t) − f (t)| <
t∈[x0 ,x]

ε
.
x − x0

❉♦

fn ⇒ f

♥➟♥

✷✸

✶✳✷ ❉➲② ❤➭♠

❳Ðt ❤✐Ö✉

x0
x

x0

x0

(fn (t) − f (t))dt|

f (t)dt| = |

fn (t)dt −

|

x

x

x

|fn (t) − f (t)|dt

≤

x0

≤ M (x − x0 )
< ε.
❚õ ➤ã

x

x

fn (t)dt ⇒
x0

f (t)dt.
x0

➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ t❤ø ❤❛✐ t❛ ❧✃②

{fn }n

x0 = a, x = b✳

[a, b]✱ ✈➭ ❤é✐ tô t➵✐
✶ ➤✐Ó♠ x0 ∈ [a, b]✳ ◆Õ✉ ❞➲② ➤➵♦ ❤➭♠ {f }n ❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥ [a, b] ➤Õ♥ ❤➭♠ g
n
t❤× ❞➲② {fn }n ❤é✐ tô ➤Ò✉ ➤Õ♥ ♠ét ❤➭♠ sè f ❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ [a, b] ✈➭
f = g ✱ ✭ ❤❛② ( lim fn ) = lim fn ✮✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳✼✳ ●✐➯ sö ❞➲②

n→∞

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

➜➷t

❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

n→∞

α = lim fn (x0 )✳ ❉♦ fn ⇒ g

[a, b]

n→+∞

♥➟♥

g

tr➟♥

[a, b] ✈➭ ❝➳❝ ❤➭♠ sè fn

❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ➤♦➵♥ ♥➭②✳ ❉♦ ➤ã

➜➷t

g

❦❤➯ tÝ❝❤ tr➟♥

x

g(t)dt, x ∈ [a, b]

f (x) = α +
x0
❚❛ ❝ã

f (x) = g(x), ∀x ∈ [a, b]✳ ❚❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ fn ⇒ f

❚❤❐t ✈❐②✱ t❛ ❝ã

x

fn (t)dt, x ∈ [a, b]

fn (x) = fn (x0 ) +
x0
❉♦

fn ⇒ g

tr➟♥

[a, b] ♥➟♥ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳✻✱ t❛ ❝ã
x

x

fn (t)dt ⇒
x0

g(t)dt
x0

tr➟♥

[a, b]

[a, b]✳




ý tết ỗ

t



= lim fn (x0 ) fn f
n+

tr

[a, b] ị ý ợ ứ

ỗ



ề ộ tụ ủ ỗ



n

ét ỗ

un

tr ó

un : X R

t

Sn =

n=1

uk

ọ

k=1

ó tổ r tứ

n

ủ ỗ


un

ị ĩ ỗ

ợ ọ ộ tụ t

x0

ế

n=1

{Sn }n

ộ tụ t

x0



ế ỗ

un

ộ tụ t ọ

x X

n=1

tụ tr

X



X



un

ề ộ tụ ủ ỗ



ộ tụ tì

n=1

S = lim Sn

í ụ ỗ

n

xn

tổ ủ

ế ỗ

n=1



un

tì ỗ ó ộ

un
n=1

ộ tụ ớ

|x| < 1

r ề

n=1

S=

ị ĩ ỗ

1
.
1x

xn ợ ọ ộ tụ ề tr X

ế

{Sn }n

n=1
ộ tụ ề tr

X

(1)n1

2
n=1 x + n
ễ t ớ ỗ x R ỗ un 0, (n )
n (1)k1
t ệ t ỗ tr ộ tụ ó Sn =
2
k=1 x + k

í ụ ét ỗ

ó



Rn =

(1)k1
x2 + k
k=n+1
{Rn (x)}n
1
|R(x)|
.
n+1

ũ ỗ ũ t ệ t
ộ tụ ế

R(x)



1
|R(x)| 2
, x,
x +n+1

ó

ỗ

ớ ế

n

t ợ

R(x) = 0, x

ó

{Sn }n

ộ tụ ề ỗ ộ tụ ề



ề ệ ộ tụ ề ủ ột ỗ



un

ị í ỗ

ộ tụ ề tr t

n=1

X

ế ỉ ế

> 0, N0 > 0 s ớ m, n > N0 t ó
|Sm (x) Sn (x)| < , x X.

ứ

sự ộ tụ ề ủ ỗ t ớ sự ộ tụ ề

ủ tổ r ị ý tr s trự tế từ t ố
ớ


ị í rstrss

n=1



|un (x)| an , n, x X

an

ỗ số

un

ế ỗ



un

ộ tụ tì ỗ

n=1
tụ tệt ố ề tr

tỏ

ộ

n=1

X


ứ

an

ỗ

ộ tụ

>0

tù ý tồ t số

n=1



N

s ớ

n N, s

n+1 + n+2 + ã ã ã + n+p < , p
ó ớ

n N, p x X

t ó

|un+1 (x) + un+2 (x) + ã ã ã + un+p (x)|
|un+1 (x)| + |un+2 (x)| + ã ã ã + |un+p (x)|
n+1 + n+2 + ã ã ã + n+p
.


un ộ tụ tệt

t tứ ù ớ ị ý s r ỗ

n=1
ố ề tr

X


✷✻

▲ý t❤✉②Õt ❝❤✉ç✐

❱Ý ❞ô✳ ❳Ðt ❝❤✉ç✐
∞

n=1

❉Ô t❤✃②

| sin nx|
1
≤
✳
x2 + n3
n3

|un | =

sin nx
x2 + n 3

∞

1
3
n=1 n

❉♦ ❝❤✉ç✐

❤é✐ tô ♥➟♥ t❤❡♦ t✐➟✉

❝❤✉➮♥ ❲❡✐❡rstr❛ss✱ ❝❤✉ç✐ ➤➲ ❝❤♦ ❤é✐ tô t✉②Öt ➤è✐ ✈➭ ➤Ò✉ tr➟♥

✶✳✸✳✸

R.

❚Ý♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❝❤✉ç✐ ❤➭♠ ❤é✐ tô ➤Ò✉

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞② s✉② trù❝ t✐Õ♣ tõ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t t➢➡♥❣ ø♥❣
➤è✐ ✈í✐ ❞➲② ❤➭♠ ❤é✐ tô ➤Ò✉✳
∞

un ✱ un

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳✺✳ ❈❤♦ ❝❤✉ç✐

❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

[a, b], ∀n ✈➭ ❝❤✉ç✐ ❤➭♠ ❤é✐

n=1
tô ➤Ò✉ ➤Õ♥

S

tr➟♥

[a, b] t❤× S

[a, b]✳

❝ò♥❣ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

∞

un ✱ un

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳✻✳ ❈❤♦ ❝❤✉ç✐

❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

[a, b], ∀n ✈➭ ❝❤✉ç✐ ❤➭♠ ❤é✐

n=1
tô ➤Ò✉ ➤Õ♥

S

tr➟♥

[a, b] t❤×
b

b ∞

S(x)dx =
a

b

∞

un dx =
a

n=1

un dx.
n=1 a

∞

un

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳✼✳ ●✐➯ sö

n=1

(a, b)✳

❤é✐ tô tr➟♥

(a, b)

➤Õ♥

S ✱ un

❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥

∞

un

❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ ❝❤✉ç✐

❤é✐ tô ➤Ò✉ tr➟♥

(a, b)

n=1
✈➭

∞

S (x) = (

∞

un ) =

n=1

un .
n=1

t❤×

S

❦❤➯ ✈✐ tr➟♥

(a, b)