Đề kiểm tra cuối hè môn Toán 10 năm 2019 có đáp án - Trường THPT chuyên Bắc Ninh

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH
TỔ TOÁN – TIN
(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ NĂM 2019
Môn thi: Toán 10 chuyên
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm).
m
4 x + 23 x + 33

Cho phương trình 8 x 2 + 42 x + 55 =2
a) Giải phương trình khi m = 1.

b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có tâm O. Đường thẳng d quay quanh O, cắt hai cạnh AD và
BC lần lượt ở E và F (không trùng với các đỉnh của hình vuông). Qua E và F lần lượt

kẻ đường thẳng song song với BD và AC chúng cắt nhau tại I . Kẻ IH vuông góc với
EF tại H . Chứng minh rằng:

a) Điểm I chạy trên đoạn AB.
b) Điểm H thuộc đường tròn cố định và đường thẳng IH đi qua một điểm cố định.
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hai số 2a > b > 0. Chứng minh rằng 2a +

64

( 2a − b )( b + 3)

2

≥ 5.

Câu 4 (2,0 điểm).
a) Cho tập X = {1, 2,3,..., 2020} . Chứng minh rằng trong số 1011 phần tử bất kì của tập X
luôn có hai phần tử nguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn 5n − 1 chia hết cho n.
Câu 5 (2,0 điểm). Giả sử phương trình ax 2 + bx + c= 0 ( a ≠ 0 ) có các nghiệm x1 , x2 .
Đặt Sn =x1n + x2n , n ∈ .
a) Chứng minh: aSn + bSn −1 + cSn −2 =
0.
b) Áp dụng tính A = (1 + 3 ) + (1 − 3 )
8

8

------------ Hết -----------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


ĐÁP ÁN TOÁN 10

Câu

Nội dung

Điểm

1
ĐK

a) Khi m = 1, ta có phương trình 8 x 2 + 42 x + 55 =2
4 x + 23 x + 33
11
x ≠ −3; x ≠ −
4

1 điểm

PT ⇔ ( 2 x + 5 )( 4 x + 11)( 4 x + 11)( x + 3) =
1
⇔ ( 2 x + 5 )( x + 3)( 4 x + 11) =
1
2

⇔ ( 4 x + 10 )( 4 x + 12 )( 4 x + 11) =
8
2

Đặt ( 4 x + 3) = t , (t ≥ 0), phương trình trở thành t 2 − t − 8 = 0 ⇔ t =
2

Câu 1
(2điểm)

đối chiếu đk,
ta có

( 4 x + 11) =
2

1 + 33
1
1 + 33
⇔ x =  −11 ±
2
4
2


1 ± 33
,
2






b) Ta có ( 4 x + 10 )( 4 x + 12 )( 4 x + 11) =⇒
8m t 2 − t − 8m =
0
(1)
2

với t =
( 4 x + 11) , t ≥ 0.
2

PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (1) có hai nghiệm

∆t > 0
1 + 32m > 0
1


⇔ − < m < 0.
dương phân biệt ⇔  S > 0 ⇔ 1 > 0
32


−8m > 0
P > 0

1 điểm


1 điểm

Câu 2
(3điểm

a) Dễ dàng chứng minh được ∆EFI vuông ở I , và IO là trung tuyến thuộc
cạnh huyền EF , do đó OE = OI nên O nằm trên trung trực của EI
Mặt khác OA ⊥ EI nên OA là trung trực của EI . Nên ∆AEI vuông cân tại A
 = 450. Vậy
Suy ra 
AIE = 450. Tương tự BIF

 + BIF
 = 450 + 900 + 450 = 1800 suy ra I , A, B thẳng hàng

AIB = 
AIE + EIF
hay I ∈ AB (đpcm).
b) Ta có: AEHI và BFHI là các tứ giác nội tiếp. Suy ra

 =IFB
 =450 ⇒ 
AHI =
AEI =450 , IHB
AHB =900. Vậy H ∈ đường tròn

2 điểm

đường kính AB. (đpcm).

Gọi HI cắt đường tròn đường kính AB ở K , ta có 
AHK
= BHK
= 450 nên

AB suy ra K cố định. (đpcm).
K là trung điểm cung 
Câu 3
1điểm

Theo BĐT AM-GM: ( 2a − b )( b + 3)( b + 3) =

1
( 4a − 2b )( b + 3)( b + 3)
2

1  4a − 2b + b + 3 + b + 3  4 ( 2a + 3)
64
63
≤ 
=
⇒
≥
2.

2
3
2
3
27

( 2a − b )( b + 3)
( 2a + 3 )
3

⇒ 2a +

64

( 2a − b )( b + 3)

2

3



63
≥ 2 a +
.
3

( 2a + 3) 


Theo BĐT AM-GM ta có

(1)

1 điểm


2a + 3 2a + 3 2a + 3
63
63
3 5
4
+
+
+
≥
⇒
a
+
≥ 4 − =(2)

3
3
6
6
6
2 2
( 2a + 3 )
( 2a + 3 )
Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi=
a
Câu 4
2điểm

3
=
, b 1.
2

a) Chia tập X thành các cặp (1, 2 ) , ( 3, 4 ) ,..., ( 2019, 2020 ) . Có tất cả 1010 cặp 1 điểm
và 1011 phần tử nên theo nguyên tắc Dỉichlet, tồn tại hai phần tử thuộc cùng
một cặp. Hai phần tử này nguyên tố cùng nhau. (đpcm)
b) Xây dựng dãy

x1
( xn ) : =

1, xn=
5 xn − 1. Ta chứng minh ( xn ) là dãy số 1 điểm
+1

nguyên dương tăng và mọi số hạng của dãy đều thỏa mãn đk bài toán.
+ Thật vậy

( xn )

là dãy số nguyên dương. Áp dụng BĐT Becnuli ta có

xn +1= 5 xn − 1 ≥ 1 + 4.xn − 1= 4 xn > xn Vậy ( xn ) là dãy số tăng. (1)

+ Dùng quy nạp chứng minh 5 xn − 1 xn (*)
Với n=1, ta có 5 x1 − 1 x1 (đúng)
Giả sử (*) đúng đến n, tức là 5 xn − 1 xn ⇒ xn +1= 5 xn − 1= k .xn , ( k ∈ * )
Ta có 5 xn+1 − 1= 5kxn − 1 ( 5 xn − 1) ⇒ 5 xn+1 − 1 xn +1. Theo nguyên lí quy nạp suy ra
5 xn − 1 xn , ∀n ∈ * (2).

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
Câu 5
2điểm

+ bx1 + c 0
a) ta có ax12=

+ bx2 + c
(1) , ax22=

0

( 2)

Nhân hai vế của (1) 1 điểm

với x1n − 2 và nhân hai vế của (2) với x2n − 2 rồi cộng theo vế ta đc đpcm.
b) Ta có 1 ± 3 là nghiệm của PT x 2 − 2 x − 2 =
0 nên

1 điểm

S n − 2 S n −1 − 2 S n − 2 =0,S0 =2, S1 =2 ⇒ S 2 =2 S1 + 2 S0 =8,... ⇒ S8 =3104. Vậy

A=31044.

2