Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 11 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Nho Quan A

TRƯỜNG THPT NHO QUAN A
TỔ TOÁN- TIN

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán - Lớp 11 - Chương trình chuẩn
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
Mã đề thi
123

Họ và tên:………………………………………….Lớp:……………...……..………
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (14,0 điểm)

−
Câu 1. Cho hàm số f ( x ) =
f ′ ( x ) < 0 với mọi x .

mx3 mx 2
+
− ( 3 − m ) x + 2 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
3
2

 12 
 12 
 12 
 12 
A.  0;  .
B.  0;  .
C. 0;  .
D. 0;  .
 5

 5
 5
 5
Câu 2. Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập được các số có bốn chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số.
Tính xác suất để số đó có chữ số 4 .
3
1
1
2
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
4
3
4
3
Câu 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , P thứ tự là trung trung điểm của AC , CB , BD . Gọi d là giao
tuyến của ( MNP ) và ( ABD ) . Kết luận nào đúng?

A. d // AC .

B. d ⊂ ( ABC ) .

C. d // BC .

D. d // ( ABC ) .

Câu 4. Tìm giá trị thực của tham số m ≠ 0 để hàm số y = mx 2 − 2mx − 3m − 2 có giá trị nhỏ nhất bằng −10
trên .
A. m = 2.
B. m = −2.
C. m = −1.
D. m = 1.
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn 3 Ax2 − A22x + 42 ≥ 0 ?
A. 2 .

B. 0 .

C. 7 .



D. 5 .



Câu 6. Trên đoạn 2018; 2018 phương trình sinx 2 cos x  3  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm ?
A. 3856.

B. 1286.

C. 2571.
D. 1928.
2sin 2 x + cos 2 x
Câu 7. Trong tập giá trị của hàm số y =
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

sin 2 x − cos 2 x + 3
A. 1 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 8. Cho hàm số y = ax 2 + bx + c có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?
y
x
O

`
A. a > 0, b < 0, c < 0 .

B. a < 0, b < 0, c < 0 .

C. a > 0, b < 0, c > 0 .

D. a > 0, b > 0, c > 0 .

 π π
Câu 9. Xét hàm số y = t an x trên khoảng  − ;  . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
 2 2
 π 
 π
A. Trên khoảng  − ;0  hàm số đồng biến và trên khoảng  0;  hàm số nghịch biến.
 2 
 2
Trang 1/6 - Mã đề 123

 π π
B. Trên khoảng  − ;  hàm số luôn đồng biến.
 2 2
 π π
C. Trên khoảng  − ;  hàm số luôn nghịch biến.
 2 2

 π
 π 
D. Trên khoảng  − ;0  hàm số nghịch biến và trên khoảng  0;  hàm số đồng biến.
 2
 2 
ax + b
Câu 10. Cho hàm số y =
có đồ thị cắt trục tung tại A ( 0; –1) , tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = −3 .
x −1
Các giá trị của a , b là:

A. a = 2 , b = 1 .

B. a = 1 , b = 2 .

C. a = 1 , b = 1 .

D. a = 2 , b = 2 .

Câu 11. Số đường thẳng đi qua điểm M ( 5;6 ) và tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 =
1 là
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

54
u4 − u2 =
. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trên.
Câu 12. Cho cấp số nhân ( un ) biết 
−
=
u
u
108
 5 3
A. u1 = −9 ; q = −2 .

B. u1 = 9 ; q = −2 .

C. u1 = 9 ; q = 2 .

D. u1 = −9 ; q = 2 .

Câu 13. Giá trị của lim

3n − ( −1)

n +1

5 + ( −4 )

.22 n

n +1

là

1
B. −∞ .
C. 4 .
D. 0 .
A. − .
4
Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Tính khoảng từ điểm B đến mặt phẳng
( AB′C ) .

A.

a 2
.
3

B.

a 3
.
2

C.

a 3
.
3

D.

a 6
.
3


Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ , có M là trung điểm của đoạn thẳng BC . Vectơ A′M
  
được biểu thị qua các vectơ AB, AC , AA′ như sau
 1  1  1 
   
A. A′M = AB + AC − AA′ .
B. A′M = AB + AC − AA′ .
2
2
2
 1  1  
 1  1  
C. A′M = AB + AC − AA′ .
D. A′M = AB + AC + AA′ .
2
2
2
2

Câu 16. Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt
từ bốn điểm đã cho?
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 3.
Câu 17. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh đáy bằng a , góc giữa hai mặt phẳng
( ABCD ) và ( ABC ′ ) có số đo bằng 60° . Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:
A. a 3 .

C. a 2 .

B. 2a .

Câu 18. Tìm giới hạn sau A = lim
x →1

3

D. 3a .

2x −1 −1

1 − 2 − x2

3
2
.
C. 2 .
D. .

2
3
Câu 19. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng AC và BA ' là:
A. 1 .

Trang 2/6 - Mã đề 123

B.


A. 450.
Câu 20. Hàm số y =
A. D =  .

B. 600.

C. 300.

D. 1200.

cos x − 1
có tập xác định D là:
4 + cos x
B. D = ∅ .

C. D  \ {kπ | k ∈ } .
=

D. D
=

{k 2π | k ∈ } .

Câu 21. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng ( P ) , trong đó a ⊥ ( P ) . Chọn mệnh đề sai trong
các mệnh đề sau?

A. Nếu b ⊥ ( P ) thì a  b.

B. Nếu b  a thì b ⊥ ( P ) .

C. Nếu a ⊥ b thì b  ( P ) .

D. Nếu b ⊂ ( P ) thì b ⊥ a. .

Câu 22. Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f 2 (1 + 2 x ) =−
x f 3 (1 − x ) tại
điểm có hoành độ x = 1 ?
1
6
1
6
1
6
1
6
A. =
B. y =
C. =
D. y =
y

x− .
y
x+ .
− x+ .
− x− .
7
7
7
7
7
7
7
7
Câu 23. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi. Xác
suất đề chọn được hai viên bi cùng màu là
1
1
5
1
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
18
6
36
12

Câu 24. Cho hình lăng trụ đều ABC. A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng a (tham khảo hình bên). Gọi M là
trung điểm của cạnh BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B′C là

A.

a 2
.
4

B. a 2 .

C.

a 2
.
2

D. a .

Câu 25. Với giá trị nào của m thì phương trình ( m − 5 ) x 2 + 2 ( m − 1) x + m =
0 có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa

x1 < 2 < x2 ?
A. m ≥ 5 .

8
B. m < .
3

C.

8
≤ m ≤5.
3

D.

8
< m <5.
3

Câu 26. Cho tam giác ABC có A ( 0;1) trọng tâm G (1; −1) đường cao AH : 2 x + y − 2 =
0 khi đó đường
thẳng BC có phương trình:
A. −2 x + y − 3 =
B. x − 2 y − 2 =
0.
0.

C. 2 x − 4 y − 11 =
0.

D. x − 2 y − 4 =
0.

m + 2 có nghiệm?
Câu 27. Với giá trị nào của m thì phương trình 3sin 2 x + 2 cos 2 x =
A. m > 0 .
B. m < 0 .
C. 0 ≤ m ≤ 1 .

D. −1 ≤ m ≤ 0 .
Câu 28. Cho hàm số f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2 ) ... ( x − 2018 ) . Tính f ′ ( 0 ) .
A. f ′ ( 0 ) = 2018!.

B. f ′ ( 0 ) = −2018!.

C. f ′ ( 0 ) = 0.

D. f ′ ( 0 ) = 2018.

 π
Câu 29. Số nghiệm của phương trình sin 5 x + 3 cos 5 x =
2sin 7 x trên khoảng  0;  là
 2
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Trang 3/6 - Mã đề 123


Câu 30. Cho khai triển ( 3 x + 2 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a15 x15 . Hệ số lớn nhất trong khai triển đó là
15

A. a15 .

B. a12

C. a9 .

D. a8 .

Câu 31. Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng hai mặt là mộ số chia hết cho 3 là.
2
11
13
1
B.
.
C.
.
D. .
A. .
36
36
3
3

 x 2 + x + 1 khi x ≥ 1
Câu 32. Cho hàm số f ( x ) = 
( a là tham số). Khi hàm số liên tục tại điểm x = 1 thì giá trị
ax + 2 khi x < 1
của a bằng:
A. 0 .
B. 3 .
C. −1 .
D. 1
Câu 33. Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa BB ' và AC bằng:

a

.
2

a 3
.
3

a
.
3
 
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại B , BC = a 3 . Tính AC.CB .
A.

B.

a2 3
.
2

A. −

B. 3a 2 .

C.

C.

D.

a2 3
.
2

a 2
.
2

D. −3a 2 .

Câu 35. Một chất điểm chuyển động có phương trình s ( t ) = t 3 − 3t 2 + 9t + 2 , ( t > 0 ) , t tính bằng giây và
s ( t ) tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất?
A. t = 3s.
Câu 36. Cho hàm số y =
100 )

A. y (

( 0 ) = 100!.

B. t = 1s.

C. t = 2 s.

D. t = 6 s.

x2
100
. Tính y ( ) ( 0 ) .
1− x

B. y (

100 )

( 0 ) = 99!.

C. y (

100 )

( 0) =

−100!.

D. y (

100 )

( 0) =

−99!.

 x =−1 + t
0 và d 2 : 
Câu 37. Xác định a để hai đường thẳng d1 : ax + 3 y + 4 =
cắt nhau tại một điểm nằm trên
 y= 3 + 3t
trục hoành.
A. a = 1
B. a = −1

C. a = −2
D. a = 2
Câu 38. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả
các số đó?
A. 120.
B. 42000.
C. 2331.
D. 46620.
Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 4 . Điểm M là trung điểm của đoạn BC , điểm E
nằm trên đoạn BM , E không trùng với B và M . Mặt phẳng ( P) qua E và song song với mặt phẳng
4 2
. Độ dài đoạn BE bằng
9
2
C. 1 .
D.
.
3

( AMD) . Diện tích thiết diện của ( P) với tứ diện ABCD bằng
A.

1
.
6

B.

4
.

3

Câu 40. Cho hình chóp đều S . ABCD . Mặt phẳng (α ) qua AB và vuông góc với mặt phẳng ( SCD ) . Thiết
diện tạo bởi (α ) với hình chóp đã cho là:
A. Hình thang vuông.
C. Tam giác cân.

B. Hình bình hành.
D. Hình thang cân.

Câu 41. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc 
ABC = 60° . Mặt phẳng ( SAB ) và

( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh
điểm M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng:
Trang 4/6 - Mã đề 123

SC lấy điểm M sao cho MC = 2 MS . Khoảng cách từ


A.

a
.
3

B.

a 2
.

3

C.

a 3
.
6

D.

a 3
.
3

Câu 42. Biết rằng phương trình x 5 + x3 + 3 x − 1 =0 có duy nhất một nghiệm x0 , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. x0 ∈ (1; 2 ) .

B. x0 ∈ ( 0;1) .

C. x0 ∈ ( −1;0 ) .

D. x0 ∈ ( −2; −1) .

AB 6,=
CD 8. Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng song song với AB, CD sao
Câu 43. Cho tứ diện ABCD có=
cho thiết diện đó là một hình thoi. Cạnh của hình thoi đó bằng:
24
18
31

15
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
7
7
Câu 44. Cho hàm số =
y f ( x=
)
A. df ( x) =
C. df ( x) =

− sin 4 x
2 1 + cos 2 2 x
− sin 4 x
2

1 + cos 2 x

Câu 45. Cho hàm số: y =
là:
A. 0 .

1 + cos 2 2 x . Chọn kết quả đúng ?

B. df ( x) =

dx .

D. df ( x) =

dx .

2x +1
x +1

− sin 2 x
1 + cos 2 2 x
cos 2 x
2

1 + cos 2 x

dx .
dx .

( C ) . Số tiếp tuyến của đồ thị ( C ) song song với đường thẳng

B. 3 .

C. 1 .

∆ : y =x + 1

D. 2 .

10
u2 − u3 + u5 =
Câu 46. Cho cấp số cộng ( un ) với 
. Số hạng đầu và công sai lần lượt là
17
u3 + u4 =

u1 3;=
d 1
A. =

u1 3;=
d 2
B. =

Câu 47. Giá trị của lim+
x→2

A. 13 .

5x + 3
bằng
x−2
B. +∞ .

Câu 48. Bất phương trình:
A. x < −3 .

C. u1 = 2; d = −3

u1 1;=
d 3
D. =

C. 5 .

D. −∞ .

C. −3 < x ≤ 2 .

D. −3 ≤ x ≤ −

x 2 − 4 ≥ x + 3 có nghiệm
B. x ≤ −

13
.
6

13
.
6

Câu 49. Biết các số Cn1 , Cn2 , Cn3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3 . Tìm n .
A. n = 5 .

B. n = 7 .

C. n = 9 .
cos x
Câu 50. Cho hàm số y 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x
A. 2 y   xy   xy.
B. 2 y   xy   xy.
C. y   xy   xy.
1 + 2 + 3 + ... + n
. Chọn mệnh đề đúng?
n2 + 1
1
B. lim un = .
C. lim un = +∞ .
4

D. n = 11 .

D. y   xy   xy.

Câu 51. Cho dãy số ( un ) với un =
A. lim un =

1
.
2

D. lim un = 0 .

Câu 52. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x 2 − 2mx − 2m + 3 có tập xác định là

?
A. 3 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 4 .
Câu 53. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc đáy. Gọi M , N lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB, SD . Gọi P là giao điểm của SC và ( AMN ) . Khi đó góc
giữa hai đường thẳng AP và MN bằng
Trang 5/6 - Mã đề 123


A.

2π
.
3

B.

Câu 54. Cho lim
x →1

π
6

C.

.

f ( x ) − 10

= 5 . Giới hạn lim
x →1
x −1

A. 10 .

B.

(

π
4

f ( x ) − 10

)(

x −1

5
.
3

π
.
2

D.

.

4 f ( x) + 9 + 3

)

bằng

C. 1 .

D. 2 .
10

1 

Câu 55. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 2 + 3  , x ≠ 0 .
x 


A. C103 .

B. C1010 .

Câu 56. Cho biết lim

x →−∞

A.

( −4; −1) .

C. C105 .

D. C106 .

4 x 2 − 7 x + 12 2
= . Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây:
a x − 17
3

B.

( −7; −4 ) .

C. (1; 4 ) .

D.

( 3;5) .

II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm)
2
Câu 1 (1,0 điểm). Giải phương trình cos 2 x + cos 2 x −

3
=
0
4

Câu 2 (1,0 điểm). Cho khai triển ( 3 x 2 − 2 ) ( 2 x − 3) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a14 x14 . Tìm a11
3

8

 x 2 + y 2 +=
1 2 ( xy − x + y )
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  3
2
 x + 3 y + 5 x − 12 = (12 − y ) 3 − x

(1)
(2)

( x, y ∈  ) .

Câu 4 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 = 13 , đường tròn

(C 2 ) : ( x − 6) 2 + y 2 = 25
a) Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1 ) và (C 2 ) .
b) Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1 ) và (C 2 ) là A, viết phương trình đường thẳng đi qua A
cắt (C1 ) và (C 2 ) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Câu 5 (1,5 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA = a và vuông
góc với mặt phẳng  ABCD  .
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x , K là hình chiếu của S trên DM . Tính độ dài
đoạn SK theo a và x . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK .
------------- HẾT -------------

Trang 6/6 - Mã đề 123

HDG ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán - Lớp 11 - Chương trình chuẩn
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
I. TRẮC NGHIỆM: (14 điêm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm
Mã đề [123]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
D D D A D C C A B A C C A C C B A D B D C D D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
C C A C C D D D D B A D D D D C B A C C D B B
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
A B D C D C
TRƯỜNG THPT NHO QUAN A
TỔ TOÁN- TIN

24
A
49
B
74

25
D
50
A
75

Mã đề [234]
1 2 3 4
A D D D

26 27 28 29
D A D D
51 52 53 54
A B B A

5
B
30
D
55
B

6
A
31
B
56
D

7
C
32
B
57

8
A
33
A
58

9
C
34
C
59

10
C
35
A
60

11
C
36
A
61

12
D
37
D
62

13
B
38
D
63

14
C
39
B
64

15
C
40
A
65

16
B
41
B
66

17
A
42
D
67

18
C
43
B
68

19
A
44
C
69

20
B
45
A
70

21
B
46
C
71

22
C
47
B
72

23
B
48
A
73

24
B
49
B
74

25
D
50
D
75

Mã đề [345]
1 2 3 4
A A C B
26 27 28 29
B B B C
51 52 53 54
A D D A

5
B
30
A
55
A

6
B

31
D
56
D

7
B
32
C
57

8
D
33
C
58

9
C
34
B
59

10
A
35
A
60

11

C
36
C
61

12
A
37
A
62

13
C
38
B
63

14
A
39
A
64

15
B
40
C
65

16

B
41
A
66

17
D
42
D
67

18
B
43
D
68

19
C
44
D
69

20
D
45
C
70

21

D
46
D
71

22
A
47
B
72

23
D
48
B
73

24
B
49
D
74

25
D
50
A
75

Mã đề [456]

1 2 3 4
D B D C
26 27 28 29
C C D B
51 52 53 54
A C B B

5
C
30
B
55
D

6
C
31
C
56
C

7
A
32
C
57

8
C
33

D
58

9
A
34
D
59

10
D
35
C
60

11
C
36
B
61

12
B
37
D
62

13
A
38

D
63

14
C
39
C
64

15
D
40
D
65

16
D
41
C
66

17
D
42
B
67

18
D
43

A
68

19
A
44
D
69

20
D
45
D
70

21
A
46
B
71

22
D
47
A
72

23
A
48

C
73

24
A
49
B
74

25
C
50
D
75

II. TỰ LUẬN: (6 điểm)
Câu

Đáp án

Điểm

3
4

0
Giải phương trình cos 2 2 x + cos 2 x − =
1
(1,0
điểm)

1

cos 2 x = 2
PT ⇔ 
cos 2 x = − 3 ( L )
2


⇔ 2x =
±
2

( 3x

2

π

3

+ k 2π ⇔ x =
±

0,5

π
6

+ kπ , k ∈ 

− 2 ) ( 2 x − 3) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a14 x14 . Tìm a11
3

8

0,5


(1,0
điểm)

8
3
 3 k
h
8
3− k  
8− h 
h
2
2 k
−
=
−
−
x
x
C
x

3
2
2
3
3
2
)
(
(
)
)
(
)
∑ 3 (
  ∑ C8 ( 2 x ) ( −3) 
=
 k 0=
 h 0

3
8
3



8
3− k
8− h
⇔ ( 3x 2 − 2 ) ( 2 x =
− 3)  ∑ C3k 3k ( −2 ) .x 2 k   ∑ C8h 2h ( −3) .x h 

=
 k 0=
 h 0

11
 2k + h =
0 ≤ k ≤ 3

Theo yêu cầu ta có 
0 ≤ h ≤ 8
k , h ∈ 

=
k 2=
k 3
⇒
∨
=
h 7=
h 5
3

 x 2 + y 2 +=
1 2 ( xy − x + y ) (1)
Giải hệ phương trình  3
2
 x + 3 y + 5 x − 12 = (12 − y ) 3 − x
2

0,25

0,25

suy ra a11 =
C32 32 ( −2 ) C87 27 ( −3) + C33 33 C85 25 ( −3) =
−1140480

(1) ⇔ ( x − y + 1)

0,25

(2)

0,25

( x, y ∈  ) .

=
0 ⇔ x − y +1 = 0 ⇔ y = x +1

0,25

Thay y= x + 1 vào phương trình (2) ta được phương trình

x3 + 3 x 2 + 11x − 9 =

(11 − x )

⇔ ( x + 1) + 5 ( x + 1)=
3

3
(1,5
điểm)

(

3− x

)

3

3 − x +1 + 5

(

0,25

)

3 − x + 1 (3)

Đặt a = x + 1; b = 3 − x + 1 , phương trình (3) trở thành

⇔ a 3 + 5a = b3 + 5b
Nếu a > b thì a 3 + 5a > b3 + 5b
Nếu a < b thì a 3 + 5a < b3 + 5b
Nếu a = b thì a 3 + 5a = b3 + 5b
Vậy a = b .

0,25

x ≥ 0
−1 + 13
⇔x=
.
3 − x +1 ⇔ 3 − x= x ⇔  2
2
x
x
3
0
+
−
=


−1 + 13
x =

2
.
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) với 
 y = 1 + 13

2
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1 ) : x 2 + y 2 = 13 , đường
Do đó (3) ⇔ x + 1=

4
(1,0
điểm)

0,25

tròn (C 2 ) : ( x − 6) 2 + y 2 = 25
a) Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1 ) và (C 2 ) .
b) Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1 ) và (C 2 ) là A, viết phương trình đường
thẳng đi qua A cắt (C1 ) và (C 2 ) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

a) (C1 ) có tâm O(0;0) , bán kính R1 = 13 , (C 2 ) có tâm I (6;0) I(6;0), bán kính
R2 = 5 .
Giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) A(2;3) và B(2;−3) .
b) Vì A có tung độ dương nên A(2;3)
Đường thẳng d qua A có pt: a( x − 2) + b( y − 3) = 0 hay ax + by − 2a − 3b = 0
Gọi d 1= d (O; d ) ; d 2 = d (I ; d )
2

2

2

2

2

2

Yêu cầu bài toán trở thành R2 − d 2 = R1 − d1 ⇒ d 2 − d1 = 12

0,5

0,25


2
2
(
2a + 3b )
(
4a − 3b )
⇔
−

b = 0
2
12
3
0
b
=
ab
⇒
+
=
⇒
b = −3a
a2 + b2
a2 + b2


0,25
* b = 0 ,chọn a = 1 ,suy ra pt d là: x − 2 = 0 .
* b = −3a ,chọ a = 1; b = −3 ,suy ra pt d là: x − 3 y + 7 = 0 .
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA = a và vuông góc
với mặt phẳng  ABCD  .

a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x , K là hình chiếu của S trên DM . Tính
độ dài đoạn SK theo a và x . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK

A

5
(1,5
điểm)

D

0,5

K

M

B

C

a) SA vuông góc với mp  ABCD  nên SA vuông góc với AB và AD. Vậy

SAB và SAD vuông tại A
Lại có SA vuông góc với  ABCD  và AB  BC nên SB vuông góc với BC.

Vậy tam giác SBC vuông tại C. Tương tự tam giác SDC vuông tại D.
b) Ta có BM = x nên CM= a − x


 CDM
)
AKD DCM
= 900 , DAK
=
Ta có ∆AKD đồng dạng với ∆DCM (vì có =
AK AD
⇒
=
CD DM
AD
a2
⇒=
AK DC. =
.
DM
x 2 − 2ax + 2a 2

x 2 − 2ax + 3a 2
Tam giác SAK vuông tại A nên SK = SA + AK = a. 2
x − 2ax + 2a 2
SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất ⇔ K ≡ O ⇔ x = 0
2

Vậy SK nhỏ nhất bằng

a 6
2

0,25

0,25

2

0,25
0,25