Kỹ Thuât Đê Quy Chương 3

Chương 3
Kỹ thuật đệ qui


3.1. Khái niệm đệ quy


Một hàm gọi đến chính hàm đó thì được gọi là đệ qui



Định nghĩa số tự nhiên
0 là số tự nhiên bé nhất.
Nếu k là số tự nhiên thì k + 1 cũng là số tự nhiên
Như vậy, số tự nhiên bắt đầu từ 0, ta có các số tự nhiên là: 0 + 1 = 1, 1
+ 1 = 2,…



Chuỗi ký tự
Chuỗi rỗng là một chuỗi ký tự.
Một chuỗi ký tự ghép với một ký tự bất kỳ là một chuỗi ký tự.

2


3.1. Khái niệm đệ quy


Tính giai thừa, n!
Khi n = 0 thì n! = 1

Khi n > 0 thì n! = (n - 1)! * n



Ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm m, n (với m >n) như
sau:
Nếu n = 0 thì UCLN(m, n) = m
Nếu n ≠ 0 thì UCLN(m, n) = UCLN(n, m mod n)

3


3.2. Hàm đệ quy


Hai bước giải bài toán đệ quy
Bước 1: Phân tích bài toán thành bài toán đồng dạng nhưng đơn giản
hơn và dừng lại ở bài toán đồng dạng đơn giản nhất có thể xác định
ngay kết quả.
Bước 2: Xác định kết quả bài toán đồng dạng từ đơn giản đến phức
tạp để có kết quả cuối cùng.

4


3.2. Hàm đệ quy
Cấu trúc hàm đệ quy
<Kiểu trả về> <Tên hàm>(<Tham số>)
{
if (<Điều kiện dừng>)

{
… return <Giá trị>;
}
... Gọi lại hàm với tham số bé hơn
...
}

5


3.2. Hàm đệ quy
Viết hàm tính n!, với n ≥ 0
long Fac(int n)
{

if(n == 0)
return 1;
return n*Fac(n – 1);

}

6


3.2. Hàm đệ quy


Đệ quy tuyến tính
Trong thân hàm có duy nhất một lời gọi hàm gọi lại chính nó một cách
tường minh.

<Kiểu trả về> <Tên hàm>(<Tham số>)
{
if (<Điều kiện dừng>)
{
… return <Giá trị>;
}
… <Tên hàm>(<Đối số>); …
}

7


3.3. Phân loại đệ qui


Đệ quy tuyến tính

Tính S(n) = 1 + 2 + … + n
S(n) = S(n – 1) + n

Điều kiện dừng: S(0) = 0
long Tong(int n)
{
if (n == 0)
return 0;
return Tong(n–1) + n;
}

8

3.3. Phân loại đệ qui


Đệ quy nhị phân
Trong thân hàm có hai lời gọi hàm gọi lại chính nó một cách tường
minh.
<Kiểu trả về> <Tên hàm>(<Tham số>)
{
if (<Điều kiện dừng>)
{
… return <Giá trị>;
}
… <Tên hàm>(<Đối số>); …
… <Tên hàm>(<Đối số>); …
}

9


3.3. Phân loại đệ qui


Đệ quy nhị phân
Tính số hạng thứ n của dãy Fibonacy
f(0) = f(1) = 1 và f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) n > 1
Điều kiện dừng: f(0) = 1 và f(1) = 1
long Fibo(int n)
{
if (n == 0 || n == 1)

return 1;
return Fibo(n–1) + Fibo(n–2);
}

10


3.3. Phân loại đệ qui


Đệ quy hỗ tương
Trong thân hàm này có lời gọi hàm tới hàm kia và ngược lại
<Kiểu trả về> <Tên hàm 1>(<Tham số>)
{
if (<Điều kiện dừng>)
{
… return <Giá trị>;
}
… <Tên hàm 2>(<Đối số>); …
}
}
<Kiểu trả về> <Tên hàm 2>(<Tham số>)
{
if (<Điều kiện dừng>)
{
… return <Giá trị>;
}
… <Tên hàm 1>(<Đối số>); …
}
11

3.3. Phân loại đệ qui


Đệ quy hỗ tương

Tính số hạng thứ n của dãy sau:
x(0) = 1, y(0) = 0
x(n) = x(n – 1) + y(n – 1)
y(n) = 3*x(n – 1) + 2*y(n – 1)
Điều kiện dừng: x(0) = 1, y(0) = 0
long xn(int n)
{
if (n == 0) return 1;
return xn(n-1) + yn(n-1);
}
long yn(int n)
{
if (n == 0) return 0;
return 3*xn(n-1) + 2*yn(n-1);
}
12


3.3. Phân loại đệ qui


Đệ quy phi tuyến
Trong thân hàm có lời gọi hàm lại chính nó được đặt bên

trong thân vòng lặp.
<Kiểu trả về> <Tên hàm>(<Tham số>)
{
if (<Điều kiện dừng>)
{
… return <Giá trị>;
}
… Vòng lặp
{
… <Tên hàm>(<Đối số>);
}
…
}
13


3.3. Phân loại đệ qui


Đệ quy phi tuyến
Tính số hạng thứ n của dãy:
x(0) = 1
x(n) = n2x(0) + (n-1)2x(1) + … + 22x(n – 2) + 12x(n – 1)
Điều kiện dừng: x(0) = 1
long xn(int n)
{
if (n == 0)
return 1;
long s = 0;
for (int i=1; i<=n; i++)

s = s + i*i*xn(n–i);
return s;
}
14


3.4. Các bước xây dựng hàm đệ quy






Bước 1: Thông số hóa bài toán.
Tổng quát hóa bài toán cụ thể thành bài toán tổng quát.
Thông số hóa bài toán tổng quát.
Ví dụ: n trong hàm tính tổng S(n) = 1 + 2 + 3 + … + n
Bước 2: Tìm thuật giải tổng quát.
Phần không đệ quy.
Phần như bài toán trên nhưng kích thước nhỏ hơn.
Ví dụ: S(n) = S(n – 1) + n
Bước 3: Tìm các trường hợp suy biến.
Các trường hợp suy biến của bài toán.
Kích thước bài toán trong trường hợp này là nhỏ nhất.
Ví dụ: S(0) = 0
15


3.5. Một số lỗi thường gặp


Công thức đệ quy chưa đúng, không tìm được bài toán đồng dạng
đơn giản hơn



Không xác định các trường hợp suy biến – neo (điều kiện dừng).



Thông điệp thường gặp là StackOverflow do:
-

-

Thuật giải đệ quy đúng nhưng số lần gọi đệ quy quá lớn
làm tràn STACK.
Thuật giải đệ quy sai do không hội tụ hoặc không có điều
kiện dừng.

16


3.6. Các vấn đề đệ quy thường gặp


Truy hồi
Hệ thức truy hồi của 1 dãy An là công thức biểu diễn phần tử An thông
qua 1 hoặc nhiều số hạng trước của dãy.
Gửi ngân hàng 1000 USD, lãi suất 12%/năm. Tính số tiền có được

sau 30 năm. Gọi An là số tiền có được sau n năm. Ta có:
An = An – 1 + 0.12*An – 1 = 1.12*An – 1
A(0) = 1000
Đệ quy tuyến tính với A(n)=1.12*A(n – 1) và điều kiện dừng A(0) =
1000

17


3.6. Các vấn đề đệ quy thường gặp
Chia để trị
// Tìm nghiệm x của bài toán A.
void
DivideConquer(A, x)
{
if (A đủ nhỏ) Solve(A);
else
{
Phân A thành các bài toán con A1, A2, …, Am
for ( i = 1; i <= n; i++)
DivideConquer(Ai, xi);
Kết hợp các nghiệm xi của Ai để nhận được x của A.
}
}


18


3.6. Các vấn đề đệ quy thường gặp



Phương pháp quay lui
-

-

Tại bước có nhiều lựa chọn, ta chọn thử 1 bước để đi tiếp.
Nếu không thành công thì “lần ngược” chọn bước khác.
Nếu đã thành công thì ghi nhận lời giải này đồng thời “lần
ngược” để truy tìm lời giải mới.
Thích hợp giải các bài toán kinh điển như bài toán 8 hậu
và bài toán mã đi tuần.

19


Tổng kết


Chỉ nên dùng phương pháp đệ quy để giải các bài toán kinh điển như
giải các vấn đề “chia để trị”, “lần ngược”.



Vấn đề đệ quy không nhất thiết phải giải bằng phương pháp đệ quy,
có thể sử dụng phương pháp khác thay thế (khử đệ quy)



Phương pháp đệ qui tiện cho người lập trình nhưng không tối ưu khi
chạy trên máy.



Bước đầu nên giải bằng đệ quy nhưng từng bước khử đệ quy để nâng
cao hiệu quả.

20


21