Đề thi giao lưu HSG môn Toán 7 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THCS Lê Lợi

PHÒNG GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THCS LÊ LỢI

NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ THI MÔN: Toán - Lớp 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ BÀI
Câu 1. (4.0 điểm):

13
19  23
2
8
. 0,5 .3    1  :1
15
 15 60  24

a/ Tính: A = 1

b/ Thực hiện phép tính: A 

212.35  46.92

6

 22.3  84.35



510.73  252.492
3

125.7 

 59.143

Câu 2. (4.0 điểm):
a/ Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn:

1 1 1
 
x y 7

b/ Tìm các số a,b,c sao cho: 2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 30
Câu 3. (4.0 điểm):
2a + 9 5a +17 3a
a/ Tìm số nguyên a để
là số nguyên.
+
a +3
a +3 a +3
b/ Cho P(x) = x99 - 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1. Tính P(99) = ?
Câu 4. (6.0 điểm): Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia

CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P, Q là trung điểm của AD, BC, và I là
giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q.
a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC
b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE 

1
AD .
2

Câu 5. (2.0 điểm): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  2, thì tổng
S

3 8 15
n2  1
   .....  2 Không thể là một số nguyên.
4 9 16
n

------------------Hết-------------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh:. . . . . . . . . . .


PHÒNG GD&ĐT QUẢNG BÌNH

KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THCS LÊ LỢI

NĂM HỌC 2018-2019

Câu

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

( Gồm 03 trang)

MÔN: TOÁN 7

Ý

Nội dung

Điểm

13
19  23
2
8
. 0,5  .3    1  :1
15
 15 60  24

+ Biến đổi: A = 1

28 1

8 79 47
. .3  (
):
15 4
15 60 24
7 32  79 24
=

.
5
60
47
7 47 24
=  .
5 60 47

A=
C©u1
4®

a) 2,0 đ

7
5

= 

1,0

0,5

2
5

0,5

=1
6 2
212.35 4.9

4 4
212.35 212.34 510.73 5.7
A

 12 6 12 5  9 3 9 3 3
3
9 3
2 6
4 5
 2.3 8.3 125.7 5.14 2 .3 2 .3 5.7 5.2.7

b.
(2®)

2 2
510.73 25.49

4 3 6
212.3.4  31 5.7. 5 7
 12 5

 9 3

3
2 .3. 31 5.7.
1

2
 

0.5

4
5.7. 5 7 1 56 7
212.3.2
 12 5  9 3
  5
2 .3.4
5.7.9
6 5.9
55.32(56 7)
2429



5
2.5.9
6250
4 3

0.5

6

0.5

0.5

Vì x,y nguyên dương nên ta có

Câu 2
( 4đ)

a
(2đ)

0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25

1 1 1
 
x y 7
xy -7x- 7y =0
x(y – 7) - 7(y-7) = 49
( y- 7 ).( x-7) =49
Nên y – 7 ; x - 7  Ư(49)
Mà Ư(49)  1; 7; 49
Nên

x-7

-1

-7

-49

1

7

49

0,5đ


y-7
-49
-7
-1
49
x
6
0
-42
8
y
-42
0

6
56
Vì x > 0 nên (x,y)  (8;56; (14;14); (56;8)

7
14
14

1
56
8



a
b
(1)

21 14
b
c
5b = 7c =>
(2)

14 10
a
b
c 3a 7b 5c
Từ (1) ,(2) =>






21 14 10 63 98 50

Từ 2a = 3b =>

b.
(2đ)

Âp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
A= 42 ; b= 28 ; c = 20
Ta có:

0,5
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ

2a  9 5a  17
3a
4a  26 4 a  12  14
=



a3

a3
a3
a3
a3

0,5đ
Câu 3
(4đ)

a.
(2đ)

b
(2đ)

4( a  3)
14
=
là số nguyên.
4
a3
a3

Khi đó a+3 là ước của 14
Mà Ư(14) =  1;1;2;2;7;7;14;14 

0,5đ

Lập bảng tìm a.

0,5đ

Vì a  Z => a   17;10;5;4;2;1;4;11 
Vì x= 99 nên x – 99 = 0
Ta có:
P(x) = x99 – 100x98 + 100x97 – 100x96 + ... + 100x -1.
= x99- 99x98 – x98 + 99x97 +x97 – 99x96 – x96 +...- 99x +x -1
= x98( x- 99) – x97( x- 99) + x96 ( x – 99) +....- x( x -99) + ( x-1)
= x98.0 – x 97.0 + x96.0 - .....- x.0 + x – 1
=> P(99) = 99 -1 = 98

0,5đ
0,5đ
1đ

0,5đ


A

P

Q
C

B

0,5
Câu 4
(6 đ)

E
D

I

a
2đ

b
2đ

c

Ta có QI là đường trung trực của BC  IB = IC
IP là đường trung trực của AD  IA = ID
Lại có AB = CD (gt)
Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c)
CM:  PAI =  PDI(c.g.c)
  DAI =  D
Mà ∆AIB = ∆DIC (câu a)   BAI =  D
Do đó  DAI =  BAI.
Vậy AI là tia phân giác của góc BAC
Ta có ∆AIE = ∆AIP (cạnh huyền- góc nhọn)
=> AE = AP
Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD)
Suy ra AE 

1
AD

2

8 15
n2  1
 .....  2
9 16
n
2
2
2  1 3  1 42  1
n2  1
Ta có S  2  2  2  .....  2 ( Dãy này có n-1 số hạng)
2
3
4
n

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5

3
4

Từ S   

1 1 1
1
 2  2  .....  2 )
2
2 3 4
n
Suy ra S < n – 1 (*)
1 1 1
1
1
1
1
1
1
Lại có 2  2  2  .....  2     ..... 
 1
2 3 4
n 1.2 2.3 3.4
(n  1).n
n
S  n 1  (

Câu 5
(2đ)

1
n

1
n

0,25 đ

0,25đ
0, 25 đ
0,25đ

Từ đó suy ra S  n  1  (1  )  n  2   n  2 (*)
Từ (*) và (**) ta có n – 2Do n là số tự nhiên n  2 nên n-2 và n-1 là 2 số tự nhiên liên tiếp
=> S không thể là một số nguyên

0,5đ
0,25đ
0,25đ