Một số chủ đề ôn tập dành cho học sinh ôn thi vào lớp 10

MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ÔN TẬP
DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10.
PHẦN ĐỀ BÀI.
Chủ đề 1.
Các bài toán liên quan đến rút gon biếu thức
Câu 1.Tìm GTLN của P 

2 x 6
.
x 2

Câu 2. Cho A 

x 1
so sánh A với A2 .
x 2

Câu 3. Cho A 

x
.Tìm x để A  A .
x 2

Câu 4. Cho A 

x2 x 2
.Tìm GTNN của A .
x 1

Câu 5. Cho A 

x 1
.Tìm GTLN của A .
x 2 x 2

Câu 6. Cho A 

x
khi x  1 . Tìm GTNN của A .
x 1

Câu 7. Tìm x để A 

5 x
là số nguyên.
x4

Câu 8. Tìm x để A 

2 x 1
là số nguyên.
x 1

Câu 9. Tìm x Z để A 

x4
là số nguyên.
x 1

Câu 10. Tìm x để P 

3
là số nguyên.
x 1

Chủ đề 2: Giải phương trình tìm x, y .


1
1 1
x 2   x 2  x    2 x 3  x 2  2 x  1 .
4
4 2

1.

2. x 2  4 x  7   x  4  x 2  7 .

3 
3 
1 
1

3.  x 2  y   y 2  x     2 x   2 y    x, y  0  .
4 
4 
2 
2

4.

x2
y2

 8 biết x, y  1 .
y  1 x 1

5. ( x 2  4) 2 x  4  3x 2  6 x  4 .
6. x 3  6 x 2  2 x  3  (5 x  1) x 3  3  0 .
7. 8 x3  11x 2  5 x  2  2 3 x 2  5 x  1 .
x2  x  1   x 2  x  1  x 2  x  2 .

8.

9. x  2019  2019  x .
10. x 2  x  5  5 .
11.

3

x2  1  x  x3  2 .

12.

5 x 2  24 x  28  x 2  x  20  5 x  2 .

13.

5x 2  6 x  5 

64 x 3  4 x

.
5x2  6 x  6

14. x 3  3 x 2  9 x  7  10  x  4  x .
15. x 3  2 x  3 x 2  6 x  4 .
16.

2 x  5  7  2 x  x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  11 .

17.

x  1  3  x  x 4  4 x 3  7 x 2  12 x  14 .

18. x 3  3x 2  5 x  3   x 2  3  x 2  1 .
19.
20.


3





x  1  1 x  5  2 x  1  2  x  1 2 x  1 .

7 x  1  3 x 2  8x 1  2  3 x 2  x  8 .

Chủ đề 3. Bất đẳng thức , GTLN, GTNN.
1. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 3 x 2  2  y 2  yz  z 2   3 . Tìm GTLN, GTNN của

P  x y z .

2. Cho các số thực dương x, y sao cho x 3  y 3  6 xy  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

1 1
 .
x y


3. Cho các số thực x, y  0 thỏa mãn: x  y  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 4
P  x  y  6   .
x y
4. Cho các số thực x, y  0 và x  y  3 .Tìm giá trị nhỏ nhất P  2 x 2  y 2 

28 1
 .
x y

5. Cho 4  x, y , z  6 và x  2  y  z   24 .Tìm GTLN của P  xyz .
6. Cho x, y  0 và x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

1
1
  4 xy .
2
x y
xy

2

3

3


1  
1 
7. Cho x, y  0 và x  y  1 .Tìm GTNN của P   x   1    y   1 .
y  
x 

2 4
8. Cho x, y  0 và 2 x 2  2 xy  y 2  2 x  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P    2 x  3 y .
x y
9. Cho các số thực x, y, z  0 thỏa mãn: 3 x 2  2  y 2  yz  z 2   9 . Tìm GTLN, GTNN của

1 1 1
P  x  y  z  2    .
x y z
10. Cho các số thực dương x, y sao cho x 3  y 3  6 xy  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

1
3
  xy .
2
x y
xy

2

11. Cho các số thực dương x, y sao cho x 2  y 2  x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P  x4  y 4 

32

 x  y

2

.

12. Cho các số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  1 .
a. Tìm GTLN,GTNN của P  5 x  4  5 y  4  5 z  4 .
b. Tìm GTLN,GTNN của P  x  y  y  z  z  x .
c. Tìm GTLN của P  2 x 2  3 x  4  2 y 2  3 y  4  2 z 2  3 z  4 .
13. Cho các số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  3 . Tìm GTLN,GTNN của
P  x y  y z  z x .

14. Cho các số thực dương x, y , z sao cho xy  yz  zx  5 .Tìm GTNN của

P  3  x2  y 2   z 2 .
2

15. Cho các số thực dương x, y , z sao cho x 4   y 2  1  z 4  3 . Tìm GTLN của
P  2y  x  z 

1
.

x  y2  z2
2


16. Cho các số thực x, y, z  0 và xyz  1 .Tìm GTNN của P 

1

 x  1

2

17. Cho các số thực x, y sao cho x  y  1, x  0 .Tìm GTNN của P 



1

 y  1

2



4
3  z  1

8x 2  y
 y2 .
4x

18. Cho các số thực dương x, y sao cho x  y  3 .Tìm GTNN của
P  6 x 2  4 y 2  10 xy 

4x 3 y

 38 .
y
x

x2  3y 2
19. Cho các số thực dương x, y sao cho x  y  2 .Tìm GTNN của P 
.
2 xy  x 2 y 3
20. Cho x, y, z  0 và x 3  y 3  z 3  3 .
+ Chứng minh: x  y  z  3 .
+ Tìm GTLN P  3  xy  yz  zx   xyz .
21. Cho x, y, z  0 và x  y  z  3 .Tìm GTNN của P 

x3
y3
z
.


y3
z 3
x3

 1

1 1
22. Cho x, y , z  0, xyz  1 . Tìm GTLN P  2  x  y  z    2  2  2  .
y
z 
x
23. Cho x, y, z  0 và x 2  y 2  z 2  1 .Tìm GTLN của P  1  2 x 1  2 yz  .

x2 y 2 z 2
24. Cho x, y, z  0 và x  y  z  1 . Chứng minh:

  3  x2  y 2  z 2  .
y
z
x
25. Cho x, y , z thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  2 .Chứng minh: x  y  z  xyz  2 .
26. Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  1 .Tìm GTNN của P  x 2  2 y 2  3 z 2 .

3

.


HƯỚNG DẪN VẮN TẮT
Chủ đề 1
Các bài toán liên quan đến rút gon biếu thức
Câu 1.Tìm GTLN của P 

2

Hướng dẫn: P 



2 x 6
.
x 2



x 2 2
x 2

 2

2
vì
x 2

2
2
  1 P  3
x 2 2

x 0 x 22

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi x  0

x 1
so sánh A với A2 .
x 2

Câu 2. Cho A 
Hướng dẫn:

Điều kiện: x  0, x  4 .

Xét A  A2  A 1  A  
3

thì





  0 . Vậy A

x 1

x 2



2

x 1 
x 1 
1 

x 2

x  2 
2





x  1  3  3 x  1


2
x 2 x 2
x 2





với x  0, x  4

 A với x  0, x  4 .

x
.Tìm x để A  A .
x 2

Câu 3. Cho A 
Hướng dẫn:

Điều kiện x  0, x  4 .

Nếu 0  x  4 thì

x  2  x  2  0 dẫn đến A  0 còn A  0 suy ra A  A , dấu đẳng

thức xảy ra tại x  0 . Vậy 0  x  4 thì A  A .

Nếu x  4 thì

x  2 x 20

x 2  x 2 A 

x

x 2

x
A .
x 2


Kết luận: 0  x  4 thì A  A .

Câu 4. Cho A 

x2 x 2
.Tìm GTNN của A .
x 1

Hướng dẫn:Điều kiện x  0 khi đó


A



x  0, x  1  0 . Ta viết lại A thành:

2

x 1 1
x 1

1
2
x 1

 x 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Câu 5. Cho A 



1



x 1 .





 2 (Theo bất đẳng thức AM-GM).

x 1

1
 x 1 1  x  0 .
x 1

x 1 

x 1
.Tìm GTLN của A .
x 2 x 2

Hướng dẫn:
Nếu 0  x  1 thì A  0 .
Nếu x  1 thì A  0 ta có:

và chỉ khi



Suy ra A 



x 1 

1 x2 x 2


A
x 1

1









x 1 

1





 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi

x 1

 x 1  1  x  4 .

x 1

1
1
. Vậy GTLN của A là
tại x  4 .
2
2

Câu 6. Cho A 

x
khi x  1 . Tìm GTNN của A .
x 1

Hướng dẫn:
x
x 11
1
1

 x 1
 x 1 
 2  2  2  4 . Dấu đẳng thức
x 1
x 1
x 1

x 1
1
xảy ra khi và chỉ khi
x 1 
 x 1  1  x  4 .
x 1



Ta có: A 







Vậy GTNN của A là 4 tại x  4 .






Câu 7. Tìm x để A 

5 x
là số nguyên.
x4

Hướng dẫn:
Nếu : x  0 thì A  0 thỏa mãn.

5

Nếu x  0 ta có: A 

x
nguyên suy ra A  1 hay

4
x

.Lại có

x

5
4
 4 (TheoAM-GM). Suy ra 0  A  , vì A
4
x

5 x
1 x 5 x  4  0 
x4





x 1

x  1
.
x 4 0 
 x  16



Vậy x  0;1;16 thì A Z .
Câu 8. Tìm x để A 

2 x 1
là số nguyên.
x 1

Hướng dẫn:
Điều kiện x  0 .
Ta có A  2 

1
 2 , dễ thấy A  0 suy ra 0  A  2 , vì A nguyên nên A  1 dẫn đến
x 1

2 x 1
1 x  2 x  0  x
x 1



x  0
.
x 2  0 
x

4




Vậy x  0; 4 thì A Z .
Câu 9. Tìm x Z để A 

x4
là số nguyên.
x 1

Hướng dẫn:
Điều kiện x  0 , từ giả thiết suy ra A 

 x Z

suy ra

5 x  1





Kết luận: x  0;16

x 1 5
5
 x 1 
. Để A là số nguyên thì
x 1
x 1

x  1  1;5  x  0; 4  x  0;16 .


3
là số nguyên.
x 1

Câu 10. Tìm x để P 
Hướng dẫn:
Điều kiện x  0 .

3
3
  3  0  P  3 . Do P  Z nên
x 1 1

Ta thấy P  0 ,

x  0  x 1 1  P 

P  1; 2;3 

x  1  1; 2;3  x  0;1; 2  x  0;1; 4 .

Chủ đề 2: Giải phương trình tìm x, y .

1.

1
1 1
x 2   x 2  x    2 x 3  x 2  2 x  1 .
4
4 2

Hướng dẫn:
2

1
1
1
1

x    x     x 2  1  2 x  1 . Điều kiện x   suy ra phương trình có dạng:
4
2
2
2

2

2

1
1 1
1
1
1 1


x   x    x 2  1  2 x  1   x     x 2  1  2 x  1   x     x 2  1  2 x  1
4
2 2
2
2
2 2


2
Hay  2 x  1 x  0 ….
2

2. x 2  4 x  7   x  4  x 2  7 .
Hướng dẫn:
Ta viết lại phương trình thành:
2 x 2  8 x  14  2  x  4  x 2  7   x 2  7    x 2  8 x  16   2  x  4  x 2  7  9
2

Hay  x 2  7   x  4    9 .Học sinh tự giải tiếp.



3 
3 
1 
1

3.  x 2  y   y 2  x     2 x   2 y    x, y  0  .
4 
4 
2 
2

Hướng dẫn:


2

3 
1 1
1
1

Chú ý rằng: x  y    x 2     x  dẫn đến VT   x  y   .Lại có
4 
4 2
2
2

2

2

1
1

2
 2x   2x  
1
1
2
2 

VP 
  x  y   . Dấu đẳng thức xảy ra tại x  y  .
4
2
2

4.

x2
y2

 8 biết x, y  1 .
y  1 x 1

Hướng dẫn.
Chú ý rằng:

x2  1  1

1
1
 x 1
  x  1 
 2  2  2  4 suy ra VT  8 , dấu đẳng
x 1
x 1
 x  1

thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  4 .
5. ( x 2  4) 2 x  4  3x 2  6 x  4 .
Hướng dẫn:

x

2

 4  2 x  4  4 x 2  6 x   x 2  4  hay  x 2  4 

x

2

 4



2x  4 1  2x 




hay x  2 x  4





2



2x  4



2





2 x  4  1  2 x  2 x  3 hay

 1  x 2  4  2 x






2x  4 1  x2  2x 2x  4  2x  4  0

0 .

6. x 3  6 x 2  2 x  3  (5 x  1) x 3  3  0 .
Hướng dẫn:
Đặt t  x3  3  0 .Phương trình trở thành:
t 2   5 x  1 t  6 x 2  2 x  0  t 2   5 x  1 t  2 x  3 x  1  0   t  2 x  t  3 x  1  0 .

(Cần chú ý 5 x  1  2 x  3 x  1 để dựa vào định lý Viet đảo và phân tích nhân tử, hoặc có thể
tính  theo x ).
7. 8 x3  11x 2  5 x  2  2 3 x 2  5 x  1 .
Hướng dẫn:


3
2
8 x  11x  5 x  2  2 y
Đặt y  3 x 2  5 x  1 ta có hệ sau:  2
cộng hai phương trình:
3
 x  5 x  1  y
3

8 x3  12 x 2  10 x  3  y 3  2 y   2 x  1  2  2 x  1  y 3  2 y
2
  2 x  1  y   2 x  1   2 x  1 y  y 2  2   0  y  2 x  1 học sinh tự giải tiếp.



x2  x  1   x 2  x  1  x 2  x  2 .

8.

Hướng dẫn giải:

x

Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

2

 x  1 .1 

x2  x  1  1
;
2

x

2

 x  1 .1 

x2  x 1 1
suy
2

x 2  x  x2  x  2

2
ra VT 

 x  1 .Lại có VP   x  1   x  1  0 . Dấu đẳng thức xảy ra tại
2
2

x2  x 1  1
 2
 x  x  1  1  x  1 .

2
 x  1  0
9. x  2019  2019  x .

 y 2  x  2019
2019  x  y  0  
trừ 2 phương trình cho nhau ta thu được:
 x  y  2019

Đặt



y2  x  x  y  0  y  x

 y 

y  x
x 1  0  

học sinh tự giải tiếp.
 y  1  x



10. x 2  x  5  5 .
2
 x  y  5
Đặt y  x  5  0   2
 x 2  y 2  y   x   x  y  x  y  1  0 . Học sinh tự giải
 y  x  5

tiếp.
11.

3

x2  1  x  x3  2 .

Hướng dẫn :
Điều kiện x  3 2 .


Viết lại phương trình thành:
3

2

x2  9

3

x 1  2  x  3  x  2  5 



 x  3 



x3



3

2

 

x2  1  2

3



3

3

 

3



 x 3

x3  2  5

x2 1  4

 0 hay


x 2  3x  9 
1
0.
3
2
x

2

5
x 1  4





x3

Ta sẽ chứng minh:

2

x2 1  2

x 3  27

x2  1  2 3 x 2  1  4

x 2  3x  9

 1 và

x3  2  5

2

Thật vậy:
x3

+ Ta xét
3

x

2

1 

2

 1  2 3 x 2  1  4

3

x

2

2

 1  2 3 x 2  1  x  1 . Đặt

3

x2  1  t  0

 x  t 3  1 . Bất phương trình tương đương với t 2  2t  1  t 3  1  t 4  3t 3  6t 2  4t  0 .
Điều này là hiển nhiên đúng.

+ Ta xét:

x 2  3x  9
3

 2  x 2  3 x  1  2 x3  2  x 4  2 x3  7 x 2  6 x  9  0

x 2 5
x  0 . Điều này luôn đúng. Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: x  3
12.

5 x 2  24 x  28  x 2  x  20  5 x  2 .

Hướng dẫn:
5 x 2  24 x  28  5 x  2  x 2  x  20 . Bình phương 2 vế ta được:

Viết lại pt thành:

5 x 2  24 x  28  25  x  2   x 2  x  20  10
2 x2  x  1  5

x

2

 x  2 x  4 x  5 

 2 x  8   x  5  0  2  x 2  2 x  8   3( x  5)  5

x

2

Chú ý rằng với điều kiện x  4 ta có thế phân tích phương trình thành:

2

x2  2 x  8  3 x  5

13.

5x 2  6 x  5 

Hướng dẫn:





x 2  2 x  8  x  5  0 .Học sinh tự giải tiếp.

64 x 3  4 x
.
5x2  6 x  6

 2 x  8  x  5   0 .


3

Ta viết lại phương trình thành:  5 x 2  6 x  6  5 x 2  6 x  5   4 x    4 x  đặt

5x2  6 x  5  a

3

thì phương trình đã cho có dạng: a3  a   4 x    4 x   a  4 x .Học sinh tự giải tiếp.
14. x 3  3 x 2  9 x  7  10  x  4  x .
Hướng dẫn:
Ta viết lại phương trình thành:

 x  1

3

3

 6  x  1   6  4  x  4  x   x  1  6  x  1 



4 x

3

 6

4 x

15. x 3  2 x  3 x 2  6 x  4 .
Hướng dẫn giải:
2

Điều kiện 3  2 x  0 , hơn nữa 3 x 2  6 x  4  3  x  1  1  0  x  0 .
Ta có: x 3  2 x  x 2  3  2 x  

x2  3  2 x
,lại có:
2

2
x 2  3  2 x 5  x  2 x  1 5
2
3x  6 x  4 

  x  1  0 nên dấu ‘’=’’ xảy ra khi x  1
2
2
2
2

Học sinh tự giải tiếp.
Cách khác:Viết lại phương trình thành:
2

x 3  2 x  1  3  x  1 

x2 3  2x  1
x 3  2x 1

2

  x  1 

2 x 3  3 x 2  1
2

  x  1 .Do
x 3  2x 1

2

2 x 3  3 x 2  1    x  1  2 x  1  0 nên VT  VP . Dấu đẳng thức xảy ra tại x  1 .
16.

2 x  5  7  2 x  x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  11 .

Hướng dẫn giải:
Điều kiện

5
7
x
2
2
2

Áp dụng bất đẳng thức  ax  by    x 2  y 2  a 2  b 2  ta có:



2x  5  7  2x



2

 1  1 2 x  5  7  2 x   4  2 x  5  7  2 x  2 .Lại có:


2

2

x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  11  2  x 4  4 x 3  2 x 2  12 x  9   x 2  6 x  9  x 2  2 x  1   x  3  x  1  0
Học sinh tự làm tiếp để tìm được x  3

x  1  3  x  x 4  4 x 3  7 x 2  12 x  14 .

17.

Hướng dẫn:Làm như bài 16 tìm được x  2 .
18. x 3  3x 2  5 x  3   x 2  3  x 2  1 .
Hướng dẫn:
3

Viết lại phương trình thành:  x  1  2  x  1 
19.







3

 

x2  1  3

x2  1





x  1  1 x  5  2 x  1  2  x  1 2 x  1 .

Hướng dẫn:
Đặt

x  1  1  a  a 2  x  2  2 x  1 , b  2 x  1 thì b 2  2 x  1 ta thu được:

a  a 2  3   b  b 2  3 , phần còn lại học sinh tự giải.
20.

3

7 x  1  3 x 2  8x 1  2  3 x 2  x  8 .

Hướng dẫn:
Ta viết lại phương trình thành:
3

3

7 x  1  3 x 2  8 x  1  3 x 2  x  8  2 . Đặt

7 x  1  a; 3 x 2  8 x  1  b;  3 x 2  x  8  c thì a3  b3  c 3  8   a  b  c 

3

3

Chú ý rằng:  a  b  c   a 3  b3  c 3  3  a  b  b  c  c  a  từ đó suy ra

 a  b  b  c  c  a   0 .Học sinh tự

giải tiếp.

Chủ đề 4. Bất đẳng thức , GTLN, GTNN.
1. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 3 x 2  2  y 2  yz  z 2   3 . Tìm GTLN, GTNN của
P  x y z .

Hướng dẫn:
Ta viết lại giả thiết thành: x 2  y 2  z 2  x 2  y 2  x 2  z 2  2 yz  3 . Vì

x 2  y 2  2 xy , x 2  z   2 xz nên


2

3  x 2  y 2  z 2  x 2  y 2  x 2  z 2  2 yz  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx   x  y  z  . Suy ra

 3  x y z  3 .
Cách khác: Ta viết lại giả thiết bài toán thành:

x

2

2

2

2

 y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx    x 2  2 xy  y 2    x 2  2 xz  z 2   3   x  y  z    x  y    y  z   3


Từ đó suy ra  x  y  z   3 .
Chú ý rằng: Do tính đối xứng của y , z ta sẽ dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại y  z thì giả thiết
bài toán có thể viết thành 3 x 2  6 y 2  3  x 2  y 2  y 2  1, P  x  y  y , P  x  2 y điều này
cho phép ta dự đoán dấu đẳng thức sẽ xảy ra tại x  y dẫn tới x  y  z và có phân tích trên.
2. Cho các số thực dương x, y sao cho x 3  y 3  6 xy  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

1 1
 .
x y

Hướng dẫn:
Giả thiết bài toán được viết lại thành:

 x  y

3

3

 3 xy  x  y   6 xy  8  0   x  y   8  3xy  x  y  2   0 hay
2

 2  x  y   4  3 xy   0   x  y  2   x 2  xy  y 2  2 x  2 y  4   0 từ đó

1 1
2
2
4
suy ra x  y  2 . Áp dụng AM-GM ta có:  


2
x

y
x y
x y
xy
2

 x  y  2  x  y 

3. Cho các số thực x, y  0 thỏa mãn: x  y  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

1 4

P  x  y  6   .
x y
Hướng dẫn:
Ta thêm vào một lượng 6m 2  x  y  với mục đích để có thể vận dụng AM-GM theo dạng
1
4
 m 2 x  2m,  m 2 y  4my qua đó làm triệt tiêu lượng
x
y

1 4
6  
x y


Ta viết lại
1 4

1

4
P  6    m 2  x  y    1  6m 2   x  y   6   m 2 x   m 2 y   1  6m 2   x  y 
y
x y

x


 6  2m  4m   1  6m 2   x  y  .
x  y  6

3
1

Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 
1
2   6  m   x  2, y  4 .
m
2
 x  m , y  m
Từ đó ta có lời giải như sau:

1 x 4 y 1
P  6     6      x  y   6  12  3  15 . Học sinh tự hoàn thiện.
 x 4  y 4 2
4. Cho các số thực x, y  0 và x  y  3 .Tìm giá trị nhỏ nhất P  2 x 2  y 2 

28 1
 .
x y

Hướng dẫn:
Ta xử lý phần:

28 1
28
1

bằng cách thêm vào 7m2 x  n 2 y . Ta có
 7 m 2 x  28m,  n 2 y  2n
x y

x
y

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 

Lúc này ta có x 2 

2
1
,y .
m
n

4 2 1
, y  2 nên ta sẽ phân tích P như sau:
m2
n


4  
1   28
8
1

 1
P  2  x 2  2    y 2  2     7m2 x     n2 y   7m2 x  n2 y  2  2
m  
n   x
m n


 y



8x 2 y
8
1
8
1
8
 2


 28m  2n  7m 2 x  n 2 y  2  2  x   7m 2     n2  y  28m  2n  2  2 .
m n
m n
m n
m
 n


2 1
8
 2

Ta mong muốn:   7m 2  :   n 2   1:1 để tận dụng giả thiết x  y  3 và   3 .
m n
m
 n


 8
2 2
2
 m  7m  :  n  n   1:1
 

Giải hệ: 
 m  n  1  x  2, y  1 .
1  2 3
 m n


Từ đó ta có:


 28
 1
P  2  x 2  4    y 2  1    7 x     y   7 x  y  9  8 x  2 y  28  2  7 x  y  9  x  y  21  24
 x
 y

Học sinh tự hoàn thiện lời giải.
Chú ý: Có thể sử dụng máy tính cầm tay để dấu bằng.
Cách làm trên sẽ giúp hs có cách xử lý bài toán bài bản.
5. Cho 4  x, y , z  6 và x  2  y  z   24 .Tìm GTLN của P  xyz .
Hướng dẫn:
Ta đặt x  2t thì giả thiết được viết lại thành: y  z  t  12 và P  2 yzt .
Với 2  t  3, 4  y, z  6 .

Ta có yz 

 y  z
4

2



12  t 

2

t 12  t 
nên P 
2

4

2

2

Ta tìm GTLN của Q  t 12  t   t 3  24t 2  144t với 2  t  3 .
Do 2  t  3   t  2  t  3  0  t 2  5t  6 . Suy ra
Q  t  5t  6   24t 2  144t  19t 2  138t  19t  3  t   81t  243 . Dấu đẳng thức xảy ra tại t  3

khi đó y  z 

Vậy P 

9
.
2

243
9
,dấu đẳng thức xảy ra tại x  6, y  z  .
2
2

6. Cho x, y  0 và x  y  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

1
1
  4 xy .
2
x y
xy
2

Hướng dẫn:
Viết lại

P

1
1
1



 4 xy 
2
x y
2 xy 2 xy
2

Hay P 

x

2

 y 2  .2 xy



1
2
1
 4 xy  2

 4 xy
2
x  y  2 xy 2 xy
2 xy
2
2

4

 x  y

2

2

 x  y 1
1

 4 xy . Chú ý xy 
 .Học sinh tự hoàn thiện.
2 xy
4
4


3

3


1  
1 
7. Cho x, y  0 và x  y  1 .Tìm GTNN của P   x   1    y   1 .
y  
x 

Hướng dẫn:
3

3

Chứng minh: a  b 

a  b

3

3


1
1 1
suy ra P   x  y    2  .
4
x y


4

Dễ dàng dự doán dấu đẳng thức xảy ra tại x  y 

x y

1
nên ta có:
2

1 1
1

1
  2   4 x   4 y  3  x  y   2  4  4  3  2  7 .Học sinh tự giải tiếp.
x y
x
y

8. Cho x, y  0 và 2 x 2  2 xy  y 2  2 x  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

2 4
  2x  3 y .
x y

Hướng dẫn:
2

2

Viết lại giả thiết thành:  x  1   x  y   9  x  y  3 giải tiếp như bài 3.
9. Cho các số thực x, y, z  0 thỏa mãn: 3 x 2  2  y 2  yz  z 2   9 . Tìm GTLN, GTNN của

1 1 1
P  x  y  z  2    .
x y z
Hướng dẫn: Viết lại giả thiết thành:
2

2

 x  y  z   x  y   x  z

2

2

 9  x  y  z  9  0  x  y  z  3 .

Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại x  y  z  1 . Ta có:

1 
1 
1 
P  2  x     y     z      x  y  z  .Học sinh tự hoàn thiện.
x 
y 
z 


10. Cho các số thực dương x, y sao cho x 3  y 3  6 xy  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

1
3
  xy .
2
x y
xy
2

Hướng dẫn:
Xem bài 2+ 6.

11. Cho các số thực dương x, y sao cho x 2  y 2  x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của
32

P  x4  y 4 

 x  y

2

.

4

2

2
1
1 1
 x  y .
2
Hướng dẫn: Ta có x  y   x 2  y 2     x  y   
2
2 2
8

4

4

Từ giả thiết ta cũng có:
2

2

2

2  x  y   2  x  y   4 xy   x  y    x  y   2  x  y   0  0  x  y  2 . Dự đoán dấu
đẳng thức xảy ra tại x  y  1 . Nên ta phân tích và xử lý như sau.
4

4

Px y 

Hay P  2

32

 x  y

 x  2

2

.

2

 x  y

8

16

 x  2

2



4

 2

32

 x  y

16

2

2

 2  P   x  y 

 x  y

2



16

 x  y

2

2.

16
 2  10 .Học sinh tự hoàn thiện lời giải.
4

12. Cho các số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  1 .
d. Tìm GTLN,GTNN của P  5 x  4  5 y  4  5 z  4 .
Hướng dẫn: Từ giả thiết ta suy ra 0  x, y , z  1  x  x 2 , y  y 2 , z  z 2 dẫn đến.

5x  4  x  4 x  4  x 2  4 x  4 

 x  2

2

 x  2 , Áp dụng bất đẳng thức

2

quen thuộc  x  y  z   3  x 2  y 2  z 2  (học sinh tự chứng minh).
Dẫn đến x  2  y  2  z  2  P 

1  1  1 5x  4  5 y  4  5z  4   7  P 

51 .

e. Tìm GTLN,GTNN của P  x  y  y  z  z  x .
Hướng dẫn:
2

2

Từ giả thiết ta suy ra 0  x  y, y  z , z  x  1  x  y   x  y  , y  z   y  z  , z  x   z  x 
2

Kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc  A  B  C   3  A2  B 2  C 2  ta có:

x y y z z x P 

1  1  1 x  y  y  z  z  x 

suy ra 2  P  6

2


f. Tìm GTLN của P  2 x 2  3 x  4  2 y 2  3 y  4  2 z 2  3 z  4 .
Hướng dẫn:
2

Ta có 2 x 2  3 x  4  x 2  x 2  3 x  4  x 2  x  3 x  4   x  2  dẫn đến
P  x  2  y  2  z  2  7 . Đẳng thức xảy ra khi  x; y; z  là hoán vị của bộ số 1;0; 0  .

13. Cho các số thực không âm x, y , z thỏa mãn: x  y  z  3 . Tìm GTLN,GTNN của
P  x y  y z  z x .

Hướng dẫn:

P
x y


3
3
và a  b  c  2 .
Viết lại

yz
zx
x y
yz
zx

, đặt a 
,b 
,c 
thì 0  a, b, c  1
3
3

3
3
3

2

2

2

2 x  y  z 
P
 x y
 yz
 zx
Dẫn đến
 
 
 

 2 suy ra P  2 3 . Dấu



3
3
 3 
 3 
 3 
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x; y; z  là hoán vị của bộ số  3; 0; 0  .

Phần tìm GTLN làm như bài 12.
14. Cho các số thực dương x, y , z sao cho xy  yz  zx  5 .Tìm GTNN của

P  3  x2  y 2   z 2 .
Hướng dẫn.
Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi x  y  mz .
 x 2  y 2  2 xy

Ta có  y 2  m 2 z 2  2myz từ đó suy ra m  x 2  y 2   y 2  m 2 z 2  x 2  m 2 z 2  2m  xy  yz  zx 
 2
2 2
 x  m z  2mxz

Hay  m  1 x 2   m  1 y 2  2m 2 z 2  2m  xy  yz  zx  (*).Bây giờ ta cần chọn m để vế trái
(*) có phần hệ số của x 2 , y 2 , z 2 tỷ lệ với hệ số x 2 , y 2 , z 2 trong P .
Tức là:

m 1
1
 3 :1  6m 2  m  1  0  m  . Học sinh tự giải tiếp.
2
2m
2

Cách khác:


z
z2
 m 2 x 2   m 2 y 2   3  m 2  x 2  y 2   2mxz  2myz  2  3  m2  xy

2
2
2
2m
 1  2  3  m 2   m 2  2m 4  13m 2  18  0  m 2  2 .
với m 2  3 .Ta muốn:
2
2 3  m 

P  3  x2  y 2   z 2 

Từ đó suy ra P 

z2
z2
 2 x 2   2 y 2  x 2  y 2  2  xy  yz  zx   10 .
2
2
2

15. Cho các số thực dương x, y , z sao cho x 4   y 2  1  z 4  3 . Tìm GTLN của
P  2y x  z 

1
.
x  y  z2 1
2

2

Hướng dẫn giải:
Để ý rằng;

2 xy  2 zy 

2x2  y 2 2z2  y 2
1

 x 2  y 2  z 2 nên P  x 2  y 2  z 2  2
2
2
x  y2  z2

Từ giả thiết bài toán ta cũng có:
2
2
2
1
x 4   y 2  1  z 4   x 2  y 2  1  z 2    x 2  y 2  z 2  1  9  x 2  y 2  z 2  4 .
3
Đặt t  x 2  y 2  z 2  1,1  t  4 thì P  t  1 

P

1
, ta chứng minh:
t

13
1 17

 t    4t 2  17t  4  0   t  4  4t  1  0 . Bất đẳng thức cuối cùng đúng…..
4
t 4

16. Cho các số thực x, y, z  0 và xyz  1 .Tìm GTNN của P 

1

 x  1

2



1

 y  1

2



4
3  z  1

3

.

Hướng dẫn:

2

 xy . x 
x 
 x  y .
Ta có:  x  1  
 1   xy  1   1   xy  1


y
y
y 


2

Từ đó suy ra
1
1
x
y
4
1
4
z
4









2
2
3
3
3
 x  1  y  1  xy  1 x  y   xy  1 x  y  3  z  1 xy  1 3  z  1 z  1 3  z  1
Ta chứn minh:
z
4
2
2
3
2

  3z  z  1  4  2  z  1  z 3  3 z  2  0   z  1  z  2   0 .
3
z  1 3  z  1
3


Nhận xét: Đây là bài toán khó.
17. Cho các số thực x, y sao cho x  y  1, x  0 .Tìm GTNN của P 

8x 2  y
 y2 .
4x

Hướng dẫn: y  1  x nên
P

8x 2  1  x
1
5
1 5
1 1
1
2
 1  x   2 x 
 x2  2 x   x2 
  x2  
1 x 
1  2 .
4x
4x
4
4x 4
4 4x
4x

Chú ý: Ta phân tích được như trên bởi : x  
ra tại x 2 

1
1
1
1 1 3

 x2  
 33 x2. .
 , dấu ‘=’ xảy
4x
8x 8 x
8x 8x 4

1
1
 x  . ( Đối với hs thi điều kiện không được dùng AM-GM cho 3 số).
8x
2

18. Cho các số thực dương x, y sao cho x  y  3 .Tìm GTNN của
P  6 x 2  4 y 2  10 xy 

4x 3 y

 38 .
y
x

Hướng dẫn:

3 4

3
Ta có P   x  y  6 x  4 y    x  y      45  3  6 x  4 y   
x
x y


làm như bài 3,8.

4
 45 . Phần việc còn lại
y 

x2  3y 2
19. Cho các số thực dương x, y sao cho x  y  2 .Tìm GTNN của P 
.
2 xy  x 2 y 3
Hướng dẫn:
Từ giả thiết suy ra 0  xy  1 nên 2 xy 2  x 2 y 3  xy 2  2  xy   0 . Ta có
x 2  3 y 2  x 2  y 2  2 y 2  2 xy  2 y 2  2 y  x  y  nên

P

2y  x  y
2 x  y
4


. Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
2
xy  2  xy  xy  2  xy  xy  2  xy 

xy  2  xy  

 xy  2  xy 
4

2

 1 suy ra P  4 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  1 .

20. Cho x, y, z  0 và x 3  y 3  z 3  3 .
+ Chứng minh: x  y  z  3 .
+ Tìm GTLN P  3  xy  yz  zx   xyz .


Hướng dẫn:
2

Ta có  x  1  0  x   2 x  1  0   x 2  2 x  1  x  2   0x  0  x 3  3 x  2  0x  0
Hay x 3  3 x  2 suy ra x 3  y 3  z 3  3  x  y  z   6  x  y  z  3 .
Ta có x 3  y 3  z 3  3xyz   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   3  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx 
Hay 3  3xyz   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx   3  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  dẫn đến

1  xyz  x2  y 2  z 2  xy  yz  zx hay  xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1 suy ra
2

P  3  xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  1   x  y  z   1  8 .Khi x  y  z  1 thì

P 8.
x3
y3
z
.



y3
z 3
x3

21. Cho x, y, z  0 và x  y  z  3 .Tìm GTNN của P 
x3
y3
z
x2




y3
z 3
x3
x  y  3

Hướng dẫn: P 

x  y  3 

Lại có:

4 x  y  3
2



y2

y  z  3



z2
z  x  3

.Chú ý rằng:



4x  y  3
x2
y2
z2
nên P  4 



4
 4x  y  3 4 y  z  3 4z  x  3 

x2
4x  y  3
x2
4x  y  3 x

2
.
 .Từ đó học sinh làm tiếp.

4x  y  3
64
4x  y  3
64
4

 1
1 1
22. Cho x, y , z  0, xyz  1 . Tìm GTLN P  2  x  y  z    2  2  2  .
y
z 
x
Hướng dẫn:
Ta có  x  1 y  1 y  1 z  1 z  1 x  1   x  1

2

2

 y  1  z  1

2

 0x, y , z suy ra trong 3

số  x  1 y  1 ,  y  1 z  1 ,  z  1 x  1 tồn tại ít nhất 1 số không âm. Không mất tính tổng
quát ta giả sử:  x  1 y  1  0  xy  1  x  y  2  xy  1  z   2  x  y  z  .

 1
1 1

1
1
2 2
Vậy P  2  xy  z  1   2  2  2  lại có 2  2 
  2 z nên suy ra
y
z 
x
y
xy 1
x
z


2

1
1 2
1
1 
P  2  xy  z  1  2 z  2  2 xy  2  2   2  2  3    1  3 . Dấu đẳng thức xảy ra
z
z
z
z
z 
tại x  y  z  1 .

23. Cho x, y, z  0 và x 2  y 2  z 2  1 .Tìm GTLN của P  1  2 x 1  2 yz  .
Hướng dẫn.

Do yz đối xứng. Ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y  z nên có 2yz  y 2  z 2 .
Ta dự dấu’=’ xảy ra khi x  m . Nên x 2  m 2  2 xm  2 x 

x2
m
m

Ta có
 x2

1
1 1
P    m  1 1  y 2  z     x 2  m2  m 1  y 2  z 2   .  x 2  m 2  m  1  y 2  z 2 
m
m 4
m

2
1
Hay P 
m 2  m  2  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

4m
 x 2  m2  m  1  y 2  z 2

2
2
2
y  z
2m  m  1  2 y

 2
 2m 2  m  1  1  m2  3m   m  2  0  m 
 2
2
2
2
3
m  2 y  1
x  y  z  1
x  m

Học sinh tự hoàn thiện lời giải.

24. Cho x, y, z  0 và x  y  z  1 . Chứng minh:

x2 y 2 z 2

  3  x2  y 2  z 2  .
y
z
x

Hướng dẫn giải:
 x2 y2 z2 
x3 x 2 z y 3 y 2 x z 3 z 2 y
2
2
2
Ta có:      x  y  z   x  y  z  
.Lại c

 
 
z
x
y
y
z
z
x
x
 y

x3 y 2 x x 2 z
x2 z z 3 z 2 y
y3 y2 x z2 y


 3x 2 ,


 3 y2 ,
 
 3z 2 theo AM-GM
y
z
y
z
z
x
y

x
x
Suy ra

x3 x 2 z y 3 y 2 x z 3 z 2 y

 
 
 2  x 2  y 2  z 2  suy ra đpcm.
y
y
z
z
x
x

Có thể xử lý theo cách dùng Cauchy- Schwarz.


25. Cho x, y , z thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  2 .Chứng minh: x  y  z  xyz  2 .
Hướng dẫn:
Ta viết lại:

 x  y  z  xyz 2   y  z   x 1  yz 

2

2
2
  y  z   x 2  1  1  yz     2  2 yz   2  2 yz  y 2 z 2 





Học sinh làm tiếp.
26. Cho x, y, z  0 và xy  yz  zx  1 .Tìm GTNN của P  x 2  2 y 2  3 z 2 .
Hướng dẫn:
Ta xử lý theo cách:
x2
x2
2 2
 m y  2mxy,  n 2 z 2  2nxz ,  2  m 2  y 2   3  n 2  z 2  2
2
2
2
2
m  2, n  3 .

Suy ra x 2  2 y 2  3 z 2  2mxy  2nxz  2

 2  m  3  n  yz
2

2

với

 2  m  3  n  yz .
2

2

Bây giờ ta chọn m, n để :

 2m
1

m  n
2
n

3

2m 2

 2  m 4  5m 2  6   m 2  2m 4  11m 2  12  0  m 2 

4
2m
2

 1   2  m 2  3  m 2 
2
2

 2  2  m  3  n 

Từ đó ta có:
P

x2 3 2 x2 3 2 1 2 3 2
 y   z  y  z  3  xy  yz  xz   3 . Học sinh tự hoàn thiện.
2 2
2 2
2
2