Tóm tắt Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Dƣơng Thành Huân

PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG KẾT CẤU VỎ THOẢI
FGM HAI ĐỘ CONG TRONG MÔI TRƢỜNG NHIỆT
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9520101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Hà Nội - Năm 2019


Công trình được hoàn thành tại T ƣờng Đ i học Xây dựng

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TS T ần Hữu Quốc - Trường Đại học
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS T ần Minh Tú - Trường Đại học

y d ng
y d ng

Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Tiến Khiêm
Viện Cơ học
Phản biện 2: GS. TS. Nguyễn Thái Chung
Học viện Kỹ thuật Quân sự
Phản biện 3: GS. TS. Nguyễn Tiến Chương
Trường Đại học Thủy lợi

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp

Trường họp tại Trường Đại học

y d ng.

vào hồi ...... giờ ......', ngày ..... tháng ..... năm 2019

Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia và Thư viện
Trường Đại học

y d ng.


DANH M C CÁC CÔNG TR NH KHOA HỌC C A TÁC GIẢ
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
1. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan, and Nguyen Van Long (2014), Vibration
analysis of functionally graded plates using various shear deformation plate theories,
Proceedings of the 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation ICEMA3, University of Engineering and Technology – Vietnam National University, ISBN: 978604-913-367-1, trang 580-587.
2. Trần Minh Tú, Trần Hữu Quốc, và Dương Thành Hu n (2015), Phân tích tĩnh và động
Panel trụ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
(FSDT), Tuyển tập công trình Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ
XII, Thành phố Đà Nẵng, ISBN: 978-604-82-2028-0, Tập 2, trang 1506-1513.
3. Trần Hữu Quốc, Dương Thành Hu n, Trần Minh Tú, và Nghiêm Hà T n (2017), Phân tích
Panel trụ FGM chịu uốn có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ - Lời giải giải tích và Lời giải số,
Tạp chí Khoa học Công nghệ y d ng, ISSN: 1859-2996, Tập 11 số 2, trang 38 – 46.
4. Duong Thanh Huan, Tran Minh Tu and Tran Huu Quoc (2017), Analytical solutions for
bending, buckling and vibration analysis of functionally graded cylindrical panel, Vietnam
Journal of Science and Technology. 55(5): p. 587-597, DOI: 10.15625/2525-2518/55/5/8843.
5. Duong Thanh Huan, Tran Huu Quoc, Tran Minh Tu and Le Minh Lu (2017), Free vibration
analysis of functionally graded doubly-curved shallow shells including thermal effect, Vietnam
Journal of Agricultural Sciences, Vol. 15, No. 10: p. 1410-1422, ISSN: 1859-0004.

6. Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan and Tran Minh Tu (2018), Dynamic behavior analysis
of FGM doubly curved panels considering temperature dependency of material properties,
Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ IV, Trường Đại học Trần
Đại Nghĩa, Thành phố Hồ Chí Minh (Đã chấp nhận đăng).
7. Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan and Tran Minh Tu (2018), Free vibration analysis of
functionally graded doubly curved shell panels resting on elastic foundation in thermal
environment, International Journal of Advanced Structural Engineering, 10(3): p. 275-283, DOI:
10.1007/s40091-018-0197-x.
8. Duong Thanh Huan, Tran Huu Quoc and Tran Minh Tu (2018), Free vibration analysis of
functionally graded shell panels with various geometric shapes in thermal environment,
Vietnam Journal of Mechanics, 40(3): p. 199-215, DOI: />

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu
composite tiên tiến, không thuần nhất ở mức độ vi mô, cấu thành từ hai hoặc nhiều hơn hai
pha vật liệu với tỷ lệ thể tích các vật liệu thành phần biến đổi liên tục. Các đặc trưng cơ học
của vật liệu vì thế cũng biến đổi trơn và liên tục, nên tránh được s bong tách, s tập trung
ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường xảy ra đối với vật liệu composite truyền thống.
Để tính toán và thiết kế các kết cấu tấm/vỏ bằng vật liệu FGM một cách tối ưu, cần hiểu rõ
quy luật ứng xử cơ học của vật liệu và kết cấu. Phát triển mô hình và phương pháp tính các
kết cấu bằng vật liệu FGM vì thế luôn thu hút s quan t m của các nhà khoa học trong và
ngoài nước. Trên cơ sở đó luận án l a chọn đề tài:
“Phân tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt”.
2. Mục đích, nội dung nghiên cứu
 Xây d ng các hệ thức, phương trình chủ đạo và thiết lập nghiệm giải tích của bài
toán ph n tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt.
 Xây d ng mô hình, thuật toán Phần tử hữu hạn, sử dụng phần tử vỏ 3D suy biến

ph n tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ.
 Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật
liệu, kích thước hình học, điều kiện biên và nhiệt độ đến độ võng, ứng suất và ứng xử động
của vỏ thoải FGM hai độ cong.
3. Đối tƣợng, ph m vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong có hình
chiếu bằng là hình chữ nhật làm việc trong môi trường nhiệt độ.
 Phạm vi nghiên cứu luận án là tính toán độ võng, ứng suất, tần số dao động riêng
và đáp ứng động của vỏ thoải FGM hai độ cong theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất
(FSDT) dưới tác dụng của tải trọng cơ học và nhiệt độ.
4. Cơ sở khoa học của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) đã và đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh v c kỹ thuật nhờ có nhiều ưu điểm so với vật liệu composite truyền thống, đặc biệt là
khả năng làm việc trong môi trường nhiệt độ cao mà không bị bong, tách lớp, không xảy ra
hiện tượng tập trung ứng suất,… Trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), luận
án đã x y d ng nghiệm giải tích, thuật toán và mô hình phần tử hữu hạn để ph n tích tĩnh và
dao động của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Các khảo sát về ảnh
hưởng của các tham số vật liệu, kết cấu và nhiệt độ đến ứng xử cơ học của vỏ FGM là
nguồn tham khảo hữu ích có giá trị khoa học và th c tiễn phục vụ công tác tính toán, thiết
kế và bảo trì.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT) thiết lập
các phương trình chủ đạo phân tích ứng xử tĩnh và động của vỏ thoải FGM hai độ cong với
một số điều kiện biên thông dụng.
 Phương pháp phần tử hữu hạn: Xây d ng mô hình, thuật toán Phần tử hữu hạn và
viết chương trình tính để ph n tích tĩnh và động kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong với một
số hình dạng và điều kiện biên khác nhau.
6. Những đóng góp mới
 Đã thiết lập lời giải giải tích ph n tích tĩnh, dao động riêng và dao động cưỡng bức
của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ với một số loại điều kiện biên thông

dụng. Khi xét bài toán động, vỏ được coi như là có ứng suất ban đầu do nhiệt độ g y ra.


2

 Vận dụng có hiệu quả phần tử 3D suy biến để x y d ng mô hình và thuật toán
PTHH cho các vỏ có hình dạng được mô tả bởi một hàm toán học, do đó mở rộng được các
đối tượng nghiên cứu, khảo sát.
 Đã viết bộ chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của các tham
số vật liệu; kích thước hình học; điều kiện biên; quy luật truyền nhiệt theo chiều dày; tỉ lệ
cản; tỉ số tần số của l c cưỡng bức/tần số dao động riêng (tỉ số Ω/ω) đến: độ võng, các
thành phần ứng suất, tần số dao động riêng cơ bản và đáp ứng chuyển vị theo thời gian của
vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ.
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG ĐỀ TÀI LUẬN ÁN
Chương này giới thiệu tóm tắt về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) - các tính chất
cơ học của vật liệu; kết cấu bằng vật liệu FGM và ứng dụng; tổng quan tình hình nghiên cứu
trong và ngoài nước về ph n tích tĩnh và động các kết cấu vỏ FGM trong môi trường nhiệt.
Nghiên cứu tổng quan cho thấy các công bố trên chủ yếu tập trung đối với kết cấu tấm FGM.
Với kết cấu vỏ FGM, các nghiên cứu về ảnh hưởng nhiệt chủ yếu tập trung vào các đối tượng
vỏ kín: vỏ trụ, vỏ nón. Các dạng vỏ hở: vỏ hai độ cong, panel trụ, panel cầu, các nghiên cứu
chủ yếu về ứng xử phi tuyến với lời giải giải tích nên chỉ hạn chế với những điều kiện biên và
hình dạng vỏ đơn giản. Các nghiên cứu về kết cấu vỏ có dạng hình học phức tạp, cũng như
khảo sát s làm việc của chúng trong môi trường nhiệt còn tương đối ít, đặc biệt là các ph n
tích về ứng suất nhiệt còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu. Với bài toán động, các nghiên
cứu đã công bố của các tác giả khác có thể chia thành hai cách tiếp cận:
 Cách tiếp cận thứ nhất (loại 1): Ảnh hưởng của nhiệt độ đến đáp ứng động của kết
cấu chỉ thông qua việc làm thay đổi cơ tính của vật liệu làm kết cấu.
 Cách tiếp cận thứ hai (loại 2): Ảnh hưởng của nhiệt độ đến đáp ứng động của kết
cấu thông qua việc làm thay đổi cơ tính vật liệu của kết cấu, có kể đến ứng suất ban đầu do

nhiệt độ g y ra.
Từ các ph n tích trên, đề tài nghiên cứu của luận án đã được l a chọn.
CHƢƠNG 2
PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ THOẢI FGM HAI ĐỘ CONG TRONG MÔI
TRƢỜNG NHIỆT THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT BẰNG TIẾP
CẬN GIẢI TÍCH
2.1. Mở đầu
Trong chương này, luận án sẽ hệ thống các hệ thức theo lý thuyết biến dạng cắt bậc
nhất để x y d ng phương trình chuyển động cho vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi
trường nhiệt độ theo cách tiếp cận thứ hai: nhiệt độ vừa làm cho cơ tính của vật liệu thay đổi
vừa làm phát sinh ứng suất trước trước khi vỏ dao động. Phương pháp Galerkin và phương
pháp tích ph n Newmark được sử dụng để giải hệ phương trình vi ph n nhằm tính toán độ
võng, ứng suất, tần số dao động riêng và đáp ứng động của vỏ thoải FGM với một số điều
kiện biên thông dụng.
2.2. Hình d ng hình học của vỏ FGM hai độ cong
Xét vỏ thoải FGM hai độ cong (hình 2.1) có chiều dày không đổi, mặt trung bình là
mặt cong x-y, và trục vuông góc với mặt trung bình là trục z. Vỏ có hình chiếu bằng là hình
chữ nhật với kích thước theo phương x và y lần lượt là a và b; các bán kính theo phương x
và y lần lượt là Rx và Ry.


3

y
z
MÆt trung b×nh

x

b

a

Ry
Rx

Hình 2.1. Mô hình vỏ FGM hai độ cong
2.3. Các giả thiết
 Vỏ FGM hai độ cong được xét trong luận án là kết cấu vỏ hở, thoải, có hình chiếu
bằng là hình chữ nhật và thỏa mãn các giả thiết của Mindlin.
 Không xét đến quá trình truyền nhiệt không dừng. Do đó, tải trọng nhiệt được coi là
tải trọng tĩnh.
 Tải trọng cơ học được xét đến trong luận án là tải trọng phân bố đều và vuông góc với
mặt trung bình của vỏ.
 em như kết cấu chịu tác dụng trước của l c tĩnh và nhiệt độ, sau đó mới tác dụng các
l c động.
 Các phân tích trong luận án là tuyến tính, do đó chuyển vị của vỏ khi chịu tải trọng cơ
học và nhiệt độ được mô tả như trên Hình 2.2 và có thể viết dưới dạng:
u p  ut  u d
Như vậy, nhiệt độ làm thay đổi cơ tính của vỏ (E, ν) và làm cho vỏ xuất hiện biến
dạng và ứng suất tĩnh trước khi vỏ dao động. Do đó, để xét ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng
xử của vỏ, luận án tiến hành th c hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Ph n tích, tính toán bài toán tĩnh khi vỏ chịu tải trọng nhiệt độ và các tải
trọng tĩnh nhằm tính được độ võng, ứng suất của vỏ.
- Bước 2: Ứng suất tính từ bài toán tĩnh trên được coi là ứng suất trước của vỏ khi vỏ
dao động. Các thành phần ứng suất trước này do đó sẽ được tính đến khi thiết lập phương
trình bài toán động của vỏ.
2.4. Phân tích tĩnh vỏ thoải FGM hai độ cong
Trong phần này, luận án sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Reissner – Mindlin
để thiết lập các phương trình chủ đạo cho vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học
tĩnh và nhiệt độ nhằm tính toán các thành phần chuyển vị và ứng suất tĩnh u t ,  t .

2.4.1. Trường chuyển vị
Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất [88], trường chuyển vị đối với các kết cấu vỏ
thoải ta được viết như sau:
tt
t
t
u  x, y, z, t   u0  x, y, t   z x  x, y, t 
v

tt

 x, y, z, t   v0t  x, y, t   z yt  x, y, t 

(2.2)

 x, y, z, t   w0t  x, y, t 
2.4.2. Các thành phần biến dạng
Các thành phần biến dạng được xác định từ trường chuyển vị qua quan hệ biến dạng
– chuyển vị và được biểu diễn bởi:
t
 mu

t
(2.3)
     t 
 c
tt

w

t
với  mu
 là biến dạng màng – uốn:


4

 u t wt  
t


0
0
x




x
 x Rx  
t
 xx  
 
t
t
 yt
 t   v0 w0  
t
 mu    yy    y  R   z  y
y

 t  
 
 xy  
 t  t
t
t 
 u0  v0    x  y
x
 y x    y

  là biến dạng cắt:




t
t
  0 x    x 
  t   t
   0 y   z   y 
  t   t 
 0 xy   xy 

 
 

(2.4)

t
c

 w0t v0t
t



y


 yzt   y Ry
t
(2.5)
 c    t    t t 
 xz   w0 u0
t

 x
 x R

x


2.4.3. Các thành phần ứng suất
Quan hệ ứng suất-biến dạng có kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ cho bởi:
 xxt  Q11 Q12 0
0
0    xxt   xxT( z ) 
 t  
   t   T( z ) 
Q

Q
0
0
0

12
22
 yy  
   yy   yy

 t 

t
0 Q66 0
0     xy    0  
(2.7)
 xy    0


  t  
 t 

0
0
0 Q44 0    xz
0
 xzt  
 t  



0
0
0 Q55    yz   0  
 yz   0
Trong luận án này, cơ tính vật liệu được giả thiết là biến đổi theo chiều dày của vỏ và
đẳng hướng trên mặt cong, do đó αxx = αyy = α (z, T).
2.4.4. Các thành phần nội lực
Các thành phần nội l c trên một đơn vị dài của vỏ được xác định bằng cách tích phân
các thành phần ứng suất tương ứng theo chiều dày vỏ, ta nhận được quan hệ giữa ứng l c –
biến dạng:
 N xxt   A11 A12 0 B11 B12
0
0
0    0xt   N xxnd 
 t  

 

0
0
0    0t y   N yynd 
 N yy   A21 A22 0 B21 B22
 N xyt   0
0 A66 0
0
B66
0
0   0t xy   0 
 t  
 



0
0    xt   M xxnd 
 M xx   B11 B12 0 D11 D12 0

(2.14)
 t 
   yt   M nd 
B
B
0
D
D
0
0
0
M
21
22
21
22
yy
yy

 
 


 M xyt   0

0 B66 0
0 D66 0
0    xyt   0 
 t  

 

0
0
0
0
0
A44 0    xzt   0 
 Qxz   0
 t
 Qt   0

 

0
0
0
0
0
0
A
55 
   yz   0 
 yz  
2.4.5. Hệ phương trình cân bằng

Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần c c tiểu để thiết lập hệ phương c n bằng cho
vỏ thoải FGM hai độ cong như sau:
 Lt   U t  W t   0
(2.15)
trong đó, Ut là thế năng biến dạng đàn hồi, Wt là thế năng của ngoại l c tĩnh.


5

Thay các thành phần biến dạng và ứng suất từ công thức (2.6), (2.7) vào công thức
(2.16), sau đó thay (2.16) và (2.17) vào (2.15), th c hiện tích ph n, biến đổi và nhóm theo
các biến phân  u0t ,  v0t ,  w0t , xt ,  yt thu được hệ phương trình c n bằng của vỏ thoải hai
độ cong như sau:
t
N xyt N yyt
Qyzt
N xxt N xy Qxzt
t
t


0
 v0 :
 u0 :


0;
x
y
Ry

x
y
Rx
t
N yyt
Qxzt Qyz N xxt
w :



 qzt  0
x
y
Rx
Ry

t
0

 :
t
y

M xyt



M yyt

t

M xxt M xy
 :

 Qxzt  0
x
y

t
x

(2.18)

 Qyzt  0

x
y
Thay các thành phần ứng l c từ các công thức (2.9), (2.10), (2.11) và (2.13) vào (2.18)
ta nhận được hệ phương trình cân bằng với năm ẩn số chuyển vị u t  u0t , v0t , w0t , xt ,  yt  .
2.4.6. Lời giải giải tích
Với việc l a chọn dạng nghiệm cho các ẩn chuyển vị ut  u0t , v0t , w0t , xt ,  yt  thỏa mãn
các điều kiện biên mong muốn, hệ phương trình (2.19) có thể được giải với một số phương
pháp khác nhau. Trong phần này, luận án th c hiện lời giải với ba loại điều kiện biên sau:
 Điều kiện bốn biên t a khớp (SSSS):
v0t  w0t  yt  N xxt  M xxt  0 tại x = 0, a
(2.20)
t
t
u0t  w0t  xt  N yy
 M yy
 0 tại y = 0, b

 Điều kiện biên Khớp - Ngàm - Khớp - Ngàm (SCSC) :
v0t  w0t  yt  N xxt  M xxt  0 tại x = 0, a

u0t  v0t  w0t  xt  yt  0

tại y = 0, b

 Điều kiện biên ngàm cứng (CCCC) :
u0t  v0t  w0t  xt  yt  0 tại x = 0, a và y = 0, b

SSSS

(2.21)

(2.22)

SCSC
CCCC
Hình 2.4. Một số điều kiện biên khảo sát
Giả thiết các thành phần chuyển vị là các chuỗi lượng giác kép như sau [69]:
 
 
Y  y 
t X m  x 
t
u0t  x, y   U mn
Yn  y  ; v0t  x, y   Vmn
X m  x n
x
y

m 1 n 1
m 1 n 1
 
 
X m  x 
t
t
Yn  y  ;
w0t  x, y   Wmn
X m  x  Yn  y  ; xt  x, y    Xmn
(2.23)
x
m 1 n 1
m 1 n 1
 
Y  y 
t
 yt  x, y   Ymn
X m  x n
y
m 1 n 1


6

Để thỏa mãn các điều kiện biên như trong (2.20), (2.21) và (2.22), các hàm lượng
giác X m  x  và Yn  y  được chọn như trong Bảng 2.1 của luận án [69].
Tải trọng cơ học và tải trọng nhiệt cũng được giả thiết là chuỗi lượng giác kép như sau:








t
qt  x, y    Qmn
sin  m x  sin   n y  ; T  z    Tmn  z  sin  m x  sin   n y 
m 1 n 1

(2.24)

m 1 n 1

trong đó
4 a b
t
Qmn

q  x, y  sin  m x  sin   n y dxdy ;
ab 0 0
(2.25)
4 a b
Tmn  z  
T  z  sin  m x  sin   n y dxdy
ab 0 0
Thay (2.23)-(2.25) vào hệ phương trình c n bằng theo chuyển vị, áp dụng phương pháp
Galerkin để giải với các điều kiện biên nêu trên ta thu được hệ phương trình viết dạng rút
gọn như sau:

(2.27)
 K  mnt   Fcht   Fnd 
t
t
t
t
t
t
Giải hệ phương trình (2.27) ta được  mn
(U mn
, Vmn
, Wmn
,  Xmn
, Ymn
) . Từ đó ta nhận
được các thành phần chuyển vị và ứng suất.
2.5. Phân tích động vỏ thoải FGM hai độ cong t ong môi t ƣờng nhiệt độ
Như đã trình bày ở trên, chuyển vị của vỏ có thể biểu diễn dưới dạng u p  u t  u d .
Chuyển vị tĩnh u t của vỏ được xác định thông qua việc giải bài toán tĩnh. Trong phần này,
luận án thiết lập và giải hệ phương trình chuyển động để tính toán và ph n tích đáp ứng
động u d của vỏ trong môi trường nhiệt độ theo cách tiếp cận thứ hai. Theo cách tiếp cận
này, các thành phần ứng suất do nhiệt độ g y ra được tính toán như trong mục 2.4 và được
coi là ứng suất ban đầu khi thiết lập hệ phương trình chuyển động của vỏ.
Áp dụng nguyên lý Hamilton để thiết lập hệ phương trình chuyển động cho vỏ thoải
FGM hai độ cong như sau:
T

T

  L dt    T

d

0

d

  d  W d  dt  0

(2.33)

0

trong đó  d  U d  U 0
Với Ud là thế năng biến dạng đàn hồi có dạng như trong (2.16), tuy nhiên trong đó
các thành phần ứng suất là ứng suất tăng thêm khi vỏ chịu tải trọng động.
U0 là thế năng biến dạng đàn hồi do ứng suất ban đầu và được tính như sau [58].
d 2
d
d
d 2
h2 
0
0 1  w0 
0 w0 w0
0 1  w0 
U      xx 
  yy 
(2.36)
   xy
  dzdxdy

h 2 
2

x

x

y
2

y




A


0
0
0
trong đó  xx ,  yy ,  xy là các thành phần ứng suất do nhiệt độ và các tải trọng tĩnh g y nên,
được tính như trong công thức (2.31).
Biến ph n thế năng của ngoại l c được tính như công thức (2.17) với tải trọng tác
dụng là tải trọng động. Biến ph n của động năng được xác định thông qua các đạo hàm theo
thời gian của chuyển vị và khối lượng riêng của vật liệu.
Thay các thành phần biến dạng từ công thức (2.6), các thành phần ứng suất từ (2.34)
vào công thức (2.16), sau đó thay (2.16), (2.17), (2.36) và (2.37) vào (2.33) (với lưu ý các
t
d

chỉ số   được đổi thành   ), th c hiện tích ph n và biến đổi thu được hệ phương trình
chuyển động của vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng động trong môi trường nhiệt. Áp


7

dụng phương pháp Galerkin (tương t như trình bày trong bài toán tĩnh), từ phương trình
(2.38) ta thu được hệ phương trình dưới dạng thu gọn như sau:
 M  mnd    K    Kini   mnd   Fchd ( t )
(2.45)

trong đó:  Kini  là ma trận độ cứng do ứng suất ban đầu g y nên.
2.5.1. Phân tích dao động tự do
Từ phương trình (2.44), bỏ qua ảnh hưởng của tải trọng ta được phương trình dao động t do của
d
0 it
vỏ thoải FGM hai độ cong. Đặt U mn
e ; Vmnd t  Vmn0 e i t ; Wmnd t  Wmn0 e i t ;
 t   U mn
d
0
d
0
 Xmn
ei t ; Ymn
ei t ta được phương trình bài toán dao động t do có dạng
 t   Xmn
 t   Ymn

0

0
0
phương trình trị riêng với năm ẩn chuyển vị  mn
, Ymn
U mn0 , Vmn0 , Wmn0 ,  Xmn
 dạng rút gọn như sau:

  K    K     M    0

(2.51)

Tần số dao động riêng của vỏ xác định từ phương trình:
det  K    Kini    2  M   0

(2.52)

2

ini



0
mn



Giải hệ phương trình (2.52) với mỗi cặp (m, n) ta được một tần số dao động riêng của
vỏ là ωmn ứng với dạng dao động tương ứng.
2.5.2. Phân tích dao động cưỡng bức

Phương trình (2.45) là phương trình dao động cưỡng bức không cản của vỏ thoải FGM
hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Nhiệt độ và các tải trọng tĩnh khác được xét đến trong
bài toán tĩnh và có ảnh hưởng đến bài toán động thông qua ma trận độ cứng [Kini]. Do đó, vế
phải của phương trình chỉ còn lại thành phần tải trọng động cơ học Fchd  t  . Phương trình
(2.45) có thể viết dưới dạng thu gọn như sau:
 M  mnd    K    Kini   mnd   F d t 
(2.53)
Khi kể đến ảnh hưởng của l c cản ta có phương trình:
 M  mnd   C  mnd    K    Kini   mnd   F d t 
(2.54)
trong đó [C] là ma trận cản, và được tính theo [98]:
C   a1  M   a2  K    Kini 

(2.55)

với a1 và a2 là hệ số cản khối lượng và hệ số cản độ cứng Rayleigh.
Sử dụng phương pháp tích ph n Newmark- để giải hệ phương trình (2.54) thu được
đáp ứng chuyển vị theo thời gian của vỏ thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học trong
môi trường nhiệt độ.
2.7. Xây dựng chƣơng t ình tính – Phƣơng pháp Giải tích
Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày. Luận án viết 03 chương trình máy tính theo lời giải
giải tích trên nền Matlab, bao gồm:
o Chương trình ShellpanelStatic(GT): Tính toán độ võng và ứng suất của vỏ FGM
thoải hai độ cong chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ.
o Chương trình ShellpanelVibration(GT): Tính toán tần số và dạng dao động
riêng của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt.
o Chương trình ShellpanelForcedvibration(GT): Tính toán, ph n tích đáp ứng
động của vỏ FGM thoải hai độ cong trong môi trường nhiệt độ.
Các chương trình trên được th c hiện theo các bước như được trình bày trên các lưu
đồ trong Hình 2.6, Hình 2.7 và Hình 2.8 trong luận án.

Như vậy, trong chương này, luận án đã hệ thống lại các hệ thức và x y d ng phương
trình chuyển động cho kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong theo lý thuyết biến dạng cắt bậc


8

nhất. Luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin và phương pháp Newmark để x y d ng lời
giải giải tích tính toán độ võng, ứng suất, tần số dao động riêng và đáp ứng động cho loại vỏ
này trong môi trường nhiệt độ với một số điều kiện biên thông dụng.
Trên cơ sở đó, luận án đã x y d ng các chương trình máy tính d a trên các lời giải giải
tích đã thiết lập ở trên.
Tuy nhiên, giới hạn của mô hình giải tích th c hiện trong chương hai này là:
- Chỉ có thể tính toán được với một số dạng kết cấu dạng vỏ có độ cong không đổi như
vỏ trụ, vỏ cầu và vỏ yên ng a.
- Chỉ tính được với một số ít điều kiện biên thông dụng.
Trong chương ba, luận án thiết lập mô hình phần tử hữu hạn để ph n tích tĩnh và động
vỏ FGM với nhiều hình dạng khác nhau trong môi trường nhiệt độ. Mô hình phần tử hữu
hạn sẽ khắc phục những hạn chế của mô hình giải tích.
Luận án đã có một số công bố liên quan đến nội dung chương này bao gồm: (1), (2),
(3), (4), (5), (6), (7) (trong “Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
đề tài luận án”).
CHƢƠNG 3
PHÂN TÍCH TĨNH VÀ ĐỘNG VỎ FGM TRONG MÔI TRƢỜNG NHIỆT BẰNG
PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Mở đầu
Trong Chương 2, luận án đã x y d ng nghiệm giải tích để ph n tích, tính toán tĩnh
và động vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Tuy nhiên, hạn chế của
lời giải giải tích là chỉ giải được kết cấu vỏ hai độ cong với một số điều kiện biên nhất
định. Chương này, luận án sử dụng phần tử 3D suy biến d a trên lý thuyết Mindlin để
x y d ng mô hình phần tử hữu hạn ph n tích tĩnh và động vỏ FGM. Phương pháp phần

tử hữu hạn sẽ khắc phục được một số hạn chế của phương pháp giải tích như có thể tính
toán với vỏ có nhiều hình dạng và điều kiện biên khác nhau.
3.2. Hình d ng hình học của vỏ
ét vỏ FGM có hình dạng bề mặt được
mô tả bởi một hàm có dạng z  f  x, y  ,
hình chiếu bằng của vỏ là hình chữ nhật có
kích thước a x b, vỏ có chiều dày h không
đổi như trên Hình 3.1.

Hình 3.1. Hình dạng tổng quát của vỏ FGM
nghiên cứu trong luận án
3.3. Lựa chọn lo i phần tử
Phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều loại phần tử có thể sử dụng để mô hình kết
cấu tấm vỏ. Trong luận án này, phần tử 3D suy biến được sử dụng để mô hình kết cấu vỏ
FGM với những hình dáng khác nhau. u điểm của phần tử vỏ 3D suy biến là cho phép mô
phỏng gần đúng với kết cấu vỏ thật, số bậc t do được giảm đi đáng kể nhờ việc loại bỏ các
nút ở mặt trên và mặt dưới, việc tính toán chỉ còn phụ thuộc vào các bậc t do của các điểm
nút ở mặt trung bình.


9

3.4. Phần tử 3D suy biến
Như thể hiện trên Hình 3.2, phần tử
3D suy biến là s rút gọn từ phần tử khối về
phần tử phẳng kèm thêm các véc tơ chỉ
phương tại mỗi nút.

Hình 3.2. Phần tử 3D suy biến
3.5. Mô hình phần tử hữu h n vỏ FGM sử dụng phần tử 3D suy biến

3.5.1. Xác định hệ tọa độ nút
uất phát từ phần tử khối, phần tử 3D suy biến được x y d ng bằng cách loại bỏ các
nút ở mặt trên và mặt dưới và chỉ để lại các nút tại mặt tham chiếu (thường là mặt trung
bình). Ngoài ra, tại các nút ở mặt tham chiếu sẽ được bổ sung một hệ tọa độ nút V1V2V3 ,
trong đó véc tơ V3 là véc tơ chỉ phương theo chiều dày và được tính thông qua tọa độ các
nút ở mặt trên và mặt dưới của phần tử khối như thể hiện trong Hình 3.3. Tuy nhiên, với
cách xác định hệ tọa nút như trên thì việc chia lưới phần tử phải được th c hiện như chia
lưới phần tử khi sử dụng phần tử khối.
Trong luận án này, một cách xác định hệ tọa độ nút được đề xuất bằng cách từ hàm
số biểu diễn bề mặt vỏ z  f  x, y   F  x, y,z   z  f  x, y   0 ta dễ dàng có được véc tơ
pháp tuyến tại một điểm bất kỳ K  xK , yK  trên mặt vỏ như sau:

V 3  Fx  xK , yK  ,Fy  xK , yK  ,1
K

T

(3.7)

trong đó:

F
F
; Fy 
x
y
véc tơ pháp tuyến đơn vị tại điểm K  xK , yK  được xác định
Fx 

 l3 

 
v  m3  
n 
 3
K
3

 Fx  xK , yK  


Fy  xK , yK  

Fx2  xK , yK   Fy2  xK , yK   1 

1


1

(3.8)

(3.9)

Sau khi xác định được véc tơ V3 , việc xác định véc tơ V1 và V2 th c hiện như đã trình
bày ở trên. Với cách làm này, việc chia lưới phần tử trở nên dễ dàng hơn và mô hình cho phép
th c hiện với những mặt vỏ có dạng z  f  x, y  .
3.5.2. Trường chuyển vị
Tọa độ của một điểm bất kỳ trong phần tử được xác định:
 x0i 
 l3i 

x 8
h 
 
  8
(3.10)
 y    Ni  ,   y0i    Ni  ,   m3i 
2
i

1
i

1
z
z 
n 
 
 0i 
 3i 
Theo giả thiết của Mindlin, đoạn pháp tuyến trước và sau biến dạng vẫn thẳng,
chuyển vị của một điểm bất kỳ trong phần tử được xác định như sau:


10

  u0i 
 l2i
u  8
h
 

 
 v    Ni  ,    v0i     m2i
2
 w i 1
  w0i 
 
 n2i


l1i 



xi

m1i   
 yi
n1i   

(3.11)

trong đó l1i m1i n1i  và l2i m2i n2i  là các cosin chỉ phương của hai véc tơ V1 , V2
như được xác định trong mục 3.5.1; xi ,  yi là góc xoay của đoạn pháp tuyến.
Phương trình (3.11) có thể viết lại dưới dạng:
u  8
 
(3.12)
 v     N Ai   N Bi ui 
 w i 1
 

3.5.3. Trường biến dạng
Các thành phần biến dạng trong hệ tọa độ phần tử thu được từ đạo hàm của các thành
phần chuyển vị tương ứng như sau:
 u' 
 x' 


v' 

  x' 
    y' 
 y'   u' v' 
(3.16)
 '   x' y'     
   y' x' 
 x' z'   u' w' 

 y' z'  


z'
x' 

 v' w' 
 z'  y' 


Các thành phần biến dạng này cũng có thể được tính trong hệ tọa độ tổng thể thông
qua ma trận chuyển như sau:
 u' 

 u 
 x' 
 x 




v
v 



  x' 
 x 


 y 

y'
 
 


y
 y'   u' v' 
 
 u v 
(3.25)
 '   x' y'       T   x y   T      T  


y'

x'

y

x
  

 


 y' z'   v' w' 
 yz 
 v w 

 x' z'  

 x z 
 


z'

y'


 z y 
 w' u' 
 w u 




  
 x' z' 
 x z 
Các thành phần biến dạng này có thể được biểu diễn và tính toán trong hệ tọa độ t
nhiên thông qua ma trận Jacobean của phép biến đổi như sau:
dV  dxdydz  det  J  d d d
(3.26)
Kết hợp các công thức (3.25), (3.30) và (3.31) ta được các thành phần biến dạng
trong hệ tọa độ tổng thể như sau:
T

T


11
8

    Bi ui    Bue 
Trong đó  B   B1

ue 

T

 u1T

(3.32)

i 1

B2
u2T

. . B8  là ma trận tính biến dạng,

. . u8T  là véc tơ chuyển vị nút phần tử

3.5.4. Các thành phần ứng suất
Các thành phần ứng suất được tính thông qua các thành phần biến dạng như trình bày
trong công thức (2.8) và (2.9), có thể viết ở dạng thu gọn như sau:
 '   D'  '   nd 
(3.34)
3.5.5. Phân tích tĩnh vỏ FGM
Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần c c tiểu để thiết lập hệ phương trình c n bằng
tĩnh cho vỏ FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ như trong công thức (2.16).
Thế năng biến dạng của phần tử:
1 1 1
1
T
T
T
U e  ue      B  T   D' T  B  det  J  d  d d  ue 
2
1 1 1
(3.37)
1 1 1
1

T
T
T
 ue      B  T   D'  nd  det  J  d  d d 
2
1 1 1
Thế năng của ngoại lực trên phần tử:
 px 
1 1
T
T 

We  ue     N A  N B   p y   H  d  d
(3.39)
1 1
p 
 z
Thay các công thức tính thế năng biến dạng phần tử (3.37) và thế năng của ngoại l c
(3.39) vào biểu thức thế năng toàn phần. Áp dụng nguyên lý c c tiểu hóa thế năng toàn
phần và giản lược, ta được:
 Ke ue   Fech   Fend 
(3.40)
Th c hiện ghép nối phần tử và áp đặt điều kiện biên, ta có hệ phương trình c n bằng
cho vỏ FGM chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ:
 K u  F ch   F nd 
(3.44)
Giải hệ phương trình (3.44) được chuyển vị nút của kết cấu, từ đó tính được các
thành phần ứng suất tại điểm bất kỳ trong vỏ.
3.5.6. Phân tích động vỏ FGM
Như đã trình bày trong Chương 2, phần này luận án thiết lập phương trình chuyển động

để tính toán và ph n tích đáp ứng động cho vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt
theo cách tiếp cận thứ hai (khi dao động vỏ có ứng suất ban đầu do nhiệt độ g y ra, các thành
phần chuyển vị động là các gia số của chuyển vị tính từ trạng thái c n bằng mới sau khi vỏ chịu
tải trọng nhiệt độ) bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Khi đó thế năng biến dạng đàn hồi:
U e  U ed  U e0
(3.45)
trong đó U ed là thế năng biến dạng đàn hồi tăng thêm
1 1 1

1
1
T
T
T
T
U      d dV  ue      B  Te   D' Te  B  det  J  d d d ue 
2 Ve
2
1 1 1
d
e

U e0 là thế năng biến dạng đàn hồi do ứng suất ban đầu.

(3.46)


12
d 2
d 2

d
d 

0 1  w0 
0 1  w0 
0 w0 w0
 dzdxdy
U      xx 




(3.47)



yy
xy
h 2 

2

x
2

y

x

y





A


0
0
0
trong đó,  xx ,  yy ,  xy là các thành phần ứng suất do nhiệt độ và các tải trọng tĩnh g y nên,
được tính trong bài toán tĩnh ở trên.
Động năng của phần tử:
1 1 1
1
T
T
Te  ue       N A   N B   N A   N B  det  J  d d d ue 
(3.56)
2
1 1 1
Thay (3.39), (3.46), (3.49) và (3.56) vào biểu thức của nguyên lý Hamilton và giản
lược ta được hệ phương trình chuyển động của phần tử như sau:
 M e ue    Ke    Keg   ue   Pe 
(3.57)
0
e

h2

Th c hiện ghép nối ma trận, ta được hệ phương trình chuyển động của vỏ:
 M u   K    K g   u  P

(3.62)

Hệ phương trình (3.62) là hệ phương trình dao động cưỡng bức không cản của vỏ,
khi kể đến cản ta có hệ phương trình như sau:
 M u  C u   K    K g   u  P
(3.63)
Với [C] là ma trận cản như đã được trình bày trong Chương 2.
Khi không kể đến cản và tải trọng ngoài, ta có hệ phương trình dao động t do:
 M u   K    K g   u  0
(3.64)
Áp đặt điều kiện biên và giải hệ phương trình (3.64) ta được tần số dao động riêng và
các dạng dao động riêng của vỏ, trường hợp dao động cưỡng bức ta giải hệ phương trình
(3.63) bằng phương pháp tích ph n tr c tiếp Newmark sẽ thu được các đáp ứng động của vỏ
FGM trong môi trường nhiệt độ.
3.6. Xây dựng chƣơng t ình tính – Phƣơng pháp PTHH
Trên cơ sở lý thuyết trình bày trong Chương 3, luận án đã viết 03 chương trình máy
tính theo mô hình PTHH trên nền Matlab để th c hiện tính toán và khảo sát số, bao gồm:
o Chương trình ShellpanelStatic(PTHH): Tính toán độ võng và ứng suất của vỏ
thoải FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ.
o Chương trình ShellpanelVibration(PTHH): Tính toán tần số và dạng dao động
riêng của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt.
o Chương trình ShellpanelForcedvibration(PTHH): Tính toán, ph n tích đáp ứng
động của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt độ.
Lưu đồ các bước th c hiện các chương trình trên được trình bày trên các Hình 3.5,
Hình 3.6 và Hình 3.7 trong luận án.
Như vậy, trong Chương 3 này, luận án đã x y d ng được mô hình phần tử hữu hạn
để ph n tích kết cấu vỏ FGM trong môi trường nhiệt độ:

 Mô hình phần tử hữu hạn của luận án cho phép tính toán với những kết cấu vỏ có
hình dạng khác nhau (mặt vỏ được mô tả bởi một hàm toán học).

ét đến s thay đổi cơ tính và ứng suất ban đầu do nhiệt độ gây ra ảnh hưởng đến
ứng xử động của vỏ FGM.
 Các chương trình máy tính tính toán độ võng, ứng suất, tần số và dạng dao động
riêng, đáp ứng động của vỏ thoải FGM hai độ cong trong môi trường nhiệt cũng đã được
thiết lập.


13

Chương tiếp theo, luận án sẽ tiến hành các khảo sát số và rút ra những nhận xét kết luận.
Luận án đã có một số công bố liên quan đến nội dung chương này bao gồm: (3), (5),
(8) (trong “Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến đề tài luận án”).
CHƢƠNG 4
KẾT QUẢ SỐ
4.1. Mở đầu
Chương 2 và Chương 3 luận án đã thiết lập mô hình giải tích và mô hình PTHH để ph n
tích bài toán tĩnh, bài toán dao động t do và bài toán dao động cưỡng bức của vỏ thoải FGM
hai độ cong trong môi trường nhiệt độ. Trong chương này, luận án sẽ sử dụng các chương
trình máy tính đã x y d ng để kiểm chứng độ tin cậy của cả hai mô hình lý thuyết đã thiết lập,
sau đó luận án sẽ tiến hành th c hiện các ví dụ khảo sát số và rút ra những nhận xét, kết luận.
Mô hình PTHH của luận án thiết lập có thể tính được với nhiều loại vỏ có hình dạng
khác nhau như đã trình bày ở Chương 3. Tuy nhiên, trong luận án sẽ tập trung khảo sát đối
với một số loại vỏ như trong Bảng 4.1.
Bảng 4.1. Phương trình bề mặt và dạng hình học một số loại vỏ khảo sát.
Lo i
Phƣơng t ình
Tham số

Hình d ng
vỏ
bề mặt

Vỏ trụ
(CYL)

Vỏ
cầu
(SPH)

Vỏ
yên
ng a
(HPR)

1 
a
z
x 
2Rx 
2
1

2Ry

2

Rx ( Ry )  

b

y 
2


1 
a
z
x 
2Rx 
2

1 
a
x 
2Rx 
2

1

2Ry

x 0 a
y  0 b

2

Rx Ry  0

1 
b

y 
2Ry 
2

z

2

2

x 0 a
y  0 b

2

b

y 
2


Rx Ry  0
2

x 0 a
y  0 b

14

Vỏ
hypar

z

(HYP)

Vỏ
conoid
(CON)

Vỏ 6
(P6)

a a
x 
2 2
b b
y 
2 2

4c
xy
ab

x


z  4  hl   H h  hl  
a

y
y 
b  b


2

 x 
z 

 kx a 

2

 y 


 k yb 

(kx = ky = 1.2)

2

x 0 a
y  0 b

a a

x 
2 2
b b
y 
2 2

4.2. Ví dụ kiểm chứng
Luận án th c hiện một số ví dụ kiểm chứng nhằm kiểm tra độ tin cậy của lời giải
(Giải tích và PTHH) và chương trình máy tính mà luận án đã x y d ng. Đối với chương
trình PTHH, luận án cũng đã th c hiện kiểm tra tính hội tụ của chương trình và l a chọn
lưới chia là 14 x 14 phần tử để th c hiện các tính toán khảo sát trong các ví dụ. Vật liệu
được sử dụng có cơ tính như trong Bảng 4.2 của luận án.
 Các kết quả kiểm chứng bao gồm:
- Độ võng của vỏ FGM (Al/ZrO2) hai độ cong chịu tải trọng ph n bố đều được so sánh
với kết quả tính của Kiani và cộng s [56] (Ví dụ KC1).
- Độ võng của vỏ FGM (Al/ZrO2) chịu tải trọng nhiệt độ được so sánh với kết quả
công bố của Kar và Panda [55] (Ví dụ KC2).
- Tần số dao động riêng của vỏ cầu FGM (Si3N4/SUS304) có cơ tính vật liệu phụ
thuộc vào nhiệt độ (tính theo cách tiếp cận thứ nhất) được so sánh với kết quả do Shen và
cộng s [93] (Ví dụ KC3).
- Tần số dao động riêng của tấm FGM (Si3N4/SUS304) có cơ tính vật liệu phụ thuộc
vào nhiệt độ và có kể đến biến dạng và ứng suất ban đầu do nhiệt độ g y ra (tính theo cách
tiếp cận thứ hai) được so sánh với kết quả của Li và cộng s [58] (Ví dụ KC4).
- Đáp ứng chuyển vị của tấm FGM (Al/ZrO2) được so sánh với kết quả được Reddy công
bố trong [85] (Ví dụ KC5).
Kết quả kiểm chứng khẳng định độ tin cậy của lời giải mà luận án đã x y d ng.


15

4.2.1. Ví dụ KC1 - Độ võng của vỏ FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học
Bảng 4.3. Độ võng w2 của vỏ FGM hai độ cong chịu tải trọng cơ học
Tỉ số
Chỉ số tỉ lệ thể tích p
(a/b; Rx/a;
Mô hình
p=0
p = 0.5 p = 1.0 p = 2.0
p = 10
Ry/b; a/h)
Kiani và cộng s [56]
0.6107
0.7756 0.8689 0.9559 1.1133
Luận án (GT)
0.6118
0.7769 0.8704 0.9575 1.1152
(1; 5; 10; 5)
0.6079
0.7686 0.8596 0.9449 1.1038
Luận án (PTHH)
Sai lệch (%)
0.46
0.90
1.07
1.15
0.85
Kiani và cộng s [56]
1.4216
1.8016 2.0148 2.2102 2.5707
Luận án (GT)

1.4595
1.8516 2.0704 2.2688 2.6337
(0.5; -5; 5; 5)
Luận án (PTHH)
1.4355
1.8294 2.0493 2.2476 2.6008
Sai lệch (%)
2.60
2.70
2.69
2.58
2.39
4.2.2. Ví dụ KC2 – Độ võng của vỏ trụ FGM chịu tải trọng nhiệt độ
Bảng 4.4. Độ võng không thứ nguyên w của vỏ trụ FGM chịu tải trọng nhiệt độ
Nhiệt độ
ΔT = 100 K
ΔT = 200 K
ΔT = 300 K
Mô hình
Kar và Panda [55]
0.0048
0.0096
0.0144
Luận án (GT)
0.0048
0.0097
0.0145
Luận án (PTHH)
0.0048
0.0097

0.0145
*
Sai lệch (%)
0.00
0.01
0.00
4.2.3. Ví dụ KC3 - Tần số dao động riêng của vỏ FGM hai độ cong
Bảng 4.5. Tần số dao động riêng không thứ nguyên 1 của vỏ FGM hai độ cong bốn biên
t a khớp với các (m, n) khác nhau.
(m, n)
Nhiệt độ
Mô hình
(1, 1)
(1, 2)
(2, 1)
(2, 2)
6.7887
16.6717
16.6605
25.7837
Shen và cộng s [93]
Luận án (GT)
6.9053
16.5319
16.5096
25.5378
Tc=400 K,
Luận án (PTHH)
6.9080
16.5120

16.5377
25.5404
Tm = 400 K
1.69
0.85
0.91
0.96
Sai lệch (GT) (%)
1.73
0.97
0.74
0.95
Sai lệch (PTHH) (%)
6.8414
16.7251
16.7137
25.8402
Shen và cộng s [93]
Luận án (GT)
6.8990
16.5170
16.4947
25.5148
Tc=500 K,
Luận án (PTHH)
6.9018
16.4971
16.5228
25.5174
Tm = 300 K

0.83
1.26
1.33
1.28
Sai lệch (GT) (%)
0.88
1.38
1.16
1.27
Sai lệch (PTHH) (%)
4.2.4. Ví dụ KC4 - Tần số dao động riêng của tấm FGM
Bảng 4.6. Tần số * tấm chữ nhật bốn biên t a khớp chịu tải trọng nhiệt độ (Quy luật
truyền nhiệt tuyến tính theo chiều dày).
Tần số dao động iêng
Mô hình
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
ω7
Li và cộng s [58]
2.3252 5.9048 5.9048 9.3967 11.7208 11.7324 15.0783
Luận án (GT)
2.4566 6.0432 6.0432 9.5263 11.7947 11.7947 15.1219


16

Luận án (PTHH)
2.4606 6.0680 6.0703 9.5852
Sai lệch GT (%)
5.35
2.29
2.29
1.36
Sai lệch PTHH (%)
5.50
2.69
2.73
1.97
4.2.5. Ví dụ KC5 - Đáp ứng chuyển vị của tấm FGM

11.8928
0.63
1.45

11.9043
0.53
1.44

15.2686
0.29
1.25

Hình 4.1. Đáp ứng chuyển vị tại điểm chính giữa tấm FGM (a/2, b/2)
4.3. Bài toán tĩnh
Trong phần này, luận án khảo sát ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p, tỷ số a/h, quy
luật truyền nhiệt theo chiều dày và điều kiện biên đến độ võng và ứng suất của các loại vỏ FGM

kể trên (như trong Bảng 4.1).
4.3.1. Ví dụ 4.1 - Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p
a. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p đến độ võng
Nhận xét: Khi p = 0 (toàn bộ vỏ là
gốm) các vỏ trụ (CYL), cầu (SPH), yên ng a
(HPR) và hypar (HYP) bị vồng lên lớn nhất
sau đó độ vồng giảm dần theo chiều tăng của
chỉ số p; trong khi đó vỏ CON và vỏ số 6 (P6)
có độ vồng tăng dần khi chỉ số thể tích p tăng
trong khoảng từ 0 đến 0.5, sau đó khi chỉ số p
tăng từ 0.5 đến vô cùng thì độ vồng của hai vỏ
này cũng giảm dần. Đ y là các qui luật rất
khác so với qui luật ảnh hưởng của chỉ số thể
Hình 4.2. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích
tích p đến độ võng của tấm FGM.
p đến độ võng tại t m vỏ
b. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p đến các thành phần ứng suất
Kết quả khảo sát th c hiện bởi lời giải giải tích và PTHH cho 6 loại vỏ được biểu
diễn thông qua các đồ thị trên các hình từ Hình 4.3 đến Hình 4.5. Trong đó, các thành phần
ứng suất được lấy tại các điểm sau: σxx (a/2; b/2; z); σyy (a/2; b/2; z); τxy (a; b; z).

Hình 4.3. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p đến ứng suất  xx [N/m2]


17

Hình 4.4. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p đến ứng suất  yy [N/m2]

Hình 4.5. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p đến ứng suất  xy [N/m2]
Nhận xét: Các đồ thị trên hình từ Hình 4.3 đến Hình 4.5 cho thấy khi p thay đổi tức

thành phần cấu thành của vật liệu FGM cũng thay đổi (tỉ lệ hàm lượng gốm/kim loại) sẽ cho
những quy luật biến thiên khác nhau của ứng suất theo chiều dày vỏ. Cụ thể, khi chỉ số thể
tích p = 0 thì qui luật ph n bố ứng suất là tuyến tính theo chiều dày vỏ đồng thời ứng suất
c c trị cũng đạt tại mặt trên và mặt dưới của vỏ, điều này là hoàn toàn hợp lý bởi khi đó vỏ
được coi là đẳng hướng. Với các chỉ số p khác, qui luật ph n bố ứng suất là phi tuyến theo
chiều dày, ứng suất c c trị có thể không đạt tại mặt trên mặt dưới mà có thể xảy ra tại vị trí
nào đó tùy thuộc vào hình dạng của vỏ.
4.3.2. Ví dụ 4.2 - Ảnh hưởng của tỷ số a/h
Nhận xét: Từ kết quả trình bày trong
Bảng 4.9 và các đồ thị trên Hình 4.6 nhận thấy:
- Khi tỷ số a/h tăng dần từ 10 đến 50,
độ võng của các vỏ trụ (CYL), vỏ cầu (SHP)
và vỏ 6 (P6) phát triển lớn dần theo chiều
dương trục z (chiều cong của vỏ) hay nói
cách khác các vỏ này bị vồng lên, độ võng
của vỏ yên ng a (HPR), hypar (HYP) và vỏ
Conoid (CON) lại phát triển theo chiều
ngược lại (chiều m trục z).
Hình 4.6. Ảnh hưởng của tỷ số a/h đến độ
Từ nhận xét trên cho thấy, hình dạng
võng của các vỏ FGM
và tỷ số a/h (độ dày của vỏ) sẽ làm cho khả
năng chịu l c của vỏ thay đổi khi vỏ chịu tải
trọng cơ học và nhiệt độ.
4.3.3. Ví dụ 4.3 - Ảnh hưởng của các quy luật truyền nhiệt theo chiều dày vỏ


18

Nhận xét: Từ các đồ thị trên Hình 4.7

cho thấy:
- Đối với vỏ trụ (CYL), vỏ cầu (SPH), vỏ
conoid và vỏ số 6 (P6) có xu hướng vồng về
phía trên khi chịu tác dụng đồng thời của tải
cơ và nhiệt, trong khi đó vỏ yên ng a và vỏ
hypar lại có xu hướng võng xuống phía dưới.
- Đối với mỗi loại vỏ khác nhau, khi quy luật
truyền nhiệt theo chiều dày khác nhau sẽ cho
một quy luật ứng xử khác nhau của độ võng,
Hình 4.7. Ảnh hưởng của các quy luật truyền
cụ thể như sau:
nhiệt đến độ võng của vỏ.
+ Vỏ trụ (CYL) khi truyền nhiệt là đều theo chiều dày có độ võng bé nhất; nhiệt ph n
bố tuyến tính cho độ võng lớn nhất.
+ Vỏ cầu (SPH) khi truyền nhiệt là phi tuyến theo chiều dày có độ võng nhỏ nhất;
truyền nhiệt là tuyến tính cho độ võng lớn nhất.
+ Vỏ yên ng a (HPR), vỏ hypar (HYP) khi quy luật truyền nhiệt là đều theo chiều dày
có độ võng lớn nhất; truyền nhiệt tuyến tính và phi tuyến cho độ võng xấp xỉ nhau.
+ Vỏ conoid (CON) và vỏ số 6 (P6) có độ võng nhỏ nhất khi truyền nhiệt là phi tuyến;
quy luật truyền nhiệt đều cho độ võng lớn nhất.
4.4. Bài toán dao động tự do
Luận án sẽ khảo sát một ví dụ so sánh kết quả tính tần số dao động của vỏ cầu theo hai
quan điểm. Sau đó, luận án sẽ th c hiện khảo sát các yếu tố ảnh hưởng đến tần số dao động
riêng của vỏ FGM trong môi trường nhiệt độ theo quan điểm thứ hai mà luận án đã x y d ng
bằng cả phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn.
4.4.1. Ví dụ 4.5 - Ví dụ so sánh tính toán theo hai quan điểm
Bảng 4.10. So sánh tần số dao động riêng Ω1 của vỏ theo hai cách tiếp cận
ΔT (K)
Quy luật
Cách

t uyền nhiệt
tiếp cận
100
200
300
400
500
Loại 1
7.4482
7.3595
7.2442
7.0992
6.9201
Truyền nhiệt đều
Loại 2
7.0627
6.5242
5.8869
5.1336
4.2295
Sai lệch (%)
5.18
11.35
18.74
27.69
38.88
Loại 1
7.5032
7.4910
7.4757

7.4572
7.4355
Truyền nhiệt
Loại 2
7.5074
7.4962
7.4784
7.4539
7.4224
tuyến tính
Sai lệch (%)
0.06
0.07
0.04
0.04
0.18
Loại 1
7.4878
7.4640
7.4404
7.4167
7.3924
Truyền nhiệt
Loại 2
7.4048
7.2922
7.1740
7.0498
6.9191
phi tuyến

Sai lệch (%)
1.11
2.30
3.58
4.95
6.40
Nhận xét: Tần số dao động riêng cơ bản của vỏ cầu được tính toán theo cách tiếp
cận thứ nhất có s sai khác so với giá trị tính toán theo cách tiếp cận thứ hai, sai khác càng
lớn khi nhiệt độ tăng cao. Với giả thiết truyền nhiệt đều hoặc phi tuyến theo chiều dày thì
tần số dao động riêng cơ bản của vỏ tính theo cách tiếp cận thứ hai nhỏ hơn đáng kể so với
khi được tính theo cách tiếp cận thứ nhất. Trong khi đó, s sai khác này là nhỏ khi nhiệt độ
được giả thiết là truyền tuyến tính theo chiều dày vỏ.
4.4.2. Ví dụ 4.6 - Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p, quy luật truyền nhiệt theo chiều
dày vỏ và điều kiện biên


19

Hình 4.10. Ảnh hưởng của quy luật truyền
nhiệt đến tần số dao động riêng Ω1 của các
vỏ FGM (Điều kiện biên SSSS)

Hình 4.12. Ảnh hưởng của quy luật truyền
nhiệt đến tần số dao động riêng Ω1 của các
vỏ FGM (Điều kiện biên CCCC)
4.4.5. Ví dụ 4.9 - Ảnh hưởng của tỷ số a/h

Hình 4.11. Ảnh hưởng của quy luật truyền
nhiệt đến tần số dao động riêng Ω1 của các
vỏ FGM (Điều kiện biên SCSC)

Nhận xét: Kết quả khảo sát cho thấy
cũng như khi không xét đến ảnh hưởng của
nhiệt độ, độ cứng của vỏ FGM trong môi
trường nhiệt cũng chịu ảnh hưởng nhiều của
điều kiện liên kết. Khi vỏ được liên kết nhiều
hơn thì có độ cứng lớn hơn, điều này được
thể hiện thông qua giá trị tần số dao động
riêng cơ bản của các vỏ có liên kết ngàm 4
cạnh (CCCC) luôn là lớn nhất, sau đó là tần
của các vỏ có liên kết ngàm hai cạnh, gối t a
hai cạnh (SCSC) và cuối cùng, giá trị tần số
dao động riêng cơ bản của các vỏ có liên kết
t a bản lề bốn cạnh (SSSS) là nhỏ nhất.

Nhận xét: Khi tỷ số a/h tăng, các vỏ
trở nên mỏng hơn và do đó độ cứng của vỏ
giảm, điều này được phản ánh thông qua tần
số dao động riêng Ω2 của các vỏ đều giảm
khi tỉ số a/h tăng.

Hình 4.16. Ảnh hưởng của tỷ số a/h đến tần
số dao động riêng Ω2 của vỏ FGM
4.4.6. Ví dụ 4.10 - Ảnh hưởng của nhiệt độ
Nhận xét: Tần số dao động riêng của tất cả các vỏ khảo sát đều giảm khi chênh lệch
nhiệt độ (ΔT (K)) giữa hai bề mặt của vỏ tăng lên. Điều này có nghĩa là khi s chênh lệch nhiệt
độ giữa hai bề mặt của vỏ tăng lên sẽ làm vỏ trở nên mềm hơn.


20

Hình 4.17. Ảnh hưởng của nhiệt độ (ΔT (K)) đến tần số dao động riêng Ω1 của vỏ
(Truyền nhiệt phi tuyến)
4.4.7. Ví dụ 4.11 – Dạng dao động riêng
Luận án khảo sát, tính toán 5 tần số dao động đầu tiên của các vỏ hypar (HYP), vỏ
Conoid (CON) và vỏ số 6 (P6). Đ y là các dạng vỏ còn ít được đề cập đến.
Bảng 4.16. Các tần số dao động riêng Ω1 thấp nhất của các vỏ.
Tần số dao động iêng (x103)
Lo i vỏ
ĐK Biên
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
SSSS
2.0341 2.0345 3.6399 4.3951 4.6808
HYP
(c/a = 0.1)
CCCC
4.3774 4.7996 4.8006 6.4161 6.7996
SSSS
2.0727 2.1043 3.2307 3.7603 4.6034
CON
(a/Hh = 1; hl = 0.5Hh)
CCCC
3.7003 3.7668 5.0569 5.4650 6.3319
SSSS
0.9266 2.1012 2.1013 4.0451 4.6699
P6
(kx = ky = 1.2)

CCCC
1.5332 3.4303 3.4307 5.3815 6.4276

Nhận xét: Vỏ P6 có
tần số thứ hai bằng với tần số
thứ ba, tương ứng có dạng
dao động thứ hai và thứ ba
(mode (2, 1) và mode (1, 2))
là đối xứng nhau. Đối với Vỏ
HYP và CON thì không có
dạng dao động đối xứng và
các tần số bằng nhau.
Hình 4.18. Một số dạng dao động của các vỏ FGM


21

4.5. Bài toán dao động cƣỡng bức
Luận án sẽ khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số hình học, nhiệt độ
và hệ số cản đến đáp ứng chuyển vị của vỏ FGM. Về mặt tải trọng, luận án xét hai loại tải
trọng tác động là tải trọng dạng xung và tải trọng điều hòa. Tải trọng có dạng F(t) = P0.P(t).
 Trường hợp vỏ chịu tải trọng xung: P(t) = {1, 0 ≤ t};
 Trường hợp vỏ chịu tải trọng điều hòa: P(t) = sin (Ωt).
trong đó: P0 là biên độ của l c cưỡng bức;
Ω là tần số dao động của l c cưỡng bức.
Đáp ứng chuyển vị trong tất cả các trường hợp khảo sát trong luận án là đáp ứng của
điểm chính giữa vỏ Km (a/2, b/2).
4.5.1. Ví dụ 4.12 - Vỏ FGM chịu tải trọng xung
Ảnh hưởng của chỉ số thể tích p, tỷ số a/h, độ chênh lệch nhiệt độ ΔT (K) và tỉ lệ cản
đến đáp ứng chuyển vị của các vỏ được trình bày trong các hình Hình 4.19÷ Hình 4.22.

Nhận xét: Khi chỉ số thể
tích p tăng lên sẽ làm cho chu kỳ
và biên độ dao động của các vỏ
tăng. Điều này là hoàn toàn phù
hợp với kết quả khảo sát trong
phần dao động t do của các vỏ,
khi chỉ số thể tích p tăng thì tần
số dao động giảm và do đó chu
kỳ dao động tăng điều đó có
nghĩa là khi p lớn thì độ cứng
Hình 4.19. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p đến đáp
của vỏ P-FGM nhỏ.
ứng động của các vỏ chịu tải trọng xung
Nhận xét: Biên độ, tần
số và chu kỳ dao động của vỏ
không tỷ lệ tuyến tính với tỷ số
a/h của vỏ. Cụ thể, khi tỷ số a/h
nhỏ, biên độ dao động của vỏ là
rất nhỏ, và biên độ dao động
này tăng lên nhanh chóng khi
a/h tăng từ 10 lên 20 và 30.
Hình 4.20. Ảnh hưởng của tỷ số a/h đến đáp ứng động
của vỏ hai độ cong chịu tải trọng xung
Nhận xét: Trong các vỏ
khảo sát, vỏ trụ có s chênh lệch
lớn nhất về chu kỳ và biên độ dao
động khi ΔT tăng từ 100K đến
300K, tiếp đến là vỏ yên ng a và
vỏ cầu, các vỏ còn lại có mức độ
ảnh hưởng nhỏ hơn. Như vậy, với

vỏ có độ cong lớn thì ảnh hưởng
của nhiệt độ đến đáp ứng động là
lớn hơn so với các vỏ không có độ
Hình 4.21. Ảnh hưởng của nhiệt độ (ΔT (K)) đến đáp ứng
cong hoặc có độ cong nhỏ.
động của các vỏ chịu tải trọng xung


22

Hình 4.22. Ảnh hưởng của tỷ lệ cản đến đáp ứng động
của các vỏ chịu tải trọng xung

Nhận xét: Từ các đồ thị
cho thấy ngay cả với trường hợp
tỷ lệ cản nhỏ (0.01) thì dao động
của vỏ cũng đã giảm khá nhanh,
đối với trường hợp tỷ lệ cản là
0.07 thì dao động nhanh chóng
bị tắt. Điều này có thể hiểu rằng
trong điều kiện làm việc bình
thường, dao động của các vỏ
cũng sẽ tắt đi nhanh chóng do
chịu ảnh hưởng của cản độ cứng
và cản khối lượng của chính vỏ.

4.5.2. Ví dụ 4.13 - Vỏ FGM chịu tải trọng điều hòa
Ảnh hưởng của chỉ số p, tỷ số a/h, nhiệt độ ΔT (K) và tỉ số tần số dao động Ω/ω đến
đáp ứng chuyển vị của các vỏ được trình bày như trong các hình Hình 4.23 ÷ Hình 4.26.
Nhận xét: Khi p làm cho

độ cứng của vỏ thay đổi, dẫn đến
tần số DĐR của vỏ thay đổi,
trường hợp tần số DĐR của vỏ
khác xa tần số của tải trọng ngoài
thì vỏ sẽ dao động theo tải trọng
ngoài. Hiện tượng phách và hiện
tượng cộng hưởng xảy ra khi tần
số DĐR gần bằng và bằng với
tần số của tải trọng ngoài.
Hình 4.23. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p
Nhận xét: Khi tỷ số a/h
thay đổi thì biên độ dao động
của các vỏ thay đổi một cách
nhanh chóng, điều này một lần
nữa khẳng định tỷ số a/h là
tham số ảnh hưởng rất lớn đến
khả năng chịu l c của các vỏ
FGM. Nói cách khác, độ dày là
yếu tố rất quan trọng quyết định
độ cứng của vỏ.
Hình 4.24. Ảnh hưởng của tỷ số a/h
Nhận xét: Ảnh hưởng
của nhiệt độ đến độ cứng của vỏ
là rất đáng quan t m bởi với
từng trường hợp cụ thể về kích
thước, vật liệu mà s chênh lệch
nhiệt độ này có thể làm cho vỏ
dao động điều hòa, dao động
dạng phách hay cộng hưởng.
Hình 4.25. Ảnh hưởng của nhiệt độ ΔT (K)