Tóm tắt Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Phân tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM sử dụng lý thuyết biến dạng cắt tám ẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Nguyễn Văn Long

PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG
CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT
BIẾN DẠNG CẮT TÁM ẨN
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62520101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ

Hà Nội - Năm 2018


Cơng trình được hồn thành tại T ƣờng Đ i học X y dựng

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TS T ần Minh Tú - Trường Đại học
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS T ần Hữu Quốc - Trường Đại học

d ng
d ng

Phản biện 1: ....................................................................................................
.....................................................................................................
Phản biện 2: ....................................................................................................
.....................................................................................................
Phản biện 3: ....................................................................................................
.....................................................................................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Nhà nước
họp tại Trường Đại học

d ng.

vào hồi ...... giờ ......', ngà ..... tháng ..... năm 2018

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia.
- Thư viện Trường Đại học

d ng.

- Bộ môn Sức bền Vật liệu - Trường Đại học

d ng.


DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GI
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Trần Hữu Quốc, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long, Dương Thành Hu n (2013). Tính
tốn tấm FGM chịu uốn theo mơ hình Reissner-Mindlin bằng phương pháp Phần tử hữu
hạn. Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Đại học Tôn
Đức Thắng, TP. Hồ Chí Minh (7-9/11/2013).
2. Tran Huu Quoc, Tran Minh Tu, Nguyen Van Long (2014). Free vibration analysis of
Reissner - Mindlin functionally graded plates by finite element method. The 3rd
International Conference of Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3),
University of Engineering and Technology - Vietnam National University (15/08/2014).
3. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan, Nguyen Van Long (2014).
Vibration analysis of functionally graded plates using various shear deformation plate

theories. 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation
(ICEMA3), University of Engineering and Technology - Vietnam National University
(15/08/2014).
4. Thinh, T. I., Tu, T. M., Quoc, T. H., & Long, N. V. (2016). Vibration and Buckling
Analysis of Functionally Graded Plates Using New Eight-Unknown Higher Order Shear
Deformation Theory. Latin American Journal of Solids and Structures, 13(3), 456-477,
DOI: />5. Van Long, N., Quoc, T. H., & Tu, T. M. (2016). Bending and free vibration analysis of
functionally graded plates using new eight-unknown shear deformation theory by finiteelement method. International Journal of Advanced Structural Engineering, 8(4), 391399, DOI: doi 10.1007/s40091-016-0140-y.
6. Ngu en Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Ph n tích dao động riêng tấm
FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất có xét ảnh hưởng của nhiệt độ. Hội nghị
Khoa học tồn quốc-Vật liệu và kết cấu composite: Cơ học, cơng nghệ và ứng dụng,
Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (28-29/7/2016).
7. Nguyen Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016). Vibration analysis of
functionally graded plates using the eight-unknown higher order shear deformation
theory in thermal environments. Hội nghị Khoa học tồn quốc-Vật liệu và kết cấu
composite: Cơ học, cơng nghệ và ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP. Nha Trang (2829/7/2016).
8. Tran Minh Tu, Nguyen Van Long, Tran Huu Quoc (2016). Thermoelastic bending
analysis of functionally graded sandwich plates using the eight-unknown higher order
shear deformation theory. The 4th International Conference on Engineering Mechanics
and Automation (ICEMA 4), University of Engineering and Technology - Vietnam
National University (25-26/08/2016).
9. Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc and Nguyen Van Long (2017). Bending analysis of
functionally graded plates using new eight-unknown higher order shear deformation
theory. Structural Engineering and Mechanics, 62 (3), 311-324, DOI:
/>

1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu composite tiên

tiến, không thuần nhất ở mức độ vi mô, cấu thành từ hai hoặc nhiều hơn hai pha vật liệu với tỷ lệ thể tích các
vật liệu thành phần biến đổi liên tục. Các đặc trưng cơ học của vật liệu vì thế cũng biến đổi trơn và liên tục,
nên tránh được s bong tách, s tập trung ứng suất tại các bề mặt tiếp xúc như thường xả ra đối với vật liệu
composite tru ền thống. Để tối ưu hóa cơng tác tính tốn và thiết kế các kết cấu tấm/vỏ bằng vật liệu FGM
cần hiểu rõ qu luật ứng xử cơ học của vật liệu và kết cấu. Việc phát triển mơ hình và phương pháp tính các
kết cấu bằng vật liệu FGM vì thế luôn thu hút s quan t m của các nhà khoa học trong và ngồi nước.
Trên cơ sở đó luận án l a chọn đề tài: “Ph n tích tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ
nhật FGM sử dụng lý thuyết biến d ng cắt tám ẩn”.
2. Mục đích nghiên cứu của luận án
 Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn số chuyển vị về lý thuyết biến dạng cắt bậc
cao tám ẩn chuyển vị để phân tích ứng xử cơ học của tấm dày FGM.
 Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị đề xuất, xây d ng các hệ thức quan hệ và
phương trình chủ đạo để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM bằng
phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn.
 Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình
học, điều kiện biên đến độ võng, các thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của
tấm FGM.
3. Đối tƣợng và ph m vi nghiên cứu của luận án
 Đối tượng nghiên cứu của luận án là tấm chữ nhật FGM chiều dà không đổi với các dạng điều kiện biên
khác nhau.
 Phạm vi nghiên cứu của luận án là các bài tốn phân tích tuyến tính: xác định độ võng, các thành phần
ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM với các dạng điều kiện biên
khác nhau.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn thiết lập các phương trình chủ
đạo, thuật tốn và chương trình tính nhằm phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM bốn biên t a khớp.
 Phương pháp phần tử hữu hạn: Xây d ng mơ hình, thuật tốn phần tử hữu hạn và chương trình tính
nhằm phân tích ứng xử cơ học của tấm FGM với các dạng điều kiện biên khác nhau trên cơ sở lý thuyết
biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị.
5. Những đóng góp mới của Luận án

 Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn chuyển vị thành lý thuyết bậc ba với tám ẩn số
chuyển vị cho kết cấu tấm, thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại mặt trên và dưới của tấm
bằng 0; thể hiện được s biến đổi của biến dạng dài theo phương chiều dày, phù hợp với tấm dày. Thiết
lập các hệ thức và các phương trình chủ đạo cho bài tốn phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động
riêng của tấm chữ nhật FGM trên cơ sở lý thuyết đề xuất.
 Thiết lập lời giải giải tích cho tấm bốn biên t a khớp sử dụng dạng nghiệm Navier; xây d ng mơ hình
phần tử hữu hạn để phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm FGM với lý thuyết đề
xuất.
 Viết chương trình tính bằng Matlab để kiểm chứng độ tin cậy của thuật tốn và mơ hình tính đề xuất;
khảo sát số đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học đến độ võng, các thành
phần ứng suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên
khác nhau.
6. Bố cục của luận án
Luận án gồm: Mở đầu, Bốn chương chính, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo và Phụ lục.
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Chương nà giới thiệu tóm tắt về vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) - các tính chất cơ học của vật
liệu; kết cấu bằng vật liệu FGM và ứng dụng; tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước về phân
tích tĩnh và động các kết cấu tấm FGM. Trên cơ sở phân tích các mơ hình tính có thể thấy rằng, lý thu ết tấm
cổ điển trên cơ sở giả thiết Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang nên chỉ phù hợp với tấm mỏng. Lý thu ết


2
biến dạng cắt bậc nhất đã kể đến biến dạng cắt ngang nhưng không phản ánh qu luật ph n bố ứng suất cắt
ngang dạng parabol th c tế của tấm chịu uốn. Hệ số hiệu chỉnh cắt vì thế được đưa vào, tu nhiên việc xác
định chính xác hệ số nà là phức tạp. Các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đã khắc phục được nhược điểm của
lý thu ết tấm bậc nhất do không cần hệ số hiệu chỉnh cắt. Tu nhiên các lý thu ết bậc cao không thỏa mãn
điều kiện ứng suất tiếp theo phương chiều dà bằng không tại mặt trên và dưới khi tính tốn. Kể đến điều
này Redd đã cải tiến lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đơn giản 9 ẩn số chu ển vị về lý thu ết biến dạng cắt
bậc ba 5 ẩn số chu ển vị thỏa mãn điều kiện biên của ứng suất cắt ngang tại bề mặt trên và dưới của tấm.

Các lý thu ết tấm bậc cao nói chung và lý thu ết tấm bậc ba của Redd lại bỏ qua biến dạng pháp
tu ến theo phương chiều dà , coi thành phần độ võng không phụ thuộc tọa độ chiều dà . Chính vì vậ khi sử
dụng các lý thu ết bậc cao tính tốn cho tấm dà thường cho sai lệch đáng kể so với nghiệm của lý thu ết
đàn hồi, nhất là các thành phần ứng suất cắt ngang.
Từ các ph n tích kể trên tác giả luận án nhận thấ rằng, việc phát triển thêm các mơ hình và phương
pháp tính vẫn là hướng nghiên cứu được quan t m, đ chính là động l c để đề xuất cải tiến một mơ hình
tính tốn mới cho tấm dà trong luận án.
CHƢƠNG 2
LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TÁM ẨN CHUYỂN VỊ - PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH
VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG PHƢƠNG PHÁP GI I TÍCH
2.1. Mở đầu
Trong chương nà , tác giả luận án đề xuất cải tiến trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc
ba đầ đủ 12 ẩn số chu ển vị thành lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn. Lý thu ết nà khắc phục được
nhược điểm của các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao nói chung: thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bằng
không tại mặt trên và dưới của tấm, đồng thời có kể đến biến dạng pháp tu ến (  z  0 ). Do kể đến biến dạng
pháp tu ến nên lý thu ết nà mơ tả được tính làm việc ba chiều của kết cấu tấm, vì vậ các kết quả tính toán
cho tấm dà FGM phù hợp hơn khi so sánh với lý thu ết đàn hồi ba chiều.
Trên cơ sở trường chu ển vị đề xuất, tác giả tiến hành x d ng các hệ thức cơ bản và phương trình
chủ đạo cho tấm chữ nhật FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị. Phương trình chu ển
động cũng như các điều kiện biên được thiết lập cho bài toán tổng quát d a trên ngu ên lý năng lượng toàn
phần c c tiểu, trong đó thành phần biến dạng phi tu ến von Kármán được kể đến. Trong các ph n tích tu ến
tính các thành phần biến dạng phi tu ến sẽ được bỏ qua.
2.2. Lý thuyết biến d ng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị
2.2.1. Trường chuyển vị

Hình 2.1. Hình dạng hình học của tấm có biên cong
ét tấm bằng vật liệu FGM với mặt trung bình trước biến dạng là A. Miền khảo sát đối với tấm là thể
tích V. Biên của tấm bao gồm bề mặt trên (z = h/2), bề mặt dưới (z = - h/2) và mặt bên  . Trong trường hợp
tổng quát,  là một mặt cong với pháp tu ến ngoài nˆ  nx eˆx  ny eˆy ; với nx , ny là các cosin chỉ phương của
véc tơ pháp tu ến đơn vị nˆ (xem Hình 2.1).

Trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn chu ển vị [5]:
u ( x, y, z, t )  u0 ( x, y, t )  z x ( x, y, t )  z 2u0* ( x, y, t )  z 3 x* ( x, y, t );
v( x, y, z, t )  v0 ( x, y, t )  z y ( x, y, t )  z 2v0* ( x, y, t )  z 3 y* ( x, y, t );

(2.1)

w( x, y, z, t )  w0 ( x, y, t )  z z ( x, y, t )  z w ( x, y, t )  z  ( x, y, t )
Từ trường chu ển vị của lý thu ết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn, kết hợp với điều kiện các ứng suất cắt
h
h


ngang:  xz  z      zz  z     0 , ta nhận được trường chu ển vị mới với 8 ẩn chu ển vị:
2
2


2

*
0

3

*
z


3
u  u0  z x 

*
 *  z 3   w
z 2   z
 w 
 c1 z   c2  0   x   0  ;

2  x
x  3   x
 x 

 w* 
 *  z 3   w
z 2   z
 c1 z   c2  0   y   0  ;

2  y
y  3   y
 y 
w  w0  z z  z 2 w0*  z 3 z*

v  v0  z y 

h2
4
, c2  2 .
4
h
2.2.2. Trường biến dạng
Các thành phần biến dạng có kể đến biến dạng phi tu ến hình học von Kármán:

    L  +  NL 
Các thành phần biến dạng tu ến tính:
  xL   x0 L 
 1x L 
 x2 L 
 x3 L 
 L   0L 
 1L 
 2L 
 3L 
  y   y 
 y 
 y 
 y 
  z   z(0) 
 z(1)  2  z(2)  3  0 
 L    L    0 L   z  1L   z  2 L   z  3 L 
 xy   xy 
 xy 
 xy 
 xy 
(0)
(1)
(2)
 xz   xz 
 xz 
 xz 
 xz(3) 
   0 
 (1) 

 (2) 
 (3) 
 yz    yz 
 yz 
 yz 
 yz 
Các thành phần biến dạng phi tu ến:
 6 i iNL 
 z  x 
NL

 x   i 61
 NL  
i iNL 
 y   z  y 

 0   i 1


 NL   NL    0 
 xy   6

 0   z i  xyiNL 

  i 1

 0  

0




0


(2.2)

trong đó: c1 

2.2.3. Trường ứng suất
 x   Q11 Q12
  
 y  Q21 Q22
  Q
Q
    z    31 32
0
 xy   0
 xz   0
0
  
0
 yz   0

Q13
Q23
Q33
0
0
0

0
0
0
Q44
0
0

0
0
0
0
Q66
0

0 x 
 
0   y 
0    z 
    Q   
0   xy   
0   xz 
 
Q55   yz 

(2.3.1)

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.4)

2.2.4. Các thành phần nội lực
Với lý thu ết tấm biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị, ta định nghĩa các thành phần nội l c của
tấm như sau:
 N x M x N x* M x* 
 x 

 
*
* 
 Ny M y Ny M y 
 y
 N x* M x* N x**  h / 2  x 
 N z M z N z* M z*  h / 2  z 


  4 5 6



     1 z z 2 z 3  dz;  N *y M *y N **
(2.5.1)
y     y   z z z  dz
*
*
N
M


N
M
 xy xy xy xy   h / 2  xy 
*
*
**

h
/
2


 N xy M xy N xy 

 xy 


 Q S Q* S * 
 xz 
 xz xz xz* xz* 
 
 Qyz S yz Qyz S yz 
 yz 
và:


4
Rxz  Qxz  c2Qxz* , Ryz  Qyz  c2Qyz* ;Txz  c1S xz  S xz* ,Tyz  c1S yz  S yz* ;

(2.5.2)

c2 *
c
c
M x , Pxy  M xy  2 M xy* , Py  M y  2 M y*
3
3
3
2.2.5. Các phương trình chuyển động
a. Nguyên lý năng lượng toàn phần cực tiểu
Nguyên lý năng lượng toàn phần c c tiểu được sử dụng để thiết lập các phương trình chu ển động
của tấm FGM [10], với dạng toán học như sau:
(2.6)
U  W  W *  0
*
trong đó:  U ,  W ,  W lần lượt là biến ph n của thế năng biến dạng đàn hồi, công ngoại l c và
cơng của l c qn tính.
Khai triển các biểu thức năng lượng, nhóm các thành phần biến ph n của chu ển vị
 u0 ,  v0 ,  w0 ,  x ,  y ,  z ,  w0* ,  z* , ta nhận được hệ phương trình Euler-Lagrange:
Px  M x 

N x N xy
I  
 *  I  w w* 

 I 0u0  J1 x  2  z  c1 z   3  c2 0  0  ;
x
y
2  x
x  3  x
x 

N xy
x



N y
y

 I 0 v0  J1 y 

I 2   z
 z*  I 3  w0 w0* 

c


   c2
;
1
2  y
y  3  y
y 

 2 M xy*  2 M y*  Rxz Ryz
c2   2 M x*
(1)

2




 N NL
 qz  I 0 w0  I1 z  I 2 w0*  I 3 z*

2
2 

3  x
xy
y  x
y
 y  c2 I 5 2
c I  u
v  c J  
I
c2 I
cI
 2 3  0  0  2 4  x 
  z  5  2 z*  2 6  2 w0  2 6  2 w0* ;

3  x
y 
3  x
y 
6
6
9
9
Px Pxy
J 3  z c1 J 3  z* c2 J 4 w0 J 4 w0*


 Rxz  J1u0  K 2 x 



;
x
y
2 x
2 x
3 x
3 x
Pxy
x



Py
y

 Ryz  J1v0  K 2 y 

J 3  z c1 J 3  z* c2 J 4 w0 J 4 w0*



;
2 y
2 y
3 y

3 y

 2 N xy*  2 N y* 
v 
I  u
1   2 N x*
h
(2)

2

 N z  N NL
 qz  I1w0  I 2 z  2  0  0 

2
2 

2  x
xy
y 
2
2  x
y 
 y 
J  
I 2 *
I 2
cI 2 * c I 2
*
 I3 w  3  x 

  I 4 z  4   z  1 4   z  2 5  w0  5  w0 ;
2  x
y 
4
4
6
6

(2.7.1)
(2.7.2)

(2.7.3)

(2.7.4)
(2.7.5)

(2.7.6)

*
0

 2 M xy*  2 M y* 
I  u
v 
1   2 M x*
h2 
(3)

2



2
M

N

qz  I 2 w0  I 3 z  3  0  0 


z
NL
2
2 
3  x
xy
y 
4
3  x
y 
 y 
I 2
cI 2 * c I 2
I 2 *
J  
*
I4w  4  x 
  I 5 z  5   z  1 5   z  2 6  w0  6  w0 ;


3  x

y 
6
6
9
9

(2.7.7)

*
0

 2 N xy*  2 N *y
c1   2 N x*

2


2  x 2
xy
y 2


Txz Tyz
h3 
*
(4)

3
N




N

qz

z
NL

x

y
8


c1 I 2  u0 v0  c1 J 3   x  y 
cI 2
(2.7.8)



  I 3 w0  I 4 z  1 4   z


2  x
y 
2  x
y 
4
I

cI
c2 I
 1 4  2 z*  5  2 w0  1 5  2 w0*  I 5 w0*  I 6 z*
4
6
6
2
2


trong đó  2  2  2 là toán tử Laplacian trong hệ tọa độ Cartesian cho bài toán toán 2 chiều;
x
y


(1)
(2)
(3)
(4)
các tốn tử phi tu ến:  NL
được trình bà trong phụ lục D của luận án.
,  NL
,  NL
,  NL


5
Từ hệ phương trình (2.7), sử dụng các liên hệ nội l c - chu ển vị (2.3-2.5), ta nhận được hệ phương
trình chuyển động theo chuyển vị.
2.3. Phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng kết cấu tấm bằng vật liệu có cơ tính biến

thiên
2.3.1. Đặt vấn đề
Trong phần này, luận án sẽ tập trung ph n tích tu ến tính ba bài tốn cơ bản bao gồm: bài toán tĩnh,
ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM bốn biên t a khớp bằng tiếp cận giải tích sử
dụng lời giải Navier. Các thành phần biến dạng phi tu ến hình học von Kármán trong quan hệ biến dạngchu ển vị như đã thành lập trong phần 2.2 được bỏ qua.
2.3.2. Các hệ thức cơ bản
a. Trường biến dạng
Trong các ph n tích tu ến tính, trường biến dạng của lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị trở
thành:
(2.8.1)
    L 
Các thành phần biến dạng tu ến tính có dạng như (2.3.2) và có thể viết dưới dạng:
    (0) + z  (1)  z 2  (2)  z3  (3)
(2.8.2)

   

 

 

Để thuận tiện, ta biểu diễn trường biến dạng theo hai thành phần:
- Biến dạng màng-uốn:
 mu    mu(0) + z  mu(1)  z 2  mu(2)  z3  mu(3)

   

 

 

- Biến dạng cắt:
 c    c(0) + z  c(1)  z 2  c(2)  z3  c(3)

   

 

 

(2.9.1)
(2.9.2)

b. Trường ứng suất
Trường ứng suất được xác định theo (2.4) với các thành phần biến dạng như trong cơng thức (2.8), ta
có thể biểu diễn dưới dạng:
   Q  (0) + z Q  (1)  z 2 Q  (2)  z3 Q  (3)
(2.10)

 

 

 

 

Tương t như trường biến dạng, trường ứng suất cũng được tách làm hai thành phần:
- Ứng suất màng-uốn:

 mu   Qmu  mu(0)  + z Qmu  mu(1)   z 2 Qmu  mu(2)   z3 Qmu  mu(3) 

(2.11.1)

- Ứng suất cắt ngang:

 c   Qc  c(0)  + z Qc  c(1)   z 2 Qc  c(2)   z3 Qc  c(3) 

(2.11.2)

c. Quan hệ nội lực-biến dạng
Từ biểu thức định nghĩa các thành phần nội l c theo (2.5), biểu diễn ứng suất qua biến dạng theo
(2.10), ta nhận được quan hệ giữa các thành phần nội l c và biến dạng:
(0)

 N   Au Bu Cu Du   mu
 M   B C D E   (1) 
 
  Dtmu εmu 0 
M mu    *    u u u u   mu
(2.12.1)
(2) 
 N  Cu Du Eu Fu  mu 
(3) 
 M *   Du Eu Fu Gu   mu
 
 Q   Ac Bc Cc Dc  γc(0) 
 S   B C D E   (1) 
γ
Qc    *    c c c c   c(2)    Dtc γc 0 

(2.12.2)
Q  Cc Dc Ec Fc γc 
 S *   Dc Ec Fc Gc   γc(3) 
 
trong đó:  Dtmu  là ma trận độ cứng màng-uốn của vật liệu tấm;  Dtc  là ma trận độ cứng cắt của vật
liệu tấm. Các ma trận nà sẽ được sử dụng trong quá trình thiết lập ma trận độ cứng kết cấu tấm.


6
2.3.3. Lời giải Navier cho tấm chữ nhật bằng vật liệu có cơ tính biến thiên bốn biên tựa khớp

Hình 2.2. Mơ hình tấm chữ nhật làm bằng vật liệu FGM
Đối tượng nghiên cứu là tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM có chiều dà khơng đổi h, chiều dài a và
chiều rộng b (xem Hình 2.2) liên kết khớp trên chu vi.
a. Phân tích tĩnh
ét tấm chữ nhật FGM chịu uốn dưới tác dụng của tải trọng ph n bố qz đặt lên bề mặt trên tấm
(xem Hình 2.3).

Hình 2.3. Mơ hình tấm chữ nhật chịu uốn
Các điều kiện biên của bài toán uốn bao gồm:
Tại x = 0 và x = a:
w
N x  0; v0  0; w0  0; M x*  0; 0  0; Px  0; y  0;
y

(2.13.1)
w*
 z
 *
 0; w0*  0; 0  0; z*  0; z  0

y
y
y
Tại y = 0 và y = b:
w
N y  0; u0  0; w0  0; M y*  0; 0  0; Py  0; x  0;
x
(2.13.2)

w*

 *
 z  0; N y*  0; z  0; w0*  0; 0  0; z*  0; z  0
x
x
x
Hệ phương trình c n bằng theo chu ển vị cho bài toán uốn được su ra từ hệ phương trình chu ển
(1)
(2)
(3)
(4)
động nhận được từ (2.7) khi bỏ qua các toán tử phi tu ến  NL
và các thành phần gia tốc.
,  NL
,  NL
,  NL
Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13):

 z  0; N x*  0;









u0  x, y    u0 mn cos  x sin  y; v0  x, y    v0 mn sin  x cos  y;
m 1 n 1




m 1 n 1




w0  x, y    w0 mn sin  x sin  y;  x  x, y    xmn cos  x sin  y;
m 1 n 1

m 1 n 1









 y  x, y    ymn sin  x cos  y;  z  x, y    zmn sin  x sin  y;
m 1 n 1




(2.14)

m 1 n 1




*
w0*  x, y    w0*mn sin  x sin  y;  z*  x, y    zmn
sin  x sin  y
m 1 n 1

m 1 n 1

m
n
*
là các hệ số cần tìm; m, n là số
, 
; u0mn , v0 mn , w0 mn , xmn ,  ymn ,  zmn , w0*mn ,  zmn
a
b

số hạng được sử dụng trong khai triển chuỗi lượng giác kép.
Tải trọng tác dụng qz ( x, y) cũng được khai triển theo chuỗi lượng giác kép - Fourier:

trong đó:  





qz ( x, y )   qmn sin  x sin  y
m 1 n 1

(2.15)


7
Thay (2.14) và (2.15) vào hệ phương trình c n bằng theo chu ển vị của bài tốn uốn, nhóm các hệ số
để được hệ phương trình đại số tu ến tính:
kc
 Kmn
 Qmn   Fmn 
(2.16)
kc
 được thể hiện ở phụ lục F trong luận án.
Các số hạng sij của ma trận độ cứng kết cấu  K mn
8x8
Nghiệm của hệ phương trình đại số tu ến tính nà là véc tơ các hệ số chu ển vị
*
từ đó xác định được trường chu ển vị, biến dạng, ứng
Qmn   u0mn , v0mn , w0mn , xmn ,  ymn ,  zmn , w0*mn ,  zmn





suất, nội l c của bài tốn ph n tích tĩnh.
b. Phân tích ổn định
ét tấm chữ nhật FGM liên kết khớp trên chu vi dưới tác dụng của tải trọng nén trong mặt trung
bình, ph n bố đều trên các cạnh theo hai phương x, y (xem Hình 2.4):
Trên các cạnh x = 0, a: N x0   1 N0 ; N xy0  0;
Trên các cạnh y = 0, b: N y0   2 N0 ; N yx0  0.

Hình 2.4. Mơ hình tấm chữ nhật chịu nén đều theo hai phương x, y
Các điều kiện biên của bài toán ổn định bao gồm:
Tại x = 0 và x = a:
w
N x  Nˆ x ; v0  0; w0  0; M x*  Mˆ x* ; 0  0; Px  Pˆx ; y  0;
y

(2.17.1)
w0*
 z*
*  z
*
*
ˆ
 z  0; N  N x ;
 0; w0  0;
 0; z  0;
0

y
y
y
Tại y = 0 và y = b:
w
N y  Nˆ y ; u0  0; w0  0; M y*  Mˆ y* ; 0  0; Py  Pˆy ; x  0;
x
(2.17.2)
w0*
 z*
*
*  z
*
*
ˆ
 z  0; N y  N y ;
 0; w0  0;
 0; z  0;
0
x
x
x
Hệ phương trình c n bằng phi tu ến của tấm FGM nhận được sau khi bỏ qua các thành phần gia tốc
trong (2.7).
Để thiết lập hệ phương trình c n bằng ổn định, ta sử dụng tiêu chuẩn c n bằng l n cận [1]. Từ hệ
phương trình c n bằng phi tu ến theo chu ển vị nhận được từ (2.7), bỏ qua tác dụng của tải trọng qz đồng
*
x

(1)

(2)
(3)
(4)
thời tha thế các toán tử phi tu ến  NL
bằng các thành phần tương ứng ở trạng thái màng
,  NL
,  NL
,  NL
(1)
(2)
(3)
(4)
 LL
,  LL
,  LL
,  LL
như chỉ ra trong luận án.

Các điều kiện biên của bài toán ổn định tu ến tính tương t như ph n tích tĩnh đã chỉ ra trong (2.13).
Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13):
u0  x, y   u0 mn cos  x sin  y; v0  x, y   v0 mn sin  x cos  y;
w0  x, y   w0 mn sin  x sin  y;  x  x, y    xmn cos  x sin  y;

 y  x, y    ymn sin  x cos  y;  z  x, y    zmn sin  x sin  y;

(2.18)

*
w0*  x, y   w0*mn sin  x sin  y;  z*  x, y    zmn
sin  x sin  y

Thay (2.18) vào hệ phương trình c n bằng ổn định, nhóm các hệ số để được hệ phương trình đại số
tu ến tính thuần nhất dưới dạng ma trận thu gọn:


8

  K

kc
mn



hh
  N0  Kmn
 Qmn   0

(2.19.1)

hh
 là ma trận độ cứng hình học (các thành phần của chúng được chỉ ra trong luận án).
trong đó:  K mn
L c nén mất ổn định N mn được xác định từ việc giải phương trình:





kc
hh

  N0  K mn
  0
det  Kmn

(2.19.2)

Tải trọng tới hạn được xác định bởi: Nth  min N mn .
c. Phân tích dao động riêng
ét tấm chữ nhật FGM liên kết khớp trên chu vi; bỏ qua toàn bộ các ếu tố tải trọng.
Các điều kiện biên của bài toán dao động riêng t như ph n tích tĩnh đã chỉ ra trong (2.13) sau khi bổ
sung biến thời gian t.
Trong ph n tích dao động riêng, hệ phương trình chu ển động theo chu ển vị nhận được từ (2.7) sau
(1)
(2)
(3)
(4)
khi bỏ qua tất cả các thành phần tải trọng và các toán tử phi tu ến  NL
,  NL
,  NL
,  NL
.
Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên trong (2.13):
u0  x, y, t   u0 mn eimnt cos  x sin  y; v0  x, y, t   v0 mn eimnt sin  x cos  y;
w0  x, y, t   w0 mn eimnt sin  x sin  y;  x  x, y, t    xmn eimnt cos  x sin  y;

 y  x, y, t    ymn ei t sin  x cos  y;  z  x, y, t    zmn ei t sin  x sin  y;
mn

mn

(2.20)

*
w0*  x, y, t   w0*mn eimnt sin  x sin  y;  z*  x, y, t    zmn
eimnt sin  x sin  y

m
n
, 
; mn là tần số dao động riêng ứng với mode dao động (m, n).
a
b
Thay (2.20) vào hệ phương trình chu ển động theo chu ển vị, nhóm các hệ số để được hệ phương
trình đại số tu ến tính thuần nhất dưới dạng ma trận thu gọn:
kc
2
 Kmn
  mn
 M mn  Qmn   0
(2.21.1)

trong đó: i  1;  





Các số hạng mij của ma trận khối lượng  M mn 8x8 được thể hiện ở phụ lục F trong luận án.
Tần số dao động riêng mn được xác định từ việc giải phương trình:





kc
2
  mn
det  Kmn
 M mn   0

(2.21.2)

Tần số dao động riêng cơ bản được xác định bởi: cb  min mn .
2.3.4. ơ đ khối c a chương trình tính bằng phương pháp giải tích
Từ các biểu thức quan hệ và hệ phương trình chu ển động đã được thiết lập ở trên, chương trình tính
viết trên nền Matlab được viết nhằm kiểm chứng các bài tốn tu ến tính cho tấm chữ nhật P-FGM điều kiện
biên khớp trên chu vi. Sơ đồ thuật toán để giải các bài toán sử dụng dạng nghiệm Navier được trình bà
trong Luận án.
2.4. Ví dụ kiểm chứng nghiệm giải tích
Để kiểm chứng mơ hình tấm theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị đề xuất (HSDT8), tác giả đã viết code chương trình tính d a trên lời giải Navier cho tấm chữ nhật P-FGM bốn biên t a
khớp. Các bài toán kiển chứng được th c hiện trong luận án bao gồm:
2.4.1. Kiểm chứng bài toán uốn
Bài toán 1: Kiểm chứng độ võng, ứng suất pháp cho tấm đẳng hướng.
ét tấm vuông dà đẳng hướng (p = 0, ν = 0.3, h = 0.1m, a = b = 5h) dưới tác dụng của tải trọng
ph n bố đều q0  104 N/m2.
Bảng 2.1 trình bà một số kết quả kiểm chứng bài tốn uốn cho tấm vng đẳng hướng bao gồm độ
võng không thứ ngu ên w và ứng suất pháp không thứ ngu ên  x .
Các kết quả của luận án được so sánh với lời giải d a trên lý thu ết đàn hồi ba chiều (3D) sử dụng
phương pháp DSC và phương pháp HDQ của Civalek [3], lời giải 3D sử dụng phương pháp DQM của Liew
và cộng s [7]. Các kết quả số cho thấ nghiệm giải tích (GT) d a trên lý thu ết HSDT-8 có độ tin cậ và

cho kết quả số về độ võng không thứ ngu ên w và ứng suất pháp không thứ ngu ên  x rất tốt khi so sánh
với các kết quả tính theo lý thu ết đàn hồi 3D.
Bảng 2.1. Kiểm chứng độ võng không thứ ngu ên và ứng suất pháp không thứ ngu ên cho tấm đẳng hướng


9
Nguồn

a b 
w  Q44 w  , ,0  /hq0 ;
2 2 

 a b h 
 / q0 .
2 2 2 

x x  , ,

3D (DQM) [7]
12.6180
-7.3939
3D (HDQ) [3]
12.6310
-7.403
3D (DSC) [3]
12.6210
-7.403
Luận án (GT)
12.6111
-7.3968

*
Sai số (%)
-0.0547
0.0392
*
Sai số so với kết quả của Liew và cộng s [7].
Bài toán 2: Kiểm chứng ứng suất cắt ngang cho tấm đẳng hướng. Các kết quả của luận án được so
sánh với Werner [20].
Bài toán 3: Kiểm chứng độ võng, ứng suất cho tấm P-FGM (Al/Al2O3-1). Các kết quả của luận án
được so sánh với Zenkour [21], Thai và Choi [16].
2.4.2. Kiểm chứng bài toán ổn định
Bài toán 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm đẳng hướng. Các kết quả của luận án được so sánh
Uymaz và Aydogdu [19], Swaminathan và Naveenkumar [12].
Bài toán 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm P-FGM (Al/Al2O3-1). Các kết quả của luận án
được so sánh với Thai và Choi [13].
2.4.3. Kiểm chứng bài toán dao động riêng
Kiểm chứng quả tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên ˆ cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-2).
Các kết quả của luận án được kiểm chứng với Uymaz và Aydogdu [18].
2.5. Kết luận chƣơng 2
Các kết quả chính mà chương 2 đã th c hiện bao gồm:
1.
d ng trường chu ển vị, các hệ thức và phương trình quan hệ của lý thu ết tấm biến dạng cắt
bậc cao tám ẩn chu ển vị. Đ là một lý thu ết cải tiến thuộc nhóm lý thu ết biến dạng cắt bậc cao t a 3D
đồng thời thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang bằng không tại mặt trên và dưới của tấm.
2. Sử dụng ngu ên lý năng lượng toàn phần c c tiểu, các phương trình chủ đạo và điều kiện biên của
tấm FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị đã được thiết lập, làm cơ sở để giải các bài
tốn ph n tích tu ến tính tĩnh, ổn định và dao động riêng.
3. Lời giải giải tích với dạng nghiệm Navier cho tấm chữ nhật FGM điều kiện biên khớp trên chu vi
đã được x d ng (các kết quả chính được thể hiện ở các bài báo số 4 và số 9 trong danh mục các cơng trình
khoa học đã cơng bố của tác giả).

Các bài tốn kiểm chứng cho thấ mơ hình tính là tin cậ và cho kết quả tốt so với các mơ hình ESL,
đặc biệt là s chính xác hóa so với các mơ hình 3D hiện có.
Có thể thấy rằng việc xây dựng lời giải giải tích sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn
chuyển vị mới chỉ dừng lại cho dạng tấm có điều kiện biên khớp trên chu vi. Với các điều kiện biên bất kỳ
việc đưa ra lời giải giải tích là cồng kềnh và khó khăn. Vì vậy trong chương tiếp theo, luận án sẽ xây dựng
mơ hình và thuật tốn phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động riêng của kết cấu tấm
làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị.
CHƢƠNG 3
PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG
PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
3.1. Mở đầu
Trong chương nà , vẫn d a trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn số chuyển vị, tuy nhiên luận
án tập trung phát triển lời giải theo phương pháp phần tử hữu hạn để hoàn thiện hơn một số hạn chế như đã
chỉ ra của phương pháp giải tích. Ngu ên lý Hamilton được sử dụng trong quá trình thiết lập phương trình
phần tử hữu hạn; đ là cơ sở để giải quyết đồng thời ba bài tốn phân tích tuyến tính bao gồm: phân tích
tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM với các dạng điều kiện biên khác nhau.
3.2. X y dựng mơ hình phần tử hữu h n
3.2.1. Lựa chọn phần tử
Trường chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn số chuyển vị đòi hỏi phải sử dụng đến
phần tử liên tục C1 khi xây d ng mơ hình PTHH. Hàm nội su Lagrange Ni  ,  được sử dụng để biểu


10
diễn các chu ển vị màng  u0 ,v0  và góc xoay  x , y  . Hàm nội su Hermite H ij  ,  để biểu diễn các





chu ển vị uốn w0 , z ,w0* , z* .

Với các ph n tích trên đ , chu ển vị tại nút thứ i của phần tử bao gồm 16 bậc t do:
u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi . Để phù hợp với các chương trình má tính
khi mà số bậc t do trên một nút là khá lớn mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, luận án l a chọn sử dụng
phần tử chữ nhật 4 nút, mỗi nút 16 bậc t do (xem Hình 3.1).

(a) Hệ tọa độ th c
(b) Hệ tọa độ t nhiên
Hình 3.1. Phần tử chữ nhật 4 nút trong hệ tọa độ th c và hệ tọa t nhiên
Véc tơ chu ển vị nút phần tử được biểu diễn bởi:

qe   q1 , q2 , q3 , q4 
T
trong đó: qi   u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi 
T

3.2.2. Các phương trình cơ bản
a. Trường chuyển vị
Véc tơ chu ển vị của một điểm bất kì trên mặt trung bình:
d0 16 x1   B 16 x 64 qe 64 x1
Như vậ , ta có thể viết lại trường chuyển vị ở dạng ma trận như sau:
d3x1   H  d0    H 3 x16  B16 x64 qe 64 x1  d 3 x64 qe 64 x1
b. Trường biến dạng
b1. Các thành phần biến dạng tuyến tính
(0)
(0)
 mu
  Bmu

 (1)   (1) 
   Bmu 

 (2) qe    Bmu 16 x 64 qe 64 x1 ;
 mu 0    mu
(2) 


 mu   Bmu 
(3) 
(3)
 mu
   Bmu 
 c(0)   Bc(0) 
 (1)   (1) 

B
 c 0    c(2)    c(2)  qe    Bc 8 x 64 qe 64 x1
 c   Bc 
 c(3)   Bc(3) 

 

b2. Các thành phần biến dạng phi tuyến
1
T
T
T
 xNL  qe   Bbl1  hbl  hbl  Bbl1 qe ;
2
1
T
T

T
 yNL  qe   Bbl 2  hbl  hbl  Bbl 2 qe ;
2
T
T
T
NL
 xy  qe   Bbl 2  hbl  hbl  Bbl 2 qe 
c. Trường ứng suất
- Để khái qt hóa vấn đề, ứng suất tồn phần được định nghĩa [11]:
 tp    0    

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)


11



trong đó:  0    x0  y0

0  xy0



0 0

T

là ứng suất ban đầu (do tải trọng nén trên các cạnh của

tấm gây ra);   là ứng suất bổ sung, được xác định theo (2.10).
3.2.3. Các liên hệ tọa độ
Các liên hệ về tọa độ, quan hệ giữa các đạo hàm riêng trong hệ toạ độ th c và hệ toạ độ t nhiên
được sử dụng để tính tốn tích ph n số trong q trình thành lập các ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ
cứng hình học, ma trận khối lượng và véc tơ l c nút của phần tử.
3.2.4. Phương trình phần tử hữu hạn
Trong phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình chu ển động của phần tử tấm FGM thu được
bằng cách sử dụng ngu ên lý Hamilton cho hệ bảo toàn, được viết dưới dạng [10]:
T

  U

e

  We   Te  dt  0

(3.7.1)

0

Hay:
T

  U e  We  Te  dt  0

(3.7.2)

0

trong đó: U e là thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử; Te là động năng của của phần tử; We là
công ngoại l c đối với phần tử.
Từ đ ta nhận được phương trình Lagrange loại 2 theo chu ển vị [17]:
We
d  Te  U e

0

 
(3.8)
dt   qe    qe   qe 
a. Thế năng biến dạng đàn hồi của phần tử tấm được xác định bởi [11]:
U e  U eL  U eNL
Thế năng biến dạng đàn hồi do thành phần biến dạng tu ến tính:
1
1
1
T
T
T

U eL  qe   keu qe   qe   kec qe   qe  kekc  qe 
2
2
2
Thế năng biến dạng đàn hồi do thành phần biến dạng phi tu ến:
1
T
U eNL   N0 qe   kehh  qe 
2
b. Công ngoại lực do tác dụng của tải trọng phân bố qz viết dưới dạng:

(3.9.1)
(3.9.2)

(3.9.3)

(3.10)
We  qe   fe 
c. Động năng của phần tử tấm được xác định bởi:
1
T
Te  qe   me qe 
(3.11)
2
d. Phương trình chuyển động:
Thay các biểu thức (3.9-3.11) vào (3.8), phương trình chu ển động cho phần tử tấm FGM thu được
có dạng:
 me qe   kekc   N0 kehh  qe    fe 
(3.12)
T





Bằng phép ghép nối các ma trận thông thường, ta nhận được phương trình phần tử hữu hạn cho tồn
tấm:

 M Q   Kkc   N0  Khh Q  F
trong đó  K kc  ,  K hh  ,  M  , Q và F 

(3.13)

tương ứng là ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng
hình học, ma trận khối lượng, véc tơ chu ển vị nút và véc tơ l c nút tổng thể.
Phương trình tổng qt (3.13) có thể sử dụng để giải chuỗi bài tốn uốn, ph n tích dao động riêng,
ph n tích ổn định. Các phương trình đó có thể giải sau khi áp đặt điều kiện biên của hệ kết cấu.
3.2.5. Tích phân số
Trình bà cách th c hiện tích ph n số nhằm tính tốn ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình
học, ma trận khối lượng và véc tơ l c nút phần tử.
3.2.6. Điều kiện biên
Một số dạng điều kiện biên cho các cạnh của tấm chữ nhật FGM bao gồm:


12
- Biên ngàm (C): Tại x = 0; a và y = 0; b:
u0i  v0i   xi   yi  w0i  w0, xi  w0, yi   zi   z , xi
  z , yi  w0*i  w0,* xi  w0,* yi   zi*   z*, xi   z*, yi  0

- Biên khớp (S):

Tại x = 0; a:
v0i   yi  w0i  w0, yi   zi   z , yi  w0*i  w0,* yi   zi*   z*, yi ;
Tại y = 0; b:
u0i   xi  w0i  w0, xi   zi   z , xi  w0*i  w0,* xi   zi*   z*, xi
- Biên t do (F): Tại x = 0; a và y = 0; b:
u0i  v0i   xi   yi  w0i  w0, xi  w0, yi   zi   z , xi
  z , yi  w0*i  w0,* xi  w0,* yi   zi*   z*, xi   z*, yi  0

(3.14)

(3.15.1)
(3.15.2)

(3.16)

3.2.7. Sơ đ khối c a chương trình tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Từ các biểu thức quan hệ và hệ phương trình chu ển động đã được thiết lập ở trên, chương trình tính
viết trên nền Matlab được viết nhằm kiểm chứng các bài tốn tu ến tính cho tấm chữ nhật P-FGM với một số
điều kiện biên khác nhau. Sơ đồ thuật toán để giải các bài toán sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn được
trình bày trong luận án.
3.3. Ví dụ kiểm chứng thuật tốn và chƣơng t ình phần tử hữu h n
Nhằm kiểm chứng mơ hình và thuật tốn phần tử hữu hạn theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám
ẩn chuyển vị, luận án đã th c hiện các bài toán sau:
3.3.1. Kiểm chứng bài toán uốn
Bài toán 1: Kiểm chứng độ võng, ứng suất cho tấm đẳng hướng cho hai trường hợp điều kiện biên:
ngàm 4 cạnh (CCCC) và khớp 4 cạnh (SSSS). Các kết quả của luận án được so sánh với Civalek [3], Liew và
cộng s [7].
Bài toán 2: Kiểm chứng độ võng cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-1) cho hai trường hợp điều kiện biên:
ngàm 4 cạnh (CCCC) và khớp 4 cạnh (SSSS). Các kết quả của luận án được so sánh với Gilhoole và cộng
s [4], Nguyen- uan và cộng s [9], Lee và cộng s [6]; Thai và Choi [14].

3.3.2. Kiểm chứng bài toán ổn định
Bài toán 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm đẳng hướng điều kiện biên SSSS. Các kết quả tính
tốn của luận án được so sánh với Uymaz và Aydogdu [19].
Bài toán 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho tấm P-FGM (Al/SiC). Các kết quả của luận án được so
sánh với Thai và Choi [13], Mohammadi và cộng s [8], Bodaghi và Saidi [2].
3.3.3. Kiểm chứng bài toán dao động riêng
Kiểm chứng tần số dao động riêng cơ bản không thứ ngu ên ˆ cho tấm P-FGM (Al/ZrO2-2) cho ba
trường hợp điều kiện biên: SSSS, SCSC, CCCC. Các kết quả của luận án được kiểm chứng với U maz và
Aydogdu [18].
3.4. Kết luận chƣơng 3
Các kết quả chính mà chương 3 đã th c hiện bao gồm:
1. Xây d ng mơ hình phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị cho
tấm chữ nhật FGM, trên cơ sở đó thiết lập phương trình phần tử hữu hạn để giải các bài tốn tuyến tính cho
phân tích ứng xử cơ học của tấm.
2. Viết chương trình tính tốn số trên nền Matlab: Lời giải phần tử hữu hạn cho tấm chữ nhật FGM
với các dạng điều kiện biên đã được xây d ng (các kết quả chính được thể hiện ở bài báo số 5 trong danh
mục các công trình khoa học đã cơng bố của tác giả).
3. Đã th c hiện các ví dụ kiểm chứng cho ba bài tốn phân tích tuyến tính: uốn, ổn định và dao động
riêng của tấm chữ nhật FGM.
Có thể thấy rằng việc xây dựng lời giải phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám
ẩn chuyển vị cho kết quả tốt và phù hợp với các kết quả 3D, các mơ hình ESL cũng như với lời giải giải tích
trong trường hợp điều kiện biên khớp 4 cạnh (SSSS).
CHƢƠNG 4


13
KH O SÁT SỐ
4.1. Mở đầu
Trong chương nà , luận án sử dụng bộ chương trình t viết để khảo sát ảnh hưởng của các tham số
vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích), tham số kích thước hình học, điều kiện biên đến độ võng, các thành phần ứng

suất, tải trọng tới hạn và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGM có chiều dà khơng đổi sử dụng đồng
thời 2 phương pháp: giải tích và phần tử hữu hạn.
Trong các khảo sát tiếp theo, tấm dày chữ nhật (Hình 2.2) bằng vật liệu P-FGM với các vật liệu
thành phần Al/Al2O3-1 được sử dụng. Mô đun đàn hồi, hệ số Poisson, khối lượng riêng của kim loại (Al): Em
= 70 GPa, νm = 0.3, ρm = 2702 kg/m3; của gốm (Al2O3-1): Ec = 380 GPa, νm = 0.3, ρm = 3800 kg/m3
Ba dạng bài toán dưới đ sẽ lần lượt được th c hiện:
 Phân tích ứng xử uốn của tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM;
 Phân tích ổn định tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM chịu nén đều trên các cạnh;
 Ph n tích dao động riêng tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM.
4.2. Ph n tích tĩnh
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q0  104 N/m2 tác
dụng lên bề mặt trên tấm (Hình 2.3).
Để thuận tiện, các kết quả số về độ võng, ứng suất được thể hiện dưới dạng không thứ ngu ên dưới
đ :
E a b 
1
1
w( z )  c w  , , z  ,  x ( z )   x  a0 , b0 , z  ,  y ( z )   y  a0 , b0 , z  ,
q0 a  2 2 
q0
q0

 xy ( z ) 

1
1
1
 xy  a1 , b1 , z  , xz ( z )   xz  a1 , b0 , z  , yz ( z )   yz  a0 , b1 , z  ;
q0
q0

q0

E a b 
1
h
1
h
1


w  c w  , ,0  , x   x  a0 , b0 ,  , xy   xy  a1 , b1 ,  , xz   xz  a1 , b0 ,0  .
q0 a  2 2 
q0 
2
q0 
2
q0
a
b
a
b
a0   25  0  , b0   25  0  ; a1  1  0  , b1  1  0  ;
48
48
48
48
trong đó: 0  0  0.3399810436 là tọa độ của điểm Gauss trong hệ tọa độ t nhiên.

(4.1)

4.2.1. Khảo sát biến thiên c a độ võng, ứng suất tại một điểm theo phương chiều dày
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, h/a = 0.2, b/a = 2.
Biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên
 x , y , xy , xz , yz của tấm dọc theo chiều dày tấm (z/h = -0.5 ÷ 0.5) với 5 giá trị khác nhau của chỉ số tỷ lệ
thể tích p (p = 0, 0.5, 1, 2, 5) được tính tốn và thể hiện qua các đồ thị trên Hình 4.1.
Các đồ thị biểu diễn s biến thiên của w và  x , y , xy , xz , yz theo chiều dà tấm với hai phương
pháp: giải tích (GT) và phần tử hữu hạn (PTHH) rất gần nhau, điều nà khẳng định thêm độ tin cậ của mơ hình
và thuật tốn. Quan sát các đồ thị nà ta thấ :
 Độ võng w tha đổi phi tu ến theo chiều cao tấm, tu nhiên s tha đổi không nhiều; độ võng ở mặt
dưới nhỏ hơn ở mặt trên; khi p tăng, tính phi tu ến của độ võng càng rõ rệt, độ võng không thứ
ngu ên tăng do lượng ceramic trong vật liệu FGM giảm;
 Các ứng suất màng  x , y , xy tha đổi tu ến tính và bằng khơng ở mặt trung bình khi p = 0 (vật



liệu ceramic đẳng hướng), tha đổi phi tu ến khi p ≠ 0 và điểm có ứng suất bằng khơng khơng nằm
trên mặt trung bình và dịch chu ển về phía bề mặt giàu ceramic;
Các ứng suất cắt ngang  xz , yz tha đổi phi tu ến theo chiều cao tấm, không đổi dấu, triệt tiêu ở
mặt trên và dưới; đạt c c trị ở mặt trung bình khi p = 0, dịch chu ển khỏi mặt trung bình khi p ≠ 0.


14

w

x

y

 xy

 xz

 yz

Hình 4.1. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày của tấm chữ nhật
FGM
4.2.2. Khảo sát ảnh hưởng c a chỉ số tỷ lệ thể tích p
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, h/a = 0.2, b/a = 2.
Độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz của tấm chữ
nhật FGM với các giá trị khác nhau của chỉ số tỷ lệ thể tích p tính tốn bằng nghiệm giải tích và nghiệm
PTHH được thể hiện trên Bảng 4.1. Các kết quả số cho thấy lời giải phần tử hữu hạn cho kết quả sát với lời
giải giải tích (sai số lớn nhất là 1.7436%).
Bảng 4.1. Độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các giá trị p
khác nhau
Phương pháp
p
0
1
2
5
10
GT
w
15.3946
30.5606
39.5501
48.5904
54.1601
PTHH

15.3982
30.5660
39.5582
48.6033
54.1763
Sai số (%)
0.0231
0.0177
0.0204
0.0266
0.0298
GT
x
15.5272
24.0255
28.1121
33.0255
39.4227
PTHH
15.5973
24.1199
28.2192
33.1531
39.5736
Sai số (%)
0.4515
0.3928
0.3811
0.3863
0.3827

GT
 xy
4.4726
3.8815
3.4631
3.6729
3.7531
PTHH
4.4542
3.8726
3.4538
3.6613
3.7417
Sai số (%)
-0.4118
-0.2305
-0.2679
-0.3182
-0.3049
GT
 xz
3.3409
3.3248
3.0383
2.6771
2.9388
PTHH
3.3377
3.3140
3.0266

2.6704
2.9344
Sai số (%)
-0.0974
-0.3232
-0.3854
-0.2527
-0.1495
Biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên
 x , xy , xz theo chỉ số tỷ lệ thể tích p được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.2. Quan sát các đồ thị này ta thấy,
khi p tăng:
 Độ võng w và ứng suất  x tha đổi khá nhiều và đều tăng, giá trị của chúng tăng nhanh trong
khoảng p = 0 ÷ 2, sau đó tốc độ tăng chậm dần; như vậ chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi tấm là
gốm thuần nhất, lớn nhất khi tấm chuyển sang kim loại thuần nhất;
 Ứng suất  xy cũng tha đổi khá ít, ban đầu tăng nhẹ trong khoảng p = 0 ÷ 0.2, đạt giá trị lớn nhất khi
p  0.2, sau đó giảm và đạt c c tiểu tại p  2 , rồi tăng lại với tốc độ tăng chậm;


15
Ứng suất  xz biến đổi tương t như  xy , tăng trong khoảng p = 0 ÷ 0.5, sau đó giảm trong khoảng p



= 0.5 ÷ 5, rồi lại tăng dần với tốc độ tăng chậm,  xz đạt giá trị lớn nhất khi p  0.5 và đạt giá trị
nhỏ nhất khi p  5.

w

x

 xy

 xz

Hình 4.2. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM theo chỉ
số tỷ lệ thể tích p
4.2.3. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước tấm h/a
Xét tấm vng bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = b = 1m.
Biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất màng không thứ nguyên
 x , y , xy theo tỷ số h/a thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.3. Quan sát các đồ thị này ta thấy: khi h/a tăng có
nghĩa là tấm càng dày, độ võng w và các thành phần ứng suất màng uốn  x , y , xy giảm khá nhiều và giảm
nhanh trong khoảng h/a = 0.05 ÷ 0.1, sau đó tốc độ giảm chậm dần khi tấm đã đạt độ dày nhất định.

w

x

 xy

 xz

Hình 4.3. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông FGM
theo tỷ số h/a


16
Biến thiên của các thành phần ứng suất cắt ngang không thứ nguyên  xz theo tỷ số h/a được thể hiện
qua đồ thị trên Hình 4.3. Quan sát đồ thị này ta thấy: khi h/a tăng (tấm càng dày), các thành phần ứng suất
cắt ngang giảm, tu nhiên lượng tha đổi không nhiều.
4.2.4. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a

Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = 1m, h/a = 0.2.

w

x

 xy

 xz

Hình 4.4. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM
theo tỷ số b/a
Hình 4.4 biểu diễn s biến thiên của độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất
không thứ nguyên  x , xy , xz theo tỷ số b/a. Quan sát các đồ thị này ta thấy, khi b/a tăng: Độ võng w và các
thành phần ứng suất  x , xy , xz tha đổi phi tu ến, tăng nhanh trong khoảng b/a = 0.5 ÷ 2, sau đó tốc độ tăng
chậm dần, ứng suất  xy gần như không tha đổi khi b/a ≥ 2.
4.2.5. Khảo sát ảnh hưởng c a điều kiện biên

w

x

 xy

 xz

Hình 4.5a. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các
điều kiện biên và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau

17
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM, các tham số hình học và vật liệu được giữ ngu ên như các
bài tốn đã trình bà ở phần 4.2.2-4.2.4. Bốn dạng điều kiện biên: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC sẽ được khảo
sát.
Biến thiên độ võng không thứ nguyên w và các thành phần ứng suất không thứ nguyên  x , xy , xz với 4
dạng điều kiện biên khác nhau: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC sử dụng lời giải phần tử hữu hạn, được tính tốn
và thể hiện bằng các đồ thị trên Hình 4.5a-4.5c. Quan sát các đồ thị này ta thấy ảnh hưởng của điều kiện biên
đến các đại lượng nghiên cứu là rõ rệt, phản ánh đúng tư du kỹ thuật.

w

x

 xy

 xz

Hình 4.5b. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm vuông FGM với các
điều kiện biên và tỷ số h/a khác nhau

w

 xy

x

 xz

Hình 4.5c. Biến thiên độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm chữ nhật FGM với các
điều kiện biên và tỷ số b/a khác nhau

4.2.6. Nhận xét chung
 Với vật liệu P-FGM chỉ số tỷ lệ thể tích p biến thiên làm tha đổi độ cứng kết cấu tấm do tha
đổi tỷ phần thể tích gốm/kim loại. Khi p ≠ 0, mặt trung hịa khơng trùng với mặt trung bình, biến
thiên các thành phần ứng suất theo tọa độ chiều dà tấm là phi tu ến. Thành phần ứng suất cắt
ngang thỏa mãn điều kiện bằng không tại mặt trên và dưới của tấm;


18


Khi h/a tăng, độ võng không thứ ngu ên w và các thành phần ứng suất không thứ ngu ên
 x , xy , xz giảm phi tu ến với quy luật khác nhau với từng điều kiện biên cụ thể; giảm rõ rệt nhất

trong khoảng h/a ≤ 0,1 sau đó chậm dần;
Khi b/a tăng, độ võng khơng thứ ngu ên w cũng như các thành phần ứng suất tha đổi đáng kể do
tính chất làm việc hai chiều dần chu ển thành một chiều.
 Điều kiện biên ảnh hưởng không những đến trị số của các đại lượng khảo sát mà còn làm tha đổi
qu luật biến thiên của chúng.
4.3. Ph n tích ổn định
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với các vật liệu thành phần Al/Al2O3-1. Tấm chịu tác dụng
của tải trọng nén đều trên các cạnh theo hai phương: N x0   1 Nmn , N y0   2 Nmn , N xy0  0 (Hình 2.4).


Để thuận tiện, giá trị của tải trọng tới hạn được thể hiện dưới dạng không thứ ngu ên dưới đ
12 1  c 2
3
Nth  10
Nth
 2 aEc





[15]:
(4.2)

4.3.1. Khảo sát ảnh hưởng c a chỉ số tỷ lệ thể tích p
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với a = 1m, b/a = 2, h/a = 0.1. Tấm chịu
tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh trong hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo hai
phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1).
p  0,  1  0,  2  1

p  0,  1  1,  2  1

p  5,  1  0,  2  1

p  5,  1  1,  2  1

Hình 4.6a. Dạng mất ổn định của tấm chữ nhật FGM với các giá trị p khác nhau

 1  0,  2  1

N th

 1  1,  2  1

N th

Hình 4.6b. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th của chữ nhật FGM theo chỉ số tỷ lệ thể tích p

Hình 4.6a thể hiện một số mode vồng cho 4 trường hợp của chỉ số tỷ lệ thể tích (p = 0, 1, 2, 5). Biến
thiên của tải trọng tới hạn N th theo chỉ số tỷ lệ thể tích được biểu diễn qua đồ thị trên Hình 4.6b.
Quan sát các dạng mất ổn định trên Hình 4.6a và các đồ thị biến thiên trên Hình 4.6b ta thấy, khi p
tăng đồng nghĩa với tăng hàm lượng kim loại trong vật liệu:


19


Với cả hai trường hợp tải trọng nén, biến thiên của chỉ số tỷ lệ thể tích p khơng làm tha đổi
mode vồng của tấm;
 Tải trọng tới hạn N th giảm trong cả hai trường hợp đặt tải, giảm nhanh trong khoảng p = 0 ÷ 2,
sau đó tốc độ giảm chậm dần và gần như không tha đổi khi p đủ lớn (xấp xỉ giá trị p = 10).
4.3.2. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước tấm h/a
Xét tấm vuông bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = b = 1m. Tấm chịu tác dụng
của tải trọng nén đều trên các cạnh trong hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo 2 phương x, y
(γ1 = 1, γ2 = 1).

 1  0,  2  1

N th

 1  1,  2  1

N th

Hình 4.7a. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th của tấm vuông FGM theo tỷ số h/a
Biến thiên của tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th theo tỷ số h/a được biểu diễn qua đồ thị trên
Hình 4.7a, một số mode vồng được minh họa trên Hình 4.7b.
Quan sát các đồ thị trên Hình 4.7a và dạng mất ổn định trên Hình 4.7b ta thấy, khi h/a tăng:

 Mode vồng cho cả hai trường hợp đặt tải trọng nén không đổi, điều này chứng tỏ dạng mất ổn
định không phụ thuộc vào tấm dày hay mỏng;
 Với cả hai trường hợp tải trọng nén, tải trọng tới hạn N th tăng, h/a càng lớn, tấm càng dà thì tải
trọng tới hạn N th tăng càng nhanh.
h/a  0.05,  1  0,  2  1

h/a  0.2,  1  0,  2  1

h/a  0.05,  1  1,  2  1

h/a  0.2,  1  1,  2  1

Hình 4.7b. Dạng mất ổn định của tấm vuông FGM với các tỷ số h/a khác nhau
4.3.3. Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM t a khớp trên chu vi với p = 3, a = 1m, h/a = 0.1. Tấm chịu
tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh của tấm theo 1 phương và hai phương: theo phương y (γ1 = 0, γ2
= 1); theo hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1).


20

b/a  0.5,  1  0,  2  1

b/a  0.5,  1  1,  2  1

b/a  3,  1  0,  2  1

b/a  3,  1  1,  2  1

Hình 4.8a. Dạng mất ổn định của tấm chữ nhật FGM với các tỷ số b/a khác nhau

Hình 4.8a biểu diễn một số mode vồng mất ổn định cho 4 trường hợp của tỷ số kích thước cạnh (b/a
= 0.5, 1, 2, 3); biến thiên của tải trọng tới hạn N th theo tỷ số b/a được thể hiện trên Hình 4.8b.
Quan sát các dạng mất ổn định trên Hình 4.8a và các đồ thị trên Hình 4.8b ta thấy, khi b/a tăng:
 Mode vồng cho trường hợp tải trọng nén đều theo hai phương không đổi, trong khi trường hợp
tải trọng nén đều theo 1 phương (phương y) có s tha đổi; điều này chứng tỏ kích thước cạnh
của tấm phát triển theo phương tải trọng nén có ảnh hưởng lớn đến dạng mất ổn định trong
trường hợp tấm chịu nén theo 1 phương;
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều theo phương y: tải trọng tới hạn N th
biến đổi phức tạp, biến thiên phi tu ến trong từng khoảng giá trị của tỷ số b/a;
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều theo 2 phương x, y: tải trọng tới hạn N th
liên tục giảm, giảm nhanh trong khoảng b/a = 0.5 ÷ 1.5, sau đó tốc độ giảm chậm dần.

 1  0,  2  1

N th

 1  1,  2  1

N th

Hình 4.8b. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th của tấm chữ nhật FGM theo tỷ số b/a
4.3.4. Khảo sát ảnh hưởng c a điều kiện biên
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM cho 4 trường hợp điều kiện biên: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC.
Các tham số hình học và vật liệu được giữ ngu ên như các bài tốn đã trình bà ở phần 4.3.1-4.3.3. Tấm
chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh trong hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo
hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1).
Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th với 4 dạng điều kiện biên khác nhau: SCSC,
SSSC, SSSS, SFSC sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn được tính tốn và thể hiện qua các đồ thị trên
hình (4.9a-c). Quan sát các đồ thị này ta thấy:

21
1) Tải trọng tới hạn N th giảm phi tu ến theo chỉ số tỷ lệ thể tích p và tăng phi tu ến theo tỉ số a/h với
các điều kiện biên và các dạng tải trọng nén khác nhau; điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn N th lớn nhất, sau
đó đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến là điều kiện biên SSSS, cuối cùng điều kiện biên SFSC;
2) Đối với tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM, khi b/a tăng: điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn
N th lớn nhất, sau đó đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến là điều kiện biên SSSS, cuối cùng điều kiện biên SFSC;
ngồi ra có s khác nhau giữa hai dạng tải trọng nén:
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh theo phương y: tải trọng
tới hạn N th của tấm tha đổi phức tạp với cả 4 dạng điều kiện biên, xuất hiện các mode vồng khác
nhau;
 Với trường hợp tấm chịu tác dụng của tải trọng nén đều trên các cạnh theo 2 phương x, y: tải
trọng tới hạn N th của tấm biến đổi phức tạp với trường hợp điều kiện biên SCSC, xuất hiện nhiều
dạng mode vồng khác nhau; tải trọng tới hạn N th giảm với 3 trường hợp điều kiện biên SSSC, SSSS
và SFSC;

 1  0,  2  1

N th

 1  1,  2  1

N th

Hình 4.9a. Biến thiên l c nén tới hạn không thứ nguyên N th của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên
và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau

 1  0,  2  1

 1  1,  2  1

N th

N th

Hình 4.9b. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th của tấm vuông FGM với các điều kiện biên và
tỷ số h/a khác nhau

 1  1,  2  1

N th

 1  0,  2  1

N th

Hình 4.9c. Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên
và tỷ số b/a khác nhau
4.3.5. Nhận xét chung
 Khi p tăng (tăng hàm lượng kim loại), mode vồng của tấm không đổi, tải trọng tới hạn không thứ
nguyên N th giảm với cả 2 trường hợp tải trọng nén và tất cả các dạng điều kiện biên;


22





Khi h/a tăng (tấm dày lên), mode vồng của tấm không đổi, tải trọng tới hạn không thứ nguyên

N th tăng với cả 2 trường hợp tải trọng nén và tất cả các dạng điều kiện biên;
Khi b/a tăng (tăng kích thước theo phương y của tấm chữ nhật), dạng mất ổn định có s tha đổi,
tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th biến thiên với quy luật phức tạp với cả 2 trường hợp tải
trọng nén và phụ thuộc tr c tiếp vào điều kiện biên;
Điều kiện biên có ảnh hưởng tr c tiếp đến dạng mất ổn định; về giá trị của tải trọng N th , điều

kiện biên SCSC có kết quả tải trọng N th lớn nhất, tiếp theo đến các điều kiện biên SSSC, SSSS và
SFSC.
4.4. Ph n tích dao động iêng
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với các vật liệu thành phần Al/Al2O3-1. Các dạng điều kiện
biên được tính tốn khảo sát bao gồm: điều kiện biên SSSS sử dụng lời giải giải tích và 4 dạng điều kiện biên
khác nhau: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
Để thuận tiện, các kết quả khảo sát tần số dao động riêng cơ bản được thể hiện dưới dạng không thứ
ngu ên dưới đ [15]:

  cb a

c
Ec

.

(4.3)

4.4.1. Khảo sát ảnh hưởng chỉ số tỷ lệ thể tích p cho một số điều kiện biên
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu P-FGM với a = 1m, h/a = 0.1, b/a = 2.



Hình 4.10a. Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  của tấm chữ nhật FGM

với các điều kiện biên và chỉ số tỷ lệ thể tích p khác nhau
SCSC, Mode 1

SCSC, Mode 2

SCSC,Mode 3

SFSC, Mode 1

SFSC,Mode 2

SFSC,Mode 3

Hình 4.10b. Một số mode dao động đầu tiên của tấm chữ nhật FGM với các điều kiện biên khác nhau
Biến thiên tần số dao động riêng cơ bản không thứ nguyên  theo chỉ số tỷ lệ thể tích p biểu diễn
qua đồ thị trên Hình 4.10a. Quan sát đồ thị này ta thấy, khi p tăng:
 Tần số  của tấm giảm với cả 4 dạng điều kiện biên, giảm nhanh trong khoảng p = 0 ÷ 2, sau đó
tốc độ giảm chậm dần và tha đổi rất ít khi p đủ lớn (gần giá trị p = 10),
 Điều kiện biên SFSC có tần số  gần như khơng đổi khi p ≥ 3;