Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 11: Thiết kế bộ lọc

Ch­¬ng 11

THIẾT KẾ BỘ LỌC
11.1. GIỚI THIỆU
Trong chương chương 9 và 10, chúng ta đã đặt nền móng cho việc phân tích và thiết
kế các phép toán lọc tuyến tính. Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập đến kỹ thuật đối
với việc thiết kế các bộ lọc để thực hiện các mục đích đặc thù. Để trình bày sự hiểu biết
rõ bên trong quá trình, đầu tiên chúng ta nghiên cứu hoạt động của một vài bộ lọc đơn
giản, nhưng hữu ích trong miền thời gian và miền tần số. Phần sau của chương này,
chúng ta sẽ tiếp cận vấn đề thiết kế các bộ lọc tối ưu dùng để cho việc thực hiện một
công việc đặc biệt.
Theo như chương 9 và chương 10, chúng ta đã thực hiện việc phân tích tín hiệu (thời
gian) một chiều, cho các vấn đề toán học và đồ hoạ đơn giản. Tổng quát đối với trường
hợp hai chiều là điều dễ hiểu. Như đã thảo luận về các bộ lọc đơn giản, chúng ta đã gắn
bó với những phép nhân chập của hệ thống tuyến tính đã giới thiệu trong chương trước.
(Xem lại hình 10-3) Tuy nhiên, tập các tên biến khác nhau được dùng trong việc thảo
luận các bộ lọc tối ưu.
Trong phần dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một vài bộ lọc mà ta quan niệm là đơn
giản để minh hoạ các đặc tính trong miền thời gian và miền tần số của các bộ lọc và các
kết quả xử lý tín hiệu của chúng.

11.2. CÁC BỘ LỌC THÔNG THẤP (LOWPASS)
Một tín hiệu hay một ảnh thường hay tập trung năng lượng ở vùng tần số thấp và
trung bình của phổ biên độ của nó. Tại tần số cao, thông tin cần thiết thường bị nhiễu
phá huỷ. Vì thế, bộ lọc làm giảm biên độ các thành phần tần số cao có thể làm giảm
những ảnh hưởng có thể nhìn thấy của nhiễu.
11.2.1. Các bộ lọc thông thấp đơn giản
Bộ lọc hộp. Cách đơn giản để làm giảm nhiễu tần số cao bằng cách lấy trung bình tại
chỗ. Cách này được thực hiện bằng cách nhân chập tín hiệu với xung vuông, (x), như
minh hoạ trong hình 9-16. Nó được gọi là bộ lọc trung bình-di chuyển (movingaverage). Mức xám tại mỗi điểm ảnh được thay thế bằng trung bình các mức xám bên
trong hình vuông hay hình chữ nhật các điểm lân cận.

Nhắc lại chương 10, biến đổi Fourier của xung vuông có dạng sin(x)/x (Hình 10-2).
Hình 11-1 minh hoạ kết quả của các vấu sườn âm của hàm truyền đạt bộ lọc hộp. Bảng
kiểm tra chứa thanh dọc tần số biến thiên. Đáp ứng xung là xung vuông có chiều rộng
khác nhau đặt theo hướng ngang.
Theo định lý về sự đồng dạng (chương 10), độ rộng của hàm truyền đạt tỷ lệ nghịch
với bề rộng của đáp ứng xung. Miễn là bộ lọc hộp không rộng quá hai điểm ảnh, điểm
zero giao nhau đầu tiên của hàm truyền đạt nằm tại hay trên tần số cao nhất trong dữ liệu
được lấy mẫu (xem thêm ở chương 12). Tuy nhiên, nếu bộ lọc hộp rộng hơn hai điểm
ảnh thì sẽ gây nguy hiểm phân cực đảo cho những cấu trúc nhỏ trong ảnh, như đã thấy
trong hình 11-1.
166


HÌNH 11-1

Hình 11-1 Ảnh đảo ngược do bộ lọc hộp: bảng kiểm tra được
nhân chập với xung vuông
Bộ lọc tam giác. Chúng ta có thể sử dụng bộ lọc tam giác, (x), như một đáp ứng
xung của bộ lọc thông thấp. Đôi khi nó còn được gọi là bộ lọc trung bình có trọng số
(weighted-average). Trong không gian hai chiều, nó xuất hiện ở dạng hình chóp.
Phổ của xung tam giác có dạng [sin(x)/x]2, không âm và tắt dần với tần số nhanh hơn
nhiều so với bộ lọc hộp. Vì thế, các vấu sườn nhỏ hơn (âm) ít tập trung ở ảnh đầu ra. Bộ
lọc này có thể được dùng an toàn trong các kích thước lớn mà không lo ngại sự phân cực
đảo.
Người ta cũng có thể tạo ra kết quả tương tự như bộ lọc tam giác bằng hai ứng dụng
liên tiếp của bộ lọc vuông. Bởi vì tính đơn giản của bộ lọc hộp nên đây có thể có hiệu
quả về mặt tính toán hơn việc sử dụng (x). Thực tế, việc dùng từ ba ứng dụng của trở
lên (x) mô phỏng (emulate) các bộ lọc, giống hàm Gauss, có tác dụng làm nhẵn trong
miền tần số.
Ngưỡng tần số cao (High-Frequency Cutoff). Một phương pháp lọc thông thấp có

phần “bắt ép thô bạo” (brute force) thỉnh thoảng được dùng để (a) tính biến đổi Fourier
của tín hiệu hay ảnh, (b) đặt phần phổ biên độ có tần số cao về 0, và (c) tính biến đổi
Fourier ngược của kết quả. Điều này tương đương với việc nhân phổ với một xung
vuông và cũng tương đương với việc nhân chập tín hiệu hay ảnh với hàm sin(x)/x.
Việc nhân chập với hàm sin(x)/x khiến cho ringing (phần 9.5.2) xuất hiện trong vùng
lân cận của các đỉnh nhọn và các cạnh. Vì lý do này mà ngưỡng nhọn trong miền tần số
có ích bị giới hạn.
11.2.2. Bộ lọc thông thấp Gauss
Bởi vì biến đổi Fourier của hàm Gauss cũng là một hàm Gauss nên hàm này tạo thành
một bộ lọc thông thấp với tác dụng làm nhẵn trong cả hai miền. Dĩ nhiên nó có thể được
thực hiện bằng phép nhân chập trong miền thời gian hay không gian hoặc bằng phép
nhân trong miền tần số.

11.3. CÁC BỘ LỌC THÔNG DẢI VÀ CHẮN DẢI
Trong vài trường hợp, các thành phần của một tín hiệu hay một ảnh mong muốn và
không mong muốn xảy ra chủ yếu là trong các vùng phổ có tần số khác nhau. Khi các
thành phần có thể phân biệt theo cách này thì hàm truyền đạt, mà hàm này cho qua hay
chặn lại các tần số riêng biệt có thể có ích.
11.3.1. Bộ lọc thông dải lý tưởng
Giả sử chúng ta mong muốn thực hiện, bằng phép nhân chập, một bộ lọc chỉ cho
nămg lượng tại các tần số giữa f1 và f2, trong đó f2 > f1, đi qua. Hàm truyền đạt mong
muỗn được cho bởi
167


1
G( s)  
0

f1  s  f 2

cßn l¹i

(1)

Và được trình bày trong hình 11-2. Bởi vì G(s) là một cặp xung vuông chẵn nên nó
có thể được xem là một xung vuông nhân chập với một cặp xung chẵn. Nếu chúng ta đặt

HÌNH 11-2

Hình 11-2 Hàm truyền đạt thông dải lý tưởng
s0 

1
( f1  f 2 ) vµ s  ( f 2  f 1 )
2

(2)

chúng ta có thể viết hàm truyền đạt của bộ lọc thông dải như sau
G( s)  (

s
)   (s  s 0 )   (s  s 0 )
s

(3)

Với dạng biểu diễn này của hàm truyền đạt, chúng ta có thể dễ dàng có được đáp ứng
xung:
g (t )  s

sin(st )
sin(st )
2 cos(2s 0 t )  2s
cos(2s 0 t )
st
st

(4)

Bởi vì s < s0, nên biểu thức (4) diễn tả hàm cosin của tần số f0 bao bọc bởi hàm
sin(x)/x có tần số s/2. Đáp ứng xung này được vẽ trong hình 11-3. Số chu kỳ hàm cosin
giữa các giao điểm zero bao quanh phụ thuộc vào mối quan hệ giữa s0 và s. Chú ý rằng
nếu f0 là hằng số và s nhỏ dần (dải thông hẹp chẳng hạn), thì đường bao sẽ mở rộng
thêm nhiều chu kỳ cosin giữa các giao điểm zero hơn. Khi s tiến đến 0 thì đáp ứng
xung tiến đến một hàm cosin. Trong trường hợp hạn chế, phép nhân chập thực tế sẽ trở
thành sự tương quan chéo (cross-correlation) giữa đầu vào với hàm cosin tại tần số s0.

HÌNH 11-3
168


Hình 11-3 Đáp ứng xung thông dải lý tưởng
11.3.2. Bộ lọc chắn dải lý tưởng
Hàm truyền đạt của bộ lọc cho nămg lượng tại mọi tần số đi qua, ngoại trừ tần số nằm
trong dải tần từ f1 đến f2 được cho bởi

1
G( s)  
0

f1  s  f 2
cßn l¹i

(5)

Và thể hiện trong hình 11-4. Để thuận lợi, chúng ta lại đặt s0 là tần số trung tâm và s
là độ rộng dải chắn (stopband) [biểu thức (2)]. Bây giờ chúng ta có thể viết hàm truyền
đạt giống như ta trừ bộ lọc thông dải, chẳng hạn,
G( s)  1   (

s
)   ( s  s 0 )   (s  s 0 )
s

(6)

Từ đó, ta có đáp ứng xung là
g (t )   (t )  2s

sin(st )
cos(2s 0 t )
st

(7)

HÌNH 11-4

Hình 11-4 Hàm truyền đạt chắn dải lý tưởng
Đáp ứng xung này được thể hiện trong hình 11-5. Hoạt động của nó đối với sự thay

đổi độ rộng dải (bandwidth) và tần số trung tâm tương tự như hoạt động của bộ lọc
thông dải mà nó tương đồng. Nếu s nhỏ, bộ lọc này gọi là bộ lọc mức (notch filter).

HÌNH 11-5

169


Hình 11-5 Đáp ứng xung chắn dải lý tưởng
11.3.3. Bộ lọc thông dải tổng quát
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một lớp các bộ lọc thông dải cấu trúc theo cách dưới
đây: Chúng ta chọn một hàm đơn thức (unimodal) K(s) không âm và nhân chập nó với
một cặp xung chẵn tại tần số s0. Hành động cho ta một hàm truyền đạt, như trong hình
11-6. Hàm truyền đạt đó có dạng
G ( s )  K ( s )   ( s  s 0 )   (s  s 0 )

(8)

Và đáp ứng xung
g (t )  2k (t ) cos(2s 0 t )

(9)

HÌNH 11-6

Hình 11-6 Bộ lọc thông dải tổng quát
Đáp ứng xung này là hàm cosin tần số s0 trong đường bao nghịch đảo biến đổi
Fourier của K(s).
Ví dụ, giả sử rằng K(s) là hàm Gauss

G ( s)  Ae  s

2

/ 2 2

  ( s  s 0 )   (s  s0 )

(10)

Khi đó đáp ứng xung trở thành



1
2

g (t ) 

2A
2 2

e t

2

/ 2 2

cos(2s 0 t )

(11)

Đáp ứng xung này, hàm cosin trong đường bao Gauss, được thể hiện trong hình 11-7.
Chú ý rằng chúng ta cũng có thể dễ dàng tạo ra một lớp các bộ lọc chắn dải bằng kỹ
thuật này.

HÌNH 11-7
170


Hình 11-7 Bộ lọc thông dải tổng quát

11.4. CÁC BỘ LỌC TĂNG CƯỜNG TẦN SỐ CAO
Thuật ngữ bộ lọc tăng cường tần số cao (high-frequency enhancement filter), hay bộ
lọc thông cao (highpass filter) được dùng đến để mô tả một cách tổng quát một hàm
truyền đạt, bằng một đơn vị tại tần số 0 và tăng lên với sự gia tăng tần số. Một hàm
truyền đạt như trên có thể có mức vượt ra ngoài giá trị nào đó lớn hơn giá trị đơn vị
hoặc, phổ biến hơn, rơi trở về 0 tại các tần số cao hơn. Trong trường hợp sau, bộlọc tăng
cường tần số cao thực chất là một kiểu của bộ lọc thông dải với giới hạn số gia đơn vị tại
tần số không.
Thực tế, đôi khi người ta mong muốn có được số gia đơn vị bé hơn ở tần số không, để
giảm sự tương phản của các thành phần không ổn định tương đối lớn trong ảnh. Nếu
hàm truyền đạt đi qua gốc toạ độ, nó được gọi là bộ lọc Laplace.
11.4.1. Bộ lọc hiệu các hàm Gauss (Difference of Gaussians)
Chúng ta có thể tạo ra hàm truyền đạt tăng cường tần số cao bằng cách biểu diễn nó
như hiệu của hai hàm Gauss có độ rộng khác nhau:
G ( s )  Ae  s

2

/ 212

 Be  s

2

/ 2 22

A  B,  1   2

(12)

Điều này được trình bày rtong hình 11-8. Đáp ứng xung của bộ lọc trên là
g (t ) 

A
2 12

e t

2

/ 2 12



B
2 22

e t

2

/ 2 22

i 

1
2 i

(13)

và được thể hiện trong hình 11-9. Chú ý rằng hàm Gauss chính trong miền tần số tạo
ra một hàm Gauss hẹp hơn trong miền thời gian và ngược lại. Đáp ứng xung cho trong
hình 11-9 là đặc trưng của các bộ lọc thông cao và thông dải, có một xung dương ở vị trí
lõm âm.

HÌNH 11-8

Hình 11-8 Hàm truyền đạt tăng cường tần số cao Gauss
Nếu chúng ta cho tiến đến vô cực, hàm Gauss hẹp trong miền thời gian sẽ thu hẹp
hơn nữa thành xung, và bộ lọc có dạng như trong hình 11-10. Chú ý rằng sự khác nhau
giữa một bộ lọc chạy lại (quay về phía 0) tại những tần số cao và bộ lọc không chạy lại
là độ rộng của xung trung tâm trong miền thời gian. Thực tế, nó rộng hơn xung trung
tâm và nhanh hơn hàm truyền đạt của bộ lọc.
171


11.4.2. Các quy tắc ngắn gọn đối với thiết kế bộ lọc thông cao
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày hai quy tắc được áp dụng gần đúng cho việc

đánh giá hoạt động của các bộ lọc tăng cường tần số cao. Giả sử đáp ứng xung của bộ
lọc biểu diễn như một xung hẹp trừ đi một xung rộng, ví dụ,

g (t )  g1 (t )  g 2 (t )

(14)

Như minh hoạ trong hình 11-11. Chúng ta biết rằng hàm truyền đạt G(s) sẽ hình
thành trạng thái của bộ lọc tăng cường tần số cao. Chúng ta sẽ đánh giá hàm truyền đạt
tại tần số 0 để xác định ảnh hưởng của nó đối với sự tương phản của các đối tượng lớn
bên trong ảnh. Chúng ta cũng sẽ đánh giá giá trị hàm truyền đạt cực đại đạt được tại tần
số bất kỳ.

HÌNH 11-9

Hình 11-9 Đáp ứng xung tăng cường tần số cao Gauss
Giá trị cực đại. Nếu ta viết biến đổi Fourier của biểu thức (14) và thay giá trị s = 0
vào, ta được












G (0)   g (t )dt   g 1 (t )dt   g 2 (t )dt  A1  A2

(15)

Trong đó A1 và A2 biểu diễn diện tích bên dưới hai hàm thành phần.
Chúng ta có thể thay thế biên trên của độ lớn hàm truyền đạt nếu chúng ta giả thiết
rằng G2(s) tiến đến 0 trước khi G1(s) từ giá trị cực đại giảm xuống; tức là,


G max  G1 (0)   g1 (t )dt  A1


(16)

Bây giờ chúng ta có hai quy tắc đơn giản đối với các bộ lọc tăng cường tần số cao
bao gồm hiệu hai xung:
G (0)  A1  A2

vµ

G max  A1

(17)

HÌNH 11-10
172


Hình 11-10 Bộ lọc thông cao Gauss

HÌNH 11-11

Hình 11-11 Bộ lọc thông cao tổng quát
Nếu g1(t) là một xung (Xem hình 11-10), thì tiến hành như nhau đối với cả hai quy
tắc trong biểu thức (17).
Đáp ứng tần số thấp. Bây giờ chúng ta xem xét ảnh hưởng của bộ lọc tác động lên
trên các đối tượng lớn và các vùng mức xám không đổi bên trong ảnh.
Giả sử đáp ứng xung g(t) bị giới hạn về thời gian-tức là, giá trị không nằm bên ngoài
khoảng hữu hạn. Cũng giả thiết rằng tín hiệu vào f(t) không đổi trong khoảng rộng hơn
khoảng thời gian của g(t). Tình huống này được trình bày trong hình 11-12. Đầu ra của
hệ thống là tích phân của phép nhân chập
h( x )  





f ( ) g ( x   )d

(18)

Tuy nhiên, trên toàn bộ khoảng đang xét, tín hiệu vào là hằng số, và biểu thức (18)
trở thành








h( x)   cg ( x   )d  c  g ( )d

(19)

Chú ý rằng nếu ta thay s = 0 vào định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta sẽ có


G (0)   g (t )dt


Nghĩa là

h( x)  cG (0)

(20)

Vì thế, nếu G(0) = 1, bộ lọc sẽ không thay đổi biên độ các diện tích rộng và là hằng
số của f(x). Tổng quát hoá cho trường hợp hai chiều, điều này có nghĩa là bộ lọc không
thay đổi sự tương phản trên các vùng bằng phẳng, rộng lớn trong phạm vi ảnh đầu vào.
Nếu G(0)  1, bộ lọc sẽ trở thành hệ số gia tăng việc điều khiển toàn bộ biên độ mối
quan hệ giữa các thành phần lớn h(t) và f(t).

173


HÌNH 11-12

Hình 11-12 Đáp ứng tần số thấp

11.5. THIẾT KẾ BỘ LỌC TUYẾN TÍNH TỐI ƯU
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày những kỹ thuật để thiết kế các bộ lọc mà, trong
một ý nghĩa nào đó, là tối ưu đối với việc thực hiện một công việc đặc biệt. Đầu tiên,
chúng ta tiến hành bằng cách thiết lập đặc tính tiêu chuẩn và sau đó mở rộng tiêu chuẩn
đó bằng cách chọn đáp ứng xung thích hợp (hay hàm truyền đạt) cho bộ lọc.
Lịch sử xử lý ảnh số đã xem việc thiết kế bộ lọc, giống như chuyến bay được thực
hiện trong Chiến tranh Thế giới I, “bằng đũng quần” (by the seat of the paints). Các bộ
lọc được chọn do các nguyên nhân đơn giản, thành công trong quá khứ, thuận lợi, lôi
cuốn thẩm mỹ, lời đồn đại và ý thích bất chợt, nhờ sử dụng máy tính. Bộ lọc thiết kế như
vậy có thể chứng minh sự thành công, nhưng nó mang tiếng xấu gần điểm cực thuận
(suboptimal). Nó hầu như không tạo ra một bộ lọc tốt nhất và có thể hết sức nguy hiểm.
Các bộ lọc gần điểm cực thuận-những bộ lọc riêng biệt dễ dàng thực hiện bằng máy
tính-có thể đưa những đồ tạo tác (artifact) vào trong ảnh, thường thì không có dấu hiệu
báo trước. Các bộ lọc bao gồm xung vuông trong một miền, được người lập trình máy
tính ưa chuộng, hoạt động không mấy kết quả trong miền ngược lại do chuyển động
sóng vô hạn của hàm sin(x)/x.
Những người sử dụng các bộ lọc có cạnh vuông trong một miền thường bị quấy rầy
bởi ringing và các hiện tượng đồ tạo tác khác trong miền khác. Đôi khi họ nhìn nhận một
cách sai lầm các đặc tính không mong muốn vốn có trong xử lý số, hay họ than vãn
thiếu máy tính có đủ khả năng cần thiết để thực hiện công việc một cách chính xác.
Trong phần này, chúng ta trình bày những kỹ thuật thiết kế các bộ lọc tối ưu và chứng
minh, một cách tổng quát, rằng chúng hoạt động rất tốt. Trang bị bằng kiến thức này,
người sử dụng có thể lựa chọn một cách thông minh giữa tính tối ưu và sự tính toán dễ
dàng mà không chuốc lấy những đồ tạo tác tai hại.
Đầu tiên chúng ta xem lại khái niệm biến ngẫu nhiên và sau đó trình bày các kỹ thuật
thiết kế hai bộ lọc tối ưu: ước lượng Wiener, tối ưu đối với việc khôi phục tín hiệu chưa
biết từ nhiễu cộng và bộ tách đối sánh (match detector), tối ưu cho việc tách lấy tín hiệu
đã biết bị lẫn vào trong nhiễu cộng. Dù là một người chưa bao giờ thực hiện quá trình
thiết kế một bộ lọc tối ưu, hai luận điểm này có thể làm tăng sự hiểu biết của người đó
về thiết kế bộ lọc lên một cách đáng kể.

11.5.1. Biến ngẫu nhiên
Trong các chương trước, chúng ta đã đề cập đến khái niệm biến ngẫu nhiên, đặc biệt
là đối với việc khử nhiễu trong ảnh. Bởi vì các biến ngẫu nhiên đóng vai trò chủ yếu
trong sự trình bày dưới đây nên ở đây chúng ta thảo luận về chúng chi tiết hơn.
Chúng ta dùng thuật ngữ nhiễu ngẫu nhiên để diễn tả tín hiệu làm bẩn chưa biết. Từ
ngẫu nhiên thực chất là cách nói khác đối với hiểu biết hạn chế của chúng ta. Sự thiếu
hiểu biết này là do thái độ đối xử với một quá trình, mà ý nghĩa vật lý của nó không
174


được hiểu rõ cho lắm, hay với một quá trình mà việc phân tích chi tiết quá phức tạp. Vì
thế, nếu chúng ta có chút ít hiểu biết chung về tín hiệu, nhưng thiếu những chi tiết đặc
biệt, thì chúng ta xem tín hiệu là ngẫu nhiên.
Khi xem xét một tín hiệu trong suốt quá trình thu nhận ảnh, chúng ta biết rằng một tín
hiệu làm bẩn không mong đợi sẽ xuất hiện chồng lên trên (thêm vào) tín hiệu cần thiết.
Mặc dù chúng ta có thể biết nguồn gốc nhiễu, nhưng chúng ta không thể biểu diễn dạng
hàm toán học của nó. Sau khi quan sát nhiễu trong một chu kỳ thời gian, chúng ta có thể
trình bày cách nhận biết từng phần về nhiễu và có thể tiên đoán tường tận tác động đó.
Vì vậy, khái niệm về biến ngẫu nhiên trở thành một công cụ hữu ích trong xử lý nhiễu.
Chúng ta có thể xem xét mọt biến ngẫu nhiên theo những cách sau: Xem xét toàn bộ
vô số hàm thành viên. Khi thực hiện việc thu nhận ảnh, một trong những hàm thành viên
đó sẽ nổi bật lên để làm bẩn bản ghi của chúng ta, nhưng chúng ta không có cách nào để
biết được hàm nào. Tuy nhiên, chúng ta có thể tạo ra những bản kê chung cho toàn bộ
như một nhóm. Theo cách này, chúng ta có thể biểu diễn nhận biết từng phần của mình
về tín hiệu nhiễu.
11.5.1.1. Các biến ngẫu nhiên ergodic
Trong phần còn lại của quyển sách, chúng ta chỉ quan tâm đến biến ngẫu nhiên là
ergodic. Dưới đây là thể định nghĩa của thuật ngữ này.
Người ta có thể tính trung bình của một biến ngẫu nhiên theo hai cách. Chúng ta tính
một trung bình thời gian (time average) bằng cách tích phân một hàm thành viên riêng lẻ

trên toàn trục thời gian, hoặc chúng ta có thể tính trung bình các giá trị ước lượng của tất
cả các hàm với nhau tại thời điểm đặc biệt nào đó. Kỹ thuật vừa nói đến tạo ra trung
bình toàn bộ (ensemble average) tại một thời điểm.
Một biến ngẫu nhiên là ergodic nếu và chỉ nếu (1) các trung bình thời gian của tất cả
các hàm thành viên bằng nhau, (2) trung bình toàn bộ không đổi theo thời gian, và (3)
trung bình thời gian và trung bình toàn bộ bằng nhau về số lượng. Do vậy, đối với các
biến ngẫu nhiên ergodic, trung bình thời gian và trung bình toàn bộ là có thể thay thế lẫn
nhau.
Trong chương 7, chúng ta đã giới thiệu toán tử dự tính  x(t) , biểu thị cho trung bình
toàn bộ của biến ngẫu nhiên x tính tại thời điểm t. Dưới tính chất ergodic,  x(t) cũng
biểu thị cho giá trị thu được khi một mẫu đặc biệt nào đó của biến ngẫu nhiên x(t) được
lấy trung bình theo thời gian; tức là,


 x(t )   x (t )dt


(21)

Biểu thức (142) của chương 10 xác định hàm tự tương quan (autocorrelation) như
một trung bình thời gian. Đối với một biến ngẫu nhiên ergodic, hàm tự tương quan
tương đương với tất cả các hàm thành viên, và vì thế các đặc tính của nó là toàn bộ.
Ngoài ra khi chúng ta nói n(t) là một biến ngẫu nhiên ergodic, chúng ta muốn nói rằng
nó là một hàm chưa biết có một hàm tự tương quan đã biết. Điều này thể hiện sự nhận
biết từng phần của chúng ta về n(t).
Bởi vì hàm tự tương quan của n(t),


Rn ( )   n(t )n(t   )dt


(22)

đã biết nên phổ năng lượng của nó,
Pn ( s )  Rn ( )

(23)
175


cũng được biết. Điều này có nghĩa là chúng ta biết phổ biên độ của n(t), nhưng không
biết phổ pha của nó. Quả thực, toàn bộ được tổng hợp từ vô cùng nhiều hàm mà chỉ khác
nhau về phổ pha. Một hàm thực, chẵn, không âm bất kỳ có thể là phổ năng lượng của
một biến ngẫu nhiên và bất kỳ một hàm thực, chẵn có phổ không âm đều có thể là hàm
tự tương quan của một biến ngẫu nhiên.
Thật may mắn, chế độ các biến ngẫu nhiên ergodic thường bắt gặp các tín hiệu ngẫu
nhiên rất tốt. Ví dụ, sự quan sát nhiều lần một nguồn “nhiễu trắng” cho thấy rằng phổ
năng lượng đo được là không đổi đối với tần số.
11.5.2. Ước lượng Wiener (Wiener Estimator)
Bộ lọc Wiener là bộ lọc giảm nhiễu tuyến tính kinh điển. Mặc dù có nhiều cách đơn
giản hơn để nhận được kết quả cơ bản gắn liền với bộ lọc này, ở đây chúng ta sẽ vạch ra
những điểm mạnh của kỹ thuật lọc Wiener. Ở đây phép lấy đạo hàm làm cho việc thực
hiện trong trường hợp một chiều trở nên đơn giản và nó cũng được tổng quát hoá cho
trường hợp hai chiều trong chương 16.
Giả sử chúng ta có tín hiệu quan sát x(t), bao gồm tín hiệu s(t) và hàm nhiễu cộng
n(t). Chúng ta muốn thiết kế một bộ lọc tuyến tính để làm giảm tác động của nhiễu càng
nhiều càng tốt và do đó mà khôi phục được tín hiệu càng gần dạng ban đầu của nó càng
tốt. Vì thế bộ lọc được yêu cầu để “ước lượng” tín hiệu nào không bị nhiễu tác động.
Cấu hình bộ lọc cho trong hình 11-13. Đáp ứng xung h(t) và đầu ra của bộ lọc là y(t).
lưu ý rằng bây giờ chúng ta đã xuất phát từ thuật ngữ (nomenclature) dùng cho các hệ

thống tuyến tính trong các phần đã đề cập đến trước đây.
Một cách lý tưởng, chúng ta mong muốn y(t) bằng s(t), nhưng nói chung, một bộ lọc
tuyến tính không đủ mạnh để khôi phục tín hiệu bị nhiễu một cách chính xác. Thay cho
việc phải làm một cái gì đó, chúng ta sẽ chọn đáp ứng xung h(t) sao cho y(t) càng gần
với s(t) càng tốt.
Nhận biết từng phần. Trước khi bắt đầu, chúng ta phải xác định chúng ta đã biết gì
về s(t) và n(t). Nếu chúng ta không biết một tí gì về tín hiệu hay nhiễu thì thậm chí
chúng ta không thể có được một sự khởi đầu cho một bài toán. Trái lại, nếu chúng ta biết
chính xác một hoặc cả hai tín hiệu thì việc giải quyết không còn phải bận tâm.
Đối với những mục đích của phân tích dưới đây, chúng ta giả thiết rằng cả s(t) và n(t)
đều là các biến ngẫu nhiên ergodic và vì vậy ta biết được phổ năng lượng. Điều này có
nghĩa là, mặc dù chúng ta không biết chính xác n(t), chúng ta biết có được nó từ tất cả
các hàm, vì thế tất cả đều có cùng hàm tự tương quan và phổ năng lượng. Cùng có giới
hạn như nhau đối với s(t). Ngoài ra, chúng ta giả sử rằng chúng ta đã biết phổ năng
lượng (priori) hay chúng ta có thể lấy được các mẫu của s(t) và n(t) và xác định được
phổ năng lượng của chúng.
11.5.2.1. Tiêu chuẩn tối ưu
Trước khi bắt đầu trình bày bộ lọc tối ưu, chúng ta phải thiết lập một tiêu chuẩn
khách quan mang tính tối ưu. Bởi vì yêu cầu y(t) = s(t) nói chung là yêu cầu quá nhiều
đối với một bộ lọc tuyến tính, nên thay vào đó chúng ta sẽ chỉ đòi hỏi khả năng có thẻ
thực hiện công việc tốt nhất tuỳ theo hoàn cảnh. Giống như một tiêu chuẩn của tính tối
ưu, chúng ta sẽ sử dụng sai số bình phương trung bình (mean square error).
Nếu h(t) không xảy ra chuyện gì, tối ưu hoặc không, chúng ta sẽ nhận được y(t) đầu
ra tương ứng với đầu vào s(t). Chúng ta sẽ xác định tín hiệu lỗi tại đầu ra của bộ lọc như
sau

e(t )  s(t )  y (t )

(24)
176

Tức là, giá trị của đầu ra thực tế khác với mong đợi, giống như hàm thời gian. Nếu ta
chọn đáp ứng xung h(t) tốt thì tín hiệu sai số sẽ khá nhỏ. Một sự chọn lựa h(t) tồi sẽ tạo
ra một tín hiệu sai số lớn hơn.
Khi xác định sai số trung bình, chúng ta sẽ sử dụng sai số bình phương trung bình cho
bởi







MSE   e 2 (t )   e 2 (t )dt

(25)



HÌNH 11-13

Hình 11-13 Mô hình ước lượng Wiener
Đẳng thức sau cùng đúng bởi vì nó là sự kết hợp các một biến ngẫu nhiên ergodic và
chính nó cũng là một biến ngẫu nhiên ergodic.
Lưu ý rằng e2(t) là dương đối với cả sai số dương lẫn sai số âm. Hơn nữa, việc bình
phương sai số khiến cho các sai số lớn bị “trừng phạt” nghiêm khắc hơn các sai số nhỏ.
Do những nguyên nhân này nên, theo trực giác, việc chọn tối thiểu sai số bình phương
trung bình là thoả mãn cho tiêu chuẩn tối ưu. Mặc dù các tiêu chuẩn khác (như sai số
trung bình tuyệt đối chẳng hạn) có thể được sử dụng, chúng sẽ làm cho việc phân tích

càng trở nên phức tạp và thuận lợi ít hay không đối với các mục đích của chúng ta.
11.5.2.2. Sai số bình phương trung bình (Mean Square Error-MSE)
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét vấn đề dưới đây: cho phổ năng lượng của s(t) và n(t),
chúng ta phải xác định đáp ứng xung h(t) sao cho sai số bình phương trung bình là tối
thiểu. Chú ý rằng sai số bình phương trung bình là một hàm của đáp ứng xung h(t), bởi
vì hàm h(t) ánh xạ đến số thực MSE.
Nhánh toán học liên quan đến phép tối thiểu hàm là phép tính biến thiên (calculus of
variations) mà chúng ta sử dụng ở đây. Đặc biệt, chúng ta sẽ (1) thu được một biểu thức
hàm đối với MSE dưới dạng h(t), tiếp theo (2) chúng ta sẽ tìm thấy một biểu thức đáp
ứng xung h0(t) tối ưu (tối thiểu) dưới dạng phổ năng lượng đã biết, và cuối cùng (3),
phát triển một biểu thức cho các kết quả MSE khi sử dụng h0(t). bước cuối cùng được
thực hiện để chỉ rõ bộ lọc tối ưu có thể hoạt động tốt như thế nào.
Chúng ta bắt đầu bằng việc mở rộng sai số bình phương trung bình trong biểu thức
(25):



 

 



MSE   e 2 (t )   s (t )  y (t )   s 2 (t )  2s (t ) y (t )  y 2 (t )
2

(26)

Bởi vì sự ước đoán là một toán tử tích phân [biểu thức (21)], chúng ta có thể viết
177









MSE   s 2 (t )  2 s (t ) y (t )   y 2 (t )  T1  T2  T3

(27)

Trong đó T1, T2 và T3 được đưa vào để chúng ta có thể xem xét ba phầm này một
cách riêng biệt. Viết T1 ở dạng tích phân, ta có







T1   s 2 (t )   s 2 (t )dt  Rs (0)

(28)



Chúng ta thừa nhận điều này khi  = 0 chỉ ra hàm tự tương quan (đã biết) của s(t). Vì

thế, giá trị của nó đã biết đến từ lúc bắt đầu.
Viết y(t) như phép nhân chập của x(t) và h(t) cho phép ta mở rộng phần thứ hai như
sau





T2  2 s (t )  h( ) x(t   )d




(29)

Vì toán tử ước đoán thực chất là phép tích phân trên miền thời gian nên chúng ta có
thể sắp xếp lại biểu thức (29) để tạo thành


T2  2  h( ) s (t ) x (t   )d

(30)



Bây giờ chúng ta xem xét biểu thức bên trong dấu tích phân như hàm tương quan
chéo của s(t) và x(t) và viết


T2  2  h( ) R xs ( )d

(31)



Chúng ta có thể mở rộng T3 giống như biểu thức của tích hai phép nhân chập:
T3  









h( ) x(t   )d  h(u ) x (t  u )du




(32)

Lần lượt sắp xếp lại như trước ta được
T3  







 

h( )h(u) x(t -  )x(t - u)ddu

(33)

Nếu thay biến v = t – u vào trong toán tử ước đoán thì hệ số đó sẽ trở thành

 x(t   ) x (t  u )   x(v  u   ) x(v )

(34)

đơn giản là hàm tự tương quan x(t) ước lượng tại điểm u - . Bây giờ thành phần thứ
ba có thể viết như sau
T3  







 

h( )(u ) R x (u   )ddu

(35)

Bây giờ sai số bình phương trung bình của biểu thức (27) có thể viết






 

MSE  R s (0)  2 h( ) R xs ( )d  





h( )h(u ) R x (u   )ddu

(36)

Đây là sai số bình phương trung bình dưới dạng đáp ứng xung của bộ lọc và các hàm
tương quan chéo và tự tương quan của hai thành phần tín hiệu vào đã biết. Giống như đã
dự đoán, MSE là một hàm của h(t). Hiện tại chúng ta muốn chọn hàm h0(t) sao cho MSE
có giá trị cực tiểu.

178


11.5.2.3. Tối thiểu hoá MSE
Chúng ta ký hiệu hàm tối thiểu hoá MSE là h0(t). Nói chung, một hàm h(t) tuỳ ý sẽ
khác với hàm h0(t) tối ưu, và chúng ta có thể xác định hàm g(t) để giải thích cho sự thay

đổi tính tối ưu; tức là,
h( t )  h0 ( t )  g ( t )

(37)

Trong đó h(t) là hàm đáp ứng xung (gần tối ưu) được chọn tuỳ ý và g(t) được chọn để
thực hiện hành động tương đương. Nguyên nhân đối với sự phức tạp không cần thiết này
có vẻ là không rõ ràng, nhưng nó sẽ cho phép ta thiết lập một điều kiện thiết yếu nhờ
h0(t).
Nếu ta thay thế định nghĩa g(t) trong biểu thức (37) vào phương trình đối với MSE
[biểu thức (36)], ta sẽ được

MSE  Rs (0)  2









h0 ( )  g ( ) R xs ( )d

(38)



 h ( )  g ( )h (u)  g (u)R (u   )ddu

  

0

0

x

Biểu thức này có thể mở rộng, tạo ta bảy phần






 

MSE  R s (0)  2  h0 ( ) R xs ( )d  



 h ( )h (u) R (u   )ddu
   h ( )g (u ) R (u   )ddu    h (u )g ( ) R (u   )ddu
- 2  g( ) R ()dτ    g ( )g (u ) R (u   )ddu




  



0

x



-

0

x



 



sx

0

0

x

(39)



x

  

So sánh ba phần tử đầu tiên với biểu thức (36), ta thấy rằng tổng của chúng biểu diễn
sai số bình phương trung bình có được khi sử dụng đáp ứng xung tối ưu h0(t). Ta ký hiệu
giá trị này là MSE0. Bởi vì hàm tự tương quan là hàm chẵn nên thành phần thứ tư và thứ
năm của biểu thức (39) bằng nhau. Chúng ta có thể kết hợp chúng với thành phần thứ
sáu và viết lại biểu thức như sau


MSE  MSE 0  2  g (u )  h0 ( ) R x (u   )d  R sx (u ) du

 










 

(40)

g (u ) g ( )R x (u   )ddu  MSE0  T4  T5

Trong đó T4 và T5 được đưa vào để cho ký hiệu ngắn gọn lại.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng thành phần T5 không âm. Viết hàm tự tương quan Rx(u
- ) ở dạng tích phân ta được
T5  







 



g (u ) g ( )  x(t   ) x (t  u )dtdud


(41)

Sắp xếp lại để tạo thành
T5  







  



g (u ) x (t  u )du  g ( ) x (t   ))ddt


(42)

Nếu chúng ta định nghĩa z(t) như hàm kết quả của phép nhân chập g(t) với x(t), chúng
ta có thể thừa nhận biểu thức (42) như


T5   z 2 (t )dt  0


(43)
179


Luôn không âm.
Quay lại với sai số bình phương trung bình, chúng ta có thể viết biểu thức (40)


MSE  MSE 0  2  g (u )   h0 ( ) R x (u   )d  Rsx (u ) du  T5

 


(44)

Trong đó MSE0 là sai số bình phương trung bình theo các điều kiện tối ưu và T5 độc
lập với h0 và không âm.
Ta muốn thiết lập một điều kiện trên h0 để chắc chắn rằng MSE0 là giá trị nhỏ nhất
mà MSE có. Có một cách để thực hiện điều này là thay các giá trị u trong ngoặc bằng 0.
Điều này đã loại bỏ T4 ra khỏi biểu thức (40) và bảo đảm rằng MSE0  MSE. Mặc dù
việc lợi dụng điều kiện như trên để thực hiện là đúng, chúng ta vẫn phải chắc chắn rằng
điều đó là cần thiết và hiệu quả để tối ưu hoá bộ lọc.
Chúng ta thiết lập điều cần thiết bằng lập luận: giả thiết rằng thành phần trong dấu
ngoặc ở biểu thức (44) khác 0 đối với một giá trị u nào đó. Tiếp theo, vì g(u) là hàm tuỳ
ý nên nó có thể nhận các giá trị âm ở nơi mà thành phần đặt trong dấu ngoặc là dương và
ngược lại. Tích phân thành phần T4 sẽ nhận được giá trị âm và MSE trở nên nhỏ hơn
MSE0. Bởi vì điều này vi phạm định nghĩa nên chúng ta kết luận rằng điều đó cần thiết
để thành phần trong ngoặc của biểu thức (44) bằng 0. Nghĩa là


R xs ( )   h0 (u ) R x (u   )du

(45)



Là điều kiện cần để tối thiểu sai số bình phương trung bình. Vì thế, sự phức tạp nói
đến trong biểu thức (37) đã mang lại cho chúng ta kết quả là một điều kiện cần cho bộ
lọc tối ưu.
Dễ dàng nhận thấy rằng biểu thức (45) cũng có khả năng tối ưu hoá bộ lọc-tức là.
không yêu cầu thêm một điều kiện nào. bởi vì điều kiện cần khiến cho T4 bị loại ra khỏi
biểu thức (40), biểu thức trở thành
MSE = MSE0 + T5

T5  0

(46)

Từ đó rõ ràng
MSE  MSE0

(47)

Vì vậy, biểu thức (45) xác định đáp ứng xung của bộ ước lượng tuyến tính tối ưu theo
ý nghĩa bình phương trung bình.
Dễ dàng chứng minh được rằng, đối với một hệ thống tuyến tính bất kỳ, tương quan
chéo giữa đầu vào và đầu ra được cho bởi
R xy ( )  h(u )  R x (u )

(48)

Trong đó Rx(u) là hàm tự tương quan của tín hiệu vào (Xem phần 16.6.2)
Chú ý vế phải của biểu thức (45) là phép tích phân chập có thể được viết như sau
R xs ( )  h0 (u )  R x (u )  R xy ( )

(49)

Biểu thức này liên kết đáp ứng xung tối ưu với hàm tự tương quan của tín hiệu đầu
vào hàm tương quan chéo của tín hiệu yêu cầu đầu vào. Kết quả từ biểu thức (48) chứng
tỏ rằng bộ lọc Wiener làm cho hàm tương quan chéo vào/ra bằng với hàm tương quan
chéo tín hiệu/tín hiệu pha lẫn nhiễu.
Lấy biến đổi Fourier cả hai vế biểu thức (49) cho ta
Pxs ( s )  H 0 ( s ) Px (s )  Pxy ( s )

(50)
180


Hay

H 0 (s ) 

Pxs ( s )
Px (s )

(51)

Là đặc tả của ước lượng Wiener trong miền tần số.
11.5.2.4. Thiết kế bộ lọc Wiener
Biểu thức (51) hàm ý rằng chúng ta có thể thiết kế ước lượng Wiener theo cách sau
đây: (1) Số hoá mẫu của tín hiệu vào s(t). (2) Tự tương quan mẫu vào để tạo ra một ước
lượng của Rx(). (3) Tính biến đổi Fourier của Rx() để tạo ra Px(s). (4) Thu nhận và số
hoá một mẫu tín hiệu không bị nhiễu. (5) Tương quan chéo mẫu tín hiệu với mẫu đầu
vào đê ước lượng Rxs(). (6) Tính biến đổi Fourier của Rxs() để tạo ra Pxs(s). (7) Tính
hàm truyền đạt của bộ lọc tối ưu theo biểu thức (51). (8) Nếu bộ lọc được thực hiện bằng
phép nhân chập thì tính biến đổi Fourier ngược của H0(s) để được đáp ứng xung h0(t)
của ước lượng tuyến tính tối ưu.
Nếu không không thể làm được hay không thực tế để thu được các mẫu tín hiệu
không nhiễu và tín hiệu vào, người ta có thể giả thiết một dạng hàm cho các hàm tương
quan hay phổ năng lượng yêu cầu trong biểu thức (51). Ví dụ. “nhiễu trắng” có phổ năng
lượng không thay đổi, và một vài dạng hàm khác phải được giả thiết cho tín hiệu yêu
cầu và phổ năng lượng của nó.
11.5.3. Ví dụ về bộ lọc Wiener

11.5.3.1. Tín hiệu và nhiễu không tương quan
Các hàm tự tương quan trong biểu thức (49) và phổ năng lượng trong biểu thức (51)
có phần khác nhau để hình dung và làm sáng tỏ. Tuy nhiên, tình hình được cải thiện
một cách đáng kể nếu chúng ta giả thiết rằng nhiễu là không tương quan với tín hiệu.
Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là

 s(t )n(t )   s(t ) n(t )

(52)

Chúng ta có thể biến đổi tử số của h0(s) [biểu thức (51)] và viết
R xs ( )   s (t ) s (t   )   s (t )  n(t )s (t   )

(53)

R xs ( )   s (t ) s (t   )  n(t ) s (t   )

(54)

Hay

Xem xét biểu thức (52), ta có thể viết








R xs ( )  R s ( )   n(t ) s (t   )  R s ( )   n(t )dt  s (t   )dt

(55)

Hay
R xs ( )  R s ( )  N (0)S (0)

(56)

Thực hiện tương tự cho mẫu số của biểu thức (51) ta có
R x ( )  Rs ( )  R n ( )  2 S (0) N (0)

(57)

Vì thế biểu thức (51) trở thành

181


H 0 (s) 

Ps ( s )  N (0) S (0) ( s )
Ps ( s )  Pn (s )  2 N (0)S (0) (s )

(58)

Hay, bỏ qua tần số 0,

H 0 (s) 

Ps ( s )
Ps ( s )  Pn (s )

s0

(59)

Và chúng ta có hàm truyền đạt dưới dạng phổ dễ tính toán hơn.
Chú ý rằng nếu tín hiệu hay nhiễu có giá trị trung bình bằng không thì biểu thức (59)
đúng cho tất cả các tần số, gồm cả 0. Nếu cả tín hiệu lẫn nhiễu có giá trị khác 0 thì
H 0 (s) 

1
2

(60)

Cũng cần lưu ý thêm một điều là nếu không có nhiễu (Pn(s) = 0) thì hàm truyền đạt
có giá trị cực đại bằng một tại tất cả các tần số. Tương tự, nếu không có tín hiệu thì nó
bằng 0 ở mọi nơi.
11.5.3.2. Thực hiện bộ lọc
Nhắc lại, biểu thức (36) đưa ra sai số bình phương trung bình ở đầu ra của bộ lọc.
Con số này cho ta biết khả năng khôi phục lại tín hiệu từ nhiễu của bộ lọc.
Nếu chúng ta đặt điều kiện tối ưu của biểu thức (45) vào thành phần thứ ba của biểu
thức (36) thì nó sẽ kết hợp với thành phần thứ hai, để


MSE 0  Rs (0)   h0 ( ) R xs ( )d


(61)

Một biểu thức đơn giản đối với sai số bình phương trung bình của bộ lọc tối ưu. Với
nhiễu trung bình 0 không tương quan (uncorrelated zero mean noise). Biểu thức (56) cho
phép ta thay thế Rxs() bằng Rs(). Nhưng điều này chỉ đúng cho biến đổi Fourier ngược
của Ps(s). Do đó biểu thức (61) trở thành


MSE 0  R s (0)   h0 ( ) 1 Ps ( )d


(62)

Viết lại toàn bộ biến đổi ngược và sắp xếp lại các tích phân,








MSE 0  R s (0)   Ps ( s )  h0 ( )e j 2s dds

(63)

Xem thành phần thứ nhất của tích phân thứ hai như biến đổi Fourier, ta có thể viết








MSE 0   Ps ( s )ds   Ps (s ) H 0 ( s )ds

(64)

Bởi vì hàm truyền đạt H0(s) chẵn, nên dấu trừ trong đối số của nó có thể bỏ qua. Bây
giờ thay biểu thức (59) vào biểu thức (64) ta thu được








MSE 0   Ps ( s )ds   Ps (s )

Ps (s )
ds
Ps (s )  Pn ( s )

(65)

Có thể sắp xếp lại để có được

Ps ( s ) Pn (s )

ds    Pn ( s ) H 0 (s )ds
 P ( s )  P ( s )

s
n

MSE 0  



(66)
182


Là biểu thức trong miền tần số của sai số bình phương trung bình đối với trường hợp
tín hiệu và nhiễu không tương quan.
11.5.3.3. Hàm truyền đạt bộ lọc Wiener
Hình 11-14 minh hoạ bộ lọc Wiener trong miền tần số đối với trường hợp không
tương quan.
Tại các tần số thấp, năng lượng tín hiệu lớn hơn rất nhiều so với nhiễu, hàm truyền
đạt có giá trị gần bằng 1, bỏ qua năng lượng trong tín hiệu. Sau đó hàm truyền đạt giảm
giá trị xuống còn 0.5 tại điểm mà năng lượng phổ bằng năng lượng nhiễu và suy giảm
đến 0 tại các tần số cao, tần số mà nhiễu chiếm ưu thế hơn.
Khi giả thiết rằng những điều hiểu biết hạn chế của chúng ta biết về phổ năng lượng
của s(t) và n(t) thì chúng ta đã thừa nhận….(còn hai dòng)
Sai số bình phương trung bình thực tế tại đầu ra, dấu hiệu cho biết bộ lọc có khả năng
khôi phục tín hiệu từ nhiễu, được cho bởi biểu thức (66). Hình 11-14 minh hoạ hàm tích
phân (integrand). Lưu ý rằng sự tập trung MSE chỉ xảy ra trong dải tần mà cả phổ năng
lượng của tín hiệu lẫn nhiễu đều khác không. Hàm truyền đạt chặn tất cả năng lượng
nhiễu trong các dải tần mà tại đó năng lượng tín hiệu bằng 0.

HÌNH 11-14

Hình 11-14 Hàm truyền đạt bộ lọc Wiener
Hình 11-15 minh hoạ trường hợp tín hiệu và nhiễu là có thể tách rời trong miền tần
số. Trong trường hợp này, ước lượng Wiener bỏ qua toàn bộ tín hiệu và tách nhiễu ra
một cách hoàn toàn.
Trường hợp tín hiệu bị giới hạn dải bao trùm lấy nhiễu trắng được minh hoạ trong
hình 11-16. Trong đó, H0(s) là bộ lọc thông dải. Nếu phổ năng lượng của tín hiệu là
hằng số thì sai số bình phương trung bình sẽ tỷ lệ với độ rộng dải (bandwidth) của nó.
Nếu tỷ số tín hiệu trên nhiễu thấp, biểu thức (66) rút gọn








2

MSE 0   Ps ( s )ds   S s ( s ) ds

(67)

Theo nguyên lý Rayleigh thì nó là


MSE 0   s 2 (t )dt  R s (0)  n¨ng l­îng


(68)

183


HÌNH 11-15

Hình 11-15 Tín hiệu và nhiễu tách biệt

HÌNH 11-16

Hình 11-16 Tín hiệu bị giới hạn dải
Vì thế, trong trường hợp này, sai số bình phương trung bình, có lẽ đáng ngạc nhiên,
tỷ lệ với năng lượng tín hiệu.
11.5.4. Giải chập Wiener (Wiener Deconvolution)
Như đã đề cập trước đây, phép giải chập bình thường không có giá trị đối với nhiễu.
Vì thế, các hàm truyền đạt giải chập, thường có biên độ cực lớn tại các tần số cao là
không thực tế khi có sự hiện diện của nhiễu.
Hình 11-17 minh hoạ vị trí bộ lọc Wiener theo sau phép giải chập. Đầu tiên hệ thống
tuyến tính với đáp ứng xung f(t) làm suy biến tín hiệu yêu cầu s(t). Đầu ra của bộ lọc sau
đó bị nguồn nhiễu cộng n(t) làm hỏng để tạo thành tín hiệu quan sát x(t).

HÌNH 11-17

184


Hình 11-17 Giải chập Wiener
Việc thiết kế mộ bộ lọc tuyến tính g(t) đồng thời đáp ứng xung f(t) và tách được

nhiễu. Trong hình 11-17, g(t) được minh hoạ như chuỗi ghép một bộ lọc giải chập và
một bộ lọc Wiener với đáp ứng xung h0(t).
Bởi vì bộ lọc giải chập là đã biết nên nó vẫn chỉ dùng để xác định đáp ứng xung h0(t)
trước khi kết hợp hai bộ lọc tuyến tính (bằng phép nhân chập) để tạo ra g(t).
Cấu hình trong hình 11-17 cho thấy rằng phổ của tín hiệu qan sát là

X (s)  F ( s) S (s)  N (s )

(69)

Hơn thế nữa, giả sử rằng F(s) không có các giá trị 0, phổ của tín hiệu tại đầu ra bộ lọc
Wiener là

Y ( s)  S ( s) 

N ( s)
 S ( s)  K ( s)
F ( s)

(70)

Biểu thức (59) hàm ý rằng, đối với các nguồn tín hiệu và nhiễu không tương quan,
hàm truyền đạt của bộ lọc Wiener là
Ps ( s )
H 0 (s) 

Ps ( s )  Pk ( s )

S ( s)

2

N ( s)
S ( s) 
F ( s)

2

(71)

2

Vì thế, hàm truyền đạt G(s) của bộ lọc giải chập tối ưu theo nghĩa bình phương trung
bình là

G( s) 


H 0 (s )
Ps (s )
F  ( s ) Ps ( s )
1 




F ( s)
F (s )  Ps ( s )  Pk ( s )  F ( s ) 2 Ps ( s )  Pn ( s )

(72)

11.5.4.1. Các ví dụ
Hình 11-18 trình bày một ví dụ về bộ lọc giải chập Wiener một chiều. Trong trường
hợp này, tín hiệu có phổ năng lượng dạng Gauss và nhiễu trắng. Hàm làm mờ (blurring
function) là hàm truyền đạt tối ưu của một ống kính hoàn chỉnh. (Xem chương 15)
Chú ý rằng, tại các tần số thấp, G(s) tăng khi F(s) giảm. Tuy nhiên, theo khoảng cách
thì G(s) bắt đầu tiến dần đến 0 để hạn chế nhiễu. Trong ví dụ này, năng lượng tín hiệu
cao nhất xảy ra tại tần số bằng 40% fmax và năng lượng này lớn gấp 14 lần năng lượng
nhiễu. Do đó, giải chập Wiener là một quá trình khá duy trì, làm nổi bật việc giảm nhiễu
đối với việc tái tạo tín hiệu. Đây là một sản phẩm phụ (by-product) do giải chập Wiener
tối thiểu hoá sai số bình phương trung bình. Các bộ lọc linh hoạt hơn sử dụng cho việc
khôi phục ảnh sẽ được đề cập trong chương 16.
Hình 11-19 trình bày một ví dụ về giải chập Wiener hai chiều trong miền tần số. Ở
đây, hàm làm mờ là hàm Gauss, phổ năng lượng của tín hiệu là 1/f và nhiễu trắng.

HÌNH 11-18
185


Hình 11-18 Ví dụ về giải chập Wiener: (a) phổ năng lượng của tín hiệu và nhiễu;
(b) hàm làm mờ; (c) hàm truyền đạt giải chập Wiener

HÌNH 11-19

Hình 11-19 Ví dụ giải chập Wiener hai chiều: (a) phổ năng lượng của tín hiệu;
(b) phổ năng lượng của nhiễu; (c) hàm làm mờ; (d) hàm truyền đạt
11.5.5. The Matched Detector (tạm dịch bộ phát hiện tương xứng)
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một bộ lọc tối ưu cho mục đích khác. Trong khi bộ lọc
Wiener được thiết kế để khôi phục một tín hiệu chưa biết từ nhiễu thì bộ phát hiện tương
xứng là tối ưu đối với việc xác định một tín hiệu đã biết trên nền nhiễu. Tức là, bộ lọc

tương xứng được thiết kế để “phát hiện” ra sự xuất hiện của tín hiệu có dạng đã quy định
trên nền nhiễu hiện có. (Ngược lại, bộ lọc Wiener được thiết kế để “ước lượng” một tín
hiệu trước khi nó bị nhiễu phá huỷ.)
Mô hình phát triển bộ phát hiện tương xứng được rình bày trong hình 11-20. Tín hiệu
m(t) bị ảnh hưởng bởi nhiễu cộng n(t) tạo ra tín hiệu quan sát x(t), tín hiệu này cũng
chính k\là đầu vào bộ lọc tuyến tính có đáp ứng xung k(t), tạo thành tín hiệu ra y(t).
Ta muốn sử dụng đầu ra của bộ lọc để phát hiện m(t), một tín hiệu đặc biệt có dạng
đã biết, có mặt hay không. Chúng ta sẽ chọn đáp ứng xung k(t) để dễ dàng thực hiện
công việc .
Đối với hệ thống trong hình 11-20,

y (t )  m(t )  n(t )  k (t )  m(t )  k (t )  n(t )  k (t )

(73)

nghĩa là hệ thống trong hình 11-21 tương đương với hệ thống trong hình 11-20. Nói
cách khác, thực hiện phép cộng m(t) và n(t) trước hay sau khi qua bộ lọc đều như nhau.
Chúng ta định nghĩa các đầu ra thành phần như sau

u (t )  m(t )  k (t )

vµ

v(t )  n(t )  k (t )

(74)

HÌNH 11-20
186

Hình 11-20 Mô hình bộ phát hiện tương xứng

HÌNH 11-21

Hình 11-21 Mô hình tương đương với hình 11-20
Bây giờ u(t) và v(t) là tín hiệu và nhiễu đã lọc.
Giống như đối với bộ lọc Wiener, đầu tiên chúng ta phải quy định rằng chúng ta có
những hiểu biết nhất định về tín hiệu và nhiễu, để thiết lập một tiêu chuẩn tối ưu. Giả sử
chúng ta biết dạng hàm của m(t), nhưng chúng ta tín hiệu xuất hiện tại thời điểm nào.
Ứng dụng kinh điển của bộ phát hiện tương xứng là sự tách sóng của các xung ra đa
phản hồi. Trong trường hợp này, xung phản hồi, giống hệt xung truyền, đã biết dạng
xung nhưng không biét được thời gian đến. Trong xử lý ảnh số, bộ phát hiện tương xứng
được sử dụng vào việc định vị các đặc điểm đã biết (như các mặt nạ kiểm tra, các ký tự
chữ cái,… chẳng hạn) trong ảnh nhiễu.
Giống như đối với bộ lọc Wiener, chúng ta sẽ giả thiết rằng nhiễu là một biến ngẫu
nhiên ergodic có phổ năng lượng đã biết. Chúng ta sẽ đi thiết kế k(t) sao cho, bằng cách
quan sát đầu ra, chúng ta có thể có khả năng phát hiện được tín hiệu tốt nhất khi nó xuất
hiện.
11.5.5.1. Tiêu chuẩn tối ưu
Một tiêu chuẩn để đánh giá hiệu suất của bộ lọc, mà chúng ta sẽ sử dụng tỷ lệ trung
bình năng lượng tín hiệu trên nhiễu tại đầu ra, được ước lượng tại thời điểm 0:



 u 2 (0)
 v 2 (0)

(75)

Tín hiệu mẫu đầu tiên, m(t), thường là một hàm thu hẹp nào đó tập trung tại gốc.
Chúng ta muốn năng lượng đầu ra trở nên lớn tại t = 0, nơi có tín hiệu. Biên độ đầu ra
trước và sau, trường hợp không có tín hiệu, đều tương đối nhỏ.
Dựa vào tính chất bất biến dịch, nếu tín hiệu m(t – t1) xuất hiện tại thời điểm t1 thì
biên độ đầu ra bộ lọc sẽ lớn tại t1, do đó làm giảm sút sự xuất hiện của tín hiệu.
Rõ ràng, nếu  lớn thì biên độ đầu ra y(t) sẽ cao tuỳ thuộc vào sự có mặt hay không
của m(t), và nó sẽ tương đối không nhạy cảm với sự dao động của nhiễu n(t). Vì thế, như
một tính chất cho tính tối ưu của k(t), chúng ta chọn  cực đại.
Một chú ý quan trọng là tiêu chuẩn này dù sao cũng không bảo đảm rằng tín hiệu ra
y(t) sẽ tương tự m(t). Tuy nhiên, vì ta đã biết dạng hàm của m(t) nên ta không quan tâm
đến độ chính xác của sự tái tạo như trong trường hợp của bộ lọc Wiener. Thay vào đó, ta
muốn đầu ra lớn khi có mặt m(t) và nhỏ khi không có mặt.
187


Bởi vì u(t) là quyết định, nên chúng ta có thể bỏ qua toán tử dự đoán ở tử số và viết
lại biểu thức (75) như sau





2

2


u 2 (0)
m(t )  k (t )
 1 M (s )  K ( s )




 n
2
2
2
d
 v (0)  n(t )  k (t )
 n(t )  k (t )

 









(76)

Trong đó n và d cho phép ta xem xét tử số và mẫu số một cách riêng biệt.
Chúng ta bắt đầu bằng cách khai triển mẫu số như tích của hai tích phân châpk:

d  









k (q )n(t  q )dq  k ( )n(t   )d




(77)

Vì biểu thức là một tích trên toàn trục thời gian và đáp ứng xung k(t) không phải là
tín hiệu ngẫu nhiên nên chúng ta có thể sắp xếp lại các tích phân trong biểu thức (77) để
được

d  







 

k (q )k ( ) n(t  q)n( y   )dqd

(78)

Chúng ta xem hệ số mũ bên trong dấu tích phân như hàm tự tương quan Rn( - q) của
nhiễu, là biến đổi Fourier ngược của phổ năng lượng nhiễu Pn(s). Vì thế,


 n(t  q)n(t   )  Rn (  q )   Pn ( s ) ej 2s (  q ) ds


(79)

Khiến cho mẫu số của 

d  







 



k (q )k ( )  Pn (s )e j 2s ( q ) dsdqd


(80)

Bây giờ chúng ta có thể phân tích số mũ ra thừa số và biến đổi các tích phân một chút




 d   Pn (s )  k (q)e j 2sq dq  k ( )e j 2s d ds

  



(81)

Thành phần trong dấu ngoặc là tích của hai biến đổi Fourier ngược K(s) và K(-s).
Hơn nữa, vì đáp ứng xung k(t) là hàm thực nên hàm truyền đạt K(s) là Hermite và K(s) =
K*(s). Vì thế, thành phần trong ngoặc rút gọn thành

K ( s) K (s)  K ( s) K  ( s)  K (s)

2

(82)

Thay vào biểu thức (76) và viết lại toàn bộ biến đổi Fourier trong tử số, ta sẽ được tỷ
số năng lượng tín iệu trên nhiễu như sau
2

  K ( s )M ( s )ds 
 

d   
2

 K ( s) Pn ( s)ds

(83)



Đây là biểu thức phóng đại mà ta mong muốn. Chúng ta phải chọn một hàm (K(s)
chẳng hạn) để tối ưu hoá số lượng giống như đối với bộ lọc Wiener.
11.5.5.2. Bất đẳng thức Schwartz
Về mặt này, chúng ta sử dụng bất đẳng thức Schwartz. Đây là kết quả toán học được
biểu diễn như sau

188


f

2

(t )dt  g 2 (t )dt 

 f (t ) g (t )dt 

2

(84)

Trong đó f(t) và g(t) là các hàm thực tuỳ ý và phép tích phân được thực hiện với giới
hạn tuỳ ý. Cách tiếp cận của chúng ta để xác định các hàm f(t) và g(t) tạo ra các thừa số
trong biểu thức (83) và rút ra một bất đẳng thức liên quan đến . Tiếp theo, chúng ta giả

thiết một dạng của hàm truyền đạt và chứng minh rằng nó cực đại hoá . Tuy nhiên, đầu
tiên chúng ta phải chứng minh bất đẳng thức Schwartz.
Chúng ta bắt đầu bằng cách xác định một hàm theo biến  không âm
2

Q ( )   f (t )  g (t ) dt  0

(85)

Khai triển tích phân và tập hợp các thành phần ta được
2

 f (t )  g (t ) dt    f
2

2

(t )dt  2  f (t ) g (t )dt   g 2 (t )dt  0 (86)

Biểu thức (86) một phương trình bậc hai theo biến . Vì thế,

2 f (t ) g (t )dt   4 f
2

2

(t )dt  g 2 (t )dt  0

(87)

Hay

 f (t ) g (t )dt 

2

  f 2 (t )dt  g 2 (t )dt

(88)

Do đó biểu thức (84) được chứng minh.
11.5.5.3. Điều kiện cần
Chúng ta sử dụng bất đẳng thức Schwartz để rút ra một điều kiện xoay quanh tỷ số tín
hiệu trên nhiễu . Đầu tiên chúng ta đi xác định hai hàm

f (s )  K ( s) Pn ( s)

(89)

Và
M (s)
Pn ( s )

(90)

f (s ) g (s)  K ( s) M ( s)

(91)

g (s) 

Chúng tạo ra

Và độ lớn bình phương của chúng là
2

2

f ( s )  K ( s ) Pn ( s )

(92)

Và
2

g (s ) 

M ( s)

2

Pn ( s )

(93)

Nếu thay các hàm đã định nghĩa trong biểu thức (89) và (90) vào bất đẳng thức
Schwartz, dùng s như biến tích phân, ta được

189

  M ( s) 2 

2


 K ( s) M (s)ds   K (s) Pn (s)ds   Pn (s ) ds 


2



(94)

Nếu ta chia cả hai vế cho







2

(95)

K ( s ) Pn ( s )ds

Ta được













2



K ( s ) M ( s )ds





2

K ( s ) Pn ( s )ds 





2





M ( s)

2

Pn ( s )

ds

2

(96)

  K ( s ) Pn ( s )ds

K ( s ) Pn ( s )ds



Nhắc lại biểu thức (83), chúng ta thừa nhận vế trái của bất đẳng thức như . Hơn nữa,
mẫu số của vế phải giản ước cho thành phần thứ nhất của tử số, cuối cùng ta được





M ( s)

2

Pn ( s )



ds

(97)

Là giới hạn trên tương đối đơn giản .
Vì thế, bất đẳng thức Schwartz dẫn chúng ta đến biểu thức (97), biểu thức chỉ rõ rằng
 nhỏ hơn hoặc bằng phương trình phổ năng lượng tín hiệu và phổ năng lượng nhiễu. Rõ
ràng,  sẽ là cực đại do điều kiện đẳng thức trong biểu thức (97). Bở vì chúng ta muốn 
càng lớn càng tốt nên ta lấy

p max  





M ( s)

2

Pn ( s )

ds

(98)

Như là một điều kiện cần cho việc phóng đại .
11.5.5.4. Hàm truyền đạt
Tiếp theo, chúng ta giả thiết một dạng K(s) và chứng minh rằng quả thực nó phóng
đại . Giả sử hàm truyền đạt tối ưu là
K 0 (s )  C

M  ( s)
Pn ( s )

(99)

Trong đó C là một hằng số tuỳ ý. Thay hàm đã giả thiết vào biểu thức  tổng quát
[biểu thức (83)] tạo ra
2

M  ( s)
C
 Pn ( s) M ( s)ds


2 M ( s)  M (s)
 C Pn ( s)  Pn (s) Pn ( s)ds


(100)

Giản ước các hằng số và rút gọn biểu thức ở mẫu số của Pn(s) thành

190