Tóm tắt Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Một cách tiếp cận xấp xỉ và mô hình hóa phần tử hữu hạn hệ số dẫn và mô đun đàn hồi của vật liệu nhiều thành phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (720.3 KB, 28 trang )
1
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
ĐỖ QUỐC HOÀNG
MỘT CÁCH TIẾP CẬN XẤP XỈ VÀ MÔ HÌNH HÓA
PHẦN TỬ HỮU HẠN HỆ SỐ DẪN VÀ MÔ ĐUN ĐÀN HỒI
CỦA VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số
: 9520101
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT
Hà nội – 2019
2
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công
nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TSKH. Phạm Đức Chính
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS.TS. Trần Anh Bình
Phản biện 1: …………………………………………………
Phản biện 2: …………………………………………………
Phản biện 3: …………………………………………………
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ
cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn
lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ …,
ngày…tháng… năm 2019.
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
3
MỞ ĐẦU
1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án
Việc xác định, tiên lượng được tính chất của vật liệu nhiều thành
phần sẽ giúp các kỹ sư, các nhà khoa học ứng dụng hoặc sáng tạo ra
những loại vật liệu mới có tính chất phù hợp với nhu cầu sử dụng.
Do vậy, hướng nghiên cứu này luôn có tính thời sự và được ứng
dụng rộng rãi trong lĩnh vực khoa học - kỹ thuật. Để ứng dụng có
hiệu quả các loại vật liệu, việc nghiên cứu nhằm xác định, dự đoán
tính chất cơ lý của vật liệu đã trở thành một vấn đề khó khăn và
mang tính thời sự. Nhất là đối với vật liệu có cấu trúc phức tạp, có sự
chênh lệch lớn giữa tính chất của các vật liệu thành phần.
Trong khuôn khổ của Luận án tiến sỹ, nghiên cứu sinh (NCS) đã
nghiên cứu, tìm ra một xấp xỉ mới có thể tính toán một cách gần
đúng hệ số dẫn và đàn hồi hiệu quả của vật liệu nhiều thành phần.
NCS đưa ra phương pháp xấp xỉ tương tác gần có thêm vào các
thông số hình học của vật liệu, tăng thêm độ chính xác với những vật
liệu có cốt liệu hình dạng tựa tròn (cầu). Với những vật liệu có cốt
liệu phức tạp, NCS đưa ra thêm phương pháp xấp xỉ tương đương,
tính toán được hệ số tương đương, đưa về môt hình có cốt liệu tựa
tròn (cầu) để sử dụng xác phép xấp xỉ đã có. NCS cũng đã đánh giá
độ chính xác của phương pháp xấp xỉ dựa vào những kết quả thực
nghiệm hoặc kết quả số.
2. Mục tiêu của luận án
Xây dựng phương pháp xấp xỉ tương tác gần cho hệ số dẫn và
đàn hồi hiệu quả của vật liệu nhiều thành phần.
Xây dựng các mô hình gần với thực tế, sau đó thực hiện việc tính
toán theo xấp xỉ tương tác gần, xấp xỉ tương đương. Sử dụng phương
pháp số, cụ thể là phương pháp PTHH FEM (XFEM) để so sánh với
phương pháp xấp xỉ cho vật liệu.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu đến hệ số dẫn hiệu quả như hệ số dẫn nhiệt, điện và
các hệ số đàn hồi của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần có cấu
trúc phức tạp. Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn FEM
(XFEM) và cáp phép xấp xỉ.
4. Phương pháp nghiên cứu
4
Phương pháp xấp xỉ tương tác gần: xuất phát từ nguyên lý
năng lượng cực tiểu và áp dụng trường biến phân HashinShtrikman, tính toán chính xác thành phần tương tác gần cho
các hệ số dẫn và đàn hồi vật liệu nhiều thành phần dạng pha
nền + cốt liệu hạt cầu (tròn). Xấp xỉ tương đương thay hình
học cốt liệu phức tạp bằng cốt liệu lý tưởng hình học cầu,
tấm, sợi với các tính chất tương đương, sử dụng xấp xỉ phân
cực, phân bố thưa và kết quả thực nghiệm.
Phương pháp số: sử dụng phương pháp Phần tử hữu hạn
(FEM) để đưa ra thuật toán lặp và sử dụng chương trình
Matlab tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúc tuần
hoàn trong khuôn khổ của phương pháp FEM (XFEM). Kết
quả FEM được coi như một cách tính chính xác, dùng so
sánh với các kết quả xấp xỉ.
5. Cấu trúc của luận án
Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn
chương. Các tài liệu tham khảo liệt kê ở cuối luận án
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí
bao gồm: quốc tế (03 bài SCI), tạp chí quốc gia (01 bài trên Vietnam
Journal of Mechanics) và tuyển tập các báo cáo hội nghị quốc tế (01
báo cáo hội nghị), hội nghị quốc gia (05 báo cáo hội nghị).
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Mở đầu
Vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc phức tạp, khác nhau về
tính chất cơ lý riêng lẻ. Đã có nhiều tác giả đưa ra các cách đánh giá,
bao gồm cả đánh giá trên và đánh giá dưới, theo nguyên lý biến
phân. Từ đó, tác giả đưa thêm vào các thông số vật liệu để thu hẹp
đánh giá, đưa ra các đánh giá tốt hơn. Trong chương này, NCS trình
bày về khái niệm đồng nhất hóa và tổng quan về xây dựng các
phương pháp xấp xỉ cho vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc phức
tạp.
Trường ứng suất (x) quan hệ với trường biến dạng ( x)
thông qua định luật Hook:
(x) C(x) : (x),
(1.1)
5
Giá trị trung bình của ứng suất và biến dạng trên V được
định nghĩa như sau:
1
dx ,
V V
1
dx.
V V
(1.2)
Giả thiết điều kiện biên đồng nhất về chuyển vị:
u(x) 0 x.
(1.3)
hoặc điều kiện biên đồng nhất về lực:
n 0 n
(1.4)
Với lời giải σ, ε nhận được trên V, quan hệ giữa các giá trị
trung bình ứng suất và biến dạng trên miền V được biểu diễn
qua ten xơ đàn hồi vĩ mô (hiệu quả) Ceff:
Ceff :
,
Ceff T(k eff , eff ).
(1.5)
k eff và eff là các mô đun đàn hồi thể tích và trượt vĩ mô (hiệu quả).
Ngoài ra một cách tiếp cận khác để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô
bằng cách tìm cực trị của phiếm hàm năng lượng trên miền V
(trường khả dĩ cần là trường tương thích):
0 : Ceff : 0 inf
0
: C : dx ,
(1.6)
V
hoặc thông qua nguyên lý biến phân đối ngẫu (trường khả dĩ cần
là trường cân bằng):
0 : (Ceff )1 : 0 inf
0
: (C)
1
: dx.
(1.7)
V
Tương tự như vậy, tác giả xây dựng đánh giá cũng bắt đầu từ phương
trình cần bằng.
Trường vector dòng nhiệt J cần thỏa mãn điều kiện cân bằng:
·J (x) 0
Với lời giải cho J, E T nhận được trên V, hệ số dẫn vĩ mô (hiệu
dụng) ceff được xác định trực tiếp:
6
J c eff E c eff T .
(1.8)
Các nguyên lý năng lượng cực tiểu cũng là cách thức chính để tìm hệ
số dẫn vĩ mô và các đánh giá:
c eff E0 ·E0 inf 0 cE·Edx,
E E
(1.9)
V
và:
(c eff ) 1 J 0 ·J 0 inf 0 c1 J·Jdx,
J J
(1.10)
V
1.2. Tổng quan về các phương pháp xấp xỉ của vật liệu nhiều
thành phần
1.2.1. Xấp xỉ phân bố thưa
Trong trường hợp biểu thức của hệ số dẫn hiệu quả ceff cho
trường hợp phân bố thưa của pha cốt liệu hình ellipse có các trục
theo tỉ lệ a:b:c, được thả ngẫu nhiên trong môi trường liên tục, hệ số
dẫn nhiệt hiệu quả được biểu diễn dưới dạng:
c eff cM vI (cI cM ) Dc (cI , cM ) , vI 1 ,
Dc (cI , cM )
(1.11)
cM
1
1
1
[
],
3 cI A cM (1 A) cI B cM (1 B ) cI C cM (1 C )
Công thức chung của Dc (cI , cM ) cho cốt liệu hình cầu (d=3) và
hình tròn (d=2) có thể cho ở dạng chung:
Dc (cI , cM )
dcM
.
cI (d 1)cM
1.2.2. Xấp xỉ Maxwell
Xấp xỉ Maxwell được xây dựng cho vật liệu 2 pha dạng nền
+ các cốt liệu hình cầu có tỷ lệ thể tích các thành phần bất kỳ, không
bị giới hạn bởi phân bố thưa (M - ký hiệu pha nền, I - ký hiệu pha cốt
liệu).
7
1
vI
v
c eff
M d 1 cM ,
c
d
1
c
dc
M
M
I
1
vI
vM
2( d 1)
K eff
M ,
K*M ; K*M
K
d
1
K
K
K
d
*M
M
*M
I
vI
vM
d 2 K M 2(d 1)(d 2) M
eff MA (
)1 * M ; * M M
.
I *M M *M
2dK M 4d M
(1.12)
1.2.3. Xấp xỉ vi phân (Differential Approximation - DA)
Chúng ta thu được phương trình vi phân cho hệ số dẫn hiệu quả của
vật liệu mới
dc
1 n
vI (cI c) Dc (cI , c),
dt 1 vI t 1
n
(1.16a)
c(0) cM , 0 t 1 , vI vI ,
1
Đối với trường hợp hệ số đàn hồi
dK
1 n
vI ( K I K ) DK ( K I , I , K , ),
dt 1 vI t 1
d
1 n
vI ( I ) DK ( K I , I , K , ),
dt 1 vI t 1
(1.16b)
n
0 t 1 , vI vI ,
K (0) K M , (0) M
1
1.2.3. Xấp xỉ tự tương hợp (Self-consistent approximations - SA)
Phương pháp xấp xỉ tự tương hợp (SA) cho vật liệu hỗn hợp n thành
phần, là lời giải cSA=c của phương trình sau:
n
v (c c ) D (c , c ) 0 .
I
I
c
I
(1.17)
1
SA ở trong trường hợp mô đun đàn hồi là lời giải cho KSA=K
SA trong hệ 2 phương trình
8
n
v ( K K ) D ( K , , K , ) 0,
I
I
K
I
I
1
n
v ( )D
I
M
I
(1.18)
( K I , I , K , ) 0 .
1
1.2.3. Xấp xỉ Mori-Tanaka (MTA)
Xấp xỉ MTA tính hệ số dẫn hiệu quả cho hỗn hợp hai thành phần pha
nền và cốt liệu có dạng
c MTA c M vI (c I c M )·{vM [I p·c M1·(c I c M )] vI I}1 . (1.19)
và cho vật liệu nhiều thành phần (pha cốt liệu + n pha nền)
n
c MTA {vM c M vI c I ·[I p ·c M1·(c I c M )]1}
1
(1.20)
n
1
M
1 1
·{vM I vI [I p ·c ·(c I c M )] } .
1
Xấp xỉ MTA cho kết quả hệ số dẫn hiệu quả cho bài toán d chiều, vật
liệu đẳng hướng vĩ mô nhiều thành phần với các cốt liệu cầu (tròn)
có dạng như sau
n
v (c c
I
cMTA cM
I
M
)dcM / [cI (d 1)cM ]
1
n
. (1.21)
vM vI dcM / [cI (d 1)cM ]
1
1.3. Đánh giá bậc 3 của Phạm ĐC
Phương pháp đánh giá bậc 3 của Phạm ĐC nhằm xây dựng đánh giá
cho hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần. Phương pháp được xây
dựng xuất phát từ nguyên lý năng lượng, mục tiêu là tìm ra trường
khả dĩ tốt nhất thỏa mãn các điều kiện ràng buộc.
Kết quả cuối cùng là ta nhận được biểu thức tổng quát đánh giá cho
ceff:
Pc (2c0 ) c** c eff [ Pc1 (2c0 ) c** ]1 .
trong đó c0 là một số dương,
(1.22)
9
1
v
Pc (c** ) c** ,
c c*
n
v
) 2 (c c0 )A X X .
1 c 2c0
, , 1
(1.23)
n
c** 3(
(1.24)
Một cách tương tự, khi chọn giá trị tại vị trí phiếm hàm cực đại, biểu
thức tính toàn phần nghịch bù được viết dưới dạng:
n
n
v
)2 (c1 c01 )A X X . (1.25)
1 c 2c0
, , 1
c** 3c02 (1 2c0
Trong đó :
n
v
1
c 2c0
1 c 2c0
X
n
v
1
X
c 2c0
1 c 2c0
(1.26)
Ta lựa chọn giá trị c0 có thể loại bỏ được thành phần c** , c** để làm
cho bất đẳng thức mạnh thêm.
1.3. Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán đồng nhất hóa
Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ yêu cầu
giải các bài toán phức tạp, phân tích kết cấu trong ngành xây dựng và
hàng không. Điểm chung của các hướng đi đến phương pháp đều là
chia những miền liên tục thành rời rạc. Do tính chất của vật liệu
nhiều thành phần là không đồng nhất, chưa tỉ lệ thể tích pha cốt liệu
khá lớn. Đây là giới hạn của phương pháp, kỹ thuật đồng nhất hóa sẽ
cho phép khắc phục được giới hạn này.
Vấn đề chia lưới trong việc giải các bài toán bằng phương
pháp phần tử hữu hạn là một vấn đề phức tạp. Hiện này, chúng ta đã
có nhiều phát triển cho phương pháp nhằm khắc phục vấn đề này.
Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) là một trong những
phương pháp như vậy. Phương pháp XFEM áp dụng được để giải
các bài toán trong trường hợp mô hình có các bề mặt thay đổi trong
một hệ lưới cố định.
10
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
2.1. Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn
2.1.1. Xây dựng phương pháp tính cho bài toán nhiệt
Các phương trình cơ bản của bài toàn nhiệt được viết dưới dạng như
sau:
q x 0
in
,
q x c x E x
E x T x
T x
q x .n
periodicin
in
in
,
,
(2.1)
,
antiperiodicin
,
Trong đó q là luồng nhiệt đối tuần hoàn trong miền , c là hệ số
dẫn nhiệt, T là nhiệt độ tuần hoàn trong miền
NCS sử dụng các hàm dạng tuyến tính cho phần tử tam giác có 3 nút
như sau:
N x, y ax by c,
(2.2)
E e ( x) B e T e .
(2.3)
Phương trình trở thành:
Trong phương pháp FEM, ma trận độ cứng tổng thể được ghép từ
các ma trận độ cứng phần tử. Ma trận độ cứng phần tử được xác định
như sau:
e
T
K e B e k B e d .
(2.4)
Ta giải được nhiệt độ tại từng vị trí phần tử nút, và tìm được hệ số
dẫn hiệu quả theo phương trình truyền nhiệt:
q avg k eff
T
.
X1
(2.5)
11
2.1.2. Xây dựng mô hình tính toán FEM cho bài toán nhiệt
Mô hình phần tử được xây dựng trong phần mềm Ansys và thực hiện
chia lưới tam giác
Hình 2.1: Chia lưới bài toán lập phương tâm khối
Kết quả tính toán nhiệt độ được giải theo trình tự lý thuyết:
Hình 2.2: Phân bố nhiệt trong phần tử và trong pha nền
Hình 2.4: Phân bố nhiệt trong cốt liệu góc và giữa pha nền
2.1.2. Xây dựng mô hình tính toán FEM cho bài toán đàn hồi
Trường chuyển vị theo các bậc tự do ở nút phần tử qe được xác định
dưới dạng:
ue N .qe .
Trạng thái biến dạng của các điểm trong phần tử sẽ là:
(2.6)
12
e ue N qe B qe .
(2.7)
Phương trình tính ứng suất từng phần tử sẽ có dạng:
e D e .
(2.8)
Thế năng toàn phần của phần tử sẽ là:
u U
e
e
Ae .
(2.9)
e q 1 q K q q P .
2
T
e
T
e
e
e
e
e
(2.10)
Kết quả tổng hợp, ta có được phương trình để giải theo phương pháp
phần tử hữu hạn:
Ne
Ne
T
T
Le K e Le q Le P e 0. (2.11)
q e 1
e 1
Hay
K q P .
(2.12)
2.2. Giới thiệu Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM)
2.2.1. Hàm LevelSet
Chuyển vị trong miền được xấp xỉ dưới dạng như sau:
u h ( x) N i ( x)ui N *j ( x) ( x)a j .
i
(2.13)
i e
Xây dựng hàm Level-Set xác định khoảng cách vị trí tương đối của
các điểm cần tính toán.
( x) s( x) x x ,
(2.14)
13
Hình 2.3: Xây dựng hàm LevelSet
Ta nhận được kết quả hàm LevelSet được mô phỏng như hình:
Hình 2.4: Xây dựng hàm LevelSet cho nhiều cốt liệu
2.2.2. Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM)
cho bài toán nhiệt
Trong phương pháp này, vector T sẽ được làm giàu, bổ sung thêm
các thành phần phụ:
N i ( x) x N i ( x)
x Ni ( x) x .
x
x
x
(2.15)
Hầu hết các công thức tính toán cho bài toán nhiệt đều được vận
dụng tương tự, tuy nhiên các ma trận của từng phần tử nằm trên biên
đều được bổ sung. Dẫn đến, muốn giải được bài toán, tác giả cần
ghép nối chính xác để có được ma trận tổng thể.
a1
Be
b
1
a2
b2
a3
b3
a1
x
x
x
b1
y
a2
K
K KGlobal
Im age
x
x
x
b2
y
a3
x
x
.
x
b3
y
T
K Im
age
.
0
(2.16)
(2.17)
14
2.2.2. Kết quả tính toán nhiệt độ theo phương pháp XFEM
Các kết quả tính cho chúng ta nhìn được một cách trực quan
nhiệt độ thay đổi trong phần tử cần tính toán như trong hình
Hình 2.5: Phân bố nhiệt trong các dạng mô hình tính
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ PHÂN CỰC - PA
3.1. Xấp xỉ phân cực bậc 3 áp dụng cho hệ số dẫn và đàn hồi Xấp xỉ tương tác gần
Trường hợp bài toán nhiệt
Như đã có trình bày ở Chương I mục 1.3.
Nhận thấy trong biểu thức tính toán xuất hiện thành phần
A , đây là hệ số của hàm tương quan ba điểm liên quan đến vi hình
học của ba pha V , V , V .
A ,ij,ij dx
V
v
,
3
(3.1)
Ngoài ra ( x) là hàm thế điều hòa xuất hiện trong biểu thức của
trường phân cực Hashin-Shtrikman.
( x) G ( x, y )dy, G ( x, y )
V
1
1
x y
4
(3.2)
Trong đó i , j là đạo hàm theo các tọa độ xi, xj.
Đầu tiên, “số hạng tương tác gần” sẽ có thể tích phân dễ dàng, còn
“số hạng tương tác xa” ta sẽ lấy xấp xỉ:
15
Gdy v
V S IM
Gdy
(3.3)
V S IM
Như vậy, với x V : ( là pha cốt liệu)
1
3
,ij ij , ,ij ,ijM 0;
(3.4)
Kết quả cận trên và cận dưới chính là giới hạn Hashin-Shtrikman.
Pc (2cmax ) c eff Pc (2cmin ) .
(3.5)
Thay thế c0=cM loại bỏ thành phần nhiễu c** và c** , giới hạn sẽ hội
tụ về một kết quả duy nhất:
c eff Pc (2cM ) .
(3.6)
Trường hợp tổng quát trong không gian d chiều có thể như sau:
c eff cPA Pc ((d 1)cM ).
(3.7)
Trường hợp bài đàn hồi
Đối với trường hợp đàn hồi cũng được tính toán tương tự, xây dựng
dựa trên lý thuyết thế năng điều hòa và song điều hòa, các thành
phần tương tác xa có thể tính chính xấp xỉ được trên xấp xỉ tương tác
xa (12) cho hàm thế điều hòa, và xấp xỉ tương tự cho hàm thế song
điều hòa.
V \ S IM
dy v
K eff Pk (
eff
V \ S IM
dy, ( x, y )
1
x y
8
2(d 1) K M
)
2
P ( *M ), *M
d 2 K M 2(d 1)(d 2) M
M
2.d .K M 4d M
Tất nhiên, xấp xỉ tính toán được cho bài toàn đàn hồi cũng tuân thủ
đánh giá Hashin-Shtrikman:
16
2 d 1
2 d 1
PK
max K eff PK
min .
d
d
(3.8)
P ( *max ) eff P ( *min )
K max max K1 ,..., K n , K min min K1 ,..., K n
max max 1 ,..., n , K min min 1 ,..., n .
3.2. Các kết quả so sánh
Các ví dụ tính toán được thực hiện chia lưới trong phần mềm Ansys.
NCS đã viết chương trình tính toán bằng Matlab, đưa dữ liệu lưới
vào tính toán, và cho kết quả hiển thị dưới dạng đồ thị.
3.2.1. Bài toán 2 chiều vật liệu cốt sợi 3 thành phần
Xây dựng mô hình tính toán như hình vẽ:
Hình 3.1: Mô hình cốt liệu dọc trục dạng Square và Hexagonal
Giá trị tính toán cho mô hình như sau:
cM
c1
c2
1
10
3
17
Hình 3.2: Kết quả tính toán cho 2 trường hợp cốt liệu Square-Hexa.
(a) thể tích pha cốt liệu bằng nhau, (b) thể tích pha cốt liệu gấp đôi
3.2.1. Bài toán 3 chiều vật liệu cốt sợi 3 thành phần
Xây dựng mô hình tính cho bài toán:
Hình 3.3: Mô hình BBC vật liệu 3 pha
Hình 3.4: Mô hình FCC vật liệu 3 pha
Xây dựng phần mềm tính toán cho bài với bộ số liệu tính toán như
trong bảng
(a)
cM = 1
c1 = 3
c2 = 10
(b)
cM = 3
c1 = 1
c2 = 10
(c)
cM = 3
c1 = 10
c2 = 1
(d)
cM = 10
c1 = 1
c2 = 3
Kết quả được đưa ra dưới dạng đồ thị trong hình
18
Hình 3.5: Đồ thị kết quả tính toán bài toán 3D
3.2.1. Bài toán đàn hồi 2 chiều vật liệu 3 thành phần
Xây dựng mô hình tính cho bài toán đàn hồi theo BBC như hình 3.3.
Các giá trị tính toán
(a)
KM = 4
M=2
KI2 = 1
I2=0.4
KI3 = 20
I3=12
(b)
KM = 4
M=2
KI2 = 20
I2=12
KI3 = 1
I3=0.4
(c)
KM = 1
M=0.4
KI2 = 4
I2=2
KI3 = 20
I3=12
(d)
KM = 20
M=12
KI2 = 4
I2=2
KI3 = 10
I3=0.4
19
Hình 3.6: Kết quả tính mô đun đàn hồi hiệu quả
CHƯƠNG 4. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG
4.1 Giới thiệu phương pháp xấp xỉ tương đương
4.1.1 Phương pháp xấp xỉ tương đương cho vật liệu cốt liệu hạt
gần tròn (cầu) sử dụng đối chiếu phân bố thưa
Trong trường hợp cốt liệu rời rạc, hệ số dẫn hiệu quả sẽ được xác
đinh:
c eff cM v (c cM ) D(c , cM ), v 1.
(4.1)
Mặt khác, trong trường hợp pha loãng của các hạt cốt liệu hình cầu
(d-chiều) có hệ số dẫn tương đương c và tỉ lệ thể tích v trong một
20
pha nền có hệ số dẫn giữ nguyên là cM, thì ta có công thức tính toán
như sau:
c eff cM v (c cM )
dcM
,v 1.
c (d 1)cM
(4.2)
Cân bằng phương trình ta có:
c
dcM2 (d 1)cM (c cM ) D(c , cM )
.
dcM (c cM ) D(c , cM )
(4.3)
Với trường hợp cốt liệu là hình ellipse (2D)
D(c , cM )
cM (c cM )(1 r ) 2
.
2(c r cM )(r c cM )
(4.4)
Với trường hợp cốt liệu là hình ellipsoid (3D)
D(c , cM )
cM
3
(4.5)
1
1
1
.
c
A
c
(1
A
)
c
B
c
(1
B
)
c
C
c
(1
C
)
M
M
M
aˆ bˆ cˆ
A
2
aˆ bˆ cˆ
2
C
aˆ bˆ cˆ
dt
,
B
0 (aˆ 2 t )(t )
2
(cˆ
0
2
(bˆ
0
2
dt
,
t )(t )
dt
,(t ) (aˆ 2 t )(b 2 t )(c 2 t ).
t )(t )
4.1.2 Vật liệu có cốt liệu dị hướng
Xây dựng mô hình vật liệu vĩ mô đẳng hướng có chứa cốt liệu dị
hướng, NCS xác định hệ số dẫn tương đương cho vật liệu, dựa vào
công thức tính toán trong pha rời rạc
cI cM
D cI 1 ,..., cId , cM (d 1) 2
2 D cI 1 ,..., cId , cM
.
(4.6)
Trong đó cI 1 , cI 2 ..., cId là hệ số dẫn theo từng hướng khác nhau của
hạt cốt liệu.
4.1.3 Phương pháp xấp xỉ tương đương cho vật liệu cốt liệu hạt
cầu, sợi, tấm, sử dụng đối chiếu thực nghiệm
21
Xấp xỉ phân cực cho kết quả hệ số dãn hiệu quả của vật liệu có cốt
liệu tựa cầu:
eff
cSEIPA
(
vI
v
M )1 2cM .
cI 2cM 3cM
(4.7)
Sau đó xấp xỉ phân cực cho cốt liệu dạng tấm (PEIPA) sẽ cho hệ số
dẫn hiệu quả của vật liệu như sau:
eff
cPEIPA
(
vI
vM
) 1 2c I .
3cI cM 2cI
(4.8)
Áp dụng xấp xỉ phân cực cho cốt liệu sợi tương đương, hệ số dẫn
hiệu quả của vật liệu biểu diễn dưới dạng biểu thức như sau:
eff
cFEIPA
(
2vI / 3
2vM
)1 cI 3cM . (4.9)
cI cM 5cM cI
2
4.2 Kết quả so sánh
4.2.1 Trong trường hợp 2 chiều (2D)
NCS đã xây dựng mô hình 2 chiều, với cốt liệu tròn và cốt liệu
ellipse để tính toán tương đương, như hình vẽ:
Hình 4.1: Pha nền hình vuông với cốt liệu ellipse
22
Hình 4.1: Kết quả đồ thị cho mô hình ellipse.
(a) cM = 1, cI = 10; (b) cM = 10, cI = 1
Kết quả tính toán xấp xỉ phân cực nét tròn (PA) gần với tính toán
của hình cầu tương đương. Các tính toán đều thỏa mãn nằm trong
giới hạn Hashin-Strikman.
4.2.2 Cốt liệu ellipse có bán kính và góc xoay ngẫu nhiên
NCS đã xây dựng mô hình tính toán và kết quả trong trường hợp vật
liệu cốt liệu dị hướng, và tính hệ số dẫn tương đương.
Hình 4.2: Kết quả đồ thị Mô hình cốt liệu ellipse ngẫu nhiên, tương
đương hình tròn
23
Các tính toán đều nằm trong đánh giá Hashin-Shtrikman (HSUHSL), với số liệu tính toán này, các kết quả bám khá sát với đường
cận dưới (HSL).
4.2.3 Trường hợp 3 chiều (3D)
NCS xây dựng bài toán 3D theo mô hình FCC, tương đương hình
cầu với hình ellipsoid và có được kết quả tính hệ số dẫn tương đương
Hình 4.3: Mô hình tính toán 3 chiều (FCC)
Hình 4.4: Kết quả tính toán
4.2.4 Trường hợp cốt liệu dị hướng
24
Hình 4.5: Phần tử tuần hoàn có cốt liệu tròn dị hướng:
(a) Hình vuông; (b) Hình lục giác; (c) Cốt liệu vị trí bất kỳ
Hình 4.6: Kết quả hệ số dẫn hiệu quả Hình 4.7; Kết quả hệ số dẫn hiệu quả
cho phần tử hình vuông.
cho phần tử hình lục giác.
Hình 4.8: Kết quả hệ số dẫn hiệu quả cho phần tử thả cốt liệu bất kỳ.
4.2.5 So sánh kết quả thực nghiệm
25
Hình 4.9: Kết quả tính toán so sánh thực nghiệm cốt liệu gần cầu
Hình 4.10: Kết quả tính toán so sánh thực nghiệm cốt liệu tấm
Hình 4.11: Kết quả tính toán so sánh thực nghiệm cốt liệu sợi
KẾT LUẬN
Một số kết luận chính của luận án có thể tóm lược dưới đây:
1) NCS đã nghiên cứu phương pháp PTHH mở rộng, để nhằm
khắc phục các khó khăn chia lưới với hình học pha phức tạp (ví dụ
như hình ellipse phân bố hỗn độn) giải quyết được các bài toán có hệ
lưới dịch chuyển, có thể không cần quan tâm đến mặt giao giữa các
pha có hệ số dẫn khác nhau.
2) Đã tìm hiểu sử dụng phần mềm Ansys, tự xây dựng chương
trình tính toán PTHH bằng Matlab. Phát triển chương trình theo
phương pháp PTHH mở rộng.
