Tóm tắt Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Mô phỏng dao động của tấm và ống na nô đơn lớp

1

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Công nghệ về vật liệu na nô được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây. Đã
có nhiều công trình khoa học về công nghệ na nô được công bố và ứng dụng thành
công. Các vật liệu na nô cấu trúc lục giác có nhiều tính chất đặc biệt như dẫn nhiệt,
dẫn điện tốt, có độ cứng rất lớn. Do có những tính chất đặc biệt nên vật liệu này ứng
dụng cho nhiều lĩnh vực quan trọng như tích trữ năng lượng, pin mặt trời, transistors,
xúc tác, cảm biến, vật liệu polymer tổ hợp…Việc xác định đặc trưng dao động như
tần số, dạng dao động riêng của chúng là rất cần thiết. Do đó nghiên cứu sinh đã
chọn hướng nghiên cứu tính toán, mô phỏng dao động của vật liệu na nô với tên đề
tài là: “MÔ PHỎNG DAO ĐỘNG CỦA TẤM VÀ ỐNG NA NÔ ĐƠN LỚP”
Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Mô hình hóa và mô phỏng số tìm đặc trưng dao động tự do (tần số và dạng dao
động riêng) tuyến tính, không cản của các tấm và ống vật liệu na nô đơn lớp cấu
trúc lục giác. Sử dụng hàm thế điều hòa (tuyến tính) để thiết lập ma trận độ cứng
của các kết cấu. Trong đó, có các phân tích và khảo sát ảnh hưởng của kích thước
như tỉ lệ cạnh đối với tấm, chiều dài và đường kính đối với ống. Ảnh hưởng của các
điều kiện biên khác nhau đến tần số dao động tự do của tấm và ống na nô cũng được
nghiên cứu sinh khảo sát.
Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp mô phỏng số trên máy tính là một lựa chọn tối ưu và ngày càng
chứng minh được tính hiệu quả. Trong luận án này, nghiên cứu sinh cùng thầy hướng
dẫn đã ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) để khảo sát đặc
trưng về dao động của các cấu trúc từ vật liệu na nô. Kết quả thu được sẽ được kiểm
chứng bằng cách so sánh với các phương pháp MD, DFT và nhiều phương pháp tin
cậy khác. Quá trình tính toán cũng như mô phỏng được nghiên cứu sinh lập trình
trên phần mềm Matlab.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Việc xác định đặc trưng dao động như tần số, dạng dao động riêng của chúng là

rất cần thiết trước khi triển khai đưa vào thực tế sản xuất. Nó giúp tiết kiệm chi phí
cho quá trình thiết kế, sản xuất thử nghiệm và sản xuất hàng loạt các vật liệu mới
này. Kết quả của luận án có ý nghĩa quan trọng đối với khoa học kỹ thuật, đối với
các nhà sản xuất và ứng dụng các vật liệu na nô.
Bố cục của luận án:
Luận án bao gồm phần mở đầu, 5 chương, kết luận và hướng phát triển của luận án,
tài liệu tham khảo và phụ lục.


2

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ TẤM VÀ ỐNG NA NÔ CÓ CẤU TRÚC LỤC GIÁC
Hình chiếu bằng

Hình chiếu cạnh

a1 a2

lo

120o

(a)

a1 a2

y, Armchair

1.1 Giới thiệu
Năm 1991, Sumio Iijima phát hiện ra

ống cácbon na nô đa lớp (MWCNTs)
trong khi đang tiến hành khảo sát
fullerene C60 (Iijima 1991). Đến năm
1993 Iijima và cộng sự tiếp tục báo cáo
việc tổng hợp được ống cácbon na nô đơn
lớp (SWCNT) với đường kính 1 nm. Năm
2004, graphene, tấm graphite đơn lớp đầu
tiên được bóc tách bởi hai nhà khoa học
Kostya Novoselov và Andre Geim. Đến
2010 họ đã được trao giải Nobel Vật lý
cho những đóng góp của họ trong việc tạo
ra và tiến hành thực nghiệm trên tấm
graphene.
Ngoài graphene và CNT, cho đến nay đã
có thêm nhiều vật liệu na nô có cấu trúc
dạng lục giác tương tự đã được dự đoán
tồn tại trên lý thuyết. Trong đó có tấm và
ống BN đã được tổng hợp trên thực tế.
Mới đây, năm 2012 tấm SiC với độ dày
0,5–1,5 nm cũng được tạo ra ở quy mô
phòng thí nghiệm.
Sau khi được phát hiện, các vật liệu
trên cần được tìm hiểu, dự đoán các đặc
trưng cơ, lý, hóa để phục vụ cho sản xuất
và ứng dụng chúng.

lo

θo

x, Zigzag

(b)

∆Low-buckled

Hình 1.2 Hình chiếu bằng và hình
chiếu cạnh của tấm vật liệu na nô cấu
trúc lục giác: a) tấm phẳng với góc
liên kết luôn là θ=120o; b) tấm lowbuckled với góc liên kết θ<120o.
(n,0) Zigzag tube

(n,n) Armchair tube

Ch

1.2 Cấu trúc hình học tấm và ống vật
na
liệu na nô dạng lục giác
φ
ma
Tấm graphene cũng như các tấm vật liệu
a
a
na nô có cấu trúc dạng lục giác khác chứa
y
các nguyên tử nằm tại đỉnh của các hình
Zigzag
lục giác xếp khít với nhau tạo nên dạng
x

lưới như hình tổ ong (hình 1.2). Có hai Hình 1.3 Thông số hình học tấm vật
dạng tấm là tấm phẳng (các nguyên tử liệu na nô cấu trúc hình lục giác.
cùng nằm trên một mặt phẳng, hình 1.2a)
Armchair

1

2

1

2


3

và tấm low-buckled (các nguyên tử nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau,
hình 1.2b). Như vậy kích thước hình học một tấm vật liệu na nô dạng lục giác được
xác định bởi hai thông số độc lập là chiều dài liên kết ban đầu lo và khoảng  Low-buckled
. Từ đó rút ra được các thông số góc liên kết θ và độ dài véc tơ đơn vị a1 , a2 như sau:

(

a = a1 = a2 = 3 lo2 −  2Low-buckled
 3 2Low-buckled − lo2 
 = arccos 

2lo2



)

(1.1)
(1.2)

Tấm phẳng có  Low-buckled = 0 , nên theo
công thức (1.3), góc liên kết θ luôn
bằng 120o. Còn góc liên kết của tấm
Hình 1.4 Mô phỏng quá trình cuộn tấm
low-buckled sẽ luôn nhỏ hơn 120o.
thành ống vật liệu na nô
Năm 1995, Dresselhaus và cộng sự
đưa ra một hệ thống các tham số biểu diễn hình học để mô tả cấu trúc tấm graphene
trước khi được cuộn thành ống SWCNT và sau này được dùng cho các vật liệu na
nô cấu trúc lưới lục giác khác (hình 1.3). Khi đó, một ống na nô xem như được tạo
thành bằng cách cuộn một tấm vật liệu na nô theo phương véc tơ Ch như sau:
C h = OA = na1 + ma2

(1.3)

Trong đó cặp chỉ số ( n, m ) là số bước dọc theo liên kết dích dắc của lưới lục giác
và a1 , a2 là các véc tơ đơn vị. Véctơ

Ch

xác định độ xoắn của ống. Khi

phương zigzag ta có ống dạng zigzag ( n, 0 ) ,

Ch

Ch

trùng với

trùng với phương armchair ta có ống

dạng armchair ( n, n ) , còn lại là các ống dạng chiral.
Như vậy, một ống na nô được xác định về kích thước khi biết các thông số là cặp
chỉ số ( n, m ) và chiều dài ống L.
1.3 Tổng quan về nghiên cứu dao động tự do của kết cấu na nô lục giác
Hashemnia và cs và Ávila và cs đã phân tích dao động của tấm graphene dựa trên
cấu trúc na nô sử dụng mô phỏng cơ học phân tử. Gupta và Batra và cs đã tính toán
tần số dao động tự do của tấm graphene sử dụng mô hình liên tục. Arghavan và
Singh sử dụng mô hình cấu trúc nguyên tử để xác định tần số riêng và dạng dao
động riêng của tấm graphene có hình dạng khác nhau, chịu những điều kiện biên
khác nhau. Mohammadi và cs đã nghiên cứu ảnh hưởng của tải trọng ban đầu trong
mặt phẳng lên tần số dao động của tấm graphene tròn thông qua lý thuyết tấm liên
tục không cục bộ. Murmu và cs đã nghiên cứu dao động của tấm graphene dưới ảnh
hưởng của từ trường. Sử dụng phương pháp vi phân cầu phương và lý thuyết áp điện
Arani và cs đã khảo sát dao động phi tuyến của tấm BN. S Ajori cùng cộng sự mô
phỏng dao động của ống CNT sử dụng phương pháp động lực học phân tử (MD).


4

Ansari cùng đồng sự sử dụng phương pháp động lực học phân tử (MD) khảo sát
dao động tự do xoắn của ống BN
Nhìn chung, các vật liệu na nô mới được phát hiện gần đây vẫn chưa có nhiều

nghiên cứu về dao động của chúng. Chưa có nghiên cứu nào sử dụng phương pháp
AFEM để khảo sát dao động của tấm na nô lục giác.
1.4 Một số phương pháp tính toán vật liệu na nô
Những phương pháp thường được dùng để mô phỏng, tính toán đặc trưng của các
cấu trúc từ vật liệu na nô có thể được phân chia làm hai nhóm: nhóm tính toán ở cấp
độ electron và nhóm tính toán ở cấp độ nguyên tử. Trong đó, ở cấp độ electron thì
có phương pháp lý thuyết hàm mật độ (DFT), ở cấp độ nguyên tử thì có phương
pháp mô phỏng động lực phân tử (MD) là hai phương pháp chuẩn mực được sử
dụng nhiều trong các nghiên cứu lý thuyết hoá học, vật lý và khoa học vật liệu.
Nhiều nghiên cứu, phương pháp ra đời sau này thường lấy DFT và MD làm chuẩn
so sánh. Và ở luận án này, tác giả đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn nguyên
tử (AFEM) để sử dụng trong nghiên cứu.
AFEM đã được phát triển để phân tích các vật liệu cấu trúc na nô một cách hiệu
quả (Liu và cs 2004, Nasdala và cs 2005, Wang và cs 2006, Wackerfuß 2009,
Nasdala và cs 2010). Về cơ bản, AFEM là sự kết hợp của phương pháp mô phỏng
cấp độ nguyên tử và phương pháp phần tử hữu hạn. AFEM cho ta kết quả chính xác
như các phương pháp mô phỏng ở thang nguyên tử như MD đồng thời lại cho ra tốc
độ hội tụ nhanh hơn do AFEM sử dụng cả đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của
hàm thế khi tính toán cực tiểu hóa năng lượng tìm vị trí cân bằng của hệ, trong khi
MD chỉ sử dụng đạo hàm bậc nhất. Tác giả cùng người hướng dẫn nhận định đây là
phương pháp mới, còn nhiều điều có thể phát triển để áp dụng mô phỏng cho các
cấu trúc từ vật liệu na nô mới tìm ra.
CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM VÀ ỐNG NA NÔ SỬ DỤNG
MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN NGUYÊN TỬ

2.1 Cở sở lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử
2.1.1 Thiết lập và giải phương trình trong AFEM
Việc thiết lập và gải phương trình trong AFEM đã được trình bày trong các nghiên
cứu của Liu và cs năm 2004, Wackerfuß năm 2009 và Nguyễn Danh Trường năm
2015

Phương trình đặc trưng của AFEM: Ku = P ,
(2.5)
P=−

ET
r

o
r =r ( )

=f −

E
r

(2.6)
o
r =r( )

là lực của hệ ở trạng thái chưa cân bằng. P sẽ tiến tới 0 khi hệ tiến tới vị trí cân bằng
mới.


5
K=

 2 ET
rr

=

o
r =r( )

2 E
rr

(2.7)
o
r =r ( )

là ma trận độ cứng của hệ ở trạng thái cân bằng ban đầu.
2.1.2 Phần tử trong AFEM
Trong luận án này, tác giả đã sử dụng dạng phần tử được xây dựng dựa trên hàm
thế là phần tử biến dạng dài hai nút và phần tử biến dạng góc ba nút. Ưu điểm của
việc sử dụng dạng phần tử được xây dựng dựa trên hàm thế năng là thuận tiện cho
việc tính thế năng và thiết lập ma trận độ cứng phần tử. Hơn nữa, chỉ cần xây dựng
một lần duy nhất mô hình phần tử hữu hạn để mô phỏng cho nhiều vật liệu khác
nhau khi sử dụng chung một dạng hàm thế năng.
2.2 Mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử với hàm thế điều hòa
2.2.1 Thông số hàm thế điều hòa
Trong luận án này, hàm thế điều hòa được chọn cho mô phỏng tương tác giữa các
nguyên tử. Sử dụng hàm thế điều hòa để khảo sát dao động tự do là phù hợp do biến
biến dạng trong trường hợp này là rất nhỏ.
Bảng 2.1 Các hằng số lực và chiều dài liên kết ban đầu của các vật liệu
graphene, BN, SiC ở nhiệt độ không độ Kelvin.
e
e
l0
C212
C121

Cre
Nguyên Nguyên
Vật liệu

tử 1

tử 2

kcal/(mol.Å)

kcal/(mol.rad2)

kcal/(mol.rad2)

Å

Graphene

C

C

1051

195

195

1,42

BN

B

N

856

95

191

1,45

SiC

Si

C

447

155

105

1,77

Trong đó chiều dài liên kết ban đầu được lấy từ tài liệu tham khảo (Sahin và cs
2009); các hằng số lực của mô hình vật liệu graphene được tham khảo từ (Berinskii

và cs 2013), của vật liệu BN tham khảo từ (Jiang và cs 2011); hằng số lực biến dạng
góc trong mô hình vật liệu SiC được tham khảo từ tài liệu (Rappe và cs 1992) còn
hằng số lực biến dạng dài của SiC tham khảo từ tài liệu (Erhart và cs 2005).
2.2.2 Mô hình cơ học phân tử
Bỏ qua các thành phần thế
năng tương tác đến từ biến
dạng xoắn, đảo liên kết, lực
van der Waals và tương tác
điện từ, thế năng của hệ
nguyên tử có thể được biểu
diễn như sau:
E = Er + E
(2.10c)

j

i

a)

j

i

(b)

k

Hình 2.5 Mô hình hai kiểu phần tử: a) phần tử biến
dạng dài lij và biến dạng dài  lij ; b) phần tử biến

dạng góc ijk và biến dạng góc ijk .


6

Trong đó Er là thế năng biến dạng dài và E là thế năng biến dạng góc. Ở biến
dạng nhỏ, chúng thường được mô tả bằng các hàm điều hòa như sau:

( )

2

,

1 N e
Cijk ijke

2 e =1

(

)

Er =

1 M e e
 Cr lij
2 e =1

E =

2

(2.11)
,

(2.12)

Trong đó, lije là biến dạng dài của liên kết thẳng thứ e giữa hai nguyên tử
ijke là biến dạng góc giữa hai liên kết thẳng ji và

jk

i

và j ,

(hình 2.5a). M và N tương ứng

e
là tổng số biến dạng dài và biến dạng góc. Cr và Cijke là các hằng số lực tương ứng

cho biến dạng dài và biến dạng góc. Với những tấm vật liệu cấu tạo bởi hai loại
nguyên tử sẽ có hai giá trị Cijke tương ứng phụ thuộc vào kiểu nguyên tử ở đỉnh của
góc có biến dạng. Trong hình 2.5b, nguyên tử i và k là cùng loại.
2.2.3 Ma trận độ cứng phần tử
Trong mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM), nguyên tử và chuyển vị
nguyên tử được coi là các nút và chuyển vị nút tương ứng. Phần tử biến dạng dài và
biến dạng góc được mô hình hóa thành bởi phần tử biến dạng dài hai nút và phần tử
biến dạng góc ba nút như trong hình 2.5. Cần lưu ý rằng trong trong các phần mềm

phần tử hữu hạn thì các phần tử lò xo dễ dàng mô tả phần tử biến dạng dài theo
phương trình (2.11). Trong khi đó, rất khó để mô tả phần tử biến dạng góc, xem ở
phương trình (2.12) do sự quay của các bond liên quan. Ở đây, năng lượng biến
dạng dài và biến dạng góc được mô tả thành đa thức bậc hai của chuyển vị của các
nguyên tử. Nó cho phép xây dựng một cách rõ ràng các ma trận độ cứng phần tử.
Khi đó thế năng biến dạng của một phần tử hai nút là:
2
1
Ere = Cre ( l eji ) .
2

(2.13)

Qua biến đổi ta có:
Ere =

Cre

2 ( l0 )

2

 xij ( q1 − q4 ) + yij ( q2 − q5 ) + zij ( q3 − q6 ) 

2

.

(2.18)

Đạo hàm bậc hai hàm thế năng được xác định từ phương trình (2.18) theo chuyển
vị nút cho ta được ma trận độ cứng của phần tử hai nút (Zienkiewicz và cs 2005):
k

r
mp

 2 Ere
=
, m, p = 1, 2...6.
qm q p

(2.19)

Lập luận tương tự, thế năng của một phần tử ba nút (hình 2.5b) có dạng:
2
1 e
(2.20)
Ee = Cijk
(ijke ) .
2

Qua biến đổi ta có:


7
Ee =

Cijke

2 ( l02 sin  0 )

2

( xij cos  0 + x jk ) ( q1 − q4 ) + ( yij cos  0 + y jk ) ( q2 − q5 ) + ( zij cos  0 + z jk ) ( q3 − q6 ) 


 + ( x jk cos  0 + xij ) ( q4 − q7 ) + ( y jk cos  0 + yij ) ( q5 − q8 ) + ( z jk cos  0 + zij ) ( q6 − q9 ) 



Ma trận độ cứng

kmp
=

k



(2.25)
của phần tử ba nút biến dạng góc được xác định như sau:

 E
, m, p = 1, 2...9.
qm q p
2

2

e

(2.26)

Như vậy, ma trận của phần tử hai nút và ba nút là k r và k  đã hoàn toàn xác định.
Chúng chỉ phụ thuộc vào tọa độ của các nguyên tử ở vị trí cân bằng ban đầu.
2.2.4 Ma trận độ cứng tổng thể
Phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) đã được triển khai và sử dụng
thành công để tính toán đặc trưng cơ học của các tấm graphene, BN và SiC trong
nghiên cứu gần đây. Trong AFEM, nguyên tử và chuyển vị của nguyên tử được coi
như các nút và chuyển vị nút tương ứng. Năng lượng tương tác giữa các nguyên tử
sẽ được xây dựng thông qua vị trí tọa độ của các nguyên tử (các nút). Sau đó ma
trận độ cứng K sẽ được tính toán bằng đạo hàm bậc hai của hàm năng lượng theo
tọa độ nút.
2.2.5 Ma trận khối lượng
Theo như Hand, Finch và Riley et al, động năng T của hệ được xác định như sau:
T=

N Atom

 2m ( q
i =1

1

i

2
3i − 2

+ q32i −1 + q32i )

(2.27)

Trong đó, mi là khối lượng của nguyên tử thứ i đặt ở vị trí của nó và q3i−2 , q3i−1 , q3i là
vận tốc của nguyên tử i, với i = 1 ÷ NAtom.
Phương trình (2.31) có thể được biểu diễn ở dạng ma trận như sau :
1
T = QT MQ
2

(2.28)

Trong đó, M(3NAtom, 3NAtom) là ma trận khối lượng của hệ nguyên tử. Như vậy:
M = diag m1 , m1 , m1 , m2 , m2 , m2 ..., mi , mi , mi ..., mN , mN , mN 
(2.29)
Atom

Atom

Atom

Q ( 3N Atom , 1) là ma trận chuyển vị của hệ.
Q ( 3N Atom , 1) =  q1 , q2 , q3 ..., q3i ,..., q3 NAtom 

T

(2.30)

trong đó, q3i-1 và q3i là chuyển vị tương ứng với hai bậc tự do của nút i.

2.2.6 Hệ phương trình cơ bản
Ta có phương trình dao động tự do không cản của hệ như sau:
MQ + KQ = 0

(2.31)

Nghiệm của phương trình có dạng:
Q ( t ) = ue jt
Thế (2.32) vào (2.31) ta có:

(2.32)

( − M + K ) u = 0, u  0
2

(2.33)

Giải phương trình (2.33) ta sẽ thu được tần số dao động tự do f = /(2), và dạng
dao động riêng u của hệ.


8

Việc thiết lập và giải phương trình nêu trên được nghiên cứu sinh lập trình trên
phần mềm Matlab.
CHƯƠNG 3 DAO ĐỘNG NGANG TỰ DO CỦA TẤM NA NÔ

Ly

y, Armchair

3.1 Giới thiệu
Phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử
(AFEM) phát triển trên hàm thế điều hòa được sử
dụng để khảo sát đặc trưng dao động ngang tự do
của các tấm vật liệu na nô là graphene, boron
nitride (BN) và silicon carbide (SiC). Tần số riêng
và dạng dao động riêng của tấm graphene, BN,
SiC được tính toán ở các điều kiện biên khác
x, Zigzag
nhau. Bên cạnh mô hình lý tưởng, ảnh hưởng của
Lx
khuyết tật mất nguyên tử và tỉ lệ kích thước tấm
cũng được nghiên cứu. Mô hình các tấm vật liệu
Atom style 1
Atom style 2
na nô lục giác được xây dựng như hình 3.1.
Hình 3.1 Mô hình tấm vật liệu na nô
nguyên tử loại 1 là Carbon, Boron và nguyên tử cấu trúc lục giác. Nó được gọi là tấm
Silicon trong các tấm Graphene, BN và SiC. Zigzag nếu Lx ≤ Ly và tấm armchair
Nguyên tử loại 2 là carbon, nitrogen và nguyên tử nếu Ly ≤ Lx.
carbon trong tấm tương ứng.
Điều kiện biên được ký hiệu như sau:
- BC1: Tất cả các cạch được ngàm.
- BC2: Cạnh trái và phải được ngàm.
- BC3: Cạnh trên và dưới được ngàm.
- BC4: Cạnh trái được ngàm.
- BC5: Cạnh dưới được ngàm.
Kết quả được bàn luận và so sánh với các kết quả đến từ các công trình nghiên
cứu đáng tin cậy trước đây như: Kết quả sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của

Arghavan và cộng sự, kết quả sử dụng mô hình liên tục tương đương của Gupta.
3.2 Kiểm nghiệm mô hình phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM)
Mục này đưa ra kết quả tần số riêng của các tấm graphene. Kết quả sẽ được so
sánh với những công trình nghiên cứu tin cậy đã được công bố của Arghavan, Singh,
công trình nghiên cứu của Arghavan cùng cs và công trình của Gupta cùng cs.
Đầu tiên, tác giả khảo sát 10 tần số riêng đầu tiên dao động tự do ngang của tấm
graphene với các kích thước khác nhau Lx × Ly như sau: 3,69 nm × 3,69 nm (558
nguyên tử), 30,0 nm × 30,6 nm (35424 nguyên tử) và 30,0 nm × 60,4 nm (69864
nguyên tử). Điều kiện biên trong trường hợp này là ngàm tất cả 4 cạnh (BC1). Kết
quả được đưa ra trong bảng 3.2


9
Bảng 3.2 So sánh tần số dao động riêng (GHz) của tấm graphene, điều kiện biên BC1.
Dạng
riêng

3,69 nm × 3,69 nm,

30,0 nm × 30,6 nm,

30,0 nm × 60,4 nm,

558 nguyên tử

35424 nguyên tử

69864 nguyên tử

[12]

AFEM

Sai
lệch, %

AFEM

Sai
lệch, % AFEM

1

3502,2

3473,8

-0,8

425,6

423,7

-0,4

302,7

295,9

-2,3

2
3
4

3503,8
4580,5
5220,4

3496p,7 -0,2
4441,1 -3,0
5164,8 -1,1

428,1
556,1
636,5

426,2
535,9
628,4

-0,4
-3,6
-1,3

376,1
420,3
426,6

378,1

413,8
424,4

0,5
-1,5
-0,5

5
6

5771,9
6282,6

5748,4
6159,6

-0,4
-2,0

705,8
764,6

703,7
740,3

-0,3
-3,2

489,5
527,1

476,3
510,3

-2,7
-3,2

7
8

6298,3
6336,2

6165,7
6412,3

-2,1
1,2

773,4
775,4

745,8
783,9

-3,6
1,1

572,4
581,2

564,3
571,9

-1,4
-1,6

9
10

7076,8
7161,2

7046,3
7082,2

-0,4
-1,1

868,6
873,9

860,3
863,6

-1,0
-1,2

611,9
684,8

600,1
664,5

-1,9
-3,0

[78]

[12]

[12]

Các sai lệch (%) xuất hiện trong bảng 3.2 là độ lệch giữa kết quả của phương pháp
AFEM với phương pháp sử dụng mô hình mạng lưới tinh thể của Arghavan và cộng
sự.
Tiếp theo, các tấm graphene hình chữ nhật tỉ lệ các cạnh xấp xỉ 10 (Lx/Ly ~ 10 cho
tấm armchair và Ly/Lx ~ 10 cho tấm zigzag) được khảo sát dưới điều kiện biên các
cạnh là tự do. Các tần số dao động dọc trục trong mặt phẳng fA (cm-1) và tần số dao
động uốn trong mặt phẳng fB (cm-1) của tấm graphene chữ nhật thu được bởi phương
pháp AFEM cũng được so sánh với những kết quả của Gupta và Batra khi sử dụng
mô hình liên tục tương đương (bảng 3.3). Các tần số dùng đơn vị cm-1 là tần số đơn
vị Hz chia cho tốc độ ánh sáng (3×1010 cm/s). Kết quả thu được từ phương pháp
AFEM, tác giả đã sử dụng mô hình nguyên tử rời rạc so sánh với những kết quả thu
được từ các phương pháp khác sử dụng mô hình liên tục tương đương là rất khớp
nhau (Sai lệch <5%). Điều này chứng minh tính đúng đắn của mô hình và phương
pháp được sử dụng trong nghiên cứu này.
Bảng 3.3 So sánh tần số dao động (cm-1) của tấm graphene, điều kiện 4 cạnh tự do
f A, cm-1

Nguyên tử
Tấm

[48]

Dạng
AFEM riêng

Armchair 2652 2652

Zigzag

2652 2656

Armchair 5886 5886

f B, cm-1

[48]

AFEM

[48]

1
2
3
1

12,741

25,467
38,162
12,656

13,262
26,516
39,752
13,097

2
3
1

25,303 26,189 3,5
37,923 39,268 3,5
8,628 8,981 4,1

4,1
4,1
4,2
3,5

AFEM

AFEM

2,364
6,220
11,467
2,321

2,474
6,503
12,003
2,382

[48]

4,7
4,6
4,7
2,6

6,098 6,267 2,8
11,247 11,583 3,0
1,620 1,699 4,9


10

Zigzag

6204 6204

2

17,246 17,956 4,1

4,269

4,460

4,8

3

25,843 26,919 4,2

7,861

8,219

4,6

1

8,560

4,0

1,673

1,736

3,8

2
3

17,114 17,795 4,0

25,647 26,681 4,0

4,374
8,017

4,540
8,334

3,8
4,0

8,900

Ta thấy, ở cùng một điều kiện biên, khi kích thước tấm tăng lên thì tần số dao
động riêng của tấm graphene giảm.

Frequency, THz

Frequency, THz

Frequency, THz

3.3 Ảnh hưởng của điều kiện biên tới tần số dao động tự do
Khảo sát các tấm có số lượng nguyên tử NAtom = 4032 với kích thước như sau:
- Tấm graphene Lx = 10,207 nm; Ly
3
BC1
BC2
BC3
BC4

BC5
2.5
= 10,082 nm
Graphene
2
1.5
- Tấm BN Lx = 10,423 nm; Ly =
1
10,295 nm
0.5
0
- Tấm SiC Lx=12,723 nm và Ly=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mode
12,567 nm.
Hình 3.2 Tần số dao động của tấm Graphen
Tần số đầu tiên của mười tấm na phụ thuộc vào điều kiện biên
2.5
nô với các điều kiện biên khác nhau
BC1
BC2

BC3
BC4
BC5
2
BN
được thể hiện trong hình 3.2 - 3.4.
1.5
Các tần số tự nhiên của tấm có điều
1
0.5
kiện biên (BC1) là cao nhất. Tần số
0
các tấm có điều kiện biên (BC4) và
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mode
(BC5) là thấp nhất. Các tấm có điều
kiện biên BC2 và BC3 cho tần số tự Hình 3.3 Tần số dao động của tấm BN phụ
nhiên khá tương tự. Kết quả tần số thuộc vào điều kiện biên
BC1
BC2
BC3

BC4
BC5
tự nhiên của tấm graphene là cao
SiC
nhất, trong khi tấm SiC là thấp nhất.
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0

3.4 Ảnh hưởng của kích thước
tấm tới tần số dao động tự
Mode
do
Khảo sát các tấm armchair và Hình 3.4 Tần số dao động của tấm SiC phụ
thuộc vào điều kiện biên
zigzag với tỉ lệ cạnh khác nhau.
Thông số các tấm graphene, BN, SiC tỉ lệ kích thước cạnh Ly/Lx giảm dần là 1:1;
1:0,5 và 1:0,25. Tấm armchair kích thước cạnh zigzag Lx tăng dần từ 10,207 nm đến
20,045 nm đối với tấm graphene, từ 10,42 tới 20,47 nm đối với tấm BN, và từ 12,72
nm tới 24,99 nm đối với tấm SiC.
Kết quả ba tần số lẻ đầu tiên của các tấm với kích thước khác nhau được liệt kê
trong bảng 3.6 - 3.8.
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10


11
Bảng 3.6 Tần số (THz) của tấm graphene
Tỉ lệ cạnh
Dạng
riêng

AR 1:1
Thứ
nhất

Thứ

ba

AR 1:0,5
Thứ
năm

Thứ
nhất

Thứ
ba

AR 1:0,25
Thứ
năm

Thứ
nhất

Thứ
ba

Thứ
năm

Tấm các-bon (graphene) armchair, điều kiện biên BC4
1
0.225
0.612
1.070 0.146

0.570
2
0.190
0.513
0.897 0.121
0.476
3
0.163
0.443
0.778 0.108
0.415
4
0.144
0.389
0.681 0.093
0.363
5
0.129
0.347
0.605 0.082
0.323
6
0.115
0.313
0.549 0.076
0.294
Tấm các-bon (graphene) zigzag, điều kiện biên BC5
1
0.227
0.613

1.080 0.146
0.569
2
0.187
0.508
0.895 0.120
0.470
3
0.166
0.446
0.782 0.107
0.416
4
0.143
0.388
0.681 0.095
0.363
5
0.126
0.343
0.604 0.083
0.321
6
0.116
0.314
0.550 0.077
0.294
Tấm các-bon (graphene) armchair, điều kiện biên BC2

1.570

1.320
1.120
0.993
0.891
0.794

0.080
0.066
0.063
0.054
0.047
0.042

0.526
0.442
0.381
0.335
0.299
0.270

1.570
1.310
1.140
1.000
0.895
0.808

1.560
1.300
1.130

0.977
0.868
0.791

0.081
0.067
0.060
0.051
0.045
0.042

0.521
0.433
0.381
0.332
0.294
0.269

1.560
1.290
1.140
0.991
0.874
0.804

1
0.630
1.130
1.390 0.555
1.090

2
0.529
0.950
1.160 0.462
0.914
3
0.455
0.818
1.000 0.403
0.792
4
0.400
0.718
0.878 0.352
0.694
5
0.357
0.640
0.782 0.313
0.617
6
0.321
0.578
0.707 0.285
0.559
Tấm các-bon (graphene) zigzag, điều kiện biên BC3

1.810
1.530
1.290

1.140
1.030
0.911

0.410
0.340
0.311
0.270
0.238
0.212

1.060
0.889
0.766
0.673
0.600
0.541

2.110
1.770
1.530
1.340
1.200
1.080

1.790
1.490
1.300
1.120
0.996

0.906

0.413
0.339
0.302
0.260
0.229
0.211

1.050
0.869
0.766
0.666
0.589
0.539

2.090
1.740
1.530
1.330
1.180
1.080

1
2
3
4
5
6

0.637
0.525
0.462
0.400
0.353
0.324

1.140
0.941
0.826
0.718
0.634
0.580

1.390
1.150
1.010
0.877
0.777
0.709

0.556
0.458
0.405
0.354
0.312
0.286

1.100
0.904

0.797
0.694
0.612
0.561

Bảng 3.7 Tần số (THz) của tấm BN
Tỉ lệ cạnh
AR 1:1
Thứ
Thứ
Thứ
Dạng
Thứ
nhất
năm
nhất
riêng
ba
Tấm BN armchair, điều kiện biên BC4
1
0.190
0.517
0.898 0.124
2
0.161
0.434
0.751 0.102
3
0.138
0.374

0.651
4
0.121
0.328
0.570
5
0.109
0.293
0.507
6
0.098
0.264
0.460
Tấm BN zigzag, điều kiện biên BC5

0.091
0.079
0.070
0.065

AR 1:0,5
Thứ
ba

Thứ
năm

AR 1:0,25
Thứ
Thứ

nhất
ba

Thứ
năm

0.481
0.402

1.314 0.068
1.113 0.056

0.449
0.377

1.320
1.100

0.351
0.307
0.272
0.248

0.941
0.833
0.747
0.666

0.325
0.286

0.255
0.230

0.974
0.856
0.761
0.684

0.054
0.046
0.040
0.036


12
1
0.192
0.517
0.901
2
0.158
0.429
0.749
3
0.140
0.377
0.654
4
0.121
0.327

0.570
5
0.107
0.289
0.505
6
0.098
0.265
0.460
Tấm BN armchair, điều kiện biên BC2

0.124
0.102
0.091
0.080
0.070
0.065

0.479
0.396
0.351
0.307
0.270
0.248

1.310
1.090
0.950
0.819
0.728

0.663

0.069
0.057
0.051
0.044
0.038
0.036

0.444
0.369
0.325
0.283
0.250
0.229

1.310
1.090
0.963
0.835
0.737
0.678

0.466
0.389
0.339
0.296
0.263
0.239

0.920
0.769
0.666
0.584
0.519
0.470

1.520
1.287
1.080
0.960
0.863
0.765

0.347
0.288
0.263
0.228
0.201
0.180

0.904
0.759
0.654
0.575
0.512
0.462

1.790
1.500

1.300
1.140
1.020
0.919

Tấm BN zigzag, điều kiện biên BC3
1
0.533
0.962
1.160 0.467

0.921

1.500 0.348

0.893

1.780

0.760
0.670
0.584
0.515
0.472

1.250
1.090
0.939
0.836
0.760

0.741
0.653
0.568
0.502
0.460

1.470
1.300
1.130
0.995
0.914

1
2
3
4
5
6

0.528
0.443
0.381
0.335
0.299
0.269

2
3
4

5
6

0.440
0.387
0.335
0.296
0.271

0.958
0.804
0.692
0.608
0.542
0.489

1.160
0.973
0.841
0.737
0.656
0.593

0.796
0.699
0.607
0.536
0.491

0.966

0.845
0.736
0.651
0.594

0.385
0.341
0.297
0.262
0.240

0.286
0.255
0.220
0.194
0.179

Bảng 3.8 Tần số (THz) của tấm SiC
Tỉ lệ cạnh
Dạng
riêng

AR 1:1
Thứ
nhất

Thứ
ba

AR 1:0,5

Thứ
năm

Dạng
riêng

Thứ
nhất

AR 1:0,25
Thứ
ba

Thứ
năm

Dạng
riêng

Thứ
nhất

Tấm SiC armchair, điều kiện biên BC4
1
0.118 0.320
0.550
2
0.100 0.269
0.460
3

0.085 0.232
0.399
4
0.075 0.203
0.349
5
0.068 0.181
0.310
6
0.061 0.164
0.281
Tấm SiC zigzag, điều kiện biên BC5
1
0.119 0.321
0.553
2
0.098 0.266
0.459
3
0.087 0.234
0.401
4
0.075 0.203
0.350
5
0.066 0.180
0.310
6
0.061 0.164
0.282

0.077
0.064
0.057
0.050
0.044
0.040

0.298
0.249
0.217
0.190
0.169
0.153

0.806
0.683
0.577
0.511
0.459
0.408

0.043
0.034
0.033
0.029
0.025
0.022

0.282

0.232
0.204
0.180
0.160
0.145

0.818
0.666
0.607
0.531
0.471
0.423

0.077
0.064
0.057
0.050
0.044
0.041

0.297
0.246
0.217
0.190
0.168
0.154

0.803
0.669
0.583

0.503
0.447
0.407

0.043
0.035
0.032
0.027
0.024
0.022

0.279
0.232
0.204
0.178
0.157
0.144

0.815
0.674
0.597
0.518
0.457
0.420

0.287
0.240
0.209
0.183
0.162

0.147

0.571
0.479
0.413
0.362
0.323
0.291

0.932
0.791
0.665
0.590
0.530
0.470

0.215
0.179
0.163
0.141
0.125
0.112

0.568
0.477
0.411
0.361
0.322
0.290

1.100
0.922
0.812
0.710
0.630
0.566

Tấm SiC armchair, điều kiện biên BC2
1
2
3
4
5
6

0.323
0.272
0.233
0.205
0.183
0.165

0.594
0.499
0.429
0.377
0.336
0.303

0.714

0.597
0.517
0.452
0.403
0.364


13
Tấm SiC zigzag, điều kiện biên BC3
1
0.327 0.597
0.714
2
0.269 0.494
0.593
3
0.237 0.434
0.519
4
0.205 0.377
0.452
5
0.181 0.333
0.400
6
0.166 0.304
0.365

0.288
0.237

0.210
0.183
0.161
0.148

0.570
0.472
0.415
0.361
0.319
0.292

0.922
0.770
0.670
0.577
0.514
0.467

0.216
0.178
0.158
0.136
0.120
0.111

0.561
0.466
0.410
0.357

0.316
0.289

1.100
0.909
0.803
0.696
0.614
0.564

Kết quả cho thấy tần số dao động tự do của tấm vật liệu graphene giảm khi kích
thước của tấm tăng ở cả hai loại tấm zigzag và armchair và ở tất cả các điều kiện
biên. Tần số của tấm armchair và tấm zigzag khá giống nhau khi cùng điều kiện
biên và cùng tỉ lệ cạnh. Ở dạng dao động 1 và 3 đối với cả tấm zigzag và tấm
armchair tần số dao động tự do của tấm có tỉ lệ cạnh AR 1:1 cao hơn các tấm tỉ lệ
cạnh AR 1:0,5 và tỉ lệ cạnh AR 1:0,25.
Ngược lại, trong dạng dao động 5, tấm armchair điều kiện biên BC2 và tấm zigzag
điều kiện biên BC3, tần số dao động tự do của tấm có tỉ lệ cạnh AR 1:0.25 cao nhất,
tiếp đến là tấm có tỉ lệ AR 1:0,5 cuối cùng là AR 1:1. Cũng trong dạng dao động 5,
tấm zigzag điều kiện biên BC5 và tấm armchair BC4 tỉ lệ cạnh AR 1:0,25 và AR
1:0,5 có tần số dao động tự do là khá tương đồng, còn lại các tấm có tỉ lệ cạnh AR
1:1 cho tần số thấp nhất.
3.5 Ảnh hưởng của khuyết tật mất nguyên tử đến tần số dao động tự do của
tấm
Trong mục này ba tấm vật liệu graphene, BN và SiC như trong mục 3.3 được
dùng để nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật tới tần số dao động tự do của chúng.
- Tấm graphene Lx = 10,207 nm; Ly = 10,082 nm
- Tấm BN Lx = 10,423 nm; Ly = 10,295 nm
- Tấm SiC Lx = 12,723 nm và Ly = 12,567 nm.
Có hai mô hình khuyết tật được đề xuất là:

- Mất 14 nguyên tử ở trung tâm tấm dọc theo phương zigzag (DF1) và
- Mất 6 nguyên tử ở trung tâm tấm dọc theo phương armchair (DF2).
Kết quả ảnh hưởng của các khuyết tật mất nguyên tử đến tần số dao động tự do (%)
của tấm graphene với các điều kiện biên khác nhau được biểu diễn ở hình 3.25 –
3.29, của tấm BN được biểu diễn ở hình 3.30 – 3.34 và của tấm SiC được biểu diễn
ở hình 3.35 – 3.39.
Pristine

DF1

Pristine

Graphene - BC2

DF2

DF1

DF2

1

Variation, %

Variation, %

Graphene - BC1
1
0
-1

-2
-3
-4
-5

0
-1
-2
-3
-4

1

2

3

4

5

Mode

6

7

8

9

10

Hình 3.25 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần số
riêng của tấm graphene có điều kiện biên BC1

1

2

3

4

5

Mode

6

7

8

9

10

Hình 3.26 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần
số riêng của tấm graphene có điều kiện biên

BC2


14
Pristine

Graphene - BC3

DF1

DF2

DF1

DF2

1

Variation, %

Variation, %

Pristine

Graphene - BC4

1
0
-1
-2

-3

0
-1
-2
-3
-4

1

2

3

4

5

Mode

6

7

8

9

10

1

Hình 3.27 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần
số riêng của tấm graphene có điều kiện biên
BC3

2

3

4

5

Mode

6

7

8

9

10

Hình 3.28 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần
số riêng của tấm graphene có điều kiện biên
BC4 - BC5
Pristine

DF1
DF2
Graphene
Variation, %

1
Trường hợp điều kiện biên
0
BC1, tần số dao động tự do của dạng
-1
-2
dao động 1, 2, 6 và 7 tăng trong đó tần
-3
số của tấm có khuyết tật DF1 cao hơn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mode
so với tấm khuyết tật DF2. Ở dạng dao Hình 3.29 Ảnh hưởng của khuyết tật đến tần
động thứ 3, 9 và 10 thì khác biệt rất nhỏ, số riêng của tấm graphene có điều kiện biên
không đáng kể. Với dạng dao động 4, 5 BC5
và 8 tần số dao động tự do giảm, tần số của các tấm chịu khuyết tật DF1 thấp hơn
so với tấm khuyết tật DF2. Trường hợp của BC2, tần số tự nhiên của dạng dao động

1, 2, 7 và 10 tăng, trong đó tần số của tấm có khuyết tật DF1 cao hơn so với tấm
khuyết tật DF2. Ở dạng dao động 3, 6 và 8 khác nhau không đáng kể và thứ 4, thứ
5 và giảm tại 9. Điều kiện biên BC3, tần số dao động tự do dạng dao động 1, 2, 6, 7
và 10 tăng trong đó tần số của tấm khuyết tật DF1 cao hơn so với tấm khuyết tật
DF2, dạng dao động 3 và các dạng còn lại khác nhau không đáng kể, dạng thứ 4, 5,
8 và 9 giảm. Với các điều kiện biên còn lại BC4, BC5 tần số của hầu hết các dạng
dao động giảm, đặc biệt là ở dạng 5 và 6. Đối với các tấm vật liệu BN và SiC kết
quả về tần số là tương đồng về xu hướng các dạng khi xét cùng điều kiện biên, cùng
tỉ lệ cạnh và cùng dạng khuyết tật. Trong đó tấm graphene cho giá trị về tần số là
lớn nhất, thứ hai là BN và cuối cùng là SiC. Kết quả cho thấy ảnh hưởng (%) của
các khuyết tật mất nguyên tử (DF1) và (DF2) tới tần số dao động riêng của các tấm
là không nhiều. Cụ thể sai lệch tần số riêng so với tấm nguyên trong khoảng từ 1%
- 5%.

CHƯƠNG 4 DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA ỐNG NA NÔ
4.1 Giới thiệu
Trong chương này, phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử (AFEM) phát triển
trên hàm thế điều hòa tiếp tục được sử dụng để khảo sát đặc trưng dao động tự do
của các ống na nô đơn lớp boron nitride (BN) silicon carbide (SiC) và ống na nô
các-bon (CNT). Ống na nô đơn lớp zigzag, armchair được tạo thành từ các tấm vật
đơn lớp bằng cách cuốn tấm theo phương zigzag, armchair tương ứng. Các thông
số hình học biểu diễn ống na nô đơn lớp được đưa ra theo bảng 1.1.
Tần số dao động tự do và dạng riêng của ống vật liệu na nô đơn lớp (SWNT) được
tính toán có xét tới ảnh hưởng của sự thay đổi đường kính ống, chiều dài ống và


15

điều kiện biên: Thay đổi đường kính tương ứng sự thay đổi bước véc tơ n theo bảng
4.1; Thay đổi chiều dài ống thương ứng với sự thay đổi của tỉ lệ chiều dài trên đường

kính (L/D); Các điều kiện biên được xét ở đây bao gồm:
- C-C: hai đầu ống được ngàm.
- C-F: một đầu ống ngàm, đầu còn lại tự do.
- F-F: Hai đầu ống tự do.
Bảng 4.1 Thông số bước véc tơ với đường kính ống
(n,0)
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29

BN

D(nm)
SiC

CNT

0.56
0.719
0.879
1.04

1.2
1.36
1.52
1.68
1.84
2
2.16
2.32

0.683
0.878
1.07
1.27
1.46
1.66
1.85
2.05
2.24
2.44
2.63
2.83

0.548
0.705
0.861
1.02
1.17
1.33
1.49
1.64

1.8
1.96
2.11
2.27

(n,n)
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

BN

D(nm)
SiC

CNT

0.554
0.692
0.831
0.969

1.11
1.25
1.38
1.52
1.66
1.8
1.94
2.08

0.676
0.845
1.01
1.18
1.35
1.52
1.69
1.86
2.03
2.2
2.37
2.54

0.542
0.678
0.814
0.949
1.08
1.22
1.36
1.49

1.63
1.76
1.9
2.03

Kết quả về tần số và dạng dao động của ống sẽ được tính toán đưa ra bàn luận và
so sánh với kết quả sử dụng các phương pháp khác đã được công bố trước đây như:
Phương pháp mô hình liên tục tương đương của Gupta và cộng sự, phương pháp sử
dụng mô hình mạng lưới tinh thể của S. Arghavan cùng cộng sự, và phương pháp
dầm đàn hồi ba chiều của A. Sakhaee-Pour.
4.2 Kiểm nghiệm mô hình AFEM tính toán cho ống na nô
So sánh các kết quả của phương pháp AFEM với phương pháp sử dụng mô hình
mạng lưới tinh thể của S. Arghavan và A.V. Singh, kết quả trên bảng 4.6 cho thấy
độ lệch tần số của hai phương pháp nhỏ hơn 5%.
Bảng 4.6 So sánh tần số dao động tự do của các ống CNT
CNT (8,0), D=0,626nm, L=5,826nm
BC
C-F
C-C
Dạng
Dạng
Dạng
AFEM [11]
AFEM [11]
AFEM
riêng
riêng
riêng
1 0.074 0.075 -0.804 0.427 0.432 -1.230 0.103
2 0.074 0.075 -0.804 0.427 0.432 -1.230 0.103

3 0.427 0.432 -1.066 1.040 1.058 -1.720 0.556
4 0.427 0.432 -1.066 1.040 1.058 -1.720 0.556
5 0.613 0.630 -2.637 1.210 1.266 -4.430 0.645

CNT (6,6), D=0,814nm, L=5,66nm
C-F
C-F
Dạng
Dạng
[11]
AFEM [11]
riêng
riêng
0.104 -0.866 0.545 0.537 1.414
0.104 -1.151 0.545 0.540 0.907
0.557 -0.090 1.204 1.216 -0.946
0.559 -0.572 1.244 1.249 -0.368
0.626 3.118 1.254 1.267 -1.034


16

4.3 Dao động tự do dọc trục của ống na nô
4.3.1 Ảnh hưởng của đường kính tới tần số dao động tự do dọc trục
Xét các ống vật liệu các-bon, SiC,
BN, chiều dài ống L = 23 nm với ba điều
kiện biên là ngàm hai đầu ống (C-C),
ngàm một đầu ống (C-F) và hai đầu ống
tự do (F-F). Đường kính ống thay đổi
bằng cách thay đổi hai bước véc tơ đơn

vị (n, m) theo bảng 4.1. Kết quả về tần
số dao động tự do dọc trục được tính
toán đưa ra trong hình (4.1 - 4.3).
Kết quả như sau:

Hình 4.1 Tần số đầu tiên dạng dao động dọc trục
của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện biên
C-C

Hình 4.2 Tần số đầu tiên dạng dao động dọc trục
của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện biên
C-F

Tần số dao động dọc trục tỉ lệ thuận
với đường kính ống, đường kính tăng
thì tần số cũng tăng. Tần số của ống
zigzag có giá trị xấp xỉ ống armchair,
lớn hơn trung bình khoảng 1,5% ở cả
dải đường kính, cho tất cả các ống vật Hình 4.3 Tần số đầu tiên dạng dao động dọc trục
liệu và cả ba điều kiện biên. Trong cùng của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện biên
điều kiện biên tần số của ống các-bon F-F
(CNT) luôn có giá trị lớn nhất, lớn hơn trung bình khoảng 50% so với ống SiC và
16% so với ống BN. Các trường hợp ống có điều kiện biên (C-C) cho giá trị về tần


17

số dọc trục lớn nhất, cụ thể lớn hơn hai lần so với ống có điều kiện biên ngàm một
đầu C-F. Đường kính ống tăng 4 lần nhưng tần số chỉ thay đổi trung bình 2% như
vậy có thể thấy tần số dọc trục không bị ảnh hưởng nhiều bởi đường kính. Điều này

đúng cho tất cả các trường hợp ống được khảo sát. Trong đó các ống zigzag tần số
thay đổi khoảng 2,3% trong khi các ống aimchair có tần số thay đổi là 1,6% như vậy
các ống zigzag chịu ảnh hưởng của đường kính ống lớn hơn ống armchair.
4.3.2 Ảnh hưởng của chiều dài tới tần số dao động tự do dọc trục
Xét các ống vật liệu các-bon, SiC, BN có bước véc tơ đối với ống zigzag là n =
19 và armchair n = 11; m = 11. Ba điều kiện biên là C-C, C-F và F-F. Chiều dài ống
thay đổi bằng cách thay đổi tỉ số chiều dài trên đường kính (L/D). Tỉ lệ chiều dài
trên đường kính L/D thay đổi lần lượt tăng dần từ 5. Kết quả về tần số dao động tự
do dọc trục khi thay đổi chiều dài ống được tính toán đưa ra trong hình (4.4 - 4.6).
Kết quả như sau:

Hình 4.4 Tần số dao động tự do dọc trục đầu
tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair
(11,11), điều kiện biên C-C

Hình 4.5 Tần số dao động tự do dọc trục đầu tiên
của ống na nô zigzag(19,0) và armchair (11,11),
điều kiện biên C-F

Chiều dài ống tăng thì tần số cũng
giảm.Tần số của ống zigzag có giá trị
xấp xỉ ống armchair, lớn hơn trung bình
khoảng 0,7% ở cả dãy tỉ số L/D khảo sát.
Trong cùng điều kiện biên tần số của ống
các-bon (CNT) luôn có giá trị lớn nhất,
lớn hơn trung bình khoảng 87% so với
ống SiC và 18,5% so với ống BN.Các
trường hợp ống có điều kiện biên (C-C)
cho giá trị về tần số dọc trục lớn nhất, cụ Hình 4.6 Tần số dao động tự do dọc trục đầu
thể lớn gấp hơn hai lần so với ống có điều tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair

kiện biên ngàm một đầu C-F. Tần số giảm (11,11), điều kiện biên F-F
10 lần trong toàn dãy chiều dài ống được
khảo sát cho thấy tần số dọc trục bị ảnh hưởng nhiều bởi chiều dài ống. Điều này
đúng cho tất cả các trường hợp ống được khảo sát.


18

4.4 Dao động tự do uốn của ống na nô
4.4.1 Ảnh hưởng của đường kính tới tần số dao động tự do uốn
Đối tượng khảo sát tương tự như trường hợp dao động dọc trục. Kết quả về tần số
dao động tự do uốn khi thay đổi đường kính ống được tính toán đưa ra trong hình
(4.7 - 4.9).

Hình 4.7 Tần số đầu tiên dạng dao động uốn Hình 4.8 Tần số đầu tiên dạng dao động uốn
của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện
biên C-C
biên C-F

Đường kính ống tăng thì tần số cũng
tăng.Tần số của ống zigzag có giá trị
xấp xỉ ống armchair, lớn hơn trung
bình khoảng 1,5% ở toàn dải đường
kính khảo sát.Trong cùng điều kiện
biên tần số của ống các-bon (CNT)
luôn có giá trị lớn nhất, lớn hơn trung
bình khoảng 26% so với ống SiC và
15% so với ống BN.Các trường hợp
ống có điều kiện biên ngàm hai đầu
(C-C) cho giá trị về tần số uốn lớn hơn

hàng trăm lần so với ống có điều kiện
biên ngàm một đầu C-F. Đường kính
ống tăng 4 lần trong khi tần số tăng
trung bình 300% như vậy có thể thấy
tần số uốn bị ảnh hưởng nhiều bởi
đường kính. Trong đó ảnh hưởng của Hình 4.9 Tần số đầu tiên dạng dao động uốn của
ống na nô, chiều dài L=23 nm, điều kiện biên F-F
đường kính tới tần số của các ống


19

zigzag tương đồng với các ống aimchair. Ống zigzag có tần số lớn hơn không đáng
kể.
4.4.2 Ảnh hưởng của chiều dài tới tần số dao động tự do uốn
Đối tượng khảo sát tương tự như trường hợp dao động dọc trục. Kết quả về tần số
dao động tự do uốn khi thay đổi chiều dài ống được đưa ra trong hình (4.10 - 4.12).

Hình 4.10 Tần số dao động tự uốn trục đầu tiên Hình 4.11 Tần số dao động tự uốn trục đầu tiên
của ống na nô zigzag(19,0) và armchair (11,11), của ống na nô zigzag(19,0) và armchair (11,11),
điều kiện biên C-F.
điều kiện biên C-C.

Tần số dao động uốn tỉ lệ nghịch với
chiều dài ống, chiều dài ống tăng thì tần
số giảm. Tần số của ống zigzag có giá
trị xấp xỉ ống armchair, lớn hơn trung
bình khoảng 1,8% ở cả dãy tỉ số L/D
khảo sát. Điều này đúng cho tất cả các
ống vật liệu và cả ba điều kiện biên.

Trong cùng điều kiện biên tần số của
ống các-bon (CNT) luôn có giá trị lớn
nhất, lớn hơn trung bình khoảng 91%
Hình 4.12 Tần số dao động tự uốn trục đầu tiên
so với ống SiC và 18,6% so với ống BN. của ống na nô zigzag(19,0) và armchair (11,11),
Các trường hợp ống có điều kiện biên điều kiện biên C-F.
ngàm hai đầu (C-C) cho giá trị về tần số dọc trục lớn nhất, cụ thể lớn gấp hơn bốn
lần so với ống có điều kiện biên ngàm một đầu C-F. Tần số giảm 15 lần trong toàn
dãy chiều dài ống được khảo sát cho thấy tần số uốn bị ảnh hưởng nhiều bởi chiều
dài ống. Chiều dài ống ảnh hưởng đến tần số uốn nhiều hơn so với tần số dọc trục
đã khảo sát. Điều này đúng cho tất cả các trường hợp ống được khảo sát. Chiều dài
ảnh hưởng đến tần số uốn của ống zigzag và ống armchair là tương đương nhau.


20

4.5 Dao động tự do xoắn của ống na nô
4.5.1 Ảnh hưởng của đường kính ống tới tần số dao động tự do xoắn
Đối tượng khảo sát tương tự như
trường hợp dao động dọc trục. Kết quả về
tần số dao động xoắn khi thay đổi đường
kính ống được tính toán đưa ra trong hình
(4.13 - 4.15).

Hình 4.13 Tần số đầu tiên dạng dao động xoắn
của ống na nô, chiều dài L=23 nm, điều kiện
biên C-C

Hình 4.14 Tần số đầu tiên dạng dao động xoắn
của ống na nô, chiều dài L=23 nm, điều kiện biên

C-F

Ảnh hưởng của đường kính ống tới tần
số dao động tự do uốn đã được khảo sát.
Kết quả như sau: Tần số dao động xoắn tỉ
lệ thuận với đường kính ống, đường kính
tăng thì tần số cũng tăng. Tần số của ống
zigzag có giá trị xấp xỉ ống armchair, lớn
hơn trung bình khoảng 2,85% ở toàn dải
đường kính khảo sát, cho tất cả các ống
vật liệu và cả ba điều kiện biên.Trong Hình 4.15 Tần số đầu tiên dạng dao động
cùng điều kiện biên tần số của ống các- xoắn của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều
bon (CNT) luôn có giá trị lớn nhất, lớn kiện biên F-F
hơn trung bình khoảng 95% so với ống SiC và 20% so với ống BN. Các trường hợp


21

ống có điều kiện biên ngàm hai đầu (C-C) cho giá trị về tần số uốn lớn nhất, cụ thể
lớn hơn hai lần so với ống có điều kiện biên ngàm một đầu C-F. Đường kính ống
tăng 4 lần trong khi tần số tăng trung bình 3,7% như vậy có thể thấy tần số uốn bị
ảnh hưởng ít bởi đường kính. Điều này đúng cho tất cả các trường hợp ống được
khảo sát. Trong đó ảnh hưởng của đường kính tới tần số của các ống zigzag tương
đồng với các ống aimchair. Ống zigzag có tần số lớn hơn không đáng kể.
4.5.2 Ảnh hưởng của chiều dài ống tới tần số dao động tự do xoắn
Đối tượng khảo sát tương tự như trường hợp dao động dọc trục. Kết quả về tần số
dao động xoắn khi thay đổi chiều dài ống được tính toán đưa ra trong hình (4.16 4.18).

Hình 4.16 Tần số dao động tự do xoắn đầu
tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair

(11,11), điều kiện biên C-C

Hình 4.17 Tần số dao động tự do xoắn đầu tiên
của ống na nô zigzag(19,0) và armchair (11,11),
điều kiện biên C-F

Tần số dao động xoắn tỉ lệ nghịch với
chiều dài ống, chiều dài ống tăng thì tần
số giảm. Tần số của ống zigzag lớn hơn
ống armchair 3%. Điều này đúng cho tất
cả các ống vật liệu và cả ba điều kiện biên.
Trong cùng điều kiện biên tần số của ống
các-bon (CNT) luôn có giá trị lớn nhất,
lớn hơn trung bình khoảng 99% so với
ống SiC và 20% so với ống BN. Các Hình 4.18 Tần số dao động tự do xoắn đầu
trường hợp ống có điều kiện biên ngàm tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair
hai đầu (C-C) cho giá trị về tần số xoắn (11,11), điều kiện biên F-F
lớn nhất, cụ thể lớn gấp hơn hai lần so với
ống có điều kiện biên C-F. Tần số giảm 10 lần trong toàn dãy chiều dài ống được
khảo sát cho thấy tần số xoắn bị ảnh hưởng nhiều bởi chiều dài ống. Chiều dài ống
ảnh hưởng đến tần số xoắn nhiều hơn so với tần số dọc trục đã khảo sát. Điều này


22

đúng cho tất cả các trường hợp ống được khảo sát. Chiều dài ảnh hưởng đến tần số
xoắn của ống zigzag và ống armchair là tương đương nhau.
4.6 Dao động tự do hướng tâm của ống na nô
4.6.1 Ảnh hưởng của đường kính ống tới tần số dao động tự do hướng tâm
Đối tượng khảo sát tương tự như trường

hợp dao động dọc trục. Kết quả về tần
hướng tâm khi thay đổi đường kính ống
được tính toán đưa ra trong hình (4.19 4.21)

Hình 4.19 Tần số đầu tiên dạng dao động
hướng tâm của ống na nô, chiều dài L=23nm,
điều kiện biên C-C

Hình 4.20 Tần số đầu tiên dạng dao động hướng
tâm của ống na nô, chiều dài L=23nm, điều kiện
biên C-F

Tần số dao động hướng tâm tỉ lệ nghịch
với đường kính ống, đường kính tăng thì
tần số giảm. Tần số của ống zigzag lớn
hơn ống armchair 24%, ở toàn dải đường
kính khảo sát, cho tất cả các ống vật liệu
và cả ba điều kiện biên. Trong cùng điều
kiện biên tần số của ống các-bon (CNT)
luôn có giá trị lớn nhất, lớn hơn trung bình Hình 4.21 Tần số đầu tiên dạng dao động
khoảng 103% so với ống SiC và 29% so hướng tâm của ống na nô, chiều dài L=23nm,
với ống BN. Các trường hợp ống có điều điều kiện biên F-F


23

kiện biên ngàm hai đầu (C-C) cho giá trị về tần số hướng tâm xấp xỉ bằng với tần
số của ống có điều kiện biên ngàm một đầu C-F. Đường kính ống tăng 4 lần trong
khi tần số giảm trung bình 34,5 lần như vậy có thể thấy tần số hướng tâm bị ảnh
hưởng rất nhiều bởi đường kính. Điều này đúng cho tất cả các trường hợp ống được

khảo sát. Trong đó ảnh hưởng của đường kính tới tần số của các ống zigzag tương
đồng với các ống aimchair.
4.6.2 Ảnh hưởng của chiều dài ống tới tần số dao động tự do hướng tâm
Đối tượng khảo sát tương tự như trường hợp dao động dọc trục. Kết quả về tần số
dao động hướng tâm khi thay đổi chiều dài ống được tính toán đưa ra trong hình
(4.22 - 4.24).

Hình 4.22 Tần số dao động tự do hướng tâm
đầu tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair
(11,11), điều kiện biên C-C

Hình 4.23 Tần số dao động tự do hướng tâm
đầu tiên của ống na nô zigzag(19,0) và
armchair (11,11), điều kiện biên C-F

Tần số dao động hướng tâm tỉ lệ
nghịch với chiều dài ống, chiều dài ống
tăng thì tần số giảm. Tần số của ống
zigzag lớn hơn ống armchair 5,6%.
Điều này đúng cho tất cả các ống vật
liệu và cả ba điều kiện biên. Trong cùng
điều kiện biên tần số của ống các-bon
(CNT) luôn có giá trị lớn nhất, lớn hơn
trung bình khoảng 99% so với ống SiC Hình 4.24 Tần số dao động tự do hướng tâm đầu
tiên của ống na nô zigzag(19,0) và armchair
và 26% so với ống BN. Tần số hướng (11,11), điều kiện biên F-F
tâm của các ống cùng vật liệu khác điều
kiện biên cho giá trị xấp xỉ nhau, khác biệt không đáng kể nhỏ hơn 0,5% cho tất cả
các trường hợp khảo sát.

24

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Luận án đã kế thừa và phát triển phương pháp phần tử hữu hạn thang nguyên
tử (AFEM) sử dụng dạng hàm thế điều hòa để nghiên cứu dao động tự do của các
kết cấu tấm và ống na nô lục giác được làm từ các vật liệu: Các-bon, BN và SiC.
2. Dựa trên động năng của hệ, tác giả đã thiết lập được ma trận khối lượng tổng
thể và đưa ra phương trình dao động tự do không cản cho các kết cấu na nô kể trên.
Từ đó luận án đã khảo sát được dao động ngang tự do của các tấm graphene, BN,
SiC và dao động tự do dọc trục, uốn, xoắn, hướng tâm của các ống các-bon, BN,
SiC. Đồng thời, luận án cũng khảo sát sự ảnh hưởng của kích thước hình học, điều
kiện biên và một số dạng khuyết tật tới tần số riêng của các tấm và ống na nô. Trong
đó, tần số của tấm graphene và ống các-bon là cao nhất và thấp nhất là SiC.
- Đối với tấm, điều kiện biên, tỉ lệ, kính thước hình học có ảnh hưởng rất lớn đến
tần số dao động tự do trong khi các khuyết tật mất nguyên tử lại có tác động không
nhiều đến tần số dao động tự do của tấm. Cụ thể các khuyết tật luận án khảo sát chỉ
làm tần số thay đổi dưới 5% cho tất cả các trường hợp.
- Đối với ống, chiều dài có ảnh hưởng lớn đến tần số dao động tự do. Tất cả các
tần số dao động tự do (dọc trục, uốn, xoắn, hướng tâm) đều giảm khi chiều dài ống
tăng. Đa số các tần số riêng tăng khi đường kính ống tăng, chỉ có duy nhất dao động
hướng tâm có tần số giảm khi tăng đường kính ống. Tần số của ống vật liệu khác
nhau có giá trị khác nhau nhưng có chung xu hướng khi cùng các điều kiện khảo
sát. Ống zigzag có tần số tự do tương đồng với ống armchair.
- Chương trình tính được xây dựng trong luận án không những đưa ra được giá
trị về tần số dao động mà còn có thể hiển thị trực quan các dạng dao động. Các kết
quả nghiên cứu cho tấm và ống của ba loại vật liệu có số lượng lớn, phong phú cho
phép đánh giá các tính chất của vật liệu na nô thông qua các đặc trưng dao động.
3. Mô hình và chương trình tính của tác giả cho các bài toán trong luận án có độ tin
cậy cao thông qua so sánh kết quả số với các công bố uy tín trên thế giới. Kết quả

nghiên cứu trong luận án có thể mở rộng để áp dụng các kết cấu na nô dạng lục giác
phức tạp hơn hoặc dạng khác lục giác. Ngoài ra, chương trình tính trong luận án có
thể tích hợp và các phần mềm công nghiệp dựa trên phần tử hữu hạn để mô phỏng
dao động tự do của các kết cấu na nô.
Trên cơ sở các kết quả nghiên cứu của luận án, hướng phát triển tiếp theo của đề tài
có thể như sau:
- Nghiên cứu bài toán dao động cưỡng bức/điều khiển dao động cho các kết cấu na
nô kể trên.
- Mở rộng đối tượng nghiên cứu cho các kết cấu na nô dạng lục giác phức tạp hơn
hoặc dạng khác lục giác.
- Nghiên cứu bài toán dao động của các kết cấu na nô composite.
- Nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ đến đặc trưng dao động của kết cấu na nô.


DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

[1] Nguyễn Danh Trường, Lê Minh Quý, Bùi Thanh Lâm, Bùi Hải Lê (2016),
Dao động ngang tự do của tấm BN, SiC có xét tới ảnh hưởng của khuyết
tật mất nguyên tử. Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học và công nghệ
toàn quốc về cơ khí – động lực lần V, Hà Nội, 13/10/2016. Tập 2, pp. 368373.
[2] Nguyễn Danh Trường, Lê Minh Quý, Bùi Thanh Lâm, Bùi Hải Lê (2016),
Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nguyên tử tính toán dao động ngang
tự do của tấm graphene. Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học và công
nghệ toàn quốc về cơ khí – động lực lần V, Hà Nội, 13/10/2016. Tập 2,
pp. 374-378.
[3] Bùi Thanh Lâm, Nguyễn Danh Trường, Lê Minh Quý, Bùi Hải Lê (2017).
Ảnh hưởng của điều kiện biên và kích thước ống tới dao động tự do của
ống na nô các-bon. Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Hà Nội, 89/12/2017 Tập 3. Cơ học vật rắn và biến dạng, quyển 1, pp. 654-661.
[4] Minh-Quy Le, Danh-Truong Nguyen, Thanh-Lam Bui, Hai-Le Bui (2017).
Atomistic simulation of free transverse vibration of graphene, hexagonal

SiC, and BN na nôsheets. Acta Mechanica Sinica, February 2017, Volume
33, Issue 1, pp 132–147 (SCI)
[5] Bùi Thanh Lâm, Nguyễn Danh Trường, Lê Minh Quý, Bùi Hải Lê (2017).
Dao động ngang tự do của tấm graphene có xét tới ảnh hưởng của khuyết
tật mất nguyên tử. Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học công nghiệp
Hà Nội. Số 38: pp. 175-179.